המספר הראשוני הקטן ביותר. מספרים ראשוניים

המאמר עוסק במושגים של מספרים ראשוניים ומרוכבים. ניתנות הגדרות של מספרים כאלה עם דוגמאות. אנו נותנים הוכחה לכך שמספר הראשוניים הוא בלתי מוגבל ועורכים רישום בטבלת הראשוניים בשיטת ארוטוסטנס. יינתנו הוכחות האם מספר הוא ראשוני או מורכב.

Yandex.RTB R-A-339285-1

מספרים ראשוניים ומרוכבים - הגדרות ודוגמאות

מספרים ראשוניים ומרוכבים מסווגים כמספרים שלמים חיוביים. הם חייבים להיות גדולים מאחד. מחלקים מחולקים גם לפשוטים ומורכבים. כדי להבין את המושג של מספרים מרוכבים, יש צורך תחילה ללמוד את המושגים של מחלקים וכפולות.

הגדרה 1

מספרים ראשוניים הם מספרים שלמים שגדולים מאחד ויש להם שני מחלקים חיוביים, כלומר עצמם ו-1.

הגדרה 2

מספרים מרוכבים הם מספרים שלמים שגדולים מאחד ויש להם לפחות שלושה מחלקים חיוביים.

האחד אינו מספר ראשוני ולא מספר מורכב. יש לו רק מחלק חיובי אחד, ולכן הוא שונה מכל המספרים החיוביים האחרים. כל המספרים השלמים החיוביים נקראים טבעיים, כלומר משמשים בספירה.

הגדרה 3

מספרים ראשונייםהם מספרים טבעיים שיש להם רק שני מחלקים חיוביים.

הגדרה 4

מספר מורכבהוא מספר טבעי שיש לו יותר משני מחלקים חיוביים.

כל מספר הגדול מ-1 הוא ראשוני או מרוכב. ממאפיין ההתחלקות, יש לנו ש-1 והמספר a תמיד יהיה מחלק לכל מספר a, כלומר, הוא יהיה מתחלק בעצמו וב-1. אנו נותנים את ההגדרה של מספרים שלמים.

הגדרה 5

מספרים טבעיים שאינם ראשוניים נקראים מספרים מרוכבים.

מספרים ראשוניים: 2, 3, 11, 17, 131, 523. הם ניתנים לחלוקה רק בעצמם וב-1. מספרים מורכבים: 6, 63, 121, 6697. כלומר, ניתן לפרק את המספר 6 ל-2 ו-3, ו-63 ל-1, 3, 7, 9, 21, 63 ו-121 ל-11, 11, כלומר המחלקים שלו יהיו 1, 11, 121. המספר 6697 יתפרק ל-37 ו-181. שימו לב שהמושגים של מספרים ראשוניים ומספרים ראשוניים יחסית הם מושגים שונים.

כדי להקל על השימוש במספרים ראשוניים, עליך להשתמש בטבלה:

טבלה של כל המספרים הטבעיים הקיימים אינה מציאותית, מכיוון שישנם מספר אינסופי. כאשר המספרים מגיעים לגדלים של 10000 או 1000000000, אז כדאי לחשוב על שימוש במסננת של ארטוסתנס.

חשבו על משפט שמסביר את המשפט האחרון.

משפט 1

המחלק החיובי הקטן ביותר של מספר טבעי הגדול מ-1 מלבד 1 הוא מספר ראשוני.

הוכחה 1

נניח ש-a הוא מספר טבעי הגדול מ-1, b הוא המחלק הלא-אחד הקטן ביותר של a. עלינו להוכיח ש-b הוא מספר ראשוני בשיטת הסתירה.

נניח ש-b הוא מספר מורכב. מכאן יש לנו מחלק ל-b, ששונה מ-1 וגם מ-b. מחלק כזה מסומן כ- b 1 . הכרחי שתנאי 1< b 1 < b הושלם.

ניתן לראות מהתנאי ש-a מתחלק ב-b, b מתחלק ב-b 1, כלומר מושג ההתחלקות מתבטא כך: a = b qו-b = b 1 q 1 , ומכאן a = b 1 (q 1 q) , כאשר q ו ש 1הם מספרים שלמים. לפי כלל הכפל של מספרים שלמים, יש לנו שמכפלת המספרים השלמים הוא מספר שלם עם שוויון בצורה a = b 1 · (q 1 · q) . ניתן לראות כי b 1 הוא המחלק של א. אי שוויון 1< b 1 < b לֹאהתאמות, מכיוון שאנו מקבלים ש-b הוא המחלק החיובי הלא-1 הקטן ביותר של a.

משפט 2

יש אינסוף מספרים ראשוניים.

הוכחה 2

נניח שניקח מספר סופי של מספרים טבעיים n ונסמן כ-p 1, p 2, …, p n. הבה נשקול גרסה של מציאת מספר ראשוני שונה מהמצוין.

קחו בחשבון את המספר p, ששווה ל-p 1, p 2, …, p n + 1. הוא אינו שווה לכל אחד מהמספרים המקבילים לראשוניים בצורה p 1 , p 2 , … , p n . המספר p הוא ראשוני. אז המשפט נחשב למוכח. אם זה מורכב, אז אנחנו צריכים לקחת את הסימון p n + 1 ולהראות אי התאמה של מחלק עם כל אחד מ-p 1, p 2, …, p n.

אם זה לא היה כך, אז בהתבסס על תכונת ההתחלקות של המוצר p 1 , p 2 , … , p n , נקבל שזה יהיה מתחלק ב-p n + 1. שימו לב שהביטוי p n + 1 המספר p מחולק שווה לסכום p 1 , p 2 , … , p n + 1 . נקבל שהביטוי p n + 1 יש לחלק את האיבר השני של הסכום הזה, ששווה ל-1, אבל זה בלתי אפשרי.

ניתן לראות שניתן למצוא כל מספר ראשוני בין כל מספר של מספרים ראשוניים נתונים. מכאן נובע שיש אינסוף מספרים ראשוניים.

מכיוון שיש הרבה מספרים ראשוניים, הטבלאות מוגבלות למספרים 100, 1000, 10000 וכן הלאה.

כאשר מרכיבים טבלה של מספרים ראשוניים, יש לקחת בחשבון את העובדה שמשימה כזו דורשת בדיקה רציפה של מספרים, החל מ-2 עד 100. אם אין מחלק, הוא נרשם בטבלה; אם הוא מורכב, הוא לא מוזן בטבלה.

בואו נשקול צעד אחר צעד.

אם מתחילים במספר 2, אז יש לו רק 2 מחלקים: 2 ו-1, כלומר ניתן להזין אותו בטבלה. גם עם המספר 3. המספר 4 הוא מורכב, יש לפרק אותו ל-2 ו-2. המספר 5 הוא ראשוני, כלומר ניתן לתקן אותו בטבלה. עשה זאת עד למספר 100.

שיטה זו אינה נוחה וגוזלת זמן. אתה יכול להכין שולחן, אבל תצטרך להשקיע הרבה זמן. יש צורך להשתמש בקריטריונים של חלוקה, שיזרזו את תהליך מציאת המחלקים.

השיטה המשתמשת במסננת של Eratosthenes נחשבת לנוחה ביותר. בואו נסתכל על הטבלאות שלהלן. מלכתחילה נכתבים המספרים 2, 3, 4, ..., 50.

כעת עליך למחוק את כל המספרים שהם כפולות של 2. בצע קו חוצה ברצף. נקבל טבלה של הטופס:

נעבור למחיקת מספרים שהם כפולות של 5. אנחנו מקבלים:

אנו חוצים את המספרים שהם כפולות של 7, 11. סוף סוף הטבלה נראית כך

הבה נעבור לניסוח המשפט.

משפט 3

המחלק החיובי והלא-1 הקטן ביותר של מספר הבסיס a אינו עולה על a , כאשר a הוא השורש האריתמטי של המספר הנתון.

הוכחה 3

יש צורך לסמן את b כמחלק הקטן ביותר של מספר מורכב a. יש מספר שלם q, שבו a = b · q, ויש לנו ש-b ≤ q. אי שוויון של הצורה ב > שכי התנאי מופר. יש להכפיל את שני הצדדים של אי השוויון b ≤ q בכל מספר חיובי b שאינו שווה ל-1. נקבל ש b b ≤ b q , כאשר b 2 ≤ a ו- b ≤ a .

ניתן לראות מהמשפט המוכח שמחיקת המספרים בטבלה מובילה לכך שיש להתחיל במספר השווה ל-b 2 ומקיים את אי השוויון b 2 ≤ a . כלומר, אם חוצים מספרים שהם כפולות של 2, התהליך מתחיל מ-4, ואלו שהם כפולות של 3 מתחילים מ-9, וכך הלאה עד 100.

עריכת טבלה כזו באמצעות משפט ארטוסתנס אומר שכאשר כל המספרים המרוכבים מחוקים, יישארו ראשוניים שאינם עולים על n. בדוגמה שבה n=50, יש לנו ש-n=50. מכאן אנו מקבלים שהמסננת של ארטוסתנס מסננת את כל המספרים המרוכבים שאינם גדולים בערכם מערך השורש של 50. החיפוש אחר מספרים נעשה על ידי חצייה.

לפני הפתרון, יש צורך לברר אם המספר הוא ראשוני או מרוכב. לעתים קרובות נעשה שימוש בקריטריונים לחלוקה. בואו נסתכל על זה בדוגמה למטה.

דוגמה 1

הוכח ש-898989898989898989 הוא מספר מורכב.

פִּתָרוֹן

סכום הספרות של המספר הנתון הוא 9 8 + 9 9 = 9 17. אז המספר 9 17 מתחלק ב-9, על סמך סימן ההתחלקות ב-9. מכאן נובע שהוא מורכב.

סימנים כאלה אינם מסוגלים להוכיח את ראשוניותו של מספר. אם יש צורך באימות, יש לנקוט בצעדים אחרים. הדרך המתאימה ביותר היא למנות מספרים. במהלך התהליך, ניתן למצוא מספרים ראשוניים ומרוכבים. כלומר, מספרים בערך לא יעלו על . כלומר, יש לפרק את המספר a לגורמים ראשוניים. אם זה נכון, אז המספר a יכול להיחשב ראשוני.

דוגמה 2

קבע את המספר המרוכב או הראשוני 11723.

פִּתָרוֹן

כעת עליך למצוא את כל המחלקים עבור המספר 11723. צריך להעריך 11723.

מכאן אנו רואים את 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , ו-11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

לאומדן מדויק יותר של המספר 11723, יש צורך לכתוב את הביטוי 108 2 = 11 664, וכן 109 2 = 11 881 , זה 108 2 < 11 723 < 109 2 . מכאן נובע ששנת 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

בעת פירוק, אנו מקבלים את ה-2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 הם כולם מספרים ראשוניים. ניתן לתאר את כל התהליך הזה כחלוקה לפי עמודה. כלומר, חלקו את 11723 ב-19. המספר 19 הוא אחד הגורמים שלו, מכיוון שאנו מקבלים חלוקה ללא שארית. בואו נתאר את החלוקה לפי עמודה:

מכאן נובע ש-11723 הוא מספר מורכב, כי בנוסף לעצמו ול-1 יש לו מחלק 19.

תשובה: 11723 הוא מספר מורכב.

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

כל שאר המספרים הטבעיים נקראים מורכבים. המספר הטבעי 1 אינו ראשוני ואינו מרוכב.

דוגמא

תרגיל.אילו מהמספרים הטבעיים הבאים הם ראשוניים:

תשובה.

פקטורינג מספר

ייצוג מספר טבעי כמכפלה של מספרים טבעיים נקרא פירוק לגורמים. אם בפירוק של מספר טבעי כל הגורמים הם מספרים ראשוניים, אזי נקרא פירוק כזה פירוק לגורמים ראשוניים.

מִשׁפָּט

(משפט בסיסי של אריתמטיקה)

כל מספר טבעי מלבד 1 ניתן לפרק לגורמים ראשוניים, ויתרה מכך, בצורה ייחודית (אם נזהה את הפירוקים ו- , היכן והם מספרים ראשוניים).

בשילוב גורמים ראשוניים זהים בפירוק של מספר, אנו מקבלים את מה שנקרא פירוק קנוני של מספר:

כאשר , הם מספרים ראשוניים שונים, והם מספרים טבעיים.

דוגמא

תרגיל.מצא את ההרחבה הקנונית של מספרים:

פִּתָרוֹן.כדי למצוא את ההתפשטות הקנונית של מספרים, תחילה עליך לפרק אותם לגורמים ראשוניים, ולאחר מכן לשלב את אותם גורמים ולכתוב את התוצר שלהם כדרגה עם מעריך טבעי:

תשובה.

התייחסות היסטורית

כיצד לקבוע איזה מספר הוא ראשוני ואיזה לא? השיטה הנפוצה ביותר למציאת כל המספרים הראשוניים בכל מרווח מספרי הוצעה במאה ה-3. לִפנֵי הַסְפִירָה ה. Eratosthenes (השיטה נקראת "המסננת של Eratosthenes"). נניח שעלינו לקבוע אילו מהמספרים הם ראשוניים. אנו כותבים אותם בשורה ומצליבים כל מספר שני מאלה שאחרי המספר 2 - כולם מורכבים, מכיוון שהם כפולות של המספר 2. הראשון מבין המספרים הנותרים ללא חוצה - 3 - הוא ראשוני. יש למחוק כל מספר שלישי מאלה שאחרי המספר 3; הבא מבין המספרים הלא מוצלבים - 5 - יהיה גם ראשוני. על פי אותו עיקרון, אנו חוצים כל מספר חמישי מאלה שאחרי המספר 5 ובאופן כללי, כל -e מאלה שאחרי המספר . כל המספרים הנותרים ללא חוצה יהיו ראשוניים.

ככל שמספרים ראשוניים עולים, הם הופכים פחות ופחות שכיחים. עם זאת, כבר הקדמונים היו מודעים היטב לעובדה שיש מספר אינסופי מהם. הוכחתו ניתנת באלמנטים של אוקלידס.

מספר ראשוניהוא מספר שלם טבעי (חיובי) המתחלק ללא שארית בשני מספרים טבעיים בלבד: בעצמו ובעצמו. במילים אחרות, למספר ראשוני יש בדיוק שני מחלקים טבעיים: והמספר עצמו.

בהגדרה, קבוצת כל המחלקים של מספר ראשוני היא דו-אלמנטית, כלומר. הוא סט.

קבוצת כל המספרים הראשוניים מסומנת בסמל. כך, מתוקף הגדרת קבוצת הראשוניים, נוכל לכתוב:.

רצף המספרים הראשוניים נראה כך:

משפט יסוד של חשבון

משפט יסוד של חשבוןטוען שכל מספר טבעי גדול מאחד יכול להיות מיוצג כמכפלה של מספרים ראשוניים, ובאופן ייחודי, עד לסדר הגורמים. לפיכך, מספרים ראשוניים הם "אבני הבניין" היסודיות של קבוצת המספרים הטבעיים.

פירוק של מספר טבעי title="Renderd by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} קנוני:

היכן הוא מספר ראשוני, ו. לדוגמה, ההתרחבות הקנונית של מספר טבעי נראית כך: .

ייצוג של מספר טבעי כמכפלה של ראשוניים נקרא גם פירוק מספרים.

מאפיינים של מספרים ראשוניים

מסננת של ארוטוסטנס

אחד האלגוריתמים המפורסמים ביותר לחיפוש וזיהוי מספרים ראשוניים הוא מסננת של ארוטוסטנס. אז האלגוריתם הזה נקרא על שם המתמטיקאי היווני ארטוסתנס מקירנה, שנחשב למחבר האלגוריתם.

כדי למצוא את כל המספרים הראשוניים הנמוכים ממספר נתון, לפי השיטה של ​​Eratosthenes, עליך לבצע את השלבים הבאים:

שלב 1.רשום בשורה את כל המספרים הטבעיים משני עד , כלומר. .
שלב 2הקצה ערך למשתנה, כלומר, ערך השווה למספר הראשוני הקטן ביותר.
שלב 3מחק ברשימה את כל המספרים מ לכפולות של , כלומר, מספרים: .
שלב 4מצא את המספר הראשון שלא חוצה ברשימה הגדול מ-, והקצה את הערך של המספר הזה למשתנה.
שלב 5חזור על שלבים 3 ו-4 עד שתגיע המספר.

תהליך יישום האלגוריתם ייראה כך:

כל המספרים הבלתי מוצלבים שנותרו ברשימה בסוף תהליך יישום האלגוריתם יהיו קבוצה של מספרים ראשוניים מ- עד .

השערתו של גולדבך

עטיפת הספר "הדוד פטרוס והשערת גולדבך"

למרות העובדה שמספרים ראשוניים נחקרו על ידי מתמטיקאים במשך זמן רב, כיום בעיות קשורות רבות נותרות בלתי פתורות. אחת הבעיות הבלתי פתורות המפורסמות ביותר היא ההשערה של גולדבך, אשר מנוסחת כך:

• האם זה נכון שכל מספר זוגי גדול משניים יכול להיות מיוצג כסכום של שני ראשוניים (השערה הבינארית של גולדבך)?
• האם זה נכון שכל מספר אי זוגי גדול מ-5 יכול להיות מיוצג כסכום של שלושה ראשוניים (השערה המשולשת של גולדבך)?

יש לומר שהשערת גולדבך המשולשת היא מקרה מיוחד של השערת גולדבך הבינארית, או כפי שאומרים מתמטיקאים, השערת גולדבך המשולשת חלשה יותר מהשערת גולדבך הבינארית.

ההשערה של גולדבך זכתה להכרה נרחבת מחוץ לקהילה המתמטית בשנת 2000 הודות לתעלול שיווקי פרסומי של בלומסברי ארה"ב (ארה"ב) וחברות ההוצאה לאור של פייבר ופבר (בריטניה). הוצאות לאור אלו, לאחר שהוציאו את הספר "השערת הדוד פטרוס וגולדבך", הבטיחו לשלם פרס של מיליון דולר ארה"ב בתוך שנתיים מתאריך פרסום הספר למי שיוכיח את השערתו של גולדבך. לפעמים הפרס המוזכר ממו"לים מתבלבל עם הפרסים לפתרון בעיות פרס המילניום. אל תטעו, השערת גולדבך אינה רשומה כאתגר המילניום על ידי מכון החימר, למרות שהיא קשורה קשר הדוק ל השערת רימןאחד מאתגרי המילניום.

הספר "מספרים פשוטים. דרך ארוכה לאינסוף

עטיפת הספר "עולם המתמטיקה. מספרים פשוטים. דרך ארוכה לאינסוף

בנוסף, אני ממליץ לקרוא ספר מדעי פופולרי מרתק, שהביאור לו אומר: "החיפוש אחר מספרים ראשוניים הוא אחת הבעיות הפרדוקסליות ביותר במתמטיקה. מדענים מנסים לפתור את זה במשך כמה אלפי שנים, אבל, תוך רכישת גרסאות והשערות חדשות, התעלומה הזו עדיין לא נפתרה. הופעתם של מספרים ראשוניים אינה כפופה לשום מערכת: הם מתעוררים באופן ספונטני בסדרה של מספרים טבעיים, תוך התעלמות מכל הניסיונות של מתמטיקאים לזהות תבניות ברצף שלהם. ספר זה יאפשר לקורא להתחקות אחר התפתחות הרעיונות המדעיים מימי קדם ועד ימינו ולהציג את התיאוריות המוזרות ביותר של החיפוש אחר מספרים ראשוניים.

בנוסף, אצטט את תחילת הפרק השני של ספר זה: "מספרים ראשוניים הם אחד הנושאים החשובים המחזירים אותנו לתחילתה של המתמטיקה, ולאחר מכן, בדרך של המורכבות הגוברת, מובילים אותנו לחיתוך. הקצה של המדע המודרני. לפיכך, יהיה זה שימושי מאוד להתחקות אחר ההיסטוריה המרתקת והמורכבת של תורת המספרים הראשוניים: איך בדיוק היא התפתחה, איך בדיוק נאספו העובדות והאמיתות שנחשבות כיום למקובלות. בפרק זה נראה כיצד דורות של מתמטיקאים למדו בקפידה את המספרים הטבעיים בחיפוש אחר כלל המנבא את הופעתם של מספרים ראשוניים, כלל שבמהלך החיפוש הפך יותר ויותר חמקמק. כמו כן, נבחן מקרוב את ההקשר ההיסטורי: באילו תנאים עבדו מתמטיקאים ובאיזו מידה עבודתם כללה פרקטיקות מיסטיות ודתיות למחצה שאינן דומות כלל לשיטות המדעיות הנהוגות בזמננו. אף על פי כן, לאט ובקושי, הוכנה הקרקע לתצוגות החדשות שהיוו השראה לפרמה ואולר במאות ה-17 וה-18".

• תִרגוּם

תכונותיהם של מספרים ראשוניים נחקרו לראשונה על ידי המתמטיקאים של יוון העתיקה. מתמטיקאים של האסכולה הפיתגורית (500 - 300 לפנה"ס) התעניינו בעיקר בתכונות המיסטיות והנומרולוגיות של המספרים הראשוניים. הם היו הראשונים שהעלו רעיונות לגבי מספרים מושלמים וידידותיים.

למספר מושלם יש מחלקים משלו השווים לעצמו. לדוגמה, המחלקים הנכונים של המספר 6 הם: 1, 2 ו-3. 1 + 2 + 3 = 6. המחלקים של המספר 28 הם 1, 2, 4, 7 ו-14. יתר על כן, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

מספרים נקראים ידידותיים אם סכום המחלקים הנכונים של מספר אחד שווה לאחר, ולהיפך - למשל, 220 ו-284. ניתן לומר שמספר מושלם ידידותי לעצמו.

עד להופעת עבודת "ההתחלות" של אוקלידס בשנת 300 לפני הספירה. מספר עובדות חשובות על מספרים ראשוניים כבר הוכחו. בספר ה-IX של היסודות, אוקלידס הוכיח שיש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים. אגב, זו אחת הדוגמאות הראשונות לשימוש בהוכחה בסתירה. הוא גם מוכיח את המשפט הבסיסי של האריתמטיקה - ניתן לייצג כל מספר שלם בצורה ייחודית כמכפלה של מספרים ראשוניים.

הוא גם הראה שאם המספר 2 n -1 הוא ראשוני, אז המספר 2 n-1 * (2 n -1) יהיה מושלם. מתמטיקאי אחר, אוילר, בשנת 1747 הצליח להראות שניתן לכתוב את כל המספרים אפילו המושלמים בצורה זו. עד היום לא ידוע אם קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים.

בשנת 200 לפני הספירה. ארוטוסטנס היווני המציא אלגוריתם למציאת מספרים ראשוניים שנקרא המסננת של ארטוסתנס.

ואז היה שבר גדול בהיסטוריה של חקר המספרים הראשוניים הקשורים לימי הביניים.

התגליות הבאות התגלו כבר בתחילת המאה ה-17 על ידי המתמטיקאי פרמה. הוא הוכיח את השערתו של אלברט ז'ירארד לפיה ניתן לכתוב כל מספר ראשוני בצורה 4n+1 באופן ייחודי כסכום של שני ריבועים, וכן ניסח משפט לפיו כל מספר יכול להיות מיוצג כסכום של ארבעה ריבועים.

הוא פיתח שיטת פירוק חדשה למספרים גדולים, והדגים אותה על המספר 2027651281 = 44021 × 46061. הוא גם הוכיח את המשפט הקטן של פרמה: אם p הוא מספר ראשוני, אז p = a modulo p יהיה נכון עבור כל מספר שלם a.

הצהרה זו מוכיחה מחצית ממה שהיה ידוע כ"השערה הסינית" ומתוארכת ל-2000 שנים קודם לכן: מספר n שלם הוא ראשוני אם ורק אם 2n-2 מתחלק ב-n. החלק השני של ההשערה התברר כשקרי - לדוגמה, 2341 - 2 מתחלק ב-341, אם כי המספר 341 מורכב: 341 = 31 × 11.

המשפט הקטן של פרמה היה הבסיס לתוצאות רבות אחרות בתורת המספרים ושיטות לבדיקה האם מספרים הם ראשוניים, שרבים מהם נמצאים בשימוש עד היום.

פרמה התכתב רבות עם בני דורו, במיוחד עם נזיר בשם מרין מרסן. באחת ממכתביו הוא שיער שמספרים בצורה 2 n + 1 יהיו תמיד ראשוניים אם n הוא חזקת שתיים. הוא בדק זאת עבור n = 1, 2, 4, 8 ו-16, והיה בטוח שכאשר n אינו חזקה של שתיים, המספר אינו בהכרח ראשוני. המספרים הללו נקראים מספרי פרמה, ורק 100 שנים מאוחר יותר, אוילר הראה שהמספר הבא, 232 + 1 = 4294967297, מתחלק ב-641 ולכן אינו ראשוני.

גם מספרים מהצורה 2 n - 1 היו נושא למחקר, שכן קל להראות שאם n הוא מורכב, אז גם המספר עצמו מורכב. המספרים הללו נקראים מספרי מרסן מכיוון שהוא חקר אותם באופן פעיל.

אבל לא כל המספרים מהצורה 2 n - 1, כאשר n הוא ראשוני, הם ראשוניים. לדוגמה, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. זה התגלה לראשונה בשנת 1536.

במשך שנים רבות, מספרים מהסוג הזה העניקו למתמטיקאים את הראשוניים הידועים הגדולים ביותר. שהמספר M 19 הוכח על ידי קטאלדי בשנת 1588, ובמשך 200 שנה היה המספר הראשוני הידוע הגדול ביותר, עד שאולר הוכיח שגם M 31 הוא ראשוני. השיא הזה החזיק עוד מאה שנים, ואז לוקאס הראה ש-M 127 הוא ראשוני (וזה כבר מספר של 39 ספרות), ולאחר מכן, המחקר נמשך עם הופעת המחשבים.

ב-1952 הוכחה ראשוניותם של המספרים M 521, M 607, M 1279, M 2203 ו-M 2281.

עד 2005, נמצאו 42 ראשוני מרסן. הגדול שבהם, M 25964951, מורכב מ-7816230 ספרות.

לעבודתו של אוילר הייתה השפעה עצומה על תורת המספרים, כולל מספרים ראשוניים. הוא הרחיב את המשפט הקטן של פרמה והציג את הפונקציה φ. פירט את מספר הפרמה החמישי 2 32 +1, מצא 60 זוגות של מספרים ידידותיים, וניסח (אך לא הצליח להוכיח) את החוק הריבועי של ההדדיות.

הוא היה הראשון שהציג את שיטות הניתוח המתמטי ופיתח את התיאוריה האנליטית של המספרים. הוא הוכיח שלא רק את הסדרה ההרמונית ∑ (1/n), אלא גם סדרה של הצורה

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

הושג על ידי סכום הכמויות הפוך למספרים ראשוניים, גם הוא מתפצל. הסכום של n האיברים של הסדרה ההרמונית גדל בערך כמו log(n), בעוד שהסדרה השנייה מתפצלת לאט יותר, כמו log[ log(n) ]. זה אומר ש, למשל, סכום ההדדיות של כל המספרים הראשוניים שנמצאו עד היום ייתן רק 4, למרות שהסדרה עדיין מתפצלת.

במבט ראשון, נראה שמספרים ראשוניים מחולקים בין מספרים שלמים באופן אקראי למדי. לדוגמה, בין 100 המספרים מיד לפני 10000000, יש 9 ראשוניים, ובין 100 המספרים שמיד אחרי הערך הזה, יש רק 2. אבל בקטעים גדולים, המספרים הראשוניים מחולקים באופן שווה למדי. לג'נדר וגאוס עסקו בהפצתם. גאוס אמר פעם לחבר שבכל 15 דקות חופשיות הוא תמיד סופר את מספר הראשוניים ב-1000 המספרים הבאים. עד סוף חייו, הוא ספר את כל המספרים הראשוניים עד 3 מיליון. Legendre וגאוס חישבו באותה מידה שעבור n גדול הצפיפות של ראשוניים היא 1/log(n). Legendre העריך את מספר הראשוניים בין 1 ל-n as

π(n) = n/(log(n) - 1.08366)

וגאוס - כאינטגרל לוגריתמי

π(n) = / 1/log(t) dt

עם מרווח אינטגרציה מ-2 עד n.

ההצהרה על צפיפות ראשוניים 1/לוג(n) ידועה כמשפט המספרים הראשוניים. הם ניסו להוכיח זאת לאורך המאה ה-19, וצ'בישב ורימן התקדמו. הם חיברו אותה עם השערת רימן, השערה שלא הוכחה עד כה לגבי התפלגות האפסים של פונקציית הזטה של ​​רימן. צפיפות הראשוניים הוכחה בו זמנית על ידי Hadamard ו-de la Vallée-Poussin ב-1896.

בתורת המספרים הראשוניים, יש עדיין הרבה שאלות בלתי פתורות, חלקן בנות מאות רבות של שנים:

• השערת תאומים ראשוניים - על מספר אינסופי של זוגות של מספרים ראשוניים הנבדלים זה מזה ב-2
• השערת גולדבך: כל מספר זוגי, החל מ-4, יכול להיות מיוצג כסכום של שני מספרים ראשוניים
• האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים בצורה n 2 + 1?
• האם תמיד ניתן למצוא מספר ראשוני בין n 2 ל-(n + 1) 2? (העובדה שתמיד יש מספר ראשוני בין n ל-2n הוכחה על ידי צ'בישב)
• האם יש מספר אינסופי של ראשוני פרמה? האם יש פרמה ראשוניים אחרי הרביעי?
• האם יש התקדמות אריתמטית של ראשוניים עוקבים באורך נתון כלשהו? לדוגמה, עבור אורך 4: 251, 257, 263, 269. האורך המקסימלי שנמצא הוא 26 .
• האם יש מספר אינסופי של קבוצות של שלושה ראשוניים עוקבים בהתקדמות אריתמטית?
• n 2 - n + 41 הוא מספר ראשוני עבור 0 ≤ n ≤ 40. האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים כאלה? אותה שאלה עבור הנוסחה n 2 - 79 n + 1601. המספרים הללו הם ראשוניים עבור 0 ≤ n ≤ 79.
• האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים בצורה n# + 1? (n# הוא התוצאה של הכפלת כל המספרים הראשוניים הקטן מ-n)
• האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים בצורה n# -1 ?
• האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים מהצורה n! +1?
• האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים מהצורה n! - 1?
• אם p הוא ראשוני, האם 2 p -1 תמיד אינו כולל בין הגורמים של ראשוניים בריבוע
• האם רצף פיבונאצ'י מכיל מספר אינסופי של ראשוניים?

המספרים הראשוניים התאומים הגדולים ביותר הם 2003663613 × 2 195000 ± 1. הם מורכבים מ-58711 ספרות ונמצאו ב-2007.

המספר הראשוני הפקטוריאלי הגדול ביותר (בצורה n! ± 1) הוא 147855! - 1. הוא מורכב מ-142891 ספרות ונמצא ב-2002.

המספר הראשוני הראשוני הגדול ביותר (מספר בצורת n# ± 1) הוא 1098133# + 1.

מספרים שונים: טבעי, טבעי, רציונלי, מספר שלם ושבר, חיובי ושלילי, מורכב וראשוני, אי זוגי וזוגי, ממשי וכו'. ממאמר זה ניתן ללמוד מהם מספרים ראשוניים.

אילו מספרים נקראים המילה האנגלית "פשוט"?

לעתים קרובות מאוד, תלמידי בית הספר אינם יודעים כיצד לענות על אחת השאלות הפשוטות ביותר במתמטיקה, על מהו מספר ראשוני. לעתים קרובות הם מבלבלים בין מספרים ראשוניים למספרים טבעיים (כלומר, המספרים שאנשים משתמשים בהם בעת ספירת עצמים, בעוד שבמקורות מסוימים הם מתחילים מאפס, ובאחרים - מאחד). אבל אלו שני מושגים שונים לחלוטין. מספרים ראשוניים הם מספרים טבעיים, כלומר מספרים שלמים וחיוביים שגדולים מאחד ושיש להם רק 2 מחלקים טבעיים. במקרה זה, אחד המחלקים הללו הוא מספר נתון, והשני הוא יחידה. לדוגמה, שלוש הוא מספר ראשוני מכיוון שהוא אינו מתחלק באופן שווה בשום מספר מלבד עצמו ואחד.

מספרים מורכבים

ההפך ממספרים ראשוניים הם מספרים מרוכבים. הם גם טבעיים, גם גדולים מאחד, אבל אין להם שניים, אלא יותר מחלקים. אז, למשל, המספרים 4, 6, 8, 9 וכו' הם טבעיים, מרוכבים, אבל לא מספרים ראשוניים. כפי שאתה יכול לראות, אלו הם בעיקר מספרים זוגיים, אבל לא כולם. אבל ה"שניים" הוא מספר זוגי ו"המספר הראשון" בסדרה של מספרים ראשוניים.

המשך

כדי לבנות סדרה של מספרים ראשוניים, יש צורך לבצע בחירה מכל המספרים הטבעיים, תוך התחשבות בהגדרתם, כלומר, עליך לפעול בסתירה. יש לשקול כל אחד מהמספרים החיוביים הטבעיים בנושא האם יש לו יותר משני מחלקים. בואו ננסה לבנות סדרה (רצף) שמורכבת ממספרים ראשוניים. הרשימה מתחילה בשתיים, ואז מגיעה שלוש, מכיוון שהיא מתחלקת רק בעצמה ובאחד. קחו בחשבון את המספר ארבע. האם יש לו מחלקים מלבד ארבע ואחד? כן, המספר הזה הוא 2. אז ארבע הוא לא מספר ראשוני. חמש הוא גם ראשוני (חוץ מ-1 ו-5, זה לא מתחלק בשום מספר אחר), אבל שש מתחלק. ובכלל, אם תעקבו אחרי כל המספרים הזוגיים, תשימו לב שחוץ מ"שניים", אף אחד מהם אינו ראשוני. מכאן אנו מסיקים שמספרים זוגיים, למעט שניים, אינם ראשוניים. תגלית נוספת: כל המספרים המתחלקים בשלוש, מלבד המשולש עצמו, בין זוגי או אי-זוגי, גם הם אינם ראשוניים (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 וכו'). כך גם לגבי מספרים שמתחלקים בחמש ושבע. כל הסט שלהם גם לא פשוט. בואו נסכם. אז כל המספרים האי-זוגיים, למעט אחד ותשע, שייכים למספרים חד-ספרתיים פשוטים, ורק "שניים" מאלה זוגיים. העשרות עצמן (10, 20,... 40 וכו') אינן ראשוניות. ניתן להגדיר מספרים ראשוניים דו ספרתיים, תלת ספרתיים וכו' על סמך העקרונות הנ"ל: אם אין להם מחלקים אחרים מלבד עצמם ואחד.

תיאוריות על תכונות המספרים הראשוניים

יש מדע שחוקר את התכונות של מספרים שלמים, כולל ראשוניים. זהו ענף של מתמטיקה, שנקרא גבוה יותר. בנוסף למאפיינים של מספרים שלמים, היא עוסקת גם במספרים אלגבריים, טרנסצנדנטליים, וכן בפונקציות ממקורות שונים הקשורים לאריתמטיקה של המספרים הללו. במחקרים אלו, בנוסף לשיטות אלמנטריות ואלגבריות, נעשה שימוש גם בשיטות אנליטיות וגאומטריות. באופן ספציפי, חקר המספרים הראשוניים עוסק ב"תורת המספרים".

מספרים ראשוניים הם "אבני הבניין" של המספרים הטבעיים

בחשבון ישנו משפט שנקרא המשפט הראשי. לפיו ניתן לייצג כל מספר טבעי, למעט אחדות, כמכפל, שגורמיו הם מספרים ראשוניים, וסדר הגורמים הוא ייחודי, כלומר שיטת הייצוג היא ייחודית. זה נקרא פירוק של מספר טבעי לגורמים ראשוניים. ישנו שם נוסף לתהליך הזה - פירוק של מספרים. אם נמשיך מכאן, ניתן לקרוא למספרים ראשוניים "חומר בנייה", "בלוקים" לבניית מספרים טבעיים.

חפש מספרים ראשוניים. מבחני פשטות

מדענים רבים מתקופות שונות ניסו למצוא כמה עקרונות (מערכות) למציאת רשימה של מספרים ראשוניים. המדע מכיר מערכות הנקראות המסננת של אטקין, המסננת של סונדרטם, המסננת של ארוטוסטנס. עם זאת, הם אינם נותנים תוצאות משמעותיות, ומבחן פשוט משמש כדי למצוא מספרים ראשוניים. אלגוריתמים נוצרו גם על ידי מתמטיקאים. הם נקראים מבחני ראשוניות. למשל, יש מבחן שפיתחו רבין ומילר. משתמשים בה קריפטוגרפים. יש גם מבחן קאילה-אגרוואלה-ססקנה. עם זאת, למרות הדיוק המספיק שלו, קשה מאוד לחישוב, מה שמפחית מערכו המעשי.

האם לקבוצת ראשוני יש גבול?

העובדה שקבוצת הראשוניים היא אינסוף נכתבה בספר "התחלות" על ידי המדען היווני הקדום אוקלידס. הוא אמר את זה: "בוא נדמיין לרגע שלמספרים ראשוניים יש גבול. אז בואו נכפיל אותם אחד עם השני, ונוסיף אחד למוצר. המספר המתקבל כתוצאה מפעולות פשוטות אלו אינו ניתן לחלוקה באף אחת מסדרות המספרים הראשוניים, מכיוון שהשאר תמיד יהיה אחד. וזה אומר שיש עוד מספר שעדיין לא נכלל ברשימת המספרים הראשוניים. לכן, ההנחה שלנו לא נכונה, ולסט הזה לא יכול להיות גבול. בנוסף להוכחה של אוקלידס, קיימת נוסחה מודרנית יותר שניתנה על ידי המתמטיקאי השוויצרי בן המאה השמונה-עשרה לאונרד אוילר. לדבריו, הסכום, ההדדיות של סכום n המספרים הראשונים, גדל ללא הגבלת זמן עם צמיחת המספר n. והנה נוסחת המשפט לגבי התפלגות המספרים הראשוניים: (n) גדל כמו n / ln (n).

מהו המספר הראשוני הגדול ביותר?

כל אותו לאונרד אוילר הצליח למצוא את המספר הראשוני הגדול ביותר לתקופתו. זהו 2 31 - 1 = 2147483647. עם זאת, עד 2013, חושב אחר הגדול ביותר המדויק ביותר ברשימת המספרים הראשוניים - 2 57885161 - 1. הוא נקרא מספר מרסן. הוא מכיל כ-17 מיליון ספרות עשרוניות. כפי שאתה יכול לראות, המספר שמצא מדען מהמאה השמונה עשרה קטן מזה פי כמה. זה היה צריך להיות כך, כי אוילר עשה את החישוב הזה באופן ידני, אבל בן זמננו כנראה נעזר במחשב. יתרה מכך, מספר זה הושג במחלקה למתמטיקה באחת המחלקות האמריקאיות. מספרים הנקראים על שם המדען הזה עוברים את מבחן הראשוניות של לוק-להמר. עם זאת, המדע לא רוצה לעצור שם. ה-Electronic Frontier Foundation, שנוסדה ב-1990 בארצות הברית של אמריקה (EFF), הציעה פרס כספי על מציאת פריטים גדולים. ואם עד 2013 הפרס ניתן לאותם מדענים שימצאו אותם מבין 1 ו-10 מיליון מספרים עשרוניים, היום הנתון הזה הגיע מ-100 מיליון ל-1 מיליארד. הפרסים נעים בין 150 ל-250 אלף דולר אמריקאי.

שמות של מספרים ראשוניים מיוחדים

המספרים הללו שנמצאו הודות לאלגוריתמים שנוצרו על ידי מדענים מסוימים ועברו את מבחן הפשטות נקראים מיוחדים. הנה כמה מהם:

1. מרסין.

4. קאלן.

6. מילס וחב'.

הפשטות של מספרים אלה, הנקראים על שם המדענים לעיל, מבוססת באמצעות הבדיקות הבאות:

1. לוקאס-למר.

2. פפינה.

3. ריזל.

4. בילהארט - להמר - סלפרידג' ואחרים.

המדע המודרני לא עוצר שם, וכנראה בעתיד הקרוב העולם יידע את שמותיהם של אלה שהצליחו לזכות בפרס של 250,000 דולר על ידי מציאת המספר הראשוני הגדול ביותר.