الهندسة الابتدائية - شولاستر ن.ن. علامات التوازي بين خطين

كل زاوية، حسب حجمها، لها اسمها الخاص:

نوع الزاوية	الحجم بالدرجات	مثال
حار	أقل من 90 درجة
مستقيم	يساوي 90 درجة. في الرسم، يُشار عادةً إلى الزاوية القائمة برمز مرسوم من أحد جانبي الزاوية إلى الجانب الآخر.
صريح	أكثر من 90 درجة ولكن أقل من 180 درجة
موسع	يساوي 180 درجة الزاوية المستقيمة تساوي مجموع زاويتين قائمتين، والزاوية القائمة تساوي نصف زاوية مستقيمة.
محدب	أكثر من 180 درجة ولكن أقل من 360 درجة
ممتلىء	يساوي 360 درجة

تسمى الزاويتان مجاورإذا كان بينهما ضلع واحد مشترك، والضلعان الآخران يشكلان خطاً مستقيماً:

الزوايا ممسحةو بونالمجاورة، منذ شعاع OP- الجانب المشترك، والجانبان الآخران - أومو علىتشكل خطا مستقيما.

يسمى الضلع المشترك للزوايا المتجاورة منحرف إلى مستقيمالتي يقع عليها الجانبان الآخران فقط في حالة عدم تساوي الزوايا المجاورة مع بعضها البعض. إذا كانت الزوايا المتجاورة متساوية، فإن ضلعها المشترك سيكون كذلك عمودي.

مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة.

تسمى الزاويتان رَأسِيّإذا كان أضلاع إحدى الزوايا مكملة لأضلاع الزاوية الأخرى إلى خطوط مستقيمة:

الزوايا 1 و 3، وكذلك الزاويتان 2 و 4، عمودية.

الزوايا العمودية متساوية.

لنثبت أن الزوايا الرأسية متساوية:

مجموع ∠1 و ∠2 زاوية مستقيمة. ومجموع ∠3 و∠2 زاوية مستقيمة. إذن هذين المبلغين متساويان:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

في هذه المساواة، هناك مصطلح متطابق على اليسار واليمين - ∠2. لن يتم انتهاك المساواة إذا تم حذف هذا المصطلح الموجود على اليسار واليمين. ثم نحصل عليه.

علامات التوازي بين خطين

النظرية 1. إذا، عندما يتقاطع خطان مع قاطع:

الزوايا المتقاطعة متساوية، أو

الزوايا المتناظرة متساوية، أو

إذن مجموع الزوايا أحادية الجانب هو 180 درجة

الخطوط متوازية(رسم بياني 1).

دليل. نحن نقتصر على إثبات الحالة 1.

اجعل الخطين المتقاطعين a و b متقابلين والزوايا AB متساوية. على سبيل المثال، ∠ 4 = ∠ 6. دعونا نثبت أن || ب.

لنفترض أن الخطين a وb ليسا متوازيين. ثم يتقاطعان عند نقطة ما M، وبالتالي فإن إحدى الزوايا 4 أو 6 ستكون الزاوية الخارجية للمثلث ABM. من أجل التحديد، اجعل ∠ 4 هي الزاوية الخارجية للمثلث ABM، و∠ 6 هي الزاوية الداخلية. من نظرية الزاوية الخارجية للمثلث يستنتج أن ∠ 4 أكبر من ∠ 6، وهذا يتعارض مع الشرط، مما يعني أن الخطين a و 6 لا يمكن أن يتقاطعا، لذا فهما متوازيان.

النتيجة الطبيعية 1. خطان مختلفان في المستوى المتعامد على نفس الخط متوازيان(الصورة 2).

تعليق. الطريقة التي أثبتنا بها الحالة 1 من النظرية 1 تسمى طريقة الإثبات بالتناقض أو الاختزال إلى السخافة. حصلت هذه الطريقة على اسمها الأول لأنه في بداية الحجة يتم افتراض مخالف (معاكس) لما يحتاج إلى إثباته. يطلق عليه ما يؤدي إلى العبثية لأنه من خلال التفكير على أساس الافتراض الذي تم التوصل إليه، نصل إلى نتيجة سخيفة (إلى العبثية). إن تلقي مثل هذا الاستنتاج يجبرنا على رفض الافتراض الذي تم تقديمه في البداية وقبول الافتراض الذي يحتاج إلى إثبات.

مهمة 1.أنشئ خطًا يمر بالنقطة المعطاة M وموازيًا للمستقيم المعطى a، ولا يمر بالنقطة M.

حل. نرسم خطًا مستقيمًا p عبر النقطة M عموديًا على الخط المستقيم a (الشكل 3).

ثم نرسم خطًا b عبر النقطة M عموديًا على الخط p. الخط b موازي للخط a وفقًا للنتيجة الطبيعية للنظرية 1.

استنتاج مهم يتبع من المشكلة قيد النظر:
من خلال نقطة لا تقع على خط معين، من الممكن دائمًا رسم خط موازي للخط المعطى.

الخاصية الرئيسية للخطوط المتوازية هي كما يلي.

بديهية الخطوط المتوازية. من نقطة معينة لا تقع على مستقيم معين يمر فقط خط واحد موازي للخط المعطى.

دعونا نفكر في بعض خصائص الخطوط المتوازية التي تنبع من هذه البديهية.

1) إذا قطع مستقيم أحد خطين متوازيين فإنه يتقاطع مع الآخر أيضاً (شكل 4).

2) إذا كان مستقيمان مختلفان موازيين لخط ثالث فإنهما متوازيان (شكل 5).

النظرية التالية صحيحة أيضًا.

النظرية 2. إذا تقاطع خطان متوازيان بقاطع، فإن:

الزوايا المتقاطعة متساوية؛

الزوايا المتناظرة متساوية؛

مجموع الزوايا من جانب واحد هو 180 درجة.

النتيجة الطبيعية 2. إذا كان المستقيم عموديًا على أحد المستقيمين المتوازيين، فهو أيضًا عمودي على الآخر(انظر الشكل 2).

تعليق. تسمى النظرية 2 معكوس النظرية 1. نتيجة النظرية 1 هي شرط النظرية 2. وشرط النظرية 1 هو نتيجة النظرية 2. ليس كل نظرية لها معكوس، أي إذا كانت نظرية معينة صحيح، فإن النظرية العكسية قد تكون خاطئة.

دعونا نشرح ذلك باستخدام مثال نظرية الزوايا الرأسية. يمكن صياغة هذه النظرية على النحو التالي: إذا كانت الزاويتان عموديتين، فإنهما متساويتان. النظرية العكسية هي: إذا كانت الزاويتان متساويتان، فإنهما عموديتان. وهذا بالطبع ليس صحيحا. ليس من الضروري أن تكون الزاويتان المتساويتان عموديتين.

مثال 1.خطان متوازيان يتقاطع معهما الثلث. ومن المعروف أن الفرق بين زاويتين داخليتين من جانب واحد هو 30 درجة. أوجد هذه الزوايا.

حل. دع الشكل 6 يستوفي الشرط.

حرره إيفانيتسكايا ف.ب. - م: دار النشر التعليمية والتربوية الحكومية التابعة لوزارة التربية والتعليم في جمهورية روسيا الاتحادية الاشتراكية السوفياتية، 1959. - 272 ص.
تحميل(رابط مباشر) : egnnsholaster1959.djvu السابق 1 .. 11 > .. >> التالي

إذا كانت الزوايا المتجاورة متساوية، فإن كل واحدة منها تسمى زاوية قائمة. يسمى الجانب المشترك بينهما عموديًا على الخط الذي يشكله الجانبان الآخران. يمكننا أيضًا القول إن منصف الزاوية العكسية يكون عموديًا على الخط الذي يشكله ضلعاها.

نظرية. إذا كانت الزوايا متساوية، فإن الزوايا المجاورة متساوية.

دع (ح، ك) = ^. (I، m) ودع ^ (h!، k) و ^ (/"، t) تكون الزوايا المجاورة المقابلة (الشكل 20). دع أيضًا / تكون الحركة التي يكون فيها ^ (h، k) المعروضة في (I, tri). باستخدام هذه الحركة، سيتم تعيين ^ (h, K) الموسع إلى الموسع (I, /"). ويترتب على ذلك أنه سيتم تعيين ^(h"، k) إلى ^(V, m)، أي ^(h!, k) = ^(V, m).

نظرية. هناك منصف من أي زاوية، وعلاوة على ذلك، فريد من نوعه.

دع ^(A, k) يختلف عن الموسع ولتكن منطقته الداخلية محدبة. دعونا نرسم قطعًا متساوية OA وOB على جانبيها من الرأس O (الرسم 21، أ) ونربط النقطتين A وB. في المثلث المتساوي الساقين AOB A = ^B (§ 8). ومن خلال توصيل C الأوسط للقطعة AB بالنقطة O، نحصل على مثلثين L OS وBOC متساويين في الخاصية الأولى، وبالتالي AOC = BOC، وبالتالي فإن الشعاع OS هو منصف (h, k).

إذا كانت (h,k) غير محدبة (في الرسم منطقتها الداخلية غير مظللة) فوفقاً للشكل السابق

6}
ر^

وبحسب النظرية فإن منصفه هو الشعاع m المكمل للشعاع /.

ومن تساوي المثلثين ACO وBCO يترتب على ذلك أيضًا أن ^ ACO = BCO1، أي أن الشعاع CO هو منصف زاوية معكوسة ذات ضلعين CA وCB.

دعونا الآن نعطي موسعة ^(ص،<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

يتم عرض ACB في

(ع، ف). يتم تعيين شعاع ثاني أكسيد الكربون في شعاع t. بما أن ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO و ^ACO= = (q, t)، ثم (p, t) = = ^(q, t)، أي t - منصف (p, q) ).

دع / يكون المنصف

(A، A)، وG هو شعاع اعتباطي يخرج من رأس الزاوية ويقع في منطقتها الداخلية. إذا كانت Γ تقع في المنطقة الداخلية ^(A, /)، ثم ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (أ، /). ولذلك، ^(أ،ز)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

النتيجة الطبيعية 1. هناك عمود واحد فقط على خط معين، ينطلق من نقطة معينة عليه ويقع في نصف مستوى معين يحده هذا الخط.

النتيجة الطبيعية 2. نصفي الزوايا المتساوية متساويان مع بعضهما البعض.

في الواقع، إذا كان ^(A, A) = ^(A, A")، فهناك حركة / يتم فيها تعيين أحدهما إلى الآخر. وفقًا للنظرية المثبتة، يجب أيضًا تعيين منصفاتها / و Γ لحركة معينة مع بعضها البعض. ولذلك ^(أ، /) = ^(أ"، Г).

بما أن جميع الزوايا المستقيمة متساوية، فإن الحالة الخاصة للنتيجة الطبيعية 2 هي الفرضية: جميع الزوايا القائمة متساوية مع بعضها البعض.

الخطوط المستقيمة a و A التي تشكل زوايا قائمة عند التقاطع تسمى متعامدة (a ± b).

الانعكاس من خط مستقيم. دع الخط المستقيم يقع في المستوى أ. سيتم الإشارة إلى أنصاف المستويات المتكونة في هذه الحالة بالرمزين X وp. (الشكل 22). لنأخذ الشعاع A على خط مستقيم

الخارج من النقطة O. بواسطة خاصية 6 حركات (الفقرة 7)، هناك حركة فريدة ترسم الشعاع h في نفسه ونصف المستوى X في نصف المستوى jx. جميع نقاط هذا الشعاع، وفقا لخاصية 5 حركات، يتم تعيينها في حد ذاتها. جميع نقاط الشعاع k، المكملة للشعاع المباشر h، يتم تعيينها أيضًا على نفسها.

لذلك، أثناء الحركة قيد النظر، يتم تعيين جميع نقاط الخط أ على نفسها. ومن السهل أيضًا رؤية ذلك

لنأخذ الآن نقطة خارج الخط أ.

نظرية. من أي نقطة لا تقع على خط يمر مستقيم واحد عمودي على الخط المعطى.

دليل. لتكن M نقطة تقع خارج الخط المستقيم a (الشكل 23). الخط أ يقسم المستوى المحدد بهذا الخط و

النقطة M، إلى نصفين مستويين: نصف المستوى X الذي يحتوي على النقطة M، ونصف المستوى jx. عندما تنعكس من الخط المستقيم a، يتم تعيين النقطة M إلى النقطة M" من نصف المستوى jx. وبما أن النقطتين M و M" تقعان في أنصاف مستويات مختلفة،

آه، ثم على التوالي MM" واللعنة 23

تتقاطع عند بعض

النقطة M0، والتي، عندما تنعكس، يتم تعيينها على نفسها. ويترتب على ذلك أن الخط المستقيم MM" يتم تعيينه على نفسه، وبالتالي يتم تعيين الزوايا / و 2 التي يشكلها مع الخط المستقيم a (انظر الشكل 23) إلى بعضها البعض.

يتم تعيين نصف المستوى jx إلى نصف المستوى X.

الحركة قيد النظر تسمى الانعكاس من خط مستقيم أ.

من وجود منصف زاوية عكسية يترتب على ذلك أنه من خلال أي نقطة تقع على الخط أ، من الممكن دائمًا رسم خط ب عموديًا على الخط أ.

هذا يعني أن هاتين الزاويتين متساويتان، وبما أنهما متجاورتان أيضًا، إذن MM" ± a. الآن لنرسم خطًا مستقيمًا آخر عبر M، يتقاطع مع الخط a عند نقطة ما Af0. سيتم تعيينه في الخط M "N0، سيتم تعيين ^ MN0M0 في M"N0M0. لذا، ^ 3 = ^i4. ولكن بحكم البديهية 1 (§ 2)، فإن النقطتين M1 N0 وM" لا تقعان على نفس الخط المستقيم، و وبالتالي فإن مجموع الزاويتين 3 و 4، أي ^ MN0M، ليس زاوية معكوسة. ويترتب على ذلك أن الزاويتين 3 و 4 تختلفان عن الزاوية القائمة وأن الخط المستقيم MN0 لن يكون متعامدًا مع الخط المستقيم أ. الخط المستقيم MM" هو الخط المستقيم الوحيد المتعامد مع a ويمر عبر النقطة M.

الزوايا.

مفاهيم أساسية.

ركنهو شكل يتكون من شعاعين ينبعثان من نقطة واحدة.

الزاوية العليا- هذه هي النقطة التي يخرج منها شعاعان يشكلان هذه الزاوية.

منصف- وهو الشعاع الذي يخرج من أعلى الزاوية فيقسم الزاوية إلى نصفين.

زاوية قائمة- هي الزاوية التي يقع ضلعاها على مستوى واحد؛ يساوي 180؟ وهو مستقيم.

زاوية مستقيمة- هذه زاوية تساوي نصف الزاوية المفتوحة؛ يساوي 90؟.

زاوية حادةهي زاوية أقل من الزاوية القائمة.

زاوية منفرجة- وهذه زاوية أكبر من الزاوية القائمة، ولكنها أصغر من الزاوية المستقيمة.

الزاوية تقسم المستوى إلى قسمين. ويسمى كل جزء زاوية مسطحة.

تسمى الزوايا المستوية ذات الجوانب المشتركة إضافي.

إذا كانت الزاوية المستوية جزءًا من نصف مستوي، فإن قياس درجتها يسمى قياس درجة زاوية عادية لها نفس الجوانب.

إذا كانت الزاوية المستوية تحتوي على نصف مستوي، فإن قياس درجتها يساوي 360 درجة - α، حيث α هو قياس درجة زاوية مستوية إضافية.

زوايا متساوية.

هذه هي الزوايا التي تتطابق عند فرضها.

الزوايا المجاورة.

تسمى الزاويتان مجاور، إذا كان لديهم جانب واحد مشترك، والأضلاع الأخرى لهذه الزوايا هي أنصاف خطوط إضافية.

الزوايا في الصورة (إعلان)و (قرص مضغوط)مجاور. لديهم الجانب دالعام، والجوانب أو ج- خطوط نصف مستقيمة إضافية.

نظرية:

مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة.

من النظرية يلي:

إذا كانت زاويتان متساويتان، فإن الزوايا المجاورة لهما متساوية.

إذا لم يتم تدوير الزاوية، فإن قياس درجتها يكون أقل من 180 درجة.

الزاوية المجاورة لزاوية قائمة هي زاوية قائمة.

الزوايا العمودي.

تسمى الزاويتان رَأسِيّإذا كانت أضلاع إحدى الزوايا أنصاف خطوط مكملة لجوانب الأخرى. وهما ينشأان من تقاطع خطين مستقيمين وغير متجاورين، ولهما قمة مشتركة وقياس درجة واحدة.

في الشكل، الزاويتان (أ 1 ب 1) و (أ 2 ب 2) رأسيتان. الضلعان A 2 و B 2 من الزاوية الثانية هما خطان نصف مستقيمان متكاملان من الضلعين A 1 و B 1 من الزاوية الأولى.

نظرية:

الزوايا العمودية متساوية.

الزاوية المركزية.

الزاوية المركزيةفي الدائرة زاوية مسطحة يوجد رأسها في مركزها (الشكل 1).

يسمى الجزء من الدائرة الواقع داخل الزاوية المستوية قوس الدائرة، المقابلة لهذه الزاوية المركزية (في الشكل 1، القوس AB هو قوس من الدائرة).

قياس الدرجةيسمى قوس الدائرة قياس درجة الزاوية المركزية المقابلة.

الزوايا المدرجة في دائرة.

تسمى الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها مع هذه الدائرة مكتوب في دائرة(الصورة 2).

ملكيات:

الزوايا الواقعة عند تقاطع خطين مستقيمين مع ثالث.

عندما تتقاطع الخطوط أو بقاطع جيتم تشكيل ثماني زوايا، والتي يشار إليها بالأرقام في الشكل. بعض أزواج هذه الزوايا لها أسماء خاصة:
الزوايا المقابلة: 1 و5، 4 و8، 2 و6، 3 و7؛

زوايا عرضية: 3 و 5 و 4 و 6؛
زوايا أحادية الجانب: 4 و 5 و 3 و 6.