عدم المساواة اللوغاريتمية في الاستخدام
سيتشين ميخائيل الكسندروفيتش
الأكاديمية الصغيرة للعلوم لطلاب جمهورية كازاخستان “إيسكاتيل”
MBOU "مدرسة سوفيتسكايا الثانوية رقم 1" ، الصف الحادي عشر ، المدينة. منطقة سوفيتسكي سوفيتسكي
جونكو ليودميلا دميترييفنا، مدرس في المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية "مدرسة سوفيتسكايا الثانوية رقم 1"
منطقة سوفيتسكي
الهدف من العمل:دراسة آلية حل المتباينات اللوغاريتمية C3 باستخدام طرق غير قياسية، وتحديد الحقائق المثيرة للاهتمام حول اللوغاريتم.
موضوع الدراسة:
3) تعلم كيفية حل متباينات لوغاريتمية محددة C3 باستخدام طرق غير قياسية.
نتائج:
محتوى
مقدمة ………………………………………………………………………….4
الفصل الأول: تاريخ القضية………………………………………….5
الفصل الثاني. مجموعة المتباينات اللوغاريتمية ........................... 7
2.1. التحولات المتكافئة والطريقة المعممة للفترات ............... 7
2.2. طريقة الترشيد …………………………………………………………………………………………………………………………… 15
2.3. الاستبدال غير القياسي ........................................................... ............ ..... 22
2.4. المهام مع الفخاخ ………………………………………… 27
الخلاصة ………………………………………………………………………………………………………… 30
الأدب……………………………………………………………………. 31
مقدمة
أنا في الصف الحادي عشر وأخطط للالتحاق بجامعة حيث المادة الأساسية هي الرياضيات. ولهذا السبب، أعمل كثيرًا على حل المسائل في الجزء "ج". وفي المهمة "ج3"، أحتاج إلى حل متباينة غير قياسية أو نظام من المتباينات، يرتبط عادةً باللوغاريتمات. أثناء التحضير للامتحان، واجهت مشكلة نقص الأساليب والتقنيات لحل المتباينات اللوغاريتمية المقدمة في C3. الأساليب التي تتم دراستها في المناهج المدرسية حول هذا الموضوع لا توفر أساسًا لحل مهام C3. اقترحت معلمة الرياضيات أن أعمل على واجبات C3 بشكل مستقل تحت إشرافها. بالإضافة إلى ذلك، كنت مهتمًا بالسؤال: هل نواجه اللوغاريتمات في حياتنا؟
ومن هذا المنطلق تم اختيار الموضوع:
"المتباينات اللوغاريتمية في امتحان الدولة الموحدة"
الهدف من العمل:دراسة آلية حل مشاكل C3 باستخدام طرق غير قياسية، وتحديد الحقائق المثيرة للاهتمام حول اللوغاريتم.
موضوع الدراسة:
1) العثور على المعلومات اللازمة حول الطرق غير القياسية لحل عدم المساواة اللوغاريتمية.
2) العثور على معلومات إضافية حول اللوغاريتمات.
3) تعلم كيفية حل مشكلات معينة في C3 باستخدام طرق غير قياسية.
نتائج:
تكمن الأهمية العملية في توسيع جهاز حل مشكلات C3. يمكن استخدام هذه المادة في بعض الدروس للأندية والفصول الاختيارية في الرياضيات.
سيكون منتج المشروع عبارة عن مجموعة "المتباينات اللوغاريتمية C3 مع الحلول".
الفصل 1. الخلفية
طوال القرن السادس عشر، زاد عدد الحسابات التقريبية بسرعة، خاصة في علم الفلك. يتطلب تحسين الأدوات ودراسة حركات الكواكب وغيرها من الأعمال إجراء حسابات هائلة، وأحيانًا متعددة السنوات. كان علم الفلك في خطر حقيقي من الغرق في حسابات غير محققة. نشأت صعوبات في مجالات أخرى، على سبيل المثال، في مجال التأمين، كانت هناك حاجة إلى جداول الفائدة المركبة لمختلف أسعار الفائدة. وكانت الصعوبة الرئيسية هي ضرب وقسمة الأعداد متعددة الأرقام، وخاصة الكميات المثلثية.
استند اكتشاف اللوغاريتمات إلى خصائص التقدمات التي كانت معروفة جيدًا بحلول نهاية القرن السادس عشر. تحدث أرخميدس عن العلاقة بين حدود المتتابعة الهندسية q، q2، q3،... والمتتابعة الحسابية لأسسها 1، 2، 3،... في المزمور. كان الشرط الأساسي الآخر هو توسيع مفهوم الدرجة ليشمل الأسس السالبة والكسرية. وقد أشار كثير من المؤلفين إلى أن الضرب والقسمة والأُسِّ واستخراج الجذور في المتوالية الهندسية يتوافق في الحساب - وبنفس الترتيب - الجمع والطرح والضرب والقسمة.
هنا كانت فكرة اللوغاريتم كأس.
لقد مرت عدة مراحل في تاريخ تطور عقيدة اللوغاريتمات.
المرحلة 1
تم اختراع اللوغاريتمات في موعد لا يتجاوز عام 1594 بشكل مستقل على يد البارون الاسكتلندي نابير (1550-1617) وبعد عشر سنوات على يد الميكانيكي السويسري بورغي (1552-1632). أراد كلاهما توفير وسيلة جديدة ومريحة للحسابات الحسابية، على الرغم من أنهما تناولا هذه المشكلة بطرق مختلفة. عبّر نابير عن الدالة اللوغاريتمية حركيًا وبالتالي دخل مجالًا جديدًا لنظرية الوظيفة. بقي بورجي على أساس النظر في التقدمات المنفصلة. ومع ذلك، فإن تعريف اللوغاريتم لكليهما لا يشبه التعريف الحديث. مصطلح "اللوغاريتم" (لوغاريتموس) ينتمي إلى نابير. نشأت من مزيج من الكلمات اليونانية: الشعارات - "العلاقة" و ariqmo - "الرقم"، والتي تعني "عدد العلاقات". في البداية، استخدم نابير مصطلحًا مختلفًا: numeri Artificiales - "الأعداد الاصطناعية"، بدلاً من numeri Naturalts - "الأعداد الطبيعية".
في عام 1615، في محادثة مع هنري بريجز (1561-1631)، أستاذ الرياضيات في كلية جريش في لندن، اقترح نابير اعتبار الصفر لوغاريتم الواحد، و100 لوغاريتم العشرة، أو ما يعادل نفس العدد الشيء، فقط 1. هذه هي الطريقة التي تمت بها طباعة اللوغاريتمات العشرية والجداول اللوغاريتمية الأولى. وفي وقت لاحق، تم استكمال جداول بريجز من قبل بائع الكتب الهولندي وعشاق الرياضيات أدريان فلاكوس (1600-1667). على الرغم من أن نابير وبريجز توصلا إلى اللوغاريتمات في وقت أبكر من أي شخص آخر، إلا أنهما نشرا جداولهما في وقت متأخر عن الآخرين - في عام 1620. تم تقديم سجل العلامات والسجل في عام 1624 بواسطة I. Kepler. مصطلح "اللوغاريتم الطبيعي" قدمه منغولي عام 1659 وتبعه ن. مركاتور عام 1668، ونشر المعلم اللندني جون سبيديل جداول اللوغاريتمات الطبيعية للأعداد من 1 إلى 1000 تحت اسم "اللوغاريتمات الجديدة".
نُشرت الجداول اللوغاريتمية الأولى باللغة الروسية عام 1703. ولكن في جميع الجداول اللوغاريتمية كانت هناك أخطاء حسابية. نُشرت أول جداول خالية من الأخطاء في عام 1857 في برلين، وقام بمعالجتها عالم الرياضيات الألماني ك. بريميكر (1804-1877).
المرحلة 2
يرتبط التطوير الإضافي لنظرية اللوغاريتمات بتطبيق أوسع للهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل. بحلول ذلك الوقت، تم إنشاء العلاقة بين تربيع القطع الزائد متساوي الأضلاع واللوغاريتم الطبيعي. ترتبط نظرية اللوغاريتمات في هذه الفترة بأسماء عدد من علماء الرياضيات.
عالم الرياضيات والفلكي والمهندس الألماني نيكولاوس مركاتور في مقال
"Logarithmotechnics" (1668) يعطي سلسلة تعطي توسيع ln(x+1) في
صلاحيات x:
يتوافق هذا التعبير تمامًا مع سلسلة أفكاره، على الرغم من أنه، بالطبع، لم يستخدم العلامات d، ...، ولكن رمزية أكثر تعقيدًا. مع اكتشاف السلسلة اللوغاريتمية، تغيرت تقنية حساب اللوغاريتمات: بدأ تحديدها باستخدام سلسلة لا نهاية لها. في محاضراته "الرياضيات الأولية من وجهة نظر عليا" التي ألقاها في 1907-1908، اقترح ف. كلاين استخدام الصيغة كنقطة انطلاق لبناء نظرية اللوغاريتمات.
المرحلة 3
تعريف الدالة اللوغاريتمية كدالة عكسية
الأسي، اللوغاريتم كأساس لقاعدة معينة
لم تتم صياغته على الفور. مقال بقلم ليونارد أويلر (1707-1783)
"مقدمة لتحليل المتناهية الصغر" (1748) ساهمت في المزيد
تطوير نظرية الدوال اللوغاريتمية. هكذا،
لقد مرت 134 سنة منذ ظهور اللوغاريتمات لأول مرة
(العد من 1614)، قبل أن يتوصل علماء الرياضيات إلى التعريف
مفهوم اللوغاريتم، الذي أصبح الآن أساس الدورة المدرسية.
الفصل 2. مجموعة من المتباينات اللوغاريتمية
2.1. التحولات المكافئة والطريقة المعممة للفواصل الزمنية.
التحولات المكافئة
، إذا كان > 1
، إذا 0 <
а <
1
طريقة الفاصل المعمم
هذه الطريقة هي الأكثر عالمية لحل عدم المساواة من أي نوع تقريبًا. يبدو مخطط الحل كما يلي:
1. أحضر المتباينة إلى شكل تكون فيه الدالة على الجانب الأيسر 
، وعلى اليمين 0.
2. ابحث عن مجال الوظيفة .
3. أوجد أصفار الدالة أي حل المعادلة 
(وعادة ما يكون حل المعادلة أسهل من حل المتباينة).
4. ارسم مجال التعريف وأصفار الدالة على خط الأعداد.
5. تحديد علامات الدالة على الفترات التي تم الحصول عليها.
6. حدد الفواصل الزمنية التي تأخذ فيها الدالة القيم المطلوبة واكتب الإجابة.
مثال 1.
حل:
دعونا نطبق طريقة الفاصل الزمني
أين
بالنسبة لهذه القيم، تكون جميع التعبيرات الموجودة تحت العلامات اللوغاريتمية موجبة.
إجابة:
مثال 2.
حل:
الأول طريق . يتم تحديد ADL من خلال عدم المساواة س> 3. أخذ اللوغاريتمات لذلك سإلى القاعدة 10، نحصل على
ويمكن حل المتباينة الأخيرة من خلال تطبيق قواعد التوسع، أي. مقارنة العوامل بالصفر ومع ذلك، في هذه الحالة يكون من السهل تحديد فترات الإشارة الثابتة للدالة
ولذلك، يمكن تطبيق طريقة الفاصل الزمني.
وظيفة F(س) = 2س(س- 3.5)ل س- 3à مستمر عند س> 3 ويختفي عند نقاط س 1 = 0, س 2 = 3,5, س 3 = 2, س 4 = 4. وهكذا نحدد فترات الإشارة الثابتة للدالة F(س):
إجابة:
الطريقة الثانية . دعونا نطبق أفكار الطريقة الفاصلة مباشرة على المتباينة الأصلية.
للقيام بذلك، تذكر أن التعبيرات أب- أج و ( أ - 1)(ب- 1) لها علامة واحدة . ثم عدم المساواة لدينا في س> 3 يعادل عدم المساواة
أو
تم حل المتباينة الأخيرة باستخدام طريقة الفاصل
إجابة:
مثال 3.
حل:
دعونا نطبق طريقة الفاصل الزمني
إجابة:
مثال 4.
حل:
منذ 2 س 2 - 3س+ 3 > 0 للكل حقيقي س، الذي - التي
لحل المتباينة الثانية نستخدم طريقة الفترات
في المتباينة الأولى نقوم بالاستبدال
ثم نأتي إلى المتباينة 2y2 - ذ - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те ذالتي تحقق عدم المساواة -0.5< ذ < 1.
من أين، لأن
نحصل على عدم المساواة
الذي يتم عندما س، والتي 2 س 2 - 3س - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
الآن، مع الأخذ في الاعتبار حل المتباينة الثانية للنظام، حصلنا أخيرًا على
إجابة:
مثال 5.
حل:
إن عدم المساواة يعادل مجموعة من الأنظمة
أو
دعونا نستخدم طريقة الفاصل الزمني أو
إجابة:
مثال 6.
حل:
عدم المساواة يساوي النظام
يترك
ثم ذ > 0,
والتفاوت الأول
النظام يأخذ الشكل
أو تتكشف
عامل ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية,
تطبيق طريقة الفاصل الزمني على المتباينة الأخيرة،
فنرى أن حلولها تحقق الشرط ذ> 0 سيكون الكل ذ > 4.
وبالتالي فإن عدم المساواة الأصلية يعادل النظام:
إذن، حلول المتباينة كلها
2.2. طريقة الترشيد.
في السابق، لم يكن يتم حل مشكلة عدم المساواة بطريقة الترشيد؛ هذه "طريقة فعالة حديثة جديدة لحل المتباينات الأسية واللوغاريتمية" (اقتباس من كتاب S.I. Kolesnikova)
وحتى لو كان المعلم يعرفه، كان هناك خوف - هل يعرفه خبير امتحان الدولة الموحدة، ولماذا لا يعطوه في المدرسة؟ كانت هناك مواقف قال فيها المعلم للطالب: "من أين حصلت عليها؟ اجلس - 2".
الآن يتم الترويج لهذه الطريقة في كل مكان. وبالنسبة للخبراء، توجد إرشادات مرتبطة بهذه الطريقة، وفي "الإصدارات الأكثر اكتمالًا للخيارات القياسية..." في الحل C3 يتم استخدام هذه الطريقة.
طريقة رائعة!
"الطاولة السحرية"
في مصادر أخرى
لو a >1 و b >1، ثم سجل a b >0 و (a -1)(b -1)>0;
لو أ> 1 و 0 إذا 0<أ<1 и b
>1، ثم سجل أ ب<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
إذا 0<أ<1 и 00 و (أ -1)(ب -1)>0. المنطق الذي تم تنفيذه بسيط، ولكنه يبسط بشكل كبير حل عدم المساواة اللوغاريتمية. مثال 4.
سجل س (× 2 -3)<0
حل:
مثال 5.
سجل 2 × (2x 2 -4x +6) ≥ سجل 2 × (x 2 +x ) حل: مثال 6.
لحل هذه المتراجحة نكتب بدلاً من المقام (x-1-1)(x-1)، وبدلاً من البسط نكتب حاصل الضرب (x-1)(x-3-9 + x). مثال 7.
مثال 8.
2.3. استبدال غير قياسي. مثال 1.
مثال 2.
مثال 3.
مثال 4.
مثال 5.
مثال 6.
مثال 7.
سجل 4 (3 × -1) سجل 0.25 لنجري الاستبدال y=3 x -1; عندها سوف يأخذ هذا التفاوت الشكل سجل 4 سجل 0.25 لأن سجل 0.25 دعونا نجعل الاستبدال t =log 4 y ونحصل على المتراجحة t 2 -2t +≥0، وحلها هو الفترات - وبالتالي، لإيجاد قيم y لدينا مجموعة من متباينتين بسيطتين وبالتالي، فإن المتباينة الأصلية تعادل مجموعة المتباينتين الأسيتين، حل المتباينة الأولى من هذه المجموعة هو المجال 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ مثال 8.
حل:
عدم المساواة يساوي النظام سيكون حل المتباينة الثانية التي تحدد ODZ هو مجموعة تلك س,
لأي منهم س > 0.
لحل المتباينة الأولى نقوم بالتعويض ثم نحصل على عدم المساواة أو تم العثور على مجموعة الحلول للمتباينة الأخيرة بواسطة الطريقة الفواصل الزمنية: -1< ر < 2. Откуда, возвращаясь к переменной س، نحن نحصل أو الكثير من هؤلاء س، والتي تلبي عدم المساواة الأخيرة ينتمي إلى ODZ ( س> 0)، وبالتالي، هو الحل للنظام، ومن ثم عدم المساواة الأصلية. إجابة: 2.4. المهام مع الفخاخ. مثال 1.
حل.إن ODZ للمتباينة كلها x تحقق الشرط 0 مثال 2.
سجل 2 (2 س +1-س 2)>سجل 2 (2 س-1 +1-س)+1.
إجابة. (0; 0.5) ش.
إجابة :
(3;6)
.
= -سجل 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , ثم نعيد كتابة المتباينة الأخيرة بالشكل 2log 4 y -log 4 2 y ≥.
الحل لهذه المجموعة هو الفترات 0<у≤2 и 8≤у<+.
وهذا هو، المجاميع 
. وبذلك تكون المتراجحة الأصلية محققة لجميع قيم x من الفترات 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. لذلك، كل x هي من الفاصل الزمني 0
خاتمة
لم يكن من السهل العثور على طرق محددة لحل مشكلات C3 من خلال وفرة كبيرة من المصادر التعليمية المختلفة. في سياق العمل المنجز، تمكنت من دراسة الطرق غير القياسية لحل عدم المساواة اللوغاريتمية المعقدة. وهي: التحولات المتكافئة والطريقة المعممة للفترات وطريقة الترشيد , استبدال غير قياسي , المهام مع الفخاخ على ODZ. ولا يتم تضمين هذه الأساليب في المناهج المدرسية.
باستخدام طرق مختلفة، قمت بحل 27 متباينة مقترحة في امتحان الدولة الموحدة في الجزء C، وهي C3. شكلت هذه المتباينات مع الحلول بالطرق أساس مجموعة "المتباينات اللوغاريتمية مع الحلول C3"، والتي أصبحت نتاج مشروع لنشاطي. تم تأكيد الفرضية التي طرحتها في بداية المشروع: يمكن حل مشكلات C3 بشكل فعال إذا كنت تعرف هذه الطرق.
بالإضافة إلى ذلك، اكتشفت حقائق مثيرة للاهتمام حول اللوغاريتمات. كان من المثير للاهتمام بالنسبة لي أن أفعل هذا. ستكون منتجات مشروعي مفيدة لكل من الطلاب والمعلمين.
الاستنتاجات:
وبهذا يكون قد تم تحقيق هدف المشروع وتم حل المشكلة. وحصلت على الخبرة الأكثر اكتمالا وتنوعا لأنشطة المشروع في جميع مراحل العمل. أثناء العمل في المشروع، كان تأثيري التنموي الرئيسي هو على الكفاءة العقلية، والأنشطة المتعلقة بالعمليات العقلية المنطقية، وتنمية الكفاءة الإبداعية، والمبادرة الشخصية، والمسؤولية، والمثابرة، والنشاط.
ضمان النجاح عند إنشاء مشروع بحثي اكتسبت: خبرة مدرسية كبيرة، والقدرة على الحصول على المعلومات من مصادر مختلفة، والتحقق من موثوقيتها، وترتيبها حسب الأهمية.
بالإضافة إلى المعرفة المباشرة بالموضوع في الرياضيات، قمت بتوسيع مهاراتي العملية في مجال علوم الكمبيوتر، واكتسبت معرفة وخبرة جديدة في مجال علم النفس، وأقامت اتصالات مع زملاء الدراسة، وتعلمت التعاون مع البالغين. خلال أنشطة المشروع، تم تطوير المهارات التعليمية العامة التنظيمية والفكرية والتواصلية.
الأدب
1. Koryanov A. G.، Prokofiev A. A. أنظمة عدم المساواة بمتغير واحد (المهام القياسية C3).
2. Malkova A. G. التحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات.
3. Samarova S. S. حل عدم المساواة اللوغاريتمية.
4. الرياضيات. مجموعة من الأعمال التدريبية حرره أ.ل. سيمينوف وإيف. ياشينكو. -م: MTsNMO، 2009. - 72 ص.-
المقال مخصص لتحليل المهام 15 من ملف تعريف امتحان الدولة الموحد في الرياضيات لعام 2017. في هذه المهمة، يُطلب من تلاميذ المدارس حل عدم المساواة، وغالبًا ما تكون لوغاريتمية. على الرغم من أنه قد يكون هناك مؤشرات. تقدم هذه المقالة تحليلا لأمثلة عدم المساواة اللوغاريتمية، بما في ذلك تلك التي تحتوي على متغير في قاعدة اللوغاريتم. جميع الأمثلة مأخوذة من البنك المفتوح لمهام امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (الملف الشخصي)، لذلك من المرجح أن تظهر مثل هذه عدم المساواة في الاختبار كمهمة 15. مثالية لأولئك الذين يرغبون في تعلم كيفية حل المهمة 15 من الجزء الثاني من الملف الشخصي لامتحان الدولة الموحدة في فترة زمنية قصيرة في الرياضيات للحصول على المزيد من العلامات في الامتحان.
تحليل المهام 15 من الملف الشخصي لامتحان الدولة الموحد في الرياضيات
| مثال 1. حل عدم المساواة: |
في المهام 15 من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (الملف الشخصي)، غالبًا ما يتم مواجهة عدم المساواة اللوغاريتمية. يبدأ حل المتباينات اللوغاريتمية بتحديد نطاق القيم المقبولة. في هذه الحالة، لا يوجد متغير في قاعدة كلا اللوغاريتمين، يوجد فقط الرقم 11، مما يبسط المشكلة إلى حد كبير. لذا فإن القيد الوحيد الذي لدينا هنا هو أن كلا التعبيرين الموجودين تحت علامة اللوغاريتم موجبان:
Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}
المتباينة الأولى في النظام هي المتباينة التربيعية. لحلها، نود حقًا تحليل الطرف الأيسر. أعتقد أنك تعرف أن أي ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية من النموذج 
يتم تحليلها على النحو التالي:
أين و هي جذور المعادلة. في هذه الحالة، المعامل هو 1 (هذا هو المعامل العددي الموجود أمام ). المعامل أيضًا يساوي 1، والمعامل هو الحد الوهمي، وهو يساوي -20. يمكن تحديد جذور ثلاثية الحدود بسهولة أكبر باستخدام نظرية فييتا. المعادلة التي قدمناها تعني أن مجموع الجذور سيكون مساوياً للمعامل ذو الإشارة المعاكسة، وهو -1، وحاصل هذه الجذور سيكون مساوياً للمعامل، وهو -20. من السهل تخمين أن الجذور ستكون -5 و4.
الآن يمكن تحليل الجانب الأيسر من المتراجحة: title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} Xعند النقطتين -5 و 4. وهذا يعني أن الحل المطلوب للمتباينة هو الفترة . ولمن لم يفهم ما هو مكتوب هنا، يمكنكم مشاهدة التفاصيل في الفيديو ابتداءً من هذه اللحظة. ستجد هناك أيضًا شرحًا تفصيليًا لكيفية حل المتباينة الثانية للنظام. يتم حلها. علاوة على ذلك، فإن الإجابة هي نفسها تمامًا بالنسبة للمتباينة الأولى في النظام. أي أن المجموعة المكتوبة أعلاه هي منطقة القيم المسموح بها للمتباينة.
لذلك، مع الأخذ في الاعتبار التحليل، فإن عدم المساواة الأصلية تأخذ الشكل:
باستخدام الصيغة، نضيف 11 إلى قوة التعبير تحت إشارة اللوغاريتم الأول، ونحرك اللوغاريتم الثاني إلى الجانب الأيسر من المتراجحة، مع تغيير إشارته إلى العكس:
بعد التخفيض نحصل على:
المتباينة الأخيرة، بسبب زيادة الدالة، تعادل المتباينة 
، الذي حله هو الفاصل الزمني 
. كل ما تبقى هو تقاطعها مع منطقة القيم المقبولة للمتباينة، وسيكون هذا هو الجواب على المهمة بأكملها.
لذا، تبدو الإجابة المطلوبة للمهمة كما يلي:
لقد تعاملنا مع هذه المهمة، والآن ننتقل إلى المثال التالي للمهمة 15 من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (الملف الشخصي).
| مثال 2. حل عدم المساواة:
|
نبدأ الحل بتحديد نطاق القيم المقبولة لهذه المتباينة. في قاعدة كل لوغاريتم يجب أن يكون هناك رقم موجب لا يساوي 1. جميع التعبيرات تحت إشارة اللوغاريتم يجب أن تكون موجبة. يجب ألا يحتوي مقام الكسر على صفر. الشرط الأخير يعادل حقيقة أنه بخلاف ذلك فقط يختفي كلا اللوغاريتمات في المقام. تحدد كل هذه الشروط مدى القيم المسموح بها لهذه المتباينة، والتي يعطى بها نظام المتباينات التالي:
Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}
في نطاق القيم المقبولة، يمكننا استخدام صيغ تحويل اللوغاريتمات لتبسيط الجانب الأيسر من المتراجحة. باستخدام الصيغة 
نتخلص من القاسم:
الآن لدينا فقط اللوغاريتمات ذات الأساس. هذا بالفعل أكثر ملاءمة. بعد ذلك، نستخدم الصيغة، وكذلك الصيغة لجعل التعبير الذي يستحق المجد على الشكل التالي:
في الحسابات، استخدمنا ما كان في نطاق القيم المقبولة. باستخدام الاستبدال نصل إلى التعبير:
دعونا نستخدم بديلاً آخر: . ونتيجة لذلك نصل إلى النتيجة التالية:
لذلك، نعود تدريجيا إلى المتغيرات الأصلية. أولاً للمتغير:
في كثير من الأحيان، عند حل عدم المساواة اللوغاريتمية، هناك مشاكل مع قاعدة لوغاريتمية متغيرة. وبالتالي عدم المساواة في الشكل
هو عدم المساواة المدرسية القياسية. كقاعدة عامة، لحلها، يتم استخدام الانتقال إلى مجموعة مكافئة من الأنظمة:
عيب هذه الطريقة هو الحاجة إلى حل سبعة أوجه عدم مساواة، دون احتساب نظامين وسكان واحد. بالفعل مع هذه الدوال التربيعية، يمكن أن يستغرق حل التعداد السكاني الكثير من الوقت.
من الممكن اقتراح طريقة بديلة أقل استهلاكًا للوقت لحل هذه المتباينة القياسية. للقيام بذلك، نأخذ في الاعتبار النظرية التالية.
النظرية 1. يجب أن تكون هناك دالة زيادة مستمرة في المجموعة X. ثم في هذه المجموعة، ستتزامن علامة زيادة الوظيفة مع علامة زيادة الوسيطة، أي. ، أين 
.
ملحوظة: إذا كانت دالة التناقص المستمر في المجموعة X، فإن .
دعونا نعود إلى عدم المساواة. دعنا ننتقل إلى اللوغاريتم العشري (يمكنك الانتقال إلى أي لوغاريتم ذي أساس ثابت أكبر من واحد).
الآن يمكنك استخدام النظرية، مع ملاحظة زيادة الدوال في البسط 
وفي القاسم. لذلك هذا صحيح
ونتيجة لذلك، يتم تقليل عدد العمليات الحسابية التي تؤدي إلى الإجابة بمقدار النصف تقريبًا، مما لا يوفر الوقت فحسب، بل يسمح لك أيضًا بارتكاب عدد أقل من الأخطاء الحسابية والإهمال.
مثال 1.
وبالمقارنة مع (١) نجد 
, 
, .
وبالانتقال إلى (2) سيكون لدينا:
مثال 2.
وبالمقارنة مع (1) نجد , .
وبالانتقال إلى (2) سيكون لدينا:
مثال 3.
بما أن الجانب الأيسر من عدم المساواة هو وظيفة متزايدة كما و 
، فالجواب سيكون كثيرا.
يمكن بسهولة توسيع الأمثلة العديدة التي يمكن تطبيق الموضوع 1 فيها من خلال مراعاة الموضوع 2.
دعونا على المجموعة Xيتم تعريف الوظائف،،، وعلى هذا يتم تعيين العلامات وتتزامن، أي. ، ثم سيكون عادلا.
مثال 4.
مثال 5.
وبالطريقة القياسية يتم حل المثال وفق المخطط التالي: يكون حاصل الضرب أقل من الصفر عندما تكون العوامل ذات علامات مختلفة. أولئك. يتم النظر في مجموعة من نظامين من عدم المساواة، حيث، كما هو موضح في البداية، يتم تقسيم كل عدم مساواة إلى سبعة أخرى.
إذا أخذنا في الاعتبار النظرية 2، فيمكن استبدال كل عامل، مع الأخذ في الاعتبار (2)، بوظيفة أخرى لها نفس الإشارة في هذا المثال O.D.Z.
تبين أن طريقة استبدال زيادة دالة بزيادة الوسيطة، مع مراعاة النظرية 2، مريحة للغاية عند حل مشكلات اختبار الدولة الموحدة C3 القياسية.
مثال 6.
مثال 7.
. دعونا نشير . نحن نحصل
. لاحظ أن الاستبدال يعني: . وبالعودة إلى المعادلة نحصل على
.
مثال 8.
في النظريات التي نستخدمها لا توجد قيود على فئات الوظائف. في هذه المقالة، على سبيل المثال، تم تطبيق النظريات لحل المتباينات اللوغاريتمية. ستوضح الأمثلة العديدة التالية الطريقة الواعدة لحل الأنواع الأخرى من عدم المساواة.