Cilindras (apvalus cilindras) yra kūnas, susidedantis iš dviejų apskritimų, sujungtų lygiagrečiai, ir visų segmentų, jungiančių atitinkamus šių apskritimų taškus. Apskritimai vadinami cilindro pagrindais, o segmentai, jungiantys atitinkamus apskritimų apskritimų taškus, vadinami cilindro generatoriais.
Cilindro pagrindai yra lygūs ir yra lygiagrečiose plokštumose, o cilindro generatoriai yra lygiagretūs ir lygūs. Cilindro paviršius susideda iš pagrindo ir šoninio paviršiaus. Šoninį paviršių sudaro generatricos.
Cilindras vadinamas tiesiuoju, jei jo generatoriai statmeni pagrindo plokštumoms. Cilindras gali būti laikomas kūnu, gautu sukant stačiakampį aplink vieną iš jo kraštinių kaip ašį. Yra ir kitų tipų cilindrai – elipsiniai, hiperboliniai, paraboliniai. Prizmė taip pat laikoma cilindro tipu.
2 paveiksle pavaizduotas pasviręs cilindras. Apskritimai su centrais O ir O 1 yra jo bazės.
Cilindro spindulys yra jo pagrindo spindulys. Cilindro aukštis yra atstumas tarp pagrindų plokštumų. Cilindro ašis yra tiesi linija, einanti per pagrindų centrus. Jis yra lygiagretus generatoriams. Cilindro, kurio plokštuma eina per cilindro ašį, skerspjūvis vadinamas ašine pjūviu. Plokštuma, einanti per tiesaus cilindro generatorių ir statmena per šį generatorių nubrėžtai ašinei pjūviui, vadinama cilindro liestinės plokštuma.
Cilindro ašiai statmena plokštuma kerta jo šoninį paviršių išilgai apskritimo, lygaus pagrindo perimetrui.
Prizmė, įrašyta į cilindrą, yra prizmė, kurios pagrindai yra lygūs daugiakampiai, įrašyti į cilindro pagrindą. Jo šoniniai šonkauliai sudaro cilindrą. Sakoma, kad prizmė yra apibrėžta apie cilindrą, jei jos pagrindai yra lygūs aplink cilindro pagrindus apibrėžti daugiakampiai. Jo veidų plokštumos liečia šoninį cilindro paviršių.
Cilindro šoninio paviršiaus plotą galima apskaičiuoti generatrix ilgį padauginus iš cilindro pjūvio perimetro iš generatrix statmenos plokštumos.
Tiesaus cilindro šoninio paviršiaus plotą galima rasti pagal jo vystymąsi. Cilindro raida yra stačiakampis, kurio aukštis h ir ilgis P, kuris yra lygus pagrindo perimetrui. Todėl cilindro šoninio paviršiaus plotas yra lygus jo išsivystymo plotui ir apskaičiuojamas pagal formulę:
Visų pirma, dešiniajam apskritam cilindrui:
P = 2πR ir S b = 2πRh.
Bendras cilindro paviršiaus plotas yra lygus jo šoninio paviršiaus ir pagrindo plotų sumai.
Tiesus apskritas cilindras:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Yra dvi formulės, kaip rasti pasvirusio cilindro tūrį.
Tūrį galite rasti padauginę generatoriaus ilgį iš cilindro skerspjūvio ploto iš generatrix statmenos plokštumos.
Pasvirusio cilindro tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai (atstumas tarp plokštumų, kuriose yra pagrindai):
V = Sh = S l sin α,
čia l yra generatrix ilgis, o α yra kampas tarp generatrix ir pagrindo plokštumos. Tiesiam cilindrui h = l.
Apvalaus cilindro tūrio nustatymo formulė yra tokia:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4) h,
kur d yra pagrindo skersmuo.
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
Cilindras (tiesus apskritas cilindras) yra kūnas, susidedantis iš dviejų apskritimų (cilindro pagrindų), sujungtų lygiagrečiu vertimu, ir visų atkarpų, jungiančių atitinkamus šių apskritimų taškus lygiagrečio vertimo metu. Atkarpos, jungiančios atitinkamus pagrindo apskritimų taškus, vadinamos cilindro generatoriais.
Štai dar vienas apibrėžimas:
Cilindras- korpusas, kurį riboja cilindrinis paviršius su uždaru kreiptuvu ir dviem lygiagrečiomis plokštumomis, kertančiomis šio paviršiaus generatricas.
Cilindrinis paviršius- paviršius, kuris susidaro tiesia linija judant išilgai tam tikros kreivės. Tiesi linija vadinama cilindrinio paviršiaus generatoriumi, o lenkta linija vadinama cilindrinio paviršiaus kreiptuvu.
Šoninis cilindro paviršius- cilindrinio paviršiaus dalis, kurią riboja lygiagrečios plokštumos.
Cilindrų pagrindai- lygiagrečių plokštumų dalys, nupjautos šoniniu cilindro paviršiumi.
1 pav. mini
Cilindras vadinamas tiesioginis(Cm. 1 pav), jei jo generatoriai statmeni pagrindų plokštumoms. Priešingu atveju cilindras vadinamas linkęs.
Apvalus cilindras- cilindras, kurio pagrindai yra apskritimai.
Dešinysis apskritas cilindras (tik cilindras) yra kūnas, gautas sukant stačiakampį aplink vieną iš jo kraštinių. Cm. 1 pav.
Cilindro spindulys yra jo pagrindo spindulys.
Cilindro generatorius- cilindrinio paviršiaus generatorius.
Cilindro aukštis vadinamas atstumu tarp pagrindų plokštumų. Cilindro ašis vadinama tiese, einančia per pagrindų centrus. Cilindro pjūvis plokštumoje, einančioje per cilindro ašį, vadinamas ašinis skyrius.
Cilindro ašis yra lygiagreti jo generatoriui ir yra cilindro simetrijos ašis.
Plokštuma, einanti per tiesaus cilindro generatorių ir statmena ašinei pjūviui, nubrėžtam per šį generatorių, vadinama cilindro liestinės plokštuma. Cm. 2 pav.
Šoninio cilindro paviršiaus raida- stačiakampis, kurio kraštinės yra lygios cilindro aukščiui ir pagrindo perimetrui.
Cilindro šoninio paviršiaus plotas- šoninio paviršiaus vystymosi sritis. $$S_(side)=2\pi\cdot rh$$ , kur h yra cilindro aukštis ir r– pagrindo spindulys.
Bendras cilindro paviršiaus plotas- plotas, kuris lygus cilindro dviejų pagrindų ir jo šoninio paviršiaus plotų sumai, t.y. išreiškiamas formule: $$S_(full)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , kur h yra cilindro aukštis ir r– pagrindo spindulys.
Bet kurio cilindro tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai: $$V = S\cdot h$$ Apvalaus cilindro tūris: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , kur ( r- pagrindo spindulys).
Prizmė yra specialus cilindro tipas (generatoriai yra lygiagrečiai šoniniams briaunoms; kreiptuvas yra daugiakampis, esantis prie pagrindo). Kita vertus, savavališkas cilindras gali būti laikomas išsigimusia („išlyginta“) prizme, turinčia labai daug labai siaurų paviršių. Praktiškai cilindras nuo tokios prizmės nesiskiria. Cilindre išsaugomos visos prizmės savybės.
Stereometrija yra geometrijos šaka, kurioje tiriamos figūros erdvėje. Pagrindinės figūros erdvėje yra taškas, tiesė ir plokštuma. Stereometrijoje atsiranda naujas santykinio linijų išdėstymo tipas: linijų kirtimas. Tai vienas iš nedaugelio reikšmingų stereometrijos ir planimetrijos skirtumų, nes daugeliu atvejų stereometrijos problemos išsprendžiamos atsižvelgiant į įvairias plokštumas, kuriose tenkinami planimetriniai dėsniai.
Mus supančioje gamtoje yra daug objektų, kurie yra fiziniai šios figūros modeliai. Pavyzdžiui, daugelis mašinų dalių turi cilindro formą arba yra tam tikras jų derinys, o didingos šventyklų ir katedrų kolonos, pagamintos cilindrų pavidalu, pabrėžia jų harmoniją ir grožį.
graikų − kylindros. Senovinis terminas. Kasdieniame gyvenime – papiruso ritinys, volelis, volelis (veiksmažodis – sukti, ridenti).
Euklido atveju cilindras gaunamas sukant stačiakampį. „Cavalieri“ - generatrix judėjimu (su savavališku kreiptuvu - „cilindru“).
Šio rašinio tikslas – panagrinėti geometrinį kūną – cilindrą.
Norint pasiekti šį tikslą, būtina apsvarstyti šias užduotis:
− pateikti cilindro apibrėžimus;
− apsvarstyti cilindro elementus;
− ištirti cilindro savybes;
− apsvarstyti cilindrų sekcijų tipus;
− išvesti cilindro ploto formulę;
− išvesti cilindro tūrio formulę;
− spręsti problemas naudojant cilindrą.
1.1. Cilindro apibrėžimas
Panagrinėkime kokią nors tiesę (kreivę, lūžusią arba mišrią) l, esančią kurioje nors plokštumoje α, ir tiesią tiesę S, kertančią šią plokštumą. Per visus duotosios tiesės l taškus brėžiame tieses lygiagrečias tiesei S; šių tiesių suformuotas paviršius α vadinamas cilindriniu paviršiumi. Linija l vadinama šio paviršiaus kreiptuvu, linijos s 1, s 2, s 3,... yra jos generatoriai.
Jei kreiptuvas sulūžęs, tada toks cilindrinis paviršius susideda iš kelių plokščių juostelių, uždarytų tarp lygiagrečių tiesių linijų porų, ir vadinamas prizminiu paviršiumi. Per kreipiančiosios trūkinės linijos viršūnes einančios generatricos vadinamos prizminio paviršiaus briaunomis, o tarp jų esančios plokščios juostelės – jo paviršiai.
Jei bet kurį cilindrinį paviršių išpjaustysime savavališka plokštuma, kuri nėra lygiagreti jo generatoriams, gausime liniją, kuri taip pat gali būti laikoma šio paviršiaus gairėmis. Tarp kreiptuvų išsiskiria tas, kuris gaunamas pjaunant paviršių plokštuma, statmena paviršiaus generatrams. Tokia sekcija vadinama normalia sekcija, o atitinkama kreiptuvas – normaliu vadovu.
Jei kreiptuvas yra uždara (išgaubta) linija (nulaužta arba išlenkta), tai atitinkamas paviršius vadinamas uždaru (išgaubtu) prizminiu arba cilindriniu paviršiumi. Paprasčiausias cilindrinis paviršius turi apskritimą kaip įprastą kreiptuvą. Išskirkime uždarą išgaubtą prizminį paviršių, kurio dvi plokštumos lygiagrečios viena kitai, bet ne lygiagrečios generatoriams.
Atkarpose gauname išgaubtus daugiakampius. Dabar prizminio paviršiaus dalis, esanti tarp plokštumų α ir α" ir šiose plokštumose suformuotos dvi daugiakampės plokštės, riboja kūną, vadinamą prizminiu kūnu - prizme.
Cilindrinis korpusas - cilindras apibrėžiamas panašiai kaip prizmė:
Cilindras – korpusas, iš šonų apribotas uždaru (išgaubtu) cilindriniu paviršiumi, o iš galų – dviem plokščiais lygiagrečiais pagrindais. Abu cilindro pagrindai yra vienodi, taip pat visos cilindro sudedamosios dalys yra lygios, t.y. cilindrinio paviršiaus generatrijų segmentai tarp pagrindų plokštumų.
Cilindras (tiksliau – apskritas cilindras) – tai geometrinis kūnas, susidedantis iš dviejų ne vienoje plokštumoje esančių apskritimų, sujungtų lygiagrečiu vertimu, ir visų atkarpų, jungiančių atitinkamus šių apskritimų taškus (1 pav.) .
Apskritimai vadinami cilindro pagrindais, o segmentai, jungiantys atitinkamus apskritimų apskritimų taškus, vadinami cilindro generatoriais.
Kadangi lygiagretus vertimas yra judėjimas, cilindro pagrindai yra vienodi.
Kadangi lygiagrečios transliacijos metu plokštuma virsta lygiagrečia plokštuma (arba į save), tai cilindro pagrindai yra lygiagrečiose plokštumose.
Kadangi lygiagrečiojo vertimo metu taškai pasislenka išilgai lygiagrečių (arba sutampančių) tiesių tokiu pačiu atstumu, tai cilindro generatoriai yra lygiagretūs ir lygūs.
Cilindro paviršius susideda iš pagrindo ir šoninio paviršiaus. Šoninį paviršių sudaro generatricos.
Cilindras vadinamas tiesiuoju, jei jo generatoriai statmeni pagrindų plokštumoms.
Tiesus cilindras gali būti vizualiai įsivaizduojamas kaip geometrinis kūnas, apibūdinantis stačiakampį, kai sukasi aplink savo šoną kaip ašį (2 pav.).
Ryžiai. 2 − Tiesus cilindras
Toliau nagrinėsime tik tiesų cilindrą, trumpumo dėlei jį pavadinsime tiesiog cilindru.
Cilindro spindulys yra jo pagrindo spindulys. Cilindro aukštis yra atstumas tarp jo pagrindų plokštumų. Cilindro ašis yra tiesi linija, einanti per pagrindų centrus. Jis yra lygiagretus generatoriams.
Cilindras vadinamas lygiakraštiu, jei jo aukštis lygus pagrindo skersmeniui.
Jei cilindro pagrindai yra plokšti (taigi ir juos turinčios plokštumos yra lygiagrečios), tada sakoma, kad cilindras stovi ant plokštumos. Jei plokštumoje stovinčio cilindro pagrindai statmeni generatrix, tai cilindras vadinamas tiesiuoju.
Visų pirma, jei plokštumoje stovinčio cilindro pagrindas yra apskritimas, tai mes kalbame apie apskritą (apvalų) cilindrą; jei tai elipsė, vadinasi, elipsė.
1. 3. Cilindro sekcijos
Cilindro, kurio ašiai lygiagreti plokštuma, skerspjūvis yra stačiakampis (3 pav., a). Dvi jo pusės yra cilindro generatoriai, o kitos dvi yra lygiagrečios pagrindų stygos.
A) 
b)
V) G)
Ryžiai. 3 – cilindro sekcijos
Visų pirma, stačiakampis yra ašinė pjūvis. Tai cilindro atkarpa su plokštuma, einančia per jo ašį (3 pav., b).
Cilindro, kurio plokštuma lygiagreti pagrindui, skerspjūvis yra apskritimas (3 pav., c).
Cilindro, kurio plokštuma nėra lygiagreti pagrindui ir jo ašiai, skerspjūvis yra ovalus (3d pav.).
1 teorema. Plokštuma, lygiagreti cilindro pagrindo plokštumai, kerta jo šoninį paviršių išilgai apskritimo, lygaus pagrindo apskritimui.
Įrodymas. Tegul β yra plokštuma, lygiagreti cilindro pagrindo plokštumai. Lygiagretus vertimas cilindro ašies kryptimi, sujungiant plokštumą β su cilindro pagrindo plokštuma, sujungia šoninio paviršiaus pjūvį plokštuma β su pagrindo perimetru. Teorema įrodyta.
Cilindro šoninio paviršiaus plotas.
Cilindro šoninio paviršiaus plotas laikomas riba, iki kurios linksta į cilindrą įrašytos taisyklingos prizmės šoninio paviršiaus plotas, kai šios prizmės pagrindo kraštinių skaičius neribotai didėja.
2 teorema. Cilindro šoninio paviršiaus plotas lygus jo pagrindo apskritimo ir aukščio sandaugai (S pusė.c = 2πRH, kur R yra cilindro pagrindo spindulys, H yra cilindro aukštis).
A) 
b) 
Ryžiai. 4 − Cilindro šoninio paviršiaus plotas
Įrodymas.
Tegu P n ir H yra atitinkamai į cilindrą įrašytos taisyklingosios n kampinės prizmės pagrindo perimetras ir aukštis (4 pav., a). Tada šios prizmės šoninio paviršiaus plotas yra S pusė.c − P n H. Tarkime, kad į pagrindą įrašyto daugiakampio kraštinių skaičius auga neribotai (4 pav., b). Tada perimetras P n linkęs į apskritimą C = 2πR, kur R yra cilindro pagrindo spindulys, o aukštis H nesikeičia. Taigi, prizmės šoninio paviršiaus plotas linkęs į 2πRH ribą, t.y., cilindro šoninio paviršiaus plotas lygus S pusei.c = 2πRH. Teorema įrodyta.
Bendras cilindro paviršiaus plotas.
Bendras cilindro paviršiaus plotas yra šoninio paviršiaus ir dviejų pagrindų plotų suma. Kiekvieno cilindro pagrindo plotas lygus πR 2, todėl viso cilindro paviršiaus plotas S total apskaičiuojamas pagal formulę S side.c = 2πRH+ 2πR 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
Ryžiai. 5 – bendras cilindro paviršiaus plotas
Jei cilindro šoninis paviršius nupjaunamas išilgai generatoriaus FT (5 pav., a) ir išskleidžiamas taip, kad visi generatoriai būtų toje pačioje plokštumoje, tada gauname stačiakampį FTT1F1, kuris vadinamas generatoriaus raida. šoninis cilindro paviršius. Stačiakampio kraštinė FF1 yra cilindro pagrindo apskritimo raida, todėl FF1=2πR, o jos kraštinė FT lygi cilindro generatricei, t.y. FT = H (5 pav., b). Taigi cilindro išsivystymo plotas FT∙FF1=2πRH yra lygus jo šoninio paviršiaus plotui.
1.5. Cilindro tūris
Jei geometrinis kūnas yra paprastas, tai yra, jį galima padalyti į baigtinį skaičių trikampių piramidžių, tai jo tūris yra lygus šių piramidžių tūrių sumai. Savavališko kūno tūris nustatomas taip.
Duotas kūnas turi tūrį V, jei yra paprastų kūnų, kuriuose jis yra, ir paprastų kūnų, kurių tūris skiriasi nuo V, kiek norima.
Taikykime šį apibrėžimą norėdami rasti cilindro, kurio pagrindo spindulys R ir aukštis H, tūrį.
Išvedant apskritimo ploto formulę, buvo sukonstruoti du n-kampai (vienas turi apskritimą, kitas yra apskritime), kad jų plotai, neribotai padidėjus n, artėtų prie ploto ratas be apribojimų. Sukonstruokime tokius daugiakampius apskritimui prie cilindro pagrindo. Tegul P yra daugiakampis, kuriame yra apskritimas, o P" yra daugiakampis, esantis apskritime (6 pav.).
Ryžiai. 7 − Cilindras su jame aprašyta ir įrašyta prizme
Sukonstruokime dvi tiesias prizmes, kurių pagrindai P ir P" ir aukštis H lygus cilindro aukščiui. Pirmoje prizmėje yra cilindras, o antroje – cilindre. Kadangi neribotai padidėjus n, prizmių pagrindų plotai neribotai artėja prie cilindro S pagrindo ploto, tada jų tūriai neribotai artėja prie SH pagal apibrėžimą, cilindro tūrį
V = SH = πR 2 H.
Taigi, cilindro tūris yra lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.
1 užduotis.
Ašinė cilindro dalis yra kvadratas, kurio plotas Q.
Raskite cilindro pagrindo plotą.
Duota: cilindras, kvadratas - ašinė cilindro pjūvis, S kvadratas = Q.
Rasti: S pagrindinis cilindras
Aikštės pusė yra. Jis lygus pagrindo skersmeniui. Todėl pagrindo plotas yra 
.
Atsakymas: S pagrindinis cilindras. =
2 užduotis.
Į cilindrą įrašyta taisyklinga šešiakampė prizmė. Raskite kampą tarp jo šoninio paviršiaus įstrižainės ir cilindro ašies, jei pagrindo spindulys lygus cilindro aukščiui.
Duota: cilindras, į cilindrą įrašyta taisyklinga šešiakampė prizmė, pagrindo spindulys = cilindro aukštis.
Rasti: kampas tarp jo šoninio paviršiaus įstrižainės ir cilindro ašies.
Sprendimas: Prizmės šoniniai paviršiai yra kvadratai, nes taisyklingo šešiakampio kraštinė, įbrėžta į apskritimą, yra lygi spinduliui.
Prizmės briaunos yra lygiagrečios cilindro ašiai, todėl kampas tarp veidelio įstrižainės ir cilindro ašies yra lygus kampui tarp įstrižainės ir šoninės briaunos. Ir šis kampas yra 45 °, nes veidai yra kvadratai.
Atsakymas: kampas tarp jo šoninio paviršiaus įstrižainės ir cilindro ašies = 45°.
3 užduotis.
Cilindro aukštis 6 cm, pagrindo spindulys 5 cm.
Raskite pjūvio plotą, nubrėžtą lygiagrečiai cilindro ašiai 4 cm atstumu nuo jos.
Pateikta: A = 6 cm, R = 5 cm, OE = 4 cm.
Rasti: S sek.
S sek. = KM × KS,
OE = 4 cm, KS = 6 cm.
Trikampis OKM – lygiašonis (OK = OM = R = 5 cm),
trikampis OEK yra stačiakampis.
Iš trikampio OEK pagal Pitagoro teoremą:
KM = 2EK = 2 × 3 = 6,
S sek. = 6 × 6 = 36 cm 2.
Šio rašinio tikslas buvo įgyvendintas.
Svarstomos šios užduotys:
− pateikiamas cilindro apibrėžimas;
− atsižvelgiama į cilindro elementus;
− ištirtos cilindro savybės;
− nagrinėjami cilindrų sekcijų tipai;
- išvesta cilindro ploto formulė;
− išvesta cilindro tūrio formulė;
− išsprendė problemas naudojant cilindrą.
1. Pogorelovas A.V. Geometrija: Vadovėlis 10 – 11 ugdymo įstaigų klasėms, 1995 m.
2. Beskin L.N. Stereometrija. Vadovas vidurinių mokyklų mokytojams, 1999 m.
3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometrija: vadovėlis švietimo įstaigų 10 - 11 klasei, 2000 m.
4. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija: vadovėlis 10-11 klasėms bendrojo ugdymo įstaigose, 1998 m.
5. Kiselevas A. P., Rybkin N. A. Geometrija: Stereometrija: 10 – 11 kl.: Vadovėlis ir uždavinynas, 2000 m.
1. Ašinė sekcija cilindras – tai cilindro atkarpa plokštuma, einanti per jo ašį. Ašinis cilindro skerspjūvis yra stačiakampis.
2. Cilindro atkarpa, kurios plokštuma lygiagreti pagrindui.
Šiuo atveju skerspjūvis yra apskritimas, lygus ir lygiagretus pagrindui.
Kūgis
Kūgis yra geometrinis kūnas, sudarytas iš apskritimo - pagrindu kūgis, taškas, esantis ne šio apskritimo plokštumoje, − viršūnės kūgis ir visi segmentai, jungiantys kūgio viršūnę su pagrindo taškais.
Vadinamos atkarpos, jungiančios kūgio viršūnę su pagrindo apskritimo taškais formuojantis kūgis
Kūgis vadinamas tiesioginis, jei tiesi linija, jungianti kūgio viršūnę su pagrindo centru, yra statmena pagrindo plokštumai.
Įjungta ryžių. A) tiesus kūgis, b) pasviręs kūgis.
Toliau mes svarstysime tik tiesų kūgį!
S- kūgio viršus.
Apskritimas su centrais APIE– kūgio pagrindas.
S.A.,C.B., SC– kūgių formavimas.
Aukštis kūgio statmenas, nusileidęs nuo jo viršūnės iki pagrindo plokštumos.
Ašis kūgio yra tiesi linija, turinti jo aukštį ( TAIP).
Kūgio savybės:
Kūgio generatoriai yra lygūs.
Kūgis gali būti laikomas kūnu, gautu sukant stačiakampį trikampį aplink jo kraštą.
Paprasčiausios kūgio dalys.
1. Ašinė sekcija kūgis yra kūgio pjūvis plokštuma, einanti per jo ašį. Ašinė kūgio dalis yra trikampis.
2. Kūgio pjūvis, kurio plokštuma lygiagreti pagrindui.
Šiuo atveju skerspjūvis yra apskritimas, panašus į pagrindą ir jam lygiagretus.
Rutulys yra geometrinis kūnas, kurį sudaro visi erdvės taškai, esantys atstumu nuo konkretaus taško ne didesniu nei duotasis.
Šis taškas ( APIE) vadinamas centras kamuolys, o šis atstumas yra spindulys kamuolys.
Rutulio riba vadinama sferinis paviršius arba sfera.
Bet kuri atkarpa, jungianti rutulio centrą su rutulio paviršiaus tašku, vadinama spindulys kamuolys ( O.D., OB, OA).
Rutulio skersmuo yra atkarpa, jungianti du taškus sferiniame paviršiuje ir einanti per rutulio centrą ( AB).
Kamuolio savybės:
Rutulio spinduliai lygūs;
Rutulio skersmenys yra vienodi.
Rutulys gali būti laikomas kūnu, gautu sukant puslankį aplink jo skersmenį.
Paprasčiausios rutulio dalys
1. Rutulio pjūvis plokštuma, einanti per jo centrą. Šiuo atveju skyrius yra didelis ratas.
2. Rutulio pjūvis plokštuma Ne einantis per jo centrą. Šiuo atveju skyrius yra ratas.
Cilindrinis paviršius m Tam tikra tiesė m, judanti išilgai kreivės, apibūdina cilindrinį paviršių. Jei ši kreivė uždara, tai aprašomas uždaras cilindrinis paviršius. Jei uždara kreivė yra apskritimo formos, tada aprašomas apskritas cilindras. Jei tiesė m yra statmena kreivės plokštumai, tai aprašomas stačias apskritas cilindras CILINDRŲ TIPAI Elipsinis cilindras CILINDRŲ TIPAI Hiperbolinis cilindras CILINDRŲ TIPAI Parabolinis cilindras 2014-07-26 Definition of a6cylinder. Cilindras yra kūnas, susidedantis iš dviejų apskritimų, kurie nėra vienoje plokštumoje ir yra sujungti lygiagrečiu vertimu, ir visų atkarpų, jungiančių atitinkamus šių apskritimų taškus. Cilindras Cilindras gali būti gaunamas sukant stačiakampį aplink tiesią liniją, kurioje yra bet kurios cilindro pusės. Cilindro spindulys yra jo pagrindo spindulys. Cilindro aukštis yra atstumas tarp jo pagrindų plokštumų. Cilindro ašis yra tiesi linija, einanti per pagrindų centrus. Cilindro savybės. 1) Bazės yra lygios ir lygiagrečios. 2) Visos cilindro generatricos yra lygiagrečios ir lygios viena kitai. Cilindro raida Iš šoninio cilindro paviršiaus išvystomas stačiakampis, kurio viena pusė yra cilindro aukštis, o kita – pagrindo perimetro ilgis. Lygiakraštis cilindras yra cilindras, kurio ašinė pjūvis yra cilindro kvadratas. Cilindro, kurio ašiai lygiagreti plokštuma, skerspjūvis yra stačiakampis. Dvi jo kraštinės yra cilindro generatricos, o kitos dvi yra lygiagrečios pagrindų stygos. Cilindro dalis, einanti per cilindro ašį, vadinama ašine dalimi ir taip pat yra stačiakampis. Plokštuma, lygiagreti cilindro pagrindo plokštumai, kerta jo šoninį paviršių išilgai apskritimo, lygaus pagrindo perimetrui. Liestinės plokštuma Jei plokštuma turi bendrą tiesią liniją su šoniniu paviršiumi, tai ši plokštuma vadinama liestinės plokštuma. Lietimo linija yra cilindro generatrix Pilnas ir šoninis cilindro paviršius yra stačiakampis, kurio viena pusė yra cilindro aukštis, o kita - apskritimas. Visas cilindro paviršius susideda iš dviejų apskritimų ir šoninio paviršiaus. L H 2 RH S šoninis cilindro paviršius ir S apskritimo R 2 R 2 RH 2 R (R H) 2 S apskritimo S šoninis S visas 2 cilindro paviršius ir 2 cilindro paviršius bei cilindro tūris cilindras lygus pagrindo ploto ir cilindro aukščio sandaugai. V S pagrindas V R 2 H H Paaiškinkite, kas yra dešinysis apskritas cilindras? Koks yra cilindro spindulys, aukštis, generatorius ir ašis? Kokia yra ašinė cilindro pjūvis? Kuris cilindras vadinamas lygiakraštiu? Koks yra cilindro pjūvis pagal plokštumą, statmeną cilindro ašiai? Ką reiškia cilindro šoninis ir bendras paviršius? Kaip rasti šoninį ir bendrą cilindro paviršiaus plotą? CILINDO ELEMENTAI 1 uždavinys. Cilindro ašinė pjūvis yra kvadratas, kurio plotas Q. Raskite cilindro pagrindo plotą. Duota: cilindras, ašinis pjūvis - kvadratas Sekcija = Q Rasti: Sbas = apskritimas Sprendimas: 2 uždavinys. Cilindro šoninis paviršius virsta kvadratu, kurio plotas 4 cm2. Raskite visą cilindro paviršių ir tūrį. Tarkime, 3 N lcircle Duota: cilindro kv. = 4 cm2 Rasti: Sp.p., Vcyl. Sprendimas: Laboratorinis ir praktinis darbas Tema: Cilindras 1. Apibrėžimas, savybės. 2. Brėžinys, matmenys mm. 3. Apskaičiuokite: a) pagrindo plotą b) cilindro šoninį paviršių. c) visas cilindro paviršius. d) cilindro tūris. Uždaviniai Ašinio pjūvio įstrižainė yra 48 cm. Kampas tarp cilindro įstrižainės ir generatrix yra 60o. Raskite 1) cilindro aukštį; 2) cilindro spindulys; 3) Sbas Cilindro aukštis 8 cm, spindulys 5 cm. Raskite plokštumos, lygiagrečios jos ašiai, skerspjūvio plotą, jei atstumas tarp šios plokštumos ir cilindro ašies yra 3 cm. Cilindro šoninio paviršiaus plotas yra S. Raskite ašinį skersinį. cilindro pjūvio plotas. Cilindras gaunamas sukant kvadratą su kraštine α aplink vieną iš jo kraštų. Raskite plotą: 1) cilindro ašinės pjūvio; 2) visas cilindro paviršius Cilindras Originalumas projektuojant ir architektūroje Problema: Kiek padidės GAZ-53 automobilio variklio degimo kameros tūris, jei stūmoklio skersmuo 10 cm, o stūmoklio eiga 9 cm? Sprendimas V=пR2H: V=3,14 52 9=706,5 (cm3) Uždavinys Nustatyti automobilio ZIL130 vairo stiprintuvo siurblio alyvos bako talpą, jei jo skersmuo 126 mm, o aukštis 140 mm Sprendimas V=пR2H =3.14. 3969.140=174477.24