Y al calcular los valores de las expresiones, las acciones se realizan en un orden determinado, es decir, se debe observar orden de acciones.
En este artículo, descubriremos qué acciones se deben realizar primero y cuáles después. Comencemos con los casos más simples, cuando la expresión contiene solo números o variables conectadas por los signos más, menos, multiplicar y dividir. A continuación, explicaremos qué orden de acciones se deben seguir en expresiones entre paréntesis. Finalmente, veamos el orden en que se realizan las acciones en expresiones que contienen potencias, raíces y otras funciones.
Navegación de páginas.
Primero multiplicación y división, luego suma y resta.
La escuela da lo siguiente. una regla que determina el orden en que se realizan las acciones en expresiones sin paréntesis:
- las acciones se realizan en orden de izquierda a derecha,
- Además, primero se realizan la multiplicación y la división, y luego la suma y la resta.
La regla establecida se percibe con bastante naturalidad. La realización de acciones en orden de izquierda a derecha se explica por el hecho de que es costumbre que llevemos registros de izquierda a derecha. Y el hecho de que la multiplicación y la división se realicen antes que la suma y la resta se explica por el significado que tienen estas acciones.
Veamos algunos ejemplos de cómo se aplica esta regla. Como ejemplos, tomaremos las expresiones numéricas más simples para no distraernos con los cálculos, sino para centrarnos específicamente en el orden de las acciones.
Ejemplo.
Siga los pasos 7−3+6.
Solución.
La expresión original no contiene paréntesis y no contiene multiplicación ni división. Por lo tanto, debemos realizar todas las acciones en orden de izquierda a derecha, es decir, primero restamos 3 de 7, obtenemos 4, luego sumamos 6 a la diferencia resultante de 4, obtenemos 10.
Brevemente, la solución se puede escribir de la siguiente manera: 7−3+6=4+6=10.
Respuesta:
7−3+6=10 .
Ejemplo.
Indique el orden de las acciones en la expresión 6:2·8:3.
Solución.
Para responder a la pregunta del problema, pasemos a la regla que indica el orden de ejecución de las acciones en expresiones sin paréntesis. La expresión original contiene solo las operaciones de multiplicación y división y, según la regla, deben realizarse en orden de izquierda a derecha.
Respuesta:
En primer lugar Dividimos 6 entre 2, multiplicamos este cociente por 8 y finalmente dividimos el resultado entre 3.
Ejemplo.
Calcula el valor de la expresión 17−5·6:3−2+4:2.
Solución.
Primero, determinemos en qué orden se deben realizar las acciones en la expresión original. Contiene tanto multiplicación como división, suma y resta. Primero, de izquierda a derecha, debes realizar la multiplicación y la división. Entonces multiplicamos 5 por 6, obtenemos 30, dividimos este número por 3, obtenemos 10. Ahora dividimos 4 entre 2 y obtenemos 2. Sustituimos el valor encontrado 10 en la expresión original en lugar de 5·6:3, y en lugar de 4:2 - el valor 2, tenemos 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.
La expresión resultante ya no contiene multiplicación y división, por lo que queda realizar las acciones restantes en orden de izquierda a derecha: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Respuesta:
17−5·6:3−2+4:2=7.
En un principio, para no confundir el orden en que se realizan las acciones al calcular el valor de una expresión, es conveniente colocar números encima de los signos de acción que correspondan al orden en que se realizan. Para el ejemplo anterior se vería así: .
Se debe seguir el mismo orden de operaciones (primero multiplicación y división, luego suma y resta) cuando se trabaja con expresiones de letras.
Acciones de la primera y segunda etapa.
En algunos libros de texto de matemáticas hay una división de las operaciones aritméticas en operaciones de la primera y segunda etapa. Resolvamos esto.
Definición.
Acciones de la primera etapa. se llaman suma y resta, y multiplicación y división se llaman acciones de segunda etapa.
En estos términos, la regla del párrafo anterior, que determina el orden de ejecución de las acciones, quedará escrita de la siguiente manera: si la expresión no contiene paréntesis, entonces, en orden de izquierda a derecha, las acciones de la segunda etapa (multiplicación y división) se realizan primero, luego las acciones de la primera etapa (suma y resta).
Orden de las operaciones aritméticas en expresiones entre paréntesis.
Las expresiones suelen contener paréntesis para indicar el orden en el que se deben realizar las acciones. En este caso una regla que especifica el orden de ejecución de acciones en expresiones entre paréntesis, se formula de la siguiente manera: primero se realizan las acciones entre paréntesis, mientras que también se realizan la multiplicación y división en orden de izquierda a derecha, luego la suma y la resta.
Entonces, las expresiones entre paréntesis se consideran componentes de la expresión original y conservan el orden de acciones que ya conocemos. Veamos las soluciones a los ejemplos para mayor claridad.
Ejemplo.
Siga estos pasos 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Solución.
La expresión contiene paréntesis, así que primero realicemos las acciones en las expresiones encerradas entre estos paréntesis. Comencemos con la expresión 7−2·3. En él primero debes realizar la multiplicación, y solo luego la resta, tenemos 7−2·3=7−6=1. Pasemos a la segunda expresión entre paréntesis 6-4. Aquí solo hay una acción: resta, la realizamos 6−4 = 2.
Sustituimos los valores obtenidos en la expresión original: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. En la expresión resultante, primero realizamos la multiplicación y división de izquierda a derecha, luego la resta, obtenemos 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. En este punto, todas las acciones están completadas, nos adherimos al siguiente orden de implementación: 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Anotemos una breve solución: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.
Respuesta:
5+(7−2·3)·(6−4):2=6.
Sucede que una expresión contiene paréntesis dentro de paréntesis. No hay por qué tener miedo de esto; sólo hay que aplicar sistemáticamente la regla establecida para realizar acciones en expresiones entre paréntesis. Mostremos la solución del ejemplo.
Ejemplo.
Realiza las operaciones en la expresión 4+(3+1+4·(2+3)) .
Solución.
Esta es una expresión entre paréntesis, lo que significa que la ejecución de acciones debe comenzar con la expresión entre paréntesis, es decir, con 3+1+4·(2+3). Esta expresión también contiene paréntesis, por lo que primero debes realizar las acciones en ellos. Hagamos esto: 2+3=5. Sustituyendo el valor encontrado, obtenemos 3+1+4·5. En esta expresión, primero realizamos la multiplicación, luego la suma, tenemos 3+1+4·5=3+1+20=24. El valor inicial, tras sustituir este valor, toma la forma 4+24, y solo queda completar las acciones: 4+24=28.
Respuesta:
4+(3+1+4·(2+3))=28.
En general, cuando una expresión contiene paréntesis dentro de paréntesis, suele ser conveniente realizar acciones comenzando con los paréntesis internos y avanzando hacia los externos.
Por ejemplo, digamos que necesitamos realizar las acciones en la expresión (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Primero, realizamos las acciones entre paréntesis interiores, ya que 4−6:2=4−3=1, luego la expresión original tomará la forma (4+(4+1)−1)−1. Volvemos a realizar la acción entre paréntesis interiores, ya que 4+1=5, llegamos a la siguiente expresión (4+5−1)−1. Nuevamente realizamos las acciones entre paréntesis: 4+5−1=8, y llegamos a la diferencia 8−1, que es igual a 7.
24 de octubre de 2017 administración
Lopatko Irina Georgievna
Objetivo: formación de conocimientos sobre el orden de realización de operaciones aritméticas en expresiones numéricas sin paréntesis y con paréntesis, que consta de 2-3 acciones.
Tareas:
Educativo: Desarrollar en los estudiantes la capacidad de utilizar las reglas del orden de acciones al calcular expresiones específicas, la capacidad de aplicar un algoritmo de acciones.
De desarrollo: Desarrollar la capacidad de trabajar en parejas, la actividad mental de los estudiantes, la capacidad de razonar, comparar y contrastar, la capacidad de cálculo y el habla matemática.
Educativo: cultivar el interés en el tema, la actitud tolerante hacia los demás, la cooperación mutua.
Tipo: aprendiendo nuevo material
Equipo: presentación, imágenes, folletos, tarjetas, libro de texto.
Métodos: verbal, visual y figurativo.
PROGRESO DE LA LECCIÓN
- Momento organizacional
Saludos.
vinimos aqui a estudiar
No seas perezoso, sino trabaja.
Trabajamos diligentemente
Escuchemos atentamente.
Markushevich dijo grandes palabras: “Quien estudia matemáticas desde pequeño desarrolla la atención, entrena su cerebro, su voluntad, cultiva la perseverancia y la perseverancia en la consecución de metas..” ¡Bienvenidos a la lección de matemáticas!
- Actualizando conocimientos
El tema de las matemáticas es tan serio que no se debe perder oportunidad de hacerlo más entretenido.(B. Pascal)
Te sugiero que completes tareas lógicas. ¿Estás listo?
¿Qué dos números al multiplicarlos dan el mismo resultado que al sumarlos? (2 y 2)
Debajo de la valla se pueden ver 6 pares de patas de caballo. ¿Cuántos de estos animales hay en el patio? (3)
Un gallo parado sobre una pata pesa 5 kg. ¿Cuánto pesará si está sobre dos piernas? (5 kilos)
Hay 10 dedos en las manos. ¿Cuántos dedos hay en 6 manos? (30)
Los padres tienen 6 hijos. Todo el mundo tiene una hermana. ¿Cuántos hijos hay en la familia? (7)
¿Cuántas colas tienen siete gatos?
¿Cuántas narices tienen dos perros?
¿Cuántas orejas tienen 5 bebés?
Chicos, este es exactamente el tipo de trabajo que esperaba de ustedes: fueron activos, atentos e inteligentes.
Evaluación: verbal.
conteo oral
CAJA DE CONOCIMIENTO
Producto de los números 2*3, 4*2;
Números parciales 15:3, 10:2;
Suma de números 100 + 20, 130 + 6, 650 + 4;
La diferencia entre números es 180 – 10, 90 – 5, 340 – 30.
Componentes de multiplicación, división, suma, resta.
Evaluación: los estudiantes se evalúan entre sí de forma independiente.
- Comunicar el tema y el propósito de la lección.
"Para digerir el conocimiento, es necesario absorberlo con apetito".(A. Franz)
¿Estás listo para absorber conocimientos con apetito?
Chicos, a Masha y Misha se les ofreció tal cadena.
24 + 40: 8 – 4=
Masha lo decidió así:
24 + 40: 8 – 4= 25 ¿correcto? Las respuestas de los niños.
Y Misha decidió así:
24 + 40: 8 – 4= 4 ¿correcto? Las respuestas de los niños.
¿Qué te sorprendió? Parece que tanto Masha como Misha decidieron correctamente. Entonces ¿por qué tienen respuestas diferentes?
Contaron en diferentes órdenes; no se pusieron de acuerdo en qué orden contarían.
¿De qué depende el resultado del cálculo? Del orden.
¿Qué ves en estas expresiones? Números, signos.
¿Cómo se llaman los signos en matemáticas? Comportamiento.
¿En qué orden no se pusieron de acuerdo los chicos? Sobre el procedimiento.
¿Qué estudiaremos en clase? ¿Cuál es el tema de la lección?
Estudiaremos el orden de las operaciones aritméticas en expresiones.
¿Por qué necesitamos saber el procedimiento? Realizar cálculos correctamente en expresiones largas.
"Canasta del conocimiento". (La canasta cuelga del tablero)
Los estudiantes nombran asociaciones relacionadas con el tema.
- Aprendiendo nuevo material
Chicos, escuchen lo que dijo el matemático francés D. Poya: "La mejor manera de aprender algo es descubrirlo uno mismo".¿Estás listo para los descubrimientos?
180 – (9 + 2) =
Lee las expresiones. Compararlos.
¿En qué se parecen? 2 acciones, mismos números
¿En qué se diferencian? Corchetes, diferentes acciones.
Regla 1.
Lea la regla en la diapositiva. Los niños leen la regla en voz alta.
En expresiones sin paréntesis que contienen solo suma y resta o multiplicación y división, las operaciones se realizan en el orden en que están escritas: de izquierda a derecha.
¿De qué acciones estamos hablando aquí? +, — o : , ·
De estas expresiones, encuentra solo aquellas que correspondan a la regla 1. Anótalas en tu cuaderno.
Calcula los valores de las expresiones.
Examen.
180 – 9 + 2 = 173
Regla 2.
Lea la regla en la diapositiva.
Los niños leen la regla en voz alta.
En expresiones sin paréntesis, primero se realiza la multiplicación o división, en orden de izquierda a derecha, y luego la suma o resta.
:, · y +, — (juntos)
¿Hay paréntesis? No.
¿Qué acciones realizaremos primero? ·, : de izquierda a derecha
¿Qué acciones tomaremos a continuación? +, — izquierda, derecha
Encuentra sus significados.
Examen.
180 – 9 * 2 = 162
Regla 3
En expresiones entre paréntesis, primero evalúe el valor de las expresiones entre paréntesis, luegola multiplicación o división se realizan en orden de izquierda a derecha, y luego la suma o resta.
¿Qué operaciones aritméticas se indican aquí?
:, · y +, — (juntos)
¿Hay paréntesis? Sí.
¿Qué acciones realizaremos primero? Entre paréntesis
¿Qué acciones tomaremos a continuación? ·, : de izquierda a derecha
¿Y luego? +, — izquierda, derecha
Escribe expresiones que se relacionen con la segunda regla.
Encuentra sus significados.
Examen.
180: (9 * 2) = 10
180 – (9 + 2) = 169
Una vez más, todos decimos la regla juntos.
FISMINUTO
- Consolidación
“Gran parte de las matemáticas no quedan en la memoria, pero cuando las entiendes, es fácil recordar lo que en ocasiones has olvidado”., dijo M.V. Ostrogrado. Ahora recordaremos lo que acabamos de aprender y aplicaremos nuevos conocimientos en la práctica. .
Página 52 N° 2
(52 – 48) * 4 =
Página 52 N° 6 (1)
Los estudiantes recogieron en el invernadero 700 kg de hortalizas: 340 kg de pepinos, 150 kg de tomates y el resto, pimientos. ¿Cuántos kilogramos de pimientos recolectaron los estudiantes?
¿De qué están hablando? ¿Qué se sabe? ¿Qué necesitas encontrar?
¡Intentemos resolver este problema con una expresión!
700 – (340 + 150) = 210 (kg)
Respuesta: Los estudiantes recolectaron 210 kg de pimiento.
Trabajar en parejas.
Se entregan tarjetas con la tarea.
5 + 5 + 5 5 = 35
(5+5) : 5 5 = 10
Calificación:
- velocidad – 1 segundo
- corrección - 2 b
- lógica - 2 b
- Tarea
Página 52 No. 6 (2) resuelve el problema, escribe la solución en forma de expresión.
- Resultado, reflexión
El cubo de Bloom
Nómbrelo tema de nuestra lección?
Explicar el orden de ejecución de las acciones en expresiones entre paréntesis.
Por qué¿Es importante estudiar este tema?
Continuar primera regla.
Sube con eso Algoritmo para realizar acciones en expresiones entre paréntesis.
“Si quieres participar en una gran vida, entonces llena tu cabeza de matemáticas mientras tengas la oportunidad. Entonces ella te será de gran ayuda en todo tu trabajo”.(M.I. Kalinin)
Gracias por tu trabajo en clase!!!
COMPARTIR PuedeY la división de números es por acciones de la segunda etapa.
El orden de las acciones al encontrar los valores de las expresiones está determinado por las siguientes reglas:
1. Si la expresión no tiene paréntesis y contiene acciones de una sola etapa, se realizan en orden de izquierda a derecha.
2. Si la expresión contiene acciones de la primera y segunda etapa y no contiene paréntesis, entonces se realizan primero las acciones de la segunda etapa y luego las acciones de la primera etapa.
3. Si hay paréntesis en la expresión, primero realice las acciones entre paréntesis (teniendo en cuenta las reglas 1 y 2).
Ejemplo 1. Encontremos el valor de la expresión.
a) x + 20 = 37;
b) y + 37 = 20;
c) a - 37 = 20;
d) 20-m = 37;
e) 37 - s = 20;
mi) 20 + k = 0.
636. Al restar ¿qué números naturales se puede obtener 12? ¿Cuántos pares de tales números? Responde las mismas preguntas para la multiplicación y la división.
637. Se dan tres números: el primero es un número de tres dígitos, el segundo es el cociente de un número de seis dígitos dividido por diez y el tercero es 5921. ¿Es posible indicar el mayor y el menor de estos números?
638. Simplifica la expresión:
a) 2a+612+1a+324;
b) 12у + 29у + 781 + 219;
639. Resuelve la ecuación:
a) 8x - 7x + 10 = 12;
b) 13y + 15y- 24 = 60;
c) Zz - 2z + 15 = 32;
d) 6t + 5t - 33 = 0;
e) (x+59): 42 = 86;
e) 528:k-24 = 64;
g) p: 38 - 76 = 38;
h) 43m- 215 = 473;
i) 89n + 68 = 9057;
j) 5905 - 21 v = 316;
l) 34s - 68 = 68;
m) 54b - 28 = 26.
640. Una explotación ganadera proporciona un aumento de peso de 750 g por animal y día. ¿Qué ganancia obtiene el complejo en 30 días por 800 animales?
641. Hay 130 litros de leche en dos latas grandes y cinco pequeñas. ¿Cuánta leche contiene una lata pequeña si su capacidad es cuatro veces menor que la capacidad de una más grande?
642. El perro vio a su dueño cuando estaba a 450 m de él y corrió hacia él a una velocidad de 15 m/s. ¿Cuál será la distancia entre el dueño y el perro en 4 s? después de 10 s; en ts?
643. Resuelve el problema usando la ecuación:
1) Mikhail tiene 2 veces más nueces que Nikolai y Petya tiene 3 veces más que Nikolai. ¿Cuántas nueces tiene cada persona si todos tienen 72 nueces?
2) Tres niñas recogieron 35 conchas en la orilla del mar. Galya encontró 4 veces más que Masha y Lena encontró 2 veces más que Masha. ¿Cuántas conchas encontró cada niña?
644. Escribe un programa para evaluar la expresión.
8217 + 2138 (6906 - 6841) : 5 - 7064.
Escriba este programa en forma de diagrama. Encuentra el significado de la expresión.
645. Escribe una expresión usando el siguiente programa de cálculo:
1. Multiplica 271 por 49.
2. Divide 1001 entre 13.
3. Multiplica el resultado del comando 2 por 24.
4. Sume los resultados de los comandos 1 y 3.
Encuentra el significado de esta expresión.
646. Escribe una expresión según el diagrama (Fig. 60). Escribe un programa para calcularlo y encontrar su valor.
647. Resuelve la ecuación:
a) Zx + bx + 96 = 1568;
b) 357z - 1492 - 1843 - 11 469;
c) 2y + 7y + 78 = 1581;
d) 256m - 147m - 1871 - 63.747;
e) 88 880: 110 + x = 809;
f) 6871 + p: 121 = 7000;
g) 3810 + 1206: y = 3877;
h) k + 12 705: 121 = 105.
648. Encuentra el cociente:
a) 1.989.680: 187; c) 9 018 009: 1001;
b) 572 163: 709; d) 533.368.000: 83.600.
649. El barco a motor viajó a lo largo del lago durante 3 horas a una velocidad de 23 km/h, y luego a lo largo del río durante 4 horas. ¿Cuántos kilómetros recorrió el barco en estas 7 horas si se movía por el río 3 km/h más rápido que por el lago?
650. Ahora la distancia entre el perro y el gato es de 30 m. ¿En cuántos segundos alcanzará el perro al gato si la velocidad del perro es de 10 m/s y la del gato es de 7 m/s?
651. Encuentre en la tabla (Fig. 61) todos los números en orden del 2 al 50. Es útil realizar este ejercicio varias veces; Puedes competir con un amigo: ¿quién puede encontrar todos los números más rápido?
N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matemáticas grado 5, Libro de texto para instituciones de educación general
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Contenido de la lección notas de la lección marco de apoyo presentación de lecciones métodos de aceleración tecnologías interactivas Práctica tareas y ejercicios talleres de autoevaluación, capacitaciones, casos, misiones preguntas de discusión de tareas preguntas retóricas de los estudiantes Ilustraciones audio, videoclips y multimedia fotografías, cuadros, gráficos, tablas, diagramas, humor, anécdotas, chistes, historietas, parábolas, refranes, crucigramas, citas Complementos resúmenes artículos trucos para los curiosos cunas libros de texto diccionario de términos básico y adicional otros Mejorar los libros de texto y las lecciones.corregir errores en el libro de texto actualizar un fragmento de un libro de texto, elementos de innovación en la lección, reemplazar conocimientos obsoletos por otros nuevos Sólo para profesores lecciones perfectas plan calendario para el año; recomendaciones metodológicas; Lecciones integradas En el siglo V a. C., el antiguo filósofo griego Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía “Aquiles y la Tortuga”. Así es como suena:Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... en el estudio del tema intervinieron el análisis matemático, la teoría de conjuntos y nuevos enfoques físicos y filosóficos. ; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.
Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.
Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".
¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a unidades recíprocas. En el lenguaje de Zenón se ve así:
En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.
En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero llamar la atención especialmente es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.
miércoles, 4 de julio de 2018
Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.
Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.
Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.
No importa cómo los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjense, estoy en casa", o más bien, "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.
Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.
En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos es única para cada moneda...
Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.
Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cuál es correcto? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".
domingo, 18 de marzo de 2018
La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.
¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.
Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número determinado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.
1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.
2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.
3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.
4. Suma los números resultantes. Ahora esto son matemáticas.
La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” impartidos por chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.
Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con el gran número 12345, no quiero engañarme, consideremos el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.
Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.
El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.
El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a diferentes resultados después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.
¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.
¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?
Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.
Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,
Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:
Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grado). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sabe física. Simplemente tiene un fuerte estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.
1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.
Tema de la lección: "El orden de ejecución de las acciones en expresiones sin y con corchetes."
Propósito de la lección: crear condiciones para consolidar las habilidades para aplicar conocimientos sobre el orden de las acciones en expresiones sin paréntesis y con paréntesis en diversas situaciones, la capacidad de resolver problemas utilizando expresiones.
Objetivos de la lección.
Educativo:
Consolidar el conocimiento de los estudiantes sobre las reglas para realizar acciones en expresiones con y sin paréntesis; desarrollar su capacidad para utilizar estas reglas al calcular expresiones específicas; mejorar las habilidades informáticas; repetir casos de tablas de multiplicación y división;
Educativo:
Desarrollar habilidades informáticas, pensamiento lógico, atención, memoria, habilidades cognitivas de los estudiantes,
habilidades de comunicación;
Educativo:
Cultivar una actitud tolerante hacia los demás, cooperación mutua,
cultura del comportamiento en el aula, precisión, independencia, cultivar el interés por las matemáticas.
UUD formado:
UUD regulatorio:
trabajar de acuerdo con el plan propuesto, instrucciones;
presentar sus hipótesis basándose en material educativo;
ejercer el autocontrol.
UUD cognitivo:
conocer las reglas de orden de acciones:
ser capaz de explicar su contenido;
comprender la regla del orden de las acciones;
encontrar el significado de las expresiones de acuerdo con las reglas del orden de ejecución;
acciones usando problemas de palabras;
escriba la solución al problema usando una expresión;
aplicar reglas para el orden de las acciones;
Ser capaz de aplicar los conocimientos adquiridos en la realización de la prueba.
UUD de comunicación:
escuchar y comprender el discurso de los demás;
expresar sus pensamientos con suficiente integridad y precisión;
permitir la posibilidad de diferentes puntos de vista, esforzarse por comprender la posición del interlocutor;
trabajar en equipos de diferente contenido (parejas, grupos pequeños, toda la clase), participar en discusiones, trabajar en parejas;
UUD personales:
establecer una conexión entre el propósito de una actividad y su resultado;
determinar reglas comunes de comportamiento para todos;
Expresar la capacidad de autoevaluarse a partir del criterio de éxito en las actividades educativas.
Resultado previsto:
Sujeto:
Conocer las reglas para el orden de las acciones.
Ser capaz de explicar su contenido.
Ser capaz de resolver problemas utilizando expresiones.
Personal:
Ser capaz de realizar una autoevaluación basada en el criterio de éxito de las actividades educativas.
Metasujeto:
Ser capaz de determinar y formular una meta en una lección con la ayuda de un maestro; pronunciar la secuencia de acciones en la lección; trabajar de acuerdo con un plan elaborado colectivamente; evaluar la corrección de la acción al nivel de una evaluación retrospectiva adecuada; planifique su acción de acuerdo con la tarea; realizar los ajustes necesarios a la acción una vez finalizada su evaluación y teniendo en cuenta la naturaleza de los errores cometidos; expresa tu suposición ( UUD regulatorio ).
Ser capaz de expresar sus pensamientos oralmente; escuchar y comprender el discurso de los demás; acordar conjuntamente las reglas de comportamiento y comunicación en la escuela y seguirlas ( UUD comunicativa ).
Ser capaz de navegar por su sistema de conocimientos: distinguir lo nuevo de lo ya conocido con la ayuda de un profesor; adquirir nuevos conocimientos: encontrar respuestas a preguntas utilizando el libro de texto, su experiencia de vida y la información recibida en clase (UUD cognitivo ).
Progreso de la lección
1. Momento organizativo.
Para que nuestra lección se vuelva más brillante,
Compartiremos lo bueno.
Extiendes las palmas
Pon tu amor en ellos,
Y sonreirnos el uno al otro.
Toma tus trabajos.
Abrimos nuestros cuadernos, anotamos el número y completamos el trabajo de clase.
2. Actualización de conocimientos.
En esta lección, tendremos que observar en detalle el orden de realización de operaciones aritméticas en expresiones con y sin paréntesis.
Conteo oral.
Juego "Encuentra la respuesta correcta".
(Cada alumno tiene una hoja con números)
Leo las tareas y tú, habiendo completado las acciones en tu mente, debes tachar el resultado resultante, es decir, la respuesta.
Pensé en un número, le resté 80 y obtuve 18. ¿En qué número pensé? (98)
Pensé en un número, le sumé 12 y obtuve 70. ¿En qué número pensé? (58)
El primer término es 90, el segundo término es 12. Encuentra la suma. (102)
Combina tus resultados.
¿Qué figura geométrica obtuviste? (Triángulo)
Cuéntanos qué sabes sobre esta figura geométrica. (Tiene 3 lados, 3 vértices, 3 esquinas)
Seguimos trabajando en la tarjeta.
Encuentra la diferencia entre los números 100 y 22. . (78)
El minuendo es 99, el sustraendo es 19. Encuentra la diferencia. (80).
Toma el número 25 4 veces. (100)
Dibuja otro triángulo dentro del triángulo, conectando los resultados.
¿Cuántos triángulos obtuviste? (5)
3. Trabajar en el tema de la lección. Observar el cambio en el valor de una expresión dependiendo del orden en que se realizan las operaciones aritméticas.
En la vida realizamos constantemente algún tipo de acción: caminamos, estudiamos, leemos, escribimos, contamos, sonreímos, peleamos y hacemos las paces. Realizamos estas acciones en diferentes órdenes. A veces se pueden intercambiar y otras no. Por ejemplo, cuando te preparas para ir a la escuela por la mañana, primero puedes hacer ejercicios y luego tender la cama, o viceversa. Pero no puedes ir primero a la escuela y luego vestirte.
En matemáticas, ¿es necesario realizar operaciones aritméticas en un orden determinado?
vamos a comprobar
Comparemos las expresiones:
8-3+4 y 8-3+4
Vemos que ambas expresiones son exactamente iguales.
Realicemos acciones en una expresión de izquierda a derecha y en la otra de derecha a izquierda. Puede utilizar números para indicar el orden de las acciones (Fig. 1).
Arroz. 1. Procedimiento
En la primera expresión, primero realizaremos la operación de resta y luego sumaremos el número 4 al resultado.
En la segunda expresión, primero encontramos el valor de la suma y luego restamos el resultado resultante 7 de 8.
Vemos que los significados de las expresiones son diferentes.
Concluyamos: El orden en el que se realizan las operaciones aritméticas no se puede cambiar..
Orden de operaciones aritméticas en expresiones sin paréntesis
Aprendamos la regla para realizar operaciones aritméticas en expresiones sin paréntesis.
Si una expresión sin paréntesis incluye solo suma y resta o solo multiplicación y división, entonces las acciones se realizan en el orden en que están escritas.
Practiquemos.
Considere la expresión
Esta expresión contiene sólo operaciones de suma y resta. Estas acciones se llaman acciones de primera etapa.
Realizamos las acciones de izquierda a derecha en orden (Fig. 2).
Arroz. 2. Procedimiento
Considere la segunda expresión.
Esta expresión contiene solo operaciones de multiplicación y división. Estas son las acciones de la segunda etapa.
Realizamos las acciones de izquierda a derecha en orden (Fig. 3).
Arroz. 3. Procedimiento
¿En qué orden se realizan las operaciones aritméticas si la expresión contiene no solo suma y resta, sino también multiplicación y división?
Si una expresión sin paréntesis incluye no solo las operaciones de suma y resta, sino también la multiplicación y división, o ambas operaciones, primero realice en orden (de izquierda a derecha) la multiplicación y división, y luego la suma y la resta.
Miremos la expresión.
Pensemos así. Esta expresión contiene las operaciones de suma y resta, multiplicación y división. Actuamos según la regla. Primero, realizamos en orden (de izquierda a derecha) la multiplicación y división, y luego la suma y la resta. Organicemos el orden de las acciones.
Calculemos el valor de la expresión.
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
Orden de las operaciones aritméticas en expresiones entre paréntesis.
¿En qué orden se realizan las operaciones aritméticas si hay paréntesis en una expresión?
Si una expresión contiene paréntesis, primero se evalúa el valor de las expresiones entre paréntesis.
Miremos la expresión.
30 + 6 * (13 - 9)
Vemos que en esta expresión hay una acción entre paréntesis, lo que significa que primero realizaremos esta acción, luego la multiplicación y la suma en orden. Organicemos el orden de las acciones.
30 + 6 * (13 - 9)
Calculemos el valor de la expresión.
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
La regla para realizar operaciones aritméticas en expresiones con y sin paréntesis.
¿Cómo se debe razonar para establecer correctamente el orden de las operaciones aritméticas en una expresión numérica?
Antes de comenzar los cálculos, debe observar la expresión (averiguar si contiene paréntesis, qué acciones contiene) y solo luego realizar las acciones en el siguiente orden:
1. acciones escritas entre paréntesis;
2. multiplicación y división;
3. suma y resta.
El diagrama le ayudará a recordar esta sencilla regla (Fig. 4).
Arroz. 4. Procedimiento
4. Consolidación Completar tareas de entrenamiento para la regla aprendida.
Practiquemos.
Consideremos las expresiones, establezcamos el orden de las acciones y realicemos cálculos.
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
Actuaremos según la regla. La expresión 43 - (20 - 7) +15 contiene operaciones entre paréntesis, así como operaciones de suma y resta. Establezcamos un procedimiento. La primera acción es realizar la operación entre paréntesis, y luego, en orden de izquierda a derecha, la resta y la suma.
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
La expresión 32 + 9 * (19 - 16) contiene operaciones entre paréntesis, así como operaciones de multiplicación y suma. Según la regla, primero realizamos la acción entre paréntesis, luego la multiplicación (multiplicamos el número 9 por el resultado obtenido por la resta) y la suma.
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
En la expresión 2*9-18:3 no hay paréntesis, pero sí operaciones de multiplicación, división y resta. Actuamos según la regla. Primero, realizamos la multiplicación y división de izquierda a derecha, y luego restamos el resultado obtenido de la división del resultado obtenido de la multiplicación. Es decir, la primera acción es la multiplicación, la segunda es la división y la tercera es la resta.
2*9-18:3=18-6=12
Averigüemos si el orden de las acciones en las siguientes expresiones está definido correctamente.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
Pensemos así.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
No hay paréntesis en esta expresión, lo que significa que primero realizamos la multiplicación o división de izquierda a derecha, luego la suma o resta. En esta expresión, la primera acción es la división, la segunda es la multiplicación. La tercera acción debe ser la suma, la cuarta, la resta. Conclusión: el procedimiento se determina correctamente.
Encontremos el valor de esta expresión.
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
Sigamos hablando.
La segunda expresión contiene paréntesis, lo que significa que primero realizamos la acción entre paréntesis, luego de izquierda a derecha la multiplicación o división, suma o resta. Verificamos: la primera acción está entre paréntesis, la segunda es la división, la tercera es la suma. Conclusión: el procedimiento está definido incorrectamente. Corrijamos los errores y encontremos el valor de la expresión.
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
Esta expresión también contiene paréntesis, lo que significa que primero realizamos la acción entre paréntesis, luego de izquierda a derecha la multiplicación o división, suma o resta. Comprobemos: la primera acción está entre paréntesis, la segunda es la multiplicación, la tercera es la resta. Conclusión: el procedimiento está definido incorrectamente. Corrijamos los errores y encontremos el valor de la expresión.
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
Completemos la tarea.
Organicemos el orden de las acciones en la expresión usando la regla aprendida (Fig. 5).
Arroz. 5. Procedimiento
No vemos valores numéricos, por lo que no podremos encontrar el significado de las expresiones, pero practicaremos aplicando la regla que hemos aprendido.
Actuamos según el algoritmo.
La primera expresión contiene paréntesis, lo que significa que la primera acción está entre paréntesis. Luego, de izquierda a derecha, multiplicación y división, luego de izquierda a derecha, resta y suma.
La segunda expresión también contiene paréntesis, lo que significa que realizamos la primera acción entre paréntesis. Después de eso, de izquierda a derecha, multiplicación y división, después de eso, resta.
Comprobémoslo nosotros mismos (Fig. 6).
Arroz. 6. Procedimiento
5. Resumiendo.
Hoy en clase aprendimos sobre la regla para el orden de las acciones en expresiones con y sin paréntesis. Durante las tareas determinaron si el significado de las expresiones depende del orden en que se realizan las operaciones aritméticas, descubrieron si el orden de las operaciones aritméticas difiere en expresiones sin paréntesis y con paréntesis, practicaron la aplicación de la regla aprendida, buscaron y corrigieron errores. realizado al determinar el orden de las acciones.