Paskutinį kartą sudarėme planą, pagal kurį galite sužinoti, kaip greitai sumažinti trupmenas. Dabar apsvarstykite konkrečius frakcijų mažinimo pavyzdžius.
Pavyzdžiai.
Tikriname, ar didesnis skaičius dalijasi iš mažesnio (skaitiklis iš vardiklio ar vardiklis iš skaitiklio)? Taip, visuose trijuose šiuose pavyzdžiuose didesnis skaičius dalijasi iš mažesnio. Taigi kiekvieną trupmeną sumažiname mažesniu iš skaičių (skaitikliu arba vardikliu). Mes turime:
Patikrinkite, ar didesnis skaičius dalijasi iš mažesnio? Ne, nesidalina.
Tada tikriname kitą punktą: ar skaitiklio ir vardiklio įrašas baigiasi vienu, dviem ar daugiau nulių? Pirmajame pavyzdyje skaitiklis ir vardiklis baigiasi nuliu, antrajame - dviem nuliais, trečiajame - trimis nuliais. Taigi, pirmąją trupmeną sumažiname 10, antrąją 100, o trečią 1000:
Gaukite neredukuojamas trupmenas.
Didesnis skaičius iš mažesnio nesidalija, skaičių įrašas nesibaigia nuliais.
Dabar patikriname, ar daugybos lentelėje skaitiklis ir vardiklis yra tame pačiame stulpelyje? 36 ir 81 dalijasi iš 9, 28 ir 63 - iš 7, o 32 ir 40 - iš 8 (jie taip pat dalijasi iš 4, bet jei yra pasirinkimas, visada sumažinsime daugiau). Taigi gauname atsakymus:
Visi gauti skaičiai yra neredukuojamos trupmenos.
Didesnis skaičius iš mažesnio nesidalija. Tačiau ir skaitiklio, ir vardiklio įrašas baigiasi nuliu. Taigi, mes sumažiname trupmeną 10:
Šią dalį dar galima sumažinti. Tikriname pagal daugybos lentelę: ir 48, ir 72 dalijami iš 8. Trupmeną sumažiname 8:
Taip pat galime sumažinti gautą trupmeną 3:
Ši dalis yra neredukuojama.
Didesnis skaičius nesidalija iš mažesnio. Skaitiklio ir vardiklio įrašas baigiasi nuliu, todėl trupmeną sumažiname 10.
Patikriname skaičius, gautus skaitiklyje ir vardiklyje ir . Kadangi ir 27, ir 531 skaitmenų suma dalijasi iš 3 ir 9, šią trupmeną galima sumažinti ir iš 3, ir iš 9. Renkamės didesnę ir mažiname 9. Gaunama neredukuojama trupmena.
Nežinant, kaip sumažinti trupmeną, ir turint stabilų įgūdį sprendžiant tokius pavyzdžius, algebrą mokytis mokykloje labai sunku. Kuo toliau, tuo daugiau naujos informacijos dedama ant pagrindinių žinių apie paprastųjų trupmenų mažinimą. Pirmiausia yra laipsniai, tada faktoriai, kurie vėliau tampa daugianariais.
Kaip čia nesusipainioti? Kruopščiai įtvirtinkite ankstesnių temų įgūdžius ir palaipsniui ruoškitės žinioms, kaip sumažinti trupmeną, kuri kiekvienais metais tampa vis sudėtingesnė.
Pagrindinės žinios
Be jų nepavyks susidoroti su bet kokio lygio užduotimis. Norėdami suprasti, turite suprasti du paprastus dalykus. Pirma, galite tik sumažinti daugiklius. Šis niuansas pasirodo labai svarbus, kai skaitiklyje arba vardiklyje atsiranda daugianario. Tada turite aiškiai atskirti, kur yra daugiklis, o kur yra terminas.
Antrasis punktas sako, kad bet koks skaičius gali būti pavaizduotas kaip veiksniai. Be to, sumažinimo rezultatas yra tokia trupmena, kurios skaitiklio ir vardiklio nebegalima sumažinti.
Paprastųjų trupmenų mažinimo taisyklės
Pirmiausia reikia patikrinti, ar skaitiklis dalijasi iš vardiklio, ar atvirkščiai. Tada reikia sumažinti šį skaičių. Tai lengviausias variantas.
Antrasis – skaičių išvaizdos analizė. Jei abu baigiasi vienu ar daugiau nulių, tada juos galima sumažinti 10, 100 arba tūkstančiu. Čia galite pamatyti, ar skaičiai yra lyginiai. Jei taip, tuomet galite saugiai sumažinti dviem.
Trečioji taisyklė, kaip sumažinti trupmeną, yra skaitiklio ir vardiklio išskaidymas į pirminius veiksnius. Šiuo metu reikia aktyviai naudotis visomis žiniomis apie skaičių dalijimosi požymius. Po tokio skaidymo belieka rasti visus pasikartojančius, juos padauginti ir sumažinti gautu skaičiumi.
Ką daryti, jei trupmenoje yra algebrinė išraiška?
Čia atsiranda pirmieji sunkumai. Nes čia atsiranda terminai, kurie gali būti identiški veiksniams. Labai noriu juos sumažinti, bet negaliu. Kad algebrinė trupmena būtų sumažinta, ji turi būti paversta taip, kad ji turėtų koeficientus.
Tam reikės kelių žingsnių. Jums gali tekti pereiti juos visus, o gal pirmasis pasiūlys tinkamą variantą.
Patikrinkite, ar skaitiklis ir vardiklis arba bet kuri jų išraiška skiriasi ženklu. Tokiu atveju tereikia išimti skliaustus atėmus vieną. Dėl to gaunami identiški daugikliai, kuriuos galima sumažinti.
Pažiūrėkite, ar bendras veiksnys gali būti skliausteliuose iš daugianario. Galbūt tai pasirodys kaip laikiklis, kurį taip pat galima sumažinti, arba tai bus išimtas monomis.
Pabandykite atlikti monomijų grupavimą, kad išskirtumėte bendrą jų veiksnį. Po to gali paaiškėti, kad bus veiksnių, kuriuos bus galima sumažinti, arba vėl suskirstyti į bendrus elementus.
Rašydami pabandykite apsvarstyti sutrumpintos daugybos formulę. Su jų pagalba bus nesunku daugianarį konvertuoti į veiksnius.
Veiksmų su trupmenomis su laipsniais seka
Norėdami lengvai suprasti klausimą, kaip sumažinti trupmeną laipsniais, turite tvirtai prisiminti pagrindinius veiksmus su jais. Pirmasis iš jų yra susijęs su galių dauginimu. Tokiu atveju, jei pagrindai yra vienodi, rodikliai turi būti pridėti.
Antrasis yra padalijimas. Vėlgi, tiems, kurie turi tą pačią bazę, rodiklius reikės atimti. Be to, reikia atimti iš dividendų skaičiaus, o ne atvirkščiai.
Trečias – eksponencija. Esant tokiai situacijai, rodikliai padauginami.
Sėkmingas mažinimas taip pat pareikalaus gebėjimo suderinti laipsnius iki tų pačių bazių. Tai yra, pamatyti, kad keturi yra du kvadratai. Arba 27 yra trijų kubas. Nes pjaustyti 9 kvadratus ir 3 kubelius yra sunku. Bet jei pirmąją išraišką transformuosime į (3 2) 2 , tada redukcija bus sėkminga.
Ši tema yra gana svarbi pagrindinėms trupmenų savybėms, visa kita matematika ir algebra yra paremta. Svarstomos frakcijų savybės, nepaisant jų svarbos, yra labai paprastos.
Suprasti pagrindinės trupmenų savybės apsvarstykite ratą.
Ant apskritimo matyti, kad 4 dalys arba yra nuspalvintos iš aštuonių galimų. Parašykite gautą trupmeną \(\frac(4)(8)\)
Kitas apskritimas rodo, kad viena iš dviejų galimų dalių yra užtamsinta. Parašykite gautą trupmeną \(\frac(1)(2)\)
Jei pažiūrėsime atidžiai, pamatysime, kad pirmuoju atveju, o antruoju atveju pusė apskritimo yra užtamsinta, todėl gautos trupmenos yra lygios \(\frac(4)(8) = \frac(1) (2)\), tai yra tas pats skaičius.
Kaip tai galima įrodyti matematiškai? Labai paprastai atsiminkite daugybos lentelę ir pirmąją trupmeną surašykite į veiksnius.
\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(raudona) (4))(2 \cdot \color(raudona) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \spalva(raudona) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \spalva(raudona)(1) = \frac(1)(2)\)
Ką mes padarėme? Atsižvelgėme į skaitiklį ir vardiklį \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), tada padalinome trupmenas \(\frac(1 ) (2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4))\). Keturi padalyti iš keturių yra 1, o vienas padaugintas iš bet kurio skaičiaus yra pats skaičius. Tai, ką padarėme aukščiau pateiktame pavyzdyje, vadinama frakcijų mažinimas.
Pažvelkime į kitą pavyzdį ir sumažinkime trupmeną.
\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(raudona) (2))(5 \cdot \color(raudona) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \spalva(raudona) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \spalva(raudona)(1) = \frac(3)(5)\)
Mes vėl nuspalvinome skaitiklį ir vardiklį į veiksnius ir tuos pačius skaičius sumažinome į skaitiklius ir vardiklius. Tai reiškia, kad du padalyti iš dviejų davė vieną, o padauginus iš bet kurio skaičiaus gaunamas toks pat skaičius.
Pagrindinė trupmenos savybė.
Tai reiškia pagrindinę trupmenos savybę:
Jei ir trupmenos skaitiklis, ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį), tai trupmenos reikšmė nepasikeis.
\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)
Taip pat vienu metu galite padalyti skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus.
Apsvarstykite pavyzdį:
\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \spalva(raudona) (2))(8 \div \spalva(raudona) (2)) = \frac(3)(4)\)
Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį), tai trupmenos reikšmė nepasikeis.
\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)
Vadinamos trupmenos, turinčios bendrus pirminius daliklius ir skaitikliuose, ir vardikliuose atšaukiamos trupmenos.
Atšaukimo pavyzdys: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)
Taip pat yra neredukuojamos trupmenos.
neredukuojama trupmena yra trupmena, kurios skaitikliuose ir vardikliuose nėra bendrų pirminių daliklių.
Neredukuojamos trupmenos pavyzdys: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)
Bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena, nes bet kuris skaičius dalijasi iš vieneto, Pavyzdžiui:
\(7 = \frac(7)(1)\)
Klausimai tema:
Kaip manote, ar galima sumažinti bet kurią dalį, ar ne?
Atsakymas: Ne, yra redukuojamos trupmenos ir neredukuojamos trupmenos.
Patikrinkite, ar lygybė teisinga: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Atsakymas: parašykite trupmeną \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\) taip sąžininga.
1 pavyzdys:
a) Raskite trupmeną, kurios vardiklis lygus trupmenai \(\frac(2)(3)\).
b) Raskite trupmeną, kurios skaitiklis yra 8, lygią trupmenai \(\frac(1)(5)\).
Sprendimas:
a) Reikia, kad vardiklis būtų skaičius 15. Dabar vardiklis yra skaičius 3. Iš kokio skaičiaus reikėtų padauginti skaičių 3, kad gautume 15? Prisiminkite daugybos lentelę 3⋅5. Turime naudoti pagrindinę trupmenų savybę ir padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį \(\frac(2)(3)\) iki 5.
\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)
b) Skaitiklyje mums reikia skaičiaus 8. Dabar skaitiklyje yra skaičius 1. Iš kokio skaičiaus reikia padauginti skaičių 1, kad gautume 8? Žinoma, 1⋅8. Turime naudoti pagrindinę trupmenų savybę ir padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį \(\frac(1)(5)\) iki 8. Gauname:
\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)
2 pavyzdys:
Raskite neredukuojamą trupmeną, lygią trupmenai: a) \(\frac(16)(36)\), b) \(\frac(10)(25)\).
Sprendimas:
A) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)
b) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)
3 pavyzdys:
Parašykite skaičių trupmena: a) 13 b) 123
Sprendimas:
A) \(13 = \frac(13) (1)\)
b) \(123 = \frac(123) (1)\)
Norėdami suprasti, kaip sumažinti trupmenas, pirmiausia pažvelkime į vieną pavyzdį.
Sumažinti trupmeną reiškia skaitiklį ir vardiklį padalyti iš to paties. Tiek 360, tiek 420 baigiasi skaičiumi, todėl šią trupmeną galime sumažinti 2. Naujoje trupmenoje 180 ir 210 taip pat dalijasi iš 2, šią trupmeną sumažiname iš 2. Skaičiuose 90 ir 105 suma skaitmenys dalijasi iš 3, todėl abu šie skaičiai dalijasi iš 3, trupmeną sumažiname 3. Naujoje trupmenoje 30 ir 35 baigiasi 0 ir 5, tai reiškia, kad abu skaičiai dalijasi iš 5, todėl sumažiname trupmena 5. Gauta trupmena, šešios septintos, yra neredukuojama. Tai yra galutinis atsakymas.
Mes galime gauti tą patį atsakymą kitu būdu.
Tiek 360, tiek 420 baigiasi nuliu, o tai reiškia, kad jie dalijasi iš 10. Sumažiname trupmeną iš 10. Naujoje trupmenoje tiek skaitiklis 36, tiek vardiklis 42 dalijami iš 2. Trupmeną sumažiname iš 2. sekanti trupmena, tiek skaitiklis 18, tiek vardiklis 21 dalinami iš 3, vadinasi, trupmeną sumažiname 3. Priėjome prie rezultato - šešios septintosios.
Ir dar vienas sprendimas.
Kitą kartą apsvarstysime trupmenų mažinimo pavyzdžius.
Taigi mes priėjome prie sumažinimo. Čia taikoma pagrindinė trupmenos savybė. BET! Ne taip paprasta. Su daugybe trupmenų (įskaitant ir iš mokyklos kurso) su jais visiškai įmanoma apsieiti. O jei trupmenas imsite „staigiau“? Sužinokime daugiau! Rekomenduoju žiūrėti į medžiagas su trupmenomis.Taigi, mes jau žinome, kad trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti ir padalyti iš to paties skaičiaus, trupmena nuo to nepasikeis. Apsvarstykite tris būdus:
Pirmas požiūris.
Norėdami sumažinti, padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš bendro daliklio. Apsvarstykite pavyzdžius:
Sutrumpinkime:
Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose iš karto matome, kuriuos daliklius reikia sumažinti. Procesas paprastas – kartojame per 2,3.4,5 ir pan. Daugumoje mokyklos kursų pavyzdžių to visiškai pakanka. Bet jei yra trupmena:
Čia skirstytuvų pasirinkimo procesas gali užsitęsti ilgai;). Žinoma, tokie pavyzdžiai yra už mokyklos programos ribų, tačiau reikia mokėti su jais susidoroti. Pažiūrėkime, kaip tai daroma toliau. Tuo tarpu grįžkite į mažinimo procesą.
Kaip aptarta aukščiau, norėdami sumažinti trupmeną, atlikome padalijimą pagal bendrą (-us) daliklį (-ius), kurį (-ius) apibrėžėme. Viskas teisinga! Tereikia pridėti skaičių dalijimosi ženklus:
Jei skaičius lyginis, jis dalijasi iš 2.
- jei paskutinių dviejų skaitmenų skaičius dalijasi iš 4, tada pats skaičius dalijasi iš 4.
- jei skaičių sudarančių skaitmenų suma dalijasi iš 3, tai pats skaičius dalijasi iš 3. Pavyzdžiui, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dvylika dalijasi iš 3, taigi 123031 dalijasi iš 3.
- jei skaičius baigiasi 5 arba 0, tada skaičius dalijasi iš 5.
- jei skaičių sudarančių skaitmenų suma dalijasi iš 9, tai pats skaičius dalijasi iš 9. Pavyzdžiui 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Aštuoniolika dalijasi iš 9, taigi 623032 dalijasi iš 9.
Antras požiūris.
Trumpai tariant, esmė, o iš tikrųjų visas veiksmas susideda iš skaitiklio ir vardiklio išskaidymo į veiksnius, o tada skaitiklio ir vardiklio lygių faktorių sumažinimą (šis metodas yra pirmojo požiūrio pasekmė):
Vizualiai, kad nesusipainiotumėte ir nesuklystumėte, lygūs daugikliai tiesiog nubraukiami. Kyla klausimas, kaip koeficientuoti skaičių? Išvardijant reikia nustatyti visus daliklius. Tai atskira tema, ji paprasta, pasižiūrėkite informaciją vadovėlyje ar internete. Jūs nesusidursite su didelių problemų dėl skaičių, esančių mokyklos kurso trupmenose, faktorizavimo.
Formaliai mažinimo principas gali būti parašytas taip:
Trečias požiūris.
Čia įdomiausia pažengusiems ir norintiems jais tapti. Sumažinkime trupmeną 143/273. Išbandykite patys! Na, kaip greitai tai atsitiko? O dabar žiūrėk!
Mes jį apverčiame (skaitiklis ir vardiklis keičiami). Gautą trupmeną padaliname į mišrų skaičių kampu, tai yra, pasirenkame visą dalį:
Jau lengviau. Matome, kad skaitiklį ir vardiklį galima sumažinti 13:
Ir dabar nepamirškite dar kartą apversti trupmeną, parašykime visą grandinę:
Patikrinta – užtrunka mažiau laiko nei daliklių paieška ir tikrinimas. Grįžkime prie mūsų dviejų pavyzdžių:
Pirmas. Padalijame iš kampo (ne skaičiuoklėje), gauname:
Ši dalis, žinoma, yra paprastesnė, tačiau vėl yra sumažinimo problema. Dabar mes atskirai analizuojame trupmeną 1273/1463, apverskite ją:
Čia jau lengviau. Tokį daliklį galime laikyti 19. Likusieji netelpa, matyti: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ura! Parašykime:
Kitas pavyzdys. Iškirpkime 88179/2717.
Padalijame, gauname:
Atskirai analizuojame frakciją 1235/2717, apverčiame:
Tokį daliklį galime laikyti 13 (iki 13 netinka):
Skaitiklis 247:13=19 Vardiklis 1235:13=95
* Proceso metu pamatėme dar vieną daliklį, lygų 19. Pasirodo, kad:
Dabar užrašykite pradinį numerį:
Ir nesvarbu, ko trupmenoje bus daugiau - skaitiklio ar vardiklio, jei vardiklis, tada apverčiame ir elgiamės taip, kaip aprašyta. Taigi galime sumažinti bet kurią trupmeną, trečiasis požiūris gali būti vadinamas universaliu.
Žinoma, du aukščiau aptarti pavyzdžiai nėra paprasti pavyzdžiai. Išbandykime šią technologiją su „paprastomis“ trupmenomis, kurias jau svarstėme:
Du ketvirtadaliai.
Septyniasdešimt du šešiasdešimtieji. Skaitiklis yra didesnis už vardiklį, nereikia apversti:
Žinoma, tokiems paprastiems pavyzdžiams buvo taikomas trečiasis metodas tiesiog kaip alternatyva. Metodas, kaip jau minėta, yra universalus, tačiau nėra patogus ir teisingas visoms frakcijoms, ypač paprastoms.
Frakcijų įvairovė didžiulė. Svarbu tiksliai išmokti principus. Tiesiog nėra griežtos darbo su trupmenomis taisyklės. Žiūrėjome, galvojome, kaip būtų patogiau elgtis ir judėti pirmyn. Praktikuodami įgūdžiai ateis ir jūs spustelėsite juos kaip sėklas.
Išvada:
Jei matote bendrą (-ius) skaitiklio ir vardiklio daliklį (-ius), naudokite juos, kad sumažintumėte.
Jei žinote, kaip greitai padalyti skaičių faktoriais, tada išskaidykite skaitiklį ir vardiklį, tada sumažinkite.
Jei niekaip negalite nustatyti bendro daliklio, naudokite trečiąjį metodą.
*Norint sumažinti trupmenas, svarbu išmokti redukavimo principus, suprasti pagrindinę trupmenos savybę, žinoti sprendimo būdus ir būti itin atidiems skaičiuojant.
Ir prisimink! Įprasta trupmeną sumažinti iki galo, tai yra sumažinti, kol yra bendras daliklis.
Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.