CZTERY WIELKIE PUNKTY
TRÓJKĄT
Geometria
8 klasa
Sacharowa Natalia Iwanowna
Liceum MBOU nr 28 w Symferopolu
- Punkt przecięcia środkowych trójkąta
- Punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta
- Punkt przecięcia wysokości trójkąta
- Punkt przecięcia środkowych prostopadłych trójkąta
Mediana
Mediana (BD) Trójkąt to odcinek linii łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
mediany trójkąty się przecinają w jednym punkcie (Środek ciężkości trójkąt) i podziel ten punkt w stosunku 2:1, licząc od góry.
DWUSIECZNA
Dwusieczna (AD) trójkąt nazywa się odcinkiem dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta. ∟ ZŁE = ∟CAD.
Każdy punkt dwusieczne niezabudowanego kąta jest w równej odległości od jego boków.
Z powrotem: każdy punkt wewnątrz kąta i w równej odległości od boków kąta leży na jego dwusieczna.
Wszystkie dwusieczne trójkąty przecinają się w jednym punkcie środek wpisany w trójkąt kręgi.
Promień okręgu (OM) jest prostopadłą opadającą ze środka (TO) na bok trójkąta
WYSOKOŚĆ
Wysokość (CD) Trójkąt jest odcinkiem prostopadłej opadającej z wierzchołka trójkąta na linię zawierającą przeciwległy bok.
Wysokości trójkąty (lub ich przedłużenia) przecinają się jeden punkt.
ŚRODKOWE PIONOWE
Dwusieczna prostopadła (DF) nazywa się linią prostopadłą do boku trójkąta i dzielącą go na pół.
Każdy punkt środkowo-prostopadły(m) do segmentu jest w równej odległości od końców tego segmentu.
Z powrotem: każdy punkt w równej odległości od końców odcinka leży w środku prostopadły do niego.
Wszystkie dwusieczne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie - środek opisanego w pobliżu trójkąta kręgi .
Promień opisanego okręgu to odległość od środka okręgu do dowolnego wierzchołka trójkąta (OA).
Strona 177 №675 (rysunek)
Praca domowa
s.173 § 3 definicje i twierdzenia s.177 nr 675 (zakończenie)
Cele:
- podsumować wiedzę uczniów na temat "Cztery cudowne punkty trójkąta", kontynuować pracę nad kształtowaniem umiejętności konstruowania wysokości, środkowej, dwusiecznej trójkąta;
Zapoznanie studentów z nowymi koncepcjami okręgu wpisanego w trójkąt i opisanego wokół niego;
Rozwijaj umiejętności badawcze;
- kultywowanie wytrwałości, dokładności, organizacji uczniów.
Zadanie: poszerzyć zainteresowania poznawcze przedmiotem geometrii.
Sprzęt: tablica, przybory do rysowania, kredki, model trójkąta na arkuszu poziomym; komputer, rzutnik multimedialny, ekran.
Podczas zajęć
1.
Moment organizacyjny (1 minuta)
Nauczyciel: Na tej lekcji każdy z Was poczuje się jak inżynier naukowy, po wykonaniu części praktycznej będzie mógł sam siebie ocenić. Aby praca zakończyła się sukcesem, konieczne jest bardzo dokładne i uporządkowane wykonanie wszystkich czynności z modelem podczas lekcji. Życzę Ci sukcesu.
2.
Nauczyciel: narysuj rozłożony kąt w zeszycie
P. Jakie znasz metody konstruowania dwusiecznej kąta?
Wyznaczanie dwusiecznej kąta. Dwóch uczniów wykonuje na tablicy konstrukcję dwusiecznej kąta (według przygotowanych wcześniej modeli) na dwa sposoby: linijką, cyrklem. Następujący dwaj uczniowie ustnie dowodzą twierdzeń:
1. Jaką właściwość mają punkty dwusiecznej kąta?
2. Co można powiedzieć o punktach leżących wewnątrz kąta iw równej odległości od boków kąta?
Nauczyciel: narysuj dowolny trójkąt czworokątny ABC, zbuduj dwusieczne kąta A i kąta C, wskaż je
przecięcie - punkt O. Jaką hipotezę możesz postawić na temat promienia BO? Udowodnij, że promień BO jest dwusieczną trójkąta ABC. Sformułuj wniosek o położeniu wszystkich dwusiecznych trójkąta.
3.
Pracuj z modelem trójkąta (5-7 minut).
Opcja 1 - ostry trójkąt;
Opcja 2 - trójkąt prostokątny;
Opcja 3 - trójkąt rozwarty.
Nauczyciel: zbuduj dwie dwusieczne na modelu trójkąta, zakreśl je na żółto. Wskaż punkt przecięcia
punkt dwusiecznej K. Zobacz slajd numer 1.
4.
Przygotowanie do głównego etapu lekcji (10-13 minut).
Nauczyciel: Narysuj w zeszycie odcinek AB. Jakich narzędzi można użyć do skonstruowania dwusiecznej prostopadłej odcinka? Definicja dwusiecznej prostopadłej. Dwóch uczniów wykonuje na tablicy konstrukcję dwusiecznej prostopadłej
(według przygotowanych modeli) na dwa sposoby: linijkę, kompas. Następujący dwaj uczniowie ustnie dowodzą twierdzeń:
1. Jaką właściwość mają punkty środkowej prostopadłej do odcinka?
2. Co można powiedzieć o punktach równo oddalonych od końców odcinka AB Nauczyciel: narysuj trójkąt czworokątny ABC i zbuduj dwusieczne prostopadłe do dowolnych dwóch boków trójkąta ABC.
Zaznacz punkt przecięcia O. Narysuj prostopadłą do trzeciego boku przechodzącą przez punkt O. Co zauważyłeś? Udowodnij, że jest to dwusieczna prostopadła tego odcinka.
5.
Praca z modelem trójkąta (5 minut) Nauczyciel: na modelu trójkąta zbuduj dwusieczne prostopadłe do dwóch boków trójkąta i zakreśl je kolorem zielonym. Zaznacz punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych punktem O. Patrz slajd nr 2.
6.
Przygotowanie do głównego etapu lekcji (5-7 minut) Nauczyciel: narysuj trójkąt rozwartokątny ABC i zbuduj dwie wysokości. Wyznacz ich punkt przecięcia O.
1. Co można powiedzieć o trzeciej wysokości (trzecia wysokość, jeśli będzie kontynuowana poza podstawą, przejdzie przez punkt O)?
2. Jak udowodnić, że wszystkie wysokości przecinają się w jednym punkcie?
3. Jaką nową figurę tworzą te wysokości i czym one są?
7.
Pracuj z modelem trójkąta (5 minut).
Nauczyciel: Na modelu trójkąta zbuduj trzy wysokości i zakreśl je kolorem niebieskim. Zaznacz punkt przecięcia wysokości z punktem H. Patrz slajd nr 3.
Lekcja druga
8.
Przygotowanie do głównego etapu lekcji (10-12 minut).
Nauczyciel: Narysuj trójkąt ostry ABC i wykreśl wszystkie jego środkowe. Wyznacz ich punkt przecięcia O. Jaką właściwość mają środkowe trójkąta?
9.
Praca z modelem trójkąta (5 minut).
Nauczyciel: na wzór trójkąta zbuduj trzy środkowe i zakreśl je kolorem brązowym.
Wyznacz punkt przecięcia środkowych z punktem T. Obejrzyj slajd nr 4.
10.
Sprawdzenie poprawności konstrukcji (10-15 minut).
1. Co można powiedzieć o punkcie K? / Punkt K jest punktem przecięcia dwusiecznych, jest w równej odległości od wszystkich boków trójkąta /
2. Wskażcie na modelu odległość od punktu K do dłuższego boku trójkąta. Jaki kształt narysowałeś? Jak to się znajduje
ciąć na bok? Podkreśl pogrubienie prostym ołówkiem. (Patrz slajd numer 5).
3. Co to jest punkt w równej odległości od trzech punktów płaszczyzny, które nie leżą na jednej linii prostej? Żółtym ołówkiem zbuduj okrąg o środku K i promieniu równym odległości wybranej prostym ołówkiem. (Patrz slajd numer 6).
4. Co zauważyłeś? Jak ten okrąg ma się do trójkąta? W trójkąt wpisałeś okrąg. Jak nazywa się takie koło?
Nauczyciel podaje definicję koła wpisanego w trójkąt.
5. Co można powiedzieć o punkcie O? \PointO - punkt przecięcia środkowych prostopadłych i jest on jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków trójkąta \. Jaką figurę można zbudować łącząc punkty A, B, C i O?
6. Zbuduj koło koloru zielonego (O; OA). (Patrz slajd numer 7).
7. Co zauważyłeś? Jak ten okrąg ma się do trójkąta? Jak nazywa się takie koło? Jak nazywa się trójkąt w tym przypadku?
Nauczyciel podaje definicję okręgu opisanego na trójkącie.
8. Przymocuj linijkę do punktów O, H i T i narysuj czerwoną linię prostą przechodzącą przez te punkty. Ta linia nazywa się linią prostą.
Eulera (patrz slajd numer 8).
9. Porównaj OT i TN. Sprawdź OD:TN=1: 2. (Patrz slajd nr 9).
10. a) Znajdź środkowe trójkąta (zaznaczone na brązowo). Zaznacz tuszem podstawy środkowych.
Gdzie są te trzy punkty?
b) Znajdź wysokości trójkąta (zaznaczonego na niebiesko). Zaznacz tuszem podstawy wysokości. Ile z tych punktów? \ 1 opcja-3; 2 opcja-2; Wariant 3-3\.c) Zmierz odległości od wierzchołków do punktu przecięcia wysokości. Nazwij te odległości (AN,
VN, CH). Znajdź punkty środkowe tych segmentów i zaznacz je atramentem. Ile
zwrotnica? \1 opcja-3; 2 opcja-2; Opcja 3-3\.
11. Policz, ile kropek zaznaczono atramentem? \ 1 opcja - 9; 2 opcja-5; Opcja 3-9\. Wyznaczyć
punkty D 1 , D 2 ,…, D 9 . (Patrz slajd nr 10.) Poprzez te punkty możesz zbudować okrąg Eulera. Środek okręgu punkt E leży w środku odcinka OH. Budujemy okrąg na czerwono (E; ED 1). To koło, podobnie jak linia prosta, nosi imię wielkiego naukowca. (Patrz slajd nr 11).
11.
Prezentacja Eulera (5 minut).
12. Konkluzja(3 minuty) Wynik: "5" - jeśli trafisz dokładnie żółte, zielone i czerwone kółka oraz linię Eulera. „4” - jeśli okręgi są niedokładne o 2-3 mm. „3” - jeśli okręgi są niedokładne o 5-7 mm.
W tej lekcji przyjrzymy się czterem wspaniałym punktom trójkąta. Zastanowimy się szczegółowo nad dwoma z nich, przypomnimy dowody ważnych twierdzeń i rozwiążemy problem. Pozostałe dwa wspominamy i charakteryzujemy.
Temat:Powtórka kursu z geometrii klasy 8
Lekcja: Cztery niezwykłe punkty trójkąta
Trójkąt to przede wszystkim trzy odcinki i trzy kąty, więc właściwości odcinków i kątów są fundamentalne.
Podano odcinek AB. Każdy odcinek ma środek i można przez niego poprowadzić prostopadłą - oznaczamy go przez p. Zatem p jest dwusieczną prostopadłą.
Twierdzenie (podstawowa właściwość dwusiecznej prostopadłej)
Każdy punkt leżący na prostopadłej dwusiecznej jest w równej odległości od końców odcinka.
Udowodnij to
Dowód:
Rozważ trójkąty i (patrz ryc. 1). Są prostokątne i równe, ponieważ. mają wspólną nogę OM, a nogi AO i OB są równe warunkowo, więc mamy dwa trójkąty prostokątne równe w dwóch ramionach. Wynika z tego, że przeciwprostokątne trójkątów są również równe, to znaczy, co należało udowodnić.
Ryż. 1
Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe.
Twierdzenie
Każdy punkt w równej odległości od końców odcinka leży na dwusiecznej prostopadłej do tego odcinka.
Dany jest odcinek AB, środkowa prostopadła do niego p, punkt M, w równej odległości od końców odcinka (patrz ryc. 2).
Udowodnij, że punkt M leży na dwusiecznej prostopadłej do odcinka.
Ryż. 2
Dowód:
Rozważmy trójkąt. Jest równoramienny, jak z warunku. Rozważ środkową trójkąta: punkt O jest środkiem podstawy AB, OM jest środkową. Zgodnie z właściwością trójkąta równoramiennego środkowa narysowana do jego podstawy jest zarówno wysokością, jak i dwusieczną. Stąd wynika, że. Ale prosta p jest również prostopadła do AB. Wiemy, że do punktu O można poprowadzić pojedynczą prostopadłą do odcinka AB, co oznacza, że proste OM i p pokrywają się, stąd wynika, że punkt M należy do prostej p, co należało udowodnić.
Jeśli konieczne jest opisanie koła wokół jednego segmentu, można to zrobić, a takich okręgów jest nieskończenie wiele, ale środek każdego z nich będzie leżeć na dwusiecznej prostopadłej do odcinka.
Mówi się, że dwusieczna prostopadła jest miejscem geometrycznym punktów równoodległych od końców odcinka.
Trójkąt składa się z trzech segmentów. Narysujmy środkowe prostopadłe do dwóch z nich i wyznaczmy punkt O ich przecięcia (patrz ryc. 3).
Punkt O należy do dwusiecznej prostopadłej do boku BC trójkąta, co oznacza, że jest równoodległy od jego wierzchołków B i C, oznaczmy tę odległość jako R:.
Dodatkowo punkt O leży na dwusiecznej prostopadłej do odcinka AB, tj. jednak stąd.
Zatem punkt O przecięcia dwóch punktów środkowych
Ryż. 3
prostopadłych trójkąta jest w równej odległości od jego wierzchołków, co oznacza, że leży on również na trzeciej dwusiecznej prostopadłej.
Powtórzyliśmy dowód ważnego twierdzenia.
Trzy prostopadłe dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie - środku opisanego koła.
Rozważaliśmy więc pierwszy niezwykły punkt trójkąta - punkt przecięcia jego prostopadłych dwusiecznych.
Przejdźmy do właściwości dowolnego kąta (patrz ryc. 4).
Mając dany kąt , jego dwusieczną AL, punkt M leży na dwusiecznej.
Ryż. 4
Jeśli punkt M leży na dwusiecznej kąta, to jest w równej odległości od boków kąta, to znaczy odległości od punktu M do AC i do BC boków kąta są równe.
Dowód:
Rozważ trójkąty i . To są trójkąty prostokątne i są równe, ponieważ. mają wspólną przeciwprostokątną AM, a kąty i są równe, ponieważ AL jest dwusieczną kąta . Zatem trójkąty prostokątne mają równe przeciwprostokątne i kąty ostre, stąd wynika, że , co należało udowodnić. Zatem punkt na dwusiecznej kąta jest w równej odległości od boków tego kąta.
Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe.
Twierdzenie
Jeśli punkt jest w równej odległości od boków nierozszerzonego kąta, to leży na jego dwusiecznej (patrz ryc. 5).
Dany jest nierozwinięty kąt, punkt M, taki, że odległość od niego do boków kąta jest taka sama.
Wykazać, że punkt M leży na dwusiecznej kąta.
Ryż. 5
Dowód:
Odległość od punktu do prostej to długość prostopadłej. Od punktu M poprowadź prostopadłe MK do boku AB i MP do boku AC.
Rozważ trójkąty i . To są trójkąty prostokątne i są równe, ponieważ. mają wspólną przeciwprostokątną AM, nogi MK i MR są równe warunkowo. Zatem trójkąty prostokątne są równe w przeciwprostokątnej i ramieniu. Z równości trójkątów wynika równość odpowiednich elementów, równe kąty leżą na równych ramionach, a więc 
, zatem punkt M leży na dwusiecznej danego kąta.
Jeśli konieczne jest wpisanie koła w kąt, można to zrobić, a takich okręgów jest nieskończenie wiele, ale ich środki leżą na dwusiecznej danego kąta.
Mówi się, że dwusieczna jest miejscem geometrycznym punktów równoodległych od boków kąta.
Trójkąt składa się z trzech rogów. Konstruujemy dwusieczne dwóch z nich, otrzymujemy punkt O ich przecięcia (patrz ryc. 6).
Punkt O leży na dwusiecznej kąta, co oznacza, że jest w równej odległości od swoich boków AB i BC, odległość oznaczmy jako r:. Również punkt O leży na dwusiecznej kąta , co oznacza, że jest równoodległy od swoich boków AC i BC: , , stąd .
Łatwo zauważyć, że punkt przecięcia dwusiecznych jest w równej odległości od boków trzeciego kąta, co oznacza, że leży na
Ryż. 6
dwusieczna kąta. Zatem wszystkie trzy dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Tak więc przypomnieliśmy sobie dowód innego ważnego twierdzenia.
Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie - środku wpisanego okręgu.
Rozważaliśmy więc drugi wspaniały punkt trójkąta - punkt przecięcia dwusiecznych.
Zbadaliśmy dwusieczną kąta i zauważyliśmy jej ważne właściwości: punkty dwusiecznej są w równej odległości od boków kąta, ponadto odcinki stycznych narysowanych do okręgu z jednego punktu są równe.
Wprowadźmy pewną notację (patrz rys. 7).
Oznacz równe odcinki stycznych przez x, yiz. Bok BC leżący naprzeciw wierzchołka A oznaczamy jako a, podobnie AC jako b, AB jako c.
Ryż. 7
Zadanie 1: W trójkącie znany jest półobwód i długość boku a. Znajdź długość stycznej poprowadzonej z wierzchołka A - AK, oznaczonej przez x.
Oczywiście trójkąt nie jest do końca zdefiniowany, a takich trójkątów jest wiele, ale okazuje się, że mają one pewne elementy wspólne.
Dla problemów, w których mówimy o okręgu wpisanym, możemy zaproponować następującą technikę rozwiązania:
1. Narysuj dwusieczne i wyznacz środek wpisanego okręgu.
2. Ze środka O narysuj prostopadłe do boków i uzyskaj punkty styku.
3. Zaznacz równe styczne.
4. Napisz związek między bokami trójkąta a stycznymi.
Silczenkow Ilja
materiały do lekcji, prezentacja z animacją
Pobierać:
Zapowiedź:
Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż konto Google (konto) i zaloguj się: https://accounts.google.com
Podpisy slajdów:
Linia środkowa trójkąta to odcinek, który łączy środki dwóch jego boków i jest równy połowie tego boku. Ponadto, zgodnie z twierdzeniem, linia środkowa trójkąta jest równoległa do jednego z jego boków i równa połowie tego boku.
Jeśli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest również prostopadła do drugiej.
Niezwykłe punkty trójkąta
Niezwykłe punkty trójkąta Punkt przecięcia środkowych (środek ciężkości trójkąta); Punkt przecięcia dwusiecznych, środek okręgu wpisanego; Punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych; Punkt przecięcia wysokości (ortocentrum); Linia Eulera i okrąg dziewięciu punktów; Punkty Gergonne'a i Nagela; Punkt Fermata-Torricellego;
Punkt przecięcia środkowych
Mediana trójkąta to odcinek łączący wierzchołek dowolnego kąta trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
I. Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą środkową w stosunku 2:1, licząc od góry.
Dowód:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 2. Odcinek A 1 B 1 jest równoległy do boku AB i 1/2 AB \u003d A 1 B 1 tj. AB \u003d 2A1B1 (zgodnie z twierdzeniem o trójkącie o linii środkowej), dlatego 1 \u003d 4 i 3 \u003d 2 ( ponieważ są to wewnętrzne kąty krzyżujące się z prostymi równoległymi AB i A 1 B 1 oraz siecznymi BB 1 dla 1, 4 i AA 1 dla 3, 2 3. Zatem trójkąty AOB i A 1 OB 1 są podobne pod dwoma kątami, i dlatego ich boki są proporcjonalne , tj. stosunki boków AO i A 1 O, BO i B 1 O, AB i A 1 B 1 są równe.Ale AB = 2A 1 B 1, zatem AO \u003d 2A 1 O i BO \u003d 2B 1 O. Zatem punkt O przecięcia środkowych BB 1 i AA 1 dzieli każdą z nich w stosunku 2:1, licząc od góry. Twierdzenie jest udowodnione. Podobnie można dowieść o pozostałe dwie mediany
Środek masy jest czasami nazywany środkiem ciężkości. Dlatego mówią, że punktem przecięcia środkowej jest środek ciężkości trójkąta. Środek masy jednorodnej trójkątnej płyty znajduje się w tym samym punkcie. Jeśli podobna płytka zostanie umieszczona na szpilce tak, że czubek szpilki trafi dokładnie w środek ciężkości trójkąta, wówczas płytka będzie w równowadze. Również punkt przecięcia środkowych jest środkiem okręgu wpisanego w jego środkowy trójkąt. Ciekawa właściwość punktu przecięcia środkowych związana jest z fizycznym pojęciem środka masy. Okazuje się, że jeśli jednakowe masy umieścimy w wierzchołkach trójkąta, to ich środek wypadnie dokładnie w tym punkcie.
Punkt przecięcia dwusiecznych
Dwusieczna trójkąta - odcinek dwusiecznej kąta łączący wierzchołek jednego z kątów trójkąta z punktem leżącym po przeciwnej stronie.
Dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie w równej odległości od jego boków.
Dowód:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. Oznaczmy literą O punkt przecięcia dwusiecznych AA 1 i BB 1 trójkąta ABC. 3. Wykorzystajmy fakt, że każdy punkt dwusiecznej kąta rozłożonego jest równoodległy od jego boków i odwrotnie: każdy punkt leżący wewnątrz kąta i równoodległy od boków kąta leży na jego dwusiecznej. Następnie OK=OL i OK=OM. Oznacza to OM \u003d OL, tj. punkt O jest w równej odległości od boków trójkąta ABC, a zatem leży na dwusiecznej CC1 kąta C. 4. W konsekwencji wszystkie trzy dwusieczne trójkąta ABC przecinają się w punkcie O. K L M Twierdzenie zostało udowodnione. 2. poprowadź z tego punktu prostopadłe odpowiednio OK, OL i OM do prostych AB, BC i CA.
Punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych
Środkowa prostopadła to linia prosta przechodząca przez środek danego odcinka i prostopadła do niego.
Dwusieczne prostopadłe do boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie w równej odległości od wierzchołków trójkąta.
Dowód:
B C A m n 1. Oznaczmy literą O punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych m i n do boków AB i BC trójkąta ABC. O 2. Korzystając z twierdzenia, że każdy punkt dwusiecznej prostopadłej do odcinka jest w równej odległości od końców tego odcinka i odwrotnie: każdy punkt w równej odległości od końców odcinka leży na dwusiecznej prostopadłej do niego, otrzymujemy, że OB= OA i OB=OC. 3. Dlatego OA \u003d OC, to znaczy punkt O jest w równej odległości od końców odcinka AC, a zatem leży na dwusiecznej prostopadłej do tego odcinka. 4. Zatem wszystkie trzy prostopadłe dwusieczne m, n i p do boków trójkąta ABC przecinają się w punkcie O. Twierdzenie zostało udowodnione. R
Punkt przecięcia wysokości (lub ich przedłużeń)
Wysokość trójkąta to prostopadła poprowadzona od wierzchołka dowolnego kąta trójkąta do linii zawierającej przeciwległy bok.
Wysokości trójkąta lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie, który może leżeć w trójkącie lub poza nim.
Dowód:
Udowodnijmy, że proste AA 1 , BB 1 i CC 1 przecinają się w jednym punkcie. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. Narysuj linię przechodzącą przez każdy wierzchołek trójkąta ABC równolegle do przeciwległego boku. Otrzymujemy trójkąt A 2 B 2 C 2. 2. Punkty A, B i C są środkami boków tego trójkąta. Rzeczywiście, AB \u003d A 2 C i AB \u003d CB 2 jako przeciwne strony równoległoboków ABA 2 C i ABCB 2, a zatem A 2 C \u003d CB 2. Podobnie C 2 A \u003d AB 2 i C 2 B \u003d BA 2. Ponadto, jak wynika z konstrukcji, CC 1 jest prostopadła do A 2 B 2, AA 1 jest prostopadła do B 2 C 2, a BB 1 jest prostopadła do A 2 C 2 (z wniosku o prostych równoległych i twierdzenia o siecznych) . Zatem linie AA 1, BB 1 i CC 1 są prostopadłymi dwusiecznymi do boków trójkąta A 2 B 2 C 2. Dlatego przecinają się w jednym punkcie. Twierdzenie zostało udowodnione.
Baranowa Elena
W tym artykule omówiono niezwykłe punkty trójkąta, ich właściwości i regularności, takie jak okrąg dziewięciu punktów i linia Eulera. Podano tło historyczne odkrycia linii Eulera i okręgu dziewięciu punktów. Zaproponowano praktyczne ukierunkowanie zastosowania mojego projektu.
Pobierać:
Zapowiedź:
Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż konto Google (konto) i zaloguj się: https://accounts.google.com
Podpisy slajdów:
„NIEZWYKŁE PUNKTY TRÓJKĄTA”. (Zastosowane i podstawowe pytania z matematyki) Baranova Elena klasa 8, MKOU „Liceum nr 20” Poz. Nowoizobilny, Tatyana Vasilievna Dukhanina, nauczycielka matematyki MKOU „Liceum nr 20” Osada Novoizobilny 2013. Miejska Państwowa Placówka Oświatowa „Liceum nr 20”
Cel: badanie trójkąta na jego niezwykłych punktach, badanie ich klasyfikacji i właściwości. Zadania: 1. Przestudiować potrzebną literaturę 2. Przestudiować klasyfikację charakterystycznych punktów trójkąta 3. Zapoznać się z właściwościami charakterystycznych punktów trójkąta 4. Umieć zbudować niezwykłe punkty trójkąta. 5. Poznaj zakres cudownych punktów. Przedmiot badań - gałąź matematyki - geometria Przedmiot badań - trójkąt Trafność: poszerzyć swoją wiedzę na temat trójkąta, właściwości jego niezwykłych punktów. Hipoteza: połączenie trójkąta i natury
Punkt przecięcia środkowych prostopadłych Jest w równej odległości od wierzchołków trójkąta i jest środkiem opisanego koła. Okręgi opisane na trójkątach, których wierzchołki są środkami boków trójkąta i wierzchołki trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który pokrywa się z punktem przecięcia dwusiecznych prostopadłych.
Punkt przecięcia dwusiecznych Punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta jest w równej odległości od boków trójkąta. OM=OA=OV
Punkt przecięcia wysokości Punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta, którego wierzchołkami są podstawy wysokości, pokrywa się z punktem przecięcia wysokości trójkąta.
Punkt przecięcia środkowych Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą środkową w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Jeśli punkt przecięcia środkowych jest połączony z wierzchołkami, trójkąt zostanie podzielony na trzy trójkąty o równej powierzchni. Ważną właściwością punktu przecięcia środkowych jest fakt, że suma wektorów, których początkiem jest punkt przecięcia środkowych, a końcami są wierzchołki trójkątów, jest równa zeru
Punkt Torricellego Uwaga: Punkt Torricellego istnieje, jeśli wszystkie kąty trójkąta są mniejsze niż 120.
Okrąg dziewięciu punktów B1, A1, C1 jest podstawą wysokości; A2, B2, C2 - środki odpowiednich boków; A3, B3, C3, - środki odcinków AN, BH i CH.
Linia Eulera Punkt przecięcia środkowych, punkt przecięcia wysokości, środek okręgu dziewięciu punktów leżą na jednej linii prostej, którą nazwano linią Eulera na cześć matematyka, który wyznaczył ten wzór.
Trochę z historii odkrycia niezwykłych punktów W 1765 roku Euler odkrył, że środki boków trójkąta i podstawy jego wysokości leżą na tym samym okręgu. Najbardziej niesamowitą właściwością cudownych punktów trójkąta jest to, że niektóre z nich są ze sobą powiązane w określonym stosunku. Punkt przecięcia środkowych M, punkt przecięcia wysokości H i środek opisanego okręgu O leżą na tej samej prostej, a punkt M dzieli odcinek OH tak, że stosunek OM: OH = 1: 2 Twierdzenie to zostało udowodnione przez Leonharda Eulera w 1765 roku.
Związek między geometrią a naturą. W tej pozycji energia potencjalna ma najmniejszą wartość i suma odcinków MA + MB + MS będzie najmniejsza, a suma wektorów leżących na tych odcinkach, których początek znajduje się w punkcie Torricellego, będzie równa zeru.
Wnioski Dowiedziałem się, że oprócz cudownych punktów przecięcia wysokości, środkowych, dwusiecznych i środkowych prostopadłych, istnieją również wspaniałe punkty i proste trójkąta. Potrafię wykorzystać zdobytą wiedzę na ten temat w swojej działalności edukacyjnej, samodzielnie zastosować twierdzenia do określonych problemów, zastosować poznane twierdzenia w rzeczywistej sytuacji. Wierzę, że wykorzystanie cudownych punktów i linii trójkąta w nauce matematyki jest skuteczne. Znajomość ich znacznie przyspiesza rozwiązywanie wielu zadań. Proponowany materiał może być wykorzystany zarówno na lekcjach matematyki, jak i na zajęciach pozalekcyjnych dla uczniów klas 5-9.
Zapowiedź:
Aby skorzystać z podglądu, utwórz sobie konto Google (konto) i zaloguj się: