¡A petición suya!
13. Resuelve la ecuación 3-4cos 2 x=0. Encuentra la suma de sus raíces pertenecientes al intervalo.
Reduzcamos el grado del coseno usando la fórmula: 1+cos2α=2cos 2 α. Obtenemos una ecuación equivalente:
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Dividimos ambos lados de la igualdad entre (-2) y obtenemos la ecuación trigonométrica más simple:
14. Encuentre b 5 de la progresión geométrica si b 4 =25 y b 6 =16.
Cada término de la progresión geométrica, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de sus términos vecinos:
(b norte) 2 =b norte-1 ∙b norte+1 . Tenemos (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20.
15. Encuentra la derivada de la función: f(x)=tgx-ctgx.
16. Encuentra los valores mayor y menor de la función y(x)=x 2 -12x+27
en el segmento.
Para encontrar los valores mayor y menor de una función y=f(x) en el segmento, debe encontrar los valores de esta función en los extremos del segmento y en los puntos críticos que pertenecen a este segmento, y luego seleccionar el mayor y el menor de todos los valores obtenidos.
Encontremos los valores de la función en x=3 y en x=7, es decir en los extremos del segmento.
y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
Encuentra la derivada de esta función: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); el punto crítico x=6 pertenece a este intervalo. Encontremos el valor de la función en x=6.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. Ahora elegimos entre los tres valores obtenidos: 0; -8 y -9 mayor y menor: como máximo. =0; en el nombre =-9.
17. Encuentra la forma general de antiderivadas de la función:
Este intervalo es el dominio de definición de esta función. Las respuestas deben comenzar con F(x), y no con f(x); después de todo, estamos buscando una antiderivada. Por definición, la función F(x) es una antiderivada de la función f(x) si se cumple la igualdad: F’(x)=f(x). Entonces puedes simplemente encontrar derivadas de las respuestas propuestas hasta que obtengas la función dada. Una solución rigurosa es el cálculo de la integral de una función determinada. Aplicamos las fórmulas:
19. Escribe una ecuación para la recta que contiene la mediana BD del triángulo ABC si sus vértices son A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).
Para compilar la ecuación de una recta, necesitas conocer las coordenadas de 2 puntos de esta recta, pero solo conocemos las coordenadas del punto B. Dado que la mediana BD divide el lado opuesto por la mitad, el punto D es el punto medio del segmento C.A. Las coordenadas de la mitad de un segmento son las semisumas de las coordenadas correspondientes de los extremos del segmento. Encontremos las coordenadas del punto D.
20. Calcular:
24. El área de un triángulo regular que se encuentra en la base de un prisma rectángulo es igual a
Este problema es el inverso del problema No. 24 de la opción 0021.
25. Encuentra el patrón e inserta el número que falta: 1; 4; 9; 16; ...
obviamente este numero 25 , ya que nos dan una secuencia de cuadrados de números naturales:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
¡Buena suerte y éxito a todos!
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Para resolver con éxito ecuaciones trigonométricas conveniente de usar método de reducción a problemas previamente resueltos. Averigüemos cuál es la esencia de este método.
En cualquier problema propuesto, es necesario ver un problema previamente resuelto y luego, utilizando sucesivas transformaciones equivalentes, intentar reducir el problema que se le ha presentado a uno más simple.
Por lo tanto, al resolver ecuaciones trigonométricas, generalmente se crea una determinada secuencia finita de ecuaciones equivalentes, cuyo último eslabón es una ecuación con una solución obvia. Sólo es importante recordar que si no se desarrollan las habilidades para resolver las ecuaciones trigonométricas más simples, resolver ecuaciones más complejas será difícil e ineficaz.
Además, a la hora de resolver ecuaciones trigonométricas, nunca debes olvidar que existen varios métodos de solución posibles.
Ejemplo 1. Encuentra el número de raíces de la ecuación cos x = -1/2 en el intervalo.
Solución:
Método I Tracemos las funciones y = cos x e y = -1/2 y encontremos el número de sus puntos comunes en el intervalo (Fig. 1).
Dado que las gráficas de funciones tienen dos puntos comunes en el intervalo, la ecuación contiene dos raíces en este intervalo.
Método II. Utilizando un círculo trigonométrico (Fig. 2), encontramos el número de puntos que pertenecen al intervalo en el que cos x = -1/2. La figura muestra que la ecuación tiene dos raíces. 
Método III. Usando la fórmula de las raíces de la ecuación trigonométrica, resolvemos la ecuación cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – entero (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – entero (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – entero (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – entero (k € Z).
El intervalo contiene las raíces 2π/3 y -2π/3 + 2π, k es un número entero. Por tanto, la ecuación tiene dos raíces en un intervalo dado.
Respuesta: 2.
En el futuro, las ecuaciones trigonométricas se resolverán utilizando uno de los métodos propuestos, lo que en muchos casos no excluye el uso de otros métodos.
Ejemplo 2. Encuentre el número de soluciones de la ecuación tg (x + π/4) = 1 en el intervalo [-2π; 2π].
Solución:
Usando la fórmula para las raíces de una ecuación trigonométrica, obtenemos:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k – entero (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – entero (k € Z);
x = πk, k – entero (k€Z);
El intervalo [-2π; 2π] pertenecen a los números -2π; -π; 0; π; 2π. Entonces, la ecuación tiene cinco raíces en un intervalo dado.
Respuesta: 5.
Ejemplo 3. Encuentre el número de raíces de la ecuación cos 2 x + sin x · cos x = 1 en el intervalo [-π; π].
Solución:
Dado que 1 = sen 2 x + cos 2 x (la identidad trigonométrica básica), la ecuación original toma la forma:
porque 2 x + pecado x · porque x = pecado 2 x + porque 2 x;
pecado 2 x – pecado x porque x = 0;
sen x(sin x – cos x) = 0. El producto es igual a cero, lo que significa que al menos uno de los factores debe ser igual a cero, por lo tanto:
sen x = 0 o sen x – cos x = 0.
Dado que los valores de la variable en la que cos x = 0 no son las raíces de la segunda ecuación (el seno y el coseno del mismo número no pueden ser iguales a cero al mismo tiempo), dividimos ambos lados de la segunda ecuación por cos x:
sen x = 0 o sen x / cos x - 1 = 0.
En la segunda ecuación usamos el hecho de que tg x = sen x / cos x, entonces:
sin x = 0 o tan x = 1. Usando fórmulas tenemos:
x = πk o x = π/4 + πk, k – entero (k € Z).
Desde la primera serie de raíces hasta el intervalo [-π; π] pertenecen a los números -π; 0; π. De la segunda serie: (π/4 – π) y π/4.
Así, las cinco raíces de la ecuación original pertenecen al intervalo [-π; π].
Respuesta: 5.
Ejemplo 4. Encuentre la suma de las raíces de la ecuación tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 en el intervalo [-π; 1,1π].
Solución:
Reescribamos la ecuación de la siguiente manera:
tg 2 x + ñtg 2 x + 3(tg x + ñtgx) + 4 = 0 y haz un reemplazo.
Sea tg x + ñtgx = a. Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
(tg x + ñtg x) 2 = a 2. Ampliemos los corchetes:
tg 2 x + 2tg x · ñtgx + ñtg 2 x = a 2.
Dado que tg x · ñtgx = 1, entonces tg 2 x + 2 + ñtg 2 x = a 2, lo que significa
tg 2 x + ñtg 2 x = a 2 – 2.
Ahora la ecuación original queda así:
un 2 – 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Usando el teorema de Vieta, encontramos que a = -1 o a = -2.
Hagamos la sustitución inversa, tenemos:
tg x + ñtgx = -1 o tg x + ñtgx = -2. Resolvamos las ecuaciones resultantes.
tg x + 1/tgx = -1 o tg x + 1/tgx = -2.
Por la propiedad de dos números mutuamente inversos determinamos que la primera ecuación no tiene raíces, y de la segunda ecuación tenemos:
tg x = -1, es decir x = -π/4 + πk, k – entero (k € Z).
El intervalo [-π; 1,1π] pertenecen a las raíces: -π/4; -π/4 + π. Su suma:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Respuesta: π/2.
Ejemplo 5. Encuentre la media aritmética de las raíces de la ecuación sin 3x + sin x = sin 2x en el intervalo [-π; 0,5π].
Solución:
Usemos la fórmula sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), entonces
sen 3x + sen x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x y la ecuación queda
2sen 2x porque x = pecado 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Saquemos el factor común sen 2x de entre paréntesis
sen 2x(2cos x – 1) = 0. Resuelve la ecuación resultante:
sen 2x = 0 o 2cos x – 1 = 0; 
sen 2x = 0 o cos x = 1/2;
2x = πk o x = ±π/3 + 2πk, k – entero (k € Z).
Así tenemos raíces
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – entero (k € Z).
El intervalo [-π; 0,5π] pertenecen a las raíces -π; -π/2; 0; π/2 (de la primera serie de raíces); π/3 (de la segunda serie); -π/3 (de la tercera serie). Su media aritmética es:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
Respuesta: -π/6.
Ejemplo 6. Encuentre el número de raíces de la ecuación sin x + cos x = 0 en el intervalo [-1,25π; 2π].
Solución:
Esta ecuación es una ecuación homogénea de primer grado. Dividamos ambas partes por cosx (los valores de la variable en la que cos x = 0 no son raíces de esta ecuación, ya que el seno y el coseno de un mismo número no pueden ser iguales a cero al mismo tiempo). La ecuación original es:
x = -π/4 + πk, k – entero (k € Z).
El intervalo [-1,25π; 2π] pertenecen a las raíces -π/4; (-π/4 + π); y (-π/4 + 2π).
Por tanto, el intervalo dado contiene tres raíces de la ecuación.
Respuesta: 3.
Aprenda a hacer lo más importante: imagine claramente un plan para resolver un problema y entonces cualquier ecuación trigonométrica estará a su alcance.
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a) Resuelve la ecuación: .
b) Encuentra las raíces de esta ecuación pertenecientes al intervalo.
solución del problema
Esta lección muestra un ejemplo de resolución de una ecuación trigonométrica, que se puede utilizar con éxito en la preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. En particular, a la hora de resolver problemas del tipo C1, esta solución será relevante.
Durante la solución, la función trigonométrica del lado izquierdo de la ecuación se transforma usando la fórmula del seno de doble argumento. La función coseno del lado derecho también se escribe como función seno con su argumento simplificado a. En este caso, el signo delante de la función trigonométrica resultante cambia al contrario. A continuación, todos los términos de la ecuación se transfieren a su lado izquierdo, donde se quita el factor común entre paréntesis. Como resultado, la ecuación resultante se representa como producto de dos factores. Cada factor es igual a cero a su vez, lo que nos permite determinar las raíces de la ecuación. Luego se determinan las raíces de la ecuación que pertenecen al intervalo dado. Usando el método de giros, se marca un giro en el círculo unitario construido desde el borde izquierdo de un segmento dado hacia la derecha. Las raíces encontradas en el círculo unitario se conectan mediante segmentos a su centro y luego se determinan los puntos en los que estos segmentos cruzan el giro. Estos puntos de intersección son la respuesta a la parte "b" del problema.