Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.
Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».
Что такое последовательности и где их предел?
Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.
Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:
х 1 , х 2 , х 3 , …х n …
Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.
Как строится числовая последовательность?
Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…
В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:
х 1 — первый член последовательности;
х 2 — второй член последовательности;
х 3 — третий член;
х n — энный член.
В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:
Х n =3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:
Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.
Арифметическая прогрессия как часть последовательностей
Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.
Задача: «Пусть а 1 =15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»
Решение: а 1 = 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).
а 2 = 15+4=19 — второй член прогрессии.
а 3 =19+4=23 — третий член.
а 4 =23+4=27 — четвёртый член.
Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а 125. . Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: а n =a 1 +d(n-1). В данном случае а 125 =15+4(125-1)=511.
Виды последовательностей
Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой а n =(-1) n . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.
1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.
Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: а n = (n+1)!
Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:
а 2 = 1х2х3 = 6;
а 3 = 1х2х3х4 =24 и т. д.
Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1 а 3 = - 1/8 и т. д. Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, а n =6 состоит из бесконечного множества шестёрок. Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции: Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: а x = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом. 5, 9, 13, 17, 21…x … Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так: Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим: А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять. Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий. Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре. Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств? ∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п. ∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел. Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п. Для закрепления материала прочитайте формулу вслух. Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции: Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь: Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев. Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х 1 . Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1. Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х 1 . Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски: Получается следующее выражение: Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя. Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются. Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями. Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно. Теперь зададим некоторую последовательность х n и положим, что десятый член последовательности (x 10) входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке? Допустим, х 10 находится правее от точки а, тогда расстояние х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |x n - a|< ε. С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ. Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства: Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере. Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю. По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности. На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» - числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе. Откуда получается, что n > -3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать. Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания. Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела. Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения. Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью». Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство x n < x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n > x n +1. Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, x n ≤ x n +1 (неубывающая последовательность) и x n ≥ x n +1 (невозрастающая последовательность). Но легче понимать подобное на примерах. Последовательность, заданная формулой х n = 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность. А если взять x n =1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность. Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел. Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один. Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность. Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела. Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного). Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся. Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль). Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся. Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей - также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено! Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции. Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов. Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно. Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем: На самом деле вычислить предел последовательности - не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин. ПРЕДЕ́Л
, -а, м.
1.
Край, конечная часть чего-л. Здесь крайний предел Пермской губернии.
Мамин-Сибиряк, Дружки. Казалось, что нет и не будет предела этим лесам.
Белов, Кануны. || перен.
Конец, окончание, завершение чего-л. [Больной] не думал о своем близком конце, - о том пределе, к которому он несся с головокружительной быстротой.
Гладков, Энергия. Она была для них старым, подходящим к пределу жизни человеком, которому оставалась последняя женская доля - материнская забота.
Лавренев, Старуха. Только катастрофа могла бы поставить предел разладу Никиты с самим собою.
Федин, Братья. 2.
мн. ч.
(преде́лы
, -ов
). Естественная или условная черта, являющаяся границей какой-л. территории; рубеж. На востоке он [Святослав] раздвинул пределы русской земли до тех границ, которые через пятьсот лет пришлось снова очерчивать Ивану Грозному.
А. Н. Толстой, Откуда пошла русская земля. Оказавшись за пределами отчей земли, Шаляпин умер от ностальгии - тоски по родине.
Грибачев, Березка и океан. || чего
или какие.
Местность, пространство, заключенные в какие-л. границы. Ашагинские леса приняли охотников в свои заповедные пределы.
Тихонов, Двойная радуга. Этой ночью весеннею белой Соловьи славословьем грохочущим Оглашают лесные пределы.
Пастернак, Белая ночь. Постепенно камерная музыка вышла за пределы особняков богатых и знатных людей и стала исполняться в концертных залах, где мы слушаем ее и в наши дни.
Кабалевский, Про трех китов и про многое другое. || Трад.-поэт.
Край, страна. А князь тем ядом напитал Свои послушливые стрелы И с ними гибель разослал К соседям в чуждые пределы.
Пушкин, Анчар. Я помню, как солнце горело, на зимний взойдя небосвод, когда из далеких пределов в Москву прилетел самолет.
Смеляков, Памяти Димитрова. || Промежуток времени, ограниченный какими-л. сроками (обычно в сочетании в пределах
). Говорят, что в Оренбург ездят по чугунке, и, может быть, я поеду, но все в пределах 14 дней.
Л. Толстой, Письмо С. А. Толстой, 4 сент. 1876. 3.
обычно мн. ч.
(преде́лы
, -ов
) перен.
Мера, граница чего-л.; рамки. В пределах приличия.
□ Наконец, всякому терпению
365
есть же пределы.
Писарев, Посмертные стихотворения Гейне. - Пока что я не выхожу за пределы предоставленных мне законом прав командующего флотом.
Степанов, Порт-Артур. Познания о прошлом своего отечества у Федора Андреевича были весьма скромны, в основном, в пределах «краткого курса».
Е. Носов, Не имей десять рублей. || Высшая степень чего-л. Предел мечтаний.
□ Силы людей, физические и моральные, были доведены до предела изнеможения.
В. Кожевников, Парашютист. Страна моя, прекрасен твой порыв Во всем достичь последнего предела!
Винокуров, «Интернационал». 4.
Мат.
Постоянная величина, к которой приближается переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определенном изменении последней. Предел числовой последовательности.
Источник (печатная версия):
Словарь русского языка: В 4-х
т. / РАН,
Ин-т лингвистич.
исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. - 4-е изд., стер. - М.: Рус. яз.;
Полиграфресурсы,
1999;
(электронная версия):
Основных элементарных функций разобрались. При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями
. Перечислим все основные виды неопределенностей
: ноль делить на ноль (0 на 0
), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль . ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Раскрывать неопределенности
позволяет: Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей
. Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела). Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов. Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают. Пример.
Вычислить предел Решение.
Подставляем значение: И сразу получили ответ.
Ответ:
Пример.
Вычислить предел Решение.
Подставляем значение х=0
в основание нашей показательно степенной функции: То есть, предел можно переписать в виде Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция . Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем Исходя из этого, наш предел запишется в виде: Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем: Ответ:
Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений
. Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей. Пример.
Вычислить предел
Решение.
Подставляем значение: Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение. Ответ:
Пример.
Вычислить предел Решение.
Подставляем значение: Пришли к неопределенности (0 на 0
). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.
Для знаменателя сопряженным выражением будет Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение. После ряда преобразований неопределенность исчезла.
Ответ:
ЗАМЕЧАНИЕ:
для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь. Пример.
Вычислить предел Решение.
Подставляем значение: Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1
, то если эти выражения, можно будет сократить (х-1)
и неопределенность исчезнет.
Разложим числитель на множители: Разложим знаменатель на множители: Наш предел примет вид: После преобразования неопределенность раскрылась.
Ответ:
Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать. Пример.
Пример.
Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения (m
– степень числителя, а n
– степень знаменателя), то при возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность , в этом случае неопределенность раскрывается
делением и числитель и знаменатель на Пример.
Вычислить предел Тема 4.6.Вычисление пределов
Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение. 1. Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, т.к. предел элементарной функции f (x) при х стремящемся к
а
, которое входит в область определения, равен частному значению функции при х=а
, т.е. lim f(x)=f(a
) . 2. Если х стремится к бесконечности
или аргумент стремится к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования. Ниже приведены простейшие пределы, основанные на свойствах пределов, которые можно использовать как формулы: Более сложные случаи нахождения предела функции: рассматриваются каждый в отдельности. В этом разделе будут приведены основные способы раскрытия неопределенностей. 1. Случай, когда при х стремящемся к
а
функция f (x) представляет отношение двух бесконечно малых величин а) Сначала нужно убедится, что предел функции нельзя найти непосредственной подстановкой и при указанном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин. Делаются преобразования, чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к 0. Согласно определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда с ним не совпадая. Вообще если ищется предел функции при х стремящемся к
а
, то необходимо помнить, что х не принимает значения а
, т.е. х не равен а. б) Применяется теорема Безу. Если ищется предел дроби, числитель и знаменатель которой многочлены, обращающиеся в 0 в предельной точке х=а
, то согласно вышеназванной теореме оба многочлена делятся без остатка на х-а
. в) Уничтожается иррациональность в числителе или в знаменателе путем умножения числителя или знаменателя на сопряженное к иррациональному выражение, затем после упрощения дробь сокращается. г) Используется 1-й замечательный предел (4.1). д) Используется теорема об эквивалентности бесконечно малых и следующие б.м.: 2. Случай, когда при х стремящемся к
а
функция f (x) представляет отношение двух бесконечно больших величин а) Деление числителя и знаменателя дроби на наивысшую степень неизвестного. б) В общем случае можно использовать правило 3. Случай, когда при х стремящемся к
а
функция f (x) представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую Дробь преобразовывается к виду, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к 0 или к бесконечности, т.е. случай 3 сводится к случаю 1 или случаю 2. 4. Случай, когда при х стремящемся к
а
функция f (x) представляет разность двух положительных бесконечно больших величин Этот случай сводится к виду 1 или 2 одним из следующих способов: а) приведение дробей к общему знаменателю; б) преобразование функции к виду дроби; в) избавление от иррациональности. 5. Случай, когда при х стремящемся к
а
функция f (x) представляет степень, основание которой стремится к 1, а показатель к бесконечности. Функция преобразовывается таким образом, чтобы использовать 2-й замечательный предел (4.2). Пример.
Найти Так как х стремится к 3
, то числитель дроби стремится к числу 3 2 +3 *3+4=22, а знаменатель- к числу 3+8=11. Следовательно, Пример
Здесь числитель и знаменатель дроби при х стремящемся к 2
стремятся к 0 (неопределенность вида), разложим числитель и знаменатель на множители, получим lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5) Пример
Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, имеем Раскрываем скобки в числителе, получим Пример
Уровень 2.
Пример. Приведем пример применения понятия предела функции в экономических расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг суммы S
0 с условием, что через период времени T
будет возвращена сумма S T
. Определим величину r
относительного роста
формулой r=(S T -S 0)/S 0 (1) Относительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение r
на 100. Из формулы (1) легко определить величину S T
: S T
= S
0 (1 + r
) При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет, используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за 1-й год сумма S
0 возрастает в (1 + r
) раз, то за второй год в (1 + r
) раз возрастает сумма S
1 = S
0 (1 + r
), то есть S
2 = S
0 (1 + r
) 2 . Аналогично получается S
3 = S
0 (1 + r
) 3 . Из приведенных примеров можно вывести общую формулу для вычисления роста суммы за n
лет при расчете по схеме сложных процентов: S n
= S
0 (1 + r
) n
. В финансовых расчетах применяются схемы, где начисление сложных процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются годовая ставка
r
и количество начислений за год
k
. Как правило, начисления производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого промежутка T k
составляет часть года. Тогда для срока в T
лет (здесь T
не обязательно является целым числом) сумма S T
рассчитывается по формуле где - целая часть числа, которая совпадает с самим числом, если, например, T
? целое число. Пусть годовая ставка равна r
и производится n
начислений в год через равные промежутки времени. Тогда за год сумма S
0 наращивается до величины, определяемой формулой В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k
и n
(то есть устремить k
и n
к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции S T
и S
1 . Применим эту процедуру к формуле(3): Заметим, что предел в фигурных скобках совпадает со вторым замечательным пределом. Отсюда следует, что при годовой ставке r
при непрерывно начисляемом проценте сумма S
0 за 1 год наращивается до величины S
1 * , которая определяется из формулы S
1 * = S
0 e r
(4) Пусть теперь сумма S
0 предоставляется в долг с начислением процента n
раз в год через равные промежутки времени. Обозначим r e
годовую ставку, при которой в конце года сумма S
0 наращивается до величины S
1 * из формулы (4). В этом случае будем говорить, что r e
- это годовая ставка при начислении процента n
раз в год, эквивалентная годовому проценту r
при непрерывном начислении.
Из формулы (3) получаем S* 1 =S 0 (1+r e /n) n Приравнивая правые части последней формулы и формулы (4), полагая в последней T
= 1, можно вывести соотношения между величинами r
и r e
: Эти формулы широко используются в финансовых расчётах. Функцией
y = f(x)
называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x
множества X
ставится в соответствие один и только один элемент y
множества Y
.
Элемент x ∈
X
называют аргументом функции
или независимой переменной
. Множество X
называется областью определения функции
. Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу)
, если существует такое число M
,
что для всех выполняется неравенство: Верхней гранью
или точной верхней границей
действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого превосходит s′
:
.
Соответственно нижней гранью
или точной нижней границей
действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого меньше чем i′
:
.
Пусть функция определена в некоторой окрестности конечной точки за исключением, может быть, самой точки .
в точке ,
если для любого существует такое ,
зависящее от ,
что для всех x
,
для которых ,
выполняется неравенство С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом: Односторонние пределы. Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках. Если ввести понятие проколотой окрестности точки ,
то можно дать единое определение конечного предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках: Определение
С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так: Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
Используя понятие окрестности точки, можно дать универсальное определение конечного и бесконечно предела функции, применимое как для конечных (двусторонних и односторонних), так и для бесконечно удаленных точек: Пусть функция определена на некотором множестве X
:
.
Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности: Если в качестве множества X
взять левостороннюю окрестность точки x 0
,
то получим определение левого предела. Если правостороннюю - то получим определение правого предела. Если в качестве множества X
взять окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела функции на бесконечности. Теорема
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки ,
которая является конечным числом или одним из символов: .
Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или .
Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего. Если значения функции f(x)
изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1
, x 2
, x 3
, ... x n
,
то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0
.
Если существует конечный предел ,
то существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функция f(x)
ограничена: Пусть функция имеет в точке x 0
конечный предел, отличный от нуля: Если, на некоторой проколотой окрестности точки ,
- постоянная, то .
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
Если ,
и на некоторой окрестности точки Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0
:
Доказательства основных свойств приведены на странице Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки .
И пусть существуют конечные пределы: Если ,
то .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице Теорема
Теорема о пределе сложной функции
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного .
Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки ,
на которой множество значений функции не содержит точку :
Если функция непрерывна в точке ,
то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции: Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Доказательства теорем приведены на странице Определение
Сумма, разность и произведение
конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной
на некоторой проколотой окрестности точки ,
на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы Определение
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки ,
и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при ,
а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки ,
то Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
удовлетворяет неравенству: Доказательства свойств изложены в разделе Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Если функция являются бесконечно большой при ,
то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при ,
и ,
то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом: Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то этот факт можно выразить так: Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями: Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице Определение
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей. Функция называется монотонной
, если она неубывающая или невозрастающая. Теорема
Если точки a
и b
являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы в точках a
и b
:
Аналогичная теорема для невозрастающей функции. Пусть функция не возрастает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы: Доказательство теоремы изложено на странице Использованная литература:Определение предела последовательности
Общее обозначение предела последовательностей
Неопределённость и определённость предела
Что такое окрестность?
Теоремы
Доказательство последовательностей
А может, его нет?
Монотонная последовательность
Предел сходящейся и ограниченной последовательности
Предел монотонной последовательности
Различные действия с пределами
Свойства величин последовательностей
и 
, следовательно, можно записать 
.
.
(2)
(3)
Элемент y ∈
Y
называют значением функции
или зависимой переменной
.
Множество элементов y ∈
Y
,
которые имеют прообразы в множестве X
,
называется областью или множеством значений функции
.
.
Числовая функция называется ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех :
.
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Определение предела функции
Определение предела функции по Коши
Конечные пределы функции в конечных точках
.
Предел функции обозначается так:
.
Или при .
.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;
.
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
.
.
.
Их часто обозначают так:
;
;
.
Использование понятия окрестности точки
.
Здесь для конечных точек
;
;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
;
;
.
Бесконечные пределы функции
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Предел функции f(x)
при x → x 0
равен бесконечности
, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0
,
существует такое число δ M > 0
,
зависящее от M
,
что для всех x
,
принадлежащих проколотой δ M
- окрестности точки :
,
выполняется неравенство:
.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или при .
.
.
.
Универсальное определение предела функции
.
Определение предела функции по Гейне
Число a
называется пределом функции
в точке :
,
если для любой последовательности ,
сходящейся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат множеству X
:
,
.
.
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
ДоказательствоСвойства и теоремы предела функции
Основные свойства
.
.
Тогда, для любого числа c
из интервала ,
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для ,
,
если ;
,
если .
,
то .
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если ,
то и ;
если ,
то и .
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
,
то
.
«Основные свойства пределов функции ».Арифметические свойства предела функции
и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,
если .
«Арифметические свойства пределов функции ».Критерий Коши существования предела функции
Для того, чтобы функция ,
определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0
,
имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0
существовала такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
Предел сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .
Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: .
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
.
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Пусть существует предел функции g(t)
при t → t 0
,
и он равен x 0
:
.
Здесь точка t 0
может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(x)
непрерывна в точке x 0
.
Тогда существует предел сложной функции f(g(t))
,
и он равен f(x 0)
:
.
«Предел и непрерывность сложной функции ».Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Функция называется бесконечно малой при ,
если
.
,
где - бесконечно малая функция при .
«Свойства бесконечно малых функций ».Бесконечно большие функции
Функция называется бесконечно большой при ,
если
.
.
,
а функция является бесконечно малой при :
,
и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
«Свойства бесконечно больших функций ».Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
,
.
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
.
,
,
,
.
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».Пределы монотонных функций
Функция ,
определенная на некотором множестве действительных чисел X
называется строго возрастающей
, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей
функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей
:
.
Для невозрастающей
:
.
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Если она ограничена сверху числом M
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена снизу, то .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
;
.
;
.
«Пределы монотонных функций ».
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.