Ecuaciones logarítmicas. Seguimos considerando problemas de la Parte B del Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Ya hemos examinado las soluciones de algunas ecuaciones en los artículos “”, “”. En este artículo veremos ecuaciones logarítmicas. Diré de inmediato que no habrá transformaciones complejas al resolver este tipo de ecuaciones en el Examen Estatal Unificado. Son simples.
Basta conocer y comprender la identidad logarítmica básica, para conocer las propiedades del logaritmo. Tenga en cuenta que después de resolverlo, DEBE hacer una verificación: sustituir el valor resultante en la ecuación original y calcular; al final, debería obtener la igualdad correcta.
Definición:
El logaritmo de un número en base b es el exponente.al cual se debe elevar b para obtener a.
Por ejemplo:
Log 3 9 = 2, ya que 3 2 = 9
Propiedades de los logaritmos:
Casos especiales de logaritmos:
Resolvamos problemas. En el primer ejemplo haremos una verificación. En el futuro, compruébalo tú mismo.
Encuentra la raíz de la ecuación: log 3 (4–x) = 4
Dado que log b a = x b x = a, entonces
3 4 = 4 – x
x = 4 – 81
x = – 77
Examen:
registro 3 (4–(–77)) = 4
iniciar sesión 3 81 = 4
3 4 = 81 Correcto.
Respuesta: – 77
Decide por ti mismo:
Encuentra la raíz de la ecuación: log 2 (4 – x) = 7
Encuentra la raíz de la ecuación log 5.(4 + x) = 2
Usamos la identidad logarítmica básica.
Dado que log a b = x b x = a, entonces
5 2 = 4 + x
x=5 2 – 4
x = 21
Examen:
registro 5 (4 + 21) = 2
iniciar sesión 5 25 = 2
5 2 = 25 Correcto.
Respuesta: 21
Encuentra la raíz de la ecuación log 3 (14 – x) = log 3 5.
Se cumple la siguiente propiedad, su significado es el siguiente: si en los lados izquierdo y derecho de la ecuación tenemos logaritmos con la misma base, entonces podemos igualar las expresiones bajo los signos de los logaritmos.
14 – x = 5
x=9
Haz un control.
Respuesta: 9
Decide por ti mismo:
Encuentra la raíz de la ecuación log 5 (5 – x) = log 5 3.
Encuentra la raíz de la ecuación: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).
Si log c a = log c b, entonces a = b
x + 3 = 4x – 15
3x = 18
x=6
Haz un control.
Respuesta: 6
Encuentra la raíz de la ecuación log 1/8 (13 – x) = – 2.
(1/8) –2 = 13 – x
8 2 = 13 – x
x = 13 – 64
x = – 51
Haz un control.
Una pequeña adición: la propiedad se utiliza aquí.
grados ().
Respuesta: – 51
Decide por ti mismo:
Encuentra la raíz de la ecuación: log 1/7 (7 – x) = – 2
Encuentra la raíz de la ecuación log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.
Transformemos el lado derecho. Usemos la propiedad:
log a b m = m∙log a b
registro 2 (4 – x) = registro 2 5 2
Si log c a = log c b, entonces a = b
4-x = 5 2
4-x = 25
x = – 21
Haz un control.
Respuesta: – 21
Decide por ti mismo:
Encuentra la raíz de la ecuación: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3
Resuelve la ecuación log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)
Si log c a = log c b, entonces a = b
x2 + 4x = x2 + 11
4x = 11
x = 2,75
Haz un control.
Respuesta: 2,75
Decide por ti mismo:
Encuentra la raíz de la ecuación log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).
Resuelve la ecuación log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.
Es necesario obtener una expresión de la forma en el lado derecho de la ecuación:
registro 2 (......)
Representamos 1 como un logaritmo en base 2:
1 = registro 2 2
log c (ab) = log c a + log c b
registro 2 (2 – x) = registro 2 (2 – 3x) + registro 2 2
Obtenemos:
registro 2 (2 – x) = registro 2 2 (2 – 3x)
Si log c a = log c b, entonces a = b, entonces
2 – x = 4 – 6x
5x = 2
x = 0,4
Haz un control.
Respuesta: 0,4
Decide por ti mismo: Lo siguiente que necesitas para resolver la ecuación cuadrática. Por cierto,
las raíces son 6 y – 4.
Raíz "-4" no es solución, ya que la base del logaritmo debe ser mayor que cero, y con "– 4" es igual a " – 5". La solución es la raíz 6.Haz un control.
Respuesta: 6.
R comer solo:
Resuelve la ecuación log x –5 49 = 2. Si la ecuación tiene más de una raíz, responde con la más pequeña.
Como has visto, no hay transformaciones complicadas con ecuaciones logarítmicas.No. Basta conocer las propiedades del logaritmo y poder aplicarlas. En los problemas de USE relacionados con la transformación de expresiones logarítmicas, se realizan transformaciones más serias y se requieren habilidades de resolución más profundas. Veremos estos ejemplos, ¡no te los pierdas!¡¡¡Buena suerte para ti!!!
Atentamente, Alexander Krutitskikh.
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
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Álgebra 11º grado
Tema: "Métodos para resolver ecuaciones logarítmicas"
Objetivos de la lección:
educativo: desarrollar conocimientos sobre diferentes formas de resolver ecuaciones logarítmicas, la capacidad de aplicarlas en cada situación específica y elegir cualquier método de resolución;
desarrollo: desarrollo de habilidades para observar, comparar, aplicar conocimientos en una nueva situación, identificar patrones, generalizar; desarrollar habilidades de control mutuo y autocontrol;
educativo: Fomentar una actitud responsable hacia el trabajo educativo, una percepción atenta del material de la lección y una cuidadosa toma de notas.
tipo de lección : lección sobre la introducción de material nuevo.
"La invención de los logaritmos, si bien redujo el trabajo del astrónomo, alargó su vida".
El matemático y astrónomo francés P.S. Laplace
Progreso de la lección
I. Establecer el objetivo de la lección
La definición estudiada de logaritmo, propiedades de los logaritmos y función logarítmica nos permitirá resolver ecuaciones logarítmicas. Todas las ecuaciones logarítmicas, por complejas que sean, se resuelven mediante algoritmos uniformes. Veremos estos algoritmos en la lección de hoy. No hay muchos de ellos. Si los dominas, cualquier ecuación con logaritmos será factible para cada uno de ustedes.
Escribe el tema de la lección en tu cuaderno: “Métodos para resolver ecuaciones logarítmicas”. Invito a todos a cooperar.
II. Actualización de conocimientos de referencia.
Preparémonos para estudiar el tema de la lección. Resuelves cada tarea y escribes la respuesta; no es necesario que escribas la condición. Trabajar en parejas.
1) ¿Para qué valores de x tiene sentido la función?
A)
b)
V)
d)
(Se verifican las respuestas de cada diapositiva y se clasifican los errores)
2) ¿Coinciden las gráficas de las funciones?
a) y = x y
b)Y
3) Reescribe las igualdades como igualdades logarítmicas:
4) Escribe los números como logaritmos con base 2:
4 =
2 =
0,5 =
1 =
5) Calcular :
6) Intente restaurar o complementar los elementos que faltan en estas igualdades.
III. Introducción al nuevo material.
La siguiente declaración se muestra en la pantalla:
"La ecuación es la llave de oro que abre todos los sésamo matemáticos".
El matemático polaco moderno S. Kowal
Intenta formular la definición de una ecuación logarítmica. (Ecuación que contiene una incógnita bajo el signo del logaritmo ).
consideremosla ecuación logarítmica más simple: registro A x = segundo (donde a>0, a ≠ 1). Dado que la función logarítmica aumenta (o disminuye) en el conjunto de números positivos y toma todos los valores reales, entonces, según el teorema de la raíz, se deduce que para cualquier b esta ecuación tiene, y solo una, solución, y una positiva.
Recuerda la definición de logaritmo. (El logaritmo de un número x en base a es un indicador de la potencia a la que se debe elevar la base a para obtener el número x ). De la definición de logaritmo se deduce inmediatamente queA V es tal solución.
Escribe el título:Métodos para resolver ecuaciones logarítmicas.
1. Por definición de logaritmo .
Así se resuelven las ecuaciones más simples de la forma..
consideremosNúm. 514(a)
): Resuelve la ecuación
¿Cómo propones solucionarlo? (Por definición de logaritmo )
Solución
.
, Por tanto 2x – 4 = 4; x = 4.
Respuesta: 4.
En esta tarea 2x – 4 > 0, ya que> 0, por lo que no pueden aparecer raíces extrañas, yno es necesario comprobar . No es necesario escribir la condición 2x – 4 > 0 en esta tarea.
2. Potenciación (transición del logaritmo de una expresión dada a esta expresión misma).
consideremosNúm. 519(g): registro 5 ( incógnita 2 +8)- registro 5 ( incógnita+1)=3 registro 5 2
¿Qué característica notaste?(Las bases son iguales y los logaritmos de las dos expresiones son iguales) . ¿Qué se puede hacer?(Potenciar).
Se debe tener en cuenta que cualquier solución está contenida entre todos los x para los cuales las expresiones logarítmicas son positivas.
Solución: ODZ:
incógnita 2 +8>0 desigualdad innecesaria
registro 5 ( incógnita 2 +8) = registro 5 2 3 + registro 5 ( incógnita+1)
registro 5 ( incógnita 2 +8)= registro 5 (8 incógnita+8)
Potencialicemos la ecuación original.
incógnita 2 +8= 8 incógnita+8
obtenemos la ecuaciónincógnita 2 +8= 8 incógnita+8
Resolvámoslo:incógnita 2 -8 incógnita=0
x=0, x=8
Respuesta: 0; 8
En generaltransición a un sistema equivalente :
Ecuación
(El sistema contiene una condición redundante: no es necesario considerar una de las desigualdades).
pregunta para la clase : ¿Cuál de estas tres soluciones te gustó más? (Discusión de métodos).
Tienes derecho a decidir de cualquier forma.
3. Introducción de una nueva variable .
consideremosN° 520(g) . .
¿Qué notaste? (Esta es una ecuación cuadrática con respecto a log3x) ¿Cuáles son tus sugerencias? (Introduzca una nueva variable)
Solución . ODZ: x > 0.
Dejar, entonces la ecuación tomará la forma:
. Discriminante D > 0. Raíces según el teorema de Vieta:
.
Volvamos al reemplazo:o.
Resolviendo las ecuaciones logarítmicas más simples, obtenemos:
; .
Respuesta : 27;
4. Logaritmo en ambos lados de la ecuación.
Resuelve la ecuación:
.
Solución : ODZ: x>0, tomemos el logaritmo de ambos lados de la ecuación en base 10:
. Apliquemos la propiedad del logaritmo de una potencia:
(lgx + 3) lgx =
(logx + 3) logx = 4
Sea logx = y, entonces (y + 3)y = 4
, (D > 0) raíces según el teorema de Vieta: y1 = -4 e y2 = 1.
Volvamos al reemplazo, obtenemos: lgx = -4,
; log x = 1,
.
.
es el siguiente:
si una de las funciones
y = f(x)
aumenta, y el otro
y = g(x)
disminuye en el intervalo X, entonces la ecuación
f(x)= g(x)
tiene como máximo una raíz en el intervalo X
.
Si hay una raíz, entonces se puede adivinar. .
Respuesta : 2
“La correcta aplicación de los métodos se puede aprender
sólo aplicándolos a varios ejemplos”.
El historiador danés de las matemáticas G. G. Zeiten
I V. Tarea
P. 39 considere el ejemplo 3, resuelva No. 514(b), No. 529(b), No. 520(b), No. 523(b)
V. Resumiendo la lección
¿Qué métodos para resolver ecuaciones logarítmicas vimos en clase?
En las próximas lecciones veremos ecuaciones más complejas. Para solucionarlos serán de utilidad los métodos estudiados.
Última diapositiva mostrada:
“¿Qué es más que nada en el mundo?
Espacio.
¿Qué es lo más sabio?
Tiempo.
¿Cuál es la mejor parte?
Consigue lo que deseas."
Tales
Deseo que todos logren lo que quieren. Gracias por su cooperación y comprensión.
Ecuaciones logarítmicas. De lo simple a lo complejo.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
¿Qué es una ecuación logarítmica?
Esta es una ecuación con logaritmos. Estoy sorprendido, ¿verdad?) Luego lo aclararé. Esta es una ecuación en la que se encuentran las incógnitas (x) y las expresiones con ellas. dentro de logaritmos.¡Y sólo allí! Esto es importante.
Aquí hay algunos ejemplos ecuaciones logarítmicas:
registro 3 x = registro 3 9
registro 3 (x 2 -3) = registro 3 (2x)
iniciar sesión x+1 (x 2 +3x-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)
Bueno, entiendes... )
¡Prestar atención! Las más diversas expresiones con X se ubican exclusivamente dentro de logaritmos. Si, de repente, aparece una X en algún lugar de la ecuación afuera, Por ejemplo:
iniciar sesión 2x = 3+x,
esta ya será una ecuación de tipo mixto. Estas ecuaciones no tienen reglas claras para resolverlas. No los consideraremos por ahora. Por cierto, hay ecuaciones donde dentro de los logaritmos solo numeros. Por ejemplo:
¿Qué puedo decir? ¡Tienes suerte si te encuentras con esto! Logaritmo con números es algún número. Eso es todo. Basta conocer las propiedades de los logaritmos para resolver dicha ecuación. Conocimiento de reglas especiales, técnicas adaptadas específicamente para la resolución. ecuaciones logarítmicas, No es necesario aquí.
Entonces, ¿Qué es una ecuación logarítmica?- lo descubrí.
¿Cómo resolver ecuaciones logarítmicas?
Solución ecuaciones logarítmicas- En realidad la cosa no es muy sencilla. Entonces nuestra sección es un cuatro... Se requiere una cantidad decente de conocimientos sobre todo tipo de temas relacionados. Además, estas ecuaciones tienen una característica especial. Y esta característica es tan importante que se puede llamar con seguridad el problema principal en la resolución de ecuaciones logarítmicas. Trataremos este problema en detalle en la próxima lección.
Por ahora, no te preocupes. iremos por el camino correcto de lo simple a lo complejo. Usando ejemplos específicos. Lo principal es ahondar en cosas sencillas y no seas perezoso en seguir los enlaces, los pongo ahí por una razón... Y todo te saldrá bien. Necesariamente.
Comencemos con las ecuaciones más elementales y simples. Para resolverlos conviene tener una idea del logaritmo, pero nada más. Simplemente no tengo idea logaritmo, tomar una decisión logarítmico ecuaciones - de alguna manera incluso incómodas... Muy audaz, diría yo).
Las ecuaciones logarítmicas más simples.
Estas son ecuaciones de la forma:
1. iniciar sesión 3 x = iniciar sesión 3 9
2. registro 7 (2x-3) = registro 7 x
3. registro 7 (50x-1) = 2
Proceso de solución cualquier ecuación logarítmica Consiste en la transición de una ecuación con logaritmos a una ecuación sin ellos. En las ecuaciones más simples esta transición se realiza en un solo paso. Por eso son los más simples.)
Y estas ecuaciones logarítmicas son sorprendentemente fáciles de resolver. Vea usted mismo.
Resolvamos el primer ejemplo:
registro 3 x = registro 3 9
Para resolver este ejemplo no hace falta saber casi nada, eso sí… ¡Pura intuición!) ¿Qué necesitamos? especialmente¿No te gusta este ejemplo? Qué-qué... ¡No me gustan los logaritmos! Bien. Así que deshagámonos de ellos. Observamos atentamente el ejemplo y surge en nosotros un deseo natural... ¡Francamente irresistible! Tome y descarte los logaritmos por completo. Y lo bueno es que Poder¡hacer! Las matemáticas lo permiten. Los logaritmos desaparecen la respuesta es:
Genial, ¿verdad? Esto siempre se puede (y se debe) hacer. Eliminar logaritmos de esta manera es una de las principales formas de resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas. En matemáticas esta operación se llama potenciación. Por supuesto, existen reglas para dicha liquidación, pero son pocas. Recordar:
Puedes eliminar logaritmos sin ningún temor si tienen:
a) las mismas bases numéricas
c) los logaritmos de izquierda a derecha son puros (sin ningún coeficiente) y están espléndidamente aislados.
Permítanme aclarar el último punto. En la ecuación, digamos
registro 3 x = 2 registro 3 (3x-1)
Los logaritmos no se pueden eliminar. Los dos de la derecha no lo permiten. El coeficiente, ya sabes... En el ejemplo
registro 3 x+ registro 3 (x+1) = registro 3 (3+x)
También es imposible potenciar la ecuación. No hay ningún logaritmo solitario en el lado izquierdo. Hay dos de ellos.
En resumen, puedes eliminar logaritmos si la ecuación se ve así y solo así:
iniciar sesión (.....) = iniciar sesión (.....)
Entre paréntesis, donde hay puntos suspensivos, puede haber cualquier expresión. Sencillos, supercomplejos, de todo tipo. Lo que sea. Lo importante es que después de eliminar los logaritmos nos queda ecuación más simple. Por supuesto, se supone que ya sabe cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, fraccionarias, exponenciales y otras sin logaritmos).
Ahora puedes resolver fácilmente el segundo ejemplo:
registro 7 (2x-3) = registro 7 x
En realidad, se decide en la mente. Potenciamos, obtenemos:
Bueno, ¿es muy difícil?) Como puedes ver, logarítmico parte de la solución de la ecuación es solo en eliminar logaritmos... Y luego viene la solución de la ecuación restante sin ellos. Un asunto trivial.
Resolvamos el tercer ejemplo:
registro 7 (50x-1) = 2
Vemos que a la izquierda hay un logaritmo:
Recordemos que este logaritmo es un número al que se debe elevar la base (es decir, siete) para obtener una expresión sublogarítmica, es decir (50x-1).
¡Pero este número es dos! Según la ecuación. Entonces:
Eso es básicamente todo. Logaritmo desaparecido, Lo que queda es una ecuación inofensiva:
Resolvimos esta ecuación logarítmica basándonos únicamente en el significado del logaritmo. ¿Es aún más fácil eliminar logaritmos?) Estoy de acuerdo. Por cierto, si haces un logaritmo a partir de dos, puedes resolver este ejemplo mediante eliminación. Cualquier número se puede convertir en un logaritmo. Además, como lo necesitamos. Una técnica muy útil para resolver ecuaciones logarítmicas y (¡especialmente!) desigualdades.
¿No sabes cómo hacer un logaritmo a partir de un número? Está bien. La sección 555 describe esta técnica en detalle. ¡Puedes dominarlo y utilizarlo al máximo! Reduce en gran medida el número de errores.
La cuarta ecuación se resuelve de forma completamente similar (por definición):
Eso es todo.
Resumamos esta lección. Analizamos la solución de las ecuaciones logarítmicas más simples usando ejemplos. Esto es muy importante. Y no sólo porque este tipo de ecuaciones aparecen en las pruebas y exámenes. ¡El hecho es que incluso las ecuaciones más perversas y complicadas se reducen necesariamente a las más simples!
En realidad, las ecuaciones más simples son la parte final de la solución. cualquier ecuaciones. ¡Y esta parte final hay que entenderla estrictamente! Y una cosa más. Asegúrese de leer esta página hasta el final. Hay una sorpresa allí...)
Ahora decidimos por nosotros mismos. Mejoremos, por así decirlo...)
Encuentra la raíz (o suma de raíces, si hay varias) de las ecuaciones:
ln(7x+2) = ln(5x+20)
registro 2 (x 2 +32) = registro 2 (12x)
registro 16 (0,5x-1,5) = 0,25
iniciar sesión 0,2 (3x-1) = -3
ln(e 2 +2x-3) = 2
registro 2 (14x) = registro 2 7 + 2
Respuestas (en desorden, por supuesto): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.
¿Qué, no todo sale bien? Sucede. ¡No te preocupes! La sección 555 explica la solución a todos estos ejemplos de manera clara y detallada. Definitivamente lo descubrirás allí. También aprenderá técnicas prácticas útiles.
¿¡Todo salió bien!? ¿Todos los ejemplos de “queda uno”?) ¡Felicitaciones!
Es hora de revelarte la amarga verdad. La resolución exitosa de estos ejemplos no garantiza el éxito en la resolución de todas las demás ecuaciones logarítmicas. Incluso los más simples como estos. Ay.
El hecho es que la solución de cualquier ecuación logarítmica (¡incluso la más elemental!) consiste en dos partes iguales. Resolviendo la ecuación y trabajando con ODZ. Hemos dominado una parte: resolver la ecuación en sí. no es tan dificil¿bien?
Para esta lección, seleccioné especialmente ejemplos en los que DL no afecta la respuesta de ninguna manera. Pero no todo el mundo es tan amable como yo, ¿verdad?...)
Por tanto, es imperativo dominar la otra parte. ODZ. Este es el principal problema al resolver ecuaciones logarítmicas. Y no porque sea difícil: esta parte es incluso más fácil que la primera. Sino porque la gente simplemente se olvida de ODZ. O no lo saben. O ambos). Y caen de la nada...
En la próxima lección nos ocuparemos de este problema. Entonces podrás decidir con confianza cualquier ecuaciones logarítmicas simples y abordar tareas bastante sólidas.
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
La preparación para la prueba final de matemáticas incluye una sección importante: "Logaritmos". Las tareas de este tema están necesariamente contenidas en el Examen Estatal Unificado. La experiencia de años anteriores muestra que las ecuaciones logarítmicas causaron dificultades a muchos escolares. Por lo tanto, los estudiantes con diferentes niveles de formación deben saber cómo encontrar la respuesta correcta y afrontarlas rápidamente.
¡Pase con éxito la prueba de certificación utilizando el portal educativo de Shkolkovo!
Al prepararse para el Examen Estatal Unificado, los graduados de la escuela secundaria necesitan una fuente confiable que brinde la información más completa y precisa para resolver con éxito los problemas del examen. Sin embargo, no siempre se dispone de un libro de texto y la búsqueda de las reglas y fórmulas necesarias en Internet suele llevar tiempo.
El portal educativo de Shkolkovo le permite prepararse para el Examen Estatal Unificado en cualquier lugar y en cualquier momento. Nuestro sitio web ofrece el método más cómodo para repetir y asimilar una gran cantidad de información sobre logaritmos, así como con una o varias incógnitas. Comience con ecuaciones sencillas. Si los afrontas sin dificultad, pasa a otros más complejos. Si tiene problemas para resolver una desigualdad en particular, puede agregarla a sus Favoritos para poder volver a ella más tarde.
Puede encontrar las fórmulas necesarias para completar la tarea, repetir casos especiales y métodos para calcular la raíz de una ecuación logarítmica estándar consultando la sección "Ayuda teórica". Los profesores de Shkolkovo recopilaron, sistematizaron y presentaron todos los materiales necesarios para aprobar con éxito en la forma más sencilla y comprensible.
Para afrontar fácilmente tareas de cualquier complejidad, en nuestro portal puede familiarizarse con la solución de algunas ecuaciones logarítmicas estándar. Para ello dirígete a la sección “Catálogos”. Disponemos de una gran cantidad de ejemplos, incluidas ecuaciones con nivel de perfil del Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
Los estudiantes de escuelas de toda Rusia pueden utilizar nuestro portal. Para iniciar las clases, simplemente regístrate en el sistema y comienza a resolver ecuaciones. Para consolidar los resultados, le recomendamos que visite el sitio web de Shkolkovo diariamente.