Программа для решения линейных, квадратных и дробных неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.
Причём, если в процессе решения одного из неравенств нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов при подготовке к контрольным работам, родителям для контроля решения неравенств их детьми.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Правила ввода неравенств
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} y + \frac{1}{7}y^2 \)
При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.
Решить систему неравенств Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки
С понятием системы вы познакомились в 7 классе и научились решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Далее будут рассмотрены системы линейных неравенств с одним неизвестным. Множества решений систем неравенств могут записываться с помощью промежутков (интервалов, полуинтервалов, отрезков, лучей). Также вы познакомитесь обозначениями числовых промежутков.
Если в неравенствах \(4x > 2000 \) и \(5x \leq 4000 \) неизвестное число х одно и то же, то эти неравенства рассматривают совместно и говорят, что они образуют систему неравенств: $$ \left\{\begin{array}{l} 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end{array}\right. $$
Фигурная скобка показывает, что нужно найти такие значения х, при которых оба неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства. Данная система - пример системы линейных неравенств с одним неизвестным.
Решением системы неравенств с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства. Решить систему неравенств - это значит найти все решения этой системы или установить, что их нет.
Неравенства \(x \geq -2 \) и \(x \leq 3 \) можно записать в виде двойного неравенства: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Решениями систем неравенств с одним неизвестным являются различные числовые множества. Эти множества имеют названия. Так, на числовой оси множество чисел х, таких, что \(-2 \leq x \leq 3 \), изображается отрезком с концами в точках -2 и 3.
| -2 | 3 |
Если \(a отрезком и обозначается [а; b]
Если \(a интервалом и обозначается (а; b)
Множества чисел \(x \), удовлетворяющих неравенствам \(a \leq x полуинтервалами и обозначаются соответственно [а; b) и (а; b]
Отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми промежутками .
Таким образом, числовые промежутки можно задавать в виде неравенств.
Решением неравенства с двумя неизвестными называется пара чисел (х; у), обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти множество всех его решений. Так, решениями неравенства х > у будут, например, пары чисел (5; 3), (-1; -1), так как \(5 \geq 3 \) и \(-1 \geq -1\)
Решение систем неравенств
Решать линейные неравенства с одним неизвестным вы уже научились. Знаете, что такое система неравенств и решение системы. Поэтому процесс решения систем неравенств с одним неизвестным не вызовет у вас затруднений.
И все же напомним: чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение этих решений.
Например, исходная система неравенств была приведена к виду:
$$ \left\{\begin{array}{l} x \geq -2 \\ x \leq 3 \end{array}\right. $$
Чтобы решить эту систему неравенств, отметим решение каждого неравенства на числовой оси и найдём их пересечение:
| -2 | 3 |
Пересечением является отрезок [-2; 3] - это и есть решение исходной системы неравенств.
Решение неравенств. Неравенства бывают разных видов и требуют разного подхода к их решению. Если вы не желаете тратить время и силы на решение неравенств или решили неравенство самостоятельно и хотите проверить, верный ли ответ вы получили, то предлагаем вам решать неравенства онлайн и воспользоваться для этого нашим сервисом Math24.su. Он решает как линейные, так и квадратные неравенства, в том числе иррациональные и дробные неравенства. Обязательно укажите обе части неравенства в соответствующих полях и выберете знак неравенства между ними, затем нажмите кнопку «Решение». Чтобы продемонстрировать как в сервисе реализовано решение неравенств, можно просмотреть различные виды примеров и их решений (выбираются справа от кнопки «Решение»). Сервис выдает как интервалы решения, так и целочисленные значения. Пользователи, которые попадают на Math24.su впервые, восхищаются высокой скоростью работы сервиса, ведь решить неравенства онлайн можно за считанные секунды, а пользоваться сервисом можно абсолютно бесплатно неограниченное количество раз. Работа сервиса автоматизирована, вычисление в нем делает программа, а не человек. Вам не нужно устанавливать себе на компьютер какое-либо программное обеспечение, регистрироваться, вводить личные данные или e-mail. Также исключены опечатки и ошибки в расчетах, полученному результату можно доверять на 100%. Преимущества решения неравенств онлайн. Благодаря высокой скорости и удобству использования сервис Math24.su стал надежным помощником многих школьников и студентов. Неравенства часто встречаются в школьных программах и курсе института по высшей математике и те, кто использует наш онлайн сервис, получают большие преимущества перед остальными. Math24.su доступен круглосуточно, не требует регистрации, платы за использование и вдобавок мультиязычен. Не стоит пренебрегать онлайн сервисом и тем, кто ищет решение неравенств самостоятельно. Ведь Math24.su – это отличная возможность проверить правильность своих вычислений, найти, где совершена ошибка, просмотреть, как решаются различные виды неравенств. Еще одна причина, по которой будет более рационально решать неравенства онлайн, это когда решение неравенств не является основной задачей, а только ее частью. В этом случае просто нет смысла тратить много времени и сил на вычисление, а лучше доверить его онлайн сервису, в то время как самому сосредоточиться на решении основной задачи. Как видно, онлайн сервис для решения неравенств будет полезен как тем, кто самостоятельно решает данный вид математических задач, так и тем, кто не хочет тратить время и усилия на длительные расчеты, а нуждается в быстром получении ответа. Поэтому, когда вы сталкиваетесь с неравенствами, то не забывайте использовать наш сервис, чтобы решать любые неравенства онлайн: линейные, квадратные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические. Что такое неравенства и как они обозначаются. Неравенство выступает обратной стороной равенства и как понятие связано со сравнением двух объектов. В зависимости от характеристик сравниваемых объектов, мы говорим выше, ниже, короче, длиннее, толще, тоньше и т.д. В математике смысл неравенств не теряется, но здесь речь идет уже про неравенства математических объектов: числа, выражения, значения величин, фигур и т.д. Принято использовать несколько знаков неравенств: , ≤, ≥. Математические выражения с такими знаками и называют неравенствами. Знак > (больше) ставится между большим и меньшим объектами, Знак обозначают строгие неравенства. Нестрогие неравенства описывают ситуацию, когда одно выражение «не больше» («не меньше») другого. «Не больше» означает, что меньше или столько же, а «не меньше» значит, что больше или столько же.
В статье рассмотрим решение неравенств . Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств , на понятных примерах!
Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.
Общи сведения о неравенствах
Неравенством
называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x)
a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x)
Неравенства, содержащие знак > или
или - нестрогими.
Решением неравенства
является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство
" означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств
. Для решения неравенства
пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства
x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
-
+
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x .
Давайте обобщим полученные знания.
Допустим, необходимо решить систему неравенств:
$\begin{cases}f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end{cases}$.
Тогда, интервал ($x_1; x_2$) – решение первого неравенства.
Интервал ($y_1; y_2$) – решение второго неравенства.
Решение системы неравенств – есть пересечение решений каждого неравенства.
Системы неравенств могут состоять из неравенств не только первого порядка, но и любых других видов неравенств.
Важные правила при решении систем неравенств.
Если одно из неравенств системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.
Если одно из неравенств выполняется для любых значений переменой, то решением системы будет решение другого неравенства.
Примеры.
Решить систему неравенств:$\begin{cases}x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end{cases}$
Решение.
Решим каждое неравенство по отдельности.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.
Решим второе неравенство.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.
Решением неравенства будет промежуток.
Нарисуем оба промежутка на одной прямой и найдем пересечение.
Пересечение промежутков - отрезок (4; 6].
Ответ: (4;6].
Решить систему неравенств.
а) $\begin{cases}3x+3>6\\2x^2+4x+4 б) $\begin{cases}3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end{cases}$.
Решение.
а) Первое неравенство имеет решение х>1.
Найдем дискриминант для второго неравенства.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D
Вспомним правило, когда одно из неравенств не имеет решений, то вся система не имеет решений.
Ответ: Нет решений.
Б) Первое неравенство имеет решение х>1.
Второе неравенство больше нуля при всех х. Тогда решение системы совпадает с решением первого неравенства.
Ответ: х>1.
Задачи на системы неравенств для самостоятельного решения
Решите системы неравенств:а) $\begin{cases}4x-5>11\\2x-12 б) $\begin{cases}-3x+1>5\\3x-11 в) $\begin{cases}x^2-25 г) $\begin{cases}x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end{cases}$
д) $\begin{cases}x^2+36
называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и туже неизвестную величину
Вот образцы подобных систем:
Промежуток пересечения двух лучей и есть наше решение. Следовательно решением данного неравенства выступают все х расположенные между двойкой и восьмеркой.
Ответ: х
Применение такого типа отображения решения системы неравенств иногда именуют методом крыш .
Определение: Пересечением двух множеств А и В называется такое третье множество, которое включает все элементы, входящих и в А и в В . Это смысл пересечения множеств произвольной природы. Нами сейчас детально рассматриваются числовые множества, поэтому при нахождении линейных неравенств такими множествами являются лучи - сонаправленные, противонаправленные и так далее.
Выясним на реальных примерах нахождение линейных систем неравенств, как определить пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.
Вычислим систему неравенств :
Поместим одну под другой две силовые прямые. На верхней нанесем те значения х, которые выполняют первое неравенство x >7 , а на нижней - которые выступают решением второго неравенства x >10 Соотнесем результаты числовых прямых, выясним, что оба неравенства будут удовлетворятся при x >10.
Ответ: (10;+∞).
Делаем по аналогии с первым образцом. На заданной числовой оси наносим все те значения х при которых существует первое неравенство системы , а на второй числовой оси, размещенной под первой, - все те значения х , при которых выполняется второе неравенство системы. Соотнесем эти два результата и определим, что оба неравенства одновременно будут выполнятся при всех значениях х расположенных между 7 и 10 с учетом знаков получаем 7<х≤10
Ответ: (7; 10].
Подобным образом решаются и нижеследующие системы неравенств.