समाधान ऑनलाइन फ़ंक्शन सीमाएँ. किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन या फ़ंक्शनल अनुक्रम का सीमा मान ज्ञात करें, गणना करें सीमितअनंत पर फ़ंक्शन मान. किसी संख्या श्रृंखला के अभिसरण का निर्धारण करें और हमारी ऑनलाइन सेवा की बदौलत बहुत कुछ किया जा सकता है -। हम आपको त्वरित और सटीक रूप से ऑनलाइन फ़ंक्शन सीमाएं खोजने की अनुमति देते हैं। आप स्वयं फ़ंक्शन के वेरिएबल और उस सीमा तक प्रवेश करते हैं जिसकी वह अपेक्षा करता है, हमारी सेवा सटीक और सरल उत्तर देते हुए आपके लिए सभी गणना करती है। और के लिए ऑनलाइन सीमा ज्ञात करनाआप शाब्दिक अभिव्यक्ति में स्थिरांक वाले संख्यात्मक श्रृंखला और विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन दोनों दर्ज कर सकते हैं। इस मामले में, पाई गई फ़ंक्शन सीमा में अभिव्यक्ति में निरंतर तर्क के रूप में ये स्थिरांक शामिल होंगे। हमारी सेवा खोजने की किसी भी जटिल समस्या का समाधान करती है ऑनलाइन सीमाएं, यह फ़ंक्शन और उस बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है जिस पर गणना करना आवश्यक है कार्य सीमा. कम्प्यूटिंग ऑनलाइन सीमाएं, आप परिणाम की तुलना करते हुए, उन्हें हल करने के लिए विभिन्न तरीकों और नियमों का उपयोग कर सकते हैं समाधान ऑनलाइन सीमित करें www.site पर, जिससे कार्य सफलतापूर्वक पूरा होगा - आप अपनी गलतियों और टाइपो से बचेंगे। या आप हम पर पूरा भरोसा कर सकते हैं और फ़ंक्शन सीमा की स्वतंत्र गणना पर अतिरिक्त प्रयास और समय खर्च किए बिना, हमारे परिणाम का उपयोग अपने काम में कर सकते हैं। हम अनंत जैसे सीमा मानों के इनपुट की अनुमति देते हैं। आपको संख्यात्मक अनुक्रम का एक सामान्य पद दर्ज करना होगा और www.साइटमूल्य की गणना करेगा ऑनलाइन सीमित करेंप्लस या माइनस अनंत तक।

गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है कार्य सीमाऔर अनुक्रम सीमाएक बिंदु पर और अनंत पर, सही ढंग से हल करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है सीमा. हमारी सेवा से यह कठिन नहीं होगा. एक निर्णय लिया जा रहा है ऑनलाइन सीमाएंकुछ ही सेकंड में, उत्तर सटीक और पूर्ण हो जाता है। कैलकुलस का अध्ययन प्रारंभ होता है सीमा तक जाना, सीमाउच्च गणित के लगभग सभी अनुभागों में उपयोग किया जाता है, इसलिए हाथ में सर्वर रखना उपयोगी होता है समाधान ऑनलाइन सीमित करें, जो कि matematikam.ru है।

जो लोग सीखना चाहते हैं कि सीमाएँ कैसे खोजें, इस लेख में हम इसके बारे में बात करेंगे। हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे, यह आमतौर पर शिक्षकों द्वारा व्याख्यान में दिया जाता है। तो "उबाऊ सिद्धांत" को आपकी नोटबुक में रेखांकित किया जाना चाहिए। यदि यह मामला नहीं है, तो आप शैक्षणिक संस्थान के पुस्तकालय या अन्य इंटरनेट संसाधनों से ली गई पाठ्यपुस्तकें पढ़ सकते हैं।

इसलिए, उच्च गणित के पाठ्यक्रम के अध्ययन में सीमा की अवधारणा काफी महत्वपूर्ण है, खासकर जब आप अभिन्न कलन से परिचित होते हैं और सीमा और अभिन्न के बीच संबंध को समझते हैं। वर्तमान सामग्री में सरल उदाहरणों के साथ-साथ उन्हें हल करने के तरीकों पर भी विचार किया जाएगा।

समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

गणना करें a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; बी)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

समाधान

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ बी)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ हमें अक्सर इन सीमाओं को हल करने के लिए मदद मांगने के लिए भेजा जाता है। हमने उन्हें एक अलग उदाहरण के रूप में उजागर करने और यह समझाने का निर्णय लिया कि इन सीमाओं को एक नियम के रूप में याद रखने की आवश्यकता है। यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम एक विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे. आप गणना की प्रगति से परिचित हो सकेंगे और जानकारी एकत्र कर सकेंगे। इससे आपको समय पर शिक्षक से क्रेडिट प्राप्त करने में मदद मिलेगी!

उत्तर

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \to 0) \frac (1 )(x) = 0 $$

फॉर्म की अनिश्चितता के साथ क्या करें: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

उदाहरण 3

$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ को हल करें

समाधान

हमेशा की तरह, हम सीमा चिह्न के नीचे अभिव्यक्ति में $ x $ के मान को प्रतिस्थापित करके प्रारंभ करते हैं। $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ आगे क्या होगा? परिणाम क्या होना चाहिए? चूँकि यह एक अनिश्चितता है, यह अभी तक कोई उत्तर नहीं है और हम गणना जारी रखते हैं। चूँकि हमारे पास अंशों में एक बहुपद है, हम इसे परिचित सूत्र $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ का उपयोग करके गुणनखंडों में विघटित करते हैं। याद आ गई? महान! अब आगे बढ़ें और इसे गाने के साथ लागू करें :) हम पाते हैं कि अंश $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ हम उपरोक्त परिवर्तन को हल करना जारी रखते हैं: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

उत्तर

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

आइए पिछले दो उदाहरणों की सीमा को अनंत तक लें और अनिश्चितता पर विचार करें: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

उदाहरण 5

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ की गणना करें

समाधान

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ क्या करें? हो कैसे? घबराओ मत, क्योंकि असंभव संभव है। अंश और हर दोनों में कोष्ठक को हटाना और फिर उसे छोटा करना आवश्यक है। उसके बाद, सीमा की गणना करने का प्रयास करें। कोशिश कर रहे हैं... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ उदाहरण 2 से परिभाषा का उपयोग करने और x के लिए अनंत को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

उत्तर

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

सीमा की गणना के लिए एल्गोरिदम

तो, आइए विश्लेषण किए गए उदाहरणों को संक्षेप में सारांशित करें और सीमाओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम बनाएं:

1. सीमा चिह्न के बाद वाले व्यंजक में बिंदु x रखें। यदि एक निश्चित संख्या, या अनंत प्राप्त हो जाए, तो सीमा पूरी तरह से हल हो जाती है। अन्यथा, हमारे पास अनिश्चितता है: "शून्य को शून्य से विभाजित किया गया" या "अनंत को अनंत से विभाजित किया गया" और निर्देश के अगले पैराग्राफ पर आगे बढ़ें।
2. "शून्य को शून्य से विभाजित करें" की अनिश्चितता को खत्म करने के लिए आपको अंश और हर का गुणनखंड करना होगा। समान कम करें. अभिव्यक्ति में सीमा चिन्ह के नीचे बिंदु x रखें।
3. यदि अनिश्चितता "अनंत को अनंत से विभाजित" है, तो हम अंश और हर दोनों में सबसे बड़ी डिग्री का x निकाल देते हैं। हम x को छोटा करते हैं। हम सीमा के नीचे से x मानों को शेष अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं।

इस लेख में, आप कैलकुलस पाठ्यक्रम में अक्सर उपयोग की जाने वाली सीमाओं को हल करने की बुनियादी बातों से परिचित हुए। बेशक, ये परीक्षकों द्वारा पेश की जाने वाली सभी प्रकार की समस्याएं नहीं हैं, बल्कि केवल सबसे सरल सीमाएँ हैं। हम भविष्य के लेखों में अन्य प्रकार के कार्यों के बारे में बात करेंगे, लेकिन आगे बढ़ने के लिए पहले आपको यह पाठ सीखना होगा। हम चर्चा करेंगे कि यदि जड़ें, डिग्री हैं तो क्या करें, हम अनंत तुल्य फलन, अद्भुत सीमाएं, एल'हॉपिटल के नियम का अध्ययन करेंगे।

यदि आप स्वयं सीमाओं का पता नहीं लगा सकते, तो घबराएं नहीं। हमें हमेशा मदद करके खुशी होती हैं!

सीमाएँ हल करने की विधियाँ। अनिश्चितताएँ।
कार्य वृद्धि क्रम. प्रतिस्थापन विधि

उदाहरण 4

सीमा ज्ञात करें

यह स्वयं करें समाधान का एक सरल उदाहरण है। प्रस्तावित उदाहरण में, फिर से, अनिश्चितता (जड़ की तुलना में विकास के उच्च क्रम की)।

यदि "x" "माइनस इनफिनिटी" की ओर प्रवृत्त होता है

इस लेख में "माइनस इन्फिनिटी" का भूत लंबे समय से मंडरा रहा है। बहुपदों वाली सीमाओं पर विचार करें जिनमें . कई बारीकियों को छोड़कर, समाधान के सिद्धांत और तरीके पाठ के पहले भाग के समान ही होंगे।

उन 4 चिप्स पर विचार करें जिनकी व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यकता होगी:

1) सीमा की गणना करें

सीमा का मान केवल पद पर निर्भर करता है क्योंकि इसमें वृद्धि का क्रम उच्चतम होता है। तो अगर असीम रूप से बड़ा मॉड्यूलो EVEN की घात के लिए ऋणात्मक संख्या, इस मामले में - चौथे में, "प्लस इनफिनिटी" के बराबर है:। लगातार ("दो") सकारात्मक, इसीलिए:

2) सीमा की गणना करें

यहाँ फिर से वरिष्ठ डिग्री है यहां तक ​​की, इसीलिए: । लेकिन सामने एक "माइनस" है ( नकारात्मकस्थिरांक -1), इसलिए:

3) सीमा की गणना करें

सीमा का मान केवल पर निर्भर करता है। जैसा कि आपको स्कूल से याद है, विषम डिग्री के नीचे से "माइनस" "पॉप आउट" होता है, इसलिए असीम रूप से बड़ा मॉड्यूलोविषम घात के लिए ऋणात्मक संख्याइस मामले में "माइनस इनफिनिटी" के बराबर है:।
लगातार ("चार") सकारात्मक, मतलब:

4) सीमा की गणना करें

गाँव का पहला आदमी फिर से है विषमडिग्री, इसके अलावा, छाती में नकारात्मकस्थिरांक, जिसका अर्थ है: इस प्रकार:
.

उदाहरण 5

सीमा ज्ञात करें

उपरोक्त बिंदुओं का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यहाँ अनिश्चितता है। अंश और हर वृद्धि के समान क्रम के हैं, जिसका अर्थ है कि सीमा में एक सीमित संख्या प्राप्त होगी। हम सभी फ्राई को त्यागकर उत्तर सीखते हैं:

समाधान तुच्छ है:

उदाहरण 6

सीमा ज्ञात करें

यह स्वयं करने का उदाहरण है. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

और अब, शायद सबसे सूक्ष्म मामला:

उदाहरण 7

सीमा ज्ञात करें

वरिष्ठ शर्तों पर विचार करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि यहां अनिश्चितता है। अंश हर की तुलना में वृद्धि के उच्च क्रम का है, इसलिए हम तुरंत कह सकते हैं कि सीमा अनंत है। लेकिन किस प्रकार की अनंतता, "प्लस" या "माइनस"? रिसेप्शन वही है - अंश और हर में हम छोटी-छोटी चीजों से छुटकारा पा लेंगे:

हमने निर्णय किया:

अंश और हर को इससे विभाजित करें

उदाहरण 15

सीमा ज्ञात करें

यह स्वयं करने का उदाहरण है. पाठ के अंत में समापन का एक अनुमानित नमूना।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन के विषय पर कुछ और दिलचस्प उदाहरण:

उदाहरण 16

सीमा ज्ञात करें

सीमा में एक को प्रतिस्थापित करने से अनिश्चितता उत्पन्न होती है। चर के प्रतिस्थापन का सुझाव पहले से ही दिया जा रहा है, लेकिन पहले हम सूत्र का उपयोग करके स्पर्शरेखा को परिवर्तित करते हैं। वास्तव में, हमें स्पर्शरेखा की आवश्यकता क्यों है?

ध्यान दें, इसलिए. यदि यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, तो साइन मानों को देखें त्रिकोणमितीय तालिका. इस प्रकार, हम तुरंत कारक से छुटकारा पा लेते हैं, इसके अलावा, हमें अधिक परिचित अनिश्चितता 0:0 मिलती है। अच्छा होगा यदि हमारी सीमा भी शून्य हो जाये।

आइए प्रतिस्थापित करें:

तो अगर

कोसाइन के अंतर्गत हमारे पास "x" है, जिसे "te" के माध्यम से भी व्यक्त करने की आवश्यकता है।
प्रतिस्थापन से हम व्यक्त करते हैं: .

हम समाधान पूरा करते हैं:

(1) प्रतिस्थापन करना

(2) कोसाइन के अंतर्गत कोष्ठक का विस्तार करें।

(4) संगठित करना पहली अद्भुत सीमा, अंश को कृत्रिम रूप से और व्युत्क्रम से गुणा करें।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उदाहरण 17

सीमा ज्ञात करें

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उनकी कक्षा में ये सरल कार्य थे; व्यवहार में, सब कुछ बदतर है, और, इसके अलावा कमी सूत्र, किसी को अलग-अलग उपयोग करना होगा त्रिकोणमितीय सूत्र, साथ ही अन्य तरकीबें भी। कॉम्प्लेक्स लिमिट्स लेख में, मैंने कुछ वास्तविक उदाहरणों का विश्लेषण किया =)

छुट्टी की पूर्व संध्या पर, हम अंततः एक और सामान्य अनिश्चितता के साथ स्थिति स्पष्ट करेंगे:

अनिश्चितता का उन्मूलन "अनंत की शक्ति के लिए एक"

यह अनिश्चितता "परोषित" है दूसरी अद्भुत सीमा, और उस पाठ के दूसरे भाग में, हमने समाधानों के मानक उदाहरणों पर विस्तार से ध्यान दिया जो अधिकांश मामलों में व्यवहार में पाए जाते हैं। अब प्रदर्शकों के साथ चित्र पूरा हो जाएगा, इसके अलावा, पाठ के अंतिम कार्य सीमा-"ट्रिक्स" के लिए समर्पित होंगे जिसमें ऐसा लगता है कि दूसरी अद्भुत सीमा लागू करना आवश्यक है, हालांकि यह बिल्कुल भी नहीं है मामला।

दूसरी उल्लेखनीय सीमा के दो कार्य सूत्रों का नुकसान यह है कि तर्क को "प्लस इनफिनिटी" या शून्य की ओर जाना चाहिए। लेकिन क्या होगा यदि तर्क किसी भिन्न संख्या की ओर प्रवृत्त हो?

सार्वभौमिक सूत्र बचाव में आता है (जो वास्तव में दूसरी उल्लेखनीय सीमा का परिणाम है):

सूत्र द्वारा अनिश्चितता को समाप्त किया जा सकता है:

जैसा कि मैंने पहले ही बताया है कि वर्गाकार कोष्ठक का क्या अर्थ है। कुछ विशेष नहीं, कोष्ठक तो कोष्ठक ही हैं। आमतौर पर इनका उपयोग गणितीय संकेतन को स्पष्ट रूप से उजागर करने के लिए किया जाता है।

आइए सूत्र के आवश्यक बिंदुओं पर प्रकाश डालें:

1) इसके बारे में है केवल अनिश्चितता के बारे में और किसी अन्य के बारे में नहीं.

2) तर्क "x" की ओर प्रवृत्त हो सकता है मनमाना मूल्य(और न केवल शून्य या ), विशेष रूप से, "माइनस इनफिनिटी" या कोई भीअंतिम संख्या.

इस सूत्र का उपयोग करके आप पाठ के सभी उदाहरणों को हल कर सकते हैं उल्लेखनीय सीमाएँ, जो दूसरी उल्लेखनीय सीमा से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, आइए सीमा की गणना करें:

इस मामले में , और सूत्र के अनुसार :

सच है, मैं आपको ऐसा करने की सलाह नहीं देता, परंपरा में, आप अभी भी समाधान के "सामान्य" डिज़ाइन का उपयोग करते हैं, अगर इसे लागू किया जा सकता है। तथापि सूत्र का उपयोग करना जांचना बहुत सुविधाजनक हैदूसरी अद्भुत सीमा तक "शास्त्रीय" उदाहरण।

पहली उल्लेखनीय सीमा को निम्नलिखित समानता कहा जाता है:

\begin(समीकरण)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण)

चूँकि $\alpha\to(0)$ के लिए हमारे पास $\sin\alpha\to(0)$ है, हम कहते हैं कि पहली उल्लेखनीय सीमा $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता को प्रकट करती है। सामान्यतया, सूत्र (1) में, चर $\alpha$ के बजाय, साइन चिह्न के नीचे और हर में, कोई भी अभिव्यक्ति स्थित हो सकती है, जब तक कि दो शर्तें पूरी होती हैं:

1. साइन चिह्न के नीचे और हर में भाव एक साथ शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, अर्थात। $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है।
2. साइन चिह्न के नीचे और हर में भाव समान हैं।

पहली उल्लेखनीय सीमा से प्राप्त परिणामों का भी अक्सर उपयोग किया जाता है:

\begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण) \begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण) \begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण)

इस पृष्ठ पर ग्यारह उदाहरण हल किए गए हैं। उदाहरण संख्या 1 सूत्र (2)-(4) के प्रमाण के लिए समर्पित है। उदाहरण #2, #3, #4 और #5 में विस्तृत टिप्पणियों के साथ समाधान शामिल हैं। उदाहरण 6-10 में लगभग कोई टिप्पणी नहीं के साथ समाधान शामिल हैं, क्योंकि पिछले उदाहरणों में विस्तृत स्पष्टीकरण दिए गए थे। हल करते समय कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें पाया जा सकता है।

मैं ध्यान देता हूं कि $\frac (0) (0)$ की अनिश्चितता के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति का मतलब यह नहीं है कि पहली उल्लेखनीय सीमा लागू की जानी चाहिए। कभी-कभी सरल त्रिकोणमितीय परिवर्तन पर्याप्त होते हैं - उदाहरण के लिए, देखें।

उदाहरण 1

साबित करो कि $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) चूँकि $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, तो:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

चूँकि $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ और $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , वह:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

बी) आइए प्रतिस्थापन $\alpha=\sin(y)$ करें। चूँकि $\sin(0)=0$, तो स्थिति $\alpha\to(0)$ से हमारे पास $y\to(0)$ है। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जहां $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, इसलिए:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

समानता $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ सिद्ध है।

ग) चलिए प्रतिस्थापन $\alpha=\tg(y)$ करते हैं। चूँकि $\tg(0)=0$, शर्तें $\alpha\to(0)$ और $y\to(0)$ समतुल्य हैं। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जहां $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, इसलिए, बिंदु a के परिणामों पर भरोसा करते हुए, हमारे पास होगा:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

समानता $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ सिद्ध है।

समानताएं ए), बी), सी) अक्सर पहली उल्लेखनीय सीमा के साथ उपयोग की जाती हैं।

उदाहरण #2

सीमा की गणना करें $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

चूँकि $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ और $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, यानी। और भिन्न का अंश और हर एक साथ शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, तो यहां हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं, यानी। हो गया। इसके अलावा, यह देखा जा सकता है कि साइन साइन के तहत और हर में भाव समान हैं (यानी, और संतुष्ट है):

तो, पृष्ठ की शुरुआत में सूचीबद्ध दोनों शर्तें पूरी हो गई हैं। इससे यह पता चलता है कि सूत्र लागू है, अर्थात। $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

उत्तर: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

उदाहरण #3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ और $\lim_(x\to(0))x=0$, हम फॉर्म $\frac( की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। 0 )(0)$, यानी, हो गया। हालाँकि, साइन चिह्न के नीचे और हर में भाव मेल नहीं खाते हैं। यहां हर में व्यंजक को वांछित रूप में समायोजित करना आवश्यक है। हमें अभिव्यक्ति $9x$ को हर में रखने की आवश्यकता है - तब यह सत्य हो जाएगा। मूल रूप से, हम हर में $9$ कारक को खो रहे हैं, जिसे दर्ज करना इतना कठिन नहीं है, बस हर में अभिव्यक्ति को $9$ से गुणा करें। स्वाभाविक रूप से, $9$ से गुणा की भरपाई करने के लिए, आपको तुरंत $9$ से विभाजित करना होगा और विभाजित करना होगा:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

अब हर में और साइन चिह्न के नीचे के भाव समान हैं। सीमा $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ के लिए दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। अतः $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. और इसका मतलब यह है कि:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

उदाहरण #4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ और $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, यहां हम की अनिश्चितता से निपट रहे हैं फॉर्म $\frac(0)(0)$. हालाँकि, पहली उल्लेखनीय सीमा का स्वरूप टूट गया है। $\sin(5x)$ वाले अंश में हर में $5x$ की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में, सबसे आसान तरीका अंश को $5x$ से विभाजित करना और तुरंत $5x$ से गुणा करना है। इसके अलावा, हम हर के साथ एक समान ऑपरेशन करेंगे, $\tg(8x)$ को $8x$ से गुणा और विभाजित करेंगे:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ को कम करने और स्थिरांक $\frac(5)(8)$ को सीमा चिह्न से बाहर निकालने पर, हमें मिलता है:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

ध्यान दें कि $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यकताओं को पूरी तरह से संतुष्ट करता है। $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ खोजने के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू है:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

उदाहरण #5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (याद रखें कि $\cos(0)=1$) और $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, तो हम फॉर्म $\frac(0)(0)$ की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। हालाँकि, पहली अद्भुत सीमा को लागू करने के लिए, आपको साइन (सूत्र को लागू करने के लिए) या स्पर्शरेखा (सूत्र को लागू करने के लिए) पर जाकर अंश में कोसाइन से छुटकारा पाना चाहिए। आप इसे निम्नलिखित परिवर्तन के साथ कर सकते हैं:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

आइए सीमा पर वापस जाएं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

अंश $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ पहले से ही पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यक फॉर्म के करीब है। आइए अंश $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ के साथ थोड़ा काम करें, इसे पहली अद्भुत सीमा तक समायोजित करें (ध्यान दें कि अंश और साइन के नीचे के भाव मेल खाने चाहिए):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

आइए विचारित सीमा पर वापस लौटें:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2)=25. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

उदाहरण #6

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ की सीमा ज्ञात कीजिये।

चूँकि $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ और $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, तो हम $\frac(0)(0)$ की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। आइए इसे पहली उल्लेखनीय सीमा की सहायता से खोलें। ऐसा करने के लिए, आइए कोसाइन से साइन की ओर बढ़ें। चूँकि $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, तो:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

ज्या की दी गई सीमा को पार करने पर, हमारे पास होगा:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

उदाहरण #7

सीमा की गणना करें $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ दिया गया $\alpha\neq\ बीटा $.

विस्तृत स्पष्टीकरण पहले दिए गए थे, लेकिन यहां हम केवल यह ध्यान देते हैं कि फिर से $\frac(0)(0)$ की अनिश्चितता है। आइए सूत्र का उपयोग करके कोसाइन से साइन की ओर बढ़ें

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\दाएं| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ पाप\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ अल्फ़ा^2)(2)$.

उदाहरण #8

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ की सीमा ज्ञात कीजिये।

चूँकि $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (याद रखें कि $\sin(0)=\tg(0)=0$) और $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, तो यहां हम फॉर्म $\frac(0)(0)$ की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। आइए इसे इस तरह तोड़ें:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

उदाहरण #9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ की सीमा ज्ञात कीजिये।

चूँकि $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ और $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, तो $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता है। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, वेरिएबल को इस तरह से बदलना सुविधाजनक है कि नया वेरिएबल शून्य हो जाए (ध्यान दें कि सूत्रों में वेरिएबल $\alpha \to 0$ है)। सबसे आसान तरीका वेरिएबल $t=x-3$ का परिचय देना है। हालाँकि, आगे के परिवर्तनों की सुविधा के लिए (यह लाभ नीचे दिए गए समाधान के दौरान देखा जा सकता है), निम्नलिखित प्रतिस्थापन करना उचित है: $t=\frac(x-3)(2)$. मैं ध्यान देता हूं कि इस मामले में दोनों प्रतिस्थापन लागू हैं, केवल दूसरा प्रतिस्थापन आपको भिन्नों के साथ कम काम करने की अनुमति देगा। चूँकि $x\to(3)$, तो $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\दाएं| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

उदाहरण #10

सीमा ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

फिर से हम $\frac(0)(0)$ की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, एक परिवर्तनीय परिवर्तन इस तरह से करना सुविधाजनक होता है कि नया चर शून्य हो जाता है (ध्यान दें कि सूत्रों में चर $\alpha\to(0)$ है)। सबसे आसान तरीका वेरिएबल $t=\frac(\pi)(2)-x$ का परिचय देना है। चूँकि $x\to\frac(\pi)(2)$, तो $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2) ) =\frac(1)(2). $$

उत्तर: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

उदाहरण #11

सीमाएँ ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

इस मामले में, हमें पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। कृपया ध्यान दें: पहली और दूसरी दोनों सीमाओं में, केवल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन और संख्याएँ हैं। अक्सर, इस प्रकार के उदाहरणों में, सीमा चिह्न के नीचे स्थित अभिव्यक्ति को सरल बनाना संभव होता है। इस मामले में, उल्लिखित सरलीकरण और कुछ कारकों में कमी के बाद, अनिश्चितता गायब हो जाती है। मैंने यह उदाहरण केवल एक ही उद्देश्य से दिया है: यह दिखाने के लिए कि सीमा चिह्न के नीचे त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति का मतलब पहली उल्लेखनीय सीमा का अनुप्रयोग नहीं है।

चूँकि $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (याद रखें कि $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) और $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (याद रखें कि $\cos\frac(\pi)(2)=0$), तो हम अनिश्चितता से निपट रहे हैं फॉर्म का $\frac(0)(0)$. हालाँकि, इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि हमें पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता है। अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, यह ध्यान में रखना पर्याप्त है कि $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

डेमिडोविच की समाधान पुस्तिका (नंबर 475) में एक समान समाधान है। जहां तक ​​दूसरी सीमा का सवाल है, इस अनुभाग के पिछले उदाहरणों की तरह, हमारे पास $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। यह क्यों उत्पन्न होता है? यह इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ और $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. हम इन मानों का उपयोग अंश और हर में भावों को बदलने के लिए करते हैं। हमारे कार्यों का उद्देश्य: अंश और हर में योग को गुणनफल के रूप में लिखें। वैसे, किसी वेरिएबल को समान रूप में बदलना अक्सर सुविधाजनक होता है ताकि नया वेरिएबल शून्य हो जाए (उदाहरण के लिए, इस पृष्ठ पर उदाहरण संख्या 9 या संख्या 10 देखें)। हालाँकि, इस उदाहरण में, वेरिएबल को बदलने का कोई मतलब नहीं है, हालाँकि, यदि वांछित है, तो वेरिएबल $t=x-\frac(2\pi)(3)$ के प्रतिस्थापन को लागू करना आसान है।

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ पाप\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें पहली अद्भुत सीमा लागू करने की आवश्यकता नहीं थी। बेशक, यदि चाहें तो ऐसा किया जा सकता है (नीचे नोट देखें), लेकिन यह आवश्यक नहीं है।

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करके समाधान क्या होगा? छिपा हुया दिखाओ

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ दाएं))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

उत्तर: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

अनुक्रम और कार्य सीमाओं की परिभाषा, सीमाओं के गुण, पहली और दूसरी उल्लेखनीय सीमाएँ, उदाहरण।

स्थिर संख्या एबुलाया आप LIMIT दृश्यों(x n ) यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या ε > 0 के लिए एक संख्या N मौजूद है जैसे कि सभी मान एक्स एन, जिसके लिए n>N, असमानता को संतुष्ट करता है

इसे इस प्रकार लिखें: या x n → a.

असमानता (6.1) दोहरी असमानता के बराबर है

ए - ε< x n < a + ε которое означает, что точки एक्स एन, कुछ संख्या n>N से शुरू होकर, अंतराल (a-ε , a+ε) के अंदर स्थित है, यानी। बिंदु के किसी छोटे ε-पड़ोस में गिरें ए.

वह अनुक्रम जिसकी एक सीमा होती है, कहलाता है अभिसारी, अन्यथा - विभिन्न.

किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा किसी अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का सामान्यीकरण है, क्योंकि किसी अनुक्रम की सीमा को पूर्णांक तर्क के फ़ंक्शन x n = f(n) की सीमा के रूप में माना जा सकता है एन.

मान लीजिए कि एक फलन f(x) दिया गया है और मान लीजिए ए - सीमा बिंदुइस फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन D(f), अर्थात ऐसा बिंदु, जिसके किसी पड़ोस में समुच्चय D(f) से भिन्न बिंदु हों ए. डॉट एसेट D(f) से संबंधित हो भी सकता है और नहीं भी।

परिभाषा 1.अचर संख्या A कहलाती है आप LIMIT कार्यएफ(एक्स) पर x→ a if तर्क मानों के किसी अनुक्रम (x n ) के लिए ए, संगत अनुक्रम (f(x n)) की सीमा A समान है।

इस परिभाषा को कहा जाता है हेइन के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करना,या " अनुक्रम की भाषा में”.

परिभाषा 2. अचर संख्या A कहलाती है आप LIMIT कार्यएफ(एक्स) पर x→a यदि, एक मनमाना, मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या ε दी गई है, तो कोई δ >0 (ε के आधार पर) पा सकता है जैसे कि सभी के लिए एक्स, संख्या के ε-पड़ोस में स्थित है ए, अर्थात। के लिए एक्सअसमानता को संतुष्ट करना
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

इस परिभाषा को कहा जाता है कॉची के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करना,या “भाषा में ε - δ"

परिभाषाएँ 1 और 2 समतुल्य हैं। यदि फ़ंक्शन f(x) x → a के रूप में है आप LIMITए के बराबर, इसे इस प्रकार लिखा जाता है

इस घटना में कि अनुक्रम (f(x n)) सन्निकटन की किसी भी विधि के लिए अनिश्चित काल तक बढ़ता (या घटता) है एक्सआपकी सीमा तक ए, तो हम कहेंगे कि फलन f(x) है अनंत सीमा,और इसे इस प्रकार लिखें:

एक वेरिएबल (अर्थात एक अनुक्रम या फ़ंक्शन) जिसकी सीमा शून्य है, कहलाता है असीम रूप से छोटा.

वह चर जिसकी सीमा अनन्त के बराबर हो, कहलाता है असीम रूप से बड़ा.

व्यवहार में सीमा ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित प्रमेयों का उपयोग करें।

प्रमेय 1 . यदि हर सीमा मौजूद है

(6.4)

(6.5)

(6.6)

टिप्पणी. 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ के रूप के भाव अनिश्चित हैं, उदाहरण के लिए, दो अतिसूक्ष्म या अपरिमित रूप से बड़ी मात्राओं का अनुपात, और इस प्रकार की सीमा खोजने को "अनिश्चितता प्रकटीकरण" कहा जाता है।

प्रमेय 2.

वे। विशेष रूप से, एक स्थिर घातांक पर डिग्री के आधार पर सीमा को पार करना संभव है,

प्रमेय 3.

(6.11)

कहाँ इ» 2.7 प्राकृतिक लघुगणक का आधार है। सूत्र (6.10) और (6.11) को पहली उल्लेखनीय सीमा और दूसरी उल्लेखनीय सीमा कहा जाता है।

सूत्र (6.11) के परिणाम व्यवहार में भी उपयोग किए जाते हैं:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

विशेष रूप से सीमा

यदि x → a और एक ही समय में x > a, तो x →a + 0 लिखें। यदि, विशेष रूप से, a = 0, तो प्रतीक 0+0 के बजाय +0 लिखें। इसी प्रकार, यदि x→a और एक ही समय में x और तदनुसार नाम दिए गए हैं। सही सीमाऔर बाईं सीमा कार्यएफ(एक्स) बिंदु पर ए. फ़ंक्शन f(x) की सीमा x→ a के रूप में मौजूद होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है . फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है निरंतर बिंदु पर x 0 यदि सीमा

(6.15)

शर्त (6.15) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

अर्थात्, किसी फ़ंक्शन के चिह्न के नीचे की सीमा तक जाना संभव है यदि यह किसी दिए गए बिंदु पर निरंतर है।

यदि समानता (6.15) का उल्लंघन होता है, तो हम ऐसा कहते हैं परएक्स = एक्सओ समारोहएफ(एक्स) यह है अंतर।फ़ंक्शन y = 1/x पर विचार करें। इस फ़ंक्शन का डोमेन सेट है आर, x = 0 को छोड़कर। बिंदु x = 0 समुच्चय D(f) का एक सीमा बिंदु है, क्योंकि इसके किसी भी पड़ोस में, अर्थात, बिंदु 0 वाले किसी भी खुले अंतराल में D(f) से बिंदु शामिल हैं, लेकिन यह स्वयं इस सेट से संबंधित नहीं है। मान f(x o)= f(0) परिभाषित नहीं है, इसलिए फ़ंक्शन में बिंदु x o = 0 पर एक असंततता है।

फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है एक बिंदु पर दाईं ओर निरंतर x हे यदि सीमा

और एक बिंदु पर बाईं ओर निरंतर x हे यदि सीमा

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता एक्स ओइस बिंदु पर दाएं और बाएं दोनों तरफ इसकी निरंतरता के बराबर है।

किसी फ़ंक्शन के लिए एक बिंदु पर निरंतर होना एक्स ओउदाहरण के लिए, दाईं ओर, यह आवश्यक है, सबसे पहले, कि एक सीमित सीमा हो, और दूसरी बात, कि यह सीमा f(x o) के बराबर हो। इसलिए, यदि इन दो शर्तों में से कम से कम एक भी पूरी नहीं होती है, तो फ़ंक्शन में अंतराल होगा।

1. यदि सीमा मौजूद है और f(x o) के बराबर नहीं है, तो वे ऐसा कहते हैं समारोहएफ(एक्स) बिंदु परएक्सओ के पास है पहली तरह का ब्रेक,या कूदना.

2. यदि सीमा +∞ या -∞ है या अस्तित्व में नहीं है, तो वे कहते हैं कि में बिंदुएक्स ओ फ़ंक्शन में ब्रेक है दूसरे प्रकार का.

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = ctg x क्योंकि x → +0 की सीमा +∞ के बराबर है, जिसका अर्थ है कि बिंदु x=0 पर इसमें दूसरी तरह की असंततता है। फलन y = E(x) (पूर्णांक भाग)। एक्स) पूर्णांक एब्सिस्सा वाले बिंदुओं पर पहली तरह की विसंगतियां, या छलांग होती हैं।

वह फ़ंक्शन जो अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है, कहलाता है निरंतरवी. एक सतत फलन को एक ठोस वक्र द्वारा दर्शाया जाता है।

कुछ मात्रा की निरंतर वृद्धि से जुड़ी कई समस्याएं दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक ले जाती हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे कार्यों में शामिल हैं: चक्रवृद्धि ब्याज के नियम के अनुसार योगदान में वृद्धि, देश की जनसंख्या में वृद्धि, रेडियोधर्मी पदार्थ का क्षय, बैक्टीरिया का गुणन आदि।

विचार करना हां. आई. पेरेलमैन का उदाहरण, जो संख्या की व्याख्या देता है इचक्रवृद्धि ब्याज समस्या में. संख्या इएक सीमा है . बचत बैंकों में, ब्याज का पैसा सालाना निश्चित पूंजी में जोड़ा जाता है। यदि कनेक्शन अधिक बार किया जाता है, तो पूंजी तेजी से बढ़ती है, क्योंकि ब्याज के निर्माण में एक बड़ी राशि शामिल होती है। आइए एक विशुद्ध सैद्धांतिक, अत्यधिक सरलीकृत उदाहरण लें। बैंक को 100 डेन लगाने दीजिए. इकाइयां 100% प्रति वर्ष की दर से। यदि एक वर्ष के बाद ही ब्याज वाला धन स्थिर पूँजी में जोड़ दिया जाये तो इस समय तक 100 डेन. इकाइयां 200 मांद में बदल जाएगा। अब देखते हैं कि 100 मांद क्या रूप लेंगी। इकाइयां, यदि ब्याज का पैसा हर छह महीने में स्थिर पूंजी में जोड़ा जाता है। आधे साल के बाद 100 डेन. इकाइयां 100 × 1.5 = 150, और अगले छह महीनों में - 150 × 1.5 = 225 (मौद्रिक इकाइयाँ) बढ़ जाएगी। यदि परिग्रहण प्रत्येक 1/3 वर्ष में किया जाता है, तो एक वर्ष के बाद 100 डेन। इकाइयां 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (डेन यूनिट) में बदल जाएगा। हम ब्याज राशि जोड़ने की समय सीमा को 0.1 वर्ष, 0.01 वर्ष, 0.001 वर्ष इत्यादि तक बढ़ा देंगे। फिर 100 डेन में से. इकाइयां एक वर्ष बाद:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (डेन यूनिट),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (डेन यूनिट),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (डेन यूनिट)।

ब्याज में शामिल होने की शर्तों में असीमित कमी के साथ, अर्जित पूंजी अनिश्चित काल तक नहीं बढ़ती है, बल्कि लगभग 271 के बराबर एक निश्चित सीमा तक पहुंचती है। 100% प्रति वर्ष पर रखी गई पूंजी 2.71 गुना से अधिक नहीं बढ़ सकती है, भले ही अर्जित ब्याज हो सीमा के कारण हर सेकंड पूंजी में जोड़ा गया

उदाहरण 3.1. किसी संख्या अनुक्रम की सीमा की परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध करें कि अनुक्रम x n =(n-1)/n की सीमा 1 के बराबर है।

समाधान।हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि हम जो भी ε > 0 लेते हैं, उसके लिए एक प्राकृतिक संख्या N होती है, जैसे कि सभी n > N के लिए असमानता |x n -1|< ε

कोई भी ε > 0 लें। चूँकि x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, तो N ज्ञात करने के लिए असमानता 1/n को हल करना पर्याप्त है<ε. Отсюда n>1/ε और, इसलिए, N को 1/ε N = E(1/ε) के पूर्णांक भाग के रूप में लिया जा सकता है। इस प्रकार हमने सिद्ध कर दिया कि सीमा।

उदाहरण 3.2.किसी सामान्य पद द्वारा दिए गए अनुक्रम की सीमा ज्ञात कीजिए .

समाधान। सीमा योग प्रमेय लागू करें और प्रत्येक पद की सीमा ज्ञात करें। n → ∞ के रूप में, प्रत्येक पद का अंश और हर अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, और हम भागफल सीमा प्रमेय को सीधे लागू नहीं कर सकते हैं। इसलिए, हम पहले परिवर्तन करते हैं एक्स एन, पहले पद के अंश और हर को विभाजित करना एन 2, और दूसरा एन. फिर, भागफल सीमा प्रमेय और योग सीमा प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं:

उदाहरण 3.3. . खोजो ।

समाधान।

यहां हमने डिग्री सीमा प्रमेय का उपयोग किया है: डिग्री की सीमा आधार की सीमा की डिग्री के बराबर है।

उदाहरण 3.4. खोजो ( ).

समाधान। अंतर सीमा प्रमेय को लागू करना असंभव है, क्योंकि हमारे पास फॉर्म ∞-∞ की अनिश्चितता है। आइए सामान्य पद के सूत्र को रूपांतरित करें:

उदाहरण 3.5. एक फलन f(x)=2 1/x दिया गया है। साबित करें कि सीमा मौजूद नहीं है।

समाधान।हम अनुक्रम के संदर्भ में किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा 1 का उपयोग करते हैं। 0 पर अभिसरण करने वाला एक अनुक्रम (x n) लें, अर्थात। आइए हम दिखाते हैं कि मान f(x n)= अलग-अलग अनुक्रमों के लिए अलग-अलग व्यवहार करता है। माना x n = 1/n. जाहिर है, फिर तो हद हो गई आइए अब इस रूप में चुनें एक्स एनएक सामान्य पद x n = -1/n वाला अनुक्रम, जो शून्य की ओर भी प्रवृत्त है। इसलिए, कोई सीमा नहीं है.

उदाहरण 3.6. साबित करें कि सीमा मौजूद नहीं है।

समाधान।मान लीजिए x 1 , x 2 ,..., x n ,... एक अनुक्रम है जिसके लिए
. अनुक्रम (f(x n)) = (sin x n ) विभिन्न x n → ∞ के लिए कैसे व्यवहार करता है

यदि x n \u003d p n, तो पाप x n \u003d पाप (पी n) = 0 सभी के लिए एनऔर सीमा यदि
xn=2 p n+ p /2, फिर पाप x n = पाप(2 p n+ p /2) = पाप पी /2 = 1 सभी के लिए एनऔर इसलिए सीमा. इस प्रकार अस्तित्व में नहीं है.