ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
ТРЕУГОЛЬНИКА
Геометрия
8 класс
Сахарова Наталия Ивановна
МБОУ СОШ №28 г.Симферополя
- Точка пересечения медиан треугольника
- Точка пересечения биссектрис треугольника
- Точка пересечения высот треугольника
- Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника
Медиана
Медианой (BD) треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины.
БИССЕКТРИСА
Биссектрисой (АD) треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника. ∟ BAD = ∟ CAD.
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.
Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке– центре вписанной в треугольник окружности.
Радиус окружности (ОМ) – перпендикуляр, опущенный из центра (т.О) на сторону треугольника
ВЫСОТА
Высотой (СD) треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР
Серединным перпендикуляром (DF) называется прямая, перпендикулярная стороне треугольника и делящая её пополам.
Каждая точка серединного перпендикуляра (m) к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Все серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке– центре описанной около треугольника окружности .
Радиусом описанной окружности является расстояние от центра окружности до любой вершины треугольника (ОА).
Стр. 177 №675 (рисунок)
Домашнее задание
Стр.173 § 3 определения и теоремы стр.177 № 675 (закончить)
Цели:
- обобщить знания учащихся потеме «Четыре замечательные точки треугольника», продолжить работу по формированию навыков построения высоты, медианы, биссектрисы треугольника;
Познакомить учащихся с новыми понятиями вписанной окружности в треугольник и описанной около него;
Развивать навыкиисследования;
- воспитывать настойчивость, точность, организованностьучащихся.
Задача:
расширить познавательный интерес к предметугеометрия.
Оборудование:
доска, чертёжные инструменты, цветные карандаши, модель треугольника на альбомном листе; компьютер, мультимедийный проектор, экран.
Ход урока
1.
Организационный момент (1 минута)
Учитель:
На этом уроке каждый из вас почувствует себя в роли инженера-исследователя, после окончания практической работы вы сможете оценить себя. Чтобы работа была успешна, надо очень точно и организовано выполнять все действия с моделью в ходе урока. Желаю успеха.
2.
Учитель: начертите в тетради неразвёрнутый угол
В. Какие вы знаете способы построения биссектрисы угла?
Определение биссектрисы угла. Два ученика выполняют на доскепостроение биссектрисы угла (по заранее заготовленным моделям) двумя способами: линейкой, циркулем. Следующие два ученика устнодоказывают утверждения:
1. Каким свойством обладают точки биссектрисы угла?
2. Что можно сказать о точках, лежащих внутри угла иравноудалённых от сторон угла?
Учитель: начертите в тетрадиостроугольный треугольник АВС и любым из способов, постройте биссектрисы угла А и угла С, точка их
пересечения - точка О. Какую гипотезу можете выдвинуть о луче ВО? Докажите, что луч ВО - биссектриса треугольника АВС. Сформулируйте вывод о расположении всех биссектрис треугольника.
3.
Работа с моделью треугольника (5-7 минут).
1 вариант - остроугольный треугольник;
2 вариант - прямоугольный треугольник;
3 вариант - тупоугольный треугольник.
Учитель: на модели треугольника постройте две биссектрисы, обведите их жёлтым цветом. Обозначьте точку пересечения
биссектрис точкой К.Смотреть слайд № 1.
4.
Подготовка к основному этапу урока (10-13 минут).
Учитель: начертите в тетради отрезок АВ. С помощью каких инструментов можно построить серединный перпендикуляр к отрезку? Определение серединного перпендикуляра. Два ученика выполняют на доскепостроение серединного перпендикуляра
(по заранее заготовленным моделям) двумя способами: линейкой, циркулем. Следующие два ученика устно доказывают утверждения:
1. Каким свойством обладают точки серединногоперпендикуляра к отрезку?
2. Что можно сказать о точках равноудалённых от концовотрезка АВ?Учитель: начертите в тетрадипрямоугольный треугольник АВС и постройте серединные перпендикуляры к двум любым сторонам треугольника АВС.
Обозначьте точку пересечения О. Проведите перпендикуляр к третьей стороне через точку О. Что вы заметили? Докажите, что это серединный перпендикуляр к отрезку.
5.
Работа смоделью треугольника (5 минут).Учитель: на модели треугольникапостройте серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника и обведите их зелёным цветом. Обозначьте точку пересечения серединных перпендикуляров точкой О. Смотреть слайд № 2.
6.
Подготовка к основному этапуурока (5-7 минут).Учитель: начертите тупоугольныйтреугольник АВС и постройте две высоты. Обозначьте их точку пересечения О.
1. Что можно сказать о третьей высоте (третья высота,если её продолжить за основание, будет проходить через точку О)?
2. Как доказать, что все высоты пересекаются в однойточке?
3. Какую новую фигуру образуют эти высоты и чем они в нейявляются?
7.
Работа с моделью треугольника (5 минут).
Учитель: на модели треугольника постройте три высоты и обведите их синим цветом. Обозначьте точку пересечения высот точкой Н. Смотреть слайд № 3.
Урок второй
8.
Подготовка к основному этапу урока (10-12 минут).
Учитель: начертите остроугольный треугольник АВС и постройте все его медианы. Обозначьте их точку пересечения О. Какимсвойством обладают медианы треугольника?
9.
Работа с моделью треугольника (5минут).
Учитель: на модели треугольника постройте три медианы и обведите их коричневым цветом.
Обозначьте точку пересечения медиан точкой Т.Смотретьслайд № 4.
10.
Проверка правильности построения (10-15 минут).
1. Что можно сказать о точке К? / ТочкаК-точка пересечения биссектрис, она равноудалена от всех сторон треугольника/
2. Покажите на модели расстояние от точки К долюбой стороны треугольника. Какую фигуру вы начертили? Как расположен этот
отрезок к стороне? Выделите жирно простым карандашом. (Смотреть слайд № 5).
3. Чем является точка, равноудалённаяот трёх точек плоскости, не лежащих на одной прямой? Постройте жёлтым карандашом окружность с центром К и радиусом, равным выделенному простым карандашом расстоянию. (Смотреть слайд № 6).
4. Что вы заметили? Как расположена этаокружность относительно треугольника? Вы вписали окружность в треугольник. Как можно назвать такую окружность?
Учитель даёт определение вписанной окружности в треугольник.
5. Что можно сказать о точке О? \ТочкаО -точка пересечения серединных перпендикуляров и она равноудалена от всех вершин треугольника \. Какую фигуру можно построить, связав точки А,В,С и О?
6. Постройте зелёным цветомокружность(О; ОА). (Смотреть слайд № 7).
7. Что вы заметили? Как расположена этаокружность относительно треугольника? Как можно назвать такую окружность? Как в таком случае можно назвать треугольник?
Учитель даёт определение описанной окружности около треугольника.
8. Приложите к точкам О,Н и Т линейку ипроведите красным цветом прямую через эти точки. Эта прямая называется прямой
Эйлера.(Смотреть слайд № 8).
9. Сравните ОТ и ТН. Проверьте ОТ:ТН=1: 2. (Смотреть слайд № 9).
10. а) Найдитемедианы треугольника (коричневым цветом). Отметьте чернилами основания медиан.
Где находятся эти три точки?
б) Найдитевысоты треугольника (синим цветом). Отметьте чернилами основания высот. Сколько этих точек? \ 1 вариант-3; 2 вариант-2; 3 вариант-3\.в) Измерьтерасстояния от вершин до точки пересечения высот. Назовите эти расстояния (АН,
ВН, СН). Найдите середины этих отрезков и выделите чернилами. Сколько таких
точек? \1 вариант-3; 2 вариант-2; 3 вариант-3\.
11. Посчитайте, сколько получилосьточек, отмеченных чернилами? \ 1 вариант - 9; 2 вариант-5; 3 вариант-9\. Обозначьте
точки D 1 , D 2 ,…, D 9 . (Смотреть слайд № 10).Через этиточки можно построить окружность Эйлера. Центр окружности точка Е находится в середине отрезка ОН. Строим красным цветом окружность (Е; ЕD 1). Эта окружность, как и прямая,названа именем великого учёного. (Смотреть слайд № 11).
11.
Презентация об Эйлере (5 минут).
12. Итог
(3 минуты).Оценка:«5»- если получились точно жёлтая, зелёная и краснаяокружности и прямая Эйлера. «4»-если неточно получились окружности на 2-3мм. «3»- если неточно получились окружности на 5-7мм.
На данном уроке мы рассмотрим четыре замечательные точки треугольника. На двух из них остановимся подробно, вспомним доказательства важных теорем и решим задачу. Остальные две вспомним и охарактеризуем.
Тема: Повторение курса геометрии 8 класса
Урок: Четыре замечательные точки треугольника
Треугольник - это, прежде всего, три отрезка и три угла, поэтому свойства отрезков и углов являются основополагающими.
Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр - обозначим его за р. Таким образом, р - серединный перпендикуляр.
Теорема (основное свойство серединного перпендикуляра)
Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.
Доказать, что
Доказательство:
Рассмотрим треугольники и (см. Рис. 1). Они прямоугольные и равные, т.к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть , что и требовалось доказать.
Рис. 1
Справедлива обратная теорема.
Теорема
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка (см. Рис. 2).
Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.
Рис. 2
Доказательство:
Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О - середина основания АВ, ОМ - медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит, прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.
Если необходимо описать окружность около одного отрезка, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но центр каждой из них будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку.
Говорят, что серединный перпендикуляр есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.
Треугольник состоит из трех отрезков. Проведем к двум из них серединные перпендикуляры и получим точку О их пересечения (см. Рис. 3).
Точка О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне ВС треугольника, значит, она равноудалена от его вершин В и С, обозначим это расстояние за R: .
Кроме того, точка О находится на серединном перпендикуляре к отрезку АВ, т.е. , вместе с тем , отсюда .
Таким образом, точка О пересечения двух серединных
Рис. 3
перпендикуляров треугольника равноудалена от его вершин, а значит, она лежит и на третьем серединном перпендикуляре.
Мы повторили доказательство важной теоремы.
Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной окружности.
Итак, мы рассмотрели первую замечательную точку треугольника - точку пересечения его серединных перпендикуляров.
Перейдем к свойству произвольного угла (см. Рис. 4).
Задан угол , его биссектриса AL, точка М лежит на биссектрисе.
Рис. 4
Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы и равны, так как AL - биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Справедлива обратная теорема.
Теорема
Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе (см. Рис. 5).
Задан неразвернутый угол , точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое.
Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла.
Рис. 5
Доказательство:
Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.
Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, 
, следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.
Если необходимо вписать в угол окружность, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но их центры лежат на биссектрисе данного угла.
Говорят, что биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
Треугольник состоит из трех углов. Построим биссектрисы двух из них, получим точку О их пересечения (см. Рис. 6).
Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон АВ и ВС, обозначим расстояние за r: . Также точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон АС и ВС: , , отсюда .
Несложно заметить, что точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон третьего угла, а значит, она лежит на
Рис. 6
биссектрисе угла . Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Итак, мы вспомнили доказательство еще одной важной теоремы.
Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной окружности.
Итак, мы рассмотрели вторую замечательную точку треугольника - точку пересечения биссектрис.
Мы рассмотрели биссектрису угла и отметили ее важные свойства: точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, кроме того, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Введем некоторые обозначения (см. Рис. 7).
Обозначим равные отрезки касательных через х, у и z. Сторона ВС, лежащая против вершины А, обозначается как а, аналогично АС как b, АВ как с.
Рис. 7
Задача 1: в треугольнике известны полупериметр и длина стороны а. Найти длину касательной, проведенной из вершины А - АК, обозначенную за х.
Очевидно, что треугольник задан не полностью, и таких треугольников много, но, оказывается, некоторые элементы у них общие.
Для задач, в которых речь идет о вписанной окружности, можно предложить следующую методику решения:
1. Провести биссектрисы и получить центр вписанной окружности.
2. Из центра О провести перпендикуляры к сторонам и получить точки касания.
3. Отметить равные касательные.
4. Выписать связь между сторонами треугольника и касательными.
Сильченков Илья
материалы к уроку, презентация с анимацией
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон и равна половине этой стороны. Так же по теореме средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине это стороны.
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой
Замечательных точки треугольника
Замечательные точки треугольника Точка пересечения медиан (центроид треугольника) ; Точка пересечения биссектрис, центр вписанной окружности; Точка пересечения серединных перпендикуляров; Точка пересечения высот (ортоцентр); Прямая Эйлера и окружность девяти точек; Точки Жергонна и Нагеля; Точка Ферма-Торричелли;
Точка пересечения медиан
Медиана треугольника- отрезок, соединяющий вершину любого угла треугольника с серединой противоположной стороны.
I. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Обозначим буквой О точку пересечения двух медиан АА 1 и В В1 треугольника АВС и проведём среднюю линию А 1 В 1 этого треугольника. 2.Отрезок А 1 В 1 параллелен стороне АВ и 1/2 АВ = А 1 В 1 т. е. АВ = 2А1В1 (по теореме о средней линии треугольника), поэтому 1= 4 и 3= 2 (т.к. они внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и A 1 B 1 и секущей BB 1 для 1, 4 и AA 1 для 3, 2 3.Следовательно, треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 подобны по двум углам, и, значит их стороны пропорциональны, т. е. равны отношения сторон АО и А 1 О, ВО и В 1 О, АВ и А 1 В 1 . Но АВ = 2А 1 В 1 , поэтому АО=2А 1 О и ВО=2В 1 О. Таким образом, точка О пересечения медиан ВВ 1 и АА 1 делит каждую из них в отношении 2:1 , считая от вершины. Теорема доказана. Аналогично можно доказать и про другие две медианы
Центр масс иногда называют центроидом. Именно поэтому говорят, что точка пересечения медиан- центроид треугольника. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поставить на булавку так, чтобы остриё булавки попало точно в центроид треугольника, то пластинка будет находиться в равновесии. Также точка пересечения медиан является центром вписанной окружности его серединного треугольника. Интересное свойство точки пересечения медиан связано с физическим понятием центра масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадёт именно в эту точку.
Точка пересечения биссектрис
Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину одного из углов треугольника с точкой лежащей на противоположной стороне.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от его сторон.
Доказательство:
С А В А 1 В 1 С 1 0 1. Обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС. 3.Воспользуемся тем, что каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон и обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Тогда ОК=OL и ОК=ОМ. А значит ОМ=OL , т. е. точка О равноудалена от сторон треугольника АВС и, значит, лежит на биссектрисе СС1 угла C . 4.Следовательво, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. K L M Теорема доказана. 2.проведём из этой точки перпендикуляры ОК, OL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА.
Точка пересечения серединных перпендикуляров
Серединный перпендикуляр- прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от вершин треугольника.
Доказательство:
В С A m n 1. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров т и п к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. O 2. Воспользовавшись теоремой о том, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка и обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему, получим, что ОВ=ОА и ОВ=ОС. 3. Поэтому ОА=ОС, т. е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. 4. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n и p к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О. Теорема доказана. р
Точка пересечения высот (или их продолжений)
Высота треугольника- перпендикуляр, проведенный из вершины любого угла треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, которая может лежать в треугольнике, а может находиться за его пределами.
Доказательство:
Докажем, что прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке. В A C C2 C1 A1 A2 В 1 В 2 1. Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А 2 В 2 С 2 . 2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ=А 2 С и АВ=СВ 2 как противоположные стороны параллелограммов АВА 2 С и АВСВ 2 , поэтому А 2 С=СВ 2 . Аналогично С 2 А=АВ 2 и С 2 В=ВА 2 . Кроме того, как следует из построения, СС 1 перпендикулярен А 2 В 2 , АА 1 перпендикулярен В 2 С 2 и ВВ 1 перпендикулярен А 2 С 2 (из следствия по теореме параллельных прямых и секущей) . Таким об p азом, прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А 2 В 2 С 2 . Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
Баранова Елена
В данной работе рассмотрены замечательные точки треугольника, их свойства и закономерности такие, как окружность девяти точек и прямая Эйлера. Приведена историческая справка открытия прямой Эйлера и окружности девяти точек. Предложена практическая направленность прменения моего проекта.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
« ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА». (Прикладные и фундаментальные вопросы математики) Баранова Елена 8 кл., МКОУ «СОШ № 20» Пос. Новоизобильный, Духанина Татьяна Васильевна, учитель математики МКОУ «СОШ №20» Посёлок Новоизобильный 2013. Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №20»
Цель: исследование треугольника на его замечательные точки, изучение их классификаций и свойств. Задачи: 1.Изучить необходимую литературу 2. Изучить классификацию замечательных точек треугольника 3.. Познакомиться со свойствами замечательных точек треугольника 4. Уметь строить замечательные точки треугольника. 5. Изучить область применения замечательных точек. Объект исследования - раздел математики - геометрия Предмет исследования - треугольник Актуальность: расширить свои знания о треугольнике, свойствах его замечательных точек. Гипотеза: связь треугольника и природы
Точка пересечения серединных перпендикуляров Она равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности. Окружности, описанные около треугольников, вершинами которых являются середины сторон треугольника и вершины треугольника пересекаются в одной точке, которая совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров.
Точка пересечения биссектрис Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника. ОМ=ОА=ОВ
Точка пересечения высот Точка пересечения биссектрис треугольника, вершинами которого являются основания высот, совпадает с точкой пересечения высот треугольника.
Точка пересечения медиан Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Если точку пересечения медиан соединить с вершинами, то треугольник разобьётся на три треугольника, равных по площади. Важным свойством точки пересечения медиан является тот факт, что сумма векторов, началом которых является точка пересечения медиан, а концами – вершины треугольников, равна нулю М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3
Точка Торричелли Замечание: точка Торричелли существует, если все углы треугольника меньше 120.
Окружность девяти точек В1, А1, С1 – основания высот; А2, В2, С2 – середины соответствующих сторон; А3, В3, С3, - середины отрезков АН, ВН и СН.
Прямая Эйлера Точка пересечения медиан, точка пересечения высот, центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера в честь ученого математика определившего эту закономерность.
Н емного из истории открытия замечательных точек В 1765 году Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. Самым удивительным свойством замечательных точек треугольника является то, с что некоторые из них связаны друг с другом определённым соотношением. Точка пересечения медиан М, точка пересечения высот Н, и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причём точка М делит отрезок ОН так, что справедливо соотношение ОМ: ОН = 1: 2. Эта теорема была доказана Леонардом Эйлером в 1765 году.
Связь геометрии с природой. В этом положении потенциальная энергия имеет наименьшее значение и сумма отрезков МА+МВ+МС будет наименьшей, а сумма векторов, лежащих на этих отрезках с началом в точке Торричелли, будет равна нулю.
Выводы Я узнала, что кроме известных мне замечательных точек пересечения высот, медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров существуют еще замечательные точки и линии треугольника. Полученные знания по данной теме смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применять теоремы к определенным задачам, применять изученные теоремы в реальной ситуации. Считаю, что применение замечательных точек и линий треугольника в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов.
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: