Este material didáctico es sólo de referencia y se relaciona con una amplia gama de temas. El artículo proporciona una descripción general de las gráficas de funciones elementales básicas y considera la cuestión más importante: cómo construir un gráfico de forma correcta y RÁPIDA. En el curso de estudiar matemáticas superiores sin conocimiento de las gráficas de funciones elementales básicas, será difícil, por eso es muy importante recordar cómo son las gráficas de una parábola, hipérbola, seno, coseno, etc., y recordar algunas de los significados de las funciones. También hablaremos de algunas propiedades de las funciones principales.

No pretendo que los materiales sean completos y científicos; el énfasis se pondrá, en primer lugar, en la práctica, aquellas cosas con las que se cuenta; uno se encuentra literalmente a cada paso, en cualquier tema de matemáticas superiores. ¿Gráficos para tontos? Se podría decir que sí.

Debido a numerosas solicitudes de los lectores. tabla de contenidos en la que se puede hacer clic:

Además, hay una sinopsis ultracorta sobre el tema.
– ¡Domina 16 tipos de gráficos estudiando SEIS páginas!

En serio, seis, incluso yo me sorprendí. Este resumen contiene gráficos mejorados y está disponible por una tarifa nominal; se puede ver una versión de demostración. Es conveniente imprimir el archivo para tener los gráficos siempre a mano. ¡Gracias por apoyar el proyecto!

Y comencemos de inmediato:

¿Cómo construir ejes de coordenadas correctamente?

En la práctica, los estudiantes casi siempre completan las pruebas en cuadernos separados, alineados en un cuadrado. ¿Por qué necesitas marcas a cuadros? Después de todo, el trabajo, en principio, se puede realizar en hojas A4. Y la jaula es necesaria precisamente para el diseño preciso y de alta calidad de los dibujos.

Cualquier dibujo de un gráfico de funciones comienza con ejes de coordenadas..

Los dibujos pueden ser bidimensionales o tridimensionales.

Consideremos primero el caso bidimensional. Sistema de coordenadas rectangular cartesiano:

1) Dibujar ejes de coordenadas. El eje se llama eje x , y el eje es eje y . Siempre tratamos de dibujarlos. limpio y no torcido. Las flechas tampoco deberían parecerse a la barba de Papa Carlo.

2) Firmamos los ejes con letras grandes “X” e “Y”. No olvides etiquetar los ejes..

3) Establecer la escala a lo largo de los ejes: dibuja un cero y dos unos. Al hacer un dibujo, la escala más conveniente y utilizada con frecuencia es: 1 unidad = 2 celdas (dibujo de la izquierda); si es posible, cíñete a ella. Sin embargo, de vez en cuando sucede que el dibujo no cabe en la hoja del cuaderno; entonces reducimos la escala: 1 unidad = 1 celda (dibujo de la derecha). Es raro, pero sucede que hay que reducir (o aumentar) aún más la escala del dibujo.

NO HAY NECESIDAD de “ametrallar”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Porque el plano de coordenadas no es un monumento a Descartes y el estudiante no es una paloma. ponemos cero Y dos unidades a lo largo de los ejes. A veces en lugar de unidades, es conveniente "marcar" otros valores, por ejemplo, "dos" en el eje de abscisas y "tres" en el eje de ordenadas, y este sistema (0, 2 y 3) también definirá de forma única la cuadrícula de coordenadas.

Es mejor estimar las dimensiones estimadas del dibujo ANTES de construirlo.. Entonces, por ejemplo, si la tarea requiere dibujar un triángulo con vértices , , , entonces está completamente claro que la escala popular de 1 unidad = 2 celdas no funcionará. ¿Por qué? Veamos el punto: aquí tendrás que medir quince centímetros hacia abajo y, obviamente, el dibujo no cabe (o apenas cabe) en una hoja de cuaderno. Por lo tanto, seleccionamos inmediatamente una escala más pequeña: 1 unidad = 1 celda.

Por cierto, unos centímetros y celdas de cuaderno. ¿Es cierto que 30 celdas de un cuaderno contienen 15 centímetros? Para divertirte, mide 15 centímetros en tu cuaderno con una regla. En la URSS, esto pudo haber sido cierto... Es interesante notar que si mides estos mismos centímetros horizontal y verticalmente, ¡los resultados (en las celdas) serán diferentes! Estrictamente hablando, los cuadernos modernos no son a cuadros, sino rectangulares. Esto puede parecer una tontería, pero dibujar, por ejemplo, un círculo con un círculo en tales situaciones es muy inconveniente. Para ser honesto, en esos momentos uno comienza a pensar en la razón del camarada Stalin, quien fue enviado a campos para realizar trabajos de piratería en la producción, sin mencionar la industria automotriz nacional, los aviones que caen o las explosiones de centrales eléctricas.

Hablando de calidad, o una breve recomendación sobre papelería. Hoy en día, la mayoría de los portátiles a la venta son, por decir lo mínimo, una completa basura. ¡Porque se mojan, y no solo con los bolígrafos de gel, sino también con los bolígrafos! Ahorran dinero en papel. Para realizar las pruebas recomiendo utilizar cuadernos de la fábrica de celulosa y papel de Arkhangelsk (18 hojas, cuadrados) o “Pyaterochka”, aunque es más caro. Es recomendable elegir un bolígrafo de gel; incluso el recambio de gel chino más barato es mucho mejor que un bolígrafo, que mancha o rasga el papel. El único bolígrafo “competitivo” que recuerdo es el Erich Krause. Escribe de forma clara, bella y coherente, ya sea con la esencia llena o casi vacía.

Además: La visión de un sistema de coordenadas rectangular a través de los ojos de la geometría analítica se trata en el artículo. Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores, puede encontrar información detallada sobre los cuartos de coordenadas en el segundo párrafo de la lección. Desigualdades lineales.

caso 3D

Es casi lo mismo aquí.

1) Dibujar ejes de coordenadas. Estándar: aplicar eje – dirigido hacia arriba, eje – dirigido hacia la derecha, eje – dirigido hacia abajo hacia la izquierda estrictamente en un ángulo de 45 grados.

2) Etiquete los ejes.

3) Establezca la escala a lo largo de los ejes. La escala a lo largo del eje es dos veces menor que la escala a lo largo de los otros ejes.. También tenga en cuenta que en el dibujo de la derecha utilicé una "muesca" no estándar a lo largo del eje. (esta posibilidad ya ha sido mencionada anteriormente). Desde mi punto de vista, esto es más preciso, más rápido y más agradable desde el punto de vista estético: no es necesario buscar el centro de la celda con un microscopio y "esculpir" una unidad cerca del origen de las coordenadas.

Al hacer un dibujo 3D, nuevamente, dale prioridad a la escala.
1 unidad = 2 celdas (dibujo de la izquierda).

¿Para qué sirven todas estas reglas? Las reglas están hechas para romperse. Eso es lo que haré ahora. El hecho es que los dibujos posteriores del artículo los haré yo en Excel y los ejes de coordenadas se verán incorrectos desde el punto de vista del diseño correcto. Podría dibujar todos los gráficos a mano, pero en realidad da miedo dibujarlos porque Excel se resiste a dibujarlos con mucha más precisión.

Gráficas y propiedades básicas de funciones elementales.

Una función lineal viene dada por la ecuación. La gráfica de funciones lineales es directo. Para construir una línea recta basta con conocer dos puntos.

Ejemplo 1

Construye una gráfica de la función. Encontremos dos puntos. Es ventajoso elegir cero como uno de los puntos.

Si entonces

Tomemos otro punto, por ejemplo, 1.

Si entonces

Al realizar tareas, las coordenadas de los puntos se suelen resumir en una tabla:

Y los valores en sí se calculan de forma oral o en un borrador, una calculadora.

Se han encontrado dos puntos, hagamos el dibujo:

Al preparar un dibujo, siempre firmamos los gráficos..

Sería útil recordar casos especiales de una función lineal:

Fíjate cómo coloqué las firmas, las firmas no deben permitir discrepancias al estudiar el dibujo.. En este caso, era extremadamente indeseable poner una firma al lado del punto de intersección de las líneas, o en la parte inferior derecha entre los gráficos.

1) Una función lineal de la forma () se llama proporcionalidad directa. Por ejemplo, . Una gráfica de proporcionalidad directa siempre pasa por el origen. Por lo tanto, construir una línea recta se simplifica: basta con encontrar un solo punto.

2) Una ecuación de la forma especifica una línea recta paralela al eje; en particular, el eje mismo está dado por la ecuación. La gráfica de la función se construye inmediatamente, sin encontrar ningún punto. Es decir, la entrada debe entenderse de la siguiente manera: “la y siempre es igual a –4, para cualquier valor de x”.

3) Una ecuación de la forma especifica una línea recta paralela al eje; en particular, el eje mismo está dado por la ecuación. La gráfica de la función también se traza inmediatamente. La entrada debe entenderse de la siguiente manera: “x es siempre, para cualquier valor de y, igual a 1”.

Algunos preguntarán, ¿por qué recordar el sexto grado? Así es, tal vez sea así, pero a lo largo de los años de práctica he conocido a una buena docena de estudiantes que estaban desconcertados ante la tarea de construir un gráfico como o.

Construir una línea recta es la acción más común al realizar dibujos.

La línea recta se analiza en detalle en el curso de geometría analítica, y los interesados ​​pueden consultar el artículo. Ecuación de una línea recta en un plano..

Gráfica de una función cúbica cuadrática, gráfica de un polinomio

Parábola. Gráfica de una función cuadrática () representa una parábola. Consideremos el famoso caso:

Recordemos algunas propiedades de la función.

Entonces, la solución a nuestra ecuación: – es en este punto donde se ubica el vértice de la parábola. El motivo de esto se puede encontrar en el artículo teórico sobre la derivada y la lección sobre los extremos de la función. Mientras tanto, calculemos el valor "Y" correspondiente:

Por tanto, el vértice está en el punto

Ahora encontramos otros puntos, mientras usamos descaradamente la simetría de la parábola. Cabe señalar que la función – ni siquiera es, pero, sin embargo, nadie canceló la simetría de la parábola.

En qué orden para encontrar los puntos restantes, creo que quedará claro en la mesa final:

Este algoritmo de construcción se puede llamar en sentido figurado "lanzadera" o el principio de "ida y vuelta" de Anfisa Chejova.

Hagamos el dibujo:

De los gráficos examinados, me viene a la mente otra característica útil:

Para una función cuadrática () lo siguiente es cierto:

Si , entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba..

Si , entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo..

Se puede obtener un conocimiento profundo sobre la curva en la lección Hipérbola y parábola.

Una parábola cúbica está dada por la función. Aquí hay un dibujo familiar de la escuela:

Enumeremos las principales propiedades de la función.

Gráfica de una función

Representa una de las ramas de una parábola. Hagamos el dibujo:

Propiedades principales de la función:

En este caso el eje es asíntota vertical para la gráfica de una hipérbola en .

Sería un GRAVE error si, al realizar un dibujo, descuidadamente permites que la gráfica se cruce con una asíntota.

También los límites unilaterales nos dicen que la hipérbola no limitado desde arriba Y no limitado desde abajo.

Examinemos la función en el infinito: , es decir, si comenzamos a movernos a lo largo del eje hacia la izquierda (o derecha) hasta el infinito, entonces los "juegos" serán un paso ordenado. infinitamente cerca acercarse a cero y, en consecuencia, las ramas de la hipérbola infinitamente cerca acercarse al eje.

Entonces el eje es asíntota horizontal para la gráfica de una función, si “x” tiende a más o menos infinito.

La función es extraño, y, por tanto, la hipérbola es simétrica con respecto al origen. Este hecho se desprende claramente del dibujo, además, se verifica fácilmente analíticamente: .

La gráfica de una función de la forma () representa dos ramas de una hipérbola.

Si , entonces la hipérbola se ubica en el primer y tercer cuarto de coordenadas(ver imagen arriba).

Si , entonces la hipérbola se ubica en el segundo y cuarto cuarto de coordenadas.

El patrón indicado de residencia de la hipérbola es fácil de analizar desde el punto de vista de las transformaciones geométricas de las gráficas.

Ejemplo 3

Construye la rama derecha de la hipérbola.

Usamos el método de construcción puntual y es ventajoso seleccionar los valores para que sean divisibles por un entero:

Hagamos el dibujo:

No será difícil construir la rama izquierda de la hipérbola; la rareza de la función ayudará aquí. En términos generales, en la tabla de construcción puntual, sumamos mentalmente un menos a cada número, ponemos los puntos correspondientes y dibujamos la segunda rama.

Se puede encontrar información geométrica detallada sobre la recta considerada en el artículo Hipérbola y parábola.

Gráfica de una función exponencial

En esta sección, consideraré inmediatamente la función exponencial, ya que en problemas de matemáticas superiores en el 95% de los casos se encuentra la exponencial.

Permítanme recordarles que este es un número irracional: , será necesario al construir un gráfico que, de hecho, construiré sin ceremonias. Probablemente tres puntos sean suficientes:

Dejemos la gráfica de la función sola por ahora, hablaremos de ella más adelante.

Propiedades principales de la función:

Los gráficos de funciones, etc., se ven fundamentalmente iguales.

Debo decir que el segundo caso ocurre con menos frecuencia en la práctica, pero ocurre, por lo que consideré necesario incluirlo en este artículo.

Gráfica de una función logarítmica

Considere una función con un logaritmo natural.
Hagamos un dibujo punto por punto:

Si ha olvidado qué es un logaritmo, consulte los libros de texto de su escuela.

Propiedades principales de la función:

Dominio de definición:

Rango de valores: .

La función no está limitada desde arriba: , aunque lentamente, pero la rama del logaritmo llega hasta el infinito.
Examinemos el comportamiento de la función cercana a cero a la derecha: . Entonces el eje es asíntota vertical para la gráfica de una función cuando “x” tiende a cero desde la derecha.

Es imperativo conocer y recordar el valor típico del logaritmo.: .

En principio, la gráfica del logaritmo en base tiene el mismo aspecto: , , (logaritmo decimal en base 10), etc. Además, cuanto mayor sea la base, más plano será el gráfico.

No consideraremos el caso; no recuerdo la última vez que construí un gráfico con esa base. Y el logaritmo parece ser un invitado muy raro en los problemas de matemáticas superiores.

Al final de este párrafo diré un hecho más: Función exponencial y función logarítmica.– estas son dos funciones mutuamente inversas. Si miras de cerca la gráfica del logaritmo, puedes ver que este es el mismo exponente, solo que está ubicado de manera un poco diferente.

Gráficas de funciones trigonométricas.

¿Dónde comienza el tormento trigonométrico en la escuela? Bien. Del seno

Trazamos la función

Esta línea se llama sinusoide.

Déjame recordarte que “pi” es un número irracional: y en trigonometría deslumbra los ojos.

Propiedades principales de la función:

Esta función es periódico con punto. ¿Qué significa? Veamos el segmento. A la izquierda y a la derecha, exactamente la misma parte del gráfico se repite sin cesar.

Dominio de definición: , es decir, para cualquier valor de “x” existe un valor seno.

Rango de valores: . La función es limitado: , es decir, todos los "juegos" se ubican estrictamente en el segmento.
Esto no sucede: o, más precisamente, sucede, pero estas ecuaciones no tienen solución.

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¿Cómo construir una parábola? Hay varias formas de graficar una función cuadrática. Cada uno de ellos tiene sus pros y sus contras. Consideremos dos formas.

Comencemos trazando una función cuadrática de la forma y=x²+bx+c y y= -x²+bx+c.

Ejemplo.

Grafica la función y=x²+2x-3.

Solución:

y=x²+2x-3 es una función cuadrática. La gráfica es una parábola con ramas hacia arriba. Coordenadas del vértice de la parábola

Desde el vértice (-1;-4) construimos una gráfica de la parábola y=x² (a partir del origen de coordenadas. En lugar de (0;0) - vértice (-1;-4). Desde (-1; -4) vamos a la derecha 1 unidad y arriba 1 unidad, luego a la izquierda 1 y arriba 1, luego: 2 - derecha, 4 - arriba, 2 - izquierda, 3 - arriba; izquierda, 9 - arriba Si estos 7 puntos no son suficientes, entonces 4 a la derecha, 16 arriba, etc.).

La gráfica de la función cuadrática y= -x²+bx+c es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia abajo. Para construir una gráfica buscamos las coordenadas del vértice y a partir de ella construimos una parábola y= -x².

Ejemplo.

Grafica la función y= -x²+2x+8.

Solución:

y= -x²+2x+8 es una función cuadrática. La gráfica es una parábola con ramas hacia abajo. Coordenadas del vértice de la parábola

Desde arriba construimos una parábola y= -x² (1 - a la derecha, 1- abajo; 1 - izquierda, 1 - abajo; 2 - derecha, 4 - abajo; 2 - izquierda, 4 - abajo, etc.):

Este método te permite construir una parábola rápidamente y no es difícil si sabes graficar las funciones y=x² e y= -x². Desventaja: si las coordenadas del vértice son números fraccionarios, no es muy conveniente construir una gráfica. Si necesitas saber los valores exactos de los puntos de intersección de la gráfica con el eje Ox, tendrás que resolver adicionalmente la ecuación x²+bx+c=0 (o -x²+bx+c=0), incluso si estos puntos se pueden determinar directamente a partir del dibujo.

Otra forma de construir una parábola es por puntos, es decir, puedes encontrar varios puntos en la gráfica y trazar una parábola a través de ellos (teniendo en cuenta que la recta x=xₒ es su eje de simetría). Por lo general, para esto toman el vértice de la parábola, los puntos de intersección del gráfico con los ejes de coordenadas y 1-2 puntos adicionales.

Dibuja una gráfica de la función y=x²+5x+4.

Solución:

y=x²+5x+4 es una función cuadrática. La gráfica es una parábola con ramas hacia arriba. Coordenadas del vértice de la parábola

es decir, la parte superior de la parábola es el punto (-2,5; -2,25).

Estamos buscando. En el punto de intersección con el eje Ox y=0: x²+5x+4=0. Las raíces de la ecuación cuadrática x1=-1, x2=-4, es decir, tenemos dos puntos en la gráfica (-1; 0) y (-4; 0).

En el punto de intersección de la gráfica con el eje Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Entendemos el punto (0; 4).

Para aclarar el gráfico, puedes encontrar un punto adicional. Tomemos x=1, entonces y=1²+5∙1+4=10, es decir, otro punto de la gráfica es (1; 10). Marcamos estos puntos en el plano de coordenadas. Teniendo en cuenta la simetría de la parábola con respecto a la recta que pasa por su vértice, marcamos dos puntos más: (-5; 6) y (-6; 10) y dibujamos una parábola a través de ellos:

Grafica la función y= -x²-3x.

Solución:

y= -x²-3x es una función cuadrática. La gráfica es una parábola con ramas hacia abajo. Coordenadas del vértice de la parábola

El vértice (-1,5; 2,25) es el primer punto de la parábola.

En los puntos de intersección de la gráfica con el eje de abscisas y=0, es decir, resolvemos la ecuación -x²-3x=0. Sus raíces son x=0 y x=-3, es decir (0;0) y (-3;0), dos puntos más en el gráfico. El punto (o; 0) es también el punto de intersección de la parábola con el eje de ordenadas.

En x=1 y=-1²-3∙1=-4, es decir (1; -4) es un punto adicional para trazar.

Construir una parábola a partir de puntos es un método que requiere más mano de obra en comparación con el primero. Si la parábola no corta el eje Ox, se necesitarán más puntos adicionales.

Antes de continuar construyendo gráficas de funciones cuadráticas de la forma y=ax²+bx+c, consideremos la construcción de gráficas de funciones usando transformaciones geométricas. También es más conveniente construir gráficas de funciones de la forma y=x²+c usando una de estas transformaciones: la traducción paralela.

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Muchos problemas requieren calcular el valor máximo o mínimo de una función cuadrática. El máximo o mínimo se puede encontrar si la función original se escribe en forma estándar: o mediante las coordenadas del vértice de la parábola: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Además, el máximo o mínimo de cualquier función cuadrática se puede calcular mediante operaciones matemáticas.

Pasos

La función cuadrática está escrita en forma estándar.

Escribe la función en forma estándar. Una función cuadrática es una función cuya ecuación involucra una variable x 2 (\displaystyle x^(2)). La ecuación puede incluir o no una variable. x (\displaystyle x). Si una ecuación incluye una variable con un exponente mayor que 2, no describe una función cuadrática. Si es necesario, proporcione términos similares y reorganícelos para escribir la función en forma estándar.

• Por ejemplo, dada la función f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Agregar términos con variable x 2 (\displaystyle x^(2)) y miembros con variable x (\displaystyle x) para escribir la ecuación en forma estándar:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Las ramas de una parábola se dirigen hacia arriba o hacia abajo. Si el coeficiente un (displaystyle a) con variables x 2 (\displaystyle x^(2)) un (displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Aquí a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Por tanto, aquí la parábola está dirigida hacia abajo.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Aquí a = 1 (\displaystyle a=1), entonces la parábola está dirigida hacia arriba.
   • Si la parábola se dirige hacia arriba, es necesario buscar su mínimo. Si la parábola apunta hacia abajo, busque su máximo.

2. Calcule -b/2a. Significado − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) es la coordenada x (\displaystyle x) vértices de la parábola. Si una función cuadrática se escribe en forma estándar a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), utilice los coeficientes para x (\displaystyle x) Y x 2 (\displaystyle x^(2)) como sigue:

   • En los coeficientes de función. a = 1 (\displaystyle a=1) Y segundo = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Como segundo ejemplo, considere la función. Aquí a = − 3 (\displaystyle a=-3) Y segundo = 6 (\displaystyle b=6). Por tanto, calcula la coordenada “x” del vértice de la parábola de la siguiente manera:
     • x = − segundo 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Encuentre el valor correspondiente de f(x). Inserte el valor encontrado de "x" en la función original para encontrar el valor correspondiente de f(x). De esta forma encontrarás el mínimo o máximo de la función.

   • En el primer ejemplo f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) has calculado que la coordenada x del vértice de la parábola es x = − 5 (\displaystyle x=-5). En la función original, en lugar de x (\displaystyle x) sustituto − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • En el segundo ejemplo f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) encontraste que la coordenada x del vértice de la parábola es x = 1 (\displaystyle x=1). En la función original, en lugar de x (\displaystyle x) sustituto 1 (\displaystyle 1) para encontrar su valor máximo:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Escribe tu respuesta. Vuelva a leer el enunciado del problema. Si necesitas encontrar las coordenadas del vértice de una parábola, escribe ambos valores en tu respuesta x (\displaystyle x) Y y (\displaystyle y)(o f (x) (\displaystyle f(x))). Si necesitas calcular el máximo o mínimo de una función, escribe solo el valor en tu respuesta y (\displaystyle y)(o f (x) (\displaystyle f(x))). Mira de nuevo el signo del coeficiente. un (displaystyle a) para comprobar si calculó el máximo o el mínimo.

   • En el primer ejemplo f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) significado un (displaystyle a) positivo, entonces has calculado el mínimo. El vértice de la parábola se encuentra en el punto de coordenadas (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), y el valor mínimo de la función es − 26 (\displaystyle -26).
   • En el segundo ejemplo f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) significado un (displaystyle a) negativo, entonces has encontrado el máximo. El vértice de la parábola se encuentra en el punto de coordenadas (1, − 1) (\displaystyle (1,-1)), y el valor máximo de la función es − 1 (\displaystyle -1).

5. Determina la dirección de la parábola. Para hacer esto, mira el signo del coeficiente. un (displaystyle a). Si el coeficiente un (displaystyle a) positiva, la parábola se dirige hacia arriba. Si el coeficiente un (displaystyle a) Negativo, la parábola se dirige hacia abajo. Por ejemplo:

   • . Aquí a = 2 (\displaystyle a=2), es decir, el coeficiente es positivo, por lo que la parábola está dirigida hacia arriba.
   • . Aquí a = − 3 (\displaystyle a=-3), es decir, el coeficiente es negativo, por lo que la parábola se dirige hacia abajo.
   • Si la parábola está dirigida hacia arriba, debes calcular el valor mínimo de la función. Si la parábola se dirige hacia abajo, necesitas encontrar el valor máximo de la función.

6. Encuentra el valor mínimo o máximo de la función. Si la función se escribe a través de las coordenadas del vértice de la parábola, el mínimo o máximo es igual al valor del coeficiente k (\displaystyle k). En los ejemplos anteriores:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Aquí k = − 4 (\displaystyle k=-4). Este es el valor mínimo de la función porque la parábola está dirigida hacia arriba.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Aquí k = 2 (\displaystyle k=2). Este es el valor máximo de la función porque la parábola está dirigida hacia abajo.

7. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola. Si el problema requiere encontrar el vértice de una parábola, sus coordenadas son (h , k) (\displaystyle (h,k)). Tenga en cuenta que cuando una función cuadrática se escribe a través de las coordenadas del vértice de una parábola, la operación de resta debe estar entre paréntesis. (x − h) (\displaystyle (xh)), entonces el valor h (\displaystyle h) se toma con el signo opuesto.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Aquí la operación de suma (x+1) está entre paréntesis, que se puede reescribir de la siguiente manera: (x-(-1)). De este modo, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Por tanto, las coordenadas del vértice de la parábola de esta función son iguales a (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Aquí entre paréntesis está la expresión (x-2). Por eso, h = 2 (\displaystyle h=2). Las coordenadas del vértice son (2,2).

Cómo calcular el mínimo o el máximo mediante operaciones matemáticas

1. Primero, veamos la forma estándar de la ecuación. Escribe la función cuadrática en forma estándar: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Si es necesario, agregue términos similares y reorganícelos para obtener una ecuación estándar.

   • Por ejemplo: .

2. Encuentra la primera derivada. La primera derivada de una función cuadrática, que está escrita en forma estándar, es igual a f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). La primera derivada de esta función se calcula de la siguiente manera:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Iguala la derivada a cero. Recuerde que la derivada de una función es igual a la pendiente de la función en un punto determinado. En mínimo o máximo, la pendiente es cero. Por lo tanto, para encontrar el valor mínimo o máximo de una función, la derivada debe establecerse en cero. En nuestro ejemplo.