מחשבון מקוון למציאת השטח של דמות התחום בקווים. אינטגרל מובהק

א)

פִּתָרוֹן.

הרגע הראשון והחשוב ביותר של ההחלטה הוא בניית שרטוט.

בואו נעשה ציור:

המשוואה y=0 קובע את ציר ה-x;

- x=-2 ו x=1 - ישר, מקביל לציר OU;

- y \u003d x 2 +2 - פרבולה שענפיה מופנים כלפי מעלה, עם קודקוד בנקודה (0;2).

תגובה.כדי לבנות פרבולה, מספיק למצוא את נקודות החיתוך שלה עם צירי הקואורדינטות, כלומר. לשים x=0 למצוא את הצומת עם הציר OU ופתרון המשוואה הריבועית המתאימה, מצא את החתך עם הציר אה .

ניתן למצוא את הקודקוד של פרבולה באמצעות הנוסחאות:

אתה יכול לצייר קווים ונקודה אחר נקודה.

על המרווח [-2;1] הגרף של הפונקציה y=x 2 +2 ממוקם מעל ציר שׁוֹר , בגלל זה:

תשובה: ס \u003d 9 יחידות מרובעות

לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, "לפי העין" אנו סופרים את מספר התאים בציור - ובכן, בערך 9 יוקלדו, נראה שזה נכון. די ברור שאם הייתה לנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים בעליל לא מתאימים לדמות המדוברת, לכל היותר תריסר. אם התברר שהתשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.

מה לעשות אם הטרפז העקמומי ממוקם מתחת לסרן אה?

ב)חשב את השטח של דמות התחום בקווים y=-e x , x=1 ולתאם צירים.

פִּתָרוֹן.

בואו נעשה ציור.

אם טרפז עקום לגמרי מתחת לסרן אה , ואז ניתן למצוא את השטח שלו על ידי הנוסחה:

תשובה: S=(e-1) יחידת מ"ר" 1.72 יחידת מ"ר

תשומת הלב! אל תבלבלו בין שני סוגי המשימות:

1) אם תתבקשו לפתור רק אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז הוא יכול להיות שלילי.

2) אם תתבקשו למצוא את השטח של דמות באמצעות אינטגרל מוגדר, אז השטח תמיד חיובי! לכן המינוס מופיע בנוסחה שנחשבה זה עתה.

בפועל, לרוב הדמות ממוקמת במישור החצי העליון והתחתון כאחד.

עם)מצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

פִּתָרוֹן.

ראשית אתה צריך לעשות ציור. באופן כללי, כאשר בונים שרטוט בבעיות שטח, אנו מתעניינים בעיקר בנקודות החיתוך של קווים. מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה וישיר ניתן לעשות זאת בשתי דרכים. הדרך הראשונה היא אנליטית.

נפתור את המשוואה:

אז הגבול התחתון של האינטגרציה a=0 , הגבול העליון של האינטגרציה b=3 .

אנו בונים את הקווים הנתונים: 1. פרבולה - קודקוד בנקודה (1;1); צומת ציר הו -נקודות(0;0) ו-(0;2). 2. קו ישר - חצויה של זוויות הקואורדינטות ה-2 וה-4. ועכשיו שימו לב! אם על הקטע [ א;ב] פונקציה רציפה כלשהי f(x)גדול או שווה לפונקציה רציפה כלשהי g(x), אז ניתן למצוא את השטח של הדמות המקבילה על ידי הנוסחה: .

וזה לא משנה היכן ממוקמת הדמות - מעל הציר או מתחת לציר, אבל חשוב איזה תרשים הוא HIGHER (ביחס לתרשים אחר), ואיזה הוא BELOW. בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל לקו הישר, ולכן יש צורך להחסיר ממנו

אפשר לבנות קווים נקודה אחר נקודה, בעוד שגבולות האינטגרציה מתגלים כאילו "מעצמם". עם זאת, עדיין יש להשתמש בשיטה האנליטית של מציאת הגבולות אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהמבנה המושחל לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים).

הדמות הרצויה מוגבלת על ידי פרבולה מלמעלה וקו ישר מלמטה.

על הקטע , לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה: ס \u003d 4.5 יחידות מ"ר

במאמר זה תלמדו כיצד למצוא את השטח של דמות התחום בקווים באמצעות חישובים אינטגרלים. לראשונה אנו נתקלים בניסוח של בעיה כזו בתיכון, כאשר לימוד אינטגרלים מסוימים הסתיים זה עתה והגיע הזמן להתחיל בפרשנות הגיאומטרית של הידע שנצבר בפועל.

אז, מה נדרש כדי לפתור בהצלחה את הבעיה של מציאת שטח הדמות באמצעות אינטגרלים:

יכולת לצייר נכון ציורים;
יכולת לפתור אינטגרל מוגדר באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ הידועה;
היכולת "לראות" פתרון רווחי יותר - כלומר. להבין איך במקרה זה או אחר יהיה נוח יותר לבצע את האינטגרציה? לאורך ציר ה-X (OX) או ציר ה-Y (OY)?
ובכן, איפה בלי חישובים נכונים?) זה כולל הבנה כיצד לפתור את הסוג האחר של אינטגרלים וחישובים מספריים נכונים.

אלגוריתם לפתרון הבעיה של חישוב השטח של דמות התחום בקווים:

1. אנחנו בונים ציור. רצוי לעשות זאת על פיסת נייר בכלוב, בקנה מידה גדול. אנו חותמים בעיפרון מעל כל גרף את שם הפונקציה הזו. החתימה של הגרפים נעשית אך ורק לנוחות חישובים נוספים. לאחר קבלת הגרף של הדמות הרצויה, ברוב המקרים יתברר מיד באילו מגבלות אינטגרציה ישמשו. לפיכך, אנו פותרים את הבעיה בצורה גרפית. עם זאת, קורה שהערכים של הגבולות הם חלקיים או לא רציונליים. לכן, אתה יכול לעשות חישובים נוספים, עבור לשלב השני.

2. אם מגבלות האינטגרציה אינן מוגדרות במפורש, אז נמצא את נקודות החיתוך של הגרפים זו עם זו, ונראה אם הפתרון הגרפי שלנו מתאים לזה האנליטי.

3. לאחר מכן, אתה צריך לנתח את הציור. בהתאם לאופן שבו ממוקמים הגרפים של הפונקציות, ישנן גישות שונות למציאת השטח של האיור. שקול דוגמאות שונות למציאת השטח של דמות באמצעות אינטגרלים.

3.1. הגרסה הקלאסית והפשוטה ביותר של הבעיה היא כאשר אתה צריך למצוא את השטח של טרפז עקום. מהו טרפז עקום? זוהי דמות שטוחה התחום על ידי ציר ה-x (y=0), ישר x = a, x = bוכל עקומה רציפה על המרווח מ אלפני ב. יחד עם זאת, נתון זה אינו שלילי וממוקם לא נמוך מציר ה-x. במקרה זה, השטח של הטרפז העקום שווה מספרית לאינטגרל המובהק המחושב באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ:

דוגמה 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

אילו קווים מגדירים את הדמות? יש לנו פרבולה y = x2 - 3x + 3, אשר ממוקם מעל הציר הו, זה לא שלילי, כי כל הנקודות של פרבולה זו חיוביות. לאחר מכן, נתון קווים ישרים x = 1ו x = 3שעוברים במקביל לציר OU, הם הקווים התוחמים של הדמות משמאל ומימין. נו y = 0, היא ציר ה-x, שמגביל את הדמות מלמטה. הדמות המתקבלת מוצללת, כפי שניתן לראות באיור משמאל. במקרה זה, אתה יכול מיד להתחיל לפתור את הבעיה. לפנינו דוגמה פשוטה לטרפז עקום, שאותו אנו פותרים לאחר מכן באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ.

3.2. בפסקה הקודמת 3.1, המקרה נותח כאשר הטרפז העקום ממוקם מעל ציר ה-x. עכשיו שקול את המקרה כאשר תנאי הבעיה זהים, אלא שהפונקציה נמצאת מתחת לציר ה-x. מינוס נוסף לנוסחת ניוטון-לייבניץ הסטנדרטית. כיצד לפתור בעיה כזו, נשקול עוד.

דוגמה 2 . חשב את השטח של דמות התחום בקווים y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

בדוגמה זו, יש לנו פרבולה y=x2+6x+2, שמקורו מתחת לציר הו, ישר x=-4, x=-1, y=0. כאן y = 0מגביל את הנתון הרצוי מלמעלה. ישיר x = -4ו x = -1אלו הגבולות שבתוכם יחושב האינטגרל המובהק. העיקרון של פתרון הבעיה של מציאת שטח הדמות עולה כמעט לחלוטין בקנה אחד עם דוגמה מספר 1. ההבדל היחיד הוא שהפונקציה הנתונה אינה חיובית, והיא גם רציפה במרווח [-4; -1] . מה זאת אומרת לא חיובי? כפי שניתן לראות מהאיור, לדמות שנמצאת בתוך ה-x הנתון יש קואורדינטות "שליליות" בלבד, וזה מה שאנחנו צריכים לראות ולזכור כשפותרים את הבעיה. אנו מחפשים את השטח של הדמות באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ, רק עם סימן מינוס בהתחלה.

המאמר לא הושלם.

כעת נפנה לבחינת יישומים של החשבון האינטגרלי. בשיעור זה ננתח משימה טיפוסית ונפוצה ביותר. חישוב השטח של דמות שטוחה באמצעות אינטגרל מוגדר. לבסוף, כל אלה שמחפשים משמעות במתמטיקה גבוהה יותר - שימצאו אותה. אתה אף פעם לא יודע. בחיים האמיתיים, תצטרך להעריך קוטג' קיץ עם פונקציות אלמנטריות ולמצוא את השטח שלו באמצעות אינטגרל מסוים.

כדי לשלוט בהצלחה בחומר, עליך:

1) הבן את האינטגרל הבלתי מוגדר לפחות ברמת ביניים. לפיכך, על בובות לקרוא תחילה את השיעור לֹא.

2) להיות מסוגל ליישם את נוסחת ניוטון-לייבניץ ולחשב את האינטגרל המובהק. אתה יכול ליצור קשרי ידידות חמים עם אינטגרלים מסוימים בדף אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות. המשימה "לחשב את השטח באמצעות אינטגרל מוגדר" כרוכה תמיד בבניית שרטוטלכן, גם הידע שלך וכישורי הציור יהיו נושא דחוף. לכל הפחות צריך להיות מסוגל לבנות קו ישר, פרבולה והיפרבולה.

נתחיל עם טרפז עקום. טרפז עקום הוא דמות שטוחה התחום על ידי הגרף של פונקציה כלשהי y = ו(איקס), ציר שׁוֹרוקווים איקס = א; איקס = ב.

השטח של טרפז עקום שווה מספרית לאינטגרל מסוים

לכל אינטגרל מוגדר (שקיים) יש משמעות גיאומטרית טובה מאוד. בשיעור אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונותאמרנו שאינטגרל מוגדר הוא מספר. ועכשיו הגיע הזמן לציין עוד עובדה שימושית. מנקודת מבט של גיאומטריה, האינטגרל המובהק הוא ה-AREA. זה, האינטגרל המובהק (אם הוא קיים) מתאים מבחינה גיאומטרית לשטח של דמות כלשהי. שקול את האינטגרל המובהק

אינטגרנד

מגדיר עקומה במישור (ניתן לצייר אותה אם תרצה), והאינטגרל המובהק עצמו שווה מספרית לשטח הטרפז העקום המקביל.

דוגמה 1

, , , .

זוהי הצהרת משימה טיפוסית. הנקודה החשובה ביותר של ההחלטה היא בניית שרטוט. יתר על כן, יש לבנות את השרטוט ימין.

בעת בניית תוכנית, אני ממליץ על הסדר הבא: בתחילהעדיף לבנות את כל הקווים (אם יש) ורק לאחר מכן- פרבולות, היפרבולות, גרפים של פונקציות אחרות. ניתן למצוא את טכניקת הבנייה הנקודתית בחומר העזר גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות. שם תוכלו למצוא גם חומר שימושי מאוד ביחס לשיעור שלנו – איך לבנות פרבולה במהירות.

בבעיה זו, הפתרון עשוי להיראות כך.

בואו נעשה ציור (שימו לב שהמשוואה y= 0 מציין את הציר שׁוֹר):

לא נבקע את הטרפז העקום, ברור על איזה אזור אנחנו מדברים כאן. הפתרון ממשיך כך:

על המרווח [-2; 1] גרף פונקציות y = איקס 2 + 2 ממוקם מעל צירשׁוֹר, בגלל זה:

תשובה: .

מי מתקשה לחשב את האינטגרל המובהק וליישם את נוסחת ניוטון-לייבניץ

עיין בהרצאה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות. לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, "לפי העין" אנו סופרים את מספר התאים בציור - ובכן, בערך 9 יוקלדו, נראה שזה נכון. די ברור שאם הייתה לנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים כמובן לא מתאימים לנתון המדובר, לכל היותר תריסר. אם התברר שהתשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.

דוגמה 2

חשב את השטח של דמות התחום בקווים xy = 4, איקס = 2, איקס= 4 וציר שׁוֹר.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

מה לעשות אם הטרפז העקמומי ממוקם מתחת לסרןשׁוֹר?

דוגמה 3

חשב את השטח של דמות התחום בקווים y = לְשֶׁעָבַר, איקס= 1 וצירי קואורדינטות.

פתרון: בואו נעשה ציור:

אם טרפז עקום לגמרי מתחת לסרן שׁוֹר , אז ניתן למצוא את השטח שלו על ידי הנוסחה:

במקרה הזה:

תשומת הלב! אין לבלבל בין שני סוגי המשימות:

1) אם תתבקשו לפתור רק אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז הוא יכול להיות שלילי.

בפועל, לרוב הדמות ממוקמת במישור החצי העליון והתחתון כאחד, ולכן, מבעיות בית הספר הפשוטות ביותר, אנו עוברים לדוגמאות משמעותיות יותר.

דוגמה 4

מצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים y = 2איקס – איקס 2 , y = -איקס.

פתרון: ראשית אתה צריך לעשות ציור. כאשר בונים ציור בבעיות שטח, אנו מתעניינים בעיקר בנקודות החיתוך של קווים. מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה y = 2איקס – איקס 2 וישר y = -איקס. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים. הדרך הראשונה היא אנליטית. נפתור את המשוואה:

אז הגבול התחתון של האינטגרציה א= 0, גבול עליון של אינטגרציה ב= 3. לרוב רווחי ומהיר יותר לבנות קווים נקודה אחר נקודה, בעוד שגבולות האינטגרציה מתגלים כאילו "בעצמם". עם זאת, עדיין יש להשתמש בשיטה האנליטית של מציאת הגבולות אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהמבנה המושחל לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים). אנו חוזרים למשימה שלנו: יותר רציונלי לבנות תחילה קו ישר ורק אחר כך פרבולה. בואו נעשה ציור:

אנו חוזרים על כך שבבנייה נקודתית, גבולות האינטגרציה מתגלים לרוב "באופן אוטומטי".

ועכשיו נוסחת העבודה:

אם על הקטע [ א; ב] פונקציה רציפה כלשהי ו(איקס) גדול או שווהפונקציה רציפה כלשהי ז(איקס), אז ניתן למצוא את השטח של הדמות המקבילה על ידי הנוסחה:

כאן כבר אין צורך לחשוב היכן ממוקמת הדמות - מעל הציר או מתחת לציר, אלא זה משנה איזה תרשים נמצא למעלה(ביחס לגרף אחר), ואיזה מהם נמצא מתחת.

בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל הקו הישר, ולכן מ-2 איקס – איקסיש לגרוע 2 - איקס.

השלמת הפתרון עשויה להיראות כך:

הנתון הרצוי מוגבל על ידי פרבולה y = 2איקס – איקס 2 עליונים וישרים y = -איקסמלמטה.

על קטע 2 איקס – איקס 2 ≥ -איקס. לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה: .

למעשה, נוסחת בית הספר לשטח של טרפז עקום בחצי המישור התחתון (ראה דוגמה מס' 3) היא מקרה מיוחד של הנוסחה

מאז הציר שׁוֹרניתן על ידי המשוואה y= 0, והגרף של הפונקציה ז(איקס) ממוקם מתחת לציר שׁוֹר, זה

ועכשיו כמה דוגמאות להחלטה עצמאית

דוגמה 5

דוגמה 6

מצא את השטח של דמות התחום בקווים

במהלך פתרון בעיות לחישוב השטח באמצעות אינטגרל מסוים, קורה לפעמים תקרית מצחיקה. הציור נעשה בצורה נכונה, החישובים היו נכונים, אבל, בגלל חוסר תשומת לב, ... מצא את השטח של הדמות הלא נכונה.

דוגמה 7

בוא נצייר קודם:

הדמות שאת השטח שלה אנחנו צריכים למצוא מוצללת בכחול.(הסתכלו היטב על המצב - איך הנתון מוגבל!). אבל בפועל, בגלל חוסר תשומת לב, הם מחליטים לעתים קרובות שהם צריכים למצוא את השטח של הדמות המוצלת בירוק!

דוגמה זו שימושית גם בכך שבה מחושב השטח של הדמות באמצעות שני אינטגרלים מוגדרים. בֶּאֱמֶת:

1) על הקטע [-1; 1] מעל הסרן שׁוֹרהגרף ישר y = איקס+1;

2) על הקטע שמעל הציר שׁוֹרגרף ההיפרבולה נמצא y = (2/איקס).

ברור למדי שניתן (וצריך) להוסיף את האזורים, לכן:

תשובה:

דוגמה 8

חשב את השטח של דמות התחום בקווים

נציג את המשוואות בצורת "בית ספר".

ותעשה את ציור הקו:

ניתן לראות מהציור שהגבול העליון שלנו הוא "טוב": ב = 1.

אבל מה הגבול התחתון? ברור שזה לא מספר שלם, אלא מה?

אולי, א=(-1/3)? אבל איפה הערובה שהציור נעשה בדיוק מושלם, יכול בהחלט להתברר שכן א=(-1/4). מה אם לא נבין את הגרף בכלל?

במקרים כאלה, יש להשקיע זמן נוסף ולחדד את גבולות האינטגרציה בצורה אנליטית.

מצא את נקודות החיתוך של הגרפים

לשם כך נפתור את המשוואה:

לָכֵן, א=(-1/3).

הפתרון הנוסף הוא טריוויאלי. העיקר לא להתבלבל בהחלפות ובסימנים. החישובים כאן הם לא הכי קלים. על הקטע

, ,

לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה:

לסיכום השיעור, נשקול שתי משימות קשות יותר.

דוגמה 9

חשב את השטח של דמות התחום בקווים

פתרון: צייר את הדמות הזו בציור.

כדי לצייר ציור נקודה אחר נקודה, אתה צריך לדעת את המראה של הסינוסואיד. באופן כללי, כדאי לדעת את הגרפים של כל הפונקציות היסודיות, כמו גם כמה ערכים של הסינוס. ניתן למצוא אותם בטבלת הערכים פונקציות טריגונומטריות. במקרים מסוימים (למשל במקרה זה), מותר לבנות שרטוט סכמטי, שעליו יש להציג גרפים ומגבלות אינטגרציה באופן עקרוני בצורה נכונה.

אין בעיות עם מגבלות האינטגרציה כאן, הן נובעות ישירות מהתנאי:

- "x" משתנה מאפס ל-"pi". אנו מקבלים החלטה נוספת:

על הקטע, הגרף של הפונקציה y= חטא 3 איקסממוקם מעל הציר שׁוֹר, בגלל זה:

(1) ניתן לראות כיצד סינוסים וקוסינוסים משולבים בחזקות אי-זוגיות בשיעור אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות. אנחנו צובטים סינוס אחד.

(2) אנו משתמשים בזהות הטריגונומטרית הבסיסית בטופס

(3) הבה נשנה את המשתנה ט= cos איקס, אז: ממוקם מעל הציר , אז:

הערה:שימו לב כיצד נלקח האינטגרל של המשיק בקובייה, כאן נעשה שימוש בתוצאה של הזהות הטריגונומטרית הבסיסית

משימה 1(על חישוב השטח של טרפז עקום).

במערכת הקואורדינטות המלבניות הקרטזית xOy, ניתנת דמות (ראה איור), תחומה על ידי ציר x, קווים ישרים x \u003d a, x \u003d b (טרפז עקום. יש צורך לחשב את השטח של\ u200b\u200b הטרפז העקום.
פִּתָרוֹן.הגיאומטריה נותנת לנו מתכונים לחישוב השטחים של מצולעים וכמה חלקים של מעגל (מגזר, קטע). באמצעות שיקולים גיאומטריים, נוכל למצוא רק ערך משוער של השטח הנדרש, בטענה כדלקמן.

בואו נחלק את הקטע [א; ב] (בסיס של טרפז עקום) ל-n חלקים שווים; מחיצה זו אפשרית בעזרת נקודות x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . הבה נצייר קווים דרך נקודות אלה במקביל לציר ה-y. ואז הטרפז העקום הנתון יחולק ל-n חלקים, ל-n עמודות צרות. שטח הטרפז כולו שווה לסכום שטחי העמודים.

שקול בנפרד את העמודה K-th, כלומר. טרפז עקום, שבסיסו הוא קטע. נחליף אותו במלבן בעל אותו בסיס וגובה שווה ל-f(x k) (ראה איור). שטח המלבן הוא $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, כאשר $\Delta x_k $ הוא אורך הקטע; זה טבעי לשקול את המוצר המלוקט כערך משוער של שטח העמודה ה-k.

אם נעשה את אותו הדבר כעת עם כל העמודות האחרות, אז נגיע לתוצאה הבאה: שטח S של טרפז עקום נתון שווה בערך לשטח S n של דמות מדורגת המורכבת מ-n מלבנים (ראה איור):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
כאן, למען אחידות הסימון, אנו רואים כי a \u003d x 0, b \u003d x n; $\Delta x_0 $ - אורך קטע , $\Delta x_1 $ - אורך קטע וכו'; בעוד, כפי שהסכמנו למעלה, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

אז, $S \approx S_n $, והשוויון המשוער הזה הוא המדויק יותר, ה-n גדול יותר.
על פי הגדרה, ההנחה היא שהשטח הרצוי של הטרפז העקום שווה לגבול הרצף (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

משימה 2(על הזזת נקודה)
נקודה חומרית נעה בקו ישר. התלות של המהירות בזמן מתבטאת בנוסחה v = v(t). מצא את העקירה של נקודה על פני מרווח הזמן [a; ב].
פִּתָרוֹן.אם התנועה הייתה אחידה, אז הבעיה הייתה נפתרת בפשטות רבה: s = vt, כלומר. s = v(b-a). לתנועה לא אחידה, יש להשתמש באותם רעיונות שעליהם התבסס פתרון הבעיה הקודמת.
1) חלקו את מרווח הזמן [א; ב] ל-n חלקים שווים.
2) חשבו על מרווח זמן והנח שבמהלך מרווח זמן זה המהירות הייתה קבועה, כמו בזמן t k . לכן, אנו מניחים ש-v = v(t k).
3) מצא את הערך המשוער של תזוזה הנקודה על פני מרווח הזמן, ערך משוער זה יסומן על ידי s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) מצא את הערך המשוער של העקירה s:
$s \approx S_n $ איפה
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) התזוזה הנדרשת שווה לגבול הרצף (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

בואו נסכם. הפתרונות של בעיות שונות צומצמו לאותו מודל מתמטי. בעיות רבות מתחומי מדע וטכנולוגיה שונים מובילות לאותו מודל בתהליך הפתרון. אז, יש ללמוד במיוחד את המודל המתמטי הזה.

הרעיון של אינטגרל מובהק

הבה ניתן תיאור מתמטי של המודל שנבנה בשלוש הבעיות הנחשבות עבור הפונקציה y = f(x), שהיא רציפה (אך לא בהכרח לא שלילית, כפי שהונחה בבעיות הנחשבות) על הקטע [ א; ב]:
1) לפצל את הקטע [א; ב] ל-n חלקים שווים;
2) סכום $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) מחשב $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

במהלך הניתוח המתמטי, הוכח שגבול זה קיים במקרה של פונקציה רציפה (או רציפה חלקית). הוא נקרא אינטגרל מוגדר של הפונקציה y = f(x) מעל הקטע [a; ב]ומסומנים כך:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
המספרים a ו-b נקראים גבולות האינטגרציה (תחתון ועליון, בהתאמה).

נחזור למשימות שנדונו לעיל. כעת ניתן לשכתב את הגדרת השטח שניתנה בבעיה 1 באופן הבא:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
כאן S הוא השטח של הטרפז העקום המוצג באיור שלמעלה. זה מה משמעות גיאומטרית של האינטגרל המובהק.

ניתן לכתוב מחדש את ההגדרה של התזוזה s של נקודה הנעה בקו ישר במהירות v = v(t) על פני מרווח הזמן מ-t = a ל-t = b, שניתנה בבעיה 2:

נוסחת ניוטון - לייבניץ

ראשית, נענה על השאלה: מה הקשר בין אינטגרל מובהק לנגזרת אנטי?

את התשובה ניתן למצוא בבעיה 2. מצד אחד, התזוזה s של נקודה הנעה לאורך קו ישר במהירות v = v(t) על פני מרווח זמן מ-t = a עד t = b ומחושבת לפי הנוסחה
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

מצד שני, הקואורדינטה של הנקודה הנעה היא הנגזרת האנטי-נגזרת למהירות - נסמן אותה s(t); מכאן שהעקירה s מבוטאת בנוסחה s = s(b) - s(a). כתוצאה מכך, אנו מקבלים:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
כאשר s(t) הוא האנטי-נגזרת של v(t).

המשפט הבא הוכח במהלך ניתוח מתמטי.
מִשׁפָּט. אם הפונקציה y = f(x) רציפה על הקטע [a; b], ואז הנוסחה
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
כאשר F(x) היא הנגזרת האנטי-נגזרת של f(x).

נוסחה זו נקראת בדרך כלל נוסחת ניוטון-לייבניץלכבודם של הפיזיקאי האנגלי אייזק ניוטון (1643-1727) והפילוסוף הגרמני גוטפריד לייבניץ (1646-1716), שקיבלו אותו באופן עצמאי זה מזה וכמעט בו-זמנית.

בפועל, במקום לכתוב F(b) - F(a), הם משתמשים בסימון $\left. F(x)\right|_a^b $ (זה נקרא לפעמים החלפה כפולה) ובהתאם, כתוב מחדש את נוסחת ניוטון-לייבניץ בצורה זו:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

חישוב אינטגרל מוגדר, תחילה מצא את הנגזרת האנטי, ולאחר מכן בצע החלפה כפולה.

בהתבסס על נוסחת ניוטון-לייבניץ, ניתן לקבל שתי תכונות של אינטגרל מוגדר.

נכס 1.האינטגרל של סכום הפונקציות שווה לסכום האינטגרלים:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

נכס 2.ניתן להוציא את הגורם הקבוע מהסימן האינטגרלי:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

חישוב השטחים של דמויות מישוריות באמצעות אינטגרל מוגדר

באמצעות האינטגרל, אתה יכול לחשב את השטח לא רק של טרפזים עקומים, אלא גם של דמויות מישוריות מסוג מורכב יותר, כמו זו שמוצגת באיור. הדמות P תחומה בקווים ישרים x = a, x = b ובגרפים של פונקציות רציפות y = f(x), y = g(x), ועל הקטע [a; b] אי השוויון $g(x) \leq f(x) $ מתקיים. כדי לחשב את שטח S של דמות כזו, נמשיך כדלקמן:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

אז, השטח S של האיור התחום על ידי הקווים הישרים x = a, x = b והגרפים של פונקציות y = f(x), y = g(x), רציף על הקטע וכזה שעבור כל x מ- הקטע [א; b] אי השוויון $g(x) \leq f(x) $ מרוצה, מחושב לפי הנוסחה
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

טבלה של אינטגרלים בלתי מוגדרים (אנטי-נגזרים) של פונקציות מסוימות

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$