Lygiagretainis yra prizmė, kurios pagrindai yra lygiagretainiai. Tokiu atveju visi kraštai bus lygiagretainiai.
Kiekvienas gretasienis gali būti laikomas prizme trimis skirtingais būdais, nes kiekvienas priešingas paviršius gali būti laikomas pagrindu (5 pav. paviršiai ABCD ir A"B"C"D arba ABA"B" ir CDC"D ", arba BCB "C" ir ADA"D").
Aptariamas kūnas turi dvylika briaunų, keturios lygios ir lygiagrečios viena kitai.
3 teorema
. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške, sutampančiu su kiekvieno iš jų viduriu.
Lygiagretainis ABCDA"B"C"D" (5 pav.) turi keturias įstrižaines AC, BD, CA, DB". Turime įrodyti, kad bet kurių dviejų, pavyzdžiui, AC ir BD", vidurio taškai sutampa. Tai išplaukia iš to, kad figūra ABC"D", turinti lygias ir lygiagrečias kraštines AB ir C"D", yra lygiagretainis.
7 apibrėžimas
. Dešinysis gretasienis yra gretasienis, kuris taip pat yra tiesi prizmė, tai yra gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos pagrindo plokštumai.
8 apibrėžimas
. Stačiakampis gretasienis yra stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis. Tokiu atveju visi jo veidai bus stačiakampiai.
Stačiakampis gretasienis yra stačiakampė prizmė, nesvarbu, kurią iš jos paviršių laikytume pagrindu, nes kiekviena jos briauna yra statmena briaunoms, kylančioms iš tos pačios viršūnės, todėl bus statmena apibrėžtų paviršių plokštumoms. šiais kraštais. Priešingai, tiesi, bet ne stačiakampė gretasienis gali būti vertinama kaip dešinė prizmė tik vienu būdu.
9 apibrėžimas
. Stačiakampio gretasienio trijų kraštinių ilgiai, iš kurių nėra dviejų lygiagrečių vienas kitam (pavyzdžiui, trys briaunos išeina iš tos pačios viršūnės), vadinami jo matmenimis. Du stačiakampiai gretasieniai, turintys atitinkamai vienodus matmenis, akivaizdžiai yra lygūs vienas kitam.
10 apibrėžimas
.Kubas yra stačiakampis gretasienis, kurio visi trys matmenys yra lygūs vienas kitam, todėl visi jo paviršiai yra kvadratai. Du kubai, kurių kraštai yra vienodi, yra lygūs. 
11 apibrėžimas
. Pasviręs gretasienis, kurio visos briaunos yra lygios viena kitai, o visų paviršių kampai yra lygūs arba vienas kitą papildantys, vadinamas romboedru.
Visi romboedro veidai yra lygūs rombai. (Kai kurie labai svarbūs kristalai turi romboedro formą, pvz., Islandijos sparno kristalai.) Romboedre galite rasti tokią viršūnę (ir net dvi priešingas viršūnes), kad visi gretimi kampai būtų lygūs vienas kitam.
4 teorema
. Stačiakampio gretasienio įstrižainės yra lygios viena kitai. Įstrižainės kvadratas yra lygus trijų matmenų kvadratų sumai.
Stačiakampio gretasienio ABCDA"B"C"D" (6 pav.) įstrižainės AC" ir BD" yra lygios, nes keturkampis ABC"D" yra stačiakampis (tiesė AB yra statmena plokštumai ECB" C“, kuriame yra BC“).
Be to, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 remiantis teorema apie hipotenuzės kvadratą. Bet remiantis ta pačia teorema AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; taigi mes turi:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.
TEMA 10.3. LYGIALEGITASIS IR JO SAVYBĖS.
Gretasienio apibrėžimas. Lygiagretainio su įrodymais savybės. kubas
Lygiagretaus vamzdžio - prizmė, kurio pagrindas yra lygiagretainis.
Gretasienio tipai
Yra keletas gretasienių tipų:
- Stačiakampis gretasienis- tai gretasienis, kurio visi veidai yra stačiakampiai;
- Dešinysis gretasienis- tai gretasienis su 4 šoniniais paviršiais - stačiakampiais;
- Pasviręs gretasienis yra gretasienis, kurio šoniniai paviršiai nėra statmeni pagrindams.
Esminiai elementai
Vadinamos dvi gretasienio briaunos, neturinčios bendros briaunos priešingas, ir turintis bendrą kraštą - gretimas. Dvi gretasienio viršūnės, nepriklausančios tam pačiam veidui, vadinamos priešingomis. Linijos segmentas jungiantis priešingas viršūnes vadinamas įstrižai gretasienis. Stačiakampio gretasienio, turinčio bendrą viršūnę, trijų kraštinių ilgiai vadinami matavimai.
Savybės
- Gretasienis yra simetriškas apie savo įstrižainės vidurį.
- Bet kuri atkarpa, kurios galai priklauso gretasienio paviršiui ir eina per jo įstrižainės vidurį, yra padalyta per pusę; visų pirma visos gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir yra perkirstos per pusę.
- Priešingi gretasienio paviršiai yra lygiagretūs ir lygūs.
- Stačiakampio gretasienio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus jo trijų matmenų kvadratų sumai.
Pagrindinės formulės
Dešinysis gretasienis
Šoninio paviršiaus plotas S b =P o *h, kur P o – pagrindo perimetras, h – aukštis
Bendras paviršiaus plotas S p =S b +2S o, kur S o yra bazinis plotas
Apimtis V=S o *h
] Stačiakampis gretasienis
Šoninio paviršiaus plotas S b =2c(a+b), kur a, b yra pagrindo kraštinės, c yra stačiakampio gretasienio šoninis kraštas
Bendras paviršiaus plotas S p = 2(ab+bc+ac)
Apimtis V=abc, kur a, b, c yra stačiakampio gretasienio matmenys.
Jei prizmės pagrindas yra lygiagretainis, tada jis vadinamas gretasieniu. Visi gretasienio paviršiai yra lygiagretainiai.
12 paveiksle a) pavaizduotas pasviręs gretasienis, o 12 paveiksle b) – tiesus gretasienis.
Bendrų viršūnių neturintys gretasienio paviršiai vadinami priešingais.
1 teorema. Gretasienio priešingos pusės yra lygiagrečios ir lygios.
Įrodymas: Panagrinėkime du priešingus gretasienio veidus, pavyzdžiui, ir (13 pav.). Kadangi visi gretasienio paviršiai yra lygiagretainiai, tai tiesė yra lygiagreti tiesei, o tiesė lygiagreti tiesei. Iš to seka, kad nagrinėjamų veidų plokštumos yra lygiagrečios.
PAMOKOS TEKSTAS:
Apsvarstykite šiuos elementus:
Statybinės plytos, kauliukai, mikrobangų krosnelė. Šiuos objektus vienija forma.
Paviršius, sudarytas iš dviejų lygiagretainių ABCD ir A1B1C1D1
o keturi lygiagretainiai AA1B1B ir BB1C1C, СС1D1D, AA1D1D vadinami gretasieniu.
Lygiagretainiai, sudarantys gretasienį, vadinami veidais. Veidas А1В1С1D1. Briauna ВВ1С1С. Kraštas ABCD.
Šiuo atveju paviršiai ABCD ir A1B1C1D1 dažniau vadinami bazėmis, o likę paviršiai yra šoniniai.
Lygiagretainio kraštinės vadinamos gretasienio kraštinėmis. Šonkaulis A1B1. Rib CC1. Šonkaulis AD.
Briauna CC1 nepriklauso pagrindams, ji vadinama šonine briauna.
Lygiagretainio viršūnės vadinamos gretasienio viršūnėmis.
Viršūnė D1. Į viršų B. Į viršų C.
Viršūnės D1 ir B
nepriklauso tam pačiam veidui ir yra vadinami priešingais.
Lygiagretainis gali būti vaizduojamas įvairiais būdais
Gretasienis, kurio pagrinde yra rombas, o veidų atvaizdai yra lygiagretainiai.
Gretasienis, kurio pagrinde yra kvadratas. Nematomos briaunos AA1, AB, AD vaizduojamos punktyrinėmis linijomis.
Gretasienis, kurio pagrinde yra kvadratas
Lygiagretainis, kurio pagrinde yra stačiakampis arba lygiagretainis
Lygiagretainis, kurio visi veidai yra kvadratiniai. Dažniau jis vadinamas kubu.
Visi laikomi gretasieniai turi savybių. Suformuluokime ir įrodykime juos.
Savybė 1. Priešingos gretasienio briaunos yra lygiagrečios ir lygios.
Panagrinėkime gretasienį ABCDA1B1C1D1 ir įrodykime, pavyzdžiui, veidų BB1C1C ir AA1D1D lygiagretumą ir lygybę.
Pagal gretasienio apibrėžimą, paviršius ABCD yra lygiagretainis, o tai reiškia, kad pagal lygiagretainio savybę kraštinė BC yra lygiagreti kraštinei AD.
ABB1A1 paviršius taip pat yra lygiagretainis, o tai reiškia, kad briaunos BB1 ir AA1 yra lygiagrečios.
Tai reiškia, kad dvi susikertančios vienos plokštumos tiesės BC ir BB1 yra lygiagrečios atitinkamai dviem kitos plokštumos tiesėms AD ir AA1, o tai reiškia, kad plokštumos ABB1A1 ir BCC1D1 yra lygiagrečios.
Visi gretasienio paviršiai yra lygiagretainiai, o tai reiškia, kad BC = AD, BB1 = AA1.
Šiuo atveju kampų B1BC ir A1AD kraštinės yra atitinkamai nukreiptos kartu, o tai reiškia, kad jos yra lygios.
Taigi lygiagretainio ABB1A1 dvi gretimos kraštinės ir kampas tarp jų yra atitinkamai lygūs dviem gretimoms lygiagretainio BCC1D1 kraštinėms ir kampui tarp jų, o tai reiškia, kad šie lygiagretainiai yra lygūs.
Lygiagretainis taip pat turi savybę apie įstrižaines. Gretasienio įstrižainė – atkarpa, jungianti negretimas viršūnes. Brėžinyje punktyrinė linija rodo įstrižaines B1D, BD1, A1C.
Taigi, savybė 2. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir dalijamos per pusę iš susikirtimo taško.
Norėdami įrodyti savybę, apsvarstykite keturkampį BB1D1D. Jo įstrižainės B1D, BD1 yra gretasienio ABCDA1B1C1D1 įstrižainės.
Pirmoje savybėje jau išsiaiškinome, kad briauna BB1 yra lygiagreti ir lygi kraštinei AA1, o briauna AA1 lygiagreti ir lygi kraštinei DD1. Todėl briaunos BB1 ir DD1 yra lygiagrečios ir lygios, o tai įrodo, kad keturkampis BB1D1D yra lygiagretainis. O lygiagretainyje pagal savybę įstrižainės B1D, BD1 susikerta tam tikrame taške O ir šiuo tašku dalijamos pusiau.
Keturkampis BC1D1A taip pat yra lygiagretainis, o jo įstrižainės C1A susikerta viename taške ir yra perkirstos per pusę. Lygiagretainio C1A, ВD1 įstrižainės yra gretasienio įstrižainės, vadinasi, suformuluota savybė įrodyta.
Norėdami įtvirtinti teorines žinias apie gretasienį, apsvarstykite įrodymo problemą.
Lygiagretainio kraštinėse pažymėti taškai L,M,N,P taip, kad BL=CM=A1N=D1P. Įrodykite, kad ALMDNB1C1P yra gretasienis.
BB1A1A paviršius yra lygiagretainis, o tai reiškia, kad briauna BB1 yra lygi ir lygiagreti kraštinei AA1, tačiau pagal sąlygą atkarpos BL ir A1N, o tai reiškia, kad atkarpos LB1 ir NA yra lygios ir lygiagrečios.
3) Todėl keturkampis LB1NA yra lygiagretainis.
4) Kadangi CC1D1D yra lygiagretainis, tai reiškia, kad briauna CC1 yra lygi ir lygiagreti kraštinei D1D, o CM yra lygi D1P pagal sąlygą, o tai reiškia, kad atkarpos MC1 ir DP yra lygios ir lygiagrečios
Todėl keturkampis MC1PD taip pat yra lygiagretainis.
5) Kampai LB1N ir MC1P yra lygūs kaip kampai su atitinkamai lygiagrečiomis ir vienodai nukreiptomis kraštinėmis.
6) Mes nustatėme, kad lygiagretainių ir MC1PD atitinkamos kraštinės yra lygios, o kampai tarp jų yra lygūs, tai reiškia, kad lygiagretainiai yra lygūs.
7) Atkarpos yra lygios pagal sąlygą, o tai reiškia, kad BLMC yra lygiagretainis, o kraštinė BC lygiagreti kraštinei LM lygiagreti kraštinei B1C1.
8) Panašiai iš lygiagretainio NA1D1P matyti, kad kraštinė A1D1 yra lygiagreti kraštinei NP ir lygiagreti kraštinei AD.
9) Gretasienio priešingi paviršiai ABB1A1 ir DCC1D1 yra lygiagretūs, o lygiagrečių tiesių atkarpos tarp lygiagrečių plokštumų yra lygios, vadinasi, atkarpos B1C1, LM, AD, NP yra lygios.
Nustatyta, kad keturkampiuose ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD dvi kraštinės yra lygiagrečios ir lygios, vadinasi, yra lygiagretainiai. Tada mūsų paviršius ALMDNB1C1P susideda iš šešių lygiagretainių, iš kurių du yra lygūs, ir pagal apibrėžimą tai yra gretasienis.
Apibrėžimas
Daugiakampis vadinsime uždaru paviršiumi, sudarytu iš daugiakampių ir ribojančiu tam tikrą erdvės dalį.
Atkarpos, kurios yra šių daugiakampių kraštinės, vadinamos šonkauliai daugiakampis, o patys daugiakampiai yra briaunos. Daugiakampių viršūnės vadinamos daugiakampėmis viršūnėmis.
Mes apsvarstysime tik išgaubtą daugiakampį (tai daugiakampis, esantis vienoje kiekvienos plokštumos, kurioje yra jos veidas, pusėje).
Daugiakampiai, sudarantys daugiakampį, sudaro jo paviršių. Erdvės dalis, kurią riboja tam tikras daugiakampis, vadinama jos vidus.
Apibrėžimas: prizmė
Apsvarstykite du vienodus daugiakampius \(A_1A_2A_3...A_n\) ir \(B_1B_2B_3...B_n\), esančius lygiagrečiose plokštumose taip, kad atkarpos \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) lygiagrečiai. Daugiakampis, sudarytas iš daugiakampių \(A_1A_2A_3...A_n\) ir \(B_1B_2B_3...B_n\) , taip pat lygiagretainių \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), vadinamas (\(n\)-gonal) prizmė.
Daugiakampiai \(A_1A_2A_3...A_n\) ir \(B_1B_2B_3...B_n\) vadinami prizmių bazėmis, lygiagrečiais \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– šoniniai paviršiai, segmentai \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- šoniniai šonkauliai.
Taigi prizmės šoninės briaunos yra lygiagrečios ir lygios viena kitai.
Pažiūrėkime į pavyzdį – prizmę \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), kurio pagrindu yra išgaubtas penkiakampis.
Aukštis prizmės yra statmenas, numestas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kito pagrindo plokštumą.
Jei šoninės briaunos nėra statmenos pagrindui, tada tokia prizmė vadinama linkęs(1 pav.), kitu atveju – tiesiai. Tiesioje prizmėje šoniniai kraštai yra aukščiai, o šoniniai paviršiai yra lygūs stačiakampiai.
Jei tiesios prizmės pagrindu yra taisyklingas daugiakampis, tai prizmė vadinama teisinga.
Apibrėžimas: tūrio sąvoka
Tūrio matavimo vienetas yra vienetinis kubas (kubas, kurio matmenys yra \(1\times1\times1\) vienetai\(^3\), kur vienetas yra tam tikras matavimo vienetas).
Galima sakyti, kad daugiakampio tūris yra erdvės, kurią šis daugiakampis riboja, kiekis. Kitu atveju: tai dydis, kurio skaitinė reikšmė parodo, kiek kartų vienetinis kubas ir jo dalys telpa į tam tikrą daugiakampį.
Tūris turi tas pačias savybes kaip ir plotas:
1. Lygių skaičių tūriai yra lygūs.
2. Jei daugiakampis sudarytas iš kelių nesikertančių daugiakampių, tai jo tūris lygus šių daugiakampių tūrių sumai.
3. Tūris yra neneigiamas dydis.
4. Tūris matuojamas cm\(^3\) (kubiniais centimetrais), m\(^3\) (kubiniais metrais) ir kt.
Teorema
1. Prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo perimetro ir prizmės aukščio sandaugai.
Šoninio paviršiaus plotas yra prizmės šoninių paviršių plotų suma.
2. Prizmės tūris lygus pagrindo ploto ir prizmės aukščio sandaugai: \
Apibrėžimas: gretasienis
Lygiagretaus vamzdžio yra prizmė, kurios pagrinde yra lygiagretainis.
Visi gretasienio paviršiai (yra \(6\) : \(4\) šoniniai paviršiai ir \(2\) pagrindai) yra lygiagretainiai, o priešingi paviršiai (lygiagrečiai vienas kitam) yra lygiagrečiai (2 pav.) .
Gretasienio įstrižainė yra atkarpa, jungianti dvi gretasienio viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje (jų yra \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) ir tt).
Stačiakampis gretasienis yra stačiakampis gretasienis, kurio pagrinde yra stačiakampis.
Nes Kadangi tai yra dešinysis gretasienis, šoniniai paviršiai yra stačiakampiai. Tai reiškia, kad apskritai visi stačiakampio gretasienio paviršiai yra stačiakampiai.
Visos stačiakampio gretasienio įstrižainės yra lygios (tai išplaukia iš trikampių lygybės \(\trikampis ACC_1=\trikampis AA_1C=\trikampis BDD_1=\trikampis BB_1D\) ir tt).
komentuoti
Taigi gretasienis turi visas prizmės savybes.
Teorema
Stačiakampio gretasienio šoninio paviršiaus plotas yra \
Bendras stačiakampio gretasienio paviršiaus plotas yra \
Teorema
Statinio stačiakampio tūris lygus jo trijų kraštinių, išeinančių iš vienos viršūnės, sandaugai (trys stačiakampio matmenys): \
Įrodymas
Nes Stačiakampio gretasienio šoninės briaunos yra statmenos pagrindui, tada jos yra ir jo aukščiai, tai yra \(h=AA_1=c\) Nes tada pagrindas yra stačiakampis \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Iš čia ir kyla ši formulė.
Teorema
Stačiakampio gretasienio įstrižainė \(d\) randama naudojant formulę (kur \(a,b,c\) yra gretasienio matmenys) \
Įrodymas
Pažiūrėkime į pav. 3. Nes pagrindas yra stačiakampis, tada \(\trikampis ABD\) yra stačiakampis, todėl pagal Pitagoro teoremą \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Nes visi šoniniai kraštai yra statmeni pagrindams, tada \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) statmenai bet kuriai tiesei šioje plokštumoje, t.y. \(BB_1\perp BD\) . Tai reiškia, kad \(\trikampis BB_1D\) yra stačiakampis. Tada pagal Pitagoro teoremą \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), td.
Apibrėžimas: kubas
kubas yra stačiakampis gretasienis, kurio visi paviršiai yra lygūs kvadratai.
Taigi trys matmenys yra lygūs vienas kitam: \(a=b=c\) . Taigi šie dalykai yra teisingi
Teoremos
1. Kubo su briauna \(a\) tūris lygus \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. Kubo įstrižainė randama naudojant formulę \(d=a\sqrt3\) .
3. Bendras kubo paviršiaus plotas \(S_(\tekstas(visas kubas))=6a^2\).