أربع نقاط كبيرة
مثلث
الهندسة
الصف 8
ساخاروفا ناتاليا إيفانوفنا
مدرسة MBOU الثانوية رقم 28 من سيمفيروبول
- نقطة تقاطع وسطاء المثلث
- نقطة تقاطع منصف المثلث
- نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث
- نقطة تقاطع الخطوط العمودية المتوسطة لمثلث
الوسيط
الوسيط (دينار بحريني)المثلث هو قطعة مستقيمة تصل رأس المثلث بنقطة منتصف الضلع المقابل.
متوسطاتتتقاطع المثلثات في نقطة واحدة (مركز الجاذبيةمثلث) وقسم هذه النقطة بنسبة 2: 1 ، عد من الأعلى.
المنصف
منصف (AD)يسمى المثلث بقطعة منصف الزاوية الداخلية للمثلث. ∟ BAD = ∟CAD.
كل نقطة المنصاتمن زاوية غير متطورة على مسافة متساوية من جوانبها.
خلف: كل نقطة داخل زاوية وعلى مسافة متساوية من جانبي الزاوية تقع عليها منصف.
جميع المنصاتتتقاطع المثلثات عند نقطة واحدة المركز المدرج في مثلث الدوائر.
نصف قطر الدائرة (OM) عمودي يسقط من المركز (T.O) إلى جانب المثلث
ارتفاع
الارتفاع (قرص مضغوط)المثلث هو جزء من عمودي يتم إسقاطه من رأس المثلث إلى الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل.
مرتفعاتتتقاطع المثلثات (أو امتداداتها) واحد نقطة.
منتصف العمود الرأسي
المنصف العمودي (DF)يسمى الخط العمودي على جانب المثلث ويقسمه إلى نصفين.
كل نقطة منتصف عمودي(م) إلى قطعة تقع على مسافة متساوية من طرفي هذا الجزء.
خلف: تقع كل نقطة على مسافة متساوية من نهايات المقطع على نقطة المنتصف عموديله.
تتقاطع جميع المنصات العمودية لأضلاع المثلث عند نقطة واحدة - مركز الموصوفة بالقرب من المثلث الدوائر .
نصف قطر الدائرة المقيدة هو المسافة من مركز الدائرة إلى أي رأس للمثلث (OA).
صفحة 177 №675 (رسم)
العمل في المنزل
ص 173 § 3 تعاريف ونظريات ص 177 رقم 675 (إنهاء)
الأهداف:
- لتلخيص معرفة الطلاب حول موضوع "أربع نقاط رائعة للمثلث" ، لمواصلة العمل على تكوين المهارات في بناء ارتفاع ، وسيط ، ومنصف المثلث ؛
لتعريف الطلاب بالمفاهيم الجديدة لدائرة منقوشة في مثلث وموصوفة حولها ؛
تطوير مهارات البحث.
- لزراعة المثابرة والدقة وتنظيم الطلاب.
مهمة:توسيع الاهتمام المعرفي في موضوع الهندسة.
معدات:لوح ، أدوات رسم ، أقلام ملونة ، نموذج مثلث على ورقة أفقية ؛ الكمبيوتر ، جهاز عرض الوسائط المتعددة ، الشاشة.
خلال الفصول
1.
لحظة تنظيمية (دقيقة واحدة)
مدرس:في هذا الدرس ، سيشعر كل واحد منكم بأنه مهندس بحث ، وبعد الانتهاء من العمل العملي ، ستكون قادرًا على تقييم نفسك. لكي يكون العمل ناجحًا ، من الضروري تنفيذ جميع الإجراءات باستخدام النموذج بدقة شديدة وبطريقة منظمة أثناء الدرس. أتمنى لك النجاح.
2.
المعلم: ارسم زاوية غير مطوية في دفتر ملاحظاتك
س: ما هي طرق بناء منصف الزاوية التي تعرفها؟
تحديد منصف الزاوية. يقوم طالبان على السبورة ببناء منصف الزاوية (وفقًا للنماذج المعدة مسبقًا) بطريقتين: باستخدام المسطرة والبوصلة. يقوم الطالبان التاليان بإثبات الأقوال شفهياً:
1. ما الخاصية التي تمتلكها نقاط منصف الزاوية؟
2. ماذا يمكن أن يقال عن النقاط الموجودة داخل الزاوية وعلى مسافات متساوية من جانبي الزاوية؟
المعلم: ارسم مثلثًا رباعي الزوايا ABC بأي طريقة من الطرق ، وقم ببناء منصف للزاوية A والزاوية C ، وقم بتوجيههما
تقاطع - النقطة O. ما الفرضية التي يمكنك طرحها حول شعاع BO؟ أثبت أن الشعاع BO هو منصف المثلث ABC. قم بصياغة استنتاج حول موقع كل منصفات المثلث.
3.
استخدم نموذج المثلث (5-7 دقائق).
الخيار 1 - مثلث حاد ؛
الخيار 2 - مثلث قائم الزاوية ؛
الخيار 3 - مثلث منفرج.
المعلم: قم ببناء منصفين على نموذج المثلث ، ضع دائرة حولهما باللون الأصفر. عيّن نقطة التقاطع
نقطة المنصف ك. انظر الشريحة رقم 1.
4.
التحضير للمرحلة الرئيسية من الدرس (10-13 دقيقة).
المعلم: ارسم المقطع AB في دفتر ملاحظاتك. ما هي الأدوات التي يمكن استخدامها لبناء المنصف العمودي لقطعة مستقيمة؟ تعريف المنصف العمودي. يقوم طالبان على السبورة ببناء المنصف العمودي
(وفقًا للنماذج المعدة مسبقًا) بطريقتين: المسطرة ، البوصلة. يقوم الطالبان التاليان بإثبات الأقوال شفهياً:
1. ما الخاصية التي تمتلكها نقاط الخط العمودي المتوسط على القطعة؟
2. ماذا يمكن أن يقال عن النقاط التي تقع على مسافة متساوية من طرفي المقطع AB المعلم: ارسم مثلثًا رباعي الاتجاه ABC وقم ببناء منصفات عمودية على أي جانب من ضلعي المثلث ABC.
حدد نقطة التقاطع O. ارسم عموديًا على الضلع الثالث من خلال النقطة O. ماذا تلاحظ؟ إثبات أن هذا هو المنصف العمودي للقطعة.
5.
العمل مع نموذج المثلث (5 دقائق) المعلم: على نموذج المثلث ، قم ببناء المنصفين المتعامدين على جانبي المثلث ووضع دائرة حولهم باللون الأخضر. حدد نقطة تقاطع المنصفين المتعامدين مع النقطة O. انظر الشريحة رقم 2.
6.
التحضير للمرحلة الرئيسية من الدرس (5-7 دقائق) المعلم: ارسم مثلث منفرج ABC وقم ببناء ارتفاعين. عيّن نقطة تقاطعهم O.
1. ماذا يمكن أن يقال عن الارتفاع الثالث (الارتفاع الثالث ، إذا استمر بعد القاعدة ، سيمر بالنقطة O)؟
2. كيف نثبت أن جميع الارتفاعات تتقاطع عند نقطة واحدة؟
3. ما هو الشكل الجديد الذي تشكله هذه الارتفاعات ، وماذا فيها؟
7.
استخدم نموذج المثلث (5 دقائق).
المعلم: في نموذج المثلث ، قم ببناء ثلاثة ارتفاعات ووضع دائرة حولها باللون الأزرق. حدد نقطة تقاطع المرتفعات مع النقطة "هـ". انظر الشريحة رقم 3.
الدرس الثاني
8.
التحضير للمرحلة الرئيسية من الدرس (10-12 دقيقة).
المعلم: ارسم مثلثًا حادًا ABC وقم برسم كل متوسطاته. عيّن نقطة التقاطع O. ما الخاصية التي تمتلكها وسطاء المثلث؟
9.
العمل بنموذج المثلث (5 دقائق).
المعلم: على نموذج المثلث ، قم ببناء ثلاثة وسطاء ووضع دائرة حولها باللون البني.
عيّن نقطة تقاطع المتوسطات مع النقطة T. شاهد الشريحة رقم 4.
10.
التحقق من صحة البناء (10-15 دقيقة).
1. ماذا يمكن أن يقال عن النقطة "ك"؟ / النقطة K هي نقطة تقاطع المنصفين ، وهي متساوية البعد من جميع جوانب المثلث /
2. اعرض على النموذج المسافة من النقطة K إلى الجانب الطويل من المثلث. ما الشكل الذي رسمته؟ كيف يقع هذا
قطع إلى جانب؟ قم بتمييز جريء بقلم رصاص بسيط. (انظر الشريحة رقم 5).
3. ما هي النقطة التي تقع على مسافة متساوية من ثلاث نقاط على المستوى لا تقع على خط مستقيم واحد؟ قم ببناء دائرة بقلم رصاص أصفر مع مركز K ونصف قطر يساوي المسافة المحددة بقلم رصاص بسيط. (انظر الشريحة رقم 6).
4. ماذا لاحظت؟ كيف هي هذه الدائرة بالنسبة للمثلث؟ لقد سجلت دائرة في مثلث. ما اسم هذه الدائرة؟
يعطي المعلم تعريفًا للدائرة المنقوشة في المثلث.
5. ماذا يمكن أن يقال عن النقطة O؟ \ PointO - نقطة تقاطع الخطوط العمودية الإنسي وهي على مسافة متساوية من جميع رؤوس المثلث \. ما الشكل الذي يمكن بناؤه من خلال ربط النقاط A و B و C و O؟
6. قم ببناء دائرة خضراء اللون (O ؛ OA). (انظر الشريحة رقم 7).
7. ماذا لاحظت؟ كيف هي هذه الدائرة بالنسبة للمثلث؟ ما اسم هذه الدائرة؟ ما اسم المثلث في هذه الحالة؟
يعطي المعلم تعريف الدائرة المحددة حول المثلث.
8. اربط مسطرة بالنقاط O و H و T وارسم خطًا مستقيمًا باللون الأحمر من خلال هذه النقاط. يسمى هذا الخط بالخط المستقيم.
أويلر (انظر الشريحة رقم 8).
9. قارن بين OT و TN. تحقق من: TN = 1: 2. (انظر الشريحة رقم 9).
10. أ) أوجد متوسطات المثلث (باللون البني). قم بتمييز قواعد الوسطيات بالحبر.
أين هذه النقاط الثلاث؟
ب) أوجد ارتفاعات المثلث (باللون الأزرق). قم بتمييز قواعد المرتفعات بالحبر. كم عدد هذه النقاط؟ \ 1 خيار -3 ؛ 2 الخيار 2 ؛ الخيار 3-3 \. ج) قم بقياس المسافات من الرؤوس إلى نقطة تقاطع الارتفاعات. قم بتسمية هذه المسافات (AN ،
VN ، CH). ابحث عن نقاط المنتصف لهذه المقاطع وقم بتمييزها بالحبر. كم عدد
نقاط؟ \ 1 خيار -3 ؛ 2 الخيار 2 ؛ الخيار 3-3 \.
11. عد عدد النقاط التي تم تمييزها بالحبر؟ \ 1 خيار - 9 ؛ 2 خيار 5 ؛ الخيار 3-9 \. عين
النقاط د 1 ، د 2 ، ... ، د 9. (انظر الشريحة رقم 10) من خلال هذه النقاط ، يمكنك بناء دائرة أويلر. يقع مركز نقطة الدائرة E في منتصف المقطع OH. نبني دائرة باللون الأحمر (E ؛ ED 1). هذه الدائرة ، مثل الخط المستقيم ، سميت على اسم العالم العظيم. (انظر الشريحة رقم 11).
11.
عرض أويلر (5 دقائق).
12. الخلاصة(3 دقائق) النتيجة: "5" - إذا حصلت بالضبط على دوائر صفراء وخضراء وحمراء وخط أويلر. "4" - إذا كانت الدوائر غير دقيقة بمقدار 2-3 مم. "3" - إذا كانت الدوائر غير دقيقة بمقدار 5-7 مم.
في هذا الدرس ، سنلقي نظرة على أربع نقاط رائعة للمثلث. سوف نتناول اثنتين منها بالتفصيل ، ونتذكر براهين النظريات المهمة ونحل المشكلة. الاثنان المتبقيان نتذكرهما ونميزهما.
موضوع:إعادة مقرر الهندسة للصف الثامن
الدرس: أربع نقاط رائعة في المثلث
المثلث هو ، أولاً وقبل كل شيء ، ثلاثة أجزاء وثلاث زوايا ، لذا فإن خصائص المقاطع والزوايا أساسية.
تم إعطاء المقطع AB. أي جزء له وسط ، ويمكن رسم عمودي خلاله - نشير إليه بالرمز p. وهكذا فإن p هي المنصف العمودي.
نظرية (الخاصية الأساسية للمنصف العمودي)
أي نقطة تقع على المنصف العمودي تكون على مسافة متساوية من نهايات المقطع.
اثبت ذلك
دليل:
النظر في المثلثات و (انظر الشكل 1). إنها مستطيلة ومتساوية ، لأن. لدينا ساق مشتركة OM ، وساقان AO و OB متساويتان حسب الشرط ، وبالتالي ، لدينا مثلثين بزاوية قائمة متساوية في ساقين. ويترتب على ذلك أن وتر المثلثات متساوية أيضًا ، أي ما كان يجب إثباته.
أرز. 1
نظرية العكس صحيحة.
نظرية
تقع كل نقطة على مسافة متساوية من نهايات مقطع ما على المنصف العمودي على هذا الجزء.
يُعطى المقطع AB ، الوسيط العمودي عليه p ، النقطة M ، على مسافة متساوية من طرفي المقطع (انظر الشكل 2).
أثبت أن النقطة M تقع على المنصف العمودي للقطعة.
أرز. 2
دليل:
لنفكر في المثلث. إنه متساوي الساقين ، حسب الشرط. ضع في اعتبارك متوسط المثلث: النقطة O هي نقطة منتصف القاعدة AB ، OM هي الوسيط. وفقًا لخاصية مثلث متساوي الساقين ، فإن الوسيط المرسوم إلى قاعدته هو ارتفاع ومنصف. ومن ثم يتبع ذلك. لكن الخط المستقيم p عمودي أيضًا على AB. نعلم أنه يمكن رسم خط عمودي واحد على القطعة AB على النقطة O ، مما يعني أن الخطين OM و p متطابقان ، ومن ثم فإن النقطة M تنتمي إلى السطر p ، الذي كان مطلوبًا لإثباته.
إذا كان من الضروري وصف دائرة حول جزء واحد ، فيمكن القيام بذلك ، وهناك عدد لا نهائي من هذه الدوائر ، لكن مركز كل منها يقع على المنصف العمودي للمقطع.
يقال إن المنصف العمودي هو موضع النقاط على مسافة متساوية من نهايات القطعة.
يتكون المثلث من ثلاثة أجزاء. لنرسم خط عمودي متوسط على اثنين منهم ونحصل على النقطة O من تقاطعهما (انظر الشكل 3).
تنتمي النقطة O إلى المنصف العمودي على الضلع BC من المثلث ، مما يعني أنها تقع على مسافة متساوية من رأسيها B و C ، دعنا نشير إلى هذه المسافة على أنها R :.
بالإضافة إلى ذلك ، تقع النقطة O على المنصف العمودي للجزء AB ، أي ، ومع ذلك ، من هنا.
وبالتالي ، فإن النقطة O الخاصة بتقاطع نقطتي وسط
أرز. 3
تقع عمودي المثلث على مسافة متساوية من رءوسه ، مما يعني أنه يقع أيضًا على المنصف العمودي الثالث.
لقد كررنا إثبات نظرية مهمة.
تتقاطع المنصفات الثلاثة العمودية للمثلث عند نقطة واحدة - مركز الدائرة المُحددة.
لذا ، فقد أخذنا في الاعتبار أول نقطة ملحوظة في المثلث - نقطة تقاطع منصفه العمودي.
دعنا ننتقل إلى خاصية الزاوية التعسفية (انظر الشكل 4).
بالنظر إلى زاوية ، منصفها AL ، فإن النقطة M تقع على المنصف.
أرز. 4
إذا كانت النقطة M تقع على منصف الزاوية ، فإنها تكون على مسافة متساوية من جانبي الزاوية ، أي أن المسافات من النقطة M إلى AC و BC لأضلاع الزاوية متساوية.
دليل:
ضع في اعتبارك المثلثات و. هذه مثلثات قائمة الزاوية ، وهي متساوية لأن. لها وتر مشترك AM ، والزوايا ومتساوية ، لأن AL هو منصف الزاوية. وهكذا ، فإن المثلثات القائمة الزاوية متساوية في الوتر والزاوية الحادة ، ومن هنا يتبع ذلك ، الذي كان مطلوبًا لإثباته. وبالتالي ، فإن النقطة الموجودة على منصف الزاوية تكون على مسافة متساوية من جانبي تلك الزاوية.
نظرية العكس صحيحة.
نظرية
إذا كانت نقطة ما على مسافة متساوية من جانبي زاوية غير ممتدة ، فإنها تقع على منصفها (انظر الشكل 5).
أعطيت زاوية غير متطورة ، النقطة M ، بحيث تكون المسافة بينها وبين جانبي الزاوية متساوية.
إثبات أن النقطة M تقع على منصف الزاوية.
أرز. 5
دليل:
المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمود العمودي. ارسم من النقطة M المتعامدة MK على الضلع AB ومن MP إلى الضلع AC.
ضع في اعتبارك المثلثات و. هذه مثلثات قائمة الزاوية ، وهي متساوية لأن. لديهم وتر مشترك AM ، والساقين MK و MR متساويتان حسب الحالة. وهكذا ، فإن المثلثات القائمة تتساوى في الوتر والساق. من المساواة بين المثلثات يتبع المساواة بين العناصر المقابلة ، والزوايا المتساوية تقع على أرجل متساوية ، وبالتالي ، 
، لذلك ، النقطة M تقع على منصف الزاوية المعطاة.
إذا كان من الضروري تسجيل دائرة بزاوية ، فيمكن القيام بذلك ، وهناك عدد لا نهائي من هذه الدوائر ، لكن مراكزها تقع على منصف الزاوية المحددة.
يقال إن المنصف هو موقع النقاط على مسافات متساوية من جوانب الزاوية.
يتكون المثلث من ثلاث زوايا. نقوم ببناء المنصفين لاثنين منهم ، نحصل على النقطة O من تقاطعهم (انظر الشكل 6).
تقع النقطة O على منصف الزاوية ، مما يعني أنها تقع على مسافة متساوية من جانبيها AB و BC ، دعنا نشير إلى المسافة على أنها r :. أيضًا ، النقطة O تقع على منصف الزاوية ، مما يعني أنها تقع على مسافة متساوية من جانبيها AC و BC: ، ، وبالتالي.
من السهل ملاحظة أن نقطة تقاطع المنصفين متساوية البعد عن جوانب الزاوية الثالثة ، مما يعني أنها تقع عليها
أرز. 6
زاوية منصف. وهكذا ، تتقاطع جميع منصفات المثلث الثلاثة عند نقطة واحدة.
لذلك ، تذكرنا إثبات نظرية مهمة أخرى.
منصفات زوايا المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة - مركز الدائرة المنقوشة.
لذا ، فقد درسنا النقطة الرائعة الثانية في المثلث - نقطة تقاطع المنصفين.
درسنا منصف الزاوية ولاحظنا خصائصه المهمة: نقاط المنصف متساوية البعد عن جوانب الزاوية ، بالإضافة إلى ذلك ، فإن مقاطع الظل المرسومة إلى الدائرة من نقطة واحدة متساوية.
دعنا نقدم بعض الرموز (انظر الشكل 7).
تشير إلى أجزاء متساوية من الظل بواسطة x و y و z. يُشار إلى الضلع BC الواقع مقابل الرأس A بالرمز a ، وبالمثل AC مثل b ، و AB مثل c.
أرز. 7
المشكلة الأولى: في المثلث ، يُعرف مقياس نصف القطر وطول الضلع أ. أوجد طول الظل المرسوم من الرأس A - AK ، والمشار إليه بـ x.
من الواضح أن المثلث غير محدد تمامًا ، وهناك العديد من هذه المثلثات ، لكن اتضح أن لديهم بعض العناصر المشتركة.
بالنسبة للمشكلات التي نتحدث فيها عن دائرة منقوشة ، يمكننا اقتراح تقنية الحل التالية:
1. ارسم منصفًا واحصل على مركز الدائرة المنقوشة.
2. من المركز O ، ارسم الخطوط العمودية على الجانبين واحصل على نقاط الاتصال.
3. قم بتمييز الظلال المتساوية.
4. اكتب العلاقة بين جانبي المثلث والظلمات.
سيلتشينكوف إيليا
مواد الدرس ، العرض التقديمي مع الرسوم المتحركة
تحميل:
معاينة:
لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com
شرح الشرائح:
خط الوسط للمثلث هو الجزء الذي يربط بين نقطتي منتصف ضلعه ويساوي نصف هذا الضلع. ووفقًا للنظرية أيضًا ، فإن خط الوسط للمثلث يوازي أحد أضلاعه ويساوي نصف هذا الضلع.
إذا كان الخط متعامدًا على أحد الخطين المتوازيين ، فإنه يكون أيضًا عموديًا على الآخر.
نقاط مثلث ملحوظة
نقطة تقاطع متوسطة لنقاط المثلث اللافتة (النقطه الوسطى من المثلث) ؛ نقطة تقاطع المنصفين ، مركز الدائرة المنقوشة ؛ نقطة تقاطع المنصفين المتعامدين ؛ نقطة تقاطع المرتفعات (orthocenter) ؛ خط أويلر ودائرة من تسع نقاط ؛ يشير جيرغون وناجل. بوينت فيرمات توريشيلي ؛
نقطة تقاطع وسطي
وسيط المثلث هو قطعة مستقيمة تربط رأس أي زاوية في المثلث بنقطة منتصف الضلع المقابل.
1. يتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة ، والتي تقسم كل وسيط بنسبة 2: 1 ، بدءًا من القمة.
دليل:
أ ب ج أ 1 ج 1 ب 1 1 2 3 4 0 2. المقطع A 1 B 1 موازٍ للجانب AB و 1/2 AB \ u003d A 1 B 1 أي AB \ u003d 2A1B1 (وفقًا لنظرية خط الوسط للمثلث) ، وبالتالي 1 \ u003d 4 و 3 \ u003d 2 ( لأنها زوايا متقاطعة داخلية مع خطوط متوازية AB و A 1 B 1 و BB 1 للقطع 1 و 4 و AA 1 لـ 3 ، 2 3. لذلك ، المثلثات AOB و A 1 OB 1 متشابهة في زاويتين ، و ، لذلك ، جوانبها متناسبة ، أي أن نسب أضلاع AO و A 1 O و BO و B 1 O و AB و A 1 B 1 متساوية. لكن AB = 2A 1 B 1 ، وبالتالي AO \ u003d 2A 1 O و BO \ u003d 2B 1 O. وهكذا ، فإن نقطة التقاطع O للمتوسطين BB 1 و AA 1 تقسم كل منهما في النسبة 2: 1 ، العد من الأعلى. تم إثبات النظرية. وبالمثل ، يمكن للمرء أن يثبت حول متوسطان آخران
يطلق على مركز الكتلة أحيانًا اسم النقطه الوسطى. هذا هو السبب في أنهم يقولون إن نقطة تقاطع الوسيط هي النقطه الوسطى للمثلث. يقع مركز كتلة الصفيحة المثلثية المتجانسة في نفس النقطة. إذا تم وضع لوحة مماثلة على دبوس بحيث يصل طرف الدبوس إلى النقطه الوسطى بالضبط من المثلث ، فستكون اللوحة في حالة توازن. كما أن نقطة تقاطع المتوسطات هي مركز دائرة مثلثها الوسيط. ترتبط خاصية مثيرة للاهتمام لنقطة تقاطع المتوسطات بالمفهوم المادي لمركز الكتلة. اتضح أنه إذا تم وضع كتل متساوية عند رؤوس المثلث ، فإن مركزها سوف يقع بالضبط عند هذه النقطة.
نقطة تقاطع المنصفين
منصف المثلث - جزء من منصف الزاوية يربط رأس إحدى زوايا المثلث بنقطة تقع على الجانب المقابل.
منصفات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة متساوية البعد من أضلاعه.
دليل:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. أشر بالحرف O إلى نقطة تقاطع المنصفين AA 1 و BB 1 للمثلث ABC. 3. دعنا نستخدم حقيقة أن كل نقطة من المنصف لزاوية غير مطوية تكون على مسافة متساوية من جوانبها والعكس صحيح: كل نقطة تقع داخل الزاوية وعلى مسافة متساوية من جانبي الزاوية تقع على منصفها. ثم OK = OL و OK = OM. هذا يعني OM \ u003d OL ، أي النقطة O متساوية البعد من جانبي المثلث ABC ، وبالتالي ، تقع على المنصف CC1 للزاوية C. 4. نتيجة لذلك ، تتقاطع جميع منصفات المثلث ABC الثلاثة عند النقطة O. K L M وقد تم إثبات النظرية. 2. ارسم من هذه النقطة الخطوط العمودية OK و OL و OM على التوالي للخطوط المستقيمة AB و BC و CA.
نقطة تقاطع المنصفات العمودية
المتوسط العمودي هو خط مستقيم يمر عبر نقطة المنتصف لقطعة معينة وعمودي عليها.
تتقاطع المنصفات العمودية على جانبي المثلث عند نقطة واحدة على مسافة متساوية من رءوس المثلث.
دليل:
B C A m n 1. قم بالإشارة بالحرف O إلى نقطة تقاطع المنصفين العموديين m و n على الجانبين AB و BC للمثلث ABC. O 2. باستخدام النظرية القائلة بأن كل نقطة في المنصف العمودي على المقطع تكون على مسافة متساوية من طرفي هذا المقطع والعكس صحيح: تقع كل نقطة على مسافة متساوية من نهايات المقطع على المنصف العمودي لها ، نحصل على ذلك OB = OA و OB = OC. 3. لذلك ، OA \ u003d OC ، أي النقطة O على مسافة متساوية من نهايات المقطع AC ، وبالتالي تقع على المنصف العمودي لهذا المقطع. 4. لذلك ، تتقاطع جميع المنصات الثلاثة العمودية m و n و p على جانبي المثلث ABC عند النقطة O. وقد تم إثبات النظرية. ص
نقطة تقاطع الارتفاعات (أو امتداداتها)
ارتفاع المثلث هو عمودي مرسوم من رأس أي زاوية في المثلث على الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل.
تتقاطع ارتفاعات المثلث أو امتداداته عند نقطة واحدة ، والتي قد تقع في المثلث ، أو قد تكون خارجه.
دليل:
دعنا نثبت أن الخطوط AA 1 و BB 1 و CC 1 تتقاطع عند نقطة واحدة. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. ارسم خطًا خلال كل رأس من رؤوس المثلث ABC موازيًا للضلع المقابل. نحصل على مثلث أ 2 ب 2 ج 2. 2. النقاط A و B و C هي نقاط المنتصف لأضلاع هذا المثلث. في الواقع ، AB \ u003d A 2 C و AB \ u003d CB 2 كأضلاع متقابلة من متوازي الأضلاع ABA 2 C و ABCB 2 ، وبالتالي A 2 C \ u003d CB 2. وبالمثل ، C 2 A \ u003d AB 2 و C 2 B \ u003d BA 2. بالإضافة إلى ذلك ، كما يلي من البناء ، CC 1 عمودي على A 2 B 2 ، AA 1 عمودي على B 2 C 2 و BB 1 متعامد مع A 2 C 2 (من النتيجة الطبيعية للخطوط المتوازية والنظرية القاطعة) . وهكذا ، فإن الخطوط AA 1 و BB 1 و CC 1 هي منصفات عمودية على جانبي المثلث A 2 B 2 C 2. لذلك ، يتقاطعان عند نقطة واحدة. لقد تم إثبات النظرية.
بارانوفا إيلينا
تناقش هذه الورقة النقاط الرائعة للمثلث ، وخصائصها وانتظامها ، مثل الدائرة التسع نقاط وخط أويلر. تم تقديم الخلفية التاريخية لاكتشاف خط أويلر والدائرة المكونة من تسع نقاط. تم اقتراح التوجه العملي لتطبيق مشروعي.
تحميل:
معاينة:
لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com
شرح الشرائح:
"نقاط المثلث الجديرة بالملاحظة". (الأسئلة التطبيقية والأساسية في الرياضيات) بارانوفا إيلينا الصف الثامن ، MKOU "المدرسة الثانوية رقم 20" Pos. نوفويزوبيلني ، تاتيانا فاسيليفنا دخانينا ، مدرس الرياضيات MKOU "المدرسة الثانوية رقم 20" Novoizobilny Settlement 2013. Municipal State Educational Institution "المدرسة الثانوية رقم 20"
الغرض: دراسة المثلث في نقاطه المميزة ، ودراسة تصنيفاته وخصائصه. المهام: 1. دراسة الأدبيات الضرورية 2. دراسة تصنيف النقاط الرائعة للمثلث 3. التعرف على خصائص النقاط الرائعة للمثلث 4. التمكن من بناء نقاط مميزة للمثلث. 5. اكتشف نطاق النقاط الرائعة. موضوع الدراسة - فرع الرياضيات - الهندسة موضوع الدراسة - علاقة المثلث: لتوسيع معرفتك بالمثلث ، وخصائص نقاطه الرائعة. الفرضية: ارتباط المثلث بالطبيعة
نقطة تقاطع الخطوط العمودية المتوسطة وهي على مسافة متساوية من رؤوس المثلث وهي مركز الدائرة المحددة. دوائر محددة حول مثلثات تكون رؤوسها نقاط منتصف أضلاع المثلث وتتقاطع رءوس المثلث عند نقطة واحدة تتزامن مع نقطة تقاطع المنصفين المتعامدين.
نقطة تقاطع المنصفين تكون نقطة تقاطع منصف المثلث على مسافة متساوية من جانبي المثلث. OM = OA = OV
نقطة تقاطع الارتفاعات تتطابق نقطة تقاطع منصف المثلث الذي تكون رؤوسه أساس الارتفاعات مع نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث.
نقطة تقاطع المتوسطات تتقاطع وسطاء المثلث عند نقطة واحدة ، والتي تقسم كل وسيط بنسبة 2: 1 ، بدءًا من القمة. إذا كانت نقطة تقاطع المتوسطات متصلة بالرؤوس ، فسيتم تقسيم المثلث إلى ثلاثة مثلثات متساوية في المساحة. من الخصائص المهمة لنقطة تقاطع المتوسطات حقيقة أن مجموع المتجهات ، التي تكون بدايتها نقطة تقاطع المتوسطات ، والنهايات هي رؤوس المثلثات ، يساوي صفرًا
نقطة Torricelli ملاحظة: توجد نقطة Torricelli إذا كانت جميع زوايا المثلث أقل من 120.
الدائرة المكونة من تسع نقاط B1 ، A1 ، C1 هي قاعدة الارتفاعات ؛ A2 ، B2 ، C2 - نقاط المنتصف للجانبين المعنيين ؛ A3 و B3 و C3 - نقاط المنتصف للمقاطع AN و BH و CH.
خط أويلر تقع نقطة تقاطع المتوسطات ، نقطة تقاطع المرتفعات ، مركز الدائرة المكونة من تسع نقاط على خط مستقيم واحد ، يسمى خط أويلر تكريما لعالم الرياضيات الذي حدد هذا النمط.
بعيدًا عن تاريخ اكتشاف النقاط الرائعة في عام 1765 ، اكتشف أويلر أن نقاط المنتصف لأضلاع المثلث وقواعد ارتفاعاته تقع على نفس الدائرة. أكثر الخصائص المدهشة لنقاط المثلث الرائعة هي أن بعضها يرتبط ببعضها البعض بنسبة معينة. تقع نقطة تقاطع المتوسطات M ، ونقطة تقاطع المرتفعات H ، ومركز الدائرة المحصورة O على نفس الخط المستقيم ، والنقطة M تقسم المقطع OH بحيث تكون النسبة OM: OH = 1: 2 أثبتت هذه النظرية من قبل ليونارد أويلر في عام 1765.
العلاقة بين الهندسة والطبيعة. في هذا الموضع ، يكون للطاقة الكامنة أصغر قيمة ومجموع المقاطع MA + MB + MS سيكون الأصغر ، ومجموع المتجهات الموجودة على هذه الأجزاء مع البداية عند نقطة Torricelli سيكون مساويًا للصفر.
استنتاجات تعلمت أنه بالإضافة إلى النقاط الرائعة لتقاطع الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات والعمودي المتوسط ، هناك أيضًا نقاط وخطوط رائعة للمثلث. يمكنني استخدام المعرفة المكتسبة حول هذا الموضوع في أنشطتي التعليمية ، وتطبيق النظريات بشكل مستقل على مشاكل معينة ، وتطبيق النظريات المدروسة في موقف حقيقي. أعتقد أن استخدام النقاط والخطوط الرائعة للمثلث في دراسة الرياضيات فعال. إن معرفتهم تسرع بشكل كبير من حل العديد من المهام. يمكن استخدام المواد المقترحة في كل من دروس الرياضيات والأنشطة اللامنهجية للطلاب في الصفوف 5-9.
معاينة:
لاستخدام المعاينة ، قم بإنشاء حساب Google لنفسك (حساب) وقم بتسجيل الدخول: