במקביל מלבני, כל הקטעים האלכסוניים שווים. הגדרות מקבילות

מקבילית היא פריזמה שבסיסיה מקבילים. במקרה זה, כל הקצוות יהיו מקביליות.
ניתן להתייחס לכל מקבילית כפריזמה בשלוש דרכים שונות, שכן ניתן לקחת כל שני פנים מנוגדים כבסיסים (באיור 5, פרצופים ABCD ו-A"B"C"D", או ABA"B" ו-CDC"D" , או BCB "C" ו-ADA"D").
לגוף המדובר יש שנים עשר קצוות, ארבעה שווים ומקבילים זה לזה.
משפט 3 . האלכסונים של מקבילי מצטלבים בנקודה אחת, חופפים לאמצע של כל אחד מהם.
ל-ABCDA המקבילית "B"C"D" (איור 5) יש ארבעה אלכסונים AC", BD", CA", DB". עלינו להוכיח שנקודות האמצע של כל שתיים מהן, למשל AC ו-BD", חופפות. הדבר נובע מהעובדה שהדמות ABC"D", בעלת צלעות שוות ומקבילות AB ו-C"D", היא מקבילית.
הגדרה 7 . מקבילית ימנית היא מקבילית שהיא גם פריזמה ישרה, כלומר מקבילית ששולי הצד שלה מאונכים למישור הבסיס.
הגדרה 8 . מקבילי מלבני הוא מקבילי ימני שבסיסו הוא מלבן. במקרה זה, כל הפנים שלו יהיו מלבנים.
מקבילית מלבנית היא פריזמה ישרה, לא משנה אילו מהפנים שלה ניקח כבסיס, שכן כל אחד מהקצוות שלו מאונך לקצוות היוצאים מאותו קודקוד, ולכן יהיה מאונך למישורי הפרצופים המוגדרים לפי הקצוות האלה. לעומת זאת, מקבילית ישרה אך לא מלבנית יכולה להיראות כמנסרה ישרה רק בדרך אחת.
הגדרה 9 . אורכים של שלושה קצוות של מקבילית מלבני, שאין שניים מהם מקבילים זה לזה (לדוגמה, שלושה קצוות היוצאים מאותו קודקוד), נקראים מידותיו. שני מקבילים מלבניים בעלי ממדים שווים בהתאמה שווים זה לזה.
הגדרה 10 .קוביה היא מקבילית מלבני, שכל שלושת הממדים שלה שוות זו לזו, כך שכל פניה מרובעים. שתי קוביות שקצוותיהן שווים שוות.
הגדרה 11 . מקבילית משופעת שבה כל הקצוות שווים זה לזה וזוויות כל הפנים שוות או משלימות נקראת מעוין.
כל פניו של מעוינים הם מעוינים שווים. (לחלק מהגבישים בעלי חשיבות רבה יש צורת מעוינים, למשל גבישי ספוג של איסלנד.) במעויין ניתן למצוא קודקוד (ואפילו שני קודקודים מנוגדים) כך שכל הזוויות הסמוכות לו שוות זו לזו.
משפט 4 . האלכסונים של מקבילי מלבני שווים זה לזה. ריבוע האלכסון שווה לסכום הריבועים של שלושת הממדים.
במלבני המקביל ABCDA"B"C"D" (איור 6), האלכסונים AC" ו-BD" שווים, מכיוון שהמרובע ABC"D" הוא מלבן (הקו הישר AB מאונך למישור ECB" C", שבו טמונה BC").
בנוסף, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 מבוסס על המשפט על ריבוע התחתון. אבל על סמך אותו משפט AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; מכאן שאנו יש:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

נושא 10.3. מקביל ומאפייניו.

הגדרה של מקבילית. מאפיינים של מקבילית עם הוכחות. קוּבִּיָה

מַקבִּילוֹן - פּרִיזמָה, שהבסיס שלו הוא מַקבִּילִית.

סוגי מקבילים

ישנם מספר סוגים של מקבילים:

• מקבילי מלבני- זהו מקבילי, שכל פניו מלבנים;
• מקבילית ימנית- זהו מקבילי עם 4 פנים צדדיות - מלבנים;
• משופע מקביליהוא מקבילי שפני הצד שלו אינם מאונכים לבסיסים.

אלמנטים בסיסיים

שני פנים של מקבילי שאין להם קצה משותף נקראים מוּל, ובעל יתרון משותף - סָמוּך. שני קודקודים של מקבילית שאינם שייכים לאותו פנים נקראים מול. מִגזָר חיבור קודקודים מנוגדים נקרא בְּאֲלַכסוֹןמַקבִּילוֹן. אורכי שלושת הקצוות של מקבילי מלבני בעל קודקוד משותף נקראים מדידות.

נכסים

1. המקבילית סימטרית בערך באמצע האלכסון שלו.
2. כל קטע עם קצוות השייכים לפני השטח של המקביל ועובר באמצע האלכסון שלו מחולק לשניים על ידו; בפרט, כל האלכסונים של מקבילי מצטלבים בנקודה אחת וחוצים על ידה.
3. הפנים המנוגדות של מקבילי הם מקבילים ושווים.
4. ריבוע האורך האלכסוני של מקבילי מלבני שווה לסכום הריבועים של שלושת ממדיו.

נוסחאות בסיסיות

מקבילית ימנית

שטח פנים לרוחב S b =P o *h, כאשר P o הוא היקף הבסיס, h הוא הגובה

שטח פנים כולל S p =S b +2S o, כאשר S o הוא שטח הבסיס

כֶּרֶך V=S o *h

] מקבילי מלבני

שטח פנים לרוחב S b =2c(a+b), כאשר a, b הם צלעות הבסיס, c הוא קצה הצד של המקבילה המלבני

שטח פנים כולל S p =2(ab+bc+ac)

כֶּרֶך V=abc, כאשר a, b, c הם הממדים של מקבילי מלבני.

אם בסיס המנסרה הוא מקבילית, אז זה נקרא מקבילית. כל פניו של מקבילי הם מקבילים.

איור 12, א) מציג מקבילית משופעת, ואיור 12, ב) מציג מקבילי ישר.

פניו של מקבילי שאין להם קודקודים משותפים נקראים מנוגדים.

משפט 1. פניו המנוגדים של מקבילי הם מקבילים ושווים.

הוֹכָחָה:הבה ניקח בחשבון כמה שני פנים מנוגדים של מקבילי, למשל ו (איור 13). מכיוון שכל פניו של מקבילי הם מקבילים, אז ישר מקביל לישר, וקו ישר מקביל לישר. מכאן עולה כי מישורי הפנים הנידונים מקבילים.

תמלול טקסט של השיעור:

שקול את הפריטים הבאים:

לבני בנייה, קוביות, תנור מיקרוגל. חפצים אלה מאוחדים לפי צורה.

משטח המורכב משתי מקביליות שוות ABCD ו-A1B1C1D1

וארבע מקביליות AA1B1B ו-BB1C1C, СС1D1D, AA1D1D נקראות מקבילית.

המקביליות המרכיבות מקבילית נקראות פרצופים. פנים А1В1С1D1. Edge ВВ1С1С. Edge ABCD.

במקרה זה, הפנים ABCD ו-A1B1C1D1 נקראים לעתים קרובות יותר בסיסים, והפנים הנותרים הם לרוחב.

צלעות המקבילות נקראות קצוות המקבילית. צלע A1B1. צלעות CC1. צלע לספירה.

Edge CC1 לא שייך לבסיסים הוא נקרא קצה צדדי.

קודקודי המקבילות נקראים קודקודים של מקבילית.

קודקוד D1. ורשינה ב. ורשינה ס.

קודקודים D1 ו-B

אינם שייכים לאותה פרצוף ונקראים ממול.

ניתן לתאר מקבילית בדרכים שונות

מקבילית שבבסיסו שוכן מעוין, ותמונות הפנים הן מקבילות.

מקבילית שבבסיסו שוכן ריבוע. קצוות בלתי נראים AA1, AB, AD מתוארים בקווים מקווקוים.

מקביל שבבסיסו נמצא ריבוע

מקבילית שבבסיסו נמצא מלבן או מקבילית

מקביל עם כל הפנים מרובעות. לעתים קרובות יותר זה נקרא קובייה.

לכל המקבילים הנחשבים יש תכונות. הבה ננסח אותם ונוכיח אותם.

תכונה 1. פנים מנוגדים של מקבילית מקבילים ושווים.

בואו נבחן את המקבילית ABCDA1B1C1D1 ונוכיח, למשל, את ההקבלה והשוויון של הפרצופים BB1C1C ו-AA1D1D.

לפי ההגדרה של מקבילית, הפנים ABCD הוא מקבילית, כלומר, לפי התכונה של מקבילית, קצה BC מקביל לקצה AD.

פנים ABB1A1 הוא גם מקבילית, כלומר הקצוות BB1 ו-AA1 מקבילים.

משמעות הדבר היא ששני ישרים BC ו-BB1 מצטלבים של מישור אחד, בהתאמה, מקבילים לשני ישרים AD ו-AA1, בהתאמה, של מישור אחר, מה שאומר שהמישורים ABB1A1 ו-BCC1D1 מקבילים.

כל פניו של מקבילי הם מקביליות, כלומר BC = AD, BB1 = AA1.

במקרה זה, הצלעות של הזוויות B1BC ו-A1AD מכוונות בהתאמה, מה שאומר שהן שוות.

לפיכך, שתי צלעות סמוכות והזווית ביניהן של המקבילית ABB1A1 שווים בהתאמה לשתי צלעות סמוכות והזווית ביניהן של המקבילית BCC1D1, כלומר מקביליות אלו שוות.

למקבלית יש גם תכונה לגבי אלכסונים. האלכסון של מקבילי הוא קטע המחבר בין קודקודים לא סמוכים. הקו המקווקו בשרטוט מציג את האלכסונים B1D, BD1, A1C.

אז, תכונה 2. האלכסונים של מקבילי מצטלבים בנקודה אחת ומחולקים לשניים על ידי נקודת החיתוך.

כדי להוכיח את המאפיין, שקול את המרובע BB1D1D. האלכסונים שלו B1D, BD1 הם האלכסונים של המקבילית ABCDA1B1C1D1.

במאפיין הראשון, כבר גילינו שקצה BB1 מקביל ושווה לקצה AA1, אבל קצה AA1 מקביל ושווה לקצה DD1. לכן, הקצוות BB1 ו-DD1 מקבילים ושווים, מה שמוכיח שהמרובע BB1D1D הוא מקבילית. ובמקבילית, לפי התכונה, האלכסונים B1D, BD1 נחתכים בנקודה כלשהי O ומתחלקים לשניים בנקודה זו.

גם המרובע BC1D1A הוא מקבילית ואלכסוניו C1A נחתכים בנקודה אחת וחוצים בנקודה זו. האלכסונים של המקבילית C1A, ВD1 הם האלכסונים של המקבילית, מה שאומר שהתכונה המנוסחת הוכחה.

כדי לגבש ידע תיאורטי על המקביל, שקול את בעיית ההוכחה.

הנקודות L,M,N,P מסומנות בקצוות המקבילית כך ש-BL=CM=A1N=D1P. הוכח כי ALMDNB1C1P הוא מקבילי.

פנים BB1A1A הוא מקבילית, כלומר קצה BB1 שווה ומקביל לקצה AA1, אך לפי התנאי, הקטעים BL ו-A1N, כלומר הקטעים LB1 ו-NA שווים ומקבילים.

3) לכן, המרובע LB1NA הוא מקבילית.

4) מכיוון ש-CC1D1D היא מקבילית, זה אומר שקצה CC1 שווה ומקביל לקצה D1D, ו-CM שווה ל-D1P לפי תנאי, מה שאומר שהקטעים MC1 ו-DP שווים ומקבילים

לכן, המרובע MC1PD הוא גם מקבילית.

5) זוויות LB1N ו-MC1P שוות כזוויות עם צלעות מקבילות ומכוונות זהות בהתאמה.

6) מצאנו שלמקביליות ו-MC1PD יש צלעות מתאימות שוות והזוויות ביניהן שוות, כלומר המקביליות שוות.

7) הקטעים שווים לפי התנאי, כלומר BLMC היא מקבילית והצלע BC מקבילה לצלע LM מקבילה לצד B1C1.

8) באופן דומה, מהמקבילית NA1D1P עולה שהצד A1D1 מקביל לצלע NP ומקביל לצלע AD.

9) הפרצופים הנגדיים ABB1A1 ו-DCC1D1 של המקבילית מקבילים בתכונה, והמקטעים של ישרים מקבילים הכלואים בין מישורים מקבילים שווים, מה שאומר שהקטעים B1C1, LM, AD, NP שווים.

נמצא שבמרובעים ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD, שתי צלעות מקבילות ושוות, כלומר הן מקבילות. אז פני השטח שלנו ALMDNB1C1P מורכבים משש מקביליות, שתיים מהן שוות, ובהגדרה היא מקבילית.

הַגדָרָה

פֵּאוֹןנקרא למשטח סגור המורכב ממצולעים ותוחם חלק מסוים במרחב.

הקטעים שהם הצדדים של המצולעים האלה נקראים צלעותפולידרון, והמצולעים עצמם הם קצוות. קודקודים של מצולעים נקראים קודקודים רב-הדרונים.

נשקול רק פוליהדרות קמורות (זהו רב-הדרון שנמצא בצד אחד של כל מישור המכיל את פניו).

המצולעים המרכיבים פולידרון יוצרים את פני השטח שלו. החלק של החלל שתוחם על ידי פולידרון נתון נקרא הפנים שלו.

הגדרה: פריזמה

שקול שני מצולעים שווים \(A_1A_2A_3...A_n\) ו-\(B_1B_2B_3...B_n\) הממוקמים במישורים מקבילים כך שהקטעים \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)מַקְבִּיל. פולידרון שנוצר על ידי המצולעים \(A_1A_2A_3...A_n\) ו-\(B_1B_2B_3...B_n\) , כמו גם מקביליות \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), נקרא (\(n\)-גונאלי) פּרִיזמָה.

מצולעים \(A_1A_2A_3...A_n\) ו-\(B_1B_2B_3...B_n\) נקראים בסיסי פריזמה, מקבילים \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– פני צד, קטעים \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- צלעות לרוחב.
לפיכך, הקצוות הרוחביים של המנסרה מקבילים ושווים זה לזה.

בואו נסתכל על דוגמה - פריזמה \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), שבבסיסו מצוי מחומש קמור.

גוֹבַהמנסרות הן מאונך שנפל מכל נקודה של בסיס אחד למישור של בסיס אחר.

אם קצוות הצד אינם מאונכים לבסיס, אז מנסרה כזו נקראת נוֹטֶה(איור 1), אחרת – יָשִׁיר. בפריזמה ישרה, קצוות הצדדיים הם גבהים, ופני הצדדיים הם מלבנים שווים.

אם מצולע רגיל נמצא בבסיסה של פריזמה ישרה, אז המנסרה נקראת נָכוֹן.

הגדרה: מושג נפח

יחידת מדידת הנפח היא קוביית יחידה (קוביה המודדת \(1\times1\times1\) יחידות\(^3\), כאשר יחידה היא יחידת מידה מסוימת).

אנו יכולים לומר שנפח הפולידרון הוא כמות החלל שהפוליהדרון הזה מגביל. אחרת: זוהי כמות שערכה המספרי מראה כמה פעמים קוביית יחידה וחלקיה מתאימים לפולידרון נתון.

לנפח יש את אותם מאפיינים כמו שטח:

1. הנפחים של דמויות שוות שווים.

2. אם פולי-הדרון מורכב מכמה רב-הדרות שאינן מצטלבות, אזי נפחו שווה לסכום הנפחים של רב-הידרים אלו.

3. נפח הוא כמות לא שלילית.

4. נפח נמדד בס"מ\(^3\) (סנטימטר מעוקב), m\(^3\) (מ"ק) וכו'.

מִשׁפָּט

1. שטח המשטח הרוחבי של המנסרה שווה למכפלת היקף הבסיס וגובה הפריזמה.
שטח הפנים לרוחב הוא סכום השטחים של הפנים הצדדיות של המנסרה.

2. נפח הפריזמה שווה למכפלת שטח הבסיס וגובה המנסרה: \

הגדרה: מקבילית

מַקבִּילוֹןהיא פריזמה עם מקבילית בבסיסה.

כל פניו של המקבילי (יש \(6\) : \(4\) פני צד ו-\(2\) בסיסים) הם מקבילים, והפנים הנגדיות (מקבילות זה לזה) הן מקביליות שוות (איור 2) .

אלכסון של מקביליתהוא קטע המחבר שני קודקודים של מקבילית שאינם מונחים על אותו פנים (יש \(8\) מהם: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\)וכו.).

מקבילי מלבניהוא מקבילי ימין עם מלבן בבסיסו.
כִּי מכיוון שזהו מקבילי ישר, פני הצד הם מלבנים. זה אומר שבאופן כללי כל פניו של מקבילי מלבני הם מלבנים.

כל האלכסונים של מקבילי מלבני שווים (זה נובע משוויון המשולשים \(\משולש ACC_1=\משולש AA_1C=\משולש BDD_1=\משולש BB_1D\)וכו.).

הֶעָרָה

לפיכך, מקבילית יש את כל התכונות של פריזמה.

מִשׁפָּט

שטח הפנים לרוחב של מקבילית מלבני הוא \

שטח הפנים הכולל של מקבילי מלבני הוא \

מִשׁפָּט

נפחו של קוביד שווה למכפלת שלושת הקצוות שלו היוצאים מקודקוד אחד (שלושה ממדים של הקוביד): \

הוֹכָחָה

כִּי במקביל מלבני, הקצוות הרוחביים מאונכים לבסיס, אז הם גם הגבהים שלו, כלומר \(h=AA_1=c\) מכיוון הבסיס הוא מלבן, אם כן \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). מכאן נובעת הנוסחה הזו.

מִשׁפָּט

האלכסון \(d\) של מקבילי מלבני נמצא באמצעות הנוסחה (כאשר \(a,b,c\) הם הממדים של המקביל) \

הוֹכָחָה

בואו נסתכל על איור. 3. כי הבסיס הוא מלבן, ואז \(\משולש ABD\) הוא מלבני, לפיכך, לפי משפט פיתגורס \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

כִּי אז כל הקצוות הצדדיים מאונכים לבסיסים \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)בניצב לכל קו ישר במישור הזה, כלומר. \(BB_1\perp BD\) . זה אומר ש-\(\משולש BB_1D\) הוא מלבני. ואז, לפי משפט פיתגורס \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

הגדרה: קובייה

קוּבִּיָההוא מקבילי מלבני, שכל פניו ריבועים שווים.

לפיכך, שלושת הממדים שווים זה לזה: \(a=b=c\) . אז הדברים הבאים נכונים

משפטים

1. הנפח של קובייה עם קצה \(a\) שווה ל-\(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. האלכסון של הקובייה נמצא באמצעות הנוסחה \(d=a\sqrt3\) .

3. שטח פנים כולל של קובייה \(S_(\text(קוביה מלאה))=6a^2\).