מאפיינים של שורשים: ניסוחים, הוכחות, דוגמאות. שורש ותכונותיו

מזל טוב: היום ננתח את השורשים - אחד הנושאים המטריפים ביותר של כיתה ח'. :)

אנשים רבים מתבלבלים לגבי השורשים לא בגלל שהם מורכבים (וזה מסובך - כמה הגדרות ועוד כמה מאפיינים), אלא בגלל שברוב ספרי הלימוד השורשים מוגדרים דרך פראים כאלה שרק מחברי ספרי הלימוד עצמם יכולים. להבין את השרבוט הזה. וגם אז רק עם בקבוק וויסקי טוב. :)

לכן, כעת אתן את ההגדרה הנכונה והמוכשרת ביותר של השורש - היחידה שבאמת צריך לזכור. ורק אז אסביר: מדוע כל זה נחוץ וכיצד ליישם זאת בפועל.

אבל ראשית, זכרו נקודה חשובה אחת, שמסיבה כלשהי מהדרים רבים של ספרי לימוד "שוכחים" ממנה:

השורשים יכולים להיות בדרגה זוגית ($\sqrt(a)$ האהוב עלינו, כמו גם כל $\sqrt(a)$ ואפילו $\sqrt(a)$) ומדרגה אי זוגית (כל $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ וכו'). והגדרת השורש של מדרגה אי זוגית שונה במקצת מהזוגיות.

כאן ב"קצת שונה" המזוין הזה מסתתר, כנראה, 95% מכל השגיאות ואי ההבנות הקשורות לשורשים. אז בואו נבהיר את הטרמינולוגיה אחת ולתמיד:

הַגדָרָה. אפילו שורש נמהמספר $a$ הוא כל לא שלילימספר $b$ כך ש$((b)^(n))=a$. והשורש של תואר אי זוגי מאותו מספר $a$ הוא בדרך כלל כל מספר $b$ שעבורו מתקיים אותו שוויון: $((b)^(n))=a$.

בכל מקרה, השורש מסומן כך:

\(א)\]

המספר $n$ בסימון כזה נקרא מעריך השורש, והמספר $a$ נקרא הביטוי הרדיקלי. בפרט, עבור $n=2$ נקבל את השורש הריבועי ה"אהוב" שלנו (אגב, זה שורש של מדרגה זוגית), ועבור $n=3$ נקבל שורש מעוקב (מידה אי זוגית), שגם נמצא לרוב בבעיות ובמשוואות.

דוגמאות. דוגמאות קלאסיות לשורשים מרובעים:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

אגב, $\sqrt(0)=0$ ו-$\sqrt(1)=1$. זה די הגיוני שכן $((0)^(2))=0$ ו-$((1)^(2))=1$.

גם שורשים מעוקבים נפוצים - אל תפחד מהם:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

ובכן, כמה "דוגמאות אקזוטיות":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

אם אינך מבין מה ההבדל בין דרגה זוגית ואי-זוגית, קרא שוב את ההגדרה. זה מאוד חשוב!

בינתיים, נשקול תכונה אחת לא נעימה של השורשים, שבגללה היינו צריכים להציג הגדרה נפרדת למעריכים זוגיים ואי-זוגיים.

למה אנחנו צריכים שורשים בכלל?

לאחר קריאת ההגדרה, תלמידים רבים ישאלו: "מה עישנו מתמטיקאים כשהם עלו על זה?" ובאמת: למה אנחנו צריכים את כל השורשים האלה?

כדי לענות על השאלה הזו, נחזור לרגע לבית הספר היסודי. זכרו: בזמנים הרחוקים ההם, כשהעצים היו ירוקים יותר והכופתאות היו טעימות יותר, הדאגה העיקרית שלנו הייתה להכפיל נכון את המספרים. ובכן, משהו ברוח "חמש על חמש - עשרים וחמש", זה הכל. אבל אחרי הכל, אתה יכול להכפיל מספרים לא בזוגות, אלא בשלישיות, ארבע ובאופן כללי קבוצות שלמות:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

עם זאת, לא זו הנקודה. הטריק הוא אחר: מתמטיקאים הם אנשים עצלנים, אז הם היו צריכים לרשום את הכפל של עשר חמישיות כך:

אז הם הגיעו עם תארים. למה לא לכתוב את מספר הגורמים ככתב עילי במקום מחרוזת ארוכה? כמו זה:

זה מאוד נוח! כל החישובים מצטמצמים בכמה פעמים, ואי אפשר לבזבז חבורה של דפי קלף של מחברות כדי לרשום איזה 5 183 . ערך כזה נקרא תואר של מספר, נמצאו בו חבורה של נכסים, אבל האושר התברר כקצר מועד.

לאחר אלכוהול גרנדיוזי, שאורגן בדיוק על "גילוי" התארים, שאל לפתע איזה מתמטיקאי סקול במיוחד: "מה אם אנחנו יודעים את המידה של מספר, אבל אנחנו לא יודעים את המספר עצמו?" ואכן, אם אנו יודעים שמספר מסוים $b$, למשל, נותן 243 בחזקת 5, אז איך נוכל לנחש למה שווה המספר $b$ עצמו?

הבעיה הזו התבררה כהרבה יותר גלובלית ממה שהיא עשויה להיראות במבט ראשון. כי התברר שעבור רוב התארים ה"מוכנים" אין מספרים "ראשוניים" כאלה. תשפטו בעצמכם:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]

מה אם $((b)^(3))=50$? מסתבר שצריך למצוא מספר מסוים, שכאשר מכפילים אותו שלוש פעמים, ייתן לנו 50. אבל מה זה המספר הזה? ברור שהוא גדול מ-3 כי 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. כלומר. המספר הזה נמצא איפשהו בין שלוש לארבע, אבל למה הוא שווה - איור תבין.

זו בדיוק הסיבה למתמטיקאים הגיעו לשורשים של $n$-th. לכן הוצג הסמל הרדיקלי $\sqrt(*)$. לסמן את אותו מספר $b$, אשר בעוצמה שצוינה, ייתן לנו ערך ידוע קודם לכן

\[\sqrt[n](a)=b\חץ ימינה ((b)^(n))=a\]

אני לא מתווכח: לעתים קרובות שורשים אלה נחשבים בקלות - ראינו כמה דוגמאות כאלה לעיל. אבל בכל זאת, ברוב המקרים, אם אתה חושב על מספר שרירותי, ואז מנסה לחלץ ממנו את השורש של תואר שרירותי, צפוי לך באמר אכזרי.

מה יש שם! אפילו את $\sqrt(2)$ הפשוט והמוכר ביותר לא ניתן לייצג בצורה הרגילה שלנו - כמספר שלם או כשבר. ואם תכניס את המספר הזה למחשבון, תראה את זה:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

כפי שניתן לראות, לאחר הנקודה העשרונית יש רצף אינסופי של מספרים שאינם מצייתים לשום הגיון. אתה יכול כמובן לעגל את המספר הזה כדי להשוות במהירות למספרים אחרים. לדוגמה:

\[\sqrt(2)=1.4142...\approx 1.4 \lt 1.5\]

או הנה עוד דוגמה:

\[\sqrt(3)=1.73205...\approx 1.7 \gt 1.5\]

אבל כל העיגולים האלה הם, ראשית, גסים למדי; ושנית, אתה גם צריך להיות מסוגל לעבוד עם ערכים משוערים, אחרת אתה יכול לתפוס שלל שגיאות לא ברורות (אגב, מיומנות ההשוואה והעיגול נבדקת בהכרח בבחינת הפרופיל).

לכן, במתמטיקה רצינית, אי אפשר בלי שורשים - הם אותם נציגים שווים של קבוצת כל המספרים הממשיים $\mathbb(R)$, כמו שברים ושלמים שהכרנו מזמן.

חוסר האפשרות לייצג את השורש כשבר מהצורה $\frac(p)(q)$ פירושה ששורש זה אינו מספר רציונלי. מספרים כאלה נקראים אי-רציונליים, ולא ניתן לייצג אותם במדויק אלא בעזרת רדיקל, או מבנים אחרים שתוכננו במיוחד לכך (לוגריתמים, מעלות, גבולות וכו'). אבל עוד על זה בפעם אחרת.

שקול כמה דוגמאות שבהן, לאחר כל החישובים, מספרים אי-רציונליים עדיין יישארו בתשובה.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

באופן טבעי, לפי הופעת השורש, כמעט בלתי אפשרי לנחש אילו מספרים יבואו אחרי הנקודה העשרונית. עם זאת, אפשר לחשב במחשבון, אבל גם מחשבון התאריכים המתקדם ביותר נותן לנו רק את הספרות הראשונות של מספר אי-רציונלי. לכן, הרבה יותר נכון לכתוב את התשובות כ-$\sqrt(5)$ ו-$\sqrt(-2)$.

בשביל זה המציאו אותם. כדי שיהיה קל לרשום תשובות.

למה צריך שתי הגדרות?

הקורא הקשוב כנראה כבר שם לב שכל השורשים המרובעים המובאים בדוגמאות לקוחים ממספרים חיוביים. טוב, לפחות מאפס. אבל שורשי קובייה מופקים בשלווה מכל מספר - אפילו חיובי, אפילו שלילי.

למה זה קורה? תסתכל על הגרף של הפונקציה $y=((x)^(2))$:

הגרף של פונקציה ריבועית נותן שני שורשים: חיובי ושלילי

בואו ננסה לחשב $\sqrt(4)$ באמצעות הגרף הזה. לשם כך מצייר בגרף קו אופקי $y=4$ (מסומן באדום), שחותך את הפרבולה בשתי נקודות: $((x)_(1))=2$ ו-$((x) _(2)) =-2$. זה די הגיוני, שכן

הכל ברור עם המספר הראשון - הוא חיובי, ולכן הוא השורש:

אבל אז מה לעשות עם הנקודה השנייה? האם ל-4 יש שני שורשים בבת אחת? אחרי הכל, אם נרבוע את המספר −2, נקבל גם 4. למה לא לכתוב $\sqrt(4)=-2$ אז? ולמה מורים מסתכלים על תקליטים כאלה כאילו הם רוצים לאכול אותך? :)

הצרה היא שאם לא ייקבעו תנאים נוספים, אז לארבעה יהיו שני שורשים מרובעים - חיובי ושלילי. ולכל מספר חיובי יהיו גם שניים מהם. אבל למספרים שליליים לא יהיו שורשים כלל - ניתן לראות זאת מאותו גרף, מכיוון שהפרבולה לעולם אינה נופלת מתחת לציר y, כלומר לא לוקח ערכים שליליים.

בעיה דומה מתרחשת עבור כל השורשים עם מעריך שווה:

באופן קפדני, לכל מספר חיובי יהיו שני שורשים עם מעריך זוגי $n$;
ממספרים שליליים, השורש עם אפילו $n$ אינו מופק כלל.

לכן ההגדרה של שורש זוגי $n$ קובעת במפורש שהתשובה חייבת להיות מספר לא שלילי. כך נפטרים מהעמימות.

אבל עבור $n$ מוזר אין בעיה כזו. כדי לראות זאת, בואו נסתכל על הגרף של הפונקציה $y=((x)^(3))$:

הפרבולה המעוקבת מקבלת כל ערך, כך שניתן לקחת את שורש הקובייה מכל מספר

מהגרף הזה ניתן להסיק שתי מסקנות:

הענפים של פרבולה מעוקבת, בניגוד לזו הרגילה, הולכים עד אינסוף בשני הכיוונים - גם למעלה וגם למטה. לכן, בכל גובה שנצייר קו אופקי, הקו הזה בהחלט יצטלב עם הגרף שלנו. לכן, תמיד אפשר לקחת את שורש הקובייה, לחלוטין מכל מספר;
בנוסף, צומת כזה תמיד יהיה ייחודי, כך שאתה לא צריך לחשוב על איזה מספר לשקול את השורש "הנכון" ואיזה לקלוע. לכן ההגדרה של שורשים לדרגה אי זוגית פשוטה יותר מאשר לזוגיות (אין דרישת אי שליליות).

חבל שהדברים הפשוטים האלה לא מוסברים ברוב ספרי הלימוד. במקום זאת, המוח שלנו מתחיל להמריא עם כל מיני שורשים אריתמטיים ותכונותיהם.

כן, אני לא מתווכח: מה זה שורש אריתמטי - גם צריך לדעת. ועל כך אדבר בפירוט בשיעור נפרד. היום נדבר גם על זה, כי בלעדיו, כל ההשתקפויות על שורשי הריבוי $n$-th לא יהיו שלמות.

אבל קודם אתה צריך להבין בבירור את ההגדרה שנתתי לעיל. אחרת, בגלל שפע המונחים, יתחיל בלגן כזה בראש שבסופו של דבר לא תבין כלום בכלל.

וכל מה שאתה צריך להבין הוא את ההבדל בין מספרים זוגיים ואי-זוגיים. לכן, שוב נאסוף את כל מה שאתה באמת צריך לדעת על השורשים:

שורש זוגי קיים רק ממספר לא שלילי והוא עצמו תמיד מספר לא שלילי. עבור מספרים שליליים, שורש כזה אינו מוגדר.

אבל השורש של מידה אי-זוגית קיים מכל מספר ויכול בעצמו להיות כל מספר: עבור מספרים חיוביים הוא חיובי, ועבור מספרים שליליים, כפי שהכובע רומז, הוא שלילי.

זה קשה? לא, זה לא קשה. זה ברור? כן, זה ברור! לכן, כעת נתאמן מעט בחישובים.

תכונות ומגבלות בסיסיות

לשורשים יש הרבה תכונות והגבלות מוזרות - זה יהיה שיעור נפרד. לכן, כעת נשקול רק את ה"שבב" החשוב ביותר, אשר חל רק על שורשים עם מעריך שווה. אנו כותבים את המאפיין הזה בצורה של נוסחה:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

במילים אחרות, אם נעלה מספר לחזקה זוגית, ואז נחלץ מזה את השורש של אותה תואר, לא נקבל את המספר המקורי, אלא את המודולוס שלו. זהו משפט פשוט שקל להוכיח (מספיק לשקול בנפרד $x$ לא שליליים, ואז לשקול בנפרד את השליליים). מורים כל הזמן מדברים על זה, זה ניתן בכל ספר לימוד בבית הספר. אבל ברגע שזה מגיע לפתרון משוואות לא רציונליות (כלומר משוואות המכילות את הסימן של הרדיקל), התלמידים שוכחים את הנוסחה הזו ביחד.

כדי להבין את הנושא לפרטי פרטים, בואו נשכח את כל הנוסחאות לדקה וננסה לספור שני מספרים קדימה:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

אלו דוגמאות פשוטות מאוד. הדוגמה הראשונה תיפתר על ידי רוב האנשים, אבל על השנייה, רבים נדבקים. כדי לפתור כל שטות כזו ללא בעיות, שקול תמיד את ההליך:

ראשית, המספר מועלה לחזקה רביעית. ובכן, זה די קל. יתקבל מספר חדש, שאף ניתן למצוא אותו בטבלת הכפל;
ועתה מן המספר החדש הזה צריך לחלץ את שורש המדרגה הרביעית. הָהֵן. אין "צמצום" של שורשים ומעלות - אלו הן פעולות עוקבות.

בואו נעסוק בביטוי הראשון: $\sqrt(((3)^(4)))$. ברור, תחילה עליך לחשב את הביטוי מתחת לשורש:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

ואז נחלץ את השורש הרביעי של המספר 81:

עכשיו בואו נעשה את אותו הדבר עם הביטוי השני. ראשית, נעלה את המספר −3 בחזקת הרביעית, לשם כך עלינו להכפיל אותו בעצמו פי 4:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]

קיבלנו מספר חיובי, היות והמספר הכולל של המינוסים במוצר הוא 4 חלקים, וכולם יבטלו אחד את השני (הרי מינוס במינוס נותן פלוס). לאחר מכן, חלץ שוב את השורש:

באופן עקרוני, לא ניתן היה לכתוב שורה זו, שכן אין זה ברור שהתשובה תהיה זהה. הָהֵן. שורש שווה של אותו כוח זוגי "שורף" את המינוסים, ובמובן זה לא ניתן להבחין בתוצאה מהמודול הרגיל:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

חישובים אלו עולים בקנה אחד עם הגדרת השורש של מדרגה זוגית: התוצאה היא תמיד לא שלילית, וגם הסימן הרדיקלי הוא תמיד מספר לא שלילי. אחרת, השורש אינו מוגדר.

הערה על סדר הפעולות

הסימן $\sqrt(((a)^(2)))$ אומר שתחילה אנו בריבוע את המספר $a$, ולאחר מכן ניקח את השורש הריבועי של הערך המתקבל. לכן, אנו יכולים להיות בטוחים שמספר לא שלילי תמיד יושב מתחת לסימן השורש, שכן ממילא $((a)^(2))\ge 0$;
אבל הסימן $((\left(\sqrt(a) \right)))^(2))$, להיפך, אומר שקודם נחלץ את השורש ממספר מסוים $a$ ורק אז בריבוע התוצאה. לכן, המספר $a$ בשום מקרה לא יכול להיות שלילי - זוהי דרישה מחייבת המוטבעת בהגדרה.

לפיכך, בשום מקרה אין לצמצם ללא מחשבה את השורשים והדרגות, ובכך "לפשט" כביכול את הביטוי המקורי. כי אם יש מספר שלילי מתחת לשורש, והמעריך שלו זוגי, נקבל הרבה בעיות.

עם זאת, כל הבעיות הללו רלוונטיות רק לאינדיקטורים אפילו.

הסרת סימן מינוס מתחת לסימן השורש

באופן טבעי, לשורשים עם מעריכים מוזרים יש גם תכונה משלהם, שבאופן עקרוני, לא קיימת עבור זוגיות. כלומר:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

בקיצור, אתה יכול להוציא מינוס מתחת לסימן השורשים של מדרגה מוזרה. זהו מאפיין שימושי מאוד המאפשר לך "לזרוק" את כל המינוסים החוצה:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

נכס פשוט זה מפשט מאוד חישובים רבים. עכשיו אתה לא צריך לדאוג: מה אם ביטוי שלילי נכנס מתחת לשורש, והדרגה בשורש התבררה כשווה? מספיק "לזרוק" את כל המינוסים מחוץ לשורשים, ולאחר מכן ניתן להכפיל אותם זה בזה, לחלק אותם ובדרך כלל לעשות דברים חשודים רבים, שבמקרה של שורשים "קלאסיים" מובטח שיובילו אותנו לטעות .

וכאן נכנסת הגדרה נוספת לזירה - זו בדיוק שבאמצעותה רוב בתי הספר מתחילים בלימוד ביטויים לא רציונליים. ובלעדיו הנמקה שלנו לא תהיה שלמה. לִפְגוֹשׁ!

שורש אריתמטי

הבה נניח לרגע שרק מספרים חיוביים או, במקרים קיצוניים, אפס יכולים להיות מתחת לסימן השורש. בוא נקפוץ על אינדיקטורים זוגיים/אי-זוגיים, ניקוד על כל ההגדרות שניתנו לעיל - נעבוד רק עם מספרים לא שליליים. מה אז?

ואז נקבל את השורש האריתמטי - הוא מצטלב חלקית עם ההגדרות ה"סטנדרטיות" שלנו, אבל עדיין שונה מהן.

הַגדָרָה. שורש אריתמטי של התואר $n$th של מספר לא שלילי $a$ הוא מספר לא שלילי $b$ כך ש$((b)^(n))=a$.

כפי שאתה יכול לראות, אנחנו כבר לא מעוניינים בשוויון. במקום זאת הופיעה הגבלה חדשה: הביטוי הרדיקלי הוא כעת תמיד לא שלילי, וגם השורש עצמו אינו שלילי.

כדי להבין טוב יותר כיצד שונה השורש האריתמטי מהשורש הרגיל, עיין בגרפים של הפרבולה הריבועית והקובית שכבר מוכרים לנו:

אזור חיפוש שורש - מספרים לא שליליים

כפי שניתן לראות, מעתה ואילך, אנו מעוניינים רק בחתיכות הגרפים הממוקמות ברבע הקואורדינטות הראשון - כאשר הקואורדינטות $x$ ו-$y$ חיוביות (או לפחות אפס). אתה כבר לא צריך להסתכל על המחוון כדי להבין אם יש לנו את הזכות לשרש מספר שלילי או לא. כי מספרים שליליים כבר לא נחשבים עקרונית.

אתם עשויים לשאול: "ובכן, למה אנחנו צריכים הגדרה כל כך מסורסת?" או: "למה אנחנו לא יכולים להסתדר עם ההגדרה הסטנדרטית שניתנה לעיל?"

ובכן, אני אתן רק נכס אחד, שבגללו ההגדרה החדשה הופכת למתאים. לדוגמה, כלל האקספונציה:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

שימו לב: נוכל להעלות את הביטוי הרדיקלי לכל חזקה ובו זמנית להכפיל את מעריך השורש באותה חזקה - והתוצאה תהיה אותו מספר! הנה כמה דוגמאות:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

נו, מה רע בזה? למה לא יכולנו לעשות את זה קודם? הנה למה. חשבו על ביטוי פשוט: $\sqrt(-2)$ הוא מספר שהוא די נורמלי במובן הקלאסי שלנו, אך בלתי מקובל לחלוטין מנקודת המבט של השורש האריתמטי. בואו ננסה להמיר אותו:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

כפי שאתה יכול לראות, במקרה הראשון, הוצאנו את המינוס מתחת לרדיקל (יש לנו את כל הזכות, כי המחוון הוא מוזר), ובשני, השתמשנו בנוסחה לעיל. הָהֵן. מנקודת מבט של מתמטיקה הכל נעשה לפי הכללים.

WTF?! איך אותו מספר יכול להיות גם חיובי ושלילי? אין סיכוי. רק שנוסחת האקספונציה, שעובדת מצוין עבור מספרים חיוביים ואפס, מתחילה לתת כפירה מוחלטת במקרה של מספרים שליליים.

כאן, כדי להיפטר מעמימות כזו, עלו על שורשים אריתמטיים. שיעור גדול נפרד מוקדש להם, שבו אנו רואים בפירוט את כל המאפיינים שלהם. אז עכשיו לא נתעכב עליהם - השיעור ממילא התברר כארוך מדי.

שורש אלגברי: למי שרוצה לדעת יותר

חשבתי הרבה זמן: לעשות את הנושא הזה בפסקה נפרדת או לא. בסופו של דבר החלטתי לעזוב מכאן. החומר הזה מיועד למי שרוצה להבין את השורשים אפילו טוב יותר - כבר לא ברמה "בית ספר" ממוצעת, אלא ברמה הקרובה לאולימפיאדה.

אז: בנוסף להגדרה ה"קלאסית" של שורש התואר $n$-th ממספר והחלוקה הנלווית לאינדיקטורים זוגיים ואי-זוגיים, ישנה הגדרה "מבוגרת" יותר, שאינה תלויה בשוויון וב דקויות אחרות בכלל. זה נקרא שורש אלגברי.

הַגדָרָה. שורש אלגברי $n$-th של כל $a$ הוא קבוצת כל המספרים $b$ כך ש$((b)^(n))=a$. אין ייעוד מבוסס לשורשים כאלה, אז פשוט שים מקף למעלה:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left$ b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right$ \]

ההבדל המהותי מההגדרה הסטנדרטית שניתנה בתחילת השיעור הוא שהשורש האלגברי אינו מספר מסוים, אלא קבוצה. ומכיוון שאנו עובדים עם מספרים ממשיים, קבוצה זו היא משלושה סוגים בלבד:

סט ריק. מתרחש כאשר נדרש למצוא שורש אלגברי במעלה זוגית ממספר שלילי;
סט המורכב מאלמנט בודד. כל השורשים של חזקות אי-זוגיות, כמו גם שורשים של חזקות זוגיות מאפס, נכנסים לקטגוריה זו;
לבסוף, הסט יכול לכלול שני מספרים - אותם $((x)_(1))$ ו-$((x)_(2))=-((x)_(1))$ שראינו ב- תרשים פונקציה ריבועית. בהתאם לכך, יישור כזה אפשרי רק כאשר מחלצים את השורש של מדרגה זוגית ממספר חיובי.

המקרה האחרון ראוי לבחינה מפורטת יותר. בואו נספור כמה דוגמאות כדי להבין את ההבדל.

דוגמא. חישוב ביטויים:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

פִּתָרוֹן. הביטוי הראשון פשוט:

\[\overline(\sqrt(4))=\left$ 2;-2 \right$\]

זה שני מספרים שהם חלק מהקבוצה. כי כל אחד מהם בריבוע נותן ארבע.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left$ -3 \right$\]

כאן אנו רואים קבוצה המורכבת ממספר אחד בלבד. זה די הגיוני, מכיוון שהמעריך של השורש הוא מוזר.

לבסוף, הביטוי האחרון:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

יש לנו סט ריק. כי אין ולו מספר ממשי אחד שכאשר מועלה לעוצמה הרביעית (כלומר אפילו!), ייתן לנו מספר שלילי -16.

הערה אחרונה. שימו לב: לא במקרה ציינתי בכל מקום שאנחנו עובדים עם מספרים אמיתיים. בגלל שיש גם מספרים מרוכבים - בהחלט אפשרי לחשב שם $\sqrt(-16)$ ועוד הרבה דברים מוזרים.

עם זאת, בתוכנית הלימודים של בית הספר המודרני של מתמטיקה, מספרים מרוכבים כמעט ולא נמצאים. הם הושמטו מרוב ספרי הלימוד כי הפקידים שלנו רואים את הנושא "קשה מדי להבנה".

עםומספר טבעי נ 2 .

מספר מורכב זשקוראים לו שורשנ– ג, אם ז נ = ג.

מצא את כל ערכי השורש נ– תואר ממספר מרוכב עם. לתת ג=| ג|·(חַסַת עָלִים ארג ג+ אני· חטא ארגעם),א ז = | ז|·(עםOS ארג ז + אני· חטא ארג ז) , איפה זשורש נ- תואר ממספר מרוכב עם. אז זה חייב להיות = ג = | ג|·(חַסַת עָלִים ארג ג+ אני· חטא ארגעם). מכאן נובע מכך
ו נ· ארג ז = ארגעם
ארג ז =
(ק=0,1,…) . לָכֵן, ז =
(חַסַת עָלִים
+ אני· חטא
), (ק=0,1,…) . קל לראות שכל אחד מהערכים
, (ק=0,1,…) שונה מאחד הערכים המתאימים
,(ק = 0,1,…, נ-1) למרבה 2π. בגלל זה, (ק = 0,1,…, נ-1) .

דוגמא.

חשב את השורש של (-1).

, מובן מאליו |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (חַסַת עָלִים π + אני· חטא π )

, (k = 0, 1).

= אני

תואר עם מעריך רציונלי שרירותי

קח מספר מרוכב שרירותי עם. אם נמספר טבעי, אם כן עם נ = | ג| נ ·(עםOS nArgעם +אני· חטא nArgעם)(6). נוסחה זו נכונה גם במקרה נ = 0 (c≠0)
. לתת נ < 0 ו נ זו c ≠ 0, לאחר מכן

עם נ =
(בגלל nArgעם+אני חוטא nArgעם) = (בגלל nArgעם+ אני חוטא nArgעם) . לפיכך, הנוסחה (6) תקפה לכל נ.

ניקח מספר רציונלי , איפה שמספר טבעי, ו רהוא מספר שלם.

ואז מתחת תוֹאַר ג רבואו נבין את המספר
.

אנחנו מקבלים את זה ,

(ק = 0, 1, …, ש-1). ערכים אלו שחתיכות, אם השבר אינו מופחת.

הרצאה №3 הגבול של רצף של מספרים מרוכבים

פונקציה בעלת ערך מורכב של ארגומנט טבעי נקראת רצף של מספרים מרוכביםומסומן (עם נ ) אוֹ עם 1 , עם 2 , ..., עם נ . עם נ = א נ + ב נ · אני (נ = 1,2, ...) מספרים מסובכים.

עם 1 , עם 2 , … - איברי הרצף; עם נ - חבר משותף

מספר מורכב עם = א+ ב· אנישקוראים לו הגבול של רצף של מספרים מרוכבים (ג נ ) , איפה עם נ = א נ + ב נ · אני (נ = 1, 2, …) , איפה לכל

, זה לכולם נ > נאת אי השוויון
. רצף שיש לו גבול סופי נקרא מתכנסיםסדר פעולות.

מִשׁפָּט.

על מנת לקבל רצף של מספרים מרוכבים (עם נ ) (עם נ = א נ + ב נ · אני) התכנסו למספר עם = א+ ב· אני, הכרחי ומספיק לשוויוןlim א נ = א, lim ב נ = ב.

הוכחה.

נוכיח את המשפט בהתבסס על אי השוויון הכפול הברור הבא

, איפה ז = איקס + y· אני (2)

כּוֹרַח.לתת lim(עם נ ) = עם. בואו נראה את השוויון lim א נ = או lim ב נ = ב (3).

ברור (4)

כי
, מתי נ → ∞ , אז נובע מהצד השמאלי של אי השוויון (4) ש
ו
, מתי נ → ∞ . לכן שוויון (3) מתקיים. הצורך הוכח.

הלימה.עכשיו תן לשוויון (3) להחזיק מעמד. מהשוויון (3) עולה כי
ו
, מתי נ → ∞ , לכן, בשל הצד הנכון של אי השוויון (4), זה יהיה
, מתי נ→∞ , אומר lim(עם נ )=s. הספיקות הוכחה.

אז, שאלת ההתכנסות של רצף של מספרים מרוכבים שווה ערך להתכנסות של שני רצפי מספרים ממשיים, לכן, כל המאפיינים הבסיסיים של גבולות רצפי מספרים ממשיים חלים על רצפים של מספרים מרוכבים.

לדוגמה, עבור רצפים של מספרים מרוכבים, קריטריון Cauchy תקף: על מנת לקבל רצף של מספרים מרוכבים (עם נ ) התכנסו, זה הכרחי ומספיק כי עבור כל

, זה לכלנ, M > נאת אי השוויון
.

מִשׁפָּט.

תן רצף של מספרים מרוכבים (עם נ ) ו(ז נ ) מתכנסים בהתאמה עם וזואז השוויוןlim(עם נ ז נ ) = ג ז, lim(עם נ · ז נ ) = ג· ז. אם זה ידוע בוודאותזאינו שווה ל-0, אז השוויון
.

תסריט שיעור בכיתה יא' בנושא:

השורש ה-n של מספר ממשי. »

מטרת השיעור:גיבוש אצל התלמידים ראייה הוליסטית של השורש נ-הדרגה והשורש האריתמטי של התואר ה-n, היווצרות מיומנויות חישוביות, מיומנויות של שימוש מודע ורציונלי בתכונות השורש בפתרון בעיות שונות המכילות רדיקל. לבדוק את רמת השליטה בשאלות הנושא על ידי התלמידים.

נושא:ליצור תנאים משמעותיים וארגוניים להטמעת חומר בנושא "ביטויים מספריים ואלפביתיים » ברמת התפיסה, ההבנה והשינון הראשוני; ליצור את היכולת ליישם מידע זה בעת חישוב שורש המעלה ה-n ממספר ממשי;

מטא נושא:לקדם את פיתוח מיומנויות המחשוב; היכולת לנתח, להשוות, להכליל, להסיק מסקנות;

אישי:לטפח את היכולת להביע את נקודת המבט, להקשיב לתשובות של אחרים, לקחת חלק בדיאלוג, ליצור את היכולת לשיתוף פעולה חיובי.

תוצאה מתוכננת.

נושא: להיות מסוגל ליישם את המאפיינים של שורש מדרגה n ממספר ממשי בתהליך של מצב ממשי בעת חישוב השורשים, פתרון משוואות.

אישי: ליצור קשב ודיוק בחישובים, יחס תובעני כלפי עצמו ועבודתו, לטפח תחושת עזרה הדדית.

סוג שיעור: שיעור לימוד וגיבוש ראשוני של ידע חדש

הנעה לפעילויות למידה:

חוכמת המזרח אומרת: "אתה יכול להוביל סוס למים, אבל אתה לא יכול לגרום לו לשתות." ואי אפשר להכריח אדם ללמוד טוב אם הוא עצמו לא מנסה ללמוד יותר, אין לו רצון לעבוד על התפתחותו הנפשית. הרי ידע הוא רק ידע כאשר הוא נרכש על ידי מאמצי המחשבה, ולא על ידי הזיכרון בלבד.

השיעור שלנו יתקיים תחת המוטו: "נכבוש כל פסגה אם נשאף אליה". במהלך השיעור, אתה ואני צריכים להספיק להתגבר על כמה פסגות, וכל אחד מכם חייב להשקיע את כל המאמצים כדי לכבוש את הפסגות הללו.

"היום יש לנו שיעור שבו עלינו להכיר מושג חדש: "שורש מדרגה נ'" וללמוד כיצד ליישם את המושג הזה להפיכת ביטויים שונים.

המטרה שלכם היא להפעיל את הידע הקיים על בסיס צורות עבודה שונות, לתרום ללימוד החומר ולקבל ציונים טובים.
למדנו את השורש הריבועי של מספר ממשי בכיתה ח'. השורש הריבועי קשור לפונקציית התצוגה y=איקס 2. חברים, אתם זוכרים איך חישבנו את השורשים הריבועיים, ואילו תכונות היו לו?
א) סקר אישי:

מה זה הביטוי הזה

מהו שורש ריבועי

מהו השורש הריבועי האריתמטי

רשום תכונות של שורש ריבועי

ב) עבודה בזוגות: לחשב.

2. עדכון ידע ויצירת מצב בעיה:פתרו את המשוואה x 4 =1. איך נוכל לפתור את זה? (אנליטית וגרפית). בואו נפתור את זה בצורה גרפית. לשם כך, במערכת קואורדינטות אחת, אנו בונים גרף של הפונקציה y \u003d x 4 קו ישר y \u003d 1 (איור 164 א). הם מצטלבים בשתי נקודות: A (-1;1) ו-B(1;1). האבססיס של נקודות A ו-B, כלומר. x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1, הם השורשים של המשוואה x 4 \u003d 1.
בוויכוח באותו אופן, אנו מוצאים את השורשים של המשוואה x 4 \u003d 16: כעת ננסה לפתור את המשוואה x 4 \u003d 5; האיור הגיאומטרי מוצג באיור. 164 ב. ברור שלמשוואה יש שני שורשים x 1 ו- x 2, ומספרים אלו, כמו בשני המקרים הקודמים, מנוגדים זה לזה. אבל עבור שתי המשוואות הראשונות, השורשים נמצאו ללא קושי (ניתן למצוא אותם ללא שימוש בגרפים), ויש בעיות עם המשוואה x 4 \u003d 5: לפי השרטוט, אנחנו לא יכולים לציין את הערכים \u200b של השורשים, אבל אנחנו יכולים רק לקבוע ששורש אחד ממוקם לנקודה השמאלית -1, והשני - מימין לנקודה 1.

x 2 \u003d - (קרא: "שורש רביעי מתוך חמישה").

דיברנו על המשוואה x 4 \u003d a, כאשר a 0. בהצלחה שווה, נוכל לדבר על המשוואה x 4 \u003d a, כאשר a 0, ו-n הוא כל מספר טבעי. לדוגמה, פתרון גרפי של המשוואה x 5 \u003d 1, נמצא x \u003d 1 (איור 165); בפתרון המשוואה x 5 "= 7, אנו קובעים שלמשוואה יש שורש אחד x 1, אשר ממוקם על ציר x מעט מימין לנקודה 1 (ראה איור. 165). עבור המספר x 1, אנו מציגים את סִמוּן.

הגדרה 1.השורש של המדרגה ה-n של מספר לא שלילי a (n = 2, 3.4, 5, ...) הוא מספר לא שלילי שכשהוא מועלה בחזקת n, מביא למספר a.

מספר זה מסומן, המספר a נקרא מספר השורש, והמספר n הוא אינדקס השורש.
אם n = 2, אז בד"כ לא אומרים "שורש מדרגה שנייה", אלא אומרים "שורש ריבועי. במקרה זה לא כותבים. זה המקרה המיוחד שלמדת במיוחד ב-8. קורס אלגברה בכיתה.

אם n \u003d 3, אז במקום "שורש מדרגה שלישית" הם אומרים לעתים קרובות "שורש קובייה". ההיכרות הראשונה שלך עם שורש הקובייה התקיימה גם בקורס אלגברה בכיתה ח'. השתמשנו בשורש הקובייה בקורס אלגברה בכיתה ט'.

לכן, אם a ≥0, n= 2,3,4,5,…, אז 1) ≥ 0; 2) () n = א.

באופן כללי, =b ו-b n =a - אותו קשר בין מספרים לא שליליים a ו-b, אבל השני מתואר בשפה פשוטה יותר (משתמש בסמלים פשוטים יותר) מהראשון.

פעולת מציאת השורש של מספר לא שלילי נקראת בדרך כלל מיצוי שורש. פעולה זו היא הפוך מהעלאה לעוצמה המקבילה. לְהַשְׁווֹת:

שימו לב שוב: בטבלה מופיעים רק מספרים חיוביים, שכן זה נקבע בהגדרה 1. ולמרות, למשל, (-6) 6 \u003d 36 הוא השוויון הנכון, עברו ממנו לסימון באמצעות השורש הריבועי, כְּלוֹמַר לכתוב מה שאתה לא יכול. בהגדרה - מספר חיובי, אז = 6 (ולא -6). באותו אופן, למרות ש-2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16, עוברים לסימני השורשים, עלינו לכתוב \u003d 2 (ובמקביל ≠-2).

לפעמים הביטוי נקרא רדיקל (מהמילה הלטינית gadix - "שורש"). ברוסית, המונח רדיקלי משמש לעתים קרובות למדי, למשל, "שינויים רדיקליים" פירושו "שינויים רדיקליים". אגב, עצם ייעוד השורש מזכיר את המילה גדיקס: הסמל הוא אות ר מסוגננת.

פעולת חילוץ השורש נקבעת גם למספר שורש שלילי, אך רק במקרה של מעריך שורש אי זוגי. במילים אחרות, ניתן לשכתב את המשוואה (-2) 5 = -32 בצורה המקבילה ל-=-2. כאן נעשה שימוש בהגדרה הבאה.

הגדרה 2.השורש של מידה אי זוגית n ממספר שלילי a (n = 3.5, ...) הוא מספר שלילי שכשהוא מועלה בחזקת n, מביא למספר a.

מספר זה, כמו בהגדרה 1, מסומן ב-, המספר a הוא מספר השורש, המספר n הוא אינדקס השורש.
אז, אם a, n=,5,7,..., אז: 1) 0; 2) () n = א.

לפיכך, שורש שווה הגיוני (כלומר, מוגדר) רק לביטוי רדיקלי לא שלילי; שורש מוזר הגיוני לכל ביטוי רדיקלי.

5. גיבוש עיקרי של ידע:

1. חשב: מס' מס' 33.5; 33.6; 33.74 33.8 בעל פה א) ; ב) ; V) ; ז).

ד) שלא כמו הדוגמאות הקודמות, איננו יכולים לציין את הערך המדויק של המספר. זה רק ברור שהוא גדול מ-2, אבל פחות מ-3, שכן 2 4 \u003d 16 (זה פחות מ-17), ו-3 4 \u003d 81 (זה יותר מ-17). שימו לב ש-24 הוא הרבה יותר קרוב ל-17 מ-34, אז יש סיבה להשתמש בסימן שוויון משוער:
2. מצא את הערכים של הביטויים הבאים.

שים את האות המתאימה ליד הדוגמה.

קצת מידע על המדען הגדול. רנה דקארט (1596-1650) אציל צרפתי, מתמטיקאי, פילוסוף, פיזיולוג, הוגה דעות. רנה דקארט הניח את היסודות של הגיאומטריה האנליטית, הציג את ייעודי האותיות x 2 , y 3 . כולם מכירים קואורדינטות קרטזיות שמגדירות פונקציה של משתנה.

3 . פתרו משוואות: א) = -2; ב) = 1; ג) = -4

פִּתָרוֹן:א) אם = -2, אז y = -8. למעשה, עלינו לקוביות את שני החלקים של המשוואה הנתונה. נקבל: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. ב) בטענה כמו בדוגמה א), נעלה את שני הצדדים של המשוואה לחזקה רביעית. נקבל: x=1.

ג) כאן אין צורך להעלות לחזקה רביעית, למשוואה זו אין פתרונות. למה? כי לפי הגדרה 1, השורש של מדרגה זוגית הוא מספר לא שלילי.
ישנן מספר משימות לתשומת לבך. כשתסיים את המשימות הללו, תלמד את שמו ושם המשפחה של המתמטיקאי הדגול. מדען זה בשנת 1637 היה הראשון שהציג את סימן השורש.

6. בואו ננוח קצת.

הכיתה מרימה ידיים - זה "זמן".

הראש הסתובב - זה "שניים".

ידיים למטה, הסתכל קדימה - זה "שלוש".

ידיים מורחבות יותר לצדדים על "ארבע",

לחיצה על הידיים שלך בכוח היא "חמש".

כל החבר'ה צריכים לשבת - זה "שש".

7. עבודה עצמאית:

אפשרות: 2 אפשרות:

ב) 3-. ב) 12 -6.

2. פתרו את המשוואה: א) x 4 \u003d -16; ב) 0.02x6 -1.28=0; א) x 8 \u003d -3; ב) 0.3x 9 - 2.4 \u003d 0;

ג) = -2; ג)= 2

8. חזרה:מצא את שורש המשוואה = - x. אם למשוואה יש יותר משורש אחד, כתוב את הקטן מבין השורשים בתשובה.

9. השתקפות:מה למדת בשיעור? מה היה מעניין? מה היה קשה?

מטרות השיעור:

חינוכית: ליצור תנאים להיווצרות ראייה הוליסטית של שורש התואר ה-n, מיומנויות של שימוש מודע ורציונלי בתכונות השורש בפתרון בעיות שונות.

חינוכית: ליצור תנאים לפיתוח חשיבה אלגוריתמית, יצירתית, לפתח מיומנויות שליטה עצמית.

חינוכית: לקדם פיתוח עניין בנושא, פעילות, טיפוח דיוק בעבודה, יכולת להביע את דעתו, לתת המלצות.

במהלך השיעורים

1. רגע ארגוני.

אחר הצהריים טובים שעה טובה!

כמה אני שמח לראות אותך.

הפעמון כבר צלצל

השיעור מתחיל.

הם חייכו. עלה ברמה.

הסתכלו אחד על השני

והם התיישבו בשקט.

2. הנעת שיעור.

פילוסוף צרפתי מצטיין, המדען בלייז פסקל קבע: "גדולתו של האדם היא ביכולתו לחשוב". היום ננסה להרגיש כמו אנשים גדולים על ידי גילוי ידע בעצמנו. המוטו לשיעור היום יהיו דבריו של המתמטיקאי היווני הקדום תאלס:

מה הכי הרבה בעולם? - חלל.

מה הכי מהיר? - אכפת.

מה הכי חכם? - זמן.

מה הכי מהנה? - השג את מה שאתה רוצה.

אני רוצה שכל אחד מכם ישיג את התוצאה הרצויה בשיעור של היום.

3. מימוש ידע.

1. שם פעולות אלגבריות הפוכות הדדיות על מספרים. (חיבור וחיסור, כפל וחילוק)

2. האם תמיד אפשר לבצע פעולה אלגברית כזו כמו חלוקה? (לא, אי אפשר לחלק באפס)

3. איזו פעולה נוספת אתה יכול לבצע עם מספרים? (אקספונציה)

4. איזו פעולה תהיה הפוכה שלה? (חילוץ שורשים)

5. באיזו מידה שורש אפשר לחלץ? (שורש שני)

6. אילו תכונות של השורש הריבועי אתה מכיר? (חילוץ השורש הריבועי ממוצר, ממנה, משורש, אקספוננציה)

7. מצא את הערכים של ביטויים:

מההיסטוריה.אפילו לפני 4000 שנה ערכו מדענים בבל יחד עם לוחות כפל וטבלאות של הדדיות (שבעזרתן הופחתה חלוקת המספרים לכפל), טבלאות של ריבועי מספרים ושורשים ריבועיים של מספרים. במקביל, הם הצליחו למצוא את הערך המשוער של השורש הריבועי של כל מספר שלם.

4. לימוד חומר חדש.

ברור, בהתאם לתכונות הבסיסיות של מעלות עם מעריכים טבעיים, מכל מספר חיובי ישנם שני ערכים מנוגדים לשורש של מדרגה זוגית, למשל, המספרים 4 ו-4 הם השורשים הריבועיים של 16 , שכן (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16, והמספרים 3 ו-3 הם השורשים הרביעיים של 81, שכן (-3) 4 \u003d Z4 \u003d 81.

כמו כן, אין שורש זוגי של מספר שלילי, כי כוח זוגי של כל מספר ממשי אינו שלילי. לגבי השורש של מדרגה אי זוגית, אז לכל מספר ממשי יש רק שורש אחד של מדרגה אי זוגית ממספר זה. לדוגמה, 3 הוא השורש השלישי של 27 כי Z3 = 27, ו-2 הוא השורש החמישי של -32 כי (-2)5 = 32.

בקשר לקיומם של שני שורשים בדרגה זוגית ממספר חיובי, אנו מציגים את המושג שורש אריתמטי על מנת לבטל את העמימות הזו של השורש.

ערך לא שלילי של השורש ה-n של מספר לא שלילי נקרא שורש אריתמטי.

ייעוד: - שורש המדרגה ה-n.

המספר n נקרא דרגת השורש האריתמטי. אם n = 2, אזי דרגת השורש אינה מצוינת ונכתבת. שורש המעלה השנייה נקרא שורש ריבועי, ושורש המעלה השלישית נקרא שורש מעוקב.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bp = a, p - אפילו a ≥ 0, b ≥ 0

p - אי זוגי א, ב - כל

נכסים

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b > 0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k - מספרים טבעיים

5. איחוד חומר חדש.

עבודה בעל פה

א) אילו ביטויים הגיוניים?

ב) עבור אילו ערכים של המשתנה a הגיוני הביטוי?

פתרו את מס' 3, 4, 7, 9, 11.

6. חינוך גופני.

בכל עניין יש צורך במתינות,

תן לזה להיות הכלל העיקרי.

תעשה התעמלות, אם חשבת הרבה זמן,

התעמלות לא מתישה את הגוף,

אבל זה מנקה את כל הגוף!

עצמו את העיניים, הרפי את הגוף

תארו לעצמכם - אתם ציפורים, פתאום עפתם!

עכשיו אתה שוחה כמו דולפין בים,

עכשיו בגן אתה קוטף תפוחים בשלים.

שמאל, ימין, הסתכל מסביב

תפתחו עיניים וחזרו לעבודה!

7. עבודה עצמאית.

עבודה בזוגות עם 178 מס' 1, מס' 2.

8. ד/ז.למד פריט 10 (עמ' 160-161), פתרו מס' 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2).

9. תוצאות השיעור. השתקפות של פעילות.

האם השיעור השיג את מטרתו?

מה למדת?

מאמר זה הוא אוסף של מידע מפורט העוסק בנושא מאפיינים של שורשים. בהתחשב בנושא, נתחיל במאפיינים, נלמד את כל הניסוחים ונביא הוכחות. כדי לגבש את הנושא, נשקול את המאפיינים של התואר ה-n.

Yandex.RTB R-A-339285-1

מאפייני שורש

נדבר על נכסים.

תכונה מספרים מוכפלים או ב, אשר מיוצג כשוויון a · b = a · b . זה יכול להיות מיוצג כמכפילים, חיוביים או שווה לאפס a 1 , a 2 , … , a kכ-1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k;
מפרטי a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, ניתן לכתוב גם בצורה זו a b = a b ;
קניין מחזקת מספר אעם מעריך זוגי a 2 m = a m עבור כל מספר א, למשל, תכונה מהריבוע של מספר a 2 = a .

בכל אחת מהמשוואות המוצגות, אתה יכול להחליף את החלקים לפני ואחרי סימן המקף, לדוגמה, השוויון a · b = a · b משתנה כ- a · b = a · b . מאפייני שוויון משמשים לעתים קרובות כדי לפשט משוואות מורכבות.

הוכחת התכונות הראשונות מבוססת על הגדרת השורש הריבועי ותכונות חזקות עם מעריך טבעי. כדי לבסס את התכונה השלישית, יש צורך להתייחס להגדרת המודולוס של מספר.

קודם כל, יש צורך להוכיח את תכונות השורש הריבועי a · b = a · b . על פי ההגדרה, יש לקחת בחשבון ש- b הוא מספר חיובי או שווה לאפס שיהיה שווה ל א בבמהלך בניה לתוך ריבוע. ערכו של הביטוי a · b חיובי או שווה לאפס כמכפלה של מספרים לא שליליים. המאפיין של דרגת המספרים המוכפלים מאפשר לנו לייצג שוויון בצורה (a · b) 2 = a 2 · b 2 . לפי הגדרת השורש הריבועי a 2 \u003d a ו- b 2 \u003d b, ואז a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

באופן דומה, אפשר להוכיח זאת מהמוצר קמכפילים a 1 , a 2 , … , a kיהיה שווה למכפלת השורשים הריבועיים של גורמים אלה. אכן, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

מהשוויון הזה עולה כי a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

בואו נסתכל על כמה דוגמאות כדי לחזק את הנושא.

דוגמה 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 ו 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0. 2 (1) .

יש צורך להוכיח את התכונה של השורש הריבועי האריתמטי של המנה: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. המאפיין מאפשר לך לכתוב את השוויון a: b 2 = a 2: b 2, ו-a 2: b 2 = a: b , בעוד a: b הוא מספר חיובי או שווה לאפס. ביטוי זה יהיה ההוכחה.

לדוגמה, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ו-30, 121 = 30, 121.

שקול את המאפיין של השורש הריבועי של הריבוע של מספר. ניתן לכתוב אותו כשוויון כ-2 = a כדי להוכיח תכונה זו, יש צורך לשקול בפירוט מספר שוויון עבור a ≥ 0וב א< 0 .

ברור, עבור a ≥ 0, השוויון a 2 = a נכון. בְּ א< 0 השוויון a 2 = - a יהיה נכון. בעצם, במקרה הזה − a > 0ו (− א) 2 = a 2 . אנו יכולים להסיק כי a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

בואו נסתכל על כמה דוגמאות.

דוגמה 2

5 2 = 5 = 5 ו - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .

הרכוש המוכח יעזור להצדיק 2 m = a m , שבו א- אמיתי, ו M-מספר טבעי. אכן, תכונת האקספונציה מאפשרת לנו להחליף את התואר 2 מ'ביטוי (בוקר) 2, ואז a 2 · m = (a m) 2 = a m .

דוגמה 3

3 8 = 3 4 = 3 4 ו- (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

תכונות של השורש ה-n

ראשית עליך לשקול את המאפיינים העיקריים של שורשי התואר ה-n:

תכונה ממכפלת המספרים או ב, שהם חיוביים או שווה לאפס, ניתן לבטא כשוויון a b n = a n b n , תכונה זו תקפה עבור המכפלה קמספרים a 1 , a 2 , … , a kכ-1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
ממספר שבר יש את המאפיין a b n = a n b n , שבו אהוא כל מספר ממשי שהוא חיובי או שווה לאפס, ו בהוא מספר אמיתי חיובי;
לכל אומספרים זוגיים n = 2 מ' a 2 m 2 m = a הוא נכון, ועבור אי-זוגי n = 2 מ' - 1השוויון a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a מתקיים.
מאפיין חילוץ מ- a m n = a n m , שבו א- כל מספר, חיובי או שווה לאפס, נו Mהם מספרים טבעיים, תכונה זו יכולה להיות מיוצגת גם כ . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . נק ;
לכל א' לא שלילי ושרירותי נו M, שהם טבעיים, אפשר גם להגדיר את השוויון ההוגן a m n · m = a n ;
נכס לתואר נמחזקת מספר א, שהוא חיובי או שווה לאפס, בעין M, מוגדר על ידי השוויון a m n = a n m ;
מאפיין השוואה שיש להם אותם מעריכים: לכל מספרים חיוביים או בכך ש א< b , אי השוויון א נ< b n ;
תכונה של השוואות שיש להן אותם מספרים מתחת לשורש: אם Mו n-מספרים טבעיים ש מ > נ, ואז ב 0 < a < 1 אי השוויון a m > a n תקף, ועבור a > 1א מ< a n .

המשוואות לעיל תקפות אם החלקים לפני ואחרי סימן השוויון הפוכים. ניתן להשתמש בהם גם בצורה זו. זה משמש לעתים קרובות במהלך פישוט או טרנספורמציה של ביטויים.

ההוכחה לתכונות השורש לעיל מבוססת על ההגדרה, תכונות התואר והגדרת המודולוס של מספר. יש להוכיח תכונות אלו. אבל הכל מסודר.

קודם כל, נוכיח את תכונות השורש של המעלה ה-n מהמכפלה a · b n = a n · b n . ל או ב, אשרהם חיובי או אפס , גם הערך a n · b n חיובי או שווה לאפס, מכיוון שהוא תוצאה של הכפל של מספרים לא שליליים. התכונה של תוצר כוח טבעי מאפשר לנו לכתוב את השוויון a n · b n n = a n n · b n n . לפי הגדרת השורש נהתואר a n n = a ו-b n n = b, לכן, a n · b n n = a · b. השוויון שנוצר הוא בדיוק מה שנדרש להוכחה.

תכונה זו הוכחה באופן דומה עבור המוצר קגורמים: עבור מספרים לא שליליים a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

להלן דוגמאות לשימוש במאפיין השורש נהחזקה מהמוצר: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ו-8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

הבה נוכיח את המאפיין של שורש המנה a b n = a n b n . בְּ a ≥ 0ו b > 0מתקיים התנאי a n b n ≥ 0, ו- a n b n n = a n n b n n = a b .

בואו נראה דוגמאות:

דוגמה 4

8 27 3 = 8 3 27 3 ו-2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

לשלב הבא, יש צורך להוכיח את תכונות המעלה ה-n מהמספר ועד המעלה נ. אנו מייצגים זאת כשוויון של 2 מ' 2 מ' = a ו- 2 מ' - 1 2 מ' - 1 = a עבור כל ממשי אוטבעי M. בְּ a ≥ 0נקבל a = a ו- a 2 m = a 2 m , מה שמוכיח שהשוויון a 2 m 2 m = a , והשוויון a 2 m - 1 2 m - 1 = a ברור. בְּ א< 0 נקבל בהתאמה a = - a ו- 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . ההמרה האחרונה של המספר תקפה לפי תכונת התואר. זה מה שמוכיח שהשוויון של 2 מ' 2 מ' \u003d a, ו- 2 מ' - 1 2 מ' - 1 \u003d א יהיה נכון, שכן - c 2 מ' - 1 \u003d - c 2 מ' נחשב אי-זוגי תואר - 1 עבור כל מספר ג ,חיובי או שווה לאפס.

על מנת לאחד את המידע שהתקבל, שקול כמה דוגמאות לשימוש בנכס:

דוגמה 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 ו- (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

הבה נוכיח את השוויון הבא a m n = a n · m . לשם כך, עליך לשנות את המספרים לפני סימן השוויון ואחריו במקומות a n · m = a m n . זה יציין את הערך הנכון. ל א ,שזה חיובי או שווה לאפס , מהצורה a m n הוא מספר חיובי או שווה לאפס. נפנה לנכס של העלאת כוח לכוח ולהגדרה. בעזרתם תוכלו להפוך שוויון בצורה a m n n · m = a m n n m = a m m = a . זה מוכיח את התכונה הנחשבת של שורש משורש.

מאפיינים אחרים מוכחים באופן דומה. באמת, . . . א ן ק ן 2 ן 1 ן 1 ן 2 . . . נק = . . . א ן ק ן 3 ן 2 ן 2 ן 3 . . . נק = . . . א נק ן 4 ן 3 ן 3 ן 4 . . . נק = . . . = a n k n k = a .

לדוגמה, 7 3 5 = 7 5 3 ו-0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

הבה נוכיח את התכונה הבאה a m n · m = a n . לשם כך, יש צורך להראות ש-n הוא מספר חיובי או שווה לאפס. כאשר מועלים לחזקה n m הוא א מ. אם מספר אאם כך הוא חיובי או אפס נתואר מקרב אהוא מספר חיובי או שווה לאפס יתר על כן, a n · m n = a n n m , שהיה צריך להוכיח.

על מנת לגבש את הידע הנרכש, שקול כמה דוגמאות.

הבה נוכיח את התכונה הבאה - תכונת שורש החזקה של הצורה a m n = a n m . ברור שבשעה a ≥ 0התואר a n m הוא מספר לא שלילי. יתר על כן, היא נ-הדרגה שווה ל א מ, אכן, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . זה מוכיח את המאפיין הנחשב של התואר.

לדוגמה, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

אנחנו צריכים להוכיח את זה עבור כל מספר חיובי או ב א< b . שקול את אי השוויון a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию א< b . לכן, נ< b n при א< b .

לדוגמה, אנו נותנים 12 4< 15 2 3 4 .

שקול את תכונת השורש נ-תואר ראשון. ראשית, שקול את החלק הראשון של אי השוויון. בְּ מ > נו 0 < a < 1 נכון a m > a n. נניח a m ≤ a n. מאפיינים יפשטו את הביטוי ל- a n m · n ≤ a m m · n . ואז, לפי המאפיינים של תואר עם מעריך טבעי, מתקיים אי השוויון a n m n m n ≤ a m m n m n, כלומר, a n ≤ a m. הערך שהושג ב מ > נו 0 < a < 1 אינו תואם את המאפיינים שלמעלה.

באותו אופן, אפשר להוכיח זאת מ > נו a > 1תנאי א< a n .

על מנת לאחד את המאפיינים לעיל, שקול כמה דוגמאות ספציפיות. שקול אי שוויון באמצעות מספרים ספציפיים.

דוגמה 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter