رقم ثابت أمُسَمًّى حد تسلسلات(x n ) إذا كان لأي رقم موجب صغير بشكل تعسفيε > 0 هناك عدد N بحيث تكون جميع القيم س ن، والتي n>N تحقق عدم المساواة
|x ن - أ|< ε. (6.1)
اكتبها على النحو التالي: أو x n →أ.
عدم المساواة (6.1) يعادل عدم المساواة المزدوجة
أ-ε< x n < a + ε, (6.2)
وهو ما يعني أن النقاط س ن، بدءًا من رقم ما n>N، يقع داخل الفترة (a-ε، أ + ε )، أي. تقع في أي صغيرةε -حي النقطة أ.
يسمى التسلسل الذي له حد متقاربة، خلاف ذلك - متشعب.
مفهوم حد الدالة هو تعميم لمفهوم حد التسلسل، إذ يمكن اعتبار حد التسلسل بمثابة حد الدالة x n = f(n) لوسيطة عدد صحيح ن.
دع الدالة f(x) تعطى ودعها أ - نقطة الحدمجال تعريف هذه الوظيفة D(f)، أي. مثل هذه النقطة، أي حي يحتوي على نقاط من المجموعة D(f) مختلفة عنها أ. نقطة أقد تنتمي أو لا تنتمي إلى المجموعة D(f).
التعريف 1.يسمى الرقم الثابت A حد المهامو (خ) فيس →a if لأي تسلسل (x n) لقيم الوسيطة التي تميل إلى أ، فإن التسلسلات المقابلة (f(x n)) لها نفس الحد A.
ويسمى هذا التعريف تحديد نهاية الدالة حسب هاين،أو " بلغة التسلسل”.
التعريف 2. يسمى الرقم الثابت A حد المهامو (خ) فيس →a if، نظرا لعدد موجب صغير تعسفيا ε، يمكن للمرء أن يجد مثل δ>0 (اعتمادًا على ε)، والتي للجميع سالكذب فيε-أحياء عدد أ، أي. ل سإرضاء عدم المساواة
0 <
س-أ< ε
، ستكون قيم الدالة f(x) موجودةε-حي الرقم A، أي.|f(x)-أ|<
ε.
ويسمى هذا التعريف تحديد نهاية الدالة حسب كوشي،أو "في اللغة ε - δ “.
التعريفان 1 و 2 متساويان. إذا كانت الدالة f(x) كـ x →لديه حديساوي A، وهذا هو مكتوب كما
. (6.3)
في حالة زيادة (أو نقصان) التسلسل (f(x n)) إلى أجل غير مسمى لأي طريقة تقريبية سإلى الحد الخاص بك أ، فسنقول أن الدالة f(x) لها الحد اللانهائي،واكتبها على النحو التالي:
يسمى المتغير (أي تسلسل أو دالة) الذي حده صفر صغيرة بلا حدود.
يسمى المتغير الذي حده يساوي ما لا نهاية كبيرة بلا حدود.
لإيجاد النهاية عمليًا، استخدم النظريات التالية.
النظرية 1 . إذا كان كل حد موجودا
(6.4)
(6.5)
(6.6)
تعليق. تعبيرات مثل 0/0، ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - غير مؤكدة، على سبيل المثال، النسبة بين كميتين متناهيتين في الصغر أو كبيرتين بشكل لا نهائي، وإيجاد حد من هذا النوع يسمى "الكشف عن عدم اليقين".
النظرية 2. (6.7)
أولئك. من الممكن المرور إلى النهاية عند قاعدة الدرجة عند أس ثابت، على وجه الخصوص، 
;
(6.8)
(6.9)
النظرية 3.
(6.10)
(6.11)
أين ه » 2.7 هو أساس اللوغاريتم الطبيعي. تسمى الصيغ (6.10) و (6.11) بالصيغة الأولى حد رائعوالحد الثاني الملحوظ.
تُستخدم النتائج الطبيعية للصيغة (6.11) أيضًا في الممارسة العملية:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
على وجه الخصوص الحد
إذا س → a وفي نفس الوقت x > a، ثم اكتب x→a + 0. إذا كان a = 0، على وجه الخصوص، فبدلاً من الرمز 0+0 يتم كتابة +0. وبالمثل، إذا كان x→أ وفي نفس الوقت س 
ويتم تسميتهم وفقًا لذلك. الحد الصحيحو الحد الأيسر المهامو (خ) عند هذه النقطة أ. لكي تكون نهاية الدالة f(x) موجودة كـ x→أ ضروري وكافي ل 
. يتم استدعاء الدالة f(x). مستمر عند هذه النقطة× 0 إذا كان الحد
. (6.15)
يمكن إعادة كتابة الشرط (6.15) على النحو التالي:
,
أي أن المرور إلى النهاية تحت إشارة الدالة ممكن إذا كانت مستمرة عند نقطة معينة.
إذا تم انتهاك المساواة (6.15)، فإننا نقول ذلك فيس = س وظيفةو (خ) لقد فجوة.خذ بعين الاعتبار الدالة y = 1/x. مجال هذه الدالة هو المجموعة ر، باستثناء x = 0. النقطة x = 0 هي نقطة النهاية للمجموعة D(f)، لأنه في أي من أحياءها، أي، أي فترة مفتوحة تحتوي على النقطة 0 تحتوي على نقاط من D(f)، ولكنها لا تنتمي في حد ذاتها إلى هذه المجموعة. لم يتم تعريف القيمة f(x o)= f(0)، وبالتالي فإن الدالة لها انقطاع عند النقطة x o = 0.
يتم استدعاء الدالة f(x). مستمرة على اليمين عند نقطة ماس س إذا كان الحد
,
و مستمر على اليسار عند نقطة ماس س إذا كان الحد
.
استمرارية الدالة عند نقطة ما س سيعادل استمرارها عند هذه النقطة على اليمين وعلى اليسار.
لكي تكون الدالة مستمرة عند نقطة ما س سعلى سبيل المثال، على اليمين، من الضروري أولاً أن يكون هناك حد منتهٍ، وثانيًا، أن يكون هذا الحد مساويًا لـ f(x o). لذلك، إذا لم يتم استيفاء أحد هذين الشرطين على الأقل، فستكون للدالة فجوة.
1. إذا كانت النهاية موجودة ولا تساوي f(x o) فإنهم يقولون ذلك وظيفةو (خ) عند هذه النقطةاكسو لديه كسر من النوع الأول,أو القفز.
2. إذا كان الحد+∞ أو -∞ أو غير موجود فنقول ذلك في نقطةس س الوظيفة لديها استراحة النوع الثاني.
على سبيل المثال، الدالة y = ctg x عند x→ +0 له حد يساوي +∞وبالتالي، عند النقطة x=0 يوجد انقطاع من النوع الثاني. الدالة y = E(x) (جزء صحيح من س) عند النقاط التي بها عدد صحيح من الإحداثيات يوجد انقطاعات من النوع الأول، أو قفزات.
تسمى الدالة المستمرة عند كل نقطة من الفترة مستمرالخامس . يتم تمثيل الوظيفة المستمرة بمنحنى متصل.
العديد من المشاكل المرتبطة بالنمو المستمر لبعض الكمية تؤدي إلى الحد الملحوظ الثاني. وتشمل هذه المهام، على سبيل المثال: نمو المساهمة وفقا لقانون الفائدة المركبة، ونمو سكان البلاد، واضمحلال مادة مشعة، وتكاثر البكتيريا، وما إلى ذلك.
يعتبر مثال يا آي بيرلمانالذي يعطي تفسير الرقم هفي مسألة الفائدة المركبة. رقم ههناك حد 
. وفي بنوك الادخار، تضاف أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت سنويا. إذا تم الاتصال في كثير من الأحيان، فإن رأس المال ينمو بشكل أسرع، حيث يشارك مبلغ كبير في تكوين الفائدة. لنأخذ مثالًا نظريًا بحتًا ومبسطًا للغاية. دع البنك يضع 100 دن. وحدات بمعدل 100% سنويا. إذا تمت إضافة الأموال التي تحمل فائدة إلى رأس المال الثابت فقط بعد عام، ففي هذا الوقت 100 دن. وحدات سوف تتحول إلى 200 دن. الآن دعونا نرى ما سيتحول إليه 100 دن. الوحدات إذا أضيفت الفوائد إلى رأس المال الثابت كل ستة أشهر. بعد نصف عام 100 دن. وحدات تنمو حتى 100×
1.5 = 150، وبعد ستة أشهر أخرى - عند 150×
1.5 \u003d 225 (دن. الوحدات). إذا تم الانضمام كل ثلث العام، فبعد عام 100 دن. وحدات تتحول إلى 100× (1 +1/3) 3 » 237 (دن. الوحدات). سوف نقوم بزيادة الإطار الزمني لإضافة أموال الفائدة إلى 0.1 سنة، 0.01 سنة، 0.001 سنة، وهكذا. ثم من أصل 100 دن. وحدات بعد سنة:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (الوحدات)،
100 × (1+1/100) 100 » 270 (الوحدات)،
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (الوحدات).
ومع التخفيض غير المحدود في شروط ضم الفوائد، فإن رأس المال المستحق لا ينمو إلى أجل غير مسمى، ولكنه يقترب من حد معين يساوي حوالي 271. ولا يمكن لرأس المال الموضوع بنسبة 100% سنويًا أن يزيد أكثر من 2.71 مرة، حتى لو كانت الفائدة المستحقة تضاف إلى رأس المال كل ثانية لأن الحد
مثال 3.1.باستخدام تعريف نهاية التسلسل الرقمي، أثبت أن التسلسل x n =(n-1)/n له نهاية تساوي 1.
حل.نحن بحاجة إلى إثبات ذلك مهما كانε > 0 نأخذه، لأنه يوجد عدد طبيعي N بحيث يكون لجميع n N عدم المساواة|xn-1|< ε.
خذ أي e > 0. منذ ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n، إذن لإيجاد N يكفي حل المتراجحة 1/n< ه. ومن ثم ن> 1/ ه وبالتالي، يمكن اعتبار N جزءًا صحيحًا من 1/ه , ن = ه(1/ ه ). وبذلك أثبتنا أن الحد .
مثال 3.2
. أوجد نهاية المتتابعة المعطاة بمصطلح مشترك 
.
حل.طبِّق نظرية المجموع النهائي وأوجد نهاية كل حد. ل ن→ ∞ يميل البسط والمقام لكل حد إلى ما لا نهاية، ولا يمكننا تطبيق نظرية نهاية القسمة بشكل مباشر. لذلك، نقوم بالتحويل أولاً س ن، قسمة بسط ومقام الحد الأول على ن 2، والثانية ن. وبعد ذلك، وبتطبيق نظرية حد القسمة ونظرية مجموع الحد، نجد:
.
مثال 3.3. 
. يجد .
حل. 
.
لقد استخدمنا هنا نظرية حد الدرجة: نهاية الدرجة تساوي درجة نهاية القاعدة.
مثال 3.4
. يجد ( 
).
حل.من المستحيل تطبيق نظرية نهاية الفرق، حيث أن لدينا عدم يقين في النموذج ∞-∞ . دعونا نحول صيغة المصطلح العام:
.
مثال 3.5 . بالنظر إلى دالة f(x)=2 1/x . أثبت أن الحد غير موجود.
حل.نستخدم التعريف 1 لحد الدالة من حيث التسلسل. خذ تسلسلًا ( x n ) متقاربًا إلى 0، أي دعونا نوضح أن القيمة f(x n)= تتصرف بشكل مختلف بالنسبة للتسلسلات المختلفة. دع س ن = 1/ن. ومن الواضح، ثم الحد 
دعونا نختار الآن كما س نتسلسل بمصطلح مشترك x n = -1/n، ويميل أيضًا إلى الصفر. 
ولذلك، ليس هناك حد.
مثال 3.6 . أثبت أن الحد غير موجود.
حل.دع x 1 , x 2 ,..., x n ,... يكون تسلسلاً له
. كيف يتصرف التسلسل (f(x n)) = (sin x n ) لمختلف x n → ∞
إذا x n \u003d p n، ثم sin x n \u003d sin p ن = 0 للجميع نوالحد إذا
س ن = 2 p n+ p /2، ثم sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 للجميع نومن هنا الحد. وبالتالي غير موجود.
القطعة لحساب الحدود على الانترنت
في المربع العلوي، بدلاً من sin(x)/x، أدخل الدالة التي تريد العثور على حدها. في المربع السفلي، أدخل الرقم الذي يميل إليه x وانقر فوق الزر "حسابي"، واحصل على الحد المطلوب. وإذا قمت بالنقر فوق "إظهار الخطوات" في الزاوية اليمنى العليا في نافذة النتيجة، فسوف تحصل على حل مفصل.
قواعد لإدخال الوظائف: sqrt(x) - الجذر التربيعي، cbrt(x) - الجذر التكعيبي، exp(x) - الأس، ln(x) - اللوغاريتم الطبيعي، sin(x) - جيب التمام، cos(x) - جيب التمام، tan (x) - الظل، cot(x) - ظل التمام، arcsin(x) - arcsine، arccos(x) - arccosine، arctan(x) - ظل قوسي. العلامات: * الضرب، / القسمة، ^ الأس، بدلا من ما لا نهايةما لا نهاية. مثال: تم إدخال الدالة بالشكل sqrt(tan(x/2)).
حل حدود الوظائف عبر الإنترنت. أوجد القيمة الحدية لدالة أو تسلسل وظيفي عند نقطة ما، واحسبها الحدقيمة الدالة عند اللانهاية تحديد تقارب سلسلة أرقام ويمكن القيام بالمزيد بفضل خدمتنا عبر الإنترنت -. نحن نسمح لك بالعثور على حدود الوظائف عبر الإنترنت بسرعة وبدقة. أنت تقوم بنفسك بإدخال متغير الدالة والحد الذي تطمح إليه، خدمتنا تقوم بجميع الحسابات نيابة عنك، مع إعطاء إجابة دقيقة وبسيطة. ولل العثور على الحد على الانترنتيمكنك إدخال كل من السلاسل العددية والدوال التحليلية التي تحتوي على ثوابت في تعبير حرفي. في هذه الحالة، سيحتوي حد الدالة التي تم العثور عليها على هذه الثوابت كوسائط ثابتة في التعبير. خدمتنا تحل أي مشاكل معقدة في البحث حدود على الانترنتيكفي تحديد الوظيفة والنقطة التي يجب حسابها عندها حد الوظيفة. الحوسبة حدود على الانترنت، يمكنك استخدام طرق وقواعد مختلفة لحلها، أثناء مقارنة النتيجة بها الحد من الحل على الانترنتعلى www.site، الأمر الذي سيؤدي إلى إكمال المهمة بنجاح - سوف تتجنب أخطائك وأخطاءك المطبعية. أو يمكنك أن تثق بنا تمامًا وتستخدم نتائجنا في عملك، دون بذل المزيد من الجهد والوقت في الحسابات المستقلة لحد الوظيفة. نحن نسمح بإدخال القيم الحدية مثل اللانهاية. يجب عليك إدخال مصطلح مشترك للتسلسل الرقمي و www.siteسوف يحسب القيمة الحد على الانترنتإلى زائد أو ناقص اللانهاية.
أحد المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي هو حد الوظيفةو حد التسلسلعند نقطة ما وعند اللانهاية، من المهم أن تكون قادرًا على الحل بشكل صحيح حدود. مع خدمتنا لن يكون الأمر صعبا. يتم اتخاذ القرار حدود على الانترنتوفي غضون ثوان، تكون الإجابة دقيقة وكاملة. تبدأ دراسة حساب التفاضل والتكامل ب العبور إلى الحد, حدودتُستخدم في جميع أقسام الرياضيات العليا تقريبًا، لذلك من المفيد أن يكون لديك خادم في متناول اليد حلول الحد على الانترنتوهو الموقع.
وظيفةص=و (خ)يُطلق على القانون (القاعدة) الذي بموجبه يرتبط كل عنصر x من المجموعة X بعنصر واحد فقط y من المجموعة Y .
العنصر س ∈ سمُسَمًّى حجة الوظيفةأو متغير مستقل.
عنصر ذ ∈ صمُسَمًّى قيمة الوظيفةأو المتغير التابع.
تسمى المجموعة X نطاق الوظيفة.
مجموعة من العناصر ذ ∈ ص، والتي تحتوي على صور أولية في المجموعة X، تسمى منطقة أو مجموعة من قيم الوظيفة.
يتم استدعاء الوظيفة الفعلية محدود من الأعلى (من الأسفل)، إذا كان هناك رقم M بحيث ينطبق عدم المساواة التالي على الجميع:
.
يتم استدعاء وظيفة الرقم محدود، إذا كان هناك رقم M بحيث يكون للجميع:
.
الوجه العلويأو الحد الأعلى الدقيقتسمى الوظيفة الحقيقية أصغر الأرقام التي تحدد نطاق قيمها من الأعلى. أي أن هذا هو الرقم s الذي يوجد له مثل هذه الوسيطة للجميع ولأي شخص، حيث تتجاوز قيمة دالته s' : .
يمكن تحديد الحد الأعلى للدالة على النحو التالي:
.
على التوالى الوجه السفليأو الحد الأدنى الدقيقتسمى الوظيفة الحقيقية بأكبر الأرقام التي تحدد نطاق قيمها من الأسفل. أي أن هذا رقم i الذي يوجد من أجله الجميع ومن أجل أي وسيطة، حيث تكون قيمة الدالة أقل من i' : .
يمكن الإشارة إلى الحد الأدنى للدالة على النحو التالي:
.
تحديد نهاية الوظيفة
تعريف حد كوشي للدالة
حدود الوظيفة المحدودة عند نقاط النهاية
دع الدالة يتم تعريفها في بعض المناطق المجاورة لنقطة النهاية، ربما باستثناء النقطة نفسها. عند هذه النقطة، إذا كان هناك أي شيء، اعتمادًا على ذلك، بالنسبة للجميع x، والذي يكون فيه عدم المساواة
.
يُشار إلى حد الدالة على النحو التالي:
.
او عند .
باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية، يمكن كتابة تعريف نهاية الدالة على النحو التالي:
.
الحدود الأحادية.
الحد الأيسر عند النقطة (حد الجانب الأيسر):
.
الحد الأيمن عند نقطة ما (الحد الأيمن):
.
غالبًا ما يُشار إلى الحدود الموجودة على اليسار واليمين على النحو التالي:
;
.
الحدود المحدودة للدالة عند نقاط اللانهاية
يتم تعريف الحدود عند النقاط البعيدة بشكل لا نهائي بطريقة مماثلة.
.
.
.
وغالبا ما يشار إليهم على النحو التالي:
;
;
.
باستخدام مفهوم حي نقطة
إذا قدمنا مفهوم الحي المثقوب لنقطة ما، فيمكننا إعطاء تعريف موحد للحد المحدود للدالة عند النقاط المحدودة واللانهاية:
.
هنا لنقاط النهاية
;
;
.
يتم ثقب أي أحياء من النقاط عند اللانهاية:
;
;
.
حدود الوظيفة اللانهائية
تعريف
دع الوظيفة يتم تعريفها في بعض المناطق المثقوبة لنقطة ما (محدودة أو لا نهاية لها). حد الوظيفة f (خ)مثل س → س 0
يساوي اللانهاية، إذا كان لأي عدد كبير بشكل تعسفي M > 0
، يوجد رقم δ M > 0
، اعتمادًا على M ، أنه بالنسبة لجميع x التي تنتمي إلى حي δ M المثقوب للنقطة: فإن عدم المساواة التالية يحمل:
.
يتم تعريف الحد اللانهائي على النحو التالي:
.
او عند .
باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية، يمكن كتابة تعريف الحد اللانهائي للدالة على النحو التالي:
.
ومن الممكن أيضًا تقديم تعريفات للحدود اللانهائية لعلامات معينة تساوي و :
.
.
التعريف العالمي لحد الوظيفة
باستخدام مفهوم جوار نقطة ما، يمكن للمرء أن يعطي تعريفًا عالميًا للحد المحدود وغير المحدود للدالة، والذي ينطبق على كل من النقاط المحدودة (ثنائية الجانب وأحادية الجانب) وعلى النقاط البعيدة بلا حدود:
.
تعريف نهاية الدالة حسب هاينه
دع الوظيفة يتم تعريفها على بعض المجموعة X : .
الرقم a يسمى حد الدالةعند نقطة :
,
إذا كان لأي تسلسل يتقارب إلى x 0
:
,
التي تنتمي عناصرها إلى المجموعة X : ,
.
ونكتب هذا التعريف باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية:
.
إذا أخذنا المجموعة X في الحي الأيسر للنقطة x 0 ، ثم نحصل على تعريف الحد الأيسر. وإذا كانت أيمنًا، فسنحصل على تعريف النهاية اليمنى. إذا أخذنا جوار نقطة ما عند اللانهاية كمجموعة X، فسنحصل على تعريف نهاية الدالة عند اللانهاية.
نظرية
تعريفات كوشي وهاين لحد الدالة متكافئة.
دليل
خصائص ونظريات نهاية الوظيفة
علاوة على ذلك، نفترض أن الوظائف قيد النظر محددة في الحي المقابل للنقطة، وهو عدد منتهٍ أو أحد الرموز: . ويمكن أيضًا أن تكون نقطة حد أحادية الجانب، أي أن يكون لها النموذج أو . والجوار ذو طرفين لحد ذو طرفين وذو طرف واحد لحد ذو طرفين.
الخصائص الأساسية
إذا كانت قيم الدالة f (خ)التغيير (أو جعله غير محدد) عند عدد محدود من النقاط x 1 , × 2 , × 3 , ... × نفإن هذا التغيير لن يؤثر على وجود وقيمة نهاية الدالة عند نقطة عشوائية x 0 .
إذا كان هناك حد منتهٍ، فهناك مثل هذا الحي المثقوب للنقطة x 0
، حيث تكون الدالة f (خ)محدود:
.
دع الدالة تكون عند النقطة x 0
حد النهاية بخلاف الصفر:
.
ثم، بالنسبة لأي رقم c من الفاصل الزمني، يوجد مثل هذا الحي المثقوب للنقطة x 0
لأي غرض،
، لو ؛
، لو .
إذا كان ثابتًا في بعض المناطق المثقوبة للنقطة.
إذا كانت هناك حدود محدودة وعلى بعض الأحياء المثقوبة للنقطة x 0
,
الذي - التي .
إذا , وعلى بعض أحياء هذه النقطة
,
الذي - التي .
على وجه الخصوص، إذا كان على بعض أحياء هذه النقطة
,
ثم إذا، ثم و؛
إذا ، ثم و .
إذا كان على بعض الحي المثقوب للنقطة x 0
:
,
وهناك حدود متساوية محدودة (أو لا نهائية لعلامة معينة):
، الذي - التي
.
يتم تقديم أدلة على الخصائص الرئيسية على الصفحة
“الخصائص الأساسية لحدود الوظيفة”.
الخصائص الحسابية لنهاية الدالة
دع الوظائف يتم تعريفها في بعض المناطق المثقوبة من النقطة. وليكن هناك حدود محدودة:
و .
وليكن C ثابتًا، أي رقمًا محددًا. ثم
;
;
;
، لو .
اذا ثم .
يتم تقديم البراهين على الخصائص الحسابية على الصفحة
“الخصائص الحسابية لحدود الدالة”.
معيار كوشي لوجود نهاية الدالة
نظرية
من أجل تحديد دالة على بعض الأحياء المثقوبة لنقطة محدودة أو عند نقطة اللانهاية x 0
، كان لها حد محدود في هذه المرحلة، فمن الضروري والكافي لأي ε > 0
كان هناك مثل هذا الحي المثقوب للنقطة x 0
، أنه بالنسبة لأي نقطة ومن هذا الحي، فإن التباين التالي يحمل:
.
حد الوظيفة المعقدة
نظرية حدود الوظيفة المعقدة
دع الدالة لها حد وقم بتعيين الحي المثقوب للنقطة على الحي المثقوب للنقطة. ولتكن الدالة محددة على هذا الحي ولها حد لها.
هنا - النقاط النهائية أو البعيدة بلا حدود: . يمكن للأحياء والحدود المقابلة لها أن تكون ذات جانبين أو من جانب واحد.
ثم هناك نهاية للدالة المعقدة وهي تساوي:
.
تنطبق نظرية حد الوظيفة المعقدة عندما لا يتم تعريف الدالة عند نقطة ما أو عندما يكون لها قيمة أخرى غير القيمة الحدية. لتطبيق هذه النظرية يجب أن يكون هناك حي مثقوب للنقطة التي لا تحتوي عليها مجموعة قيم الدالة على النقطة :
.
إذا كانت الدالة متصلة عند النقطة، فيمكن تطبيق علامة النهاية على وسيطة الدالة المستمرة:
.
وفيما يلي نظرية المقابلة لهذه الحالة.
نظرية نهاية الدالة المستمرة للدالة
يجب أن يكون هناك حد للدالة g (ر)كما ر → ر 0
، وهو يساوي x 0
:
.
هنا النقطة ر 0
يمكن أن يكون محدودًا أو لا نهاية له: .
ودع الدالة f (خ)مستمر عند x 0
.
ثم هناك نهاية للدالة المركبة f (ز (ر))، وهو يساوي f (×0):
.
يتم تقديم البراهين على النظريات على الصفحة
“حدود واستمرارية الوظيفة المعقدة”.
وظائف متناهية الصغر وكبيرة بلا حدود
وظائف صغيرة بلا حدود
تعريف
تسمى الدالة متناهية الصغر من أجل if
.
المجموع والفرق والمنتجلعدد محدود من الوظائف الصغيرة بلا حدود ل هي وظيفة متناهية الصغر ل .
منتج دالة محدودةعلى بعض الحي المثقوب للنقطة، إلى متناهية الصغر for هي دالة متناهية الصغر لـ for.
لكي يكون للدالة حد منتهٍ، فمن الضروري والكافي أن يكون ذلك
,
أين هي وظيفة متناهية الصغر ل .
“خصائص الوظائف متناهية الصغر”.
وظائف كبيرة بلا حدود
تعريف
تسمى الدالة كبيرة بلا حدود لـ if
.
مجموع أو اختلاف دالة محدودة، في بعض الأحياء المثقوبة للنقطة، ووظيفة كبيرة بلا حدود عند هي دالة كبيرة بلا حدود عند .
إذا كانت الدالة كبيرة بشكل لا نهائي عند ، وكانت الدالة محدودة في بعض المناطق المثقوبة للنقطة، إذن
.
إذا كانت الدالة، في بعض المناطق المثقوبة من النقطة، ترضي عدم المساواة:
,
والدالة صغيرة بلا حدود لـ:
، و (على بعض الحي المثقوب من النقطة)، إذن
.
إثباتات الممتلكات مذكورة في القسم
“خصائص الوظائف الكبيرة بلا حدود”.
العلاقة بين الوظائف الكبيرة بلا حدود والدوال الصغيرة بلا حدود
العلاقة بين الوظائف الكبيرة بلا حدود والوظائف الصغيرة بلا حدود تأتي من الخاصيتين السابقتين.
إذا كانت الدالة كبيرة بشكل لا نهائي عند , فإن الدالة تكون صغيرة بشكل لا نهائي عند .
إذا كانت الدالة صغيرة بلا حدود لـ و، فإن الدالة كبيرة بلا حدود لـ .
يمكن التعبير عن العلاقة بين الدالة المتناهية الصغر والدالة الكبيرة بشكل رمزي:
,
.
إذا كانت الدالة متناهية الصغر لها علامة محددة عند، أي أنها موجبة (أو سالبة) على بعض المناطق المثقوبة للنقطة، فيمكن التعبير عن هذه الحقيقة على النحو التالي:
.
وبنفس الطريقة، إذا كانت دالة كبيرة بشكل لا نهائي لها إشارة معينة عند، فإنهم يكتبون:
.
ومن ثم يمكن استكمال العلاقة الرمزية بين الوظائف الصغيرة والكبيرة بشكل لا نهائي بالعلاقات التالية:
,
,
,
.
يمكن العثور على صيغ إضافية تتعلق برموز اللانهاية على الصفحة
“النقاط إلى اللانهاية وخصائصها”.
حدود الوظائف الرتيبة
تعريف
يتم استدعاء دالة محددة على مجموعة من الأعداد الحقيقية X زيادة صارمة، إذا كان للجميع أن عدم المساواة التالية تحمل:
.
وفقا لذلك، ل يتناقص بشدةدالة، فإن عدم المساواة التالية يحمل:
.
ل غير متناقصة:
.
ل غير متزايدة:
.
وهذا يعني أن الدالة المتزايدة بشكل صارم هي أيضًا غير متناقصة. الدالة المتناقصة بشكل صارم هي أيضًا غير متزايدة.
يتم استدعاء الدالة رتيبإذا كانت غير متناقصة أو غير متزايدة.
نظرية
دع الدالة لا تنقص على الفاصل الزمني حيث .
وإذا كان محدداً من الأعلى بالرقم م: فإن هناك حداً منتهياً. إذا لم يكن يحدها أعلاه، ثم .
وإذا كان محدداً من الأسفل بالرقم م: فإن هناك حداً منتهياً. إذا لم يحدها أدناه، ثم .
إذا كانت النقطتان a وb عند اللانهاية، فإن علامات النهاية في التعبيرات تعني ذلك.
يمكن صياغة هذه النظرية بشكل أكثر إحكاما.
دع الدالة لا تنقص على الفاصل الزمني حيث . ثم هناك حدود أحادية الجانب عند النقطتين أ و ب:
;
.
نظرية مماثلة لوظيفة غير متزايدة.
دع الدالة لا تزيد على الفاصل الزمني حيث . ثم هناك حدود من جانب واحد:
;
.
تم ذكر إثبات النظرية في الصفحة
“حدود الوظائف الرتيبة”.
مراجع:
إل دي. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 2003.
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 1983.
الرياضيات هي العلم الذي يبني العالم. كل من العالم والرجل العادي - لا يستطيع أحد الاستغناء عنه. أولاً، يتم تعليم الأطفال الصغار العد، ثم الجمع والطرح والضرب والقسمة، في المدرسة المتوسطة، تلعب تسميات الحروف دورًا، وفي المدرسة الأكبر سنًا لم يعد من الممكن الاستغناء عنها.
لكن اليوم سنتحدث عما تقوم عليه جميع الرياضيات المعروفة. حول مجتمع الأرقام يسمى "حدود التسلسل".
ما هي المتواليات وأين حدودها؟
ليس من الصعب تفسير معنى كلمة "تسلسل". هذا هو بناء الأشياء، حيث يوجد شخص ما أو شيء ما في ترتيب أو قائمة انتظار معينة. على سبيل المثال، قائمة الانتظار للحصول على تذاكر حديقة الحيوان هي تسلسل. ويمكن أن يكون هناك واحد فقط! على سبيل المثال، إذا نظرت إلى قائمة الانتظار إلى المتجر، فهذا تسلسل واحد. وإذا ترك شخص ما قائمة الانتظار هذه فجأة، فهذه قائمة انتظار مختلفة، وترتيب مختلف.
يمكن أيضًا تفسير كلمة "الحد" بسهولة - فهذه نهاية شيء ما. ومع ذلك، في الرياضيات، حدود المتتابعات هي تلك القيم الموجودة على خط الأعداد والتي تميل إليها تسلسل الأرقام. لماذا يجتهد ولا ينتهي؟ الأمر بسيط، خط الأعداد ليس له نهاية، ومعظم المتتاليات، مثل الأشعة، لها بداية فقط وتبدو كما يلي:
× 1، × 2، × 3، ... × ن ...
ومن ثم فإن تعريف التسلسل هو وظيفة الحجة الطبيعية. بكلمات أبسط، إنها سلسلة من أعضاء مجموعة ما.
كيف يتم بناء التسلسل الرقمي؟
أبسط مثال على التسلسل الرقمي قد يبدو كما يلي: 1، 2، 3، 4، ...ن...
في معظم الحالات، ولأغراض عملية، يتم إنشاء التسلسلات من الأرقام، وكل عضو تالي في السلسلة، دعنا نشير إليه بـ X، له اسمه الخاص. على سبيل المثال:
× 1 - العضو الأول في التسلسل؛
× 2 - العضو الثاني في التسلسل؛
× 3 - العضو الثالث؛
x n هو العضو n.
في الطرق العملية، يتم إعطاء التسلسل من خلال صيغة عامة يوجد فيها بعض المتغيرات. على سبيل المثال:
X n \u003d 3n، فإن سلسلة الأرقام نفسها ستبدو كما يلي:
تجدر الإشارة إلى أنه في التدوين العام للتسلسلات، يمكنك استخدام أي أحرف لاتينية، وليس X فقط. على سبيل المثال: y، z، k، إلخ.
التقدم الحسابي كجزء من المتواليات
قبل البحث عن حدود التسلسلات، من المستحسن التعمق في مفهوم سلسلة الأرقام هذه، والتي واجهها الجميع عندما كانوا في الطبقات المتوسطة. التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام يكون فيها الفرق بين الحدود المتجاورة ثابتًا.
المهمة: "دع 1 \u003d 15، وخطوة تقدم سلسلة الأرقام د \u003d 4. قم ببناء أول 4 أعضاء في هذا الصف"
الحل: أ 1 = 15 (حسب الشرط) هو العضو الأول في التقدم (سلسلة الأرقام).
و2 = 15+4=19 هو العضو الثاني في التقدم.
و3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 هو الحد الثالث.
و4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 هو الحد الرابع.
ومع ذلك، فمن الصعب مع هذه الطريقة الوصول إلى قيم كبيرة، على سبيل المثال، تصل إلى 125. . خاصة في مثل هذه الحالات، تم استخلاص صيغة ملائمة للممارسة: a n \u003d a 1 + d (n-1). في هذه الحالة، 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.
أنواع التسلسل
معظم التسلسلات لا نهاية لها، ومن الجدير أن نتذكرها مدى الحياة. هناك نوعان مثيران للاهتمام من سلاسل الأرقام. يتم إعطاء الأول بالصيغة a n =(-1) n . غالبًا ما يشير علماء الرياضيات إلى هذه التسلسلات المتعرية. لماذا؟ دعونا نتحقق من أرقامها.
1، 1، -1، 1، -1، 1، وما إلى ذلك. مع هذا المثال، يصبح من الواضح أن الأرقام في التسلسل يمكن أن تتكرر بسهولة.
تسلسل عاملي. من السهل تخمين وجود عامل في الصيغة يحدد التسلسل. على سبيل المثال: و ن = (ن+1)!
ثم سيبدو التسلسل كما يلي:
و 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6 ؛
و 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 ، إلخ.
يُطلق على التسلسل المعطى بواسطة متوالية حسابية اسم متناقص بشكل لا نهائي إذا لوحظت المتراجحة -1 لجميع أعضائها و3 \u003d - 1/8، إلخ. حتى أن هناك تسلسلًا يتكون من نفس الرقم. لذلك، و n \u003d 6 يتكون من عدد لا حصر له من الستات. حدود التسلسل موجودة منذ فترة طويلة في الرياضيات. وبطبيعة الحال، فإنهم يستحقون تصميمهم المختص. لذا، حان الوقت لتعلم تعريف حدود التسلسل. أولاً، فكر في نهاية الدالة الخطية بالتفصيل: من السهل أن نفهم أن تعريف نهاية التسلسل يمكن صياغته على النحو التالي: إنه رقم معين يقترب منه جميع أعضاء التسلسل بلا حدود. مثال بسيط: و x = 4x+1. ثم سيبدو التسلسل نفسه هكذا. 5، 9، 13، 17، 21...س... وبالتالي فإن هذه المتتابعة ستزداد إلى ما لا نهاية، مما يعني أن نهايتها تساوي ما لا نهاية مثل x→∞، ويجب كتابة ذلك على النحو التالي: إذا أخذنا تسلسلًا مشابهًا، لكن x يميل إلى 1، فسنحصل على: وستكون سلسلة الأرقام على النحو التالي: 1.4، 1.8، 4.6، 4.944، إلخ. في كل مرة تحتاج إلى استبدال الرقم أكثر وأكثر بالقرب من واحد (0.1، 0.2، 0.9، 0.986). ويمكن أن نرى من هذه المتسلسلة أن نهاية الدالة هي خمسة. من هذا الجزء، يجدر بنا أن نتذكر ما هو حد التسلسل الرقمي، وتعريف وطريقة حل المهام البسيطة. بعد تحليل حدود التسلسل الرقمي وتعريفه وأمثلته، يمكننا الانتقال إلى موضوع أكثر تعقيدًا. بالتأكيد يمكن صياغة جميع حدود المتتاليات بصيغة واحدة، والتي يتم تحليلها عادة في الفصل الدراسي الأول. إذًا، ماذا تعني هذه المجموعة من الحروف والوحدات وعلامات عدم المساواة؟ ∀ هو محدد كمي عالمي، يحل محل العبارات "للجميع"، "لكل شيء"، وما إلى ذلك. ∃ هو محدد كمي للوجود، وفي هذه الحالة يعني أن هناك قيمة ما N تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية. العصا العمودية الطويلة التي تتبع N تعني أن المجموعة المعطاة N هي "هكذا". ومن الناحية العملية، يمكن أن تعني "مثل ذلك"، "مثل ذلك"، وما إلى ذلك. لتوحيد المادة، اقرأ الصيغة بصوت عالٍ. إن طريقة العثور على حد التسلسلات، التي تمت مناقشتها أعلاه، على الرغم من سهولة استخدامها، إلا أنها ليست عقلانية في الممارسة العملية. حاول العثور على الحد الأقصى لهذه الوظيفة: إذا قمنا باستبدال قيم x مختلفة (زيادة في كل مرة: 10، 100، 1000، وما إلى ذلك)، فسنحصل على ∞ في البسط، ولكن أيضًا ∞ في المقام. اتضح جزءًا غريبًا إلى حد ما: ولكن هل هو حقا كذلك؟ يبدو حساب حد التسلسل الرقمي في هذه الحالة أمرًا سهلاً بدرجة كافية. سيكون من الممكن ترك كل شيء كما هو، لأن الإجابة جاهزة، وقد تم استلامها بشروط معقولة، ولكن هناك طريقة أخرى مخصصة لمثل هذه الحالات. أولًا، دعونا نوجد أعلى درجة في بسط الكسر، وهي 1، حيث يمكن تمثيل x على هيئة x 1. الآن دعونا نجد أعلى درجة في المقام. أيضا 1. اقسم كل من البسط والمقام على المتغير إلى أعلى درجة. في هذه الحالة، نقسم الكسر على x 1. بعد ذلك، دعونا نجد القيمة التي يميل إليها كل حد يحتوي على المتغير. في هذه الحالة، يتم النظر في الكسور. مثل x→∞، تميل قيمة كل كسر إلى الصفر. عند عمل ورقة كتابية، يجدر تدوين الحواشي التالية: يتم الحصول على التعبير التالي: وبطبيعة الحال، فإن الكسور التي تحتوي على x لم تصبح أصفار! لكن قيمتها صغيرة جدًا بحيث يجوز عدم أخذها بعين الاعتبار في الحسابات. في الواقع، x لن تساوي 0 أبدًا في هذه الحالة، لأنه لا يمكنك القسمة على صفر. لنفترض أن الأستاذ لديه تسلسل معقد، يُعطى بوضوح من خلال صيغة لا تقل تعقيدًا. لقد وجد الأستاذ الإجابة، لكن هل تناسبها؟ بعد كل شيء، كل الناس يخطئون. توصل أوغست كوشي إلى طريقة رائعة لإثبات حدود التسلسلات. كانت طريقته تسمى عملية الحي. لنفترض أن هناك نقطة ما، جوارها في كلا الاتجاهين على الخط الحقيقي يساوي ε ("إبسيلون"). وبما أن المتغير الأخير هو المسافة، فإن قيمته تكون موجبة دائمًا. الآن لنضع بعض التسلسل x n ونفترض أن العضو العاشر في التسلسل (x 10) موجود في جوار a. كيف تكتب هذه الحقيقة باللغة الرياضية؟ لنفترض أن x 10 يقع على يمين النقطة a، ثم المسافة x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. حان الوقت الآن لشرح الصيغة المذكورة أعلاه عمليًا. من العدل أن نطلق على رقم معين نقطة نهاية التسلسل إذا كانت المتباينة ε>0 تنطبق على أي من حدودها، وكان الحي بأكمله له رقمه الطبيعي N، بحيث يكون جميع أعضاء التسلسل ذوي الأرقام الأعلى يكون داخل التسلسل |x n - a|< ε. مع هذه المعرفة، من السهل حل حدود المتتابعة، وإثبات أو دحض إجابة جاهزة. تعد النظريات المتعلقة بحدود المتتابعات عنصرًا مهمًا في النظرية، والتي بدونها تكون الممارسة مستحيلة. لا يوجد سوى أربع نظريات رئيسية، مع تذكرها، يمكنك تسهيل عملية الحل أو الإثبات بشكل كبير: في بعض الأحيان يكون من الضروري حل مسألة عكسية، لإثبات حد معين للتسلسل العددي. لنلقي نظرة على مثال. أثبت أن نهاية التسلسل المعطاة بالصيغة تساوي صفرًا. وفقا للقاعدة المذكورة أعلاه، لأي تسلسل فإن عدم المساواة |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: لنعبر عن n بدلالة " إبسيلون " لبيان وجود عدد معين وإثبات وجود حد التسلسل . في هذه المرحلة، من المهم أن نتذكر أن "epsilon" و"en" هما رقمان موجبان ولا يساويان الصفر. يمكنك الآن مواصلة المزيد من التحولات باستخدام المعرفة حول عدم المساواة المكتسبة في المدرسة الثانوية. ومن هنا اتضح أن n > -3 + 1/ε. وبما أنه من الجدير أن نتذكر أننا نتحدث عن الأعداد الطبيعية، فيمكن تقريب النتيجة بوضعها بين قوسين معقوفين. وهكذا، فقد ثبت أنه لأي قيمة لجوار "إبسيلون" للنقطة a = 0، تم العثور على قيمة بحيث يتم استيفاء المتباينة الأولية. من هذا يمكننا أن نؤكد بأمان أن الرقم a هو نهاية التسلسل المحدد. Q.E.D. باستخدام هذه الطريقة المريحة، يمكنك إثبات حد التسلسل الرقمي، بغض النظر عن مدى تعقيده للوهلة الأولى. الشيء الرئيسي هو عدم الذعر عند رؤية المهمة. إن وجود حد التسلسل ليس ضروريًا في الممارسة العملية. من السهل العثور على مثل هذه السلسلة من الأرقام التي ليس لها نهاية حقًا. على سبيل المثال، نفس المتعري x n = (-1) n . من الواضح أن التسلسل الذي يتكون من رقمين فقط يتكرر دوريًا لا يمكن أن يكون له حد. تتكرر نفس القصة مع تسلسلات تتكون من رقم واحد، كسري، مع عدم اليقين في سياق العمليات الحسابية من أي ترتيب (0/0، ∞/∞، ∞/0، وما إلى ذلك). ومع ذلك، يجب أن نتذكر أنه يتم إجراء حسابات غير صحيحة أيضًا. في بعض الأحيان، ستساعدك إعادة فحص الحل الخاص بك في العثور على الحد الأقصى للخلافة. أعلاه، نظرنا في العديد من الأمثلة على التسلسلات، وطرق حلها، والآن دعونا نحاول أن نأخذ حالة أكثر تحديدا ونسميها "تسلسل رتيب". التعريف: من العدل أن نطلق على أي تسلسل زيادة رتيبة إذا كان يرضي عدم المساواة الصارمة x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >س ن +1. وإلى جانب هذين الشرطين، هناك أيضًا تفاوتات غير صارمة مماثلة. وبناء على ذلك، x n ≥ x n +1 (تسلسل غير متناقص) و x n ≥ x n +1 (تسلسل غير متزايد). لكن من الأسهل فهم ذلك بالأمثلة. يشكل التسلسل المعطى بواسطة الصيغة x n \u003d 2 + n سلسلة الأرقام التالية: 4، 5، 6، إلخ. هذا تسلسل متزايد بشكل رتيب. وإذا أخذنا x n \u003d 1 / n، فسنحصل على سلسلة: 1/3، ¼، 1/5، إلخ. هذا تسلسل متناقص بشكل رتيب. التسلسل المحدود هو تسلسل له نهاية. التسلسل المتقارب هو سلسلة من الأرقام التي لها حد متناه في الصغر. وبالتالي، فإن نهاية المتتابعة المحدودة هي أي عدد حقيقي أو مركب. تذكر أنه لا يمكن أن يكون هناك سوى حد واحد. نهاية التسلسل المتقارب هي كمية متناهية الصغر (حقيقية أو معقدة). إذا قمت برسم مخطط تسلسلي، فإنه عند نقطة معينة سوف يتقارب، كما لو كان يميل إلى التحول إلى قيمة معينة. ومن هنا الاسم - تسلسل متقارب. مثل هذا التسلسل قد يكون أو لا يكون له حد. أولاً، من المفيد أن نفهم متى يكون الأمر كذلك، ومن هنا يمكنك البدء عند إثبات عدم وجود حد. من بين التسلسلات الرتيبة، يتم التمييز بين المتقاربة والمتباعدة. متقارب - هذا تسلسل يتكون من المجموعة x وله حد حقيقي أو معقد في هذه المجموعة. متباعد - تسلسل ليس له حد في مجموعته (ليس حقيقيا ولا معقدا). علاوة على ذلك، فإن المتتابعة تتقارب إذا تقاربت حدودها العليا والسفلى في تمثيل هندسي. يمكن أن تكون نهاية التسلسل المتقارب في كثير من الحالات مساوية للصفر، نظرًا لأن أي تسلسل متناهٍ في الصغر له نهاية معروفة (صفر). أيًا كانت المتوالية المتقاربة التي تأخذها، فهي جميعها مترابطة، ولكنها بعيدة كل البعد عن أن تتقارب جميع المتتاليات المتقاربة. المجموع والفرق وحاصل ضرب متتابعتين متقاربتين هو أيضًا متتابعة متقاربة. ومع ذلك، يمكن أيضًا أن يتقارب الحاصل إذا تم تعريفه! حدود التسلسل هي نفس القيمة المهمة (في معظم الحالات) مثل الأرقام والأرقام: 1، 2، 15، 24، 362، إلخ. وتبين أنه يمكن تنفيذ بعض العمليات بحدود. أولاً، تمامًا مثل الأرقام والأرقام، يمكن جمع حدود أي تسلسل وطرحها. بناءً على النظرية الثالثة حول حدود المتتابعات، تكون المساواة التالية صحيحة: نهاية مجموع المتتابعات تساوي مجموع حدودها. ثانياً، استناداً إلى النظرية الرابعة حول حدود المتتابعات، فإن المساواة التالية صحيحة: نهاية حاصل ضرب العدد النوني من المتواليات يساوي حاصل ضرب حدودها. وينطبق الشيء نفسه على القسمة: نهاية خارج قسمة متتابعتين تساوي خارج قسمة حدودهما، بشرط ألا تكون النهاية مساوية للصفر. بعد كل شيء، إذا كان حد التسلسل يساوي الصفر، فسيتم الحصول على القسمة على الصفر، وهو أمر مستحيل. يبدو أن حد التسلسل الرقمي قد تم بالفعل تحليله بشيء من التفصيل، ولكن تم ذكر عبارات مثل الأعداد "الصغيرة بلا حدود" و"الكبيرة بلا حدود" أكثر من مرة. من الواضح أنه إذا كان هناك تسلسل 1/x، حيث x→∞، فإن هذا الكسر يكون صغيرًا بلا حدود، وإذا كان نفس التسلسل، ولكن الحد يميل إلى الصفر (x→0)، فإن الكسر يصبح قيمة كبيرة بلا حدود . وهذه القيم لها خصائصها الخاصة. خصائص حد التسلسل الذي يحتوي على قيم صغيرة أو كبيرة عشوائية هي كما يلي: في الواقع، حساب حد التسلسل ليس مهمة صعبة إذا كنت تعرف خوارزمية بسيطة. لكن حدود التسلسل موضوع يتطلب أقصى قدر من الاهتمام والمثابرة. بالطبع، يكفي أن نفهم ببساطة جوهر حل هذه التعبيرات. البدء صغيرًا، ومع مرور الوقت، يمكنك الوصول إلى ارتفاعات كبيرة.تحديد نهاية التسلسل
تدوين عام للحد من التسلسلات
عدم اليقين واليقين بالحد
ما هو الحي؟
نظريات
إثبات التسلسل
أو ربما هو غير موجود؟
تسلسل رتيب
نهاية التسلسل المتقارب والمحدود
حد التسلسل الرتيب
إجراءات مختلفة مع حدود
خصائص قيمة التسلسل