כדי לגזור את משוואת האיזון לאנרגיית גלי הרוח בים העמוק, אנו מניחים שהגל הוא דו מימדי, ונבחר נפח עם חתך ABCD הממוקם בניצב לכיוון התפשטות הגל. נכוון את ציר X לכיוון התפשטות הגל (למטה -), ואת ציר Z אנכית כלפי מעלה. קבענו את ציר ה-Y בניצב למישור הציור (איור 13), והמרחק לאורך הציר שווה לאחד. אז הנפח המוקצה יהיה שווה מספרית לשטח החתך ABCD , מה שמאפשר לעבור מבעיה תלת מימדית לדו מימדית.
הבה נניח שהגבול התחתון של הכרך הנבחר ממוקם בעומק שבו אין גל. מרחק שמש , שווה ל-dx, נשקול אותו קטן מספיק כדי לשנות את הערכים הממוצעים של אלמנטי הגל. ברור שהשינוי באנרגיית הגל הממוצעת בנפח הנבחר ליחידת זמן יהיה , כאשר dx = BC ו המאפיין את אנרגיית הגל הממוצעת הכלולה בעמודת נוזל עם שטח בסיס יחידה וגובה השווה לגובה העמודה שנבחרה. את אותו שינוי באנרגיה ניתן לחשב בדרך אחרת. דרך הפנים AB משמאל, ליחידת זמן, נכנסת אנרגיה בכמות E v עם, איפה v עם -- קצב העברת האנרגיה שווה למהירות הקבוצה של הגלים.
דרך הפנים של DC האנרגיה עוברת בכמות
E v עם +.
דרך הפנים לספירה, ליחידת זמן, זורמת אנרגיה מהרוח בכמות M ע dx + mdx,איפה M ע - כמות האנרגיה שמשדרת הרוח עקב לחץ הרוח הרגיל, ליחידת שטח; M - אותו הדבר עקב מתח גזירה.
לבסוף, חלק מהאנרגיה ומהכמות ה dxמתפזר על ידי צמיגות סוערת והומר לחום, ההיא כמות האנרגיה המתפזרת ליחידת שטח.
לפיכך, השינוי הכולל באנרגיה הממוצעת בנפח המוקצה ליחידת זמן
ה v עם -+M ע dx + Mdx-E dx=[-+M ע + מ - E ]dx.
השוואת שני הביטויים לשינוי באנרגיה ליחידת זמן והפחתה ב- dx, נקבל את משוואת איזון אנרגיית גלי הרוח
-+M ע + מ - E .
עבור גל יציב 0, ולכן,
= מ ע + מ - E (19)
כמות אנרגיה הבעמודת נוזל עם בסיס יחידה נקבע על ידי הנוסחה שנגזרה קודם לכן
כאשר a היא משרעת הגל.
קצב העברת האנרגיה, השווה למהירות הקבוצה, נקבע עבור גלים קצרים על ידי הנוסחה לעיל, שבה עם -מהירות שלב של התפשטות גל. משוואה (19) מתייחסת לאלמנטים הלא ידועים של הגל - הגובה חוהאורך בכל זמן t עם מהירות הרוח, משך פעולתה והמרחק שעבר הגל לאורך ציר X ו נקרא אורך התאוצה.
אכן, אנרגיית הגל ה,כפי שהיחסים ו-E z = מראים, קשור לגובה הגל. המונח מאפיין את השינוי באנרגיה לאורך זמן, וכתוצאה מכך, את השינוי בגובה הגלים. המונח של המשוואה קובע את העברת האנרגיה לכיוון התפשטות הגל וקשור למרחק שעבר הגל לאורך ציר ה-X (אורך התאוצה), למהירות הקבוצה של הגל cgr, הקובעת את מהירות ההעברה. של אנרגיית הגל, ועד לגובה הגל, שאליו קשורה אנרגיית הגל ה.מונחי משוואה M רו Mנקבעים לא רק על ידי מהירות הרוח הפועלת, אלא גם תלויים באלמנטים של הגלים. כמות האנרגיה המבוזבזת ה,קשור גם לאלמנטים גלים.
מאז משוואה (19) כוללת שתי כמויות לא ידועות חולא ניתן לבצע את הפתרון שלו ללא קשר נוסף המחבר את הלא ידועים הללו. תיאוריות קלאסיות נותנות קשר רק בין אורך הגל, תקופתו ומהירות ההתפשטות c, ולכן לא ניתן להשתמש בהן כדי לבסס קשר בין חו. יחסים כאלה נבנים על בסיס השערות מסוימות, תוך התחשבות בנתונים ניסיוניים.
הפתרון של משוואת מאזן האנרגיה מתברר כפשוט יותר עבור גלים קבועים, כלומר כאשר 0.
עם זאת, גם במקרה זה ישנם קשיים משמעותיים. אלה כוללים את סוגיות ההסבר הפיזיקלי של מנגנון העברת האנרגיה מרוח לגל (וכתוצאה מכך, ההצדקה של שיטות לחישוב הכוח המועבר), ההגדרה של הפסדי חיכוך סוערים, ולבסוף, מציאת הקשר השני שיש לבסס. קשרים בין גובה ואורך גל.
כמה חוקרים מייחסים את התפקיד העיקרי בהעברת אנרגיה מרוח לגל ללחץ הרוח המשיק .
חוקרים אחרים מאמינים שהעברת האנרגיה מהרוח ומהגל נובעת מהבדל בלחץ על מדרונות הגל לרוח ולרוחב. האקדמאי VV Shuleikin דבק בנקודת מבט זו.
שאלה מהותית היא לקבוע את הכוח שאבד עקב מערבולות המתרחשות במהלך גלים.
לא פחות קשה כשפותרים את משוואת איזון אנרגיית גלי הרוח היא השאלה של ביסוס קשרים בין אורך הגל לגובה, הנחוצים להשגת המשוואה השנייה.
רוב המחברים פותרים בעיה זו על בסיס עיבוד תוצאות תצפיות על גלי רוח. מטבע הדברים, מתקבלות מסקנות שונות במקרה זה, שכן גלים אמיתיים מגוונים מאוד ואינם דו מימדיים. הפתרון התיאורטי הראשון הושג על ידי V.V. Shuleikin, אשר באמצעות המשפט על מומנט התנע למים חלקיקים הנעים לאורך מסלולים בצורת מעגל במהלך גלים, פיתח תיאוריה של עלייה באורכי הגל בהשפעת הרוח. זה איפשר לו למצוא משוואה שנייה לקשר בין אורך גל וגובה.
עם גלים קבועים, צריך להיות שוויון בין הכוח המועבר מהרוח לגל ואבד לחיכוך סוער. שוויון כזה, על פי המסקנות של V.V. Shuleikin, מתרחש כאשר מהירות הגל עםמגיע למהירות רוח של 0.82, כלומר מתי
היחס בין מהירות הגל למהירות הרוח (=) נקרא מהירות חסרת ממדים או גילגלים,שכן יחס זה מאפיין את שלב התפתחות הגלים. מתחילת התפתחות הגלים עד = 1, הם נמצאים תחת פעולת הרוח. לאחר הגעה למצב >1, הרוח כמעט מפסיקה לפעול עליהם.
עם התפתחות הגלים, העלייה באורך הגל, בניגוד לעלייה בגובהם, מתרחשת בצורה לא אחידה: בהתחלה הצמיחה מהירה למדי, ולאחר מכן מואטת. תלילות הגלים הגדולה ביותר מגיעה ב-0.27. עם זאת, לאורך כל שלב התפתחות הגלים, אורכם גדל מהר יותר מגובהם, מה שמוביל לירידה בתלילות הגלים.
מסקנות ותצפיות תיאורטיות מראות שניתן לצפות בגלים יציבים רק עד לערכים מוגדרים היטב של תלילות גלים. ואז הגל הופך לבלתי יציב והפסגה שלו קורסת. תיאורטית, היחס המגביל בין גובה הגל לאורכו הוא 1/7. תצפיות נותנות ערכים קרובים (בערך 1/10). הבעיות של התפתחות הגלים שנדונו לעיל מאפשרות לתאר רק את המאפיינים העיקריים של תופעה זו. התמונה האמיתית הרבה יותר מסובכת. קודם כל, יש לזכור שזרימת האוויר הפועלת על פני הים היא הטרוגנית במבנה שלה. מהירות וכיוון הרוח בנקודות שונות על פני הים אינם זהים ואינם נשארים ללא שינוי לאורך זמן. לכן, בהשפעת הרוח, נוצרת מערכת מורכבת של גלים בגבהים ובאורכים שונים. בשל כך, הם אינם יכולים להתפשט כרכסים מקבילים, כלומר בעלי אופי של גלים דו מימדיים, ולהתפרק לגבעות ושקעים, הממוקמים בערך בתבנית דמקה, כלומר מקבלים אופי של גלים תלת מימדיים.
מגוון מהירויות התפשטות גלים מוביל לכך שחלק מהגלים עוקפים אחרים, מתמזגים איתם, כלומר. מתרחשת הפרעה. כתוצאה, קבוצות גלים .
נוכחות תנועת הטרנסלציה של חלקיקים (זרימת גל) מובילה לעלייה בתלילות הגל ולניתוק החלק העליון שלו (היווצרות כובעים לבנים). כתוצאה מכך, הגלים אינם מגיעים לאותם ערכים מגבילים שיתרחשו כאשר חלקיקים נעים לאורך מסלולים סגורים.
ניתוק הצמרות גורם לגלים לפגוע בספינה. השפעה זו מועצמת עוד יותר על ידי העובדה שגלים מסדר גבוה עולים על פני גלי הכבידה העיקריים, אשר מגבירים את שבירת הפסגות.
גלים המושרים על ידי רוח המתפשטים באזור היווצרות גל לאחר שהרוח נחלשת ו(או) משנה את כיוונה, או גלים המושרים מרוח המגיעים מאזור היווצרות גלים לאזור אחר בו הרוח נושבת במהירות שונה ו(או) כיוון אחר, נקראים לְהִתְנַפֵּחַ.
גלים המושרים על ידי רוח המתפשטים בהיעדר רוח נקראים מתנפח . באינטראקציה של גלי רוח וגאות, א מעורב התרגשות.
גלי התפרצות עדינים באורך רב חורגים מאזור הסערה ומתפשטים לפניו כגלים - מבשרים להתקרבות לסערה.
לקבוע את האנרגיה בשיטות CM" במצב של שיווי משקל, שימשו יחסים (4.2.13?16) עבור האנרגיה הכוללת של המערכת וסך האנרגיה המכנית של המערכת כולה.
למשוואת איזון מערכת ההפעלה יש את הצורה
היכן: היא האנרגיה הכוללת של המערכת למצב שיווי משקל מקומי או מפורט;
מונח נוסף שלוקח בחשבון את אופי השינוי במצב לאורך זמן (פונקציה של אנרגיה פנימית ותנודות בעבודה חיצונית שימושית).
איפה: היא סך האנרגיה המכנית של המערכת כולה
אנרגיה מכנית של האובייקט (סכום האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות של האובייקט (גוף));
עבודה מסודרת (שימושית) נגד כוחות חיצוניים (חילופי חום, טמפרטורה, חיכוך, מערכות חשמל);
עבודה מופרעת (בלתי הפיכה) (אנרגיה) הנגרמת מהעברת חום, דפורמציה נפחית וליניארית, חיכוך, פוטנציאל חשמלי;
עבודה שימושית (מסומנת) יסודית;
הכוח המתקבל עבור כל סוג של פגיעה;
תנועה הנגרמת על ידי פעולה;
פוטנציאל כללי (טמפרטורה, לחץ, דפורמציה, פוטנציאל חשמלי);
תיאום מדינה נרחב.
מערכת ההפעלה הכוללת של האנרגיה של המערכת במצב לא שיווי משקל נקבעת על ידי היחס
כאשר: הפונקציות ביחס הן פונקציות של זמן;
האנרגיה המסודרת של המערכת כולה;
אנרגיה מופרעת של המערכת כולה;
אנרגיה מכנית כוללת של המערכת כולה;
אנרגיה קינטית של מידע (חלק מאנרגיית המידע המשפיעה);
אנרגיה פנימית של המערכת;
חלק מאנרגיית המידע הקשורה לאינטראקציה הפנימית של חלקי המערכת.
שבו: - האנרגיה הכוללת של הגוף (האובייקט) של המערכת;
אנרגיה קינטית של המערכת כולה;
אנרגיה פוטנציאלית של המערכת כולה;
אנרגיה פנימית של המערכת
אנרגיה של מצב לא שיווי משקל;
לחץ בנפח המערכת;
פוטנציאל כימי;
מספר חלקיקים;
שינוי באנרגיה הקינטית של המערכת
אנרגיה קינטית, חלק מהאנרגיה של מערכת מכנית, בהתאם למהירויות של הנקודות
שבו: - מסה של חלקיק של המערכת;
מהירות החלקיקים
מסה של המערכת;
מרכז מהירות המסה;
אנרגיה קינטית של תנועת המערכת סביב מרכז המסה:
רגע האינרציה של הגוף;
מהירות זוויתית של הגוף.
מהשוואה של משוואת המצב של גז והמשוואה הבסיסית של התיאוריה הקינטית,
לכן, לערך האנרגיה הממוצע יש את הצורה:
זה נובע מהקשר
השינוי באנרגיה הפוטנציאלית של המערכת, שנלקח עם הסימן ההפוך, מתאים לעבודה של כוחות שמרניים פנימיים: .
שינוי באנרגיה המכנית הכוללת:
במקרה הכללי, אנרגיה קינטית אינה פונקציה של מסה ומהירות ותלויה בתהליכים הפנימיים המתרחשים במערכת (לדוגמה, הסתננות, השתלה של חלקיקים בינוניים).
במקרה של תזוזות סופיות תחת פעולת עומס, ניתן להתייחס לשינוי באנרגיה הקינטית כסכום
שבו: - שינוי באנרגיה הקינטית הנגרם על ידי עבודה שימושית;
שינוי ספונטני חד צדדי באנרגיה קינטית הנגרם על ידי תהליכים פנימיים. חלק זה של השינוי האנרגטי יכול להיות חיובי או שלילי.
אנרגיה פנימית - האנרגיה של המערכת, התלויה רק במצבה הפנימי ואינה כוללת את סוגי האנרגיה של המערכת כולה. אנרגיה פנימית כוללת את צורות האנרגיה של כל צורות התנועה של המערכת וכל סוגי האנרגיה של כל צורת אנרגיה, נלקחת בנפרד.
כאשר: ו- אנרגיה פנימית, אנטרופיה של מצב לא שיווי משקל (למצבים של שיווי משקל מקומי או מפורט, נעשה שימוש באינדקס "o");
אנרגיה חינמית.
שינוי באנרגיה הפנימית של המערכת
שבו: - אנרגיה פנימית, נפח, אנטרופיה;
טמפרטורה, לחץ;
פוטנציאל כימי, מספר השומות של חומר במערכת.
תן למערכת לבצע עבודה בעלת אופי מכני, ועבודה יסודית בעלת אופי לא מכני, משוואה (4.3.13) תתפוס את הצורה
אנרגיית גיבס כפוטנציאל איזובארי-איזותרמי מוגדרת כ
הקשר גיבס-דוהם כתוב כ
יחסים (4.3.12)-(4.3.16) מרמזים
לכן, אם נרחיב את היחסים של מכניקה קלאסית (שיווי משקל) למערכת ההפעלה, אז האנרגיה החופשית שלהם עשויה להתברר כשווה לאפס. ניתן לבטל את הפער הזה אם מערכת ההפעלה של האנרגיה החופשית נקבעת לא על ידי "האיזון ההפוך" (מינוס חלק שיווי המשקל של האנרגיה), אלא על ידי ייצוג האנרגיה החופשית במונחים של הפרמטרים של אי שיווי המשקל שלהם.
המערכת הנחקרת מכילה תת-מערכת שהאנרגיה שלה תלויה באנרגיה של חומרים מגיבים כימית. עבור תהליכים ארוכי טווח, חלק זה של האנרגיה מביא לירידה בכמות העבודה שהמערכת יכולה לקחת, השווה לירידה באנרגיה של המערכת. הבה נבחן את האנרגיה החופשית של אמצעי תגובה כימיים.
אפשר לתגובות כימיות הומוגניות להתרחש במערכת סגורה ללא שיווי משקל. הריכוזים הנוכחיים של חומרים בתערובת המגיבה קשורים לריכוזים ההתחלתיים על ידי היחס
שבו: - מקדמים סטוכיומטריים של חומרים בתגובה;
מידת השלמות בתגובה.
במקום פרמטר, אפשר להשתמש בקואורדינטה הרחבה של מצב אי שיווי המשקל הכימי
איפה: הוא ריכוז החומר לפני השלמת התגובה.
שינויים במערכת ההפעלה נובעים מ:
דיפוזיה של חומרים שאינם משתתפים בתגובה כימית (העברת מסה במצב של שיווי משקל);
טרנספורמציות כימיות של חומרים המעורבים בתגובה;
השתלת שלבים מוצקים ונוזליים של המדיום על פני האובייקט.
העברה המונית משנה באותה מידה ריכוזים ועלים;
תגובות כימיות משתנות ונשארות ללא שינוי.
בהתחשב בכך שניתן לייצג את המונח ביחס (4.3.15) כ
כאשר: - זיקה כימית ספציפית של תגובה כימית.
במדיה המגיבה כימית, אנרגיה פנימית יכולה להתפרק לרכיבים:
אנרגיה פנימית של מצב שיווי המשקל
האנרגיה הפנימית של מצב אי שיווי משקל
הערך (אנרגיה חופשית של מערכות מגיבות כימית או אנרגיה כימית) מאפיין את החלק של האנרגיה הפנימית המסוגל לבצע טרנספורמציה כימית ועבודה חיצונית שימושית. בניגוד ל (האנרגיה של גיבס) מתבטאת רק במונחים של פרמטרים, ולכן ערכה אינו משתנה בתהליכי הדיפוזיה של חומרים שאינם משתתפים בתגובה כימית.
המשוואה המשולבת של החוקים הראשון והשני של התרמודינמיקה של מערכת ההפעלה לובשת את הצורה
איפה: מאפיין את העבודה היסודית שהמערכת יכולה לעשות עקב אובדן אנרגיה כימית פנימית.
הערך (אנרגיה של תגובות כימיות) אינו תלוי בתהליכי העברת חום והעברת מסה במערכת במצב שיווי משקל ואינו תלוי בעיוות נפח.
השינוי (אובדן) האנרגיה הכימית קובע את כמות העבודה האפשרית בכל תנאי תהליך (לא רק ב או).
ההפרדה בין מרכיבי שיווי המשקל והלא שיווי משקל של האנרגיה הפנימית בעזרת פרמטרים קובעת את ההבדל בין תהליכי העברת המסה במצב שיווי משקל ובמצב אי שיווי משקל.
אם בתהליך של העברת מסה רק ריכוזי שיווי המשקל של המגיבים משתנים, כלומר. תוצרי התגובה מסופקים למערכת, ואז תהליך נוסף הוא עלייה בקואורדינטה, כאשר מסופקים למערכת ריאגנטים שמוציאים את המערכות ממצב של שיווי משקל כימי. העברת מסה בשיווי משקל (בדומה להעברת חום) משנה את החלק בשיווי המשקל (בלתי הפיך או בלתי ניתן להפעלה) של האנרגיה הפנימית של המערכת.
העברת מסה שאינה בשיווי משקל מכילה אנרגיה כימית הולכת וגוברת, הנתפסת על ידי המערכת כחלק מהעבודה המתבצעת על המערכת.
סוגי אנרגיית המערכת הנקבעת על ידי המצב הפנימי:
אנרגיה פנימית במצב לא שיווי משקל
אנרגיה נלווית: - אנטרופיה; טֶמפֶּרָטוּרָה;
אנרגיה חינמית: .
מתוך מכניקה תיאורטית, הפעולה נקבעת על ידי היחס:
שבו: - פעולה;
כוח חי;
מהירות תנועת החלקיקים;
מהירות החלקיק תחת פעולת כוחות חיצוניים;
מהירות הפעולה של החלקיק על המדיום;
אלמנט נתיב זמן
עקרון הפעולה המינימלית:
כאשר: - קואורדינטות כלליות;
דחפים מוכללים (מצומדים);
פונקציית המילטון.
במכניקת הרצף, חלקיק נחשב ללא השפעה על המדיום.
החוק הראשון של ניוטון - ישנן מערכות התייחסות אינרציאלית (ISR), שביחס אליהן נקודה חומרית, בהיעדר כוחות חיצוניים, שומרת על גודל וכיוון המהירות ללא הגבלה;
החוק השני של ניוטון - ב-ISO התאוצה עומדת ביחס ישר לכוחות הנובעים וביחס הפוך למסה: ;
החוק השלישי של ניוטון - נקודות חומריות פועלות זו על זו על ידי כוחות.
הכוחות חייבים:
להיות מאותו אופי;
יש כיוון לאורך קו ישר המחבר בין נקודות (חלקיקים);
להיות שווה בערך המוחלט ומנוגד בכיוון:
אם מערכת פיזיקלית מבודדת, אזי מצבה, הנקבע על ידי משתנים מאקרוסקופיים, מתפתח באופן בלתי הפיך למצב בלתי-משתנה בזמן, ובמצב זה לא נצפים שינויים פיזיקליים או כימיים במערכת. הטמפרטורה בכל חלקי המערכת במצב זה זהה. הוא האמין כי מצב כזה יכול להיחשב שיווי משקל.
שיווי משקל של מערכת מכנית - כל הכוחות מאוזנים לחלוטין (מכבים זה את זה).
שיווי משקל הוא מצבן של מערכות תרמודינמיות (TDS), המתאפיין בתנאים חיצוניים קבועים בחוסר השתנות של פרמטרים לאורך זמן ובהיעדר זרימות במערכת (ההתחלה הכללית של התרמודינמיקה).
המצב הנייח של המערכת הוא המצב שבו מאפייני המערכת אינם משתנים עם הזמן. עבור מערכות פתוחות, מצב נחשב נייח כאשר האנרגיה של המערכת אינה משתנה עם הזמן. מידת האי-סדר של המערכת מאופיינת באנטרופיה.
ההתפתחות של מצב שרירותי למצב שיווי משקל מתרחשת עקב תהליכים בלתי הפיכים. במצב שיווי משקל, עבודת הכוחות החיצוניים נקבעת על ידי הביטוי
כאשר בוחנים מבנה מתפזר, עבודת הכוחות החיצוניים נקבעת על ידי היחס
איפה: הוא הסדר הפיזור של המסלול.
לפיכך, מערכות שיווי משקל מתאפיינות ב:
פיזור טמפרטורה אחיד;
תפקידי המדינה הם אנרגיה ואנטרופיה.
דרישת הקביעות בחלוקת הטמפרטורה אינה בין הדרישות שלפיהן האנטרופיה או האנרגיה של המערכת הופכות להיות מוגדרות.
במערכות שאינן שיווי משקל, הטמפרטורה מחולקת בצורה לא אחידה, אך בצורה די מוגדרת, והתפלגות האנטרופיה, האנרגיה או החומר קשורה לצפיפות ההפצה של פוטנציאלים תרמודינמיים.
כאשר: - צפיפות אנטרופיה ליחידת נפח;
צפיפות האנרגיה הפנימית ליחידת נפח;
מספר השומות ליחידת נפח.
אי שיווי משקל הוא מצב כזה, כאשר עוברים דרכו ממצב שיווי משקל אחד למצב שיווי משקל סמוך, קרוב לאין שיעור, העבודה שבוצעה קטנה מהעבודה המקסימלית שבוצעה במהלך המעבר בין אותם מצבי שיווי משקל דרך מצב שיווי משקל ביניים. בקרבת כל מצב שיווי משקל, ישנם מצבים לא-שיווי משקל סמוכים, קרובים לאין שיעור, שלא ניתן להגיע אליהם במעבר שיווי משקל מעין-סטטי.
אובדן פוטנציאל תרמודינמי
שבו: - עבודה מקסימלית במצב שיווי משקל;
הפעולה בפועל של מערכת לא שיווי משקל.
מאמינים שזה תלוי במצב ההתחלתי והסופי, ואינו תלוי בנתיב (ההנחה חלה על מערכות סגורות).
עקרון שיווי המשקל המקומי
שבו: - פוטנציאל תרמודינמי של מצב לא שיווי משקל;
אובדן מערכת.
בהתאם לסוג המערכת, אתה יכול לכתוב:
מערכת מבודדת (IS)
מערכת סגורה (CS)
מערכת פתוחה (OS)
ניתן לקבל את משוואת מאזן האנרגיה בצורה אינטגרלית מהחוק הראשון של התרמודינמיקה
כאשר האיבר הראשון בסוגריים הוא האנרגיה הקינטית של תנועת הנוזל, השני הוא האנרגיה הפוטנציאלית של המיקום, השלישי הוא האנטלפיה של הנוזל, J / kg; En - סך האנרגיה בנפח הבקרה, J; q - זרימת חום דרך משטח הבקרה, W; l S - כוח להתגבר על כוחות חיצוניים, בעיקר כוחות חיכוך, W; u - מהירות זרימה, m/s; ρ היא הצפיפות של המדיום, kg/m 3 ;
x הוא הזווית בין הנורמלי למשטח הבקרה; g - תאוצת כוח הכבידה, m / s 2; z - ראש גיאומטרי, מ'; h - אנטלפיה ספציפית, J/kg;
S - משטח בקרה; τ - זמן, s.
עבור תהליכים כימיים, האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות, כמו גם הכוח להתגבר על כוחות חיצוניים, זניחים בהשוואה לאנתלפיה, ולכן אנו יכולים לכתוב
משוואה זו היא בעצם משוואת מאזן החום.
עבור נפח בקרה פשוט התחום על ידי משטחי בקרה מאונכים לווקטור זרימת הנוזל, שילוב המשוואה האחרונה נותן
שני האיברים הראשונים במשוואה זו מתקבלים כדלקמן. אם ניקח את קבוע הצפיפות, ו-cos(x) = ±1, אז
מאז שאנחנו מקבלים
אם המהירות משתנה מעט בשני המקטעים, וזרימת הנוזל נייחת מבחינה הידרודינמית, ניתן לכתוב את משוואת מאזן החום באופן הבא:
אם המערכת גם נייחת תרמית, אז:
אם לא מתרחשות טרנספורמציות פאזה ותגובות כימיות במערכת, אז אפשר לעבור מאנטלפיות ליכולות חום ואז
הבה נבחן דוגמה ליישום משוואות מאזן החום בתנאים לא נייחים.
דוגמה 9.1. שני מכלים בנפח של 3 מ"ר כל אחד מלאים במים בטמפרטורה של 25 מעלות צלזיוס. לשניהם יש מיקסרים המספקים ערבוב כמעט מלא. בנקודת זמן מסוימת מתחילים להזרים 9000 ק"ג לשעה של מים בטמפרטורה של 90 מעלות צלזיוס למיכל הראשון. מים היוצאים מהמיכל הראשון נכנסים למיכל השני. קבע את טמפרטורת המים במיכל השני 0.5 שעות לאחר תחילת אספקת המים החמים. מאגרים סופרים חום-
מבודד.
פתרון: הבה נערוך דיאגרמת זרימת חום (איור 9.1) ומאזן חום למאגר הראשון.
איור.9.1 סכימת זרימות חום למשל 9.1
בהיעדר העברת חום, q = 0 ובתנאים W = W 1 = W 2; רביעי \u003d רביעי 1 \u003d רביעי 2; dЕп = VρС P dТ 1 , משוואת מאזן החום תתפוס את הצורה
WC P (T 0 – T 1)dτ = VρC P dT 1
לאחר שילוב מ-0 ל-τ ומ-25°C ל-T 1, נקבל
T 1 \u003d 90 - 65exp (-3τ)
ערכו את מאזן החום של המיכל השני בצורה דומה
WC P (T 1 – T 2)dτ=VρC P dT 2
מכאן 9000(T 1 - T 2) dτ = 3∙1000 dT 2 או
מתקבלת משוואה דיפרנציאלית ליניארית מהסדר הראשון. ניתן לשלב אותו בצורה אנליטית בצורה ידועה. אז יש לנו
T 2 \u003d exp (-3τ) (90 exp (3τ) - 195τ + C)
תנאים התחלתיים: ב-τ=0 Т 2 = 25 °С. קבוע שרירותי C = - 65.
ההחלטה הסופית תתקבל בצורה
T 2 = 90 - 65 (3τ +1) exp(-3τ);
T 2 \u003d 90 - 65 (3 ∙ 0.5 + 1) exp (-3 ∙ 0.5) \u003d 53.74 0 C.
את משוואת מאזן האנרגיה בצורה אינטגרלית ניתן לקבל מהחוק הראשון של התרמודינמיקה ויש לה את הצורה
כאשר האיבר הראשון בסוגריים הוא האנרגיה הקינטית של תנועת הנוזל, השני הוא האנרגיה הפוטנציאלית של המיקום, השלישי הוא האנטלפיה של הנוזל, J/kg;
ה p הוא האנרגיה הכוללת בנפח הבקרה, J;
שהוא שטף החום דרך משטח הבקרה, W;
ls– כוח להתגבר על כוחות חיצוניים, בעיקר חיכוך, W;
u- מהירות זרימה, m/s;
r הוא צפיפות המדיום, ק"ג/מ"ק;
איקסהיא הזווית בין הרגיל למשטח הבקרה;
ז- תאוצת הכבידה, m / s 2;
ז- ראש גיאומטרי, מ';
ח- אנטלפיה ספציפית, J/kg;
ס- משטח בקרה;
זה הזמן, ס.
עבור תהליכים כימיים, האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות, כמו גם הכוח להתגבר על כוחות חיצוניים, זניחים בהשוואה לאנתלפיה, ולכן אנו יכולים לכתוב
משוואה זו היא בעצם משוואת מאזן החום.
עבור נפח בקרה פשוט התחום על ידי משטחי בקרה מאונכים לווקטור זרימת הנוזל, שילוב המשוואה האחרונה נותן
שני האיברים הראשונים במשוואה זו מתקבלים כדלקמן. אם ניקח את קבוע הצפיפות, ו- cos( איקס)=±1, אם כן
כי W=r לָנוּ, אז אנחנו מקבלים
אם המהירות משתנה מעט בשני המקטעים, וזרימת הנוזל נייחת מבחינה הידרודינמית, ניתן לכתוב את משוואת מאזן החום באופן הבא
אם המערכת גם נייחת תרמית, אז:
אם לא מתרחשות טרנספורמציות פאזה ותגובות כימיות במערכת, אז אפשר לעבור מאנטלפיות ליכולות חום ואז
הבה נבחן דוגמה ליישום משוואות מאזן החום בתנאים לא נייחים.
דוגמה 9.1.שני מכלים בנפח של 3 מ"ר כל אחד מלאים במים בטמפרטורה של 25 מעלות צלזיוס. לשניהם יש מיקסרים המספקים ערבוב כמעט מלא. בנקודת זמן מסוימת מתחילים להזין 9000 ק"ג לשעה של מים בטמפרטורה של 90 מעלות צלזיוס למיכל הראשון. מים היוצאים מהמיכל הראשון נכנסים למיכל השני. קבע את טמפרטורת המים במיכל השני 0.5 שעות לאחר תחילת אספקת המים החמים. טנקים נחשבים מבודדים תרמית.
פִּתָרוֹן:הבה נערוך דיאגרמת זרימת חום (איור 9.1) ומאזן חום למאגר הראשון. בהיעדר חילופי חום ש=0 ובתנאים
משוואת מאזן החום תתפוס את הצורה
מאיפה 9000(90- T1)ד t=3 1000 dT 1, או
לאחר אינטגרציה מ-0 ל-t ומ-25 מעלות צלזיוס עד ט 1 אנחנו מקבלים
ט 1=90-65exp(-3t).
ערכו את מאזן החום של המיכל השני בצורה דומה
מאיפה 9000( ט 1 -ט 2)ד t=3 1000 dT2, אוֹ
מתקבלת משוואה דיפרנציאלית ליניארית מהסדר הראשון. ניתן לשלב אותו בצורה אנליטית בצורה ידועה. אז יש לנו
תנאים התחלתיים: ב-t=0 T 2=25 מעלות צלזיוס. קבוע שרירותי עם = -65.
ההחלטה הסופית תתקבל בצורה
כפי שצוין ב-1.1, השדה האלקטרומגנטי הוא אחת מצורות החומר. כמו כל צורה אחרת של חומר, יש לו אנרגיה. אנרגיה זו יכולה להתפשט בחלל ולהמיר צורות אחרות של אנרגיה.
הבה ננסח את משוואת האיזון עבור ערכי כוח מיידיים ביחס לנפח מסוים V, תחום על ידי פני השטח S (איור 1.23). מכניסים נפח V, מלא במדיום איזוטרופי הומוגנית, ישנם מקורות של צד שלישי. ממושגים פיזיקליים כלליים, ברור שניתן לבזבז את הכוח המשתחרר ממקורות צד שלישי על הפסדי ג'ול ועל שינוי האנרגיה של השדה האלקטרומגנטי בפנים V, והוא יכול גם להתפזר חלקית, לברוח לחלל שמסביב דרך פני השטח S. במקרה זה, השוויון
כאשר Pst הוא כוחם של מקורות צד שלישי;
Rp – כוח הפסדי ג'ול בתוך הכרך V;
– כוח העובר דרך פני השטח S;
W– אנרגיה של שדה אלקטרומגנטי המרוכזת בנפח V, א dW/ dt– כוח שהושקע כדי לשנות את האנרגיה בנפח V.
אורז. 1.23. כרך V, תחום על ידי משטח S
בסעיף זה ישמשו משוואות המצב (1.53). משוואות אלו אינן מאפשרות לקחת בחשבון את הפסדי האנרגיה במהלך הקיטוב והמגנטיזציה של המדיום. לכן, המונח Pp במשוואה (1.120) קובע למעשה את כוחם של הפסדי ג'ול בנפח V, עקב זרם ההולכה.
משוואה (1.120) נותנת רק מושג איכותי על יחסי האנרגיה. כדי להשיג קשרים כמותיים, עליך להשתמש במשוואות מקסוול. שקול את משוואת מקסוול הראשונה, תוך התחשבות בזרמים חיצוניים (1.111). כל האיברים במשוואה זו הם כמויות וקטוריות בעלות הממד A/m2.
כדי לקבל משוואה דומה ל-(1.120), עליך לשנות את המשוואה הראשונה של מקסוול (1.111) כך שהמונחים שלה יהפכו לכמויות סקלריות הנמדדות בוואט. כדי לעשות זאת, מספיק להכפיל באופן סקלרי את כל המונחים של השוויון המצוין בווקטור E, ולאחר מכן לשלב את הביטוי המתקבל על פני הנפח V. לאחר הכפלה סקלרית בוקטור E, נקבל
(1.121)
באמצעות הנוסחה div= H rot E – E rot H הידועה מניתוח וקטור, אנו הופכים את הצד השמאלי של היחס (1.121) ומחליפים את הריקבון E בערך שלו ממשוואת מקסוול השנייה (1.39):
החלפת ביטוי זה ב-(1.121), נקבל
במונח האחרון בצד ימין של (1.122), שונה סדר הגורמים במכפלה הסקלרית של הווקטורים ו-H. זה מותר, שכן. שינוי זה אינו מהותי ואינו מספק יתרונות כלשהם בגזירת משוואת האיזון הנחשבת כאן עבור ערכי כוח מיידיים. עם זאת, עם סימון כזה בכל מונחי המשוואה (1.122), הגורם השני (הווקטורים jst, j ו-H) הוא וקטור שנכלל בעבר במשוואת מקסוול הראשונה. נסיבות אלו יאפשרו בעתיד (ראה 1.8.4) לפשט במידת מה את גזירת משוואת האיזון במקרה של שדה מונוכרומטי (משוואת האיזון של החזקה המורכבת). שילוב משוואת מונח אחר מונח (1.122) על פני נפח V, אנחנו מקבלים
איפה הכיוון של האלמנט dSחופף לכיוון הנורמלי החיצוני למשטח S. במעבר מ- (1.122) ל- (1.123), משפט אוסטרוגרדסקי-גאוס משמש להמרת אינטגרל הנפח של div [E, H] לאינטגרל פני השטח של הווקטור מוצר [E, H]. אנו מציגים את הסימון
P \u003d [E, H] (1.124)
ולהפוך את האינטגרנד במונח האחרון בצד ימין של (1.123):
החלפה של (1.124) ו- (1.125) ל- (1.123) ושינוי סדר האינטגרציה והבידול, אנו מקבלים
הבה נגלה את המשמעות הפיזית של הביטויים הכלולים במשוואה (1.126).
שקול את האיבר הראשון בצד ימין של (1.126). בואו נדמיין את עוצמת הקול Vבצורה של סכום של גלילים אינסופיים באורך dl, את הקצוות של אשר (dS) בניצב לכיוון הזרם (וקטור י). לאחר מכן Ej dV= EjdV= (אדל)(jds) = dUdl= dPפ , איפה dl= jds– הזרם הזורם דרך הגליל האינפיניטסימלי הנחשב; dU= אדל– שינוי פוטנציאלי לאורך dl, א dPפ – כוח ג'אול נפח dV. לכן, המונח הנדון הוא העוצמה של הפסדי ג'ול Pp בנפח V. שימוש ביחס י = σ ה, ניתן לקבל ייצוגים אחרים עבור Рп:
(1.127)
ניתן להתייחס לנוסחאות (1.127) כחוק ג'ול-לנץ כללי (עמ' 33), התקף עבור נפח הולכה Vצורה שרירותית.
האינטגרל בצד שמאל של (1.126) שונה מהאיבר הראשון בצד ימין רק בכך שבאינטגרנד במקום יכלול ירחוב . לכן, עליה לקבוע את כוחם של מקורות צד שלישי. נשקול את הכוח החיובי המופקים מזרמים חיצוניים לשדה האלקטרומגנטי. זרם חשמלי הוא תנועה מסודרת של חלקיקים טעונים. הכיוון החיובי של הזרם נחשב לכיוון התנועה של מטענים חיוביים. הזרם נותן אנרגיה לשדה האלקטרומגנטי כאשר החלקיקים הטעונים היוצרים אותו מאטים. לשם כך, יש צורך שלווקטור עוצמת השדה החשמלי E יהיה רכיב המכוון הפוך לכיוון הזרם, כלומר. לנקד מכפלה של וקטורים הו י st היה שלילי ( Ejרחוב<0). При этом левая часть равенства (1.126) будет положительной величиной. Таким образом, мгновенное значение мощности, отдаваемой сторонними токами электромагнитному полю в объеме V, נקבע לפי הביטוי
(1.128)
כדי להבין את המשמעות הפיזית של האיבר האחרון בצד ימין של המשוואה (1.126), אנו רואים מקרה מיוחד. בואו נניח שהווליום Vמוקף בקליפה מוליכה מושלמת החופפת למשטח S. ואז הרכיב המשיק של הווקטור העל פני השטח S יהיה שווה לאפס. אלמנט משטח dSחופף בכיוון לנורמלי החיצוני נ0 . כתוצאה מכך, אינטגרל פני השטח במשוואה (1.126) יהיה שווה לאפס, שכן הרכיב הנורמלי של המכפלה הווקטורית [ ה, ח] נקבע על פי הרכיבים המשיקים של הוקטורים הכלולים בו. בנוסף, אנו מניחים שלתווך בתוך נפח V אין מוליכות (σ = 0). במקרה זה, לא יהיו הפסדי ג'ול באזור הנבדק, וגם האינטגרל הראשון בצד ימין של המשוואה (1.126) יהיה שווה לאפס. כתוצאה מכך, אנו מקבלים
(1.129)
ברור שבמקרה הנדון, ניתן לבזבז את כוחם של מקורות חיצוניים רק על שינוי האנרגיה של השדה האלקטרומגנטי. לפיכך, הצד הימני של השוויון (1.129) הוא קצב השינוי של האנרגיה של השדה האלקטרומגנטי המאוחסן בנפח V, הָהֵן. מתאים למונח dW/ dtVמשוואה (1.126). טבעי להניח שהאינטגרל בצד ימין של (1.129) שווה לאנרגיה של השדה האלקטרומגנטי המרוכז בנפח V:
(1.130)
באופן קפדני, האינטגרל הזה עשוי להיות שונה מ Wלפונקציה כלשהי g = g (x, y,ז) ללא תלות בזמן. קל לוודא שהפונקציה g שווה לאפס. הבה נשכתב (1.130) כ-W=We + Wm , איפה
(1.131)
(1.132)
נניח שהשדה החשמלי והמגנטי קבועים (לא תלויים בזמן). במקרה זה, כידוע ממהלך הפיזיקה, ביטויים (1.131) ו-(1.132) קובעים את האנרגיה של השדה החשמלי והמגנטי, בהתאמה, בנפח V. אבל זה אומר שg ≡ 0 והביטויים האלה קובעים את הערכים המיידיים של האנרגיה של השדות החשמליים והמגנטיים בנפח Vעבור כל תלות בזמן, והסכום שלהם, שנקבע בנוסחה (1.130), אכן שווה לערך המיידי של האנרגיה של השדה האלקטרומגנטי בנפח V.
נותר להבהיר את המהות הפיזית של אינטגרל פני השטח במשוואה (1.126). אנו מניחים זאת בנפח Vאין הפסדים ובנוסף, גודל האנרגיה האלקטרומגנטית נשאר קבוע (W = const). במקרה זה, המשוואה (1.126) מקבלת את הצורה
(1.133)
יחד עם זאת, ברור מהייצוגים הפיזיים שבמקרה המסוים הזה, כל הכוח של מקורות חיצוניים צריך להיכנס למרחב שמסביב (Рst = PΣ). לכן, הצד הימני של המשוואה (1.133) שווה לזרימת האנרגיה דרך פני השטח S (הגבול של היחס בין כמות האנרגיה העוברת דרך S בזמן Δt כ- Δt → 0), כלומר.
טבעי להניח שהווקטור פמייצג את צפיפות שטף האנרגיה (הגבול של היחס בין שטף האנרגיה דרך האזור ΔS, הממוקם בניצב לכיוון התפשטות האנרגיה, ל-ΔS ב-ΔS→0). פורמלית, מתמטית, הנחה זו אינה ברורה, שכן החלפת הווקטור פעַל P1 = פ+ ריקבון א, איפה אהוא וקטור שרירותי, אינו משנה את הערך של PΣ. עם זאת, זה נכון, ובמיוחד, נובע ישירות מהתיאוריה היחסותית של השדה האלקטרומגנטי.
לפיכך, השוויון (1.126) דומה ל-(1.120) ומייצג את המשוואה לאיזון הערכים המיידיים של עוצמת השדה האלקטרומגנטי. זה הושג על ידי Poynting בשנת 1884 ונקרא משפט הצבעה.בהתאם לכך, הווקטור פשקוראים לו וקטור פוינטינג. גם השמות משמשים לעתים קרובות "משפט Umov-Poynting"ו " וקטור Umov-Poynting" על מנת להדגיש את העובדה שניסוח חוק שימור האנרגיה בצורה כללית עם הכנסת המושג שטף אנרגיה ווקטור המאפיין את צפיפותו ניתן לראשונה על ידי N.A. אומוב ב-1874.
שימו לב שאנרגיה יכולה להיכנס לנפח Vלא רק ממקורות חיצוניים. לדוגמה, ניתן לכוון את זרימת האנרגיה דרך פני השטח S מהחלל שמסביב לתוך הנפח V. במקרה זה, ההספק PΣ יהיה שלילי, מכיוון שזרימת האנרגיה היוצאת מהנפח נחשבת חיובית Vלתוך המרחב שמסביב (כיוון אלמנט dSחופף לכיוון הנורמלי החיצוני למשטח S).
מקורות צד שלישי יכולים לא רק לתת אנרגיה, אלא גם לקבל אותה מהשדה האלקטרומגנטי. במקרה זה, כוחם של מקורות צד שלישי יהיה שלילי. אכן, השדה האלקטרומגנטי פולט אנרגיה לזרם ההולכה אם הוא מאיץ את תנועתם של חלקיקים טעונים היוצרים את הזרם. לשם כך, וקטור עוצמת השדה החשמלי E חייב להיות בעל רכיב המכוון לאורך קווי הזרם, כלומר. לנקד מכפלה של וקטורים הו י st היה גדול מאפס.
הבה נבחן ביתר פירוט את הנוסחאות הקובעות את האנרגיה של השדה האלקטרומגנטי. ניתן לפרש את האינטגרנדים ב-(1.131) ו-(1.132) we = (1/2)εE2 ו-wm = (1/2)μH2 כערכים המיידיים של צפיפות האנרגיה הנפחית של השדות החשמליים והמגנטיים, בהתאמה, והסכום שלהם
(1.135)
כצפיפות הנפח של האנרגיה הכוללת של השדה האלקטרומגנטי.
נדגיש כי עקרון הסופרפוזיציה, אשר מתקיים על ידי הווקטורים של עוצמות השדות החשמליים והמגנטיים, אינו חל על אנרגיה. אכן, תן לאנרגיות השדה E1, H1ו E2, H2, הקיים בנפרד באזור V, שווה בהתאמה W1 ו W2 . ואז האנרגיה של השדה הכולל ה = E1 + E2, ח = ח1 + H2נקבע על פי הביטוי
אנרגיה הדדית של שדות. אנרגיה הדדית W12 יכולה להיות חיובית או שלילית. אם הוקטורים E1,ו E2, ו H1ו H2בניצב הדדי, ואז W12 = 0.
במקרה של תהליכים משתנים, התפלגות האנרגיה האלקטרומגנטית משתנה ללא הרף. שינוי זה בכל נקודה נתונה ניתן לקבוע על בסיס משוואה (1.122), המיוצגת בצורה נוחה כ:
(1.136)
כאשר ρst = - Ej st ו- ρp = Ejהם הערכים המיידיים של צפיפות ההספק של מקורות צד שלישי והכוח של הפסדי ג'ול, בהתאמה. כאשר עוברים מיחס (1.122) למשוואה (1.136), נלקחות בחשבון נוסחאות (1.125) ו-(1.135). משוואה (1.136) היא צורה דיפרנציאלית של משפט פוינטינג.