Cómo comparar fracciones con un denominador común. Comparar fracciones: reglas, ejemplos, soluciones.

En esta lección aprenderemos a comparar fracciones entre sí. Esta es una habilidad muy útil y necesaria para resolver toda una clase de problemas más complejos.

Primero, déjame recordarte la definición de igualdad de fracciones:

Se dice que las fracciones a /b y c /d son iguales si ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, ya que 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, ya que 3 18 = 2 27 = 54.

En todos los demás casos, las fracciones son desiguales y una de las siguientes afirmaciones es cierta para ellas:

1. La fracción a/b es mayor que la fracción c/d;
2. La fracción a/b es menor que la fracción c/d.

Se dice que la fracción a /b es mayor que la fracción c /d si a /b − c /d > 0.

Se dice que una fracción x /y es menor que una fracción s /t si x /y − s /t< 0.

Designación:

Por tanto, comparar fracciones se reduce a restarlas. Pregunta: cómo no confundirse con las notaciones “más que” (>) y “menos que” (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. La parte ensanchada de la grajilla siempre apunta hacia el número mayor;
2. La nariz afilada de una grajilla siempre apunta a un número más bajo.

A menudo, en problemas en los que es necesario comparar números, se coloca un signo “∨” entre ellos. Se trata de una grajilla con el hocico gacha, lo que parece insinuar que aún no se ha determinado el número mayor.

Tarea. Compara números:

Siguiendo la definición, resta las fracciones entre sí:

En cada comparación, se nos pidió que redujéramos fracciones a un denominador común. En concreto, utilizando el método entrecruzado y encontrando el mínimo común múltiplo. Deliberadamente no me centré en estos puntos, pero si algo no está claro, eche un vistazo a la lección "Suma y resta de fracciones": es muy fácil.

Comparación de decimales

En el caso de las fracciones decimales todo es mucho más sencillo. No es necesario restar nada aquí, simplemente compara los dígitos. Es una buena idea recordar cuál es la parte significativa de un número. Para aquellos que lo hayan olvidado, les sugiero que repitan la lección "Multiplicación y división de decimales"; esto también les llevará solo un par de minutos.

Un decimal positivo X es mayor que un decimal positivo Y si contiene un decimal tal que:

1. El dígito en este lugar en la fracción X es mayor que el dígito correspondiente en la fracción Y;
2. Todos los dígitos superiores a este para las fracciones X e Y son iguales.

1. 12.25 > 12.16. Los dos primeros dígitos son iguales (12 = 12) y el tercero es mayor (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Es decir, repasamos las cifras decimales una a una y buscamos la diferencia. En este caso, un número mayor corresponde a una fracción mayor.

Sin embargo, esta definición requiere una aclaración. Por ejemplo, ¿cómo escribir y comparar decimales? Recuerde: a cualquier número escrito en forma decimal se le pueden agregar cualquier número de ceros a la izquierda. Aquí hay un par de ejemplos más:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300,5 > 0,0025, porque 0,0025 = 0000,0025: se agregaron tres ceros a la izquierda. Ahora puedes ver que la diferencia comienza en el primer dígito: 2 > 0.

Por supuesto, en los ejemplos dados con ceros hubo una exageración obvia, pero el punto es exactamente este: complete los bits que faltan a la izquierda y luego compare.

Tarea. Compara fracciones:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Por definición tenemos:

1. 0,029 > 0,007. Los dos primeros dígitos coinciden (00 = 00), luego comienza la diferencia (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Aquí debes contar cuidadosamente los ceros. Los primeros 5 dígitos en ambas fracciones son cero, pero en la primera fracción hay 3 y en la segunda, 0. Obviamente, 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Reescribamos la segunda fracción como 0000.99501, agregando 3 ceros a la izquierda. Ahora todo es obvio: 1 > 0: la diferencia se detecta en el primer dígito.

Desafortunadamente, el esquema dado para comparar fracciones decimales no es universal. Este método sólo puede comparar numeros positivos. En el caso general, el algoritmo operativo es el siguiente:

1. Una fracción positiva siempre es mayor que una fracción negativa;
2. Se comparan dos fracciones positivas utilizando el algoritmo anterior;
3. Se comparan dos fracciones negativas de la misma forma, pero al final se invierte el signo de desigualdad.

Bueno, ¿no está mal? Ahora veamos ejemplos específicos y todo quedará claro.

Tarea. Compara fracciones:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0,192 > −0,39. Las fracciones son negativas, el segundo dígito es diferente. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. Un número positivo siempre es mayor que un número negativo;
4. 19,032 > 0,091. Basta reescribir la segunda fracción en la forma 00.091 para ver que la diferencia surge ya en el 1er dígito;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. La diferencia está en la primera categoría.

En la vida cotidiana, a menudo tenemos que comparar cantidades fraccionarias. La mayoría de las veces esto no causa ninguna dificultad. De hecho, todo el mundo entiende que media manzana es más grande que una cuarta parte. Pero cuando se trata de escribirlo como una expresión matemática, puede resultar confuso. Aplicando las siguientes reglas matemáticas, podrás resolver fácilmente este problema.

Cómo comparar fracciones con el mismo denominador

Estas fracciones son las más convenientes de comparar. En este caso, utilice la regla:

De dos fracciones con el mismo denominador pero diferente numerador, la mayor es aquella cuyo numerador es mayor, y la menor es aquella cuyo numerador es menor.

Por ejemplo, compara las fracciones 3/8 y 5/8. Los denominadores en este ejemplo son iguales, por eso aplicamos esta regla. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

De hecho, si cortas dos pizzas en 8 porciones, entonces 3/8 de una porción siempre es menos que 5/8.

Comparar fracciones con numeradores iguales y denominadores diferentes

En este caso, se comparan los tamaños de las acciones denominadoras. La regla a aplicar es:

Si dos fracciones tienen numeradores iguales, entonces la fracción cuyo denominador es menor es mayor.

Por ejemplo, compara las fracciones 3/4 y 3/8. En este ejemplo, los numeradores son iguales, lo que significa que usamos la segunda regla. La fracción 3/4 tiene un denominador menor que la fracción 3/8. Por lo tanto 3/4>3/8

De hecho, si comes 3 porciones de pizza divididas en 4 partes, estarás más lleno que si comieras 3 porciones de pizza divididas en 8 partes.

Comparar fracciones con diferentes numeradores y denominadores

Aplicamos la tercera regla:

Comparar fracciones con diferentes denominadores debería llevar a comparar fracciones con los mismos denominadores. Para hacer esto, debes reducir las fracciones a un denominador común y usar la primera regla.

Por ejemplo, necesitas comparar fracciones y . Para determinar la fracción mayor, reducimos estas dos fracciones a un denominador común:

• Ahora encontremos el segundo factor adicional: 6:3=2. Lo escribimos encima de la segunda fracción:

Dos fracciones desiguales se comparan adicionalmente para descubrir cuál es más grande y cuál es más pequeña. Para comparar dos fracciones, existe una regla para comparar fracciones, que formularemos a continuación, y también veremos ejemplos de la aplicación de esta regla al comparar fracciones con denominadores similares y diferentes. En conclusión, mostraremos cómo comparar fracciones con los mismos numeradores sin reducirlas a un denominador común, y también veremos cómo comparar una fracción común con un número natural.

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Comparar fracciones con el mismo denominador

Comparar fracciones con el mismo denominador es esencialmente una comparación del número de acciones idénticas. Por ejemplo, la fracción común 3/7 determina 3 partes 1/7, y la fracción 8/7 corresponde a 8 partes 1/7, por lo que comparar fracciones con los mismos denominadores 3/7 y 8/7 se reduce a comparar números. 3 y 8, es decir, para comparar numeradores.

De estas consideraciones se deduce regla para comparar fracciones con denominadores iguales: de dos fracciones con el mismo denominador, mayor es la fracción cuyo numerador es mayor, y menor es la fracción cuyo numerador es menor.

La regla establecida explica cómo comparar fracciones con los mismos denominadores. Veamos un ejemplo de cómo aplicar la regla para comparar fracciones con denominadores similares.

Ejemplo.

¿Qué fracción es mayor: 65/126 o 87/126?

Solución.

Los denominadores de las fracciones ordinarias comparadas son iguales y el numerador 87 de la fracción 87/126 es mayor que el numerador 65 de la fracción 65/126 (si es necesario, consulte la comparación de números naturales). Por tanto, según la regla para comparar fracciones con el mismo denominador, la fracción 87/126 es mayor que la fracción 65/126.

Respuesta:

Comparar fracciones con diferentes denominadores

Comparar fracciones con diferentes denominadores se puede reducir a comparar fracciones con el mismo denominador. Para hacer esto, solo necesitas llevar las fracciones ordinarias comparadas a un denominador común.

Entonces, para comparar dos fracciones con diferentes denominadores, necesitas

• reducir fracciones a un denominador común;
• Compara las fracciones resultantes con los mismos denominadores.

Veamos la solución al ejemplo.

Ejemplo.

Compara la fracción 5/12 con la fracción 9/16.

Solución.

Primero, llevemos estas fracciones con diferentes denominadores a un denominador común (consulte la regla y ejemplos de cómo llevar fracciones a un denominador común). Como denominador común, tomamos el mínimo común denominador igual a MCM(12, 16)=48. Entonces el factor adicional de la fracción 5/12 será el número 48:12=4, y el factor adicional de la fracción 9/16 será el número 48:16=3. obtenemos Y .

Comparando las fracciones resultantes, tenemos. Por tanto, la fracción 5/12 es menor que la fracción 9/16. Esto completa la comparación de fracciones con diferentes denominadores.

Respuesta:

Busquemos otra forma de comparar fracciones con diferentes denominadores, que te permitirá comparar fracciones sin reducirlas a un denominador común y todas las dificultades asociadas con este proceso.

Para comparar fracciones a/b y c/d, se pueden reducir a un denominador común b·d, igual al producto de los denominadores de las fracciones que se comparan. En este caso, los factores adicionales de las fracciones a/b y c/d son los números d y b, respectivamente, y las fracciones originales se reducen a fracciones con un denominador común b·d. Recordando la regla para comparar fracciones con el mismo denominador, concluimos que la comparación de las fracciones originales a/b y c/d se ha reducido a una comparación de los productos a·d y c·b.

Esto implica lo siguiente regla para comparar fracciones con diferentes denominadores: si a d>b c , entonces , y si a d

Veamos cómo comparar fracciones con diferentes denominadores de esta manera.

Ejemplo.

Compara las fracciones comunes 5/18 y 23/86.

Solución.

En este ejemplo, a=5, b=18, c=23 y d=86. Calculemos los productos a·d y b·c. Tenemos a·d=5·86=430 y b·c=18·23=414. Como 430>414, entonces la fracción 5/18 es mayor que la fracción 23/86.

Respuesta:

Comparar fracciones con los mismos numeradores

Ciertamente, las fracciones con los mismos numeradores y diferentes denominadores se pueden comparar utilizando las reglas analizadas en el párrafo anterior. Sin embargo, el resultado de comparar dichas fracciones se puede obtener fácilmente comparando los denominadores de estas fracciones.

existe tal cosa regla para comparar fracciones con los mismos numeradores: de dos fracciones con los mismos numeradores, la que tiene menor denominador es mayor, y la fracción con mayor denominador es menor.

Veamos la solución de ejemplo.

Ejemplo.

Compara las fracciones 54/19 y 54/31.

Solución.

Dado que los numeradores de las fracciones comparadas son iguales y el denominador 19 de la fracción 54/19 es menor que el denominador 31 de la fracción 54/31, entonces 54/19 es mayor que 54/31.

Este artículo analiza la comparación de fracciones. Aquí descubriremos qué fracción es mayor o menor, aplicaremos la regla y veremos ejemplos de soluciones. Comparemos fracciones con denominadores iguales y diferentes. Comparemos una fracción ordinaria con un número natural.

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Comparar fracciones con el mismo denominador

Al comparar fracciones con los mismos denominadores, trabajamos solo con el numerador, lo que significa que comparamos las fracciones del número. Si hay una fracción 3 7, entonces tiene 3 partes 1 7, entonces la fracción 8 7 tiene 8 de esas partes. Es decir, si el denominador es igual, se comparan los numeradores de estas fracciones, es decir, se comparan 3 7 y 8 7 con los números 3 y 8.

Esto sigue la regla para comparar fracciones con los mismos denominadores: de las fracciones existentes con los mismos exponentes, la fracción con el numerador mayor se considera mayor y viceversa.

Esto sugiere que debes prestar atención a los numeradores. Para hacer esto, veamos un ejemplo.

Ejemplo 1

Compara las fracciones dadas 65 126 y 87 126.

Solución

Como los denominadores de las fracciones son iguales, pasamos a los numeradores. De los números 87 y 65 se desprende que 65 es menor. Según la regla para comparar fracciones con el mismo denominador, tenemos que 87,126 es mayor que 65,126.

Respuesta: 87 126 > 65 126 .

Comparar fracciones con diferentes denominadores

La comparación de tales fracciones se puede correlacionar con la comparación de fracciones con los mismos exponentes, pero hay una diferencia. Ahora necesitas reducir las fracciones a un denominador común.

Si hay fracciones con distintos denominadores, para compararlas es necesario:

• encontrar un denominador común;
• comparar fracciones.

Veamos estas acciones usando un ejemplo.

Ejemplo 2

Compara las fracciones 5 12 y 9 16.

Solución

En primer lugar, es necesario reducir las fracciones a un denominador común. Esto se hace de esta manera: encuentra el MCM, es decir, el mínimo común divisor, 12 y 16. Este número es 48. Es necesario sumar factores adicionales a la primera fracción 5 12, este número se encuentra a partir del cociente 48: 12 = 4, para la segunda fracción 9 16 – 48: 16 = 3. Escribamos el resultado de esta manera: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 y 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Después de comparar las fracciones obtenemos que 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Respuesta: 5 12 < 9 16 .

Hay otra forma de comparar fracciones con diferentes denominadores. Se realiza sin reducción a un denominador común. Veamos un ejemplo. Para comparar fracciones a b y c d, las reducimos a un denominador común, luego b · d, es decir, al producto de estos denominadores. Entonces los factores adicionales de las fracciones serán los denominadores de la fracción vecina. Esto se escribirá como a · d b · d y c · b d · b. Usando la regla con idénticos denominadores, tenemos que la comparación de fracciones se ha reducido a comparaciones de los productos a · d y c · b. De aquí obtenemos la regla para comparar fracciones con diferentes denominadores: si a · d > b · c, entonces a b > c d, pero si a · d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Ejemplo 3

Compara las fracciones 5 18 y 23 86.

Solución

Este ejemplo tiene a = 5, b = 18, c = 23 y d = 86. Entonces es necesario calcular a·d y b·c. Se deduce que a · d = 5 · 86 = 430 y b · c = 18 · 23 = 414. Pero 430 > 414, entonces la fracción dada 5 18 es mayor que 23 86.

Respuesta: 5 18 > 23 86 .

Comparar fracciones con los mismos numeradores

Si las fracciones tienen los mismos numeradores y diferentes denominadores, entonces la comparación se puede realizar según el punto anterior. El resultado de la comparación es posible comparando sus denominadores.

Existe una regla para comparar fracciones con los mismos numeradores. : De dos fracciones con los mismos numeradores, la fracción que tiene menor denominador es mayor y viceversa.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo 4

Compara las fracciones 54 19 y 54 31.

Solución

Tenemos que los numeradores son iguales, lo que significa que una fracción con denominador 19 es mayor que una fracción con denominador 31. Esto es comprensible según la regla.

Respuesta: 54 19 > 54 31 .

De lo contrario, podemos mirar un ejemplo. Hay dos platos en los que hay 1 2 tartas y otro 1 16 anna. Si comes 1 2 pasteles, te saciarás más rápido que solo 1 16. De ahí la conclusión es que el denominador más grande con numeradores iguales es el más pequeño al comparar fracciones.

Comparar una fracción con un número natural

Comparar una fracción ordinaria con un número natural es lo mismo que comparar dos fracciones con los denominadores escritos en la forma 1. Para una visión detallada, damos un ejemplo a continuación.

Ejemplo 4

Es necesario hacer una comparación entre 63 8 y 9 .

Solución

Es necesario representar el número 9 como una fracción 9 1. Luego necesitamos comparar las fracciones 63 8 y 9 1. A esto le sigue la reducción a un denominador común mediante la búsqueda de factores adicionales. Después de esto vemos que necesitamos comparar fracciones con los mismos denominadores 63 8 y 72 8. Según la regla de comparación, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Respuesta: 63 8 < 9 .

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No sólo se pueden comparar números primos, sino también fracciones. Después de todo, una fracción es el mismo número que, por ejemplo, los números naturales. Solo necesitas conocer las reglas mediante las cuales se comparan las fracciones.

Comparar fracciones con el mismo denominador.

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, entonces es fácil compararlas.

Para comparar fracciones con el mismo denominador, debes comparar sus numeradores. La fracción que tiene un numerador mayor es mayor.

Veamos un ejemplo:

Compara las fracciones \(\frac(7)(26)\) y \(\frac(13)(26)\).

Los denominadores de ambas fracciones son iguales e iguales a 26, por eso comparamos los numeradores. El número 13 es mayor que 7. Obtenemos:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

Comparar fracciones con numeradores iguales.

Si una fracción tiene los mismos numeradores, entonces la fracción con el denominador menor es mayor.

Esta regla se puede entender dando un ejemplo de la vida. Tenemos pastel. Pueden venir a visitarnos 5 u 11 invitados. Si vienen 5 invitados, entonces cortaremos la tarta en 5 trozos iguales, y si vienen 11 invitados, entonces lo dividiremos en 11 trozos iguales. Ahora piensa en ¿en qué caso habría un pedazo de pastel más grande por invitado? Eso sí, cuando lleguen 5 invitados el trozo de tarta será más grande.

U otro ejemplo. Tenemos 20 dulces. Podemos regalar el caramelo a partes iguales a 4 amigos o dividir el caramelo a partes iguales entre 10 amigos. ¿En qué caso cada amigo tendrá más dulces? Eso sí, cuando dividimos entre solo 4 amigos, el número de caramelos para cada amigo será mayor. Comprobemos este problema matemáticamente.

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

Si resolvemos estas fracciones antes, obtenemos los números \(\frac(20)(4) = 5\) y \(\frac(20)(10) = 2\). Obtenemos que 5 > 2

Esta es la regla para comparar fracciones con los mismos numeradores.

Veamos otro ejemplo.

Compara fracciones con el mismo numerador \(\frac(1)(17)\) y \(\frac(1)(15)\) .

Como los numeradores son iguales, la fracción con el denominador menor es mayor.

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

Comparar fracciones con diferentes denominadores y numeradores.

Para comparar fracciones con diferentes denominadores, debes reducir las fracciones a y luego comparar los numeradores.

Compara las fracciones \(\frac(2)(3)\) y \(\frac(5)(7)\).

Primero, encontremos el denominador común de las fracciones. Será igual al número 21.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)

Luego pasamos a comparar numeradores. Regla para comparar fracciones con el mismo denominador.

\(\begin(alinear)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

Comparación.

Una fracción impropia siempre es mayor que una fracción propia. Porque una fracción impropia es mayor que 1 y una fracción propia es menor que 1.

Ejemplo:
Compara las fracciones \(\frac(11)(13)\) y \(\frac(8)(7)\).

La fracción \(\frac(8)(7)\) es impropia y es mayor que 1.

\(1 < \frac{8}{7}\)

La fracción \(\frac(11)(13)\) es correcta y es menor que 1. Comparemos:

\(1 > \frac(11)(13)\)

Obtenemos, \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

Preguntas relacionadas:
¿Cómo comparar fracciones con diferentes denominadores?
Respuesta: necesitas llevar las fracciones a un denominador común y luego comparar sus numeradores.

¿Cómo comparar fracciones?
Respuesta: Primero debes decidir a qué categoría pertenecen las fracciones: tienen un denominador común, tienen un numerador común, no tienen un denominador y numerador común, o tienes una fracción propia e impropia. Después de clasificar fracciones, aplique la regla de comparación adecuada.

¿Qué es comparar fracciones con los mismos numeradores?
Respuesta: Si las fracciones tienen los mismos numeradores, la fracción con el denominador menor es mayor.

Ejemplo #1:
Compara las fracciones \(\frac(11)(12)\) y \(\frac(13)(16)\).

Solución:
Como no hay numeradores ni denominadores idénticos, aplicamos la regla de comparación con denominadores diferentes. Necesitamos encontrar un denominador común. El denominador común será 96. Reduzcamos las fracciones a un denominador común. Multiplica la primera fracción \(\frac(11)(12)\) por un factor adicional de 8 y multiplica la segunda fracción \(\frac(13)(16)\) por 6.

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)

Comparamos fracciones con numeradores, la fracción con mayor numerador es mayor.

\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\end(alinear)\)

Ejemplo #2:
¿Comparar una fracción propia con uno?

Solución:
Cualquier fracción propia siempre es menor que 1.

Tarea #1:
El hijo y el padre estaban jugando al fútbol. El hijo acertó en la portería 5 veces de 10 aproximaciones. Y papá acertó en la portería 3 veces de 5 aproximaciones. ¿De quién es mejor el resultado?

Solución:
El hijo acertó 5 veces de 10 aproximaciones posibles. Escribámoslo como una fracción \(\frac(5)(10)\).
Papá acertó 3 veces de 5 aproximaciones posibles. Escribámoslo como una fracción \(\frac(3)(5)\).

Comparemos fracciones. Tenemos diferentes numeradores y denominadores, reduzámoslos a un denominador. El denominador común será 10.

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

Respuesta: Papá tiene un mejor resultado.