Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos. En este caso, todos los bordes serán paralelogramos.
Cada paralelepípedo puede considerarse como un prisma de tres formas distintas, ya que cada dos caras opuestas pueden tomarse como bases (en la Fig. 5, las caras ABCD y A"B"C"D", o ABA"B" y CDC"D ", o BCB "C" y ADA"D").
El cuerpo en cuestión tiene doce aristas, cuatro iguales y paralelas entre sí.
Teorema 3
. Las diagonales de un paralelepípedo se cruzan en un punto, coincidiendo con la mitad de cada una de ellas.
El paralelepípedo ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) tiene cuatro diagonales AC", BD", CA", DB". Debemos demostrar que los puntos medios de dos de ellos, por ejemplo AC y BD", coinciden. Esto se desprende del hecho de que la figura ABC"D", que tiene lados iguales y paralelos AB y C"D", es un paralelogramo.
Definición 7
. Un paralelepípedo recto es un paralelepípedo que también es un prisma recto, es decir, un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares al plano de la base.
Definición 8
. Un paralelepípedo rectangular es un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo. En este caso todas sus caras serán rectángulos.
Un paralelepípedo rectangular es un prisma recto, no importa cuál de sus caras tomemos como base, ya que cada una de sus aristas es perpendicular a las aristas que emergen de un mismo vértice, y será, por tanto, perpendicular a los planos de las caras definidas. por estos bordes. Por el contrario, un paralelepípedo recto, pero no rectangular, sólo puede considerarse un prisma recto de una manera.
Definición 9
. Las longitudes de tres aristas de un paralelepípedo rectangular, de las cuales no hay dos paralelas entre sí (por ejemplo, tres aristas que emergen del mismo vértice), se denominan dimensiones. Dos paralelepípedos rectangulares que tienen dimensiones correspondientemente iguales son evidentemente iguales entre sí.
Definición 10
.Un cubo es un paralelepípedo rectangular cuyas tres dimensiones son iguales entre sí, de modo que todas sus caras son cuadradas. Dos cubos cuyas aristas son iguales son iguales. 
Definición 11
. Un paralelepípedo inclinado en el que todas las aristas son iguales entre sí y los ángulos de todas las caras son iguales o complementarios se llama romboedro.
Todas las caras de un romboedro son rombos iguales. (Algunos cristales de gran importancia tienen forma de romboedro, por ejemplo, los cristales de espato de Islandia). En un romboedro se puede encontrar un vértice (e incluso dos vértices opuestos) tal que todos los ángulos adyacentes a él sean iguales entre sí.
Teorema 4
. Las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales entre sí. El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las tres dimensiones.
En el paralelepípedo rectangular ABCDA"B"C"D" (Fig. 6), las diagonales AC" y BD" son iguales, ya que el cuadrilátero ABC"D" es un rectángulo (la recta AB es perpendicular al plano ECB" C", en el que se encuentra BC") .
Además, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 basado en el teorema sobre el cuadrado de la hipotenusa. Pero basado en el mismo teorema AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; por lo tanto, tener:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.
TEMA 10.3. PARALELIPIPEADO Y SUS PROPIEDADES.
Definición de paralelepípedo. Propiedades de un paralelepípedo con pruebas. Cubo
Paralelepípedo - prisma, cuya base es paralelogramo.
Tipos de paralelepípedo
Existen varios tipos de paralelepípedos:
- Paralelepípedo rectangular- este es un paralelepípedo, todas cuyas caras son rectángulos;
- paralelepípedo derecho- este es un paralelepípedo con 4 caras laterales - rectángulos;
- paralelepípedo inclinado Es un paralelepípedo cuyas caras laterales no son perpendiculares a las bases.
Elementos basicos
Dos caras de un paralelepípedo que no tienen una arista común se llaman opuesto, y tener una ventaja común - adyacente. Dos vértices de un paralelepípedo que no pertenecen a la misma cara se llaman opuestos. Segmento conectar vértices opuestos se llama diagonalmente paralelepípedo. Las longitudes de tres aristas de un paralelepípedo rectangular que tienen un vértice común se llaman medidas.
Propiedades
- El paralelepípedo es simétrico respecto a la mitad de su diagonal.
- Cualquier segmento cuyos extremos pertenezcan a la superficie del paralelepípedo y pasen por la mitad de su diagonal se divide por la mitad por éste; en particular, todas las diagonales de un paralelepípedo se cruzan en un punto y son atravesadas por él.
- Las caras opuestas de un paralelepípedo son paralelas e iguales.
- El cuadrado de la longitud diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones.
Fórmulas básicas
paralelepípedo derecho
Superficie lateral S b =P o *h, donde P o es el perímetro de la base, h es la altura
Superficie total S p =S b +2S o, donde S o es el área base
Volumen V=S o *h
] Paralelepípedo rectangular
Superficie lateral S b =2c(a+b), donde a, b son los lados de la base, c es el borde lateral del paralelepípedo rectangular
Superficie total S p =2(ab+bc+ac)
Volumen V=abc, donde a, b, c son las dimensiones de un paralelepípedo rectangular.
Si la base del prisma es un paralelogramo, entonces se llama paralelepípedo. Todas las caras de un paralelepípedo son paralelogramos.
La Figura 12, a) muestra un paralelepípedo inclinado, y la Figura 12, b) muestra un paralelepípedo recto.
Las caras de un paralelepípedo que no tienen vértices comunes se llaman opuestas.
Teorema 1. Las caras opuestas de un paralelepípedo son paralelas e iguales.
Prueba: Consideremos dos caras opuestas de un paralelepípedo, por ejemplo y (Fig. 13). Como todas las caras de un paralelepípedo son paralelogramos, entonces una línea recta es paralela a una línea recta y una línea recta es paralela a una línea recta. De ello se deduce que los planos de las caras consideradas son paralelos.
TRANSCRIPCIÓN DE TEXTO DE LA LECCIÓN:
Considere estos elementos:
Ladrillos de construcción, dados, horno microondas. Estos objetos están unidos por la forma.
Una superficie que consta de dos paralelogramos iguales ABCD y A1B1C1D1
y cuatro paralelogramos AA1B1B y BB1C1C, СС1D1D, AA1D1D se llaman paralelepípedo.
Los paralelogramos que forman un paralelepípedo se llaman caras. Cara А1В1С1D1. Borde ВВ1С1С. Borde ABCD.
En este caso, las caras ABCD y A1B1C1D1 se denominan más a menudo bases y el resto de caras son laterales.
Los lados de los paralelogramos se llaman aristas del paralelepípedo. Costilla A1B1. Costilla CC1. Costilla AD.
El borde CC1 no pertenece a las bases; se llama borde lateral.
Los vértices de los paralelogramos se llaman vértices de un paralelepípedo.
Vértice D1. Arriba B. Arriba C.
Vértices D1 y B
No pertenecen al mismo rostro y se llaman opuestos.
Un paralelepípedo se puede representar de diferentes formas.
Un paralelepípedo en cuya base se encuentra un rombo, y las imágenes de las caras son paralelogramos.
Un paralelepípedo en cuya base se encuentra un cuadrado. Los bordes invisibles AA1, AB, AD están representados con líneas discontinuas.
Un paralelepípedo en cuya base se encuentra un cuadrado.
Un paralelepípedo en cuya base se encuentra un rectángulo o paralelogramo.
Un paralelepípedo con todas las caras cuadradas. Más a menudo se le llama cubo.
Todos los paralelepípedos considerados tienen propiedades. Formulémoslos y probémoslos.
Propiedad 1. Las caras opuestas de un paralelepípedo son paralelas e iguales.
Consideremos el paralelepípedo ABCDA1B1C1D1 y demostremos, por ejemplo, el paralelismo y la igualdad de las caras BB1C1C y AA1D1D.
Según la definición de paralelepípedo, la cara ABCD es un paralelogramo, lo que significa, según la propiedad de un paralelogramo, que el borde BC es paralelo al borde AD.
La cara ABB1A1 también es un paralelogramo, lo que significa que los bordes BB1 y AA1 son paralelos.
Esto significa que dos rectas que se cruzan BC y BB1 de un plano, respectivamente, son paralelas a dos rectas AD y AA1, respectivamente, de otro plano, lo que significa que los planos ABB1A1 y BCC1D1 son paralelos.
Todas las caras de un paralelepípedo son paralelogramos, lo que significa BC = AD, BB1 = AA1.
En este caso, los lados de los ángulos B1BC y A1AD están codirigidos respectivamente, lo que significa que son iguales.
Por lo tanto, dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos del paralelogramo ABB1A1 son respectivamente iguales a dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos del paralelogramo BCC1D1, lo que significa que estos paralelogramos son iguales.
El paralelepípedo también tiene una propiedad sobre las diagonales. La diagonal de un paralelepípedo es un segmento que conecta vértices no adyacentes. La línea de puntos del dibujo muestra las diagonales B1D, BD1, A1C.
Entonces, propiedad 2. Las diagonales de un paralelepípedo se cruzan en un punto y se dividen por la mitad por el punto de intersección.
Para probar la propiedad, considere el cuadrilátero BB1D1D. Sus diagonales B1D, BD1 son las diagonales del paralelepípedo ABCDA1B1C1D1.
En la primera propiedad, ya hemos descubierto que la arista BB1 es paralela e igual a la arista AA1, pero la arista AA1 es paralela e igual a la arista DD1. Por tanto, los bordes BB1 y DD1 son paralelos e iguales, lo que demuestra que el cuadrilátero BB1D1D es un paralelogramo. Y en un paralelogramo, según la propiedad, las diagonales B1D, BD1 se cruzan en algún punto O y se dividen por la mitad por este punto.
El cuadrilátero BC1D1A también es un paralelogramo y sus diagonales C1A se cortan en un punto y son bisecadas por este punto. Las diagonales del paralelogramo C1A, ВD1 son las diagonales del paralelepípedo, lo que significa que la propiedad formulada ha sido probada.
Para consolidar el conocimiento teórico sobre el paralelepípedo, considere el problema de prueba.
Los puntos L,M,N,P están marcados en los bordes del paralelepípedo de modo que BL=CM=A1N=D1P. Demuestre que ALMDNB1C1P es un paralelepípedo.
La cara BB1A1A es un paralelogramo, lo que significa que el borde BB1 es igual y paralelo al borde AA1, pero según la condición, los segmentos BL y A1N, lo que significa que los segmentos LB1 y NA son iguales y paralelos.
3) Por tanto, el cuadrilátero LB1NA es un paralelogramo.
4) Dado que CC1D1D es un paralelogramo, significa que el borde CC1 es igual y paralelo al borde D1D, y CM es igual a D1P por condición, lo que significa que los segmentos MC1 y DP son iguales y paralelos.
Por tanto, el cuadrilátero MC1PD también es un paralelogramo.
5) Los ángulos LB1N y MC1P son iguales a ángulos con lados respectivamente paralelos e idénticamente dirigidos.
6) Encontramos que los paralelogramos y MC1PD tienen lados correspondientes iguales y los ángulos entre ellos son iguales, lo que significa que los paralelogramos son iguales.
7) Los segmentos son iguales según la condición, lo que significa que BLMC es un paralelogramo y el lado BC es paralelo al lado LM es paralelo al lado B1C1.
8) De manera similar, del paralelogramo NA1D1P se deduce que el lado A1D1 es paralelo al lado NP y paralelo al lado AD.
9) Las caras opuestas ABB1A1 y DCC1D1 del paralelepípedo son paralelas en propiedad, y los segmentos de rectas paralelas encerrados entre planos paralelos son iguales, lo que significa que los segmentos B1C1, LM, AD, NP son iguales.
Se encontró que en los cuadriláteros ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD, dos lados son paralelos e iguales, lo que significa que son paralelogramos. Entonces nuestra superficie ALMDNB1C1P consta de seis paralelogramos, dos de los cuales son iguales, y por definición es un paralelepípedo.
Definición
Poliedro llamaremos a una superficie cerrada compuesta de polígonos y que delimita una determinada parte del espacio.
Los segmentos que son los lados de estos polígonos se llaman costillas poliedro, y los polígonos mismos son bordes. Los vértices de los polígonos se llaman vértices de poliedro.
Consideraremos solo poliedros convexos (este es un poliedro que se encuentra en un lado de cada plano que contiene su cara).
Los polígonos que forman un poliedro forman su superficie. La parte del espacio que está delimitada por un poliedro dado se llama interior.
definición: prisma
Considere dos polígonos iguales \(A_1A_2A_3...A_n\) y \(B_1B_2B_3...B_n\) ubicados en planos paralelos de modo que los segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralelo. Un poliedro formado por los polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) y \(B_1B_2B_3...B_n\) , así como paralelogramos \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), se llama (\(n\)-gonal) prisma.
Los polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) y \(B_1B_2B_3...B_n\) se llaman bases de prismas, paralelogramos \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– caras laterales, segmentos \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- costillas laterales.
Por tanto, los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales entre sí.
Veamos un ejemplo: un prisma. \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), en cuya base se encuentra un pentágono convexo.
Altura Los prismas son una perpendicular que cae desde cualquier punto de una base al plano de otra base.
Si los bordes laterales no son perpendiculares a la base, entonces dicho prisma se llama inclinado(Fig. 1), de lo contrario – directo. En un prisma recto, las aristas laterales son alturas y las caras laterales son rectángulos iguales.
Si un polígono regular se encuentra en la base de un prisma recto, entonces el prisma se llama correcto.
Definición: concepto de volumen
La unidad de medida de volumen es una unidad cúbica (un cubo que mide \(1\times1\times1\) unidades\(^3\), donde unidad es una determinada unidad de medida).
Podemos decir que el volumen de un poliedro es la cantidad de espacio que limita este poliedro. En caso contrario: se trata de una cantidad cuyo valor numérico muestra cuántas veces cabe un cubo unitario y sus partes en un poliedro determinado.
El volumen tiene las mismas propiedades que el área:
1. Los volúmenes de figuras iguales son iguales.
2. Si un poliedro se compone de varios poliedros que no se cruzan, entonces su volumen es igual a la suma de los volúmenes de estos poliedros.
3. El volumen es una cantidad no negativa.
4. El volumen se mide en cm\(^3\) (centímetros cúbicos), m\(^3\) (metros cúbicos), etc.
Teorema
1. El área de la superficie lateral del prisma es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma.
El área de la superficie lateral es la suma de las áreas de las caras laterales del prisma.
2. El volumen del prisma es igual al producto del área de la base por la altura del prisma: \
definición: paralelepípedo
Paralelepípedo es un prisma con un paralelogramo en su base.
Todas las caras del paralelepípedo (hay \(6\): \(4\) caras laterales y \(2\) bases) son paralelogramos, y las caras opuestas (paralelas entre sí) son paralelogramos iguales (Fig. 2) .
Diagonal de un paralelepípedo es un segmento que conecta dos vértices de un paralelepípedo que no se encuentran en la misma cara (hay \(8\) de ellos: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) etc.).
Paralelepípedo rectangular es un paralelepípedo recto con un rectángulo en su base.
Porque Como se trata de un paralelepípedo recto, las caras laterales son rectángulos. Esto quiere decir que en general todas las caras de un paralelepípedo rectangular son rectángulos.
Todas las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales (esto se desprende de la igualdad de triángulos \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) etc.).
Comentario
Por tanto, un paralelepípedo tiene todas las propiedades de un prisma.
Teorema
El área de la superficie lateral de un paralelepípedo rectangular es \
La superficie total de un paralelepípedo rectangular es \
Teorema
El volumen de un cuboide es igual al producto de sus tres aristas que emergen de un vértice (tres dimensiones del cuboide): \
Prueba
Porque En un paralelepípedo rectangular, las aristas laterales son perpendiculares a la base, entonces también son sus alturas, es decir, \(h=AA_1=c\) Porque la base es un rectángulo, entonces \(S_(\text(principal))=AB\cdot AD=ab\). De aquí surge esta fórmula.
Teorema
La diagonal \(d\) de un paralelepípedo rectangular se encuentra usando la fórmula (donde \(a,b,c\) son las dimensiones del paralelepípedo) \
Prueba
Veamos la figura. 3. Porque la base es un rectángulo, entonces \(\triangle ABD\) es rectangular, por lo tanto, según el teorema de Pitágoras \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Porque todos los bordes laterales son perpendiculares a las bases, entonces \(BB_1\perp (ABC) \Flecha derecha BB_1\) perpendicular a cualquier línea recta en este plano, es decir \(BB_1\perp BD\) . Esto significa que \(\triangle BB_1D\) es rectangular. Entonces, por el teorema de Pitágoras \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), th.
definición: cubo
Cubo es un paralelepípedo rectangular, todas cuyas caras son cuadrados iguales.
Por tanto, las tres dimensiones son iguales entre sí: \(a=b=c\) . Entonces lo siguiente es cierto
Teoremas
1. El volumen de un cubo con arista \(a\) es igual a \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. La diagonal del cubo se encuentra usando la fórmula \(d=a\sqrt3\) .
3. Superficie total de un cubo \(S_(\text(cubo lleno))=6a^2\).