Calculadora online para encontrar el área de una figura delimitada por líneas. Integral definida

Solución.

El primer y más importante punto de la decisión es la construcción del dibujo..

Hagamos el dibujo:

Ecuación y=0 establece el eje “x”;

- x=-2 Y x=1 - recto, paralelo al eje Oh;

- y=x 2 +2 - una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba, con el vértice en el punto (0;2).

Comentario. Para construir una parábola, basta con encontrar los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas, es decir puesta x=0 encontrar la intersección con el eje Oh y resolviendo la ecuación cuadrática correspondiente, encuentre la intersección con el eje Oh .

El vértice de una parábola se puede encontrar usando las fórmulas:

También puedes construir líneas punto por punto.

En el intervalo [-2;1] la gráfica de la función y=x 2 +2 situado por encima del eje Buey , Es por eso:

Respuesta: S =9 unidades cuadradas

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, "a ojo" contamos el número de celdas en el dibujo; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Qué hacer si se localiza el trapezoide curvo. debajo del eje ¿Oh?

b) Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y=-e x , x=1 y ejes de coordenadas.

Solución.

Hagamos un dibujo.

Si un trapecio curvo completamente ubicado debajo del eje Oh , entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:

Respuesta: S=(e-1) unidades cuadradas" 1.72 unidades cuadradas

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas.:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior.

Con) Encuentra el área de una figura plana delimitada por líneas. y=2x-x 2, y=-x.

Solución.

Primero necesitas completar el dibujo. En términos generales, al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de las líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola. y recto Esto se puede hacer de dos maneras. El primer método es analítico.

Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración a=0 , límite superior de integración segundo=3 .

Construimos las rectas dadas: 1. Parábola - vértice en el punto (1;1); intersección del eje Oh - puntos (0;0) y (0;2). 2. Línea recta: bisectriz del segundo y cuarto ángulo coordenado. Y ahora ¡Atención! Si en el segmento [ a;b] alguna función continua f(x) mayor o igual a alguna función continua gramo(x), entonces el área de la figura correspondiente se puede encontrar usando la fórmula: .

Y no importa dónde se encuentre la figura, encima o debajo del eje, sino qué gráfico está MÁS ALTO (en relación con otro gráfico) y cuál está ABAJO. En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, es necesario restar de

Se pueden construir líneas punto por punto y los límites de la integración se aclaran "por sí solos". Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales).

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.

en el segmento , según la fórmula correspondiente:

Respuesta: S =4.5 unidades cuadradas

En este artículo aprenderás cómo encontrar el área de una figura delimitada por líneas usando cálculos integrales. La formulación de un problema de este tipo nos encontramos por primera vez en la escuela secundaria, cuando acabamos de completar el estudio de integrales definidas y es hora de comenzar la interpretación geométrica del conocimiento adquirido en la práctica.

Entonces, lo que se requiere para resolver con éxito el problema de encontrar el área de una figura usando integrales:

Capacidad para realizar dibujos competentes;
Capacidad para resolver una integral definida utilizando la conocida fórmula de Newton-Leibniz;
La capacidad de "ver" una opción de solución más rentable, es decir, ¿Entiendes cómo será más conveniente realizar la integración en un caso u otro? ¿A lo largo del eje x (OX) o del eje y (OY)?
Bueno, ¿dónde estaríamos sin los cálculos correctos?) Esto incluye comprender cómo resolver ese otro tipo de integrales y cálculos numéricos correctos.

Algoritmo para resolver el problema de calcular el área de una figura delimitada por líneas:

1. Estamos construyendo un dibujo. Es recomendable hacerlo en un papel cuadriculado, a gran escala. Firmamos el nombre de esta función con un lápiz encima de cada gráfica. La firma de los gráficos se realiza únicamente para facilitar la realización de cálculos adicionales. Habiendo recibido un gráfico de la cifra deseada, en la mayoría de los casos quedará inmediatamente claro qué límites de integración se utilizarán. Así, solucionamos el problema gráficamente. Sin embargo, sucede que los valores de los límites son fraccionarios o irracionales. Por lo tanto, puedes realizar cálculos adicionales, ve al paso dos.

2. Si los límites de integración no se especifican explícitamente, entonces encontramos los puntos de intersección de las gráficas entre sí y vemos si nuestra solución gráfica coincide con la analítica.

3. A continuación, debes analizar el dibujo. Dependiendo de cómo estén dispuestas las gráficas de funciones, existen diferentes enfoques para encontrar el área de una figura. Veamos diferentes ejemplos de cómo encontrar el área de una figura usando integrales.

3.1. La versión más clásica y sencilla del problema es cuando necesitas encontrar el área de un trapecio curvo. ¿Qué es un trapecio curvo? Esta es una figura plana limitada por el eje x. (y = 0), derecho x = a, x = b y cualquier curva continua en el intervalo desde a a b. Además, esta cifra no es negativa y no se encuentra debajo del eje x. En este caso, el área del trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una determinada integral, calculada mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

Ejemplo 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

¿Qué líneas está delimitada por la figura? tenemos una parábola y = x2 – 3x + 3, que se encuentra encima del eje OH, no es negativo, porque todos los puntos de esta parábola tienen valores positivos. A continuación, dadas las líneas rectas. x = 1 Y x = 3, que corren paralelas al eje amplificador operacional, son las líneas límite de la figura a la izquierda y a la derecha. Bien y = 0, también es el eje x, que limita la figura desde abajo. La figura resultante está sombreada, como puede verse en la figura de la izquierda. En este caso, puede empezar a resolver el problema inmediatamente. Ante nosotros hay un ejemplo simple de un trapezoide curvo, que luego resolvemos usando la fórmula de Newton-Leibniz.

3.2. En el párrafo 3.1 anterior, examinamos el caso en el que un trapecio curvo se encuentra encima del eje x. Consideremos ahora el caso en el que las condiciones del problema son las mismas, excepto que la función se encuentra debajo del eje x. Se agrega un menos a la fórmula estándar de Newton-Leibniz. Consideraremos cómo resolver tal problema a continuación.

Ejemplo 2 . Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

En este ejemplo tenemos una parábola. y = x2 + 6x + 2, que se origina en el eje OH, derecho x = -4, x = -1, y = 0. Aquí y = 0 limita la figura deseada desde arriba. Directo x = -4 Y x = -1 estos son los límites dentro de los cuales se calculará la integral definida. El principio para resolver el problema de encontrar el área de una figura coincide casi por completo con el ejemplo número 1. La única diferencia es que la función dada no es positiva y también es continua en el intervalo. [-4; -1] . ¿Qué quieres decir con no positivo? Como puede verse en la figura, la figura que se encuentra dentro de las x dadas tiene coordenadas exclusivamente "negativas", que es lo que necesitamos ver y recordar al resolver el problema. Buscamos el área de la figura usando la fórmula de Newton-Leibniz, solo que con un signo menos al principio.

El artículo no está completo.

Pasemos a considerar las aplicaciones del cálculo integral. En esta lección analizaremos la tarea típica y más común. calcular el área de una figura plana usando una integral definida. Finalmente, que todos aquellos que buscan significado en las matemáticas superiores lo encuentren. Nunca se sabe. En la vida real, tendrás que aproximar una parcela de dacha usando funciones elementales y encontrar su área usando una integral definida.

Para dominar con éxito el material, debe:

1) Comprender la integral indefinida al menos a un nivel intermedio. Por lo tanto, los tontos deberían leer primero la lección. No.

2) Ser capaz de aplicar la fórmula de Newton-Leibniz y calcular la integral definida. Puede establecer cálidas relaciones amistosas con ciertos integrales en la página. Integral definida. Ejemplos de soluciones. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que tus conocimientos y habilidades de dibujo también serán un tema relevante. Como mínimo, debes poder construir una línea recta, una parábola y una hipérbola.

Empecemos con un trapezoide curvo. Un trapecio curvo es una figura plana delimitada por la gráfica de alguna función. y = F(incógnita), eje BUEY y lineas incógnita = a; incógnita = b.

El área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida

Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico. en clase Integral definida. Ejemplos de soluciones dijimos que una integral definida es un número. Y ahora ha llegado el momento de exponer otro hecho útil. Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA. Eso es, la integral definida (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Considere la integral definida

integrando

define una curva en el plano (se puede dibujar si se desea), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área del trapecio curvilíneo correspondiente.

Ejemplo 1

, , , .

Esta es una declaración de asignación típica. El punto más importante en la decisión es la construcción del dibujo.. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces– parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. La técnica de construcción punto por punto se puede encontrar en el material de referencia. Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Allí también podrá encontrar material muy útil para nuestra lección: cómo construir rápidamente una parábola.

En este problema, la solución podría verse así.

Hagamos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación y= 0 especifica el eje BUEY):

No sombrearemos el trapezoide curvo; aquí es obvio de qué área estamos hablando. La solución continúa así:

En el segmento [-2; 1] gráfico de funciones y = incógnita 2 + 2 ubicados por encima del ejeBUEY, Es por eso:

Respuesta: .

¿Quién tiene dificultades para calcular la integral definida y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz?

referirse a la conferencia Integral definida. Ejemplos de soluciones. Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, contamos el número de celdas en el dibujo "a ojo"; bueno, habrá alrededor de 9, lo que parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 2

Calcular el área de una figura delimitada por líneas. xy = 4, incógnita = 2, incógnita= 4 y eje BUEY.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Qué hacer si se localiza el trapezoide curvo. debajo del ejeBUEY?

Ejemplo 3

Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = ex, incógnita= 1 y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si un trapecio curvo completamente ubicado debajo del eje BUEY , entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:

En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por líneas. y = 2incógnita – incógnita 2 , y = -incógnita.

Solución: Primero necesitas hacer un dibujo. Al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola. y = 2incógnita – incógnita 2 y recto y = -incógnita. Esto se puede hacer de dos maneras. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración a= 0, límite superior de integración b= 3. A menudo es más rentable y más rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran “por sí solos”. Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Repitamos que cuando se construye puntualmente, los límites de integración suelen determinarse "automáticamente".

Y ahora la fórmula de trabajo:

Si en el segmento [ a; b] alguna función continua F(incógnita) mayor o igual a alguna función continua gramo(incógnita), entonces el área de la figura correspondiente se puede encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima o debajo del eje, sino importa qué gráfico es MÁS ALTO(en relación con otro gráfico), y cual esta ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, desde 2 incógnita – incógnita Hay que restar 2 – incógnita.

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola. y = 2incógnita – incógnita 2 arriba y recto y = -incógnita abajo.

En el segmento 2 incógnita – incógnita 2 ≥ -incógnita. Según la fórmula correspondiente:

Respuesta: .

De hecho, la fórmula escolar para el área de un trapecio curvilíneo en el semiplano inferior (ver ejemplo No. 3) es un caso especial de la fórmula

porque el eje BUEY dado por la ecuación y= 0, y la gráfica de la función gramo(incógnita) ubicado debajo del eje BUEY, Eso

Y ahora un par de ejemplos para su propia solución.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Encuentra el área de una figura delimitada por líneas.

Al resolver problemas que implican calcular el área usando una integral definida, a veces ocurre un incidente divertido. El dibujo se hizo correctamente, los cálculos fueron correctos, pero por descuido... Se encontró el área de la figura equivocada.

Ejemplo 7

Primero hagamos un dibujo:

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, las personas a menudo deciden que necesitan encontrar el área de la figura sombreada en verde.

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas. En realidad:

1) En el segmento [-1; 1] encima del eje BUEY la gráfica se ubica recta y = incógnita+1;

2) En un segmento por encima del eje. BUEY se ubica la gráfica de una hipérbola y = (2/incógnita).

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Respuesta:

Ejemplo 8

Calcular el área de una figura delimitada por líneas.

Presentemos las ecuaciones en forma “escolar”.

y haz un dibujo punto por punto:

Del dibujo se desprende claramente que nuestro límite superior es "bueno": b = 1.

¿Pero cuál es el límite inferior? Está claro que esto no es un número entero, pero ¿qué es?

Tal vez, a=(-1/3)? Pero, ¿dónde está la garantía de que el dibujo se realizó con perfecta precisión? Bien puede resultar que a=(-1/4). ¿Qué pasa si construimos el gráfico incorrectamente?

En tales casos, hay que dedicar más tiempo y aclarar analíticamente los límites de la integración.

Encontremos los puntos de intersección de las gráficas.

Para ello resolvemos la ecuación:

Por eso, a=(-1/3).

La solución adicional es trivial. Lo principal es no confundirse con sustituciones y signos. Los cálculos aquí no son los más sencillos. en el segmento

, ,

según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Para concluir la lección, veamos dos tareas más difíciles.

Ejemplo 9

Calcular el área de una figura delimitada por líneas.

Solución: representemos esta figura en el dibujo.

Para construir un dibujo punto por punto, es necesario conocer la apariencia de una sinusoide. En general, es útil conocer las gráficas de todas las funciones elementales, así como algunos valores de los senos. Se pueden encontrar en la tabla de valores. funciones trigonométricas. En algunos casos (por ejemplo, en este caso), es posible construir un dibujo esquemático en el que, en principio, se deben representar correctamente los gráficos y los límites de integración.

Aquí no hay problemas con los límites de integración; se derivan directamente de la condición:

– “x” cambia de cero a “pi”. Tomemos una decisión adicional:

En un segmento, la gráfica de una función. y= pecado 3 incógnita ubicado encima del eje BUEY, Es por eso:

(1) Puedes ver cómo se integran los senos y cosenos en potencias impares en la lección Integrales de funciones trigonométricas.. Pellizcamos un seno.

(2) Usamos la identidad trigonométrica principal en la forma

(3) Cambiemos la variable t= porque incógnita, entonces: se ubica arriba del eje, por lo tanto:

Nota: observe cómo se toma la integral de la tangente al cubo; aquí se utiliza un corolario de la identidad trigonométrica básica;

Problema 1(sobre el cálculo del área de un trapezoide curvo).

En el sistema de coordenadas rectangular cartesiano xOy, se da una figura (ver figura) delimitada por el eje x, líneas rectas x = a, x = b (un trapezoide curvo. Se requiere calcular el área del trapecio curvo.
Solución. La geometría nos da recetas para calcular las áreas de polígonos y algunas partes de un círculo (sector, segmento). Usando consideraciones geométricas, solo podemos encontrar un valor aproximado del área requerida, razonando de la siguiente manera.

Dividamos el segmento [a; b] (base de un trapecio curvo) en n partes iguales; esta partición se realiza utilizando los puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Dibujemos líneas rectas a través de estos puntos paralelas al eje y. Luego, el trapezoide curvilíneo dado se dividirá en n partes, en n columnas estrechas. El área de todo el trapecio es igual a la suma de las áreas de las columnas.

Consideremos la k-ésima columna por separado, es decir un trapecio curvo cuya base es un segmento. Reemplacémoslo con un rectángulo con la misma base y altura igual a f(x k) (ver figura). El área del rectángulo es igual a $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, donde $\Delta x_k $ es la longitud del segmento; Es natural considerar el producto resultante como un valor aproximado del área de la k-ésima columna.

Si ahora hacemos lo mismo con todas las demás columnas, llegaremos al siguiente resultado: el área S de un trapezoide curvilíneo dado es aproximadamente igual al área S n de una figura escalonada formada por n rectángulos (ver figura):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Aquí, en aras de la uniformidad de la notación, suponemos que a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - longitud del segmento, $\Delta x_1 $ - longitud del segmento, etc.; en este caso, como acordamos anteriormente, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Entonces, $S \approx S_n $, y esta igualdad aproximada es más precisa cuanto mayor es n.
Por definición, se cree que el área requerida de un trapecio curvilíneo es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problema 2(sobre mover un punto)
Un punto material se mueve en línea recta. La dependencia de la velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula v = v(t). Encuentre el movimiento de un punto durante un período de tiempo [a; b].
Solución. Si el movimiento fuera uniforme, entonces el problema se resolvería de forma muy sencilla: s = vt, es decir s = v(b-a). Para movimientos desiguales, hay que utilizar las mismas ideas en las que se basó la solución al problema anterior.
1) Dividir el intervalo de tiempo [a; b] en n partes iguales.
2) Considere un período de tiempo y suponga que durante este período la velocidad fue constante, igual que en el momento t k. Entonces suponemos que v = v(t k).
3) Encontremos el valor aproximado del movimiento del punto durante un período de tiempo. Denotaremos este valor aproximado como s k;
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento s:
$s \aprox S_n $ donde
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) El desplazamiento requerido es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Resumamos. Las soluciones a varios problemas se redujeron al mismo modelo matemático. Muchos problemas de diversos campos de la ciencia y la tecnología conducen al mismo modelo en el proceso de solución. Esto significa que este modelo matemático debe ser estudiado especialmente.

El concepto de integral definida.

Demos una descripción matemática del modelo construido en los tres problemas considerados para la función y = f(x), continua (pero no necesariamente no negativa, como se supuso en los problemas considerados) en el intervalo [a; b]:
1) dividir el segmento [a; b] en n partes iguales;
2) hacer la suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcular $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

En el curso del análisis matemático se demostró que este límite existe en el caso de una función continua (o continua por partes). lo llaman cierta integral de la función y = f(x) sobre el segmento [a; b] y denotado de la siguiente manera:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Los números a y b se denominan límites de integración (inferior y superior, respectivamente).

Volvamos a las tareas comentadas anteriormente. La definición de área dada en el problema 1 ahora se puede reescribir de la siguiente manera:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
aquí S es el área del trapezoide curvilíneo que se muestra en la figura anterior. Esto es Significado geométrico de una integral definida.

La definición del desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b, dada en el problema 2, se puede reescribir de la siguiente manera:

Fórmula de Newton-Leibniz

Primero, respondamos la pregunta: ¿cuál es la conexión entre la integral definida y la primitiva?

La respuesta se puede encontrar en el problema 2. Por un lado, el desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b se calcula mediante la formula
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Por otro lado, la coordenada de un punto en movimiento es una antiderivada de la velocidad; denotémosla s(t); Esto significa que el desplazamiento s se expresa mediante la fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado obtenemos:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
donde s(t) es la antiderivada de v(t).

El siguiente teorema fue demostrado en el curso del análisis matemático.
Teorema. Si la función y = f(x) es continua en el intervalo [a; b], entonces la fórmula es válida
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
donde F(x) es la antiderivada de f(x).

La fórmula dada generalmente se llama Fórmula de Newton-Leibniz en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727) y al filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quienes lo recibieron de forma independiente y casi simultáneamente.

En la práctica, en lugar de escribir F(b) - F(a), usan la notación $\left. F(x)\right|_a^b $ (a veces se la llama doble sustitución) y, en consecuencia, reescribe la fórmula de Newton-Leibniz de esta forma:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Al calcular una integral definida, primero encuentre la primitiva y luego realice una doble sustitución.

Basándonos en la fórmula de Newton-Leibniz, podemos obtener dos propiedades de la integral definida.

Propiedad 1. La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Calcular las áreas de figuras planas usando una integral definida.

Con la ayuda de la integral, es posible calcular las áreas no solo de trapecios curvilíneos, sino también de figuras planas de un tipo más complejo, por ejemplo, el que se muestra en la figura. La figura P está limitada por las rectas x = a, x = b y gráficas de funciones continuas y = f(x), y = g(x), y en el segmento [a; b] la desigualdad $g(x) \leq f(x) $ se cumple. Para calcular el área S de dicha figura procederemos de la siguiente manera:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Entonces, el área S de una figura delimitada por rectas x = a, x = b y gráficas de funciones y = f(x), y = g(x), continuas en el segmento y tales que para cualquier x del segmento [a; b] se satisface la desigualdad $g(x) \leq f(x) $, calculada mediante la fórmula
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$