خصائص دالة الجيب لحل متباينات الصيغة. حل المتباينات المثلثية البسيطة

حل عدم المساواةفي الوضع متصل حلتقريبا أي عدم مساواة معينة متصل. رياضي عدم المساواة على الإنترنتلحل الرياضيات. البحث بسرعة حل عدم المساواةفي الوضع متصل. موقع www.site يسمح لك بالعثور على حلتقريبا أي شيء جبري, حساب المثاثاتأو عدم المساواة المتعالية على الانترنت. عند دراسة أي فرع من فروع الرياضيات تقريبًا في مراحل مختلفة عليك أن تقرر عدم المساواة على الإنترنت. للحصول على إجابة فورية، والأهم من ذلك الحصول على إجابة دقيقة، فأنت بحاجة إلى مورد يسمح لك بالقيام بذلك. شكرا للموقع www.site حل عدم المساواة على الانترنتسوف يستغرق بضع دقائق. الميزة الرئيسية لموقع www.site عند حل المسائل الرياضية عدم المساواة على الإنترنت- هذه هي سرعة ودقة الاستجابة المقدمة. الموقع قادر على حل أي عدم المساواة الجبرية على الانترنت, عدم المساواة المثلثية على الانترنت, عدم المساواة المتعالية على الانترنت، و عدم المساواةمع معلمات غير معروفة في الوضع متصل. عدم المساواةبمثابة جهاز رياضي قوي حلولمشاكل عملية. مع المساعدة عدم المساواة الرياضيةفمن الممكن التعبير عن حقائق وعلاقات قد تبدو مربكة ومعقدة للوهلة الأولى. كميات غير معروفة عدم المساواةيمكن العثور عليها من خلال صياغة المشكلة في رياضياللغة في النموذج عدم المساواةو يقررتلقى المهمة في الوضع متصلعلى الموقع www.site. أي عدم المساواة الجبرية, عدم المساواة المثلثيةأو عدم المساواةتحتوي متسامالميزات التي يمكنك بسهولة يقررعبر الإنترنت واحصل على الإجابة الدقيقة. عند دراسة العلوم الطبيعية، فإنك تواجه حتما هذه الحاجة حلول لعدم المساواة. وفي هذه الحالة يجب أن تكون الإجابة دقيقة ويجب الحصول عليها فوراً في الوضع متصل. لذلك ل حل عدم المساواة الرياضية على الانترنتنوصي بموقع www.site، الذي سيصبح الآلة الحاسبة التي لا غنى عنها حل المتباينات الجبرية على الإنترنت, عدم المساواة المثلثية على الانترنت، و عدم المساواة المتعالية على الانترنتأو عدم المساواةمع معلمات غير معروفة. للمشاكل العملية لإيجاد حلول عبر الإنترنت لمختلف عدم المساواة الرياضيةالموارد شبكة الاتصالات العالمية.. حل عدم المساواة على الإنترنتبنفسك، من المفيد التحقق من الإجابة المستلمة باستخدام حل عدم المساواة على الانترنتعلى الموقع www.site. تحتاج إلى كتابة عدم المساواة بشكل صحيح والحصول على الفور الحل على الانترنتوبعد ذلك كل ما تبقى هو مقارنة الإجابة مع الحل الذي توصلت إليه للمتباينة. التحقق من الإجابة لن يستغرق أكثر من دقيقة، هذا يكفي حل عدم المساواة على الانترنتومقارنة الإجابات. سيساعدك هذا على تجنب الأخطاء في قراروتصحيح الإجابة في الوقت المناسب حل عدم المساواة على الانترنتأيضاً جبري, حساب المثاثات, متسامأو عدم المساواةمع معلمات غير معروفة.

عند حل المتباينات التي تحتوي على دوال مثلثية، يتم اختزالها إلى أبسط المتباينات بالشكل cos(t)>a, sint(t)=a وما شابه ذلك. وقد تم بالفعل حل أبسط المتباينات. دعونا نلقي نظرة على أمثلة مختلفة لطرق حل المتباينات المثلثية البسيطة.

مثال 1. حل المتراجحة sin(t) > = -1/2.

ارسم دائرة الوحدة. بما أن sin(t) بحكم التعريف هي الإحداثي y، فإننا نحدد النقطة y = -1/2 على محور Oy. نرسم عبره خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور الثور. عند تقاطع الخط المستقيم مع الرسم البياني لدائرة الوحدة، حدد النقطتين Pt1 وPt2. نقوم بربط أصل الإحداثيات بالنقطتين Pt1 وPt2 بقطعتين.

سيكون حل هذه المتباينة هو جميع نقاط دائرة الوحدة الواقعة فوق هذه النقاط. بمعنى آخر، سيكون الحل هو القوس l. والآن من الضروري الإشارة إلى الشروط التي بموجبها ستنتمي النقطة التعسفية إلى القوس l.

يقع Pt1 في نصف الدائرة الأيمن، وإحداثيته هو -1/2، ثم t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. لوصف النقطة Pt1، يمكنك كتابة الصيغة التالية:
t2 = باي - أركسين (-1/2) = 7*بي/6. ونتيجة لذلك، نحصل على عدم المساواة التالية ل:

نحن نحافظ على عدم المساواة. وبما أن دالة الجيب دورية، فهذا يعني أن الحلول ستتكرر كل 2*pi. نضيف هذا الشرط إلى المتباينة الناتجة لـ t ونكتب الإجابة.

الإجابة: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

مثال 2.حل عدم المساواة cos(t).<1/2.

دعونا نرسم دائرة الوحدة. نظرًا لأن cos(t) هو الإحداثي x، وفقًا للتعريف، فإننا نحدد النقطة x = 1/2 على الرسم البياني على محور الثور.
نرسم خطًا مستقيمًا عبر هذه النقطة موازيًا لمحور أوي. عند تقاطع الخط المستقيم مع الرسم البياني لدائرة الوحدة، حدد النقطتين Pt1 وPt2. نقوم بربط أصل الإحداثيات بالنقطتين Pt1 وPt2 بقطعتين.

الحلول ستكون جميع نقاط دائرة الوحدة التي تنتمي إلى القوس l. لنوجد النقطتين t1 وt2.

t1 = أركوس(1/2) = بي/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

حصلنا على عدم المساواة لـ t: pi/3

نظرًا لأن جيب التمام هو دالة دورية، فسيتم تكرار الحلول كل 2*pi. نضيف هذا الشرط إلى المتباينة الناتجة لـ t ونكتب الإجابة.

الجواب: باي/3+2*بي*ن

مثال 3.حل المتباينة tg(t)< = 1.

فترة الظل تساوي باي. دعونا نجد الحلول التي تنتمي إلى المجال (-pi/2;pi/2) نصف الدائرة الأيمن. بعد ذلك، باستخدام دورية المماس، نكتب جميع حلول هذه المتباينة. لنرسم دائرة وحدة ونضع عليها خط مماسات.

إذا كان t هو حل للمتراجحة، فإن إحداثي النقطة T = tg(t) يجب أن يكون أقل من أو يساوي 1. مجموعة هذه النقاط ستشكل الشعاع AT. مجموعة النقاط Pt التي تتوافق مع نقاط هذا الشعاع هي القوس l. علاوة على ذلك، فإن النقطة P(-pi/2) لا تنتمي إلى هذا القوس.

حل المتباينات عبر الإنترنت على موقع Math24.biz سيضمن أقصى قدر من الدقة في الحسابات. عدم المساواة في الرياضيات هي عبارة عن بيان حول الحجم أو الترتيب النسبي لشيئين (أحدهما أقل أو ليس أكبر من الآخر)، أو أن شيئين ليسا متماثلين (إنكار المساواة). في الرياضيات الابتدائية، تتم دراسة المتباينات العددية، وفي الجبر العام والتحليل والهندسة، كما يتم أخذ المتباينات بين الأشياء ذات الطبيعة غير العددية بعين الاعتبار. لحل المتباينة، يجب تحديد طرفيها بإحدى علامات المتباينة بينهما. عدم المساواة الصارمة تعني عدم المساواة بين كائنين. على عكس عدم المساواة الصارمة، تسمح عدم المساواة غير الصارمة بالمساواة بين الكائنات المدرجة فيها. المتباينات الخطية هي أبسط التعبيرات التي يمكن البدء بها، ويتم استخدام أبسط التقنيات لحل هذه المتباينات. الخطأ الرئيسي الذي يرتكبه الطلاب عند حل المتباينات عبر الإنترنت هو أنهم لا يميزون بين سمات المتباينات الصارمة وغير الصارمة، وهو ما يحدد ما إذا كانت القيم الحدودية سيتم تضمينها في الإجابة النهائية أم لا. تسمى العديد من حالات عدم المساواة المترابطة بواسطة العديد من المجهولات نظام عدم المساواة. حل المتباينات من النظام هو منطقة معينة على المستوى، أو شكل ثلاثي الأبعاد في فضاء ثلاثي الأبعاد. إلى جانب ذلك، يتم تجريدها بواسطة مسافات ذات أبعاد n، ولكن عند حل مثل هذه عدم المساواة، غالبًا ما يكون من المستحيل الاستغناء عن أجهزة كمبيوتر خاصة. لكل متباينة على حدة، تحتاج إلى إيجاد قيم المجهول عند حدود منطقة الحل. مجموعة جميع الحلول للمتباينة هي إجابتها. ويسمى استبدال إحدى المتباينات بمتباينة أخرى مكافئة لها بالانتقال المكافئ من متباينة إلى أخرى. تم العثور على نهج مماثل في التخصصات الأخرى لأنه يساعد على جلب التعبيرات إلى شكل قياسي. سوف تقدر جميع فوائد حل عدم المساواة عبر الإنترنت على موقعنا. المتباينة هي تعبير يحتوي على إحدى العلامات =>. في الأساس هذا تعبير منطقي. يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة - اعتمادًا على ما هو موجود على اليمين واليسار في هذه المتباينة. تتم دراسة شرح لمعنى عدم المساواة والتقنيات الأساسية لحل عدم المساواة في دورات مختلفة، وكذلك في المدرسة. حل أي متباينات عبر الإنترنت - المتباينات ذات المعامل، والجبر، والمثلثات، والمتباينات المتعالية عبر الإنترنت. تعمل عدم المساواة المتطابقة، مثل عدم المساواة الصارمة وغير الصارمة، على تبسيط عملية تحقيق النتيجة النهائية وهي أداة مساعدة لحل المشكلة. يتم ضمان حل أي متباينات وأنظمة عدم المساواة، سواء كانت متباينات لوغاريتمية أو أسية أو مثلثية أو تربيعية، باستخدام نهج صحيح مبدئيًا لهذه العملية المهمة. حل عدم المساواة عبر الإنترنت على الموقع متاح دائمًا لجميع المستخدمين ومجاني تمامًا. حلول المتراجحة في متغير واحد هي قيم المتغير التي تحوله إلى تعبير عددي صحيح. المعادلات والمتباينات ذات المعامل: معامل العدد الحقيقي هو القيمة المطلقة لذلك الرقم. الطريقة القياسية لحل هذه المتباينات هي رفع طرفي المتراجحة إلى القوة المطلوبة. المتباينات هي تعبيرات تشير إلى مقارنة الأعداد، لذا فإن حل المتباينات بشكل صحيح يضمن دقة هذه المقارنات. يمكن أن تكون صارمة (أكبر من أو أقل من) وغير صارمة (أكبر من أو يساوي أو أقل من أو يساوي). حل المتباينة يعني العثور على كل قيم المتغيرات التي، عند استبدالها في التعبير الأصلي، تحولها إلى التمثيل العددي الصحيح. مفهوم عدم المساواة وجوهرها وخصائصها وتصنيفها وأصنافها - هذا ما يحدد تفاصيلها هذا القسم الرياضي يجب أن يدرس الطلاب الخصائص الأساسية للمتباينات العددية، التي تنطبق على جميع كائنات هذا الفصل، في المرحلة الأولى من التعرف على هذا الموضوع. ترتبط المتباينات ومسافات خط الأعداد ارتباطًا وثيقًا عندما يتعلق الأمر بحل المتباينات عبر الإنترنت. يُظهر التعيين الرسومي لحل عدم المساواة بوضوح جوهر هذا التعبير؛ يصبح من الواضح ما الذي يجب على المرء أن يسعى إليه عند حل أي مشكلة معينة. يتضمن مفهوم عدم المساواة مقارنة شيئين أو أكثر. يتم حل المتباينات التي تحتوي على متغير كمعادلات مركبة بشكل مماثل، وبعد ذلك يتم تحديد فترات زمنية سيتم اعتبارها كإجابة. يمكنك بسهولة وعلى الفور حل أي متباينة جبرية أو متباينة مثلثية أو متباينات تحتوي على دوال متعالية باستخدام خدمتنا المجانية. الرقم هو حل للمتباينة إذا حصلنا، عند استبدال هذا الرقم بدلاً من المتغير، على التعبير الصحيح، أي أن علامة عدم المساواة توضح المفهوم الحقيقي.

مشروع الجبر "حل المتباينات المثلثية" أكملته طالبة الصف 10 "ب" كازاشكوفا يوليا المشرف: مدرس الرياضيات Kochakova N.N.

الهدف توحيد المواد المتعلقة بموضوع "حل المتباينات المثلثية" وإنشاء تذكير للطلاب للتحضير للامتحان القادم.

الأهداف: تلخيص المواد حول هذا الموضوع. تنظيم المعلومات الواردة. النظر في هذا الموضوع في امتحان الدولة الموحدة.

الملاءمة تكمن أهمية الموضوع الذي اخترته في حقيقة أن المهام المتعلقة بموضوع "حل المتباينات المثلثية" مدرجة في مهام امتحان الدولة الموحدة.

المتباينات المثلثية المتباينة هي علاقة تربط بين رقمين أو تعبيرين من خلال إحدى العلامات: (أكبر من)؛ ≥ (أكبر من أو يساوي). المتباينة المثلثية هي متباينة تتضمن دوال مثلثية.

المتباينات المثلثية يتم تقليل حل المتباينات التي تحتوي على دوال مثلثية، كقاعدة عامة، إلى حل أبسط المتباينات بالشكل: sin x>a, sin x أ، كوس س أ، تيراغرام س أ،ctgx

خوارزمية حل المتباينات المثلثية على المحور المقابل لدالة مثلثية معينة، حدد القيمة العددية المحددة لهذه الوظيفة. ارسم خطًا عبر النقطة المحددة التي تتقاطع مع دائرة الوحدة. حدد نقاط تقاطع الخط والدائرة مع مراعاة علامة المتباينة الصارمة أو غير الصارمة. حدد قوس الدائرة التي تقع عليها حلول المتراجحة. تحديد قيم الزوايا عند نقطتي البداية والنهاية للقوس الدائري. اكتب حل المتراجحة مع مراعاة دورية الدالة المثلثية المعطاة.

صيغ لحل المتباينات المثلثية sinx >a; س (أركسين أ + 2πn؛ π- أركسين أ + 2πn). com.sinx أ؛ س (- أركوس أ + 2πن؛ أركوس أ + 2πن). com.cosxأ؛ س (arctg أ + πn ; + πn). tgx أ؛ س (πn ؛ القطب الشمالي + πn). ctgx

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية sinx >a

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية sinx

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية cosx >a

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية cosx

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية tgx >a

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية tgx

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية ctgx >a

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية ctgx

طرق حل المتباينات المثلثية حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الأعداد؛ حل المتباينات المثلثية باستخدام الرسم البياني للدالة. :

حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الأعداد مثال 1:: الإجابة:

حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الأعداد المثال الأول: الإجابة:

حل المتباينات المثلثية باستخدام الرسم البياني للدالة مثال: الإجابة:

نتيجة العمل، قمت بتعزيز معرفتي حول موضوع "حل المتباينات المثلثية". تنظيم المعلومات الواردة حول هذا الموضوع لسهولة الإدراك: تطوير خوارزمية لحل عدم المساواة المثلثية؛ أوجز حلين. أمثلة موضحة للحلول. :

نتيجة العمل مرفقة أيضًا بمشروعي كمنتج نهائي "مذكرة للطلاب الذين يستعدون لامتحان الجبر". مستند مايكروسوفت أوفيس وورد (2). دوكإكس:

الأدب المستخدم كتاب الجبر للصف العاشر "الجبر وبدايات التحليل" الذي حرره أ.ن.كولموغوروف http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http://www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

طرق حل المتباينات المثلثية

ملاءمة. تاريخياً، أعطيت المعادلات المثلثية والمتباينات مكانة خاصة في المناهج المدرسية. يمكننا القول أن علم المثلثات هو أحد أهم أقسام الدورة المدرسية وعلوم الرياضيات بأكملها بشكل عام.

تحتل المعادلات المثلثية والمتباينات أحد الأماكن المركزية في مقرر الرياضيات بالمرحلة الثانوية سواء من حيث محتوى المادة التعليمية وطرق النشاط التعليمي والمعرفي التي يمكن وينبغي تكوينها أثناء دراستها وتطبيقها في حل أعداد كبيرة للمشاكل ذات الطبيعة النظرية والتطبيقية.

يؤدي حل المعادلات المثلثية والمتباينات إلى إنشاء المتطلبات الأساسية لتنظيم معرفة الطلاب المتعلقة بجميع المواد التعليمية في علم المثلثات (على سبيل المثال، خصائص الدوال المثلثية، وطرق تحويل التعبيرات المثلثية، وما إلى ذلك) ويجعل من الممكن إقامة اتصالات فعالة مع المواد المدروسة في الجبر (المعادلات، تكافؤ المعادلات، المتباينات، التحويلات المتماثلة للتعبيرات الجبرية، إلخ).

وبعبارة أخرى، فإن النظر في تقنيات حل المعادلات المثلثية والمتباينات ينطوي على نوع من نقل هذه المهارات إلى محتوى جديد.

إن أهمية النظرية وتطبيقاتها العديدة هي دليل على أهمية الموضوع المختار. وهذا بدوره يسمح لك بتحديد أهداف وغايات وموضوع البحث في الدورة التدريبية.

الغرض من الدراسة: تعميم الأنواع المتاحة من المتباينات المثلثية، والأساليب الأساسية والخاصة لحلها، واختيار مجموعة من المهام لحل المتباينات المثلثية من قبل تلاميذ المدارس.

أهداف البحث:

1. بناء على تحليل الأدبيات المتاحة حول موضوع البحث، قم بتنظيم المادة.

2. توفير مجموعة من المهام اللازمة لدمج موضوع "المتباينات المثلثية".

موضوع الدراسة هي عدم المساواة المثلثية في دورة الرياضيات المدرسية.

موضوع الدراسة: أنواع المتباينات المثلثية وطرق حلها.

الأهمية النظرية هو تنظيم المواد.

أهمية عملية: تطبيق المعرفة النظرية في حل المشاكل. تحليل الطرق الشائعة الرئيسية لحل عدم المساواة المثلثية.

طرق البحث : تحليل الأدبيات العلمية، وتوليف وتعميم المعرفة المكتسبة، وتحليل حل المشكلات، والبحث عن الأساليب المثلى لحل عدم المساواة.

§1. أنواع المتباينات المثلثية والطرق الأساسية لحلها

1.1. أبسط المتباينات المثلثية

يُطلق على التعبيرين المثلثيين المتصلين بالعلامة أو > المتباينات المثلثية.

حل المتباينة المثلثية يعني إيجاد مجموعة قيم المجهولات المتضمنة في المتراجحة التي تتحقق بها المتراجحة.

يتم حل الجزء الرئيسي من المتباينات المثلثية عن طريق تقليلها إلى أبسط حل:


قد تكون هذه طريقة للتحليل وتغيير المتغير (
,
إلخ)، حيث يتم أولاً حل المتباينة المعتادة، ثم حل متباينة الشكل
الخ، أو طرق أخرى.

يمكن حل أبسط المتباينات بطريقتين: استخدام دائرة الوحدة أو بيانيًا.

يتركو(س - واحدة من الوظائف المثلثية الأساسية. لحل عدم المساواة
فيكفي أن تجد حلها في فترة واحدة، أي: على أي قطعة طولها يساوي دورة الدالة
F س . ومن ثم سيتم إيجاد حل المتباينة الأصليةس وكذلك تلك القيم التي تختلف عن تلك الموجودة بأي عدد صحيح من فترات الدالة. في هذه الحالة، من الملائم استخدام الطريقة الرسومية.

دعونا نعطي مثالا على خوارزمية لحل عدم المساواة
(
) و
.

خوارزمية لحل عدم المساواة
(
).

1. صياغة تعريف جيب الرقمس على دائرة الوحدة.

3. على المحور الإحداثي، حدد النقطة بالإحداثياتأ .

4. ارسم خطًا موازيًا لمحور الثور من خلال هذه النقطة وحدد نقاط تقاطعه مع الدائرة.

5. حدد قوسًا للدائرة، جميع نقاطها لها إحداثيات أقل منأ .

6. حدد اتجاه الجولة (عكس اتجاه عقارب الساعة) واكتب الإجابة عن طريق إضافة فترة الدالة إلى نهايات الفترة2πn ,
.

خوارزمية لحل عدم المساواة
.

1. صياغة تعريف ظل الرقمس على دائرة الوحدة.

2. ارسم دائرة الوحدة.

3. ارسم خطًا من المماسات وحدد نقطة بإحداثيات عليهاأ .

4. قم بتوصيل هذه النقطة بالأصل ووضع علامة على نقطة تقاطع القطعة الناتجة مع دائرة الوحدة.

5. حدد قوسًا من الدائرة، جميع نقاطها لها إحداثيات على خط المماس أقل منأ .

6. وضح اتجاه الاجتياز واكتب الإجابة مع مراعاة مجال تعريف الدالة مع إضافة نقطةن ,
(الرقم الموجود على يسار الإدخال دائمًا أقل من الرقم الموجود على اليمين).

يشار في الملحق إلى التفسير الرسومي لحلول أبسط المعادلات والصيغ لحل عدم المساواة بشكل عام (الملحقان 1 و 2).

مثال 1. حل عدم المساواة
.

ارسم خطًا مستقيمًا على دائرة الوحدة
الذي يتقاطع مع الدائرة عند النقطتين A و B .

كل المعانيذ على الفاصل الزمني NM أكبر ، فإن جميع نقاط قوس AMB تلبي عدم المساواة هذا. في جميع زوايا الدوران، كبيرة ولكن أصغر ,
سوف تأخذ على قيم أكبر (ولكن ليس أكثر من واحد).

رسم بياني 1

وبالتالي، فإن حل المتراجحة سيكون جميع القيم في الفترة
، أي.
. للحصول على جميع الحلول لهذه المتباينة، يكفي إضافة طرفي هذه الفترة
، أين
، أي.
,
.
لاحظ أن القيم
و
هي جذور المعادلة
,

أولئك.
;
.

إجابة:
,
.

1.2. طريقة رسومية

من الناحية العملية، غالبًا ما تكون الطريقة الرسومية لحل المتباينات المثلثية مفيدة. دعونا نفكر في جوهر الطريقة باستخدام مثال عدم المساواة
:

1. إذا كانت الحجة معقدة (تختلف عنX )، ثم استبدله بـر .

2. نبني في مستوى إحداثي واحدلعبة الرسوم البيانية الوظيفية
و
.

3. نجد مثل هذانقطتين متجاورتين من تقاطع الرسوم البيانية، بينهاموجة جيبيةتقعأعلى مستقيم
. نجد حروف هذه النقاط.

4. اكتب متباينة مزدوجة للوسيطةر مع الأخذ في الاعتبار فترة جيب التمام (ر سيكون بين الإحداثيات الموجودة).

5. قم بإجراء استبدال عكسي (العودة إلى الوسيطة الأصلية) والتعبير عن القيمةX ومن المتباينة المزدوجة نكتب الإجابة على صورة فترة عددية.

مثال 2. حل عدم المساواة: .

عند حل المتباينات باستخدام الطريقة الرسومية، من الضروري إنشاء رسوم بيانية للدوال بأكبر قدر ممكن من الدقة. دعونا نحول عدم المساواة إلى النموذج:

دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف في نظام إحداثي واحد
و
(الصورة 2).

الصورة 2

تتقاطع الرسوم البيانية للوظائف عند النقطةأ مع الإحداثيات
;
. ما بين أثنين
نقاط الرسم البياني
تحت نقاط الرسم البياني
. وعندما
قيم الوظيفة هي نفسها. لهذا
في
.

إجابة:
.

1.3. الطريقة الجبرية

في كثير من الأحيان، يمكن اختزال المتباينة المثلثية الأصلية إلى متباينة جبرية (عقلانية أو غير عقلانية) من خلال استبدال مختار جيدًا. تتضمن هذه الطريقة تحويل المتباينة أو إدخال استبدال أو استبدال متغير.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة محددة لتطبيق هذه الطريقة.

مثال 3. التخفيض إلى أبسط شكل
.

(تين. 3)

تين. 3

,
.

إجابة:
,

مثال 4. حل عدم المساواة:

أودز:
,
.

استخدام الصيغ:
,

لنكتب عدم المساواة في النموذج:
.

أو الاعتقاد
بعد التحولات البسيطة التي نحصل عليها

,

,

.

وبحل المتباينة الأخيرة باستخدام طريقة الفاصل نحصل على:

الشكل 4

، على التوالى
. ثم من الشكل. 4 يتبع
، أين
.

الشكل 5

إجابة:
,
.

1.4. طريقة الفاصل

مخطط عام لحل المتباينات المثلثية باستخدام طريقة الفاصل:

    عامل باستخدام الصيغ المثلثية.

    أوجد نقاط الانقطاع والأصفار للدالة وضعها على الدائرة.

    خذ أي نقطةل (لكن لم يتم العثور عليها سابقًا) واكتشف علامة المنتج. إذا كان حاصل الضرب موجبًا، فضع نقطة خارج دائرة الوحدة على الشعاع المقابل للزاوية. وإلا ضع النقطة داخل الدائرة.

    إذا حدثت نقطة ما عددًا زوجيًا من المرات، فإننا نسميها نقطة التعددية الزوجية؛ وإذا حدث عدد فردي من المرات، فإننا نسميها نقطة التعددية الفردية. ارسم الأقواس كما يلي: ابدأ من نقطةل فإذا كانت النقطة التي تليها ذات تعدد فردي فإن القوس يقطع الدائرة عند هذه النقطة، أما إذا كانت النقطة ذات تعدد زوجي فلا يتقاطع.

    الأقواس الموجودة خلف الدائرة هي فترات موجبة؛ يوجد داخل الدائرة مساحات سلبية.

مثال 5. حل عدم المساواة

,
.

نقاط السلسلة الأولى:
.

نقاط السلسلة الثانية:
.

تتكرر كل نقطة عددًا فرديًا من المرات، أي أن جميع النقاط ذات تعدد فردي.

دعونا معرفة علامة المنتج في
: . لنضع علامة على جميع النقاط الموجودة على دائرة الوحدة (الشكل 6):

أرز. 6

إجابة:
,
;
,
;
,
.

مثال 6 . حل عدم المساواة.

حل:

دعونا نجد أصفار التعبير .

يستلمعبد اللطيفم :

,
;

,
;

,
;

,
;

على قيم سلسلة دائرة الوحدةX 1 ممثلة بالنقاط
. مسلسل
X 2 يعطي نقاط
. مسلسل
X 3 نحصل على نقطتين
. وأخيرا السلسلة
X 4 سوف تمثل النقاط
. لنرسم كل هذه النقاط على دائرة الوحدة، مع الإشارة إلى تعددها بين قوسين بجانب كل منها.

دعونا الآن الرقم سوف تكون متساوية. دعونا نجري تقديرًا بناءً على العلامة:

لذا، توقف تمامًاأ يجب أن يتم تحديده على الشعاع الذي يشكل الزاوية مع شعاعأوه، خارج دائرة الوحدة. (لاحظ أن الشعاع المساعدعن أ ليس من الضروري على الإطلاق تصويره في الرسم. نقطةأ تم اختياره تقريبًا.)

الآن من هذه النقطةأ ارسم خطًا متواصلًا متموجًا بالتسلسل لجميع النقاط المحددة. وفي نقاط
ينتقل خطنا من منطقة إلى أخرى: إذا كان خارج دائرة الوحدة، فإنه يدخل داخلها. الاقتراب من النقطة ، يعود الخط إلى المنطقة الداخلية، لأن تعدد هذه النقطة زوجي. وبالمثل عند هذه النقطة (مع التعدد الزوجي) يجب أن يتحول الخط إلى المنطقة الخارجية. لذلك، قمنا برسم صورة معينة كما هو موضح في الشكل. 7. يساعد على إبراز المناطق المرغوبة على دائرة الوحدة. تم تمييزها بعلامة "+".

الشكل 7

الجواب النهائي:

ملحوظة. إذا كان الخط المتموج، بعد الالتفاف حول جميع النقاط المحددة على دائرة الوحدة، لا يمكن إرجاعه إلى النقطةأ , دون عبور الدائرة في مكان "غير قانوني"، فهذا يعني أنه حدث خطأ في الحل، وهو فقدان عدد فردي من الجذور.

إجابة: .

§2. مجموعة من المسائل لحل المتباينات المثلثية

في عملية تطوير قدرة تلاميذ المدارس على حل عدم المساواة المثلثية، يمكن أيضا تمييز 3 مراحل.

1. الإعدادية،

2. تطوير القدرة على حل المتباينات المثلثية البسيطة.

3. إدخال المتباينات المثلثية بأنواعها الأخرى.

الغرض من المرحلة التحضيرية هو أنه من الضروري تنمية القدرة لدى أطفال المدارس على استخدام الدائرة المثلثية أو الرسم البياني لحل المتباينات، وهي:

القدرة على حل عدم المساواة البسيطة في النموذج
,
,
,
,
باستخدام خصائص وظائف الجيب وجيب التمام؛

القدرة على بناء متباينات مزدوجة لأقواس دائرة الأعداد أو لأقواس الرسوم البيانية للوظائف؛

القدرة على إجراء التحويلات المختلفة للتعبيرات المثلثية.

يوصى بتنفيذ هذه المرحلة في عملية تنظيم معرفة تلاميذ المدارس حول خصائص الدوال المثلثية. يمكن أن تكون الوسيلة الرئيسية هي المهام المقدمة للطلاب والتي يتم إجراؤها إما تحت إشراف المعلم أو بشكل مستقل، بالإضافة إلى المهارات التي تم تطويرها في حل المعادلات المثلثية.

فيما يلي أمثلة على هذه المهام:

1 . ضع علامة على نقطة على دائرة الوحدة ، لو

.

2. في أي ربع من المستوى الإحداثي تقع النقطة؟ ، لو يساوي:

3. ضع علامة على النقاط الموجودة على الدائرة المثلثية ، لو:

4. تحويل التعبير إلى الدوال المثلثيةأناأرباع.

أ)
,
ب)
,
الخامس)

5. يتم إعطاء القوس MR.م - وسطأنا-الربع الرابع،ر - وسطثانياالربع الرابع. الحد من قيمة المتغيرر من أجل: (إنشاء متباينة مزدوجة) أ) قوس MR؛ ب) أقواس RM.

6. اكتب المتباينة المزدوجة للأقسام المحددة من الرسم البياني:

أرز. 1

7. حل عدم المساواة
,
,
,
.

8. تحويل التعبير .

في المرحلة الثانية من تعلم حل المتباينات المثلثية، يمكننا تقديم التوصيات التالية المتعلقة بمنهجية تنظيم الأنشطة الطلابية. في هذه الحالة، من الضروري التركيز على مهارات الطلاب الحالية في العمل مع دائرة أو رسم بياني مثلثي، تم تشكيله أثناء حل أبسط المعادلات المثلثية.

أولاً، يمكن تحفيز ضرورة الحصول على طريقة عامة لحل أبسط المتباينات المثلثية عن طريق التحول، على سبيل المثال، إلى متباينة الشكل
. باستخدام المعرفة والمهارات المكتسبة في المرحلة الإعدادية، سيقوم الطلاب بإحضار عدم المساواة المقترحة إلى النموذج
، ولكن قد تجد صعوبة في إيجاد مجموعة من الحلول للتفاوت الناتج، بسبب من المستحيل حلها فقط باستخدام خصائص دالة الجيب. يمكن تجنب هذه الصعوبة بالرجوع إلى الرسم التوضيحي المناسب (حل المعادلة بيانياً أو باستخدام دائرة الوحدة).

ثانيًا، يجب على المعلم لفت انتباه الطلاب إلى طرق مختلفة لإكمال المهمة، وإعطاء مثال مناسب لحل المتراجحة بيانيًا واستخدام دائرة مثلثية.

دعونا نفكر في الحلول التالية لعدم المساواة
.

1. حل المتراجحة باستخدام دائرة الوحدة.

في الدرس الأول حول حل المتباينات المثلثية، سنقدم للطلاب خوارزمية حل مفصلة، ​​والتي تعكس في عرض تقديمي خطوة بخطوة جميع المهارات الأساسية اللازمة لحل المتباينة.

الخطوة 1.لنرسم دائرة وحدة ونحدد نقطة على المحور الإحداثي وارسم خطًا مستقيمًا من خلاله موازيًا للمحور السيني. سيتقاطع هذا الخط مع دائرة الوحدة عند نقطتين. تمثل كل نقطة من هذه النقاط أرقامًا جيبها يساوي .

الخطوة 2.هذا الخط المستقيم يقسم الدائرة إلى قوسين. دعونا نختار الرقم الذي يصور الأرقام التي لها جيب أكبر من . وبطبيعة الحال، يقع هذا القوس فوق الخط المستقيم المرسوم.

أرز. 2

الخطوه 3.حدد أحد طرفي القوس المحدد. لنكتب أحد الأرقام التي تمثلها هذه النقطة من دائرة الوحدة .

الخطوة 4.من أجل تحديد الرقم المقابل للنهاية الثانية للقوس المحدد، فإننا "نسير" على طول هذا القوس من النهاية المسماة إلى الطرف الآخر. وفي الوقت نفسه، تذكر أنه عند التحرك عكس اتجاه عقارب الساعة، فإن الأرقام التي سنمر بها تزيد (عند التحرك في الاتجاه المعاكس، ستنخفض الأرقام). لنكتب الرقم الموضح على دائرة الوحدة عند الطرف الثاني للقوس المحدد .

وهكذا نرى هذا التفاوت
تحقق الأعداد التي تكون فيها المتراجحة صحيحة
. لقد قمنا بحل المتباينة للأعداد الموجودة في نفس الفترة لدالة الجيب. ومن ثم، يمكن كتابة جميع حلول المتباينة على الصورة

يجب أن يُطلب من الطلاب فحص الرسم بعناية ومعرفة سبب كل الحلول للمتباينة
يمكن كتابتها في النموذج
,
.

أرز. 3

من الضروري لفت انتباه الطلاب إلى حقيقة أنه عند حل عدم المساواة لوظيفة جيب التمام، نرسم خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور الإحداثي.

    طريقة رسومية لحل عدم المساواة.

نحن نبني الرسوم البيانية
و
، بشرط
.

أرز. 4

ثم نكتب المعادلة
وقراره
,
,
، وجدت باستخدام الصيغ
,
,
.

(إعطاءن القيم 0، 1، 2، نجد الجذور الثلاثة للمعادلة المجمعة). قيم
هي ثلاث حروف متتابعة لنقاط تقاطع الرسوم البيانية
و
. ومن الواضح، دائما في الفترة الفاصلة
عدم المساواة يحمل
، وعلى الفاصل
- عدم المساواة
. نحن مهتمون بالحالة الأولى، ثم نضيف إلى طرفي هذه الفترة رقمًا يمثل أحد مضاعفات دورة الجيب، ونحصل على حل للمتباينة
مثل:
,
.

أرز. 5

لخص. لحل عدم المساواة
، تحتاج إلى إنشاء المعادلة المقابلة وحلها. أوجد الجذور من الصيغة الناتجة و ، واكتب الإجابة على عدم المساواة في النموذج: ,
.

ثالثًا، يتم تأكيد حقيقة مجموعة جذور المتباينة المثلثية المقابلة بوضوح شديد عند حلها بيانيًا.

أرز. 6

من الضروري أن نوضح للطلاب أن الدورة، التي هي حل المتراجحة، تتكرر خلال نفس الفترة، أي ما يعادل دورة الدالة المثلثية. يمكنك أيضًا التفكير في رسم توضيحي مماثل للرسم البياني لدالة الجيب.

رابعا، يُنصح بالعمل على تحديث تقنيات الطلاب لتحويل مجموع (الفرق) للدوال المثلثية إلى منتج، ولفت انتباه الطلاب إلى دور هذه التقنيات في حل المتباينات المثلثية.

يمكن تنظيم هذا العمل من خلال إكمال الطلاب بشكل مستقل للمهام التي يقترحها المعلم، والتي نسلط الضوء من بينها على ما يلي:

خامسا، يجب أن يطلب من الطلاب توضيح الحل لكل متباينة مثلثية بسيطة باستخدام رسم بياني أو دائرة مثلثية. يجب عليك بالتأكيد الانتباه إلى مدى ملاءمتها، خاصة استخدام الدائرة، لأنه عند حل المتباينات المثلثية، يكون الرسم التوضيحي المقابل بمثابة وسيلة مريحة للغاية لتسجيل مجموعة الحلول لمتباينة معينة

من المستحسن تعريف الطلاب بطرق حل المتباينات المثلثية التي ليست أبسطها وفق المخطط التالي: التحول إلى متباينة مثلثية محددة التحول إلى المعادلة المثلثية المقابلة للبحث المشترك (المعلم - الطلاب) عن حل نقل مستقل للمتباينة المثلثية تم العثور على طريقة لمتباينات أخرى من نفس النوع.

من أجل تنظيم معرفة الطلاب حول علم المثلثات، نوصي باختيار مثل هذه المتباينات بشكل خاص، والتي يتطلب حلها تحويلات مختلفة يمكن تنفيذها في عملية حلها، وتركيز انتباه الطلاب على ميزاتها.

وعلى هذا النحو من عدم المساواة الإنتاجية يمكننا أن نقترح، على سبيل المثال، ما يلي:

وفي الختام، نعطي مثالا على مجموعة من المسائل لحل المتباينات المثلثية.

1. حل المتباينات:

2. حل المتباينات: 3. أوجد جميع الحلول للمتباينات: 4. أوجد جميع الحلول للمتباينات:

أ)
، استيفاء الشرط
;

ب)
، استيفاء الشرط
.

5. أوجد جميع الحلول للمتباينات:

أ) ;

ب) ;

الخامس)
;

ز)
;

د)
.

6. حل المتباينات:

أ) ;

ب) ;

الخامس) ؛

ز)
;

د) ؛

ه) ؛

و)
.

7. حل المتباينات:

أ)
;

ب) ;

الخامس) ؛

ز) .

8. حل المتباينات:

أ) ;

ب) ;

الخامس) ؛

ز)
;

د)
;

ه) ؛

و)
;

ح) .

يُنصح بتقديم المهمتين 6 و7 للطلاب الذين يدرسون الرياضيات بمستوى متقدم، والمهمة 8 للطلاب في الفصول ذات الدراسة المتقدمة للرياضيات.

§3. طرق خاصة لحل المتباينات المثلثية

الطرق الخاصة لحل المعادلات المثلثية - أي تلك الطرق التي لا يمكن استخدامها إلا لحل المعادلات المثلثية. تعتمد هذه الطرق على استخدام خصائص الدوال المثلثية، وكذلك على استخدام الصيغ والمتطابقات المثلثية المختلفة.

3.1. طريقة القطاع

دعونا نفكر في طريقة القطاع لحل المتباينات المثلثية. حل عدم المساواة في النموذج

، أينص ( س ) وس ( س ) - الدوال المثلثية العقلانية (يتم تضمين الجيوب وجيب التمام والظلال وظل التمام بشكل عقلاني)، على غرار حل عدم المساواة العقلانية. من السهل حل المتباينات العقلانية باستخدام طريقة الفواصل الزمنية على خط الأعداد. نظيرتها لحل المتباينات المثلثية العقلانية هي طريقة القطاعات في الدائرة المثلثية، من أجلcom.sinx وcom.cosx (
) أو نصف دائرة مثلثية ل
tgx وctgx (
).


في طريقة الفاصل، كل عامل خطي من البسط والمقام من النموذج
على محور العدد يتوافق مع نقطة ، وعند المرور من هذه النقطة
علامة التغييرات. في طريقة القطاع، كل عامل من النموذج
، أين
- إحدى الوظائف
com.sinx أوcom.cosx و
، في الدائرة المثلثية هناك زاويتان متقابلتان و
، والتي تقسم الدائرة إلى قطاعين. عند المرور و وظيفة
علامة التغييرات.

ويجب تذكر ما يلي:

أ) عوامل النموذج
و
، أين
، احتفظ بالعلامة لجميع القيم . يتم التخلص من عوامل البسط والمقام عن طريق تغيير (إذا
) مع كل رفض من هذا القبيل، يتم عكس علامة عدم المساواة.

ب) عوامل النموذج
و
يتم التخلص منها أيضًا. علاوة على ذلك، إذا كانت هذه عوامل للمقام، فسيتم إضافة متباينات الشكل إلى نظام المتباينات المكافئ
و
. إذا كانت هذه عوامل البسط، فإنها في نظام القيود المكافئ تتوافق مع عدم المساواة
و
في حالة عدم المساواة الأولية الصارمة، والمساواة
و
في حالة عدم المساواة الأولية غير الصارمة. عند التخلص من المضاعف
أو
يتم عكس علامة عدم المساواة.

مثال 1. حل المتباينات: أ)
، ب)
.
لدينا وظيفة ب). حل عدم المساواة لدينا،

3.2. طريقة الدائرة متحدة المركز

هذه الطريقة هي نظير لطريقة محاور الأعداد المتوازية لحل أنظمة عدم المساواة العقلانية.

دعونا نفكر في مثال لنظام عدم المساواة.

مثال 5. حل نظام من المتباينات المثلثية البسيطة

أولا، نحل كل متباينة على حدة (الشكل 5). في الزاوية اليمنى العليا من الشكل، سنشير إلى الوسيطة التي يتم النظر في الدائرة المثلثية لها.

الشكل 5

بعد ذلك، نبني نظامًا من الدوائر متحدة المركز للحجّةX . نرسم دائرة ونظللها حسب حل المتباينة الأولى، ثم نرسم دائرة نصف قطرها أكبر ونظللها حسب حل المتباينة الثانية، ثم نبني دائرة للمتباينة الثالثة ودائرة أساسية. نرسم الأشعة من مركز النظام عبر نهايات الأقواس بحيث تتقاطع مع جميع الدوائر. نشكل حلاً على الدائرة الأساسية (الشكل 6).

الشكل 6

إجابة:
,
.

خاتمة

تم الانتهاء من جميع أهداف الدورة البحثية. المادة النظرية منظمة: يتم تقديم الأنواع الرئيسية من عدم المساواة المثلثية والطرق الرئيسية لحلها (الرسوم البيانية والجبرية وطريقة الفواصل الزمنية والقطاعات وطريقة الدوائر متحدة المركز). تم إعطاء مثال لحل عدم المساواة لكل طريقة. وأعقب الجزء النظري الجزء العملي. أنه يحتوي على مجموعة من المهام لحل المتباينات المثلثية.

يمكن للطلاب استخدام هذه الدورات الدراسية للعمل المستقل. يمكن لأطفال المدارس التحقق من مستوى إتقان هذا الموضوع والتدرب على إكمال المهام ذات التعقيد المتفاوت.

بعد دراسة الأدبيات ذات الصلة حول هذه المسألة، يمكننا أن نستنتج بوضوح أن القدرة والمهارات اللازمة لحل عدم المساواة المثلثية في الدورة المدرسية للجبر والتحليل الأولي مهمة للغاية، والتي يتطلب تطويرها جهدًا كبيرًا من جانب مدرس الرياضيات.

لذلك، سيكون هذا العمل مفيدًا لمدرسي الرياضيات، لأنه يجعل من الممكن تنظيم تدريب الطلاب بشكل فعال حول موضوع "المتباينات المثلثية".

ويمكن مواصلة البحث من خلال توسيعه إلى العمل التأهيلي النهائي.

قائمة الأدب المستخدم

    بوغومولوف، ن.ف. مجموعة من المشاكل في الرياضيات [نص] / ن.ف. بوجومولوف. – م: حبارى، 2009. – 206 ص.

    فيجودسكي ، م.يا. دليل الرياضيات الابتدائية [النص] / M.Ya. فيجودسكي. – م: حبارى، 2006. – 509 ص.

    زوربينكو ، إل.ن. الرياضيات في الأمثلة والمسائل [نص] / L.N. زوربينكو. – م: إنفرا-م، 2009. – 373 ص.

    إيفانوف، أ. الرياضيات الابتدائية لأطفال المدارس والطلاب والمعلمين [النص] / O.A. إيفانوف. – م: MTsNMO، 2009. – 384 ص.

    كارب، أ.ب. واجبات في الجبر وبدايات التحليل لتنظيم التكرار النهائي والشهادة في الصف الحادي عشر [نص] / أ.ب. الكارب. – م: التربية، 2005. – 79 ص.

    كولانين، إ.د. 3000 مشكلة تنافسية في الرياضيات [نص] / إ.د. كولانين. – م: مطبعة القزحية، 2007. – 624 ص.

    ليبسون، ك.ل. مجموعة من المهام العملية في الرياضيات [النص] / ك.ل. ليبسون. – م: حبارى، 2010. – 182 ص.

    الكوع، V. V. مشاكل المعلمات وحلها. علم المثلثات: المعادلات والمتباينات والأنظمة. الصف العاشر [النص] / ف.ف. مِرفَق. – م: أركتي، 2008. – 64 ص.

    مانوفا، أ.ن. الرياضيات. مدرس سريع للتحضير لامتحان الدولة الموحدة: طالب. دليل [نص] / أ.ن. مانوفا. – روستوف على نهر الدون: فينيكس، 2012. – 541 ص.

    موردكوفيتش، أ.ج. الجبر وبداية التحليل الرياضي. 10-11 درجات. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام [نص] / أ.ج. موردكوفيتش. – م: مطبعة القزحية، 2009. – 201 ص.

    نوفيكوف، أ. الدوال المثلثية والمعادلات والمتباينات [النص] / A.I. نوفيكوف. – م.: فيزماتليت، 2010. – 260 ص.

    أوغانيسيان، ف.أ. طرق تدريس الرياضيات في المرحلة الثانوية: المنهجية العامة. كتاب مدرسي دليل لطلاب الفيزياء - حصيرة. وهمية. رقم التعريف الشخصي. انست. [نص] / ف.أ. اوغانيسيان. – م: التربية، 2006. – 368 ص.

    أولنيك، إس.إن. المعادلات والمتباينات. طرق الحل غير القياسية [نص] / S.N. أولنيك. – م: دار النشر المعملية، 1997. – 219 ص.

    سيفريوكوف، ب.ف. المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية [نص] / ب.ف. سيفريوكوف. – م: التعليم العام، 2008. – 352 ص.

    سيرجيف ، آي.إن. امتحان الدولة الموحد: 1000 مشكلة مع الإجابات والحلول في الرياضيات. جميع مهام المجموعة C [نص] / I.N. سيرجيف. – م: الامتحان 2012. – 301 ص.

    سوبوليف، أ.ب. الرياضيات الابتدائية [النص] / أ.ب. سوبوليف. – ييكاتيرينبرج: المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي USTU-UPI، 2005. – 81 ص.

    فينكو، إل إم. طريقة الفترات في حل المتباينات ودراسة الدوال [النص] / L.M. فينكو. – م: حبارى، 2005. – 124 ص.

    فريدمان، إل إم. الأسس النظرية لأساليب تدريس الرياضيات [النص] / ل.م. فريدمان. – م: دار الكتب “ليبروكوم”، 2009. – 248 ص.

المرفق 1

التفسير البياني لحلول عدم المساواة البسيطة

أرز. 1

أرز. 2

تين. 3

الشكل 4

الشكل 5

الشكل 6

الشكل 7

الشكل 8

الملحق 2

حلول للمتباينات البسيطة