הפחתת שברים אלגבריים. מחשבון מקוון. הפחתת שברים (לא תקין, מעורב)

בפעם הקודמת עשינו תוכנית, שבעקבותיה תוכל ללמוד כיצד לצמצם שברים במהירות. עכשיו שקול דוגמאות ספציפיות של הפחתת שברים.

דוגמאות.

אנחנו בודקים אם מספר גדול יותר מתחלק במספר קטן יותר (מונה לפי מכנה או מכנה לפי מונה)? כן, בכל שלוש הדוגמאות הללו, המספר הגדול מתחלק במספר הקטן יותר. לפיכך, אנו מצמצמים כל שבר בקטן מבין המספרים (על ידי המונה או המכנה). יש לנו:

בדוק אם המספר הגדול מתחלק במספר הקטן? לא, זה לא משתף.

לאחר מכן נמשיך לבדוק את הנקודה הבאה: האם הרשומה של המונה והמכנה מסתיימת באפס אחד, שניים או יותר? בדוגמה הראשונה, המונה והמכנה מסתיימים באפס, בשנייה - בשני אפסים, בשלישית - בשלושה אפסים. אז, נפחית את השבר הראשון ב-10, השני ב-100, והשלישי ב-1000:

קבל שברים בלתי ניתנים לצמצום.

מספר גדול יותר אינו מתחלק במספר קטן יותר, רישום המספרים אינו מסתיים באפסים.

כעת נבדוק אם המונה והמכנה נמצאים באותה עמודה בטבלת הכפל? 36 ו-81 מתחלקים שניהם ב-9, 28 ו-63 - ב-7, ו-32 ו-40 - ב-8 (גם הם מתחלקים ב-4, אבל אם יש ברירה, תמיד נפחית ביותר). כך הגענו לתשובות:

כל המספרים המתקבלים הם שברים בלתי ניתנים לצמצום.

מספר גדול יותר אינו מתחלק במספר קטן יותר. אבל הרשומה של המונה וגם של המכנה מסתיימת באפס. אז, נפחית את השבר ב-10:

עדיין ניתן לצמצם חלק זה. אנחנו בודקים לפי לוח הכפל: גם 48 וגם 72 מחולקים ב-8. אנחנו מצמצמים את השבר ב-8:

נוכל גם להקטין את השבר המתקבל ב-3:

שבר זה אינו ניתן לצמצום.

המספר הגדול אינו מתחלק במספר הקטן. הרשומה של המונה והמכנה מסתיימת באפס. לכן, נפחית את השבר ב-10.

אנו בודקים את המספרים שהתקבלו במונה ובמכנה עבור ו. מכיוון שסכום הספרות של 27 ו-531 מתחלק ב-3 וב-9, ניתן להקטין את השבר הזה גם ב-3 וגם ב-9. אנחנו בוחרים את הגדולה יותר ומקטינים ב-9. התוצאה היא שבר בלתי ניתן לצמצום.

בלי לדעת איך לצמצם שבר, ולהיות בעל מיומנות יציבה בפתרון דוגמאות כאלה, קשה מאוד ללמוד אלגברה בבית הספר. ככל שעוד יותר, מידע חדש מוצב על הידע הבסיסי על הפחתת שברים רגילים. ראשית יש מעלות, אחר כך גורמים, שבהמשך הופכים לפולינומים.

איך לא להתבלבל פה? לגבש ביסודיות מיומנויות בנושאים קודמים ולהתכונן בהדרגה לידע כיצד לצמצם שבר, אשר הופך מסובך יותר משנה לשנה.

ידע בסיסי

בלעדיהם, לא ניתן יהיה להתמודד עם משימות מכל רמה. כדי להבין, אתה צריך להבין שתי נקודות פשוטות. ראשית, אתה יכול רק להפחית מכפילים. ניואנס זה מתברר כחשוב מאוד כאשר פולינומים מופיעים במונה או במכנה. אז אתה צריך להבחין בבירור היכן נמצא המכפיל, והיכן נמצא המונח.

הנקודה השנייה אומרת שכל מספר יכול להיות מיוצג כגורמים. יתרה מכך, תוצאת ההפחתה היא שבר כזה, שאי אפשר לצמצם עוד את המונה והמכנה שלו.

כללים להפחתת שברים נפוצים

הדבר הראשון שצריך לבדוק הוא האם המונה מתחלק במכנה או להיפך. אז זה לפי המספר הזה שאתה צריך להפחית. זו האפשרות הקלה ביותר.

השני הוא ניתוח הופעת המספרים. אם שניהם מסתיימים באפס אחד או יותר, ניתן לצמצם אותם ב-10, 100 או אלף. כאן תוכלו לראות אם המספרים זוגיים. אם כן, אז אתה יכול להפחית בבטחה בשניים.

הכלל השלישי כיצד לצמצם שבר הוא הפירוק לגורמים ראשוניים של המונה והמכנה. בשלב זה, אתה צריך להשתמש באופן פעיל בכל הידע על סימני חלוקת המספרים. לאחר פירוק כזה, נותר רק למצוא את כל החוזרים, להכפיל אותם ולהפחית במספר המתקבל.

מה אם השבר מכיל ביטוי אלגברי?

כאן מופיעים הקשיים הראשונים. כי כאן מופיעים המונחים, שיכולים להיות זהים לגורמים. אני באמת רוצה לקצץ אותם, אבל אני לא יכול. לפני שניתן להקטין שבר אלגברי, יש להמיר אותו כך שיהיו לו גורמים.

זה ידרוש מספר שלבים. ייתכן שתצטרך לעבור על כולם, או אולי הראשון ייתן אפשרות מתאימה.

בדוק אם המונה והמכנה או ביטוי כלשהו בהם נבדלים לפי סימן. במקרה זה, אתה רק צריך להוציא את הסוגריים מינוס אחד. זה מביא למכפילים זהים שניתן להפחית.

ראה אם ​​ניתן לחלק את הגורם המשותף מתוך הפולינום. אולי זה יתברר כסוגר, שניתן גם לצמצם, או שזה יהיה מונומיאל שהוצא.

נסו לבצע קיבוץ מונומיאלים כדי להוציא מהם גורם משותף. לאחר מכן, עשוי להתברר כי יהיו גורמים שניתן להפחית, או שוב סוגריים אלמנטים משותפים.

נסו לשקול בכתב את נוסחת הכפל המקוצר. בעזרתם, יהיה קל להמיר פולינום לגורמים.

רצף של פעולות עם שברים עם כוחות

כדי להבין בקלות את השאלה איך להפחית שבר עם מעלות, אתה צריך לזכור היטב את הפעולות הבסיסיות איתם. הראשון שבהם קשור לכפל כוחות. במקרה זה, אם הבסיסים זהים, יש להוסיף את האינדיקטורים.

השני הוא חלוקה. שוב, עבור אלה שיש להם אותו בסיס, יהיה צורך להפחית את האינדיקטורים. יתרה מכך, צריך להחסיר מהמספר שנמצא בדיבידנד, ולא להיפך.

השלישי הוא אקספוננציציה. במצב זה, האינדיקטורים מוכפלים.

צמצום מוצלח ידרוש גם יכולת להביא תארים לאותם בסיסים. כלומר, לראות שארבע זה שני בריבוע. או 27 הוא הקובייה של שלוש. כי לחתוך 9 בריבוע ו-3 לקוביות זה קשה. אבל אם נהפוך את הביטוי הראשון ל-(3 2) 2, אז ההפחתה תצליח.

נושא זה חשוב למדי על המאפיינים הבסיסיים של שברים, כל המתמטיקה והאלגברה הנוספות מבוססות. המאפיינים הנחשבים של שברים, למרות חשיבותם, פשוטים מאוד.

להבין תכונות בסיסיות של שבריםלשקול מעגל.

ניתן לראות על העיגול כי 4 חלקים או מוצללים מתוך שמונה אפשריים. כתוב את השבר המתקבל \(\frac(4)(8)\)

העיגול הבא מראה שאחד משני החלקים האפשריים מוצל. כתוב את השבר המתקבל \(\frac(1)(2)\)

אם נתבונן היטב, נראה שבמקרה הראשון, שבמקרה השני, חצי מהמעגל מוצלל, כך שהשברים המתקבלים שווים ל-\(\frac(4)(8) = \frac(1) (2)\), כלומר זה אותו מספר.

כיצד ניתן להוכיח זאת מתמטית? פשוט מאוד, זכור את לוח הכפל וכתוב את השבר הראשון לגורמים.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(red)(1) = \frac(1)(2)\)

מה עשינו? חילקנו את המונה והמכנה \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), ולאחר מכן חילקנו את השברים \(\frac(1) ) (2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4))\). ארבע חלקי ארבע זה 1, ואחד כפול בכל מספר הוא המספר עצמו. מה שעשינו בדוגמה לעיל נקרא הפחתת שברים.

בואו נסתכל על דוגמה נוספת ונפחית את השבר.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(red) (2))(5 \cdot \color(red) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(red) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(red)(1) = \frac(3)(5)\)

שוב צבענו את המונה והמכנה לגורמים וצמצמנו את אותם המספרים למונים ולמכנים. כלומר, שניים חלקי שניים נתנו אחד, ואחד כפול בכל מספר נותן את אותו מספר.

תכונה בסיסית של שבר.

זה מרמז על התכונה העיקרית של שבר:

אם גם המונה וגם המכנה של שבר מוכפלים באותו מספר (למעט אפס), אז ערך השבר לא ישתנה.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

ניתן גם לחלק את המונה והמכנה באותו מספר בו-זמנית.
שקול דוגמה:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(red) (2))(8 \div \color(red) (2)) = \frac(3)(4)\)

אם גם המונה וגם המכנה של שבר מחולקים באותו מספר (למעט אפס), אז ערך השבר לא ישתנה.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

שברים שיש להם מחלקים ראשוניים משותפים גם במונים וגם במכנים נקראים שברים ניתנים לביטול.

דוגמה ביטולית: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)

יש גם שברים בלתי ניתנים לצמצום.

חלק בלתי ניתן לצמצוםהוא שבר שאין לו מחלקים ראשוניים משותפים במונים ובמכנים.

דוגמה של שבר בלתי ניתן לצמצום: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)

כל מספר יכול להיות מיוצג כשבר, כי כל מספר מתחלק באחד,לדוגמה:

\(7 = \frac(7)(1)\)

שאלות לנושא:
האם לדעתך ניתן להפחית שבר כלשהו או לא?
תשובה: לא, יש שברים ניתנים לצמצום ושברים בלתי ניתנים לצמצום.

בדוק אם השוויון נכון: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
תשובה: כתבו שבר \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\)כן הוגן.

דוגמה מס' 1:
א) מצא שבר עם מכנה 15 השווה לשבר \(\frac(2)(3)\).
ב) מצא שבר עם מונה 8, שווה לשבר \(\frac(1)(5)\).

פִּתָרוֹן:
א) אנחנו צריכים שהמכנה יהיה המספר 15. כעת המכנה הוא המספר 3. באיזה מספר יש להכפיל את המספר 3 כדי לקבל 15? זכור את לוח הכפל 3⋅5. עלינו להשתמש בתכונה הבסיסית של השברים ולהכפיל גם את המונה וגם את המכנה של השבר \(\frac(2)(3)\)עד 5.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

ב) אנו צריכים את המספר 8 במונה. כעת המספר 1 נמצא במונה. באיזה מספר יש להכפיל את המספר 1 כדי לקבל 8? כמובן, 1⋅8. עלינו להשתמש בתכונה הבסיסית של השברים ולהכפיל גם את המונה וגם את המכנה של השבר \(\frac(1)(5)\)עד 8. אנחנו מקבלים:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

דוגמה מס' 2:
מצא שבר בלתי ניתן לצמצום שווה לשבר: א) \(\frac(16)(36)\),ב) \(\frac(10)(25)\).

פִּתָרוֹן:
א) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

ב) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

דוגמה מס' 3:
כתוב את המספר כשבר: א) 13 ב) 123

פִּתָרוֹן:
א) \(13 = \frac(13) (1)\)

ב) \(123 = \frac(123) (1)\)

כדי להבין כיצד לצמצם שברים, בואו נסתכל תחילה על דוגמה אחת.

להקטין שבר פירושו לחלק את המונה והמכנה באותו. גם 360 וגם 420 מסתיימים במספר, כך שנוכל להקטין את השבר הזה ב-2. בשבר החדש, גם 180 וגם 210 מתחלקים ב-2, אנו מצמצמים את השבר הזה ב-2. במספרים 90 ו-105, הסכום של הספרות מתחלקות ב-3, אז שני המספרים הללו מתחלקים ב-3, אנחנו מצמצמים את השבר ב-3. בשבר החדש, 30 ו-35 מסתיימים ב-0 ו-5, כלומר שני המספרים מתחלקים ב-5, אז אנחנו מצמצמים השבר ב-5. השבר המתקבל, שש שביעיות, אינו ניתן לצמצום. זו התשובה הסופית.

אנחנו יכולים להגיע לאותה תשובה בדרך אחרת.

גם 360 וגם 420 מסתיימים באפס, מה שאומר שהם מתחלקים ב-10. אנחנו מצמצמים את השבר ב-10. בשבר החדש, גם המונה 36 וגם המכנה 42 מחולקים ב-2. אנחנו מצמצמים את השבר ב-2. השבר הבא, גם המונה 18 וגם המכנה 21 מחולקים ב-3, כלומר נפחית את השבר ב-3. הגענו לתוצאה - שש שביעיות.

ועוד פתרון אחד.

בפעם הבאה נשקול דוגמאות להפחתת שברים.

אז הגענו להפחתה. התכונה הבסיסית של שבר מיושמת כאן. אבל! לא כל כך פשוט. עם שברים רבים (כולל אלה מהקורס בבית הספר), בהחלט אפשרי להסתדר איתם. ואם אתה לוקח שברים "בפתאומיות יותר"? בואו לגלות יותר!אני ממליץ להסתכל על חומרים עם שברים.

אז, אנחנו כבר יודעים שאפשר להכפיל ולחלק את המונה והמכנה של שבר באותו מספר, השבר לא ישתנה מזה. שקול שלוש גישות:

גישה ראשונה.

כדי לצמצם, חלקו את המונה והמכנה במחלק משותף. שקול דוגמאות:

נקצר:

בדוגמאות לעיל, אנו רואים מיד אילו מחלקים לקחת להפחתה. התהליך פשוט - אנו חוזרים על 2,3.4,5 וכן הלאה. ברוב הדוגמאות של קורס בית ספר, זה די מספיק. אבל אם יש שבר:

כאן התהליך עם בחירת המחיצות יכול להימשך זמן רב ;). כמובן שדוגמאות כאלה נמצאות מחוץ לתכנית הלימודים בבית הספר, אבל אתה צריך להיות מסוגל להתמודד איתן. בואו נסתכל על איך זה נעשה למטה. בינתיים, חזרה לתהליך ההפחתה.

כפי שפורט לעיל, על מנת לצמצם את השבר, ביצענו את החלוקה לפי המחלק/ים המשותפים שהגדרנו. הכל תקין! צריך רק להוסיף סימני חלוקה של מספרים:

אם המספר זוגי אז הוא מתחלק ב-2.

- אם מספר שתי הספרות האחרונות מתחלק ב-4, אז המספר עצמו מתחלק ב-4.

- אם סכום הספרות המרכיבות את המספר מתחלק ב-3, אז המספר עצמו מתחלק ב-3. לדוגמה, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. 12 מתחלק ב-3, אז 123031 מתחלק ב-3.

- אם המספר מסתיים ב-5 או 0, אז המספר מתחלק ב-5.

- אם סכום הספרות המרכיבות את המספר מתחלק ב-9, אז המספר עצמו מתחלק ב-9. למשל 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. שמונה עשרה מתחלקים ב-9, אז 623032 מתחלק ב-9.

גישה שניה.

בקיצור, המהות, אז בעצם כל הפעולה מסתכמת בפירוק המונה והמכנה לגורמים ואז הפחתת גורמים שווים במונה ובמכנה (גישה זו היא תוצאה של הגישה הראשונה):

מבחינה ויזואלית, כדי לא להתבלבל ולא לטעות, פשוט חוצים מכפילים שווים. השאלה היא איך מפרקים מספר? יש צורך לקבוע על ידי ספירה את כל המחלקים. זה נושא נפרד, זה פשוט, תסתכל על המידע בספר לימוד או באינטרנט. לא תיתקל בבעיות גדולות עם הפירוק לגורמים של מספרים הקיימים בשברים של הקורס בבית הספר.

פורמלית, ניתן לכתוב את עקרון ההפחתה באופן הבא:

גישה שלישית.

הנה המעניין ביותר למתקדמים ולמי שרוצה להפוך להם. נקטין את השבר 143/273. נסה זאת בעצמך! ובכן, כמה מהר זה קרה? ועכשיו תראה!

אנחנו הופכים אותו (המונה והמכנה מתחלפים). אנו מחלקים את השבר המתקבל למספר מעורב בפינה, כלומר, אנו בוחרים את כל החלק:

כבר יותר קל. אנו רואים שניתן להקטין את המונה והמכנה ב-13:

ועכשיו אל תשכח להעיף שוב את השבר, בואו נכתוב את כל השרשרת:

מסומן - זה לוקח פחות זמן מאשר חיפוש ובדיקת מחלקים. נחזור לשתי הדוגמאות שלנו:

ראשון. נחלק בפינה (לא במחשבון), נקבל:

השבר הזה פשוט יותר, כמובן, אבל יש שוב בעיה בהפחתה. כעת אנו מנתחים בנפרד את השבר 1273/1463, הופכים אותו:

כאן כבר יותר קל. אנו יכולים להתייחס למחלק כזה כ-19. השאר אינם מתאימים, ניתן לראות: 190:19= 10, 1273:19 = 67. הידד! בוא נכתוב:

הדוגמה הבאה. בוא נקצץ 88179/2717.

אנחנו מחלקים, אנחנו מקבלים:

בנפרד, אנו מנתחים את השבר 1235/2717, הופכים אותו:

אנו יכולים להתייחס למחלק כזה כ-13 (עד 13 אינם מתאימים):

מונה 247:13=19 מכנה 1235:13=95

*בתהליך ראינו מחלק נוסף השווה ל-19. מסתבר ש:

כעת רשום את המספר המקורי:

וזה לא משנה מה יהיה יותר בשבר - המונה או המכנה, אם המכנה, אז נהפוך ונפעל כמתואר. לפיכך, אנו יכולים להפחית כל שבר, הגישה השלישית יכולה להיקרא אוניברסלית.

כמובן ששתי הדוגמאות שנדונו לעיל אינן דוגמאות פשוטות. בואו ננסה את הטכנולוגיה הזו על השברים ה"פשוטים" שכבר שקלנו:

שני רבעים.

שנות השישים שבעים ושתיים. המונה גדול מהמכנה, אין צורך להעיף:

כמובן, הגישה השלישית יושמה על דוגמאות פשוטות כאלה פשוט כחלופה. השיטה, כאמור, אוניברסלית, אך לא נוחה ונכונה לכל השברים, במיוחד עבור פשוטים.

מגוון השברים גדול. חשוב שתלמדו בדיוק את העקרונות. פשוט אין כלל קפדני לעבודה עם שברים. בדקנו, הבנו איך יהיה יותר נוח לפעול ולהתקדם. עם תרגול, המיומנות תגיע ותלחץ עליהם כמו זרעים.

סיכום:

אם אתה רואה מחלק/ים משותפים למונה ולמכנה, השתמש בהם כדי להקטין.

אם אתה יודע איך לחלק במהירות מספר, אז לפרק את המונה והמכנה, ואז להפחית.

אם אינך יכול לקבוע את המחלק המשותף בשום אופן, השתמש בגישה השלישית.

*כדי לצמצם שברים חשוב ללמוד את עקרונות הצמצום, להבין את התכונה הבסיסית של שבר, להכיר את גישות הפתרון ולהקפיד מאוד בחישוב.

ותזכור! נהוג לצמצם שבר עד לעצור, כלומר להקטין אותו בזמן שיש מחלק משותף.

בברכה, אלכסנדר קרוטיסקיך.