Šaknų savybės: formuluotės, įrodymai, pavyzdžiai. Šaknis ir jos savybės

Sveikiname: šiandien analizuosime šaknis – vieną labiausiai jaudinančių 8 klasės temų. :)

Daugelis žmonių susipainioja dėl šaknų ne dėl to, kad jos yra sudėtingos (o tai yra sudėtinga - pora apibrėžimų ir dar pora savybių), o todėl, kad daugumoje mokyklinių vadovėlių šaknys apibrėžiamos tokiais laukiniais, kad tik patys vadovėlių autoriai gali suprasti šį rašymą. Ir net tada tik su buteliu gero viskio. :)

Todėl dabar pateiksiu teisingiausią ir kompetentingiausią šaknies apibrėžimą - vienintelį, kurį tikrai reikia atsiminti. Ir tik tada paaiškinsiu: kodėl viso to reikia ir kaip tai pritaikyti praktikoje.

Tačiau pirmiausia atsiminkite vieną svarbų dalyką, kurį dėl kokių nors priežasčių daugelis vadovėlių rengėjų „pamiršta“:

Šaknys gali būti lyginio laipsnio (mūsų mėgstamiausias $\sqrt(a)$, taip pat visų rūšių $\sqrt(a)$ ir net $\sqrt(a)$) ir nelyginio laipsnio (bet koks $\sqrt(a)$, $\sqrt(a)$ ir kt.). Ir nelyginio laipsnio šaknies apibrėžimas šiek tiek skiriasi nuo lyginio.

Čia, šitame sušiktame „kiek kitaip“, slepiasi, ko gero, 95% visų klaidų ir nesusipratimų, susijusių su šaknimis. Taigi kartą ir visiems laikams išsiaiškinkime terminiją:

Apibrėžimas. Net šaknis n nuo skaičiaus $a$ yra bet koks ne neigiamas toks skaičius $b$, kad $((b)^(n))=a$. O nelyginio laipsnio šaknis iš to paties skaičiaus $a$ paprastai yra bet koks skaičius $b$, kuriam galioja ta pati lygybė: $((b)^(n))=a$.

Bet kokiu atveju šaknis žymima taip:

\(a)\]

Skaičius $n$ tokiame žymėjime vadinamas šaknies eksponentu, o skaičius $a$ – radikaliąja išraiška. Konkrečiai, už $n=2$ gauname savo „mėgstamiausią“ kvadratinę šaknį (beje, tai lyginio laipsnio šaknis), o už $n=3$ gauname kubinę šaknį (nelyginį laipsnį), kuri taip pat dažnai randama uždaviniuose ir lygtyse.

Pavyzdžiai. Klasikiniai kvadratinių šaknų pavyzdžiai:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(lygiuoti)\]

Beje, $\sqrt(0)=0$ ir $\sqrt(1)=1$. Tai gana logiška, nes $((0)^(2))=0$ ir $((1)^(2))=1$.

Kubinės šaknys taip pat dažnos - nebijokite jų:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(lygiuoti)\]

Na, pora „egzotiškų pavyzdžių“:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(lygiuoti)\]

Jei nesuprantate, kuo skiriasi lyginis ir nelyginis laipsnis, dar kartą perskaitykite apibrėžimą. Tai labai svarbu!

Tuo tarpu mes apsvarstysime vieną nemalonią šaknų savybę, dėl kurios reikėjo įvesti atskirą lyginių ir nelyginių eksponentų apibrėžimą.

Kam mums apskritai reikalingos šaknys?

Perskaitę apibrėžimą, daugelis mokinių paklaus: „Ką rūkė matematikai, kai tai sugalvojo? Ir iš tikrųjų: kam mums reikalingos visos šios šaknys?

Norėdami atsakyti į šį klausimą, trumpam grįžkime į pradinę mokyklą. Prisiminkite: tais tolimais laikais, kai medžiai buvo žalesni, o koldūnai skanesni, mūsų pagrindinis rūpestis buvo teisingai padauginti skaičius. Na, kažkas tokio „penki iš penkių – dvidešimt penki“, tai ir viskas. Bet juk skaičius galima padauginti ne poromis, o trynukais, keturiais ir apskritai ištisomis aibėmis:

\[\begin(lygiuoti) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end (lygiuoti)\]

Tačiau tai ne esmė. Gudrybė kitokia: matematikai yra tinginiai, todėl dešimties penketukų dauginimą jie turėjo užrašyti taip:

Taigi jie sugalvojo laipsnius. Kodėl faktorių skaičiaus neįrašius kaip viršutinį indeksą, o ne kaip ilgą eilutę? Kaip šis:

Tai labai patogu! Visi skaičiavimai sumažinami kelis kartus, ir jūs negalite išleisti krūvos pergamentinių sąsiuvinių lapų, kad užsirašytumėte 5 183 . Toks įrašas buvo vadinamas skaičiaus laipsniu, jame buvo rasta krūva savybių, tačiau laimė pasirodė trumpalaikė.

Po grandiozinio išgertuvės, kuri buvo surengta kaip tik dėl laipsnių „atradimo“, kažkoks ypač sužalotas matematikas staiga paklausė: „O jeigu žinome skaičiaus laipsnį, bet nežinome paties skaičiaus? Iš tiesų, jei žinome, kad, pavyzdžiui, tam tikras skaičius $b$ duoda 243 iki 5 laipsnio, kaip galime atspėti, kam yra lygus pats skaičius $b$?

Ši problema pasirodė daug globalesnė, nei gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio. Nes paaiškėjo, kad daugumai „gatavų“ laipsnių tokių „pradinių“ skaičių nėra. Spręskite patys:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\RightArrow b=4\cdot 4\cdot 4\RightArrow b=4. \\ \end(lygiuoti)\]

O kas, jei $((b)^(3)) = 50 $? Pasirodo, reikia rasti tam tikrą skaičių, kurį padauginus iš savęs tris kartus, gautume 50. Bet kas tai yra skaičius? Jis aiškiai didesnis nei 3, nes 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. T.y. šis skaičius yra kažkur tarp trijų ir keturių, bet kam jis lygus - FIG jūs suprasite.

Būtent todėl matematikai sugalvojo $n$-ąją šaknis. Štai kodėl buvo pristatyta radikali piktograma $\sqrt(*)$. Pažymėti tą patį skaičių $b$, kuris pagal nurodytą laipsnį duos mums anksčiau žinomą reikšmę

\[\sqrt[n](a)=b\Rodyklė dešinėn ((b)^(n))=a\]

Nesiginčiju: dažnai šios šaknys yra lengvai svarstomos – aukščiau matėme keletą tokių pavyzdžių. Tačiau daugeliu atvejų, jei galvojate apie savavališką skaičių ir bandote iš jo išgauti savavališko laipsnio šaknį, jūsų laukia žiaurus bėdas.

Kas ten! Netgi paprasčiausias ir žinomiausias $\sqrt(2)$ negali būti pavaizduotas mums įprasta forma – kaip sveikasis skaičius arba trupmena. Ir jei įvesite šį skaičių į skaičiuotuvą, pamatysite tai:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kaip matote, po kablelio yra begalinė skaičių seka, kuri nepaklūsta jokiai logikai. Žinoma, galite suapvalinti šį skaičių, kad greitai palygintumėte su kitais skaičiais. Pavyzdžiui:

\[\sqrt(2)=1,4142...\apytiksliai 1,4 \lt 1,5\]

Arba štai kitas pavyzdys:

\[\sqrt(3)=1,73205...\apytiksliai 1,7 \gt 1,5\]

Tačiau visi šie apvalinimai, pirma, yra gana grubūs; ir antra, reikia mokėti dirbti ir su apytiksliais dydžiais, antraip gali pasigauti krūvą neakivaizdžių klaidų (beje, lyginimo ir apvalinimo įgūdžiai būtinai tikrinami profilio egzamine).

Todėl rimtoje matematikoje negalima išsiversti be šaknų - jie yra vienodi visų realiųjų skaičių $\mathbb(R)$ aibės atstovai, kaip ir trupmenos bei sveikieji skaičiai, kuriuos mes jau seniai žinome.

Neįmanoma pateikti šaknies kaip formos $\frac(p)(q)$ trupmenos reiškia, kad ši šaknis nėra racionalus skaičius. Tokie skaičiai vadinami neracionaliais ir negali būti tiksliai pavaizduoti nebent naudojant radikalą ar kitas specialiai tam skirtas konstrukcijas (logaritmus, laipsnius, ribas ir pan.). Bet apie tai plačiau kitą kartą.

Apsvarstykite keletą pavyzdžių, kai po visų skaičiavimų atsakyme vis tiek liks neracionalūs skaičiai.

'

Natūralu, kad pagal šaknies išvaizdą beveik neįmanoma atspėti, kurie skaičiai bus po kablelio. Tačiau skaičiuoti galima ir skaičiuotuvu, tačiau net ir pažangiausia datos skaičiuoklė mums pateikia tik kelis pirmuosius neracionalaus skaičiaus skaitmenis. Todėl daug teisingiau atsakymus rašyti $\sqrt(5)$ ir $\sqrt(-2)$.

Tam jie buvo sugalvoti. Kad būtų lengviau užrašyti atsakymus.

Kodėl reikalingi du apibrėžimai?

Dėmesingas skaitytojas tikriausiai jau pastebėjo, kad visos pavyzdžiuose pateiktos kvadratinės šaknys paimtos iš teigiamų skaičių. Na, bent jau nuo nulio. Tačiau kubo šaknys ramiai išgaunamos iš absoliučiai bet kokio skaičiaus – net teigiamo, netgi neigiamo.

Kodėl tai vyksta? Pažvelkite į funkcijos $y=((x)^(2))$ grafiką:

Kvadratinės funkcijos grafikas pateikia dvi šaknis: teigiamą ir neigiamą

Pabandykime apskaičiuoti $\sqrt(4)$ naudodami šį grafiką. Tam grafike nubrėžiama horizontali linija $y=4$ (pažymėta raudonai), kuri kerta parabolę dviejuose taškuose: $((x)_(1))=2$ ir $((x)_(2))=-2$. Tai gana logiška, nes

Viskas aišku su pirmuoju skaičiumi - jis yra teigiamas, todėl tai yra šaknis:

Bet ką tada daryti su antruoju punktu? Ar 4 turi dvi šaknis vienu metu? Juk jei skaičių −2 padalinsime kvadratu, gausime ir 4. Kodėl tada neparašius $\sqrt(4)=-2$? O kodėl mokytojai į tokius įrašus žiūri taip, lyg norėtų tave suvalgyti? :)

Bėda ta, kad jei nebus keliamos papildomos sąlygos, tai ketvertukas turės dvi kvadratines šaknis – teigiamą ir neigiamą. Ir bet kuris teigiamas skaičius taip pat turės du iš jų. Bet neigiami skaičiai iš viso neturės šaknų - tai matyti iš to paties grafiko, nes parabolė niekada nenukrenta žemiau ašies y, t.y. nepriima neigiamų verčių.

Panaši problema iškyla visoms šaknims su lygiu eksponentu:

Griežtai kalbant, kiekvienas teigiamas skaičius turės dvi šaknis su lyginiu eksponentu $n$;
Iš neigiamų skaičių šaknis su net $n$ iš viso neišgaunama.

Štai kodėl lyginės šaknies $n$ apibrėžimas konkrečiai numato, kad atsakymas turi būti neneigiamas skaičius. Taip atsikratome dviprasmybių.

Tačiau nelyginiams $n$ tokios problemos nėra. Norėdami tai pamatyti, pažvelkime į funkcijos $y=((x)^(3))$ grafiką:

Kubinė parabolė įgyja bet kokią reikšmę, todėl kubo šaknį galima paimti iš bet kurio skaičiaus

Iš šio grafiko galima padaryti dvi išvadas:

Kubinės parabolės šakos, skirtingai nei įprastos, eina į begalybę abiem kryptimis – ir aukštyn, ir žemyn. Todėl, kad ir kokiame aukštyje nubrėžtume horizontalią liniją, ši linija tikrai susikirs su mūsų grafiku. Todėl kubo šaknį visada galima paimti absoliučiai iš bet kokio skaičiaus;
Be to, tokia sankryža visada bus unikali, todėl jums nereikės galvoti, kurį skaičių laikyti „teisinga“ šaknimi, o kurį – balą. Štai kodėl nelyginio laipsnio šaknų apibrėžimas yra paprastesnis nei lyginio (nėra neneigiamumo reikalavimo).

Gaila, kad daugumoje vadovėlių šie paprasti dalykai nepaaiškinami. Vietoj to, mūsų smegenys pradeda sklandyti su visomis aritmetinėmis šaknimis ir jų savybėmis.

Taip, aš nesiginčiju: kas yra aritmetinė šaknis – taip pat reikia žinoti. Ir apie tai išsamiai pakalbėsiu atskiroje pamokoje. Šiandien apie tai irgi pakalbėsime, nes be jos visi pamąstymai apie $n$-osios daugumos šaknis būtų neišsamūs.

Bet pirmiausia turite aiškiai suprasti apibrėžimą, kurį pateikiau aukščiau. Priešingu atveju dėl terminų gausos galvoje prasidės tokia netvarka, kad galiausiai išvis nieko nesuprasi.

Ir viskas, ką jums reikia suprasti, yra skirtumas tarp lyginių ir nelyginių skaičių. Todėl dar kartą surinksime viską, ką tikrai reikia žinoti apie šaknis:

Lyginė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus ir pati visada yra neneigiamas skaičius. Neigiamų skaičių tokia šaknis neapibrėžta.

Tačiau nelyginio laipsnio šaknis egzistuoja iš bet kurio skaičiaus ir pati gali būti bet koks skaičius: teigiamiems skaičiams jis yra teigiamas, o neigiamiems skaičiams, kaip rodo viršutinė riba, neigiama.

Ar tai sunku? Ne, tai nėra sunku. Tai aišku? Taip, tai akivaizdu! Todėl dabar šiek tiek pasipraktikuosime su skaičiavimais.

Pagrindinės savybės ir apribojimai

Šaknys turi daug keistų savybių ir apribojimų – tai bus atskira pamoka. Todėl dabar mes apsvarstysime tik svarbiausią „lustą“, kuris taikomas tik šaknims su lygiu eksponentu. Šią savybę užrašome formulės forma:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

Kitaip tariant, jei skaičių padidinsime iki lyginės laipsnio, o iš to ištrauksime to paties laipsnio šaknį, gausime ne pradinį skaičių, o jo modulį. Tai paprasta teorema, kurią nesunku įrodyti (pakanka atskirai apsvarstyti neneigiamus $x$, o tada atskirai apsvarstyti neigiamus). Mokytojai apie tai nuolat kalba, tai pateikiama kiekviename mokykliniame vadovėlyje. Tačiau kai tik reikia išspręsti neracionalias lygtis (t. y. lygtis, kuriose yra radikalo ženklas), mokiniai kartu pamiršta šią formulę.

Norėdami išsamiai suprasti problemą, minutei pamirškime visas formules ir pabandykite suskaičiuoti du skaičius į priekį:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Tai labai paprasti pavyzdžiai. Pirmąjį pavyzdį išspręs dauguma žmonių, bet antruoju – daugelis. Kad be problemų išspręstumėte tokius nešvarumus, visada apsvarstykite procedūrą:

Pirma, skaičius padidinamas iki ketvirtosios laipsnio. Na, tai kažkaip lengva. Bus gautas naujas skaičius, kurį galima rasti net daugybos lentelėje;
Ir dabar iš šio naujo skaičiaus reikia išgauti ketvirtojo laipsnio šaknį. Tie. nėra šaknų ir laipsnių „sumažinimo“ – tai nuoseklūs veiksmai.

Panagrinėkime pirmą išraišką: $\sqrt(((3)^(4)))$. Akivaizdu, kad pirmiausia turite apskaičiuoti išraišką po šaknimi:

\[((3)^(4))=3\ctaškas 3\ctaškas 3\ctaškas 3=81\]

Tada ištraukiame ketvirtąją skaičiaus 81 šaknį:

Dabar padarykime tą patį su antrąja išraiška. Pirmiausia skaičių −3 pakeliame iki ketvirtosios laipsnio, kuriam reikia jį padauginti iš savęs 4 kartus:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)=81\]

Gavome teigiamą skaičių, nes bendras minusų skaičius gaminyje yra 4 vnt., ir jie visi vienas kitą panaikins (juk minusas prie minuso duoda pliusą). Tada dar kartą ištraukite šaknį:

Iš principo šios eilutės nebūtų galima parašyti, nes nenuostabu, kad atsakymas bus toks pat. Tie. tos pačios lygiosios galios lygi šaknis „sudegina“ minusus, ir šia prasme rezultatas nesiskiria nuo įprasto modulio:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \dešinė|=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Šie skaičiavimai gerai sutampa su lyginio laipsnio šaknies apibrėžimu: rezultatas visada yra neneigiamas, o radikalinis ženklas taip pat visada yra neneigiamas skaičius. Priešingu atveju šaknis nėra apibrėžta.

Pastaba dėl operacijų tvarkos

Žymėjimas $\sqrt(((a)^(2)))$ reiškia, kad iš pradžių skaičių $a$ paimame kvadratu, o tada paimame gautos reikšmės kvadratinę šaknį. Todėl galime būti tikri, kad neneigiamas skaičius visada yra po šaknies ženklu, nes $((a)^(2))\ge 0$ vis tiek;
Tačiau žymėjimas $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, priešingai, reiškia, kad iš tam tikro skaičiaus $a$ pirmiausia ištraukiame šaknį ir tik po to rezultatą kvadratu. Todėl skaičius $a$ jokiu būdu negali būti neigiamas – tai privalomas reikalavimas, įtrauktas į apibrėžimą.

Taigi jokiu būdu nereikėtų neapgalvotai mažinti šaknų ir laipsnių, taip tariamai „supaprastinant“ pirminę išraišką. Nes jei po šaknimi yra neigiamas skaičius, o jo rodiklis lyginis, gausime daug problemų.

Tačiau visos šios problemos aktualios tik lygiems rodikliams.

Minuso ženklo pašalinimas iš po šaknies ženklo

Natūralu, kad šaknys su nelyginiais rodikliais taip pat turi savo bruožą, kurio iš principo lyginiams neegzistuoja. Būtent:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Trumpai tariant, iš po nelyginio laipsnio šaknų ženklo galite išimti minusą. Tai labai naudinga savybė, leidžianti „išmesti“ visus minusus:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2. \end(lygiuoti)\]

Ši paprasta savybė labai supaprastina daugelį skaičiavimų. Dabar jums nereikia jaudintis: o jei neigiama išraiška pateko po šaknimi, o laipsnis šaknyje pasirodė lygus? Užtenka visus minusus „išmesti“ už šaknų ribų, po to juos galima dauginti vienas po kito, padalinti ir apskritai padaryti daug įtartinų dalykų, kurie „klasikinių“ šaknų atveju garantuotai prives mus prie klaidos.

Ir čia pasirodo kitas apibrėžimas – tas pats, kuriuo dauguma mokyklų pradeda neracionalių posakių tyrimą. Ir be kurio mūsų samprotavimai būtų neišsamūs. Susitikti!

aritmetinė šaknis

Trumpam manykime, kad po šaknies ženklu gali būti tik teigiami skaičiai arba, kraštutiniais atvejais, nulis. Įvertinkime lyginius / nelyginius rodiklius, įvertinkime visus aukščiau pateiktus apibrėžimus – dirbsime tik su neneigiamais skaičiais. Kas tada?

Ir tada gauname aritmetinę šaknį – ji iš dalies susikerta su mūsų „standartiniais“ apibrėžimais, bet vis tiek skiriasi nuo jų.

Apibrėžimas. Neneigiamo skaičiaus $a$ $n$-ojo laipsnio aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius $b$, kad $((b)^(n))=a$.

Kaip matote, mūsų nebedomina paritetas. Vietoj to atsirado naujas apribojimas: radikali išraiška dabar visada yra neneigiama, o pati šaknis taip pat yra neneigiama.

Norėdami geriau suprasti, kuo aritmetinė šaknis skiriasi nuo įprastos, pažvelkite į mums jau žinomus kvadratinės ir kubinės parabolės grafikus:

Šaknies paieškos sritis – neneigiami skaičiai

Kaip matote, nuo šiol mus domina tik tie grafikų fragmentai, kurie yra pirmajame koordinačių ketvirtyje – kur koordinatės $x$ ir $y$ yra teigiamos (arba bent jau nulis). Jums nebereikia žiūrėti į indikatorių, kad suprastumėte, ar mes turime teisę įšaknyti neigiamą skaičių, ar ne. Nes neigiami skaičiai iš esmės nebelaikomi.

Galite paklausti: „Na, kam mums reikia tokio kastruoto apibrėžimo? Arba: „Kodėl mes negalime susitvarkyti su aukščiau pateiktu standartiniu apibrėžimu?

Na, aš duosiu tik vieną savybę, dėl kurios naujas apibrėžimas tampa tinkamas. Pavyzdžiui, eksponentiškumo taisyklė:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Atkreipkite dėmesį: radikaliąją išraišką galime pakelti iki bet kokios laipsnio ir tuo pačiu padauginti šaknies eksponentą iš tos pačios laipsnio – ir rezultatas bus toks pat! Štai keletas pavyzdžių:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^(4)))=\sqrt(16) \\ \end(lygiuoti)\]

Na, kas čia blogo? Kodėl negalėjome to padaryti anksčiau? Štai kodėl. Apsvarstykite paprastą išraišką: $\sqrt(-2)$ yra skaičius, kuris yra gana normalus mūsų klasikine prasme, bet visiškai nepriimtinas aritmetinės šaknies požiūriu. Pabandykime konvertuoti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(lygiuoti)$

Kaip matote, pirmuoju atveju iš po radikalo išėmėme minusą (turime visas teises, nes rodiklis nelyginis), o antruoju panaudojome aukščiau pateiktą formulę. Tie. matematikos požiūriu viskas daroma pagal taisykles.

WTF?! Kaip tas pats skaičius gali būti teigiamas ir neigiamas? Negali būti. Tiesiog eksponencijos formulė, kuri puikiai tinka teigiamiems skaičiams ir nuliui, neigiamų skaičių atveju pradeda kelti visišką ereziją.

Čia, norėdami atsikratyti tokio neaiškumo, jie sugalvojo aritmetines šaknis. Jiems skirta atskira didelė pamoka, kurioje išsamiai aptariame visas jų savybes. Taigi dabar ties jais nesigilinsime – pamoka vis tiek pasirodė per ilga.

Algebrinė šaknis: norintiems sužinoti daugiau

Ilgai galvojau: padaryti šią temą atskira pastraipa ar ne. Galiausiai nusprendžiau čia išvykti. Ši medžiaga skirta tiems, kurie nori dar geriau suprasti šaknis – jau ne vidutiniame „mokykliniame“, o olimpiadai artimame lygyje.

Taigi: be „klasikinio“ $n$-ojo laipsnio šaknies iš skaičiaus apibrėžimo ir su juo susijusio skirstymo į lyginius ir nelyginius rodiklius, yra ir labiau „suaugusiųjų“ apibrėžimas, kuris visiškai nepriklauso nuo pariteto ir kitų subtilybių. Tai vadinama algebrine šaknimi.

Apibrėžimas. Bet kurio $a$ algebrinė $n$-oji šaknis yra visų skaičių $b$ rinkinys, kad $((b)^(n))=a$. Tokioms šaknims nėra nusistovėjusio pavadinimo, todėl tiesiog uždėkite brūkšnį viršuje:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left$b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right$\]

Esminis skirtumas nuo standartinio apibrėžimo, pateikto pamokos pradžioje, yra tas, kad algebrinė šaknis yra ne konkretus skaičius, o aibė. Kadangi dirbame su tikraisiais skaičiais, šis rinkinys yra tik trijų tipų:

Tuščias komplektas. Atsiranda, kai reikia rasti lyginio laipsnio algebrinę šaknį iš neigiamo skaičiaus;
Rinkinys, susidedantis iš vieno elemento. Į šią kategoriją patenka visos nelyginių galių šaknys, taip pat lyginių galių šaknys nuo nulio;
Galiausiai aibėje gali būti du skaičiai – tie patys $((x)_(1))$ ir $((x)_(2))=-((x)_(1))$, kuriuos matėme kvadratinės funkcijos grafike. Atitinkamai, toks lygiavimas galimas tik iš teigiamo skaičiaus išimant lyginio laipsnio šaknį.

Paskutinis atvejis nusipelno išsamesnio svarstymo. Suskaičiuokime keletą pavyzdžių, kad suprastume skirtumą.

Pavyzdys. Apskaičiuokite išraiškas:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Sprendimas. Pirmoji išraiška paprasta:

\[\overline(\sqrt(4))=\left$ 2;-2 \right$\]

Tai du skaičiai, kurie yra rinkinio dalis. Nes kiekvienas iš jų kvadratu duoda ketvertą.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left$ -3 \right$\]

Čia matome rinkinį, kurį sudaro tik vienas skaičius. Tai gana logiška, nes šaknies rodiklis yra nelyginis.

Galiausiai paskutinė išraiška:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Turime tuščią rinkinį. Nes nėra nė vieno realaus skaičiaus, kurį padidinus iki ketvirtosios (tai yra lyginės!) galios, gautume neigiamą skaičių −16.

Baigiamoji pastaba. Atkreipkite dėmesį: neatsitiktinai visur pažymėjau, kad dirbame su tikraisiais skaičiais. Kadangi yra ir kompleksinių skaičių - ten visiškai įmanoma suskaičiuoti $\sqrt(-16)$ ir daug kitų keistų dalykų.

Tačiau šiuolaikinėje mokyklinėje matematikos programoje sudėtingų skaičių beveik niekada nerandama. Daugumoje vadovėlių jie buvo praleisti, nes mūsų pareigūnai mano, kad ši tema „per sunkiai suprantama“.

Su ir natūralusis skaičius n 2 .

Sudėtingas skaičius Z paskambino šaknisn– c, Jei Z n = c.

Raskite visas šaknines reikšmes n– laipsnis nuo kompleksinio skaičiaus Su. Leisti c=| c|·(cos Arg c+ i· nuodėmė ArgSu), A Z = | Z|·(suos Arg Z + i· nuodėmė Arg Z) , Kur Zšaknis n- laipsnis nuo kompleksinio skaičiaus Su. Tada turi būti = c = | c|·(cos Arg c+ i· nuodėmė ArgSu). Iš to išplaukia
Ir n· Arg Z = ArgSu
Arg Z =
(k=0,1,…) . Vadinasi, Z =
(cos
+ i· nuodėmė
), (k=0,1,…) . Nesunku pastebėti, kad bet kuri iš vertybių
, (k=0,1,…) skiriasi nuo vienos iš atitinkamų reikšmių
,(k = 0,1,…, n-1) į daugkartinį 2π. Štai kodėl , (k = 0,1,…, n-1) .

Pavyzdys.

Apskaičiuokite (-1) šaknį.

, aišku |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (cos π + i· nuodėmė π )

, (k = 0, 1).

= i

Laipsnis su savavališku racionaliuoju rodikliu

Paimkite savavališką kompleksinį skaičių Su. Jeigu n tada natūralusis skaičius Su n = | c| n ·(Suos nArgsu +i· nuodėmė nArgSu)(6). Ši formulė galioja ir šiuo atveju n = 0 (c≠0)
. Leisti n < 0 Ir n Z Ir c ≠ 0, Tada

Su n =
(nes nArgSu+i sin nArgSu) = (nes nArgSu+ i sin nArgSu) . Taigi (6) formulė galioja bet kuriai n.

Paimkime racionalų skaičių , Kur q natūralusis skaičius ir R yra sveikasis skaičius.

Tada po laipsnį c r Supraskime skaičių
.

Mes tai gauname ,

(k = 0, 1, …, q-1). Šios vertybės q vienetų, jei frakcija nesumažėjusi.

Paskaita №3 Kompleksinių skaičių sekos riba

Vadinama kompleksinės reikšmės natūralaus argumento funkcija kompleksinių skaičių seka ir žymimas (Su n ) arba Su 1 , Su 2 , ..., Su n . Su n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) kompleksiniai skaičiai.

Su 1 , Su 2 , … - sekos nariai; Su n - bendras narys

Sudėtingas skaičius Su = a+ b· i paskambino kompleksinių skaičių sekos riba (c n ) , Kur Su n = a n + b n · i (n = 1, 2, …) , kur bet

, tai visiems n > N nelygybę
. Seka, kuri turi baigtinę ribą, vadinama susiliejantys seka.

Teorema.

Kad kompleksinių skaičių seka (su n ) (Su n = a n + b n · i) suartėjo į skaičių su = a+ b· i, yra būtinas ir pakankamas lygybeilim a n = a, lim b n = b.

Įrodymas.

Teoremą įrodysime remdamiesi tokia akivaizdžia dviguba nelygybe

, Kur Z = x + y· i (2)

Būtinybė. Leisti lim(Su n ) = su. Parodykime, kad lygybės lim a n = a Ir lim b n = b (3).

Aišku (4)

Nes
, Kada n → ∞ , tada iš kairės nelygybės (4) pusės išplaukia, kad
Ir
, Kada n → ∞ . todėl galioja lygybės (3). Poreikis įrodytas.

Tinkamumas. Dabar tegul galioja lygybės (3). Iš lygybės (3) išplaukia, kad
Ir
, Kada n → ∞ , todėl dėl dešinės nelygybės (4) pusės bus
, Kada n→∞ , Reiškia lim(Su n )=s. Pakankamas įrodytas.

Taigi kompleksinių skaičių sekos konvergencijos klausimas yra tolygus dviejų realiųjų skaičių sekų konvergencijai, todėl visos pagrindinės realiųjų skaičių sekos ribų savybės taikomos kompleksinių skaičių sekoms.

Pavyzdžiui, kompleksinių skaičių sekoms galioja Koši kriterijus: kad būtų sukurta kompleksinių skaičių seka (su n ) suartėjo, būtina ir pakanka, kad bet kuriai

, kad bet kuriain, m > Nnelygybę
.

Teorema.

Tegul kompleksinių skaičių seka (su n ) Ir (z n ) susilieja atitinkamai su irz, tada lygybėlim(Su n z n ) = c z, lim(Su n · z n ) = c· z. Jei tai tikrai žinomaznėra lygus 0, tada lygybė
.

Pamokos scenarijus 11 klasėje tema:

n-oji tikrojo skaičiaus šaknis. »

Pamokos tikslas: Mokiniuose formuojasi holistinis požiūris į šaknį n-ojo laipsnio ir n-ojo laipsnio aritmetinė šaknis, skaičiavimo įgūdžių formavimas, įgūdžiai sąmoningai ir racionaliai panaudoti šaknies savybes sprendžiant įvairias problemas, kuriose yra radikalas. Patikrinti studentų temos klausimų įsisavinimo lygį.

Tema:sudaryti prasmingas ir organizacines sąlygas medžiagai šia tema įsisavinti “ Skaitmeninės ir abėcėlinės išraiškos » suvokimo, supratimo ir pirminio įsiminimo lygmenyje; suformuoti galimybę taikyti šią informaciją skaičiuojant n-ojo laipsnio šaknį iš realaus skaičiaus;

Metasubject: skatinti kompiuterinių įgūdžių ugdymą; gebėjimas analizuoti, lyginti, apibendrinti, daryti išvadas;

Asmeninis: ugdyti gebėjimą reikšti savo požiūrį, įsiklausyti į kitų atsakymus, dalyvauti dialoge, formuoti pozityvaus bendradarbiavimo gebėjimą.

Planuojamas rezultatas.

Tema: mokėti taikyti n-ojo laipsnio šaknies savybes iš tikrojo skaičiaus realios situacijos procese skaičiuojant šaknis, sprendžiant lygtis.

Asmeninis: formuoti dėmesingumą ir skaičiavimo tikslumą, reiklų požiūrį į save ir savo darbą, ugdyti savitarpio pagalbos jausmą.

Pamokos tipas: mokymosi ir pirminio naujų žinių įtvirtinimo pamoka

Motyvacija mokymosi veiklai:

Rytų išmintis sako: „Galite vesti arklį prie vandens, bet negalite jo priversti gerti“. Ir neįmanoma priversti žmogaus gerai mokytis, jei jis pats nesistengia mokytis daugiau, neturi noro dirbti su savo psichine raida. Juk žinios yra tik žinios, kai jos įgyjamos minties pastangomis, o ne vien atmintimi.

Mūsų pamoka vyks šūkiu: „Mes įveiksime bet kurią viršūnę, jei jos sieksime“. Pamokos metu jūs ir aš turime turėti laiko įveikti kelias viršūnes, ir kiekvienas iš jūsų turite įdėti visas pastangas, kad įveiktumėte šias viršūnes.

„Šiandien turime pamoką, kurioje turime susipažinti su nauja sąvoka „n-ojo laipsnio šaknis“ ir išmokti šią sąvoką pritaikyti įvairiems posakiams transformuoti.

Jūsų tikslas – suaktyvinti turimas žinias įvairių darbo formų pagrindu, prisidėti prie medžiagos studijavimo ir gauti gerus pažymius.
8 klasėje tyrėme tikrojo skaičiaus kvadratinę šaknį. Kvadratinė šaknis yra susijusi su rodinio funkcija y=x 2. Vaikinai, ar prisimenate, kaip skaičiavome kvadratines šaknis ir kokias savybes jis turėjo?
a) individuali apklausa:

kokia tai išraiška

kas yra kvadratinė šaknis

kas yra aritmetinė kvadratinė šaknis

išvardykite kvadratinės šaknies savybes

b) dirbkite poromis: apskaičiuokite.

2. Žinių atnaujinimas ir probleminės situacijos kūrimas: Išspręskite lygtį x 4 =1. Kaip mes galime tai išspręsti? (Analitiškai ir grafiškai). Išspręskime grafiškai. Norėdami tai padaryti, vienoje koordinačių sistemoje sudarome funkcijos y \u003d x 4 tiesės y \u003d 1 grafiką (164 pav. a). Jie susikerta dviejuose taškuose: A (-1;1) ir B(1;1). Taškų A ir B abscisės, t.y. x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1, yra lygties x 4 \u003d 1 šaknys.
Ginčiuodami tuo pačiu būdu, randame lygties x 4 \u003d 16 šaknis: Dabar pabandykime išspręsti lygtį x 4 \u003d 5; geometrinė iliustracija parodyta fig. 164 b. Akivaizdu, kad lygtis turi dvi šaknis x 1 ir x 2, o šie skaičiai, kaip ir dviem ankstesniais atvejais, yra priešingi. Tačiau pirmųjų dviejų lygčių šaknys buvo rastos be vargo (jas buvo galima rasti nenaudojant grafikų), o su lygtimi x 4 \u003d 5 yra problemų: pagal brėžinį negalime nurodyti šaknų reikšmių, tačiau galime tik nustatyti, kad viena šaknis yra į dešinę nuo taško -1 ir į kairę nuo taško -1.

x 2 \u003d - (skaitykite: „ketvirtoji šaknis iš penkių“).

Kalbėjome apie lygtį x 4 \u003d a, kur a 0. Esant vienodai sėkmingai, galėtume kalbėti apie lygtį x 4 \u003d a, kur a 0 ir n yra bet koks natūralusis skaičius. Pavyzdžiui, grafiškai išsprendę lygtį x 5 \u003d 1, randame x \u003d 1 (165 pav.); išsprendę lygtį x 5 "= 7, nustatome, kad lygtis turi vieną šaknį x 1, kuri yra x ašyje šiek tiek į dešinę nuo taško 1 (žr. 165 pav.). Skaičiui x 1 įvedame žymėjimą.

1 apibrėžimas. Neneigiamo skaičiaus a (n = 2, 3,4, 5, ...) n-ojo laipsnio šaknis yra neneigiamas skaičius, kurį pakėlus iki n laipsnio, gaunamas skaičius a.

Šis skaičius žymimas, skaičius a vadinamas šaknies skaičiumi, o skaičius n yra šaknies indeksas.
Jei n = 2, tada paprastai sakoma ne „antrojo laipsnio šaknis“, o „kvadratinė šaknis“. Šiuo atveju jie nerašo. Tai yra ypatingas atvejis, kurį specialiai mokėtės 8 klasės algebros kurse.

Jei n \u003d 3, tada vietoj „trečiojo laipsnio šaknies“ dažnai sakoma „kubo šaknis“. Pirmoji Jūsų pažintis su kubo šaknimi taip pat įvyko 8 klasės algebros kurse. 9 klasės algebros kurse naudojome kubinę šaknį.

Taigi, jei a ≥0, n= 2,3,4,5,…, tai 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Apskritai =b ir b n =a – tas pats ryšys tarp neneigiamų skaičių a ir b, tačiau antrasis aprašomas paprastesne kalba (naudojami paprastesni simboliai) nei pirmasis.

Neneigiamo skaičiaus šaknies radimo operacija paprastai vadinama šaknies išskyrimu. Ši operacija yra priešinga padidinimui iki atitinkamos galios. Palyginti:

Dar kartą atkreipkite dėmesį: lentelėje rodomi tik teigiami skaičiai, nes tai nurodyta 1 apibrėžime. Ir nors, pavyzdžiui, (-6) 6 \u003d 36 yra teisinga lygybė, pereikite nuo jos prie žymėjimo naudodami kvadratinę šaknį, t.y. rašyk ko negali. Pagal apibrėžimą – teigiamas skaičius, taigi = 6 (o ne -6). Lygiai taip pat, nors 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16, pereinant prie šaknų ženklų, turime parašyti \u003d 2 (ir tuo pačiu metu ≠-2).

Kartais posakis vadinamas radikalu (iš lotyniško žodžio gadix – „šaknis“). Rusų kalboje terminas radikalus vartojamas gana dažnai, pavyzdžiui, „radikalūs pokyčiai“ reiškia „radikalūs pokyčiai“. Beje, pats šaknies pavadinimas primena žodį gadix: simbolis yra stilizuota r raidė.

Šaknies išskyrimo operacija taip pat nustatoma neigiamam šaknies skaičiui, bet tik nelyginio šaknies eksponento atveju. Kitaip tariant, lygtis (-2) 5 = -32 gali būti perrašyta lygiaverte forma kaip =-2. Čia naudojamas toks apibrėžimas.

2 apibrėžimas. Nelyginio laipsnio n šaknis iš neigiamo skaičiaus a (n = 3,5, ...) yra neigiamas skaičius, kurį pakėlus iki laipsnio n, gaunamas skaičius a.

Šis skaičius, kaip ir 1 apibrėžime, žymimas , skaičius a yra šakninis skaičius, skaičius n yra šaknies indeksas.
Taigi, jei a, n=,5,7,…, tai: 1) 0; 2) () n = a.

Taigi lygioji šaknis turi prasmę (t. y. yra apibrėžta) tik neneigiamai radikaliai išraiškai; nelyginė šaknis turi prasmę bet kokiai radikaliai išraiškai.

5. Pirminis žinių įtvirtinimas:

1. Apskaičiuoti: Nr.33,5; 33,6; 33,74 33,8 žodžiu a) ; b) ; V); G) .

d) Skirtingai nei ankstesniuose pavyzdžiuose, negalime nurodyti tikslios skaičiaus reikšmės. Aišku tik tai, kad jis didesnis nei 2, bet mažesnis nei 3, nes 2 4 \u003d 16 (tai yra mažiau nei 17) ir 3 4 \u003d 81 (tai yra daugiau nei 17). Atminkite, kad 24 yra daug arčiau 17 nei 34, todėl yra pagrindo naudoti apytikslį lygybės ženklą:
2. Raskite šių išraiškų reikšmes.

Šalia pavyzdžio padėkite atitinkamą raidę.

Šiek tiek informacijos apie didįjį mokslininką. Renė Dekartas (1596-1650) prancūzų didikas, matematikas, filosofas, fiziologas, mąstytojas. Rene Descartes padėjo analitinės geometrijos pagrindus, įvedė raidžių žymėjimus x 2 , y 3 . Visi žino Dekarto koordinates, kurios apibrėžia kintamojo funkciją.

3 . Išspręskite lygtis: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Sprendimas: a) Jei = -2, tai y = -8. Tiesą sakant, mes turime kubuoti abi pateiktos lygties dalis. Gauname: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Argumentuodami kaip pavyzdyje a), pakeliame abi lygties puses į ketvirtąjį laipsnį. Gauname: x=1.

c) Čia nereikia kelti į ketvirtą laipsnį, ši lygtis neturi sprendinių. Kodėl? Kadangi pagal 1 apibrėžimą lyginio laipsnio šaknis yra neneigiamas skaičius.
Jūsų dėmesiui yra keletas užduočių. Atlikę šias užduotis sužinosite didžiojo matematiko vardą ir pavardę. Šis mokslininkas 1637 metais pirmasis įvedė šaknies ženklą.

6. Pailsėkime.

Klasė iškelia rankas – tai „laikas“.

Galva pasisuko – tai „du“.

Nuleiskite rankas, žiūrėkite į priekį – tai „trys“.

Rankos pasuktos plačiau į šonus ant „keturių“,

Prispausti juos prie rankų jėga yra „penki“.

Visi vaikinai turi susėsti – tai yra „šeši“.

7. Savarankiškas darbas:

variantas: 2 variantai:

b) 3-. b) 12 -6.

2. Išspręskite lygtį: a) x 4 \u003d -16; b) 0,02x6 -1,28=0; a) x 8 \u003d -3; b) 0,3 x 9 - 2,4 \u003d 0;

c) = -2; c) = 2

8. Kartojimas: Raskite lygties = - x šaknį. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakyme parašykite mažesnę iš šaknų.

9. Atspindys: Ko išmokote pamokoje? Kas buvo įdomu? Kas buvo sunku?

Pamokos tikslai:

edukacinis: sudaryti sąlygas formuotis holistiniam požiūriui į n-ojo laipsnio šaknį, sąmoningo ir racionalaus šaknies savybių panaudojimo sprendžiant įvairias problemas įgūdžius.

Švietimo: sudaryti sąlygas lavintis algoritminiam, kūrybiniam mąstymui, ugdyti savikontrolės įgūdžius.

Švietimo: skatinti domėjimosi dalyku, veikla ugdymą, ugdyti tikslumą darbe, gebėjimą reikšti savo nuomonę, teikti rekomendacijas.

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas.

Laba diena Gera valanda!

Kaip aš džiaugiuosi tave matydamas.

Varpas jau suskambo

Pamoka prasideda.

Jie nusišypsojo. Išlygintas.

žiūrėjo vienas į kitą

Ir jie tyliai atsisėdo.

2. Pamokos motyvacija.

Įžymus prancūzų filosofas, mokslininkas Blaise'as Pascalis teigė: „Žmogaus didybė yra jo gebėjimas mąstyti“. Šiandien bandysime pasijusti puikiais žmonėmis, patys atrasdami žinias. Šiandienos pamokos šūkis bus senovės graikų matematiko Thaleso žodžiai:

Kas yra labiausiai pasaulyje? - Kosmosas.

Kas yra greičiausias? - Protas.

Kas yra išmintingiausias? - Laikas.

Kas yra maloniausia? - Pasiekite tai, ko norite.

Noriu, kad kiekvienas iš jūsų šiandienos pamokoje pasiektų norimą rezultatą.

3. Žinių aktualizavimas.

1. Pavadinkite abipusiai atvirkštines algebrines operacijas su skaičiais. (Sudėtis ir atimtis, daugyba ir dalyba)

2. Ar visada galima atlikti tokią algebrinę operaciją kaip dalyba? (Ne, jūs negalite padalyti iš nulio)

3. Kokią dar operaciją galite atlikti su skaičiais? (Dauginimas)

4. Kokia operacija bus jos atvirkštinė? (šaknies ištraukimas)

5. Kokio laipsnio šaknį galite išgauti? (Antra šaknis)

6. Kokias kvadratinės šaknies savybes žinote? (Kvadratinės šaknies išskyrimas iš sandaugos, iš koeficiento, iš šaknies, eksponencija)

7. Raskite posakių reikšmes:

Iš istorijos. Dar prieš 4000 metų Babilono mokslininkai kartu su daugybos ir atsakomųjų skaičių lentelėmis (kurių pagalba skaičių dalyba buvo sumažinta iki daugybos) sudarė skaičių kvadratų ir skaičių kvadratinių šaknų lenteles. Tuo pačiu metu jie sugebėjo rasti apytikslę bet kurio sveikojo skaičiaus kvadratinės šaknies vertę.

4. Naujos medžiagos mokymasis.

Akivaizdu, kad pagal pagrindines laipsnių savybes su natūraliaisiais eksponentais iš bet kurio teigiamo skaičiaus yra dvi priešingos lyginio laipsnio šaknies reikšmės, pavyzdžiui, skaičiai 4 ir -4 yra kvadratinės šaknys iš 16, nes (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16, o skaičiai 1 yra 1 šaknis 3 ir (0) nuo 3. 4 \u003d 81.

Be to, nėra net neigiamo skaičiaus šaknies, nes bet kurio realaus skaičiaus lyginė galia yra neneigiama. Kalbant apie nelyginio laipsnio šaknį, bet kurio realaus skaičiaus yra tik viena nelyginio laipsnio šaknis iš šio skaičiaus. Pavyzdžiui, 3 yra trečioji šaknis iš 27, nes Z3 = 27, o -2 yra penktoji šaknis iš -32, nes (-2)5 = 32.

Kalbant apie dviejų lyginio laipsnio šaknų egzistavimą iš teigiamo skaičiaus, mes pristatome aritmetinės šaknies sąvoką, kad pašalintume šį šaknies dviprasmiškumą.

Neneigiamo skaičiaus n-osios šaknies neneigiama reikšmė vadinama aritmetine šaknimi.

Pavadinimas: - n-ojo laipsnio šaknis.

Skaičius n vadinamas aritmetinės šaknies laipsniu. Jei n = 2, tada šaknies laipsnis nenurodomas ir rašomas. Antrojo laipsnio šaknis vadinama kvadratine, o trečiojo laipsnio šaknis vadinama kubine.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bp = a, p - net a ≥ 0, b ≥ 0

p - nelyginis a, b - bet koks

Savybės

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b > 0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k – natūralieji skaičiai

5. Naujos medžiagos konsolidavimas.

žodinis darbas

a) Kokie posakiai turi prasmę?

b) Kokioms kintamojo a reikšmėms išraiška turi prasmę?

Išspręskite #3, 4, 7, 9, 11.

6. Kūno kultūra.

Visais klausimais reikia saiko,

Tegul tai būna pagrindinė taisyklė.

Užsiimk gimnastika, jei ilgai galvoji,

Gimnastika neišsekina kūno,

Bet išvalo visą organizmą!

Užmerkite akis, atpalaiduokite kūną

Įsivaizduokite – jūs paukščiai, staiga atskridote!

Dabar tu plauki kaip delfinas vandenyne,

Dabar sode skinate prinokusius obuolius.

Kairėn, dešinėn, apsidairė

Atidarykite akis ir grįžkite į darbą!

7. Savarankiškas darbas.

Darbas poromis su 178 Nr. 1, Nr. 2.

8. D / z. Išmokite 10 punktą (p.160-161), išspręskite Nr. 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2).

9. Pamokos rezultatai. Veiklos atspindys.

Ar pamoka pasiekė savo tikslą?

ko išmokai?

Šis straipsnis yra išsamios informacijos rinkinys, kuriame nagrinėjama šaknų savybių tema. Atsižvelgdami į temą, pradėsime nuo savybių, išnagrinėsime visas formuluotes ir pateiksime įrodymus. Norėdami įtvirtinti temą, apsvarstysime n-ojo laipsnio savybes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šaknų savybės

Mes kalbėsime apie savybes.

Nuosavybė padauginti skaičiai a Ir b, kuri pavaizduota kaip lygybė a · b = a · b . Jis gali būti pavaizduotas kaip daugikliai, teigiamas arba lygus nuliui a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
iš privataus a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, galima parašyti ir tokia forma a b = a b ;
Savybė iš skaičiaus galios a su lyginiu rodikliu a 2 m = a m bet kuriam skaičiui a, pavyzdžiui, savybė iš skaičiaus kvadrato a 2 = a .

Bet kurioje pateiktoje lygtyje galite sukeisti dalis prieš ir po brūkšnelio, pavyzdžiui, lygybė a · b = a · b transformuojama kaip a · b = a · b . Lygybės savybės dažnai naudojamos sudėtingoms lygtims supaprastinti.

Pirmųjų savybių įrodymas pagrįstas kvadratinės šaknies apibrėžimu ir laipsnių su natūraliuoju rodikliu savybėmis. Norint pagrįsti trečiąją savybę, būtina remtis skaičiaus modulio apibrėžimu.

Pirmiausia reikia įrodyti kvadratinės šaknies a · b = a · b savybes. Pagal apibrėžimą būtina atsižvelgti į tai, kad a b yra skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, kuris bus lygus a b statybos metu į aikštę. Išraiškos a · b reikšmė yra teigiama arba lygi nuliui kaip neneigiamų skaičių sandauga. Padaugintų skaičių laipsnio savybė leidžia lygybę pavaizduoti forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą a 2 \u003d a ir b 2 \u003d b, tada a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Panašiai tai galima įrodyti iš produkto k daugikliai a 1 , a 2 , … , a k bus lygus šių faktorių kvadratinių šaknų sandaugai. Iš tiesų, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Iš šios lygybės išplaukia, kad a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kad sustiprintume temą.

1 pavyzdys

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 ir 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0, 2 (1).

Būtina įrodyti dalinio aritmetinės kvadratinės šaknies savybę: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Savybė leidžia parašyti lygybę a: b 2 \u003d a 2: b 2 ir a 2: b 2 \u003d a: b, o a: b yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Ši išraiška bus įrodymas.

Pavyzdžiui, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ir 30, 121 = 30, 121.

Apsvarstykite skaičiaus kvadrato kvadratinės šaknies savybę. Jis gali būti parašytas kaip lygybė kaip a 2 = a Norint įrodyti šią savybę, reikia išsamiai apsvarstyti keletą lygybių a ≥ 0 ir pas a< 0 .

Akivaizdu, kad a ≥ 0 lygybė a 2 = a yra teisinga. At a< 0 lygybė a 2 = - a bus teisinga. Tiesą sakant, šiuo atveju − a > 0 ir (− a) 2 = a 2 . Galime daryti išvadą, kad a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

2 pavyzdys

5 2 = 5 = 5 ir - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36.

Įrodyta savybė padės pagrįsti 2 m = a m , kur a- tikras ir m- natūralus skaičius. Iš tiesų, eksponentiškumo savybė leidžia mums pakeisti laipsnį a 2 m išraiška (am) 2, tada a 2 · m = (a m) 2 = a m .

3 pavyzdys

3 8 = 3 4 = 3 4 ir (- 8 , 3) 14 = - 8, 3 7 = (8 , 3) 7 .

N-osios šaknies savybės

Pirmiausia turite atsižvelgti į pagrindines n-ojo laipsnio šaknų savybes:

Savybė iš skaičių sandaugos a Ir b, kurie yra teigiami arba lygūs nuliui, gali būti išreikšti lygybe a b n = a n b n , ši savybė galioja sandaugai k numeriai a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
iš trupmeninio skaičiaus turi savybę a b n = a n b n , kur a yra bet koks tikrasis skaičius, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, ir b yra teigiamas realusis skaičius;
Bet kuriam a ir lyginiai skaičiai n = 2 m a 2 m 2 m = a yra tiesa, o nelyginis n = 2 m − 1 lygybė a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a yra įvykdyta.
Išskyrimo savybė iš a m n = a n m , kur a- bet koks skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, n Ir m yra natūralūs skaičiai, ši savybė taip pat gali būti pavaizduota kaip . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
Bet kokiam neneigiamam a ir savavališkam n Ir m, kurie yra natūralūs, galima apibrėžti ir teisingąją lygybę a m n · m = a n ;
laipsnio nuosavybė n iš skaičiaus galios a, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, natūra m, apibrėžiamas lygybe a m n = a n m ;
Palyginimo savybė, kurios rodikliai yra tokie patys: bet kokiems teigiamiems skaičiams a Ir b toks kad a< b , nelygybė a n< b n ;
Palyginimų, kurių šaknyje yra tie patys skaičiai, savybė: jei m Ir n- natūraliuosius skaičius, kad m > n, tada val 0 < a < 1 galioja nelygybė a m > a n, o už a > 1 esu< a n .

Aukščiau pateiktos lygtys galioja, jei dalys prieš ir po lygybės ženklo yra apverstos. Jie taip pat gali būti naudojami šioje formoje. Tai dažnai naudojama supaprastinant ar transformuojant išraiškas.

Minėtų šaknies savybių įrodymas grindžiamas apibrėžimu, laipsnio savybėmis ir skaičiaus modulio apibrėžimu. Šios savybės turi būti įrodytos. Bet viskas tvarkoje.

Pirmiausia iš sandaugos a · b n = a n · b n įrodysime n-ojo laipsnio šaknies savybes. Dėl a Ir b , kuris yra teigiamas arba nulis , reikšmė a n · b n taip pat yra teigiama arba lygi nuliui, nes tai yra neneigiamų skaičių daugybos pasekmė. Natūralios galios sandaugos savybė leidžia užrašyti lygybę a n · b n n = a n n · b n n . Pagal šaknies apibrėžimą n laipsnis a n n = a ir b n n = b , todėl a n · b n n = a · b . Gauta lygybė yra būtent tai, ką reikėjo įrodyti.

Ši savybė panašiai įrodyta ir gaminiui k faktoriai: neneigiamiems skaičiams a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Čia yra šakninės nuosavybės naudojimo pavyzdžiai n laipsnis nuo produkto: 5 2 1 2 7 \u003d 5 7 2 1 2 7 ir 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 \u003d 8, 3 17, (21) 3 5 7 4.

Įrodykime dalinio a b n = a n b n šaknies savybę. At a ≥ 0 Ir b > 0 sąlyga a n b n ≥ 0 tenkinama, o a n b n n = a n n b n n = a b .

Parodykime pavyzdžius:

4 pavyzdys

8 27 3 = 8 3 27 3 ir 2 , 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10 .

Kitam žingsniui reikia įrodyti n-ojo laipsnio savybes nuo skaičiaus iki laipsnio n. Tai reiškiame lygybę a 2 m 2 m = a ir 2 m - 1 2 m - 1 = a bet kokiai realiai a ir natūralus m. At a ≥ 0 gauname a = a ir a 2 m = a 2 m, kas įrodo lygybę a 2 m 2 m = a, o lygybė a 2 m - 1 2 m - 1 = a yra akivaizdi. At a< 0 gauname atitinkamai a = - a ir a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Paskutinė skaičiaus transformacija galioja pagal laipsnio savybę. Tai įrodo lygybę a 2 m 2 m \u003d a ir 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a bus tiesa, nes - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m - 1 bet kuriam skaičiui c , teigiamas arba lygus nuliui.

Norėdami konsoliduoti gautą informaciją, apsvarstykite keletą nuosavybės pavyzdžių:

5 pavyzdys

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 ir (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

Įrodykime tokią lygybę a m n = a n · m . Norėdami tai padaryti, reikia pakeisti skaičius prieš lygybės ženklą ir po jo vietose a n · m = a m n . Tai parodys teisingą įrašą. Dėl a , kuri yra teigiama arba lygus nuliui , iš formos a m n yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Pažvelkime į savybę pakelti galią į galią ir apibrėžimą. Jų pagalba galite paversti lygybes forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Tai įrodo svarstomą šaknies nuo šaknies savybę.

Panašiai įrodytos ir kitos savybės. Tikrai,. . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Pavyzdžiui, 7 3 5 = 7 5 3 ir 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Įrodykime tokią savybę a m n · m = a n . Norėdami tai padaryti, reikia parodyti, kad n yra skaičius, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui. Pakėlus iki laipsnio n m yra esu. Jei skaičius a tada yra teigiamas arba nulis n laipsnis iš tarpo a yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui Be to, a n · m n = a n n m , kurį reikėjo įrodyti.

Norėdami įtvirtinti įgytas žinias, apsvarstykite keletą pavyzdžių.

Įrodykime tokią savybę - formos a m n = a n m laipsnio šaknies savybę. Akivaizdu, kad val a ≥ 0 laipsnis a n m yra neneigiamas skaičius. Be to, ji n-asis laipsnis lygus esu, iš tiesų, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Tai įrodo tariamą laipsnio savybę.

Pavyzdžiui, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

Turime tai įrodyti bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b a< b . Apsvarstykite nelygybę a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Todėl n< b n при a< b .

Pavyzdžiui, mes suteikiame 12 4< 15 2 3 4 .

Apsvarstykite šaknies savybę n-tas laipsnis. Pirmiausia apsvarstykite pirmąją nelygybės dalį. At m > n Ir 0 < a < 1 tiesa a m > a n . Tarkime, a m ≤ a n . Savybės supaprastins išraišką iki a n m · n ≤ a m m · n . Tada pagal laipsnio su natūraliuoju rodikliu savybes tenkinama nelygybė a n m n m n ≤ a m m n m n, tai yra, a n ≤ a m. Vertė, gauta esant m > n Ir 0 < a < 1 neatitinka aukščiau nurodytų savybių.

Lygiai taip pat galima tai įrodyti m > n Ir a > 1 sąlyga a m< a n .

Norėdami įtvirtinti aukščiau pateiktas savybes, apsvarstykite keletą konkrečių pavyzdžių. Apsvarstykite nelygybes naudodami konkrečius skaičius.

6 pavyzdys

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter