Tema:Linijinė funkcija
Pamoka:Tiesinė lygtis dviejuose kintamuosiuose ir jos grafikas
Susipažinome su koordinačių ašies ir koordinačių plokštumos sąvokomis. Žinome, kad kiekvienas plokštumos taškas vienareikšmiškai apibrėžia skaičių porą (x; y), pirmasis skaičius yra taško abscisė, o antrasis – ordinatė.
Labai dažnai susidursime su tiesine lygtimi dviejuose kintamuosiuose, kurių sprendimas yra skaičių pora, kurią galima pavaizduoti koordinačių plokštumoje.
Formos lygtis:
Kur a, b, c yra skaičiai ir 
Ji vadinama tiesine lygtimi su dviem kintamaisiais x ir y. Tokios lygties sprendimas bus bet kuri tokia skaičių pora x ir y, kurią pakeitę į lygtį gausime teisingą skaitinę lygybę.
Skaičių pora koordinačių plokštumoje bus pavaizduota kaip taškas.
Tokioms lygtims matysime daug sprendinių, tai yra daug skaičių porų, o visi atitinkami taškai bus toje pačioje tiesėje.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Norėdami rasti šios lygties sprendimus, turite pasirinkti atitinkamas skaičių x ir y poras:
Leiskite , tada pradinė lygtis virsta lygtimi su vienu nežinomu:
,
Tai yra pirmoji skaičių pora, kuri yra duotosios lygties (0; 3) sprendimas. Gavome tašką A(0; 3)
Leisti . Gauname pradinę lygtį su vienu kintamuoju: 
, iš čia gauname tašką B(3; 0)
Sudėkime skaičių poras į lentelę:
Nubraižykime taškus grafike ir nubrėžkime tiesią liniją: 
Atkreipkite dėmesį, kad bet kuris tam tikros linijos taškas bus duotosios lygties sprendimas. Patikrinkime – paimkime tašką su koordinate ir grafike suraskime jo antrąją koordinatę. Akivaizdu, kad šiuo metu. Pakeiskime šią skaičių porą į lygtį. Gauname 0=0 – teisingą skaitinę lygybę, o tai reiškia, kad taškas, esantis tiesėje, yra sprendimas.
Kol kas negalime įrodyti, kad bet kuris taškas, esantis sukonstruotoje tiesėje, yra lygties sprendimas, todėl priimame tai kaip teisingą ir įrodysime vėliau.
2 pavyzdys – nubraižykite lygtį:
Padarykime lentelę, kad nubrėžtume tiesią liniją, bet paimsime trečią.
Pirmajame stulpelyje paėmėme patogų, jį rasime iš:
, ,
Antrame stulpelyje paėmėme patogų, suraskime x:
, , ,
Patikrinkime ir surasime:
, ,
Sukurkime grafiką:
Pateiktą lygtį padauginkime iš dviejų:
Nuo tokios transformacijos sprendinių aibė nepasikeis, o grafikas išliks toks pat.
Išvada: išmokome spręsti lygtis su dviem kintamaisiais ir sudaryti jų grafikus, sužinojome, kad tokios lygties grafikas yra tiesė ir bet kuris šios tiesės taškas yra lygties sprendimas
1. Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt. Algebra 7. 6-asis leidimas. M.: Nušvitimas. 2010 m
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ir kt. Algebra 7.M.: Apšvietos. 2006 m
2. Portalas šeimos apžiūrai ().
1 užduotis: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nr.960, 210 str.
2 užduotis: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nr.961, 210 str.
3 užduotis: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nr.962, 210 str.
Dviejų kintamųjų tiesinė lygtis yra bet kokia lygtis, kurios forma yra tokia: a*x + b*y =с.Čia x ir y yra du kintamieji, a, b, c yra kai kurie skaičiai.
Žemiau yra keletas tiesinių lygčių pavyzdžiai.
1. 10*x + 25*y = 150;
Kaip ir lygtys su vienu nežinomuoju, tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais (nežinomaisiais) taip pat turi sprendimą. Pavyzdžiui, tiesinė lygtis x-y=5, kai x=8 ir y=3 virsta teisinga tapatybe 8-3=5. Šiuo atveju sakoma, kad skaičių pora x=8 ir y=3 yra tiesinės lygties x-y=5 sprendimas. Taip pat galite pasakyti, kad skaičių pora x=8 ir y=3 tenkina tiesinę lygtį x-y=5.
Tiesinės lygties sprendimas
Taigi tiesinės lygties a*x + b*y = c sprendinys yra bet kuri skaičių pora (x,y), kuri tenkina šią lygtį, tai yra, lygtį su kintamaisiais x ir y paverčia teisinga skaitine lygybe. Atkreipkite dėmesį, kaip čia rašoma skaičių pora x ir y. Šis įrašas yra trumpesnis ir patogesnis. Tiesiog reikia atsiminti, kad pirmoji vieta tokiame įraše yra kintamojo x reikšmė, o antroji – kintamojo y reikšmė.
Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai x=11 ir y=8, x=205 ir y=200 x= 4.5 ir y= -0.5 taip pat atitinka tiesinę lygtį x-y=5, todėl yra šios tiesinės lygties sprendiniai.
Tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais sprendimas yra ne vienintelis. Kiekviena tiesinė lygtis dviejuose nežinomuose turi be galo daug skirtingų sprendinių. Tai yra, yra be galo daug įvairių du skaičiai x ir y, kurie tiesinę lygtį paverčia tikra tapatybe.
Jei kelios lygtys su dviem kintamaisiais turi vienodus sprendinius, tai tokios lygtys vadinamos lygiavertėmis lygtimis. Pažymėtina, kad jei lygtys su dviem nežinomaisiais neturi sprendinių, tada jos taip pat laikomos lygiavertėmis.
Pagrindinės tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais savybės
1. Bet kurį iš lygties terminų galima perkelti iš vienos dalies į kitą, tačiau būtina pakeisti jo ženklą į priešingą. Gauta lygtis bus lygiavertė pradinei.
2. Abi lygties puses galima padalyti iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui. Dėl to gauname lygtį, lygiavertę pradinei.
Apibrėžimas: ax + by + c = 0, kur a, b ir c yra skaičiai (taip pat vadinami koeficientais), o a ir b nėra lygūs nuliui, x ir y yra kintamieji, vadinami tiesine lygtimi su tokios formos lygtimi du kintamieji. 1 pavyzdys: 5 x – 2 y + 10 = 0 – tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais: a = 5, b = -2, c = 10, x ir y yra kintamieji. 2 pavyzdys: – 4 x = 6 y – 14 – taip pat yra dviejų kintamųjų tiesinė lygtis. Jei visus lygties narius perkeltume į kairę pusę, gautume tą pačią lygtį, parašytą bendra forma: – 4 x – 6 y + 14 = 0, kur a = – 4, b = – 6, c = 14, x ir y – kintamieji. Bendroji tiesinės lygties su dviem kintamaisiais forma yra įrašas: ax + by + c = 0, kai visi lygties nariai rašomi kairėje = ženklo pusėje, o nulis – dešinėje. 3 pavyzdys: 3 z – 5 w + 15 = 0 – taip pat yra dviejų kintamųjų tiesinė lygtis. Šiuo atveju kintamieji yra z ir w. Kintamieji vietoj x ir y gali būti bet kokios lotyniškos abėcėlės raidės.
Taigi, tiesine lygtimi su dviem kintamaisiais galima vadinti bet kurią lygtį, kurioje yra du kintamieji, išskyrus du atvejus: 1. Kai lygties kintamieji pakeliami į kitą laipsnį nei pirmasis! 1 pavyzdys: -5 x 2 + 3 y + 9 = 0 – nėra tiesinė lygtis, nes kintamasis x yra antrajame laipsnyje. 2 pavyzdys: 6 x – y 5 + 12 = 0 – nėra tiesinė lygtis, nes kintamasis y yra penktoji laipsnė. 2. Kai lygties vardiklyje yra kintamasis! 3 pavyzdys: 2 x + 3/y + 18 = 0 nėra tiesinė lygtis, nes kintamasis y yra vardiklyje. 4 pavyzdys: 1/x – 2/y + 3 = 0 – nėra tiesinė lygtis, nes kintamieji x ir y yra vardiklyje.
Apibrėžimas: Tiesinės lygties su dviem kintamaisiais ax + x + c = 0 sprendimas yra bet kokia skaičių pora (x; y), kuri, pakeitus šią lygtį, paverčia ją tikrąja lygybe. 1 pavyzdys. Tiesinės lygties 5 x – 2 y + 10 = 0 sprendimas yra skaičių pora (-4; -5). Tai lengva patikrinti, jei lygtyje pakeisite x = -4 ir y = -5: 5·(-4) – 2·(-5) + 10 = 0 -20 + 20 = 0 – teisinga lygybė. 2 pavyzdys: tai pačiai lygčiai 5 x – 2 y + 10 = 0 skaičių pora (1; 4) nėra sprendinys: 5 1 – 2 4 + 10 = 0 5 – 8 + 10 = 0 7 = 0 – ne tikra lygybė.
Bet kuriai tiesinei lygčiai su dviem kintamaisiais galite pasirinkti begalinį skaičių porų skaičių (x; y), kurios bus jos sprendiniai. Iš tiesų, tiesinei lygčiai iš ankstesnio pavyzdžio 5 x – 2 y + 10 = 0, be skaičių poros (-4; -5), sprendiniai bus skaičių poros: (0; 5), ( -2; 0), (2 ; 10), (-3; -2, 5), (-1; 2, 5) ir tt Tokias skaičių poras galima pasirinkti be galo. Pastaba: Tiesinės lygties su dviem kintamaisiais sprendimas rašomas skliausteliuose, pirmoje vietoje visada rašant kintamojo x reikšmę, antroje – kintamojo y reikšmę!
Tiesinės lygties su dviem kintamaisiais ax + by + c = 0 grafikas yra tiesi linija. Pavyzdžiui: lygties 2 x + y – 2 = 0 grafikas atrodo taip, kaip parodyta paveikslėlyje. Visi grafiko tiesės taškai yra tam tikros tiesinės lygties sprendiniai. Dviejų kintamųjų tiesinės lygties grafikas yra geometrinis šios lygties modelis: taigi, naudojant grafiką, galima pavaizduoti begalinį skaičių tiesinės lygties sprendinių dviem kintamaisiais.
Kaip pavaizduoti tiesinę lygtį ax + x + c = 0? Surašykime veiksmų planą: 1. Nustatykite stačiakampę koordinačių sistemą, kad būtų pavaizduoti visi tiesinės lygties (x; y) sprendiniai, naudosime stačiakampę koordinačių sistemą, kurioje nubraižysime kintamojo x reikšmes. išilgai Ox ašies, o kintamojo y reikšmės išilgai Oy ašies . 2. Pasirinkite dvi skaičių poras: (x1; y1) ir (x2; y2), kurios yra šios tiesinės lygties sprendiniai gulėti ant tos pačios tiesios linijos. Bet norint nubrėžti tiesę – tiesinės lygties grafiką, tereikia dviejų tokių sprendinių, nes žinome, kad per du taškus galima nubrėžti tik vieną tiesę. Pasirinktus sprendinius įprasta užrašyti lentelės pavidalu: x x1 x2 y y1 y2 3. Stačiakampėje koordinačių sistemoje nubrėžkite taškus (x1; y1) ir (x2; y2). Per šiuos du taškus nubrėžkite tiesią liniją – tai bus lygties ax + by + c = 0 grafikas.
Pavyzdys: sudarykime tiesinės lygties 5 x – 2 y + 10 = 0 grafiką: 1. Nustatykime stačiakampę koordinačių sistemą x. Оу: 2. Išsirinkime du mūsų lygties sprendinius ir įrašykite juos į lentelę -4 -2 x: y -5 0 Lygčiai 5 x – 2 y + 10 = 0 sprendiniai yra, pavyzdžiui, skaičių poros. : (-4; - 5) ir (-2; 0) (žr. 5 skaidrę). Surašykime juos į lentelę. Pastaba: skaičių pora (2; 10) taip pat yra mūsų lygties sprendimas (žr. 5 skaidrę), tačiau mūsų koordinačių sistemoje konstruoti koordinatę y = 10 yra nepatogu, nes mes turime tik 7 langelius išilgai y- ašis aukštyn, o ašies toliau nėra vietos. Todėl: norėdami sudaryti tiesinės lygties grafiką, iš visos begalinės sprendinių aibės parenkame tokias skaičių poras (x; y), kurias patogiau konstruoti stačiakampėje koordinačių sistemoje!
Pavyzdys: sudarykime tiesinės lygties grafiką 5 x – 2 y + 10 = 0: x -4 -2 y -5 0 3. Sukurkime grafiką: Sukurkime tašką (-4; -5) koordinatėje sistema: Nubraižome koordinatę -4 išilgai x ašies Išilgai y ašies nubrėžiame koordinatę -5 Koordinačių susikirtimo vietoje gauname pirmąjį tašką. Panašiai konstruojame tašką su koordinatėmis (-2; 0): Išilgai x ašies braižome koordinatę -2. Išilgai y ašies nubrėžiame koordinatę 0. Koordinačių susikirtimo vietoje gauname antrą tašką. -4 -2 0 -5 Nubrėžkite tiesę per du taškus - tiesinės lygties grafikas 5 x – 2 y + 10 = 0
Linijinė funkcija. Jei kintamąjį y iš tiesinės lygties ax + išreiškiame + c = 0, tai yra, perrašysime lygtį tokia forma, kur y yra kairėje lygties pusėje, o visa kita yra dešinėje: ax + by + c = 0 - perkelkite ax ir c į dešinę = – ax – с – išreikškime y y = (– ax – с) : b, kur b ≠ 0 у = – a/b · х – с/b, pažymėkite – a/b = k ir – с/b = m y = kx + m – gavome paprastesnį tiesinės lygties su dviem kintamaisiais atvaizdavimą. Taigi tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais, parašyta taip: y = kx + m, kur kintamieji k ir m yra koeficientai, vadinama tiesine funkcija. xy – kintamasis x vadinamas nepriklausomu kintamuoju arba argumentu. Kintamasis y vadinamas priklausomu kintamuoju arba funkcijos reikšme.
Tiesinės funkcijos grafikas. Kadangi tiesinė funkcija yra speciali tiesinės lygties su dviem kintamaisiais forma, o tiesinės lygties grafikas yra tiesė, galime padaryti tokią išvadą: tiesinės funkcijos y = kx + m grafikas yra tiesė . Kaip nubraižyti tiesinę funkciją? Nustatome stačiakampę koordinačių sistemą. Randame skaičių poras: (x1; y1) ir (x2; y2), x x1 x2, kurios yra tiesinės funkcijos yy1 y2 sprendiniai, ir įrašome į lentelę. Norint rasti tiesinės funkcijos sprendimus, nebūtina jų pasirinkti savo galvoje, kaip tai darėme tiesinei lygčiai. Kintamajam x reikia pateikti specifines reikšmes x1 ir x2 ir, pakeičiant jas po vieną į funkciją, apskaičiuoti reikšmes y1 = kx 1 + m ir y2 = kx 2 + m. Pastaba: kintamajam x galima suteikti absoliučiai bet kokias reikšmes, tačiau patartina paimti skaičius, kuriuos mums bus patogu konstruoti stačiakampėje koordinačių sistemoje, pavyzdžiui, skaičius 0, 1, -1. 3. Sukonstruojame taškus (x1; y1) ir (x2; y2), o per juos nubrėžiame tiesę – tai bus tiesinės funkcijos grafikas.
1 pavyzdys: sudarykime tiesinės funkcijos y = 0,5 x + 4 grafiką: 1. Nustatykime stačiakampę koordinačių sistemą. 2. Užpildykite lentelę: x 0 -2 y 4 3 Kintamajam x duokime konkrečias reikšmes x1 ir x2: patogiau imti x1 = 0, nes lengviau skaičiuoti su nuliu, gauname: y1 = 0, 5 0 + 4 = 4 x2 gali būti lygus 1, bet tada y2 bus trupmeninis skaičius: 0,5 1 + 4 = 4,5 - nepatogu jį konstruoti koordinačių plokštumoje; x2 lygus 2 arba -2. Tegu x2 = -2, gauname: y2 = 0,5·(-2) + 4 = -1 + 4 = 3 4 3 -2 0 3. Sukurkime taškus (0; 4) ir (-2; 3) koordinačių plokštuma ) per šiuos taškus nubrėžkite tiesę – gauname tiesinės funkcijos y = 0,5 x + 4 grafiką
2 pavyzdys: sudarykime tiesinės funkcijos y = -2 x + 1 grafiką: 1. Nustatykime stačiakampę koordinačių sistemą. 2. Užpildykite lentelę: x 0 1 y 1 -1 Pateikime kintamajam x konkrečias reikšmes x1 ir x2: pavyzdžiui, x1 = 0, gauname: y1 = -2 0 + 1 = 1 1 1 -1 0 tegul x2 = 1, gauname: y2 = -2 1 + 1 = -2 + 1 = -1 3. Sukonstruokime taškus (0; 1) ir (1; -1) koordinačių plokštumoje ir nubrėžkime tiesią šie taškai - gauname tiesinės funkcijos y = -2 x + 1 grafiką
3 pavyzdys: nubraižykite tiesinės funkcijos y = -2 x + 1 grafiką ir suraskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę atkarpoje [-2; 3] 1. Sukurkime funkcijos grafiką (žr. ankstesnę skaidrę). Funkcijos reikšmė yra kintamojo y reikšmė. Taigi, jums reikia rasti y didžiausią ir y mažiausią, jei kintamasis x mažiausias gali paimti reikšmes tik iš intervalo [-2; 3]. 2. Pažymėkite atkarpą [-2; 3] 3. Per atkarpos galus brėžiame tiesias linijas, lygiagrečias Oy ašiai, Oy ir pažymime šių linijų susikirtimo taškus grafiku. Kadangi pagal sąlygą mums suteikiamas atkarpa, nubrėžiame nuspalvintus taškus! 5 - didžiausias 1 1 -2 0 3 mažiausias - -5 4. Raskite gautų taškų ordinates: y = 5 ir y = -5. -5 Akivaizdu, kad didžiausia y reikšmė yra iš intervalo [-5; 5] yra y = 5, o 5 yra mažiausias - y = -5. -5
3 variantas. Užduotis Nr. 1: sudaryti tiesinės funkcijos y = 1/2 x – 2 grafiką. 1. Nustatyti stačiakampę koordinačių sistemą. 2. Užpildykite lentelę: x 0 2 y -2 -1 Pateikime kintamajam x konkrečias reikšmes x1 ir x2: pavyzdžiui, x1 = 0, gauname: y1 = 1/2 0 – 2 = -2 tegul x2 = 2, gauname: y2 = 1/2 · 2 – 2 = 1 – 2 = -1 0 2 -1 -2 3. Sukonstruokime taškus (0; -2) ir (2; -1) koordinačių plokštumoje ir nubrėžkite tiesią liniją per šiuos taškus – gausime tiesinių funkcijų y = 1/2 x – 2 grafiką
Užduotis Nr. 1: Naudodami grafiką raskite: a) mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes atkarpoje [-2; 4] Funkcijos reikšmė yra kintamojo y reikšmė. Taigi, jums reikia rasti y didžiausią ir y mažiausią, jei kintamasis x mažiausias gali paimti reikšmes tik iš intervalo [-2; 4]. 1. Pažymėkite atkarpą [-2; 4] 2. Per atkarpos galus, kol ji susikirs su grafiku, nubrėžkite tiesias linijas, lygiagrečias Oy ašiai. Оу Grafiku pažymime šių tiesių susikirtimo taškus. Kadangi pagal sąlygą mums suteikiamas atkarpa, nubrėžiame nuspalvintus taškus! didžiausias - 0 -2 -1 -2 2 4 -3 - mažiausiai 3. Raskite gautų taškų ordinates: y = 0 ir y = -3. -3 Akivaizdu, kad didžiausia y reikšmė yra iš intervalo [-3; 0] yra y = 0, o mažiausias yra y = -3. -3
1 užduotis: naudodamiesi grafiku raskite: a) mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes atkarpoje [-2; 4] Pastaba: iš grafiko ne visada įmanoma tiksliai nustatyti konkretaus taško koordinates, taip yra dėl to, kad bloknoto langelių dydžiai gali būti nevisiškai lygūs arba galime nubrėžti tiesią liniją. per du taškus šiek tiek kreivai. Ir tokios klaidos rezultatas gali būti tai, kad neteisingai randamos didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės. Todėl: jei grafike randame tam tikrų taškų koordinates, būtinai patikrinkite vėliau, pakeisdami rastas koordinates į funkcijos lygtį! Patikrinkite: pakeiskime hnaim koordinates. = -2 ir be tikslo. = -3 į funkciją y = 1/2 x – 2: -3 = 1/2 · (-2) – 2 -3 = -1 – 2 -3 = -3 – teisinga. Pakeiskime hnaib koordinates. = 4 ir unaib. = 0 į funkciją y = 1/2 x – 2: 0 = 1/2 · 4 – 2 0=2– 2 0 = 0 – teisinga. Atsakymas: unaib = 0, unaim = -3
1 užduotis: naudodamiesi grafiku raskite: b) kintamojo x reikšmes, kurioms y ≤ 0. Koordinačių plokštumoje visos kintamojo y reikšmės - mažesnės už nulį - yra žemiau Ox ašį. Ox Taigi, norint išspręsti nelygybę y ≤ 0, reikia atsižvelgti į grafiko 2 dalį, esančią žemiau Ox ašies, ir, naudojant 4 -∞ 0 tarpą, užrašyti, kokias reikšmes įgyja -1 kintamasis x. . -2 1. Pažymėkite grafiko dalį, esančią žemiau Ox ašies 2. Pažymėkite grafiko susikirtimo tašką su Ox ašimi, Ox yra taškas, kurio koordinatė x = 4. Kadangi neturime griežtos nelygybės “≤ “, taškas turėtų būti nuspalvintas! 3. Pažymėkite Ox ašies dalį, atitinkančią pasirinktą grafiko dalį, ir Ox bus norima sritis. Užrašome atsakymą: x priklauso intervalui (-∞; 4] – laužtiniai skliaustai, nes sąlygoje nelygybė nėra griežta „≤“ !
Užduotis Nr. 2: Raskite tiesių y = 3 x ir y = -2 x - 5 susikirtimo taško koordinates. Ši užduotis gali būti sprendžiama dviem būdais. 1 būdas – grafinis: Sukurkime šių tiesinių funkcijų grafikus vienoje koordinačių plokštumoje: 1. Nustatykite stačiakampę koordinačių sistemą. 2. Užpildykite 0 x lentelę 0 y funkcijai y = 3 x imkime x1 = 0, gausime: y1 = 3 0 = 0 3 1 3 imkime x2 = 1, gausime: y2 = 3 1 = 3 3. Konstruokite koordinačių plokštumoje taškai (0; 0) ir (1; 3) per šiuos taškus nubrėžkite grafiką – tiesę. 0 1
Užduotis Nr. 2: Raskite tiesių y = 3 x ir y = -2 x - 5 susikirtimo taško koordinates 4. Užpildykite 0 -1 x lentelę funkcijai -5 -3 y = -2 x - 5 y imkime x1 = 0, gausime: y1 = -2 · 0 – 5 = -5 imkime x2 = -1, gausime: y2 = -2 · (-1) – 5 = 2 – 5 = -3 5. Konstruoti taškai (0; -5) koordinačių plokštumoje ir (-1; -3) 3 -1 0 1 -3 per šiuos taškus nubrėžkite grafiką -5 6. Raskite gautų grafikų susikirtimo taško abscises ir ordinates: x = -1 ir y = -3. -3 Pastaba: jei sprendžiame grafiškai, tai kai tik randame grafikų susikirtimo taško abscises ir ordinates, turime patikrinti rastąsias koordinates pakeisdami į abi lygtis! Patikrinkite: jei y = 3 x: -3 = 3 · (-1) jei y = -2 x - 5: -3 = -2 · (-1) - 5 -3 = -3 - teisingas Atsakymas: (-1 -3)
Užduotis Nr. 2: Raskite tiesių y = 3 x ir y = -2 x - 5 susikirtimo taško koordinates 2 būdas – analitinis: Tegul šios tiesės susikerta taške A(x; y), koordinatės x ir kurių turime rasti. Laikykite funkcijas y = 3 x ir y = -2 x – 5 kaip tiesines lygtis su dviem kintamaisiais. Kadangi abi tiesės eina per tašką A, šio taško koordinatės: skaičių pora (x; y) - yra abiejų lygčių sprendimas, tai yra, reikia pasirinkti skaičių porą (x; y), kad pakeičiant pirmąją ir antrąją lygtį, gaunama teisinga lygybė. O šią skaičių porą rasime taip: kadangi lygčių kairiosios pusės lygios y = y, tai atitinkamai galime prilyginti šių lygčių dešiniąsias puses: 3 x = -2 x – 5. Rašant 3 x = -2 x – 5 – Tai tiesinė lygtis su vienu kintamuoju, išspręskime ją ir raskime kintamąjį x: Sprendimas: 3 x = -2 x – 5 3 x + 2 x = -5 5 x = -5: 5 x = -1 Gauname x = -1. Dabar belieka bet kurią lygtį pakeisti x = -1 ir rasti kintamąjį y. Patogiau į pirmąją lygtį pakeisti y = 3 x, gauname: y = 3 · (-1) = -3 Gauname tašką A su koordinatėmis (-1; -3). Atsakymas: (-1; -3)
3 užduotis: a) Raskite tiesinės lygties 3 x + 5 y + 15 = 0 grafiko susikirtimo su koordinačių ašimis taškų koordinates Tiesinės lygties grafikas, kaip jau žinote, yra a tiesė, ir ji gali susikirsti koordinačių ašis Ox ir Oy viename taške , jei eina per pradžią, ir šį tašką (0; 0); arba dviejuose taškuose: 1. (x; 0) – grafiko susikirtimo su Ox ašimi taškas 2. (0; y) – grafiko susikirtimo su Oy ašimi taškas. Raskime šiuos taškus: 1. Pakeiskite reikšmę y = 0 į lygtį, gausime: 3 x + 5 0 + 15 = 0 - išspręskite šią lygtį ir raskite x. 3 x + 15 = 0 3 x = -15 Gavome tašką su koordinatėmis: (-5; 0) - tai susikirtimo taškas x = -15: 3 grafikai su Ox ašimi x = -5 2. Pakeiskite reikšmę x = 0 į lygtį, gauname: 3·0 + 5 y + 15 = 0 – išspręskite šią lygtį ir raskite y. 5 y + 15 = 0 5 y = -15 Gavome tašką su koordinatėmis: (0; -3) - tai y = -15: 5 grafiko susikirtimo taškas su Oy ašimi y = -3 Atsakymas: ( -5; 0) ir (0; -3)
Užduotis Nr. 3: b) Nustatykite, ar taškas C(1/3; -3, 2) priklauso lygties 3 x + 5 y + 15 = 0 grafikui. Jei taškas C(1/3; -3, 2 ) priklauso šios lygties grafikui, tada tai yra šios lygties sprendimas, tai yra, pakeičiant reikšmes x = 1/3 ir y = -3, 2 į lygtį, reikia gauti teisingą lygybę! Priešingu atveju, jei tikroji lygybė nėra gauta, šis taškas nepriklauso šios lygties grafikui. Pakeiskime x = 1/3 ir y = -3, 2 į lygtį ir patikrinkime: 3 1/3 + 5 (-3, 2) + 15 = 0 1 – 16 + 15 = 0 – 15 + 15 = 0 0 = 0 – tikroji lygybė. Todėl taškas C priklauso lygties 3 x + 5 y + 15 = 0 grafikui. Atsakymas: taškas C(1/3; -3, 2) priklauso lygties 3 x + 5 y + 15 = 0 grafikui.
4 užduotis: a) formule apibrėžkite tiesinę funkciją y = kx, jei žinoma, kad jos grafikas yra lygiagretus tiesei 6 x - y - 5 = 0. b) Nustatykite, ar jūsų nurodyta tiesinė funkcija didėja arba mažėja. Tiesinių funkcijų grafikų santykinės padėties teorema: Duotos dvi tiesinės funkcijos y = k 1 x + m 1 ir y = k 2 x + m 2: Jei k 1 = k 2, o m 1 ≠ m 2, tai grafikai iš šių funkcijų yra lygiagrečios. Jei k 1 ≠ k 2, o m 1 ≠ m 2, tai šių funkcijų grafikai susikerta. Jei k 1 = k 2, o m 1 = m 2, tai šių funkcijų grafikai sutampa. a) Pagal tiesinių funkcijų grafikų santykinės padėties teoremą: jei tiesės y = kx ir 6 x – y – 5 = 0 yra lygiagrečios, tai funkcijos y = kx, kx koeficientas yra lygus funkcijos 6 x – y – 5 = 0 koeficientas k. 0 Sumažinkime lygtį 6 x – y – 5 = 0 į tiesinės funkcijos formą ir išrašykime jos koeficientus: 6 x – y – 5 = 0 – perkeliant -y į dešinę, gauname: 6 x – 5 = y arba y = 6 x – 5, k = 6, m = – 5. 6 5 Todėl funkcija y = kx turi tokią formą: y = 6 x . 6 x b) Funkcija didėja, jei k > 0 ir mažėja, jei k 0! 0 Atsakymas: y = 6 x, funkcija didėja. 6 x
Užduotis Nr. 5: Esant kokiai p reikšmei, lygties 2 px + 3 y + 5 p = 0 sprendinys yra skaičių pora (1, 5, -4)? Kadangi skaičių pora (1, 5; -4) yra šios lygties sprendimas, reikšmes x = 1, 5 ir y = -4 pakeičiame į lygtį 2 px + 3 y + 5 p = 0, gauname: 2 p 1 , 5 + 3 · (-4) + 5 p = 0 – atlikite daugybą 3 p – 12 + 5 p = 0 – išspręskite šią lygtį ir raskite p 3 p + 5 p = 12 8 p = 12: 8 p = 1, 5 Todėl, kai p = 1,5, lygties 2 px + 3 y + 5 p = 0 sprendimas yra skaičių pora (1, 5; -4). Patikrinkite: p = 1,5 mes gaukite lygtį: 2 1.5 x + 3 y + 5 1, 5 = 0 3 x + 3 y + 7, 5 = 0 – pakeiskite x = 1, 5 ir y = -4 į šią lygtį, gausime: 3 1, 5 + 3 (-4 ) + 7, 5 = 0 4, 5 – 12 + 7, 5 = 0 0 = 0 – teisingai. Atsakymas: p = 1,5
Kaip žinote, yra lygčių, kuriose yra du kintamieji, pavyzdžiui, formos išraiškos:
Be skaitinių reikšmių, tokiose išraiškose yra du monomalai, susiję su nežinomais kintamaisiais. Ankstesniuose vaizdo įrašuose jau apžvelgėme tokių posakių savybes, taip pat šaknų paieškos metodus.
Bet kuri lygtis su dviem kintamaisiais turi atsakymą skaičių poros forma, kuri yra x ir y reikšmės. Dažniausiai yra begalinis atsakymų rinkinys, atitinkantis dvi skaičių aibes x ir y. Be to, tokios lygtys gali turėti tik vieną šaknį arba iš viso neturėti atsakymo. Bet bet kuriuo atveju, jei pateikiama tam tikra reikšmė x, tada, jei yra tikroji lygybė, bus rasta atitinkama reikšmė y. Kitaip tariant, atsakymas į dviejų kintamųjų lygtį visada yra skaičių pora.
Formos lygtis:
gali būti transformuojamas identiškai, gaunant lygiavertę išraišką:
y = 2,5–0,5x
Perkeldami terminus taip, kad y liktų kairėje pusėje, o x ir visus kitus vienatūrius dešinėje, taip pat padalijus abi išraiškos puses iš 2, gauname lygiavertę lygtį. Iš esmės tai yra tam tikras ryšys tarp argumento x ir reikšmės y. Šioje išraiškoje ši priklausomybė pavaizduota analitine tiesine forma. Tačiau jis taip pat gali būti pavaizduotas grafiškai, pateikiant matematinį grafiką Dekarto koordinačių sistemoje. Tam argumentų reikšmės apskaičiuojamos išilgai abscisių ašies, o funkcijų reikšmės – išilgai ordinačių ašies.
Kitaip tariant, lygčių su dviem kintamaisiais atveju galime jas identiškai transformuoti į lygiavertes patogias formules, o tada kaip Dekarto sistemos taškų koordinates naudoti šaknų poras, atitinkančias teisingą šios lygties sprendimą. Keli lygčių sprendiniai suteiks kelis taškus, sujungtus į vieną grafiką – savotišką lenktą liniją.
Tuo pačiu metu priklausomybės, kurias galima atsekti tarp kintamųjų vienoje lygtyje, ne visada yra funkcijos griežtai apibrėžiant šią sąvoką. Pavyzdžiui, apsvarstykite dvi lygtis:
Iš pirmo žvilgsnio abi lygybės yra gana panašios. Sukurkime kiekvieno iš jų priklausomybės grafiką. Kaip matome vaizdo įraše, šių posakių grafikai gana skiriasi vienas nuo kito. Jei lygties y + x = 9 grafikas yra tiesi linija, nekertanti per koordinačių centrą, tada y 2 + x 2 = 9 turi grafiką taisyklingo apskritimo, apriboto su centru taške ( 0, 0). Jei bandysime naudoti grafiką, norėdami nustatyti y reikšmę tam tikram x, pamatysime, kad kiekvienas argumentas atitinka dvi y reikšmes. Bet koks statmenas, nubrėžtas x ašiai apskritime, būtinai susikirs su apskritimu dviejuose taškuose su tuo pačiu argumentu, bet su priešingomis y reikšmėmis. Matematiškai tai galima paaiškinti taip:
x 2 + y 2 = a
y 2 = a - x 2
y = kvadratinė šaknis (a - x 2)
Bet kokia neigiama reikšmė negali suteikti kvadratinių šaknų, o bet kokia teigiama reikšmė visada sudaro skaičių porą kaip atsakymą, kurios vertė yra lygi, bet priešinga ženklu. Kitaip tariant, kiekviena y reikšmė su tokia priklausomybe atitiks du argumentus, o tai prieštarauja pagrindiniam funkcijos principui.
Tačiau y + x = 9 formos išraiška yra įprasta tiesinė funkcija, nes ji visiškai atitinka jos reikalavimus. Bet kokios lygtys su dviem kintamaisiais gali būti funkcijos arba ne.
Panagrinėkime abstrakčią išraišką:
Bet kuri lygybė, atitinkanti šią formulę, vadinama tiesine lygtimi su dviem kintamaisiais. Jos grafikas apskritai yra tiesi linija, o jo šaknys, kaip taisyklė, yra porų x ir y rinkinys. Galimos išimtys, kai bet kuris koeficientas – a, b arba laisvasis terminas c – iš naujo nustatomas į nulį. Jei b = 0, bet jei a nėra lygus 0, tada lygties atsakymai bus reikšmių porų rinkinys, kuriame x visada bus lygus vienam skaičiui, o y visada bus lygus bet kokiai reikšmei . Iš tiesų, lygtyje:
x visada yra lygus 3, o y gali būti lygus bet kuriam skaičiui, nes šis kintamasis vis tiek yra nulis.
Jei a = 0, b = 0, bet laisvasis narys nėra lygus 0, tai lygtis neturi teisingų sprendinių, nes bet kuriuo atveju pažeidžiamas lygybės principas. Šios lygties grafikas bus tuščia aibė. Ir galiausiai, jei visi a, b, c = 0, tai bet koks x ir y derinys yra teisingas lygties sprendimas, o grafikas apima visą skaičių aibę (Dekarto tinklo plokštumą).
Norėdami konsoliduoti medžiagą, sukurkime lygties grafiką:
Paverskime išraišką tiesine lygtimi su dviem kintamaisiais:
1/3 (x) + 0y = 1
0y = 1–1/3 (x)
Šios išraiškos grafikas bus tiesi linija, statmena x ašiai taške (3, 0). Bet kurio y argumento reikšmė visada yra 3.
Naudodami šią matematinę programą galite išspręsti dviejų tiesinių lygčių sistemą su dviem kintamaisiais, naudodami pakeitimo metodą ir sudėjimo metodą.
Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir pateikia išsamų sprendimą su sprendimo žingsnių paaiškinimais dviem būdais: pakeitimo metodu ir papildymo metodu.
Ši programa gali praversti vidurinių mokyklų gimnazistams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, o tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.
Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakyla.
Lygčių įvedimo taisyklės
Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ir kt.
Įvedant lygtis galite naudoti skliaustus. Šiuo atveju lygtys pirmiausia supaprastinamos. Lygtys po supaprastinimų turi būti tiesinės, t.y. formos ax+by+c=0 elementų eilės tikslumu.
Pavyzdžiui: 6x+1 = 5(x+y)+2
Lygtyse galite naudoti ne tik sveikuosius skaičius, bet ir trupmenas po kablelio ir paprastosios trupmenos.
Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Sveikasis skaičius ir trupmenos dalys dešimtainėse trupmenose gali būti atskirtos tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui: 2,1n + 3,5m = 55
Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.
Vardiklis negali būti neigiamas.
Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Visa dalis nuo trupmenos atskiriama ampersando ženklu: &
Pavyzdžiai.
-1 ir 2/3 m + 5/3x = 55
2,1 p + 55 = -2/7 (3,5 p - 2 ir 1/8q)
Išspręskite lygčių sistemą
Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.
Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...
Jei tu pastebėjo sprendimo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.
Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:
Šiek tiek teorijos.
Tiesinių lygčių sistemų sprendimas. Pakeitimo metodas
Veiksmų seka sprendžiant tiesinių lygčių sistemą pakeitimo metodu:
1) iš vienos sistemos lygties išreiškia vieną kintamąjį kita;
2) vietoj šio kintamojo gautą išraišką pakeisti kita sistemos lygtimi;
$$ \left\( \begin(masyvas)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(masyvas) \right. $$
Išreikškime y dydžiu x iš pirmosios lygties: y = 7-3x. Į antrąją lygtį vietoj y pakeitę išraišką 7-3x, gauname sistemą:
$$ \left\( \begin(masyvas)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(masyvas) \right. $$
Nesunku parodyti, kad pirmosios ir antrosios sistemos turi tuos pačius sprendimus. Antroje sistemoje antroji lygtis turi tik vieną kintamąjį. Išspręskime šią lygtį:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \RightArrow -5x+14-6x=3 \RightArrow -11x=-11 \RightArrow x=1 $$
Pakeitę skaičių 1 vietoj x į lygybę y=7-3x, randame atitinkamą y reikšmę:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Pora (1;4) – sistemos sprendimas
Vadinamos dviejų kintamųjų lygčių sistemos, turinčios tuos pačius sprendinius lygiavertis. Sistemos, kuriose nėra sprendimų, taip pat laikomos lygiavertėmis.
Tiesinių lygčių sistemų sprendimas sudėjus
Panagrinėkime kitą tiesinių lygčių sistemų sprendimo būdą – sudėjimo metodą. Tokiu būdu spręsdami sistemas, taip pat sprendžiant pakeitimu, iš šios sistemos pereiname prie kitos, lygiavertės sistemos, kurioje vienoje iš lygčių yra tik vienas kintamasis.
Veiksmų seka sprendžiant tiesinių lygčių sistemą naudojant pridėjimo metodą:
1) padauginkite sistemos nario lygtis iš nario, parenkant veiksnius taip, kad vieno iš kintamųjų koeficientai taptų priešingais skaičiais;
2) sudėkite kairę ir dešinę sistemos lygčių puses po termino;
3) išspręskite gautą lygtį vienu kintamuoju;
4) raskite atitinkamą antrojo kintamojo reikšmę.
Pavyzdys. Išspręskime lygčių sistemą:
$$ \left\( \begin(masyvas)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(masyvas) \right. $$
Šios sistemos lygtyse y koeficientai yra priešingi skaičiai. Sudėjus kairę ir dešinę lygčių puses po termino, gauname lygtį su vienu kintamuoju 3x=33. Vieną iš sistemos lygčių, pavyzdžiui, pirmąją, pakeiskime lygtimi 3x=33. Paimkime sistemą
$$ \left\( \begin(masyvas)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(masyvas) \right. $$
Iš lygties 3x=33 matome, kad x=11. Pakeitę šią x reikšmę į lygtį \(x-3y=38\) gauname lygtį su kintamuoju y: \(11-3y=38\). Išspręskime šią lygtį:
\(-3y=27 \Rightrow y=-9 \)
Taigi lygčių sistemos sprendimą radome sudėjus: \(x=11; y=-9\) arba \((11;-9)\)
Pasinaudoję tuo, kad sistemos lygtyse y koeficientai yra priešingi skaičiai, jos sprendinį redukavome iki ekvivalentinės sistemos sprendinio (sumuodami abi kiekvienos iš pradinės sistemos lygčių puses), kurioje vienas lygčių yra tik vienas kintamasis.
Knygos (vadovėliai) Vieningo valstybinio egzamino ir vieningo valstybinio egzamino testų tezės internete Žaidimai, galvosūkiai Funkcijų grafikų braižymas Rusų kalbos rašybos žodynas Jaunimo žargono žodynas Rusijos mokyklų katalogas Rusijos vidurinių mokyklų katalogas Rusijos universitetų katalogas Sąrašas užduočių