De hecho, la historia de la división por cero persiguió a sus inventores (a). Pero los indios son filósofos acostumbrados a problemas abstractos. ¿Qué significa dividir por nada? Para los europeos de esa época, tal pregunta no existía en absoluto, ya que no sabían ni sobre el cero ni sobre los números negativos (que están a la izquierda del cero en la escala).
En la India, restar un número mayor de uno menor y obtener un número negativo no era un problema. Después de todo, ¿qué significa 3-5=-2 en la vida cotidiana? Esto significa que alguien le debe a alguien 2. Los números negativos se llamaban deudas.
Ahora abordemos la cuestión de la división por cero con la misma sencillez. Allá por el año 598 d.C. (¡pensemos en cuánto tiempo, hace más de 1400 años!) nació en la India el matemático Brahmagupta, quien también se preguntaba sobre la división por cero.
Sugirió que si tomamos un limón y comenzamos a dividirlo en partes, tarde o temprano llegaremos al hecho de que las rodajas serán muy pequeñas. En nuestra imaginación, podemos llegar al punto en el que los sectores se vuelven iguales a cero. Entonces, la pregunta es, si divides un limón no en 2, 4 o 10 partes, sino en un número infinito de partes, ¿de qué tamaño serán las rodajas?
Obtendrás un número infinito de “porciones cero”. Todo es bastante sencillo, cortamos el limón muy fino, obtenemos un charco con infinidad de partes.
Pero si te dedicas a las matemáticas, resulta algo ilógico.
a*0=0? ¿Qué pasa si b*0=0? Esto significa: a*0=b*0. Y desde aquí: a=b. Es decir, cualquier número es igual a cualquier número. La primera incorrección de la división por cero, sigamos adelante. En matemáticas, la división se considera la inversa de la multiplicación.
Esto significa que si dividimos 4 entre 2, debemos encontrar un numero que multiplicado por 2 dé 4. Divide 4 entre cero: necesitas encontrar un número que, multiplicado por cero, dé 4. Es decir, ¿x*0=4? ¡Pero x*0=0! Mala suerte otra vez. Entonces preguntamos: "¿Cuántos ceros necesitas tomar para formar 4?"
¿Infinidad? Un número infinito de ceros seguirá sumando cero.
Y dividir 0 entre 0 generalmente genera incertidumbre, porque 0 * x = 0, donde x es básicamente cualquier cosa. Es decir, existen innumerables soluciones.
Ilogicidad y abstraccion las operaciones con cero no están permitidas dentro del estrecho marco del álgebra; más precisamente, es una operación indefinida. Requiere un dispositivo mas serio - matemáticas superiores. Entonces, en cierto modo, no puedes dividir por cero, pero si realmente quieres, puedes dividir por cero, pero necesitas estar preparado para entender cosas como la función delta de Dirac y otras cosas difíciles de entender. Comparte por tu salud.
Muy a menudo, mucha gente se pregunta por qué no se puede utilizar la división por cero. En este artículo hablaremos con gran detalle sobre de dónde viene esta regla, así como qué acciones se pueden realizar con un cero.
El cero puede considerarse uno de los números más interesantes. este numero no tiene significado, significa vacío en el verdadero sentido de la palabra. Sin embargo, si se coloca un cero al lado de cualquier número, el valor de este número será varias veces mayor.
El número en sí es muy misterioso. Fue utilizado por los antiguos mayas. Para los mayas, cero significaba “comienzo” y los días calendario también comenzaban desde cero.
Un dato muy interesante es que el signo cero y el signo de incertidumbre eran similares. Con esto, los mayas querían demostrar que cero es el mismo signo idéntico a la incertidumbre. En Europa, la designación cero apareció hace relativamente poco tiempo.
Mucha gente también conoce la prohibición asociada al cero. Cualquiera dirá eso No puedes dividir por cero. Los profesores de la escuela dicen esto y los niños suelen creer en su palabra. Por lo general, los niños simplemente no están interesados en saber esto o saben lo que sucederá si, después de escuchar una prohibición importante, inmediatamente preguntan: "¿Por qué no se puede dividir por cero?". Pero cuando te haces mayor, tu interés se despierta y quieres saber más sobre los motivos de esta prohibición. Sin embargo, hay pruebas razonables.
Acciones con cero
Primero debes determinar qué acciones se pueden realizar con cero. existe varios tipos de acciones:
- Suma;
- Multiplicación;
- Sustracción;
- División (cero por número);
- Exponenciación.
¡Importante! Si suma cero a cualquier número durante la suma, este número seguirá siendo el mismo y no cambiará su valor numérico. Lo mismo sucede si restas cero a cualquier número.
Al multiplicar y dividir las cosas son un poco diferentes. Si multiplicar cualquier numero por cero, entonces el producto también será cero.
Veamos un ejemplo:
Escribamos esto como una adición:
Hay cinco ceros en total, entonces resulta que
Intentemos multiplicar uno por cero.. El resultado también será cero.
El cero también se puede dividir por cualquier otro número que no sea igual a él. En este caso el resultado será , cuyo valor también será cero. La misma regla se aplica a los números negativos. Si se divide cero por un número negativo, el resultado es cero.
También puedes construir cualquier número. al grado cero. En este caso, el resultado será 1. Es importante recordar que la expresión “cero elevado a cero” no tiene ningún significado. Si intentas elevar el cero a cualquier potencia, obtienes cero. Ejemplo:
Usamos la regla de la multiplicación y obtenemos 0.
Entonces ¿es posible dividir por cero?
Entonces, aquí llegamos a la pregunta principal. ¿Es posible dividir por cero?¿en absoluto? ¿Y por qué no podemos dividir un número entre cero, dado que todas las demás acciones con cero existen y se aplican? Para responder a esta pregunta es necesario recurrir a las matemáticas superiores.
Empecemos por la definición del concepto, ¿qué es cero? Los profesores de escuela dicen que cero es nada. Vacío. Es decir, cuando dices que tienes 0 identificadores, significa que no tienes ningún identificador.
En matemáticas superiores, el concepto de "cero" es más amplio. No significa vacío en absoluto. Aquí al cero se le llama incertidumbre porque si investigamos un poco, resulta que cuando dividimos cero entre cero, podemos terminar con cualquier otro número, que no necesariamente puede ser cero.
¿Sabías que esas operaciones aritméticas simples que estudiaste en la escuela no son tan iguales entre sí? Las acciones más básicas son suma y multiplicacion.
Para los matemáticos, los conceptos de “” y “resta” no existen. Digamos: si a cinco le restas tres, te quedarán dos. Así es como se ve la resta. Sin embargo, los matemáticos lo escribirían de esta manera:
Por lo tanto, resulta que la diferencia desconocida es un número determinado que debe sumarse a 3 para obtener 5. Es decir, no es necesario restar nada, solo hay que encontrar el número apropiado. Esta regla se aplica a la suma.
Las cosas son un poco diferentes con reglas de multiplicacion y division. Se sabe que la multiplicación por cero da como resultado cero. Por ejemplo, si 3:0=x, si invierte la entrada, obtendrá 3*x=0. Y un número que se multiplicó por 0 dará cero en el producto. Resulta que no hay ningún número que dé un valor distinto de cero en el producto con cero. Esto significa que la división por cero no tiene sentido, es decir, se ajusta a nuestra regla.
Pero, ¿qué pasa si intentas dividir el cero por sí mismo? Tomemos algún número indefinido como x. La ecuación resultante es 0*x=0. Se puede solucionar.
Si intentamos tomar cero en lugar de x, obtendremos 0:0=0. ¿Parecería lógico? Pero si intentamos tomar cualquier otro número, por ejemplo, 1, en lugar de x, terminaremos con 0:0=1. La misma situación ocurrirá si tomamos cualquier otro número y conéctelo a la ecuación.
En este caso resulta que podemos tomar cualquier otro número como factor. El resultado será un número infinito de números diferentes. A veces, la división por 0 en matemáticas superiores todavía tiene sentido, pero generalmente aparece una determinada condición, gracias a la cual aún podemos elegir un número adecuado. Esta acción se llama "revelación de incertidumbre". En aritmética ordinaria, la división por cero volverá a perder su significado, ya que no podremos elegir un número del conjunto.
¡Importante! No se puede dividir cero entre cero.
Cero e infinito
El infinito se puede encontrar muy a menudo en las matemáticas superiores. Dado que para los escolares simplemente no es importante saber que también existen operaciones matemáticas con el infinito, los profesores no pueden explicar adecuadamente a los niños por qué es imposible dividir por cero.
Los estudiantes comienzan a aprender los secretos matemáticos básicos solo en el primer año de instituto. Las matemáticas superiores proporcionan un gran complejo de problemas que no tienen solución. Los problemas más famosos son los problemas con el infinito. Se pueden resolver usando análisis matemático.
También se puede aplicar al infinito. operaciones matemáticas elementales: suma, multiplicación por número. Por lo general, también usan la resta y la división, pero al final se reducen a dos operaciones simples.
Libro de texto:“Matemáticas” de M.I.
Objetivos de la lección: crear condiciones para desarrollar la capacidad de dividir 0 por un número.
Objetivos de la lección:
- revelar el significado de dividir 0 por un número mediante la conexión entre multiplicación y división;
- desarrollar independencia, atención, pensamiento;
- Desarrollar habilidades para resolver ejemplos de tablas de multiplicación y división.
Para lograr el objetivo, la lección fue diseñada teniendo en cuenta enfoque de actividad.
La estructura de la lección incluyó:
- Org. momento, cuyo objetivo era motivar positivamente a los niños a aprender.
- Motivación nos permitió actualizar conocimientos, formular las metas y objetivos de la lección. Para ello se propusieron tareas de encontrar un número extra, clasificar ejemplos en grupos, sumar números faltantes. Mientras resolvían estas tareas, los niños se enfrentaban a problema: se encontró un ejemplo para el cual el conocimiento existente no es suficiente para resolverlo. En este sentido, los niños formuló de forma independiente una meta y fijarse los objetivos de aprendizaje de la lección.
- Búsqueda y descubrimiento de nuevos conocimientos. les dio a los niños una oportunidad ofrecer varias opciones soluciones de tareas. Basado en material previamente estudiado, pudieron encontrar la solución adecuada y llegar a conclusión, en el que se formuló una nueva norma.
- Durante consolidación primaria estudiantes comentó tus acciones, trabajando según la regla, fueron además seleccionados tus ejemplos a esta regla.
- Para automatización de acciones Y capacidad de utilizar reglas en entornos no estándar En las tareas, los niños resolvieron ecuaciones y expresiones en varios pasos.
- trabajo independiente y llevado a cabo verificación mutua demostró que la mayoría de los niños entendían el tema.
- Durante reflexiones Los niños concluyeron que habían logrado el objetivo de la lección y se evaluaron a sí mismos utilizando las tarjetas.
La lección se basó en acciones independientes de los estudiantes en cada etapa, inmersión total en la tarea de aprendizaje. Esto fue facilitado por técnicas como el trabajo en grupo, la autoprueba y la prueba mutua, la creación de una situación de éxito, tareas diferenciadas y la autorreflexión.
Progreso de la lección
| Propósito de la etapa | Contenido del escenario | Actividad estudiantil | ||||||||||||
| 1. Org. momento | ||||||||||||||
| Preparar a los estudiantes para el trabajo, actitud positiva hacia las actividades de aprendizaje. | Incentivos para actividades educativas.. Verifique su preparación para la lección, siéntese erguido y apóyese en el respaldo de la silla. Frótese los oídos para que la sangre fluya más activamente al cerebro. Hoy tendrás un montón de trabajo interesante que, estoy seguro, afrontarás perfectamente. |
Organización del puesto de trabajo, comprobando el ajuste. | ||||||||||||
| 2. Motivación. | ||||||||||||||
| Estimulación de lo cognitivo. actividad, activación del proceso de pensamiento |
Actualización de conocimientos suficientes para adquirir nuevos conocimientos. Conteo oral. Poniendo a prueba tus conocimientos de tablas de multiplicar: |
Resolución de problemas basados en el conocimiento de las tablas de multiplicar. | ||||||||||||
| A) encuentra el número extra: 2 4 6 7 10 12 14 6 18 24 29 36 42 Explique por qué es redundante y qué número se debe utilizar para reemplazarlo. |
Encontrar el número extra. | |||||||||||||
| B) inserte los números que faltan: … 16 24 32 … 48 … |
Sumando el número que falta. | |||||||||||||
| Creando una situación problemática Tareas en parejas: C) organiza los ejemplos en 2 grupos: ¿Por qué se distribuyó de esta manera? (con respuesta 4 y 5). |
Clasificación de ejemplos en grupos. | |||||||||||||
| Tarjetas: 8·7-6+30:6= 28:(16:4) 6= 30-(20-10:2):5= 30-(20-10 2):5= |
Los estudiantes fuertes trabajan en tarjetas individuales. | |||||||||||||
| ¿Qué notaste? ¿Hay otro ejemplo aquí? ¿Pudiste resolver todos los ejemplos? ¿Quién tiene problemas? ¿En qué se diferencia este ejemplo de los demás? Si alguien lo ha decidido, pues bien hecho. Pero ¿por qué no todos pudieron hacer frente a este ejemplo? |
Encontrar el problema. Identificar conocimientos faltantes y causas de dificultad. |
|||||||||||||
| Establecer una tarea de aprendizaje. Aquí tienes un ejemplo con 0. Y a partir de 0 puedes esperar diferentes trucos. Este es un número inusual. ¿Recuerdas lo que sabes sobre 0? (a 0=0, 0 a=0, 0+a=a) Dar ejemplos. Mira qué insidioso es: cuando se suma no cambia el número, pero cuando se multiplica lo convierte en 0. ¿Se aplican estas reglas a nuestro ejemplo? ¿Cómo se comportará al comer? |
Observación de técnicas conocidas para operar con 0 y correlación con el ejemplo original. | |||||||||||||
| Entonces, ¿cuál es nuestro objetivo? Resuelve este ejemplo correctamente. Mesa en el tablero. ¿Qué se necesita para esto? Aprende la regla para dividir 0 por un número. |
Proponer una hipótesis | |||||||||||||
| ¿Cómo encontrar la solución adecuada? ¿Qué acción está involucrada en la multiplicación? (con división) dar un ejemplo 2 3 = 6 6: 2 = 3 ¿Podemos ahora 0:5? Esto significa que necesitas encontrar un número que, multiplicado por 5, sea igual a 0. x5=0 Este número es 0. Entonces 0:5=0. Da tus propios ejemplos. |
buscando una solución basada en lo estudiado previamente, | |||||||||||||
| Formulación de la regla. ¿Qué regla se puede formular ahora? Cuando divides 0 por un número, obtienes 0. 0: a = 0. |
Resolver tareas típicas con comentarios. Trabajar según el esquema (0:a=0) |
|||||||||||||
| 5. Ejercicio físico. | ||||||||||||||
| Prevención de malas posturas, aliviando la fatiga ocular y el cansancio general. | ||||||||||||||
| 6. Automatización del conocimiento. | ||||||||||||||
| Identificar los límites de aplicabilidad de nuevos conocimientos. | ¿Qué otras tareas podrían requerir el conocimiento de esta regla? (en la resolución de ejemplos, ecuaciones) |
Utilizar los conocimientos adquiridos en diversas tareas. Trabajar en grupos. |
||||||||||||
| ¿Qué se desconoce en estas ecuaciones? Recuerda cómo encontrar un multiplicador desconocido. Resuelve las ecuaciones. ¿Cuál es la solución de la ecuación 1? (0) ¿A las 2? (no hay solución, no se puede dividir por 0) |
Recordar habilidades previamente aprendidas. | |||||||||||||
| ** Crea una ecuación con la solución x=0 (x5=0) | Para estudiantes fuertes una tarea creativa. | |||||||||||||
| 7. Trabajo independiente. | ||||||||||||||
| Desarrollo de la independencia y las capacidades cognitivas. | Trabajo independiente seguido de verificación mutua. №6 |
Acciones mentales activas de los estudiantes asociadas a la búsqueda de soluciones basadas en sus conocimientos. Autocontrol y control mutuo. Los estudiantes fuertes controlan y ayudan a los más débiles. |
||||||||||||
| 8. Trabajar sobre material previamente cubierto. Practicar habilidades de resolución de problemas. | ||||||||||||||
| Formación de habilidades para la resolución de problemas. | ¿Crees que el número 0 se utiliza a menudo en los problemas? (No, no con frecuencia, porque 0 es nada y las tareas deben contener una cierta cantidad de algo). Luego resolveremos problemas donde hay otros números. Lee el problema. ¿Qué ayudará a resolver el problema? (mesa) ¿Qué columnas de la tabla se deben escribir? Completa la tabla. Haga un plan de solución: ¿qué hay que aprender en los pasos 1 y 2? |
Trabajando en un problema usando una tabla. Planificación para resolver un problema. Autorregistro de la solución. Autocontrol según el modelo. |
||||||||||||
| 9. Reflexión. Resumen de la lección. | ||||||||||||||
| Organización de autoevaluación de actividades. Incrementar la motivación del niño. |
¿En qué tema trabajaste hoy? ¿Qué no sabías al comienzo de la lección? ¿Qué objetivo te propusiste? ¿Lo has conseguido? ¿Qué regla encontraste? Califica tu trabajo marcando el ícono correspondiente:
| Conciencia de sus actividades, autoanálisis de su trabajo. Registrar la correspondencia de los resultados del desempeño y el objetivo marcado. | ||||||||||||
| 10. Tarea. | ||||||||||||||
Dicen que puedes dividir por cero si determinas el resultado de la división por cero. Sólo necesitas expandir el álgebra. Por una extraña coincidencia, no es posible encontrar al menos algún ejemplo, o mejor comprensible y sencillo, de tal extensión. Para arreglar Internet, necesita una demostración de uno de los métodos para dicha extensión o una descripción de por qué esto no es posible.
El artículo fue escrito en continuación de la tendencia:
Descargo de responsabilidad
El propósito de este artículo es explicar en “lenguaje humano” cómo funcionan los principios fundamentales de las matemáticas, estructurar el conocimiento y restaurar las relaciones causa-efecto perdidas entre las ramas de las matemáticas. Todo razonamiento es filosófico; en algunos juicios divergen de los generalmente aceptados (por tanto, no pretenden ser matemáticamente rigurosos). El artículo está diseñado para el nivel del lector que “pasó por la torre hace muchos años”.Es deseable, pero no obligatorio, comprender los principios de aritmética, álgebra elemental, general y lineal, análisis matemático y no estándar, teoría de conjuntos, topología general, geometría proyectiva y afín.
Ningún infinito resultó dañado durante los experimentos.
Prólogo
Ir “más allá de los límites” es un proceso natural de búsqueda de nuevos conocimientos. Pero no toda búsqueda aporta nuevos conocimientos y, por tanto, beneficios.1. En realidad, ¡todo ya está dividido ante nosotros!
1.1 Extensión afín de la recta numérica
Empecemos por donde probablemente empiezan todos los aventureros al dividir por cero. Recordemos la gráfica de la función.
.
A la izquierda y a la derecha del cero, la función va en diferentes direcciones de “no existencia”. En el fondo hay una "piscina" general y no se ve nada.
En lugar de precipitarnos de cabeza a la piscina, veamos qué fluye hacia ella y qué sale de ella. Para ello utilizaremos el límite, la principal herramienta del análisis matemático. El "truco" principal es que el límite te permite acercarte lo más posible a un punto determinado, pero no "pisarlo". Tal "valla" frente a la "piscina".
Original
Bien, se ha levantado la “cerca”. Ya no da tanto miedo. Tenemos dos caminos hacia la piscina. Vayamos a la izquierda, un fuerte descenso, a la derecha, una fuerte subida. No importa cuánto camines hacia la “valla”, ésta no se acerca más. No hay forma de cruzar la “nada” inferior y superior. Surgen sospechas: ¿tal vez estemos dando vueltas en círculos? Aunque no, los números cambian, lo que significa que no están en un círculo. Rebusquemos un poco más en el cofre de herramientas de análisis matemático. Además de los límites con una “valla”, el kit incluye infinitos positivos y negativos. ¡Las cantidades son completamente abstractas (no números), bien formalizadas y listas para usar! Esto nos conviene. Complementemos nuestro “ser” (el conjunto de los números reales) con dos infinitos con signo.
En lenguaje matemático:
Es esta extensión la que le permite tomar un límite cuando el argumento tiende al infinito y obtener el infinito como resultado de tomar el límite.Hay dos ramas de las matemáticas que describen lo mismo usando terminología diferente.
Resumamos:
La conclusión es. Los viejos enfoques ya no funcionan. La complejidad del sistema, en forma de un montón de “si”, “para todo menos”, etc., ha aumentado. Sólo teníamos dos incertidumbres 1/0 y 0/0 (no consideramos las operaciones eléctricas), por lo que había cinco. La revelación de una incertidumbre creó aún más incertidumbres.
1.2 Rueda
No se detuvo con la introducción del infinito sin signo. Para salir de las incertidumbres es necesario un segundo aire.Entonces tenemos un conjunto de números reales y dos incertidumbres 1/0 y 0/0. Para eliminar el primero, realizamos una expansión proyectiva de la recta numérica (es decir, introdujimos infinito sin signo). Intentemos abordar la segunda incertidumbre de la forma 0/0. Hagamos lo mismo. Agreguemos un nuevo elemento al conjunto de números, que representa la segunda incertidumbre.
La definición de la operación de división se basa en la multiplicación. Esto no nos conviene. Desacoplemos las operaciones entre sí, pero mantengamos el comportamiento habitual para los números reales. Definamos una operación de división unaria, indicada por el signo "/".
Definamos las operaciones.
Esta estructura se llama "Rueda". El término fue tomado por su similitud con la imagen topológica de la extensión proyectiva de la recta numérica y el punto 0/0.
Todo parece ir bien, pero el diablo está en los detalles:
Para establecer todas las características, además de la expansión del conjunto de elementos, se adjunta una bonificación en forma de no una, sino dos identidades que describen la ley distributiva.
En lenguaje matemático:Desde el punto de vista del álgebra general, operamos con el campo. Y en el campo, como sabes, solo se definen dos operaciones (suma y multiplicación). El concepto de división se deriva de elementos inversos y, más profundamente, de elementos unitarios. Los cambios realizados transforman nuestro sistema algebraico en un monoide tanto para la operación de suma (con el cero como elemento neutro) como para la operación de multiplicación (con el uno como elemento neutro).Las obras de los pioneros no siempre utilizan los símbolos ∞ y ⊥. En su lugar, puede encontrar entradas en el formato /0 y 0/0.
El mundo ya no es tan maravilloso, ¿verdad? Aun así, no hay necesidad de apresurarse. Comprobemos si las nuevas identidades de la ley distributiva pueden hacer frente a nuestro conjunto ampliado..
Esta vez el resultado es mucho mejor.Resumamos:
La conclusión es. El álgebra funciona muy bien. Sin embargo, se tomó como base el concepto de “indefinido”, que comenzaron a considerar como algo existente y operar con él. Un día alguien dirá que todo está mal y que es necesario dividir este "indefinido" en varios más "indefinidos", pero el álgebra general dirá: "¡No hay problema, hermano!".
Así es aproximadamente como se postulan unidades imaginarias adicionales (j y k) en cuaterniones.
Dicen que puedes dividir por cero si determinas el resultado de la división por cero. Sólo necesitas expandir el álgebra. Por una extraña coincidencia, no es posible encontrar al menos algún ejemplo, o mejor comprensible y sencillo, de tal extensión. Para arreglar Internet, necesita una demostración de uno de los métodos para dicha extensión o una descripción de por qué esto no es posible.
El artículo fue escrito en continuación de la tendencia:
Descargo de responsabilidad
El propósito de este artículo es explicar en “lenguaje humano” cómo funcionan los principios fundamentales de las matemáticas, estructurar el conocimiento y restaurar las relaciones causa-efecto perdidas entre las ramas de las matemáticas. Todo razonamiento es filosófico; en algunos juicios divergen de los generalmente aceptados (por tanto, no pretenden ser matemáticamente rigurosos). El artículo está diseñado para el nivel del lector que “pasó por la torre hace muchos años”.Es deseable, pero no obligatorio, comprender los principios de aritmética, álgebra elemental, general y lineal, análisis matemático y no estándar, teoría de conjuntos, topología general, geometría proyectiva y afín.
Ningún infinito resultó dañado durante los experimentos.
Prólogo
Ir “más allá de los límites” es un proceso natural de búsqueda de nuevos conocimientos. Pero no toda búsqueda aporta nuevos conocimientos y, por tanto, beneficios.1. En realidad, ¡todo ya está dividido ante nosotros!
1.1 Extensión afín de la recta numérica
Empecemos por donde probablemente empiezan todos los aventureros al dividir por cero. Recordemos la gráfica de la función..
A la izquierda y a la derecha del cero, la función va en diferentes direcciones de “no existencia”. En el fondo hay una "piscina" general y no se ve nada.
En lugar de precipitarnos de cabeza a la piscina, veamos qué fluye hacia ella y qué sale de ella. Para ello utilizaremos el límite, la principal herramienta del análisis matemático. El "truco" principal es que el límite te permite acercarte lo más posible a un punto determinado, pero no "pisarlo". Tal "valla" frente a la "piscina".
Original
Bien, se ha levantado la “cerca”. Ya no da tanto miedo. Tenemos dos caminos hacia la piscina. Vayamos a la izquierda, un fuerte descenso, a la derecha, una fuerte subida. No importa cuánto camines hacia la “valla”, ésta no se acerca más. No hay forma de cruzar la “nada” inferior y superior. Surgen sospechas: ¿tal vez estemos dando vueltas en círculos? Aunque no, los números cambian, lo que significa que no están en un círculo. Rebusquemos un poco más en el cofre de herramientas de análisis matemático. Además de los límites con una “valla”, el kit incluye infinitos positivos y negativos. ¡Las cantidades son completamente abstractas (no números), bien formalizadas y listas para usar! Esto nos conviene. Complementemos nuestro “ser” (el conjunto de los números reales) con dos infinitos con signo.
En lenguaje matemático:
Es esta extensión la que le permite tomar un límite cuando el argumento tiende al infinito y obtener el infinito como resultado de tomar el límite.Hay dos ramas de las matemáticas que describen lo mismo usando terminología diferente.
Resumamos:
La conclusión es. Los viejos enfoques ya no funcionan. La complejidad del sistema, en forma de un montón de “si”, “para todo menos”, etc., ha aumentado. Sólo teníamos dos incertidumbres 1/0 y 0/0 (no consideramos las operaciones eléctricas), por lo que había cinco. La revelación de una incertidumbre creó aún más incertidumbres.
1.2 Rueda
No se detuvo con la introducción del infinito sin signo. Para salir de las incertidumbres es necesario un segundo aire.Entonces tenemos un conjunto de números reales y dos incertidumbres 1/0 y 0/0. Para eliminar el primero, realizamos una expansión proyectiva de la recta numérica (es decir, introdujimos infinito sin signo). Intentemos abordar la segunda incertidumbre de la forma 0/0. Hagamos lo mismo. Agreguemos un nuevo elemento al conjunto de números, que representa la segunda incertidumbre.
La definición de la operación de división se basa en la multiplicación. Esto no nos conviene. Desacoplemos las operaciones entre sí, pero mantengamos el comportamiento habitual para los números reales. Definamos una operación de división unaria, indicada por el signo "/".
Definamos las operaciones.
Esta estructura se llama "Rueda". El término fue tomado por su similitud con la imagen topológica de la extensión proyectiva de la recta numérica y el punto 0/0.
Todo parece ir bien, pero el diablo está en los detalles:
Para establecer todas las características, además de la expansión del conjunto de elementos, se adjunta una bonificación en forma de no una, sino dos identidades que describen la ley distributiva.
En lenguaje matemático:Desde el punto de vista del álgebra general, operamos con el campo. Y en el campo, como sabes, solo se definen dos operaciones (suma y multiplicación). El concepto de división se deriva de elementos inversos y, más profundamente, de elementos unitarios. Los cambios realizados transforman nuestro sistema algebraico en un monoide tanto para la operación de suma (con el cero como elemento neutro) como para la operación de multiplicación (con el uno como elemento neutro).Las obras de los pioneros no siempre utilizan los símbolos ∞ y ⊥. En su lugar, puede encontrar entradas en el formato /0 y 0/0.
El mundo ya no es tan maravilloso, ¿verdad? Aun así, no hay necesidad de apresurarse. Comprobemos si las nuevas identidades de la ley distributiva pueden hacer frente a nuestro conjunto ampliado.
Esta vez el resultado es mucho mejor.Resumamos:
La conclusión es. El álgebra funciona muy bien. Sin embargo, se tomó como base el concepto de “indefinido”, que comenzaron a considerar como algo existente y operar con él. Un día alguien dirá que todo está mal y que es necesario dividir este "indefinido" en varios más "indefinidos", pero el álgebra general dirá: "¡No hay problema, hermano!".
Así es aproximadamente como se postulan unidades imaginarias adicionales (j y k) en cuaterniones.