Cylinder (cylinder okrągły) to bryła składająca się z dwóch okręgów połączonych równoległym translacją oraz wszystkich odcinków łączących odpowiednie punkty tych okręgów. Okręgi nazywane są podstawami walca, a odcinki łączące odpowiednie punkty obwodów okręgów nazywane są generatorami walca.
Podstawy walca są równe i leżą w równoległych płaszczyznach, a generatory walca są równoległe i równe. Powierzchnia cylindra składa się z podstawy i powierzchni bocznej. Powierzchnia boczna składa się z tworzących.
Walec nazywa się prostym, jeśli jego generatory są prostopadłe do płaszczyzn podstawy. Cylinder można uznać za bryłę uzyskaną przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków jako osi. Istnieją inne typy cylindrów - eliptyczne, hiperboliczne, paraboliczne. Pryzmat jest również uważany za rodzaj cylindra.
Rysunek 2 przedstawia nachylony cylinder. Jego podstawą są koła o środkach O i O 1.
Promień walca to promień jego podstawy. Wysokość walca to odległość między płaszczyznami podstaw. Oś walca jest linią prostą przechodzącą przez środki podstaw. Jest równoległy do generatorów. Przekrój walca z płaszczyzną przechodzącą przez oś cylindra nazywa się przekrojem osiowym. Płaszczyzna przechodząca przez tworzącą prostego cylindra i prostopadła do przekroju osiowego poprowadzonego przez tę tworzącą nazywana jest płaszczyzną styczną cylindra.
Płaszczyzna prostopadła do osi walca przecina jego powierzchnię boczną po okręgu równym obwodowi podstawy.
Pryzmat wpisany w cylinder to pryzmat, którego podstawy są równymi wielokątami wpisanymi w podstawy walca. Jego boczne żebra tworzą cylinder. Mówi się, że pryzmat jest opisany na walcu, jeśli jego podstawy są równymi wielokątami opisanymi na podstawach walca. Płaszczyzny jego ścian stykają się z boczną powierzchnią cylindra.
Pole powierzchni bocznej cylindra można obliczyć, mnożąc długość tworzącej przez obwód przekroju cylindra przez płaszczyznę prostopadłą do tworzącej.
Powierzchnię boczną prostego cylindra można znaleźć poprzez jego rozwój. Rozwinięciem walca jest prostokąt o wysokości h i długości P, która jest równa obwodowi podstawy. Dlatego powierzchnia bocznej powierzchni cylindra jest równa powierzchni jego rozwoju i jest obliczana według wzoru:
W szczególności dla prawego cylindra okrągłego:
P = 2πR i Sb = 2πRh.
Całkowita powierzchnia walca jest równa sumie pól jego powierzchni bocznej i podstaw.
Dla prostego cylindra okrągłego:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Istnieją dwa wzory na znalezienie objętości nachylonego walca.
Objętość można znaleźć, mnożąc długość tworzącej przez pole przekroju cylindra przez płaszczyznę prostopadłą do tworzącej.
Objętość nachylonego cylindra jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości (odległości między płaszczyznami, w których leżą podstawy):
V = Sh = S l sin α,
gdzie l jest długością tworzącej, a α jest kątem pomiędzy tworzącą a płaszczyzną podstawy. Dla prostego cylindra h = l.
Wzór na znalezienie objętości walca kołowego jest następujący:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4) h,
gdzie d jest średnicą podstawy.
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Cylinder (prosty okrągły cylinder) to bryła składająca się z dwóch okręgów (podstaw walca), połączonych przez równoległe przesunięcie, oraz wszystkich odcinków łączących odpowiednie punkty tych okręgów podczas równoległego przesunięcia. Odcinki łączące odpowiednie punkty okręgów podstawowych nazywane są generatorami walca.
Oto kolejna definicja:
Cylinder- korpus ograniczony powierzchnią cylindryczną z zamkniętą prowadnicą i dwiema równoległymi płaszczyznami przecinającymi tworzące tej powierzchni.
Powierzchnia cylindryczna- powierzchnia utworzona przez ruch linii prostej po określonej krzywej. Linia prosta nazywana jest tworzącą powierzchni cylindrycznej, a linia zakrzywiona nazywana jest prowadnicą powierzchni cylindrycznej.
Powierzchnia boczna cylindra- część cylindrycznej powierzchni ograniczona równoległymi płaszczyznami.
Podstawy cylindrów- części płaszczyzn równoległych odcięte przez powierzchnię boczną cylindra.
Ryc.1 mini
Cylinder nazywa się bezpośredni(Cm. Ryc.1), jeśli jego generatory są prostopadłe do płaszczyzn podstaw. W przeciwnym razie cylinder nazywany jest skłonny.
Okrągły cylinder- cylinder, którego podstawą są koła.
Prawy okrągły cylinder (tylko cylinder) to bryła uzyskana przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków. Cm. Ryc.1.
Promień cylindra jest promieniem jego podstawy.
Generator cylindra- tworząca o powierzchni cylindrycznej.
Wysokość cylindra nazywa się odległością między płaszczyznami podstaw. Oś cylindra nazywaną linią prostą przechodzącą przez środki podstaw. Nazywa się przekrój walca przez płaszczyznę przechodzącą przez oś cylindra przekrój osiowy.
Oś cylindra jest równoległa do jego tworzącej i jest osią symetrii cylindra.
Nazywa się płaszczyznę przechodzącą przez tworzącą prostego walca i prostopadłą do przekroju osiowego przechodzącego przez tę tworzącą płaszczyzna styczna cylindra. Cm. Ryc.2.
Rozwój powierzchni bocznej cylindra- prostokąt o bokach równych wysokości walca i obwodowi podstawy.
Powierzchnia boczna cylindra- obszar zagospodarowania powierzchni bocznej. $$S_(bok)=2\pi\cdot rh$$ , gdzie H jest wysokością cylindra, oraz R– promień podstawy.
Całkowita powierzchnia cylindra- pole, które jest równe sumie pól dwóch podstaw walca i jego powierzchni bocznej, tj. wyraża się wzorem: $$S_(full)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , gdzie H jest wysokością cylindra, oraz R– promień podstawy.
Objętość dowolnego cylindra równy iloczynowi pola podstawy i wysokości: $$V = S\cdot h$$ Objętość okrągłego cylindra: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , gdzie ( R- promień podstawy).
Pryzmat to specjalny rodzaj cylindra (generatory są równoległe do bocznych żeber; prowadnicą jest wielokąt leżący u podstawy). Z drugiej strony dowolny cylinder można uznać za zdegenerowany („wygładzony”) pryzmat z bardzo dużą liczbą bardzo wąskich ścian. W praktyce cylinder jest nie do odróżnienia od takiego pryzmatu. Wszystkie właściwości pryzmatu są zachowane w cylindrze.
Stereometria to dziedzina geometrii, w której badane są figury w przestrzeni. Głównymi figurami w przestrzeni są punkt, linia prosta i płaszczyzna. W stereometrii pojawia się nowy rodzaj względnego układu linii: linie przecinające się. Jest to jedna z niewielu znaczących różnic między stereometrią a planimetrią, ponieważ w wielu przypadkach problemy stereometrii rozwiązuje się poprzez uwzględnienie różnych płaszczyzn, w których spełnione są prawa planimetryczne.
W otaczającej nas naturze istnieje wiele obiektów będących fizycznymi modelami tej figury. Na przykład wiele części maszyn ma kształt walca lub stanowi ich kombinację, a majestatyczne kolumny świątyń i katedr, wykonane w kształcie cylindrów, podkreślają ich harmonię i piękno.
grecki − kylindros. Starożytne określenie. W życiu codziennym - zwój papirusu, wałek, wałek (czasownik - skręcać, zwijać).
W przypadku Euklidesa cylinder uzyskuje się poprzez obrót prostokąta. W Cavalieri - poprzez ruch tworzącej (z dowolną prowadnicą - „cylindrem”).
Celem tego eseju jest rozważenie bryły geometrycznej - cylindra.
Aby osiągnąć ten cel, należy wziąć pod uwagę następujące zadania:
− podać definicje walca;
− uwzględnić elementy cylindra;
− zbadać właściwości cylindra;
− uwzględnić rodzaje sekcji cylindrów;
− wyprowadź wzór na pole walca;
− wyprowadź wzór na objętość walca;
− rozwiązywać problemy za pomocą cylindra.
1.1. Definicja cylindra
Rozważmy pewną linię (krzywą, łamaną lub mieszaną) l leżącą w jakiejś płaszczyźnie α i jakąś prostą S przecinającą tę płaszczyznę. Przez wszystkie punkty danej linii l przeciągamy proste równoległe do prostej S; powierzchnia α utworzona przez te linie proste nazywana jest powierzchnią cylindryczną. Linię l nazywa się prowadnicą tej powierzchni, linie s 1, s 2, s 3,... są jej generatorami.
Jeżeli prowadnica jest uszkodzona, wówczas taka powierzchnia cylindryczna składa się z szeregu płaskich pasków zamkniętych pomiędzy parami równoległych linii prostych i nazywana jest powierzchnią pryzmatyczną. Tworzące przechodzące przez wierzchołki łamanej linii prowadzącej nazywane są krawędziami powierzchni pryzmatycznej, płaskie paski pomiędzy nimi są jej ścianami.
Jeśli przetniemy dowolną powierzchnię cylindryczną dowolną płaszczyzną, która nie jest równoległa do jej generatorów, otrzymamy linię, którą można również potraktować jako prowadnicę dla tej powierzchni. Wśród prowadnic wyróżnia się ta, która powstaje w wyniku przecięcia powierzchni płaszczyzną prostopadłą do tworzących powierzchni. Taki odcinek nazywany jest odcinkiem normalnym, a odpowiadający mu przewodnik nazywany jest przewodnikiem normalnym.
Jeśli prowadnicą jest linia zamknięta (wypukła) (łamana lub zakrzywiona), wówczas odpowiednia powierzchnia nazywana jest zamkniętą (wypukłą) powierzchnią pryzmatyczną lub cylindryczną. Najprostsza z powierzchni cylindrycznych ma okrąg jako normalną prowadnicę. Rozcinamy zamkniętą wypukłą powierzchnię pryzmatyczną za pomocą dwóch płaszczyzn równoległych do siebie, ale nie równoległych do generatorów.
W przekrojach otrzymujemy wielokąty wypukłe. Teraz część powierzchni pryzmatycznej zawarta pomiędzy płaszczyznami α i α” oraz dwie wielokątne płytki utworzone w tych płaszczyznach ograniczają ciało zwane ciałem pryzmatycznym - pryzmatem.
Korpus cylindryczny - cylinder definiuje się podobnie jak pryzmat:
Cylinder to bryła ograniczona po bokach zamkniętą (wypukłą) powierzchnią cylindryczną, a na końcach dwiema płaskimi, równoległymi podstawami. Obie podstawy walca są równe i wszystkie składniki walca są również równe, tj. segmenty tworzące cylindrycznej powierzchni pomiędzy płaszczyznami podstaw.
Cylinder (dokładniej cylinder okrągły) to bryła geometryczna składająca się z dwóch okręgów, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie i są połączone przez równoległe przesunięcie, oraz wszystkich odcinków łączących odpowiednie punkty tych okręgów (ryc. 1) .
Okręgi nazywane są podstawami walca, a odcinki łączące odpowiednie punkty obwodów okręgów nazywane są generatorami walca.
Ponieważ tłumaczenie równoległe jest ruchem, podstawy walca są równe.
Ponieważ podczas translacji równoległej płaszczyzna przekształca się w płaszczyznę równoległą (lub w siebie), wówczas podstawy walca leżą w płaszczyznach równoległych.
Ponieważ podczas translacji równoległej punkty przesuwają się wzdłuż linii równoległych (lub pokrywających się) o tę samą odległość, wówczas generatory walca są równoległe i równe.
Powierzchnia cylindra składa się z podstawy i powierzchni bocznej. Powierzchnia boczna składa się z tworzących.
Walec nazywa się prostym, jeśli jego generatory są prostopadłe do płaszczyzn podstaw.
Prosty cylinder można sobie wizualnie wyobrazić jako bryłę geometryczną, która opisuje prostokąt podczas obracania go wokół boku jako osi (ryc. 2).
Ryż. 2 - Cylinder prosty
W dalszej części rozważymy tylko cylinder prosty, nazywając go po prostu cylindrem dla zwięzłości.
Promień walca to promień jego podstawy. Wysokość walca to odległość między płaszczyznami jego podstaw. Oś walca jest linią prostą przechodzącą przez środki podstaw. Jest równoległy do generatorów.
Walec nazywa się równobocznym, jeśli jego wysokość jest równa średnicy podstawy.
Jeżeli podstawy walca są płaskie (a zatem zawierające je płaszczyzny są równoległe), wówczas mówi się, że walec stoi na płaszczyźnie. Jeśli podstawy walca stojącego na płaszczyźnie są prostopadłe do tworzącej, wówczas cylinder nazywa się prostym.
W szczególności, jeśli podstawą walca stojącego na płaszczyźnie jest okrąg, wówczas mówimy o cylindrze kołowym (okrągłym); jeśli to jest elipsa, to jest eliptyczna.
1. 3. Sekcje cylindra
Przekrój cylindra z płaszczyzną równoległą do jego osi jest prostokątem (ryc. 3, a). Jego dwie strony są generatorami cylindra, a dwie pozostałe są równoległymi cięciwami podstaw.
A) 
B)
V) G)
Ryż. 3 – Sekcje cylindra
W szczególności prostokąt jest przekrojem osiowym. Jest to odcinek cylindra z płaszczyzną przechodzącą przez jego oś (ryc. 3, b).
Przekrój walca z płaszczyzną równoległą do podstawy to okrąg (ryc. 3, c).
Przekrój walca o płaszczyźnie nierównoległej do podstawy i jego osi jest owalny (rys. 3d).
Twierdzenie 1. Płaszczyzna równoległa do płaszczyzny podstawy walca przecina jego powierzchnię boczną wzdłuż okręgu równego obwodowi podstawy.
Dowód. Niech β będzie płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy walca. Przesunięcie równoległe w kierunku osi walca, łącząc płaszczyznę β z płaszczyzną podstawy walca, łączy przekrój powierzchni bocznej przez płaszczyznę β z obwodem podstawy. Twierdzenie zostało udowodnione.
Boczna powierzchnia cylindra.
Za pole powierzchni bocznej walca przyjmuje się granicę, do której dąży pole powierzchni bocznej graniastosłupa foremnego wpisanego w cylinder, gdy liczba boków podstawy tego pryzmatu rośnie w nieskończoność.
Twierdzenie 2. Pole powierzchni bocznej walca jest równe iloczynowi obwodu jego podstawy i jego wysokości (strona S.c = 2πRH, gdzie R jest promieniem podstawy cylindra, H jest wysokość cylindra).
A) 
B) 
Ryż. 4. Pole powierzchni bocznej cylindra
Dowód.
Niech P n i H będą odpowiednio obwodem podstawy i wysokością foremnego pryzmatu n-gonalnego wpisanego w cylinder (ryc. 4, a). Następnie pole powierzchni bocznej tego pryzmatu to bok S.c - P n H. Załóżmy, że liczba boków wielokąta wpisanego w podstawę rośnie bez ograniczeń (ryc. 4, b). Wtedy obwód P n zmierza do obwodu C = 2πR, gdzie R jest promieniem podstawy walca, a wysokość H nie ulega zmianie. Zatem pole powierzchni bocznej pryzmatu zmierza do granicy 2πRH, tj. pole powierzchni bocznej cylindra jest równe stronie S.c = 2πRH. Twierdzenie zostało udowodnione.
Całkowita powierzchnia cylindra.
Całkowita powierzchnia walca jest sumą pól powierzchni bocznej i dwóch podstaw. Pole każdej podstawy cylindra jest równe πR 2, dlatego pole całkowitej powierzchni cylindra S jest obliczane według wzoru Strona S.c = 2πRH+ 2πR 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
Ryż. 5 - Całkowita powierzchnia cylindra
Jeśli powierzchnia boczna cylindra zostanie przecięta wzdłuż tworzącej FT (ryc. 5, a) i rozłożona w taki sposób, że wszystkie generatory znajdą się w tej samej płaszczyźnie, to w rezultacie otrzymamy prostokąt FTT1F1, co nazywa się rozwinięciem powierzchnia boczna cylindra. Bok FF1 prostokąta jest rozwinięciem okręgu podstawy walca, zatem FF1=2πR, a jego bok FT jest równy tworzącej walca, tj. FT = H (ryc. 5, b). Zatem pole powierzchni FT∙FF1=2πRH rozwinięcia cylindra jest równe polu jego powierzchni bocznej.
1,5. Objętość cylindra
Jeśli ciało geometryczne jest proste, to znaczy można je podzielić na skończoną liczbę trójkątnych piramid, to jego objętość jest równa sumie objętości tych piramid. W przypadku dowolnego ciała objętość określa się w następujący sposób.
Dany korpus ma objętość V, jeśli istnieją ciała proste, które je zawierają, oraz ciała proste, których objętości są w nim minimalnie różne od V, jak jest to pożądane.
Zastosujmy tę definicję do obliczenia objętości walca o promieniu podstawy R i wysokości H.
Wyprowadzając wzór na pole koła, skonstruowano dwa n-kąty (jeden zawierający okrąg, drugi zawarty w okręgu) tak, że ich pola przy nieograniczonym wzroście n zbliżały się do pola koło bez ograniczeń. Skonstruujmy takie wielokąty dla okręgu u podstawy walca. Niech P będzie wielokątem zawierającym okrąg, a P” wielokątem zawartym w okręgu (rys. 6).
Ryż. 7 − Cylinder z opisanym i wpisanym w nim pryzmatem
Skonstruujmy dwa proste pryzmaty o podstawach P i P" oraz wysokości H równej wysokości walca. Pierwszy pryzmat zawiera walec, a drugi graniastosłup zawiera się w cylindrze. Ponieważ przy nieograniczonym wzroście n, obszary podstaw pryzmatów w sposób nieograniczony zbliżają się do obszaru podstawy walca S, wówczas ich objętości zbliżają się do SH w nieskończoność. Zgodnie z definicją objętość walca
V = SH = πR 2 H.
Zatem objętość cylindra jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości.
Zadanie 1.
Przekrój osiowy cylindra jest kwadratem o polu Q.
Znajdź obszar podstawy cylindra.
Dane: cylinder, kwadrat - przekrój osiowy cylindra, S kwadrat = Q.
Znajdź: Główny cylinder S
Bok kwadratu to . Jest równa średnicy podstawy. Dlatego obszar podstawy wynosi 
.
Odpowiedź: Główny cylinder S. =
Zadanie 2.
W cylinder wpisano regularny sześciokątny pryzmat. Znajdź kąt między przekątną jego bocznej ściany a osią walca, jeśli promień podstawy jest równy wysokości walca.
Dane: walec, sześciokąt foremny wpisany w walec, promień podstawy = wysokość walca.
Znajdź: kąt między przekątną jego bocznej powierzchni a osią cylindra.
Rozwiązanie: Boczne ściany pryzmatu są kwadratami, ponieważ bok foremnego sześciokąta wpisanego w okrąg jest równy promieniowi.
Krawędzie pryzmatu są równoległe do osi walca, dlatego kąt między przekątną lica a osią walca jest równy kątowi między przekątną a krawędzią boczną. A ten kąt wynosi 45°, ponieważ ściany są kwadratami.
Odpowiedź: kąt pomiędzy przekątną jego bocznej powierzchni a osią walca = 45°.
Zadanie 3.
Wysokość walca wynosi 6 cm, promień podstawy wynosi 5 cm.
Znajdź pole przekroju narysowanego równolegle do osi cylindra w odległości 4 cm od niego.
Dane: H = 6 cm, R = 5 cm, OE = 4 cm.
Znajdź: S sec.
S sek. = KM×KS,
OE = 4 cm, KS = 6 cm.
Trójkąt OKM - równoramienny (OK = OM = R = 5 cm),
trójkąt OEK jest trójkątem prostokątnym.
Z trójkąta OEK, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:
KM = 2EK = 2×3 = 6,
S sek. = 6×6 = 36 cm 2.
Cel tego eseju został spełniony; rozważono bryłę geometryczną, taką jak walec.
Pod uwagę brane są następujące zadania:
− podana jest definicja cylindra;
− uwzględniane są elementy cylindra;
− zbadano właściwości cylindra;
− uwzględniono rodzaje przekrojów cylindrów;
− wyprowadza się wzór na pole walca;
− wyprowadza się wzór na objętość walca;
− rozwiązano problemy za pomocą cylindra.
1. Pogorelov A.V. Geometria: Podręcznik dla 10–11 klas instytucji edukacyjnych, 1995.
2. Beskin L.N. Stereometria. Podręcznik dla nauczycieli szkół średnich, 1999.
3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometria: Podręcznik dla klas 10–11 instytucji edukacyjnych, 2000.
4. Aleksandrow A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria: podręcznik dla klas 10-11 szkół ogólnokształcących, 1998.
5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometria: Stereometria: klasy 10 – 11: Podręcznik i zeszyt problemów, 2000.
1. Sekcja osiowa cylinder to przekrój cylindra przez płaszczyznę przechodzącą przez jego oś. Przekrój osiowy cylindra wynosi prostokąt.
2. Przekrój walca z płaszczyzną równoległą do podstawy.
W tym przypadku przekrój jest okręgiem równym i równoległym do podstawy.
Stożek
Stożek to bryła geometryczna składająca się z okręgu - fusy stożek, punkt nie leżący w płaszczyźnie tego okręgu, − szczyty stożek i wszystkie segmenty łączące wierzchołek stożka z wierzchołkami podstawy.
Odcinki łączące wierzchołek stożka z punktami okręgu podstawowego nazywane są formowanie stożek
Stożek nazywa się bezpośredni, jeżeli linia prosta łącząca wierzchołek stożka ze środkiem podstawy jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
NA Ryż. A) stożek prosty, B) pochyły stożek.
W dalszej części rozważymy tylko prosty stożek!
S- wierzchołek stożka.
Okrąg ze środkami O– podstawa stożka.
SA,C.B., SC– formowanie szyszek.
Wysokość stożka nazywamy prostopadłą schodzącą z jego wierzchołka do płaszczyzny podstawy.
Oś stożka nazywamy linią prostą zawierającą jego wysokość ( WIĘC).
Właściwości stożka:
Generatory stożka są równe.
Stożek można uznać za bryłę uzyskaną przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jego boku.
Najprostsze odcinki stożka.
1. Sekcja osiowa stożek to przekrój stożka przez płaszczyznę przechodzącą przez jego oś. Przekrój osiowy stożka to trójkąt.
2. Przekrój stożka z płaszczyzną równoległą do podstawy.
W tym przypadku przekrój jest okręgiem podobnym do podstawy i równoległym do niej.
Kula to bryła geometryczna, na którą składają się wszystkie punkty przestrzeni znajdujące się w odległości nie większej niż zadana od danego punktu.
Ten punkt ( O) jest nazywany Centrum piłkę i ta odległość wynosi promień piłka.
Nazywa się granicę piłki powierzchnia kulista Lub kula.
Nazywa się każdy odcinek łączący środek kuli z punktem na powierzchni kuli promień piłka ( OD, OB, OA).
Średnica kuli to odcinek łączący dwa punkty na powierzchni kuli i przechodzący przez środek kuli ( AB).
Właściwości piłki:
Promienie kuli są równe;
Średnice kulek są równe.
Kulę można uznać za ciało powstałe w wyniku obrotu półkola wokół jego średnicy.
Najprostsze sekcje piłki
1. Przekrój piłki przez płaszczyznę przechodzącą przez jej środek. W tym przypadku sekcja jest duże koło.
2. Przekrój piłki przez płaszczyznę Nie przechodząc przez jego środek. W tym przypadku sekcja jest koło.
Powierzchnia cylindryczna m Pewna linia prosta m poruszająca się po krzywej opisuje powierzchnię cylindryczną. Jeżeli krzywa ta jest zamknięta, wówczas opisywana jest zamknięta powierzchnia cylindryczna. Jeżeli zamknięta krzywa ma kształt koła, wówczas opisuje się walec kołowy. Jeżeli prosta m jest prostopadła do płaszczyzny krzywej, to opisany jest walec kołowy prawy. RODZAJE CYLINDERÓW Cylindry eliptyczne RODZAJE CYLINDERÓW Cylindry hiperboliczne RODZAJE CYLINDRY Cylindry paraboliczne 2014-07-26 6 Definicja cylindra. Cylinder to bryła składająca się z dwóch okręgów, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie i są połączone przez równoległe przesunięcie, oraz ze wszystkich odcinków łączących odpowiednie punkty tych okręgów. Cylinder Cylinder można uzyskać obracając prostokąt wokół prostej zawierającej dowolne jego boki. Promień walca to promień jego podstawy. Wysokość walca to odległość między płaszczyznami jego podstaw. Oś walca jest linią prostą przechodzącą przez środki podstaw. Właściwości cylindra. 1) Podstawy są równe i równoległe. 2) Wszystkie tworzące walca są równoległe i sobie równe. Rozwój cylindra Boczna powierzchnia cylindra jest rozwinięta w prostokąt, którego jeden bok to wysokość cylindra, a drugi długość obwodu podstawy Walec równoboczny to cylinder, którego przekrój osiowy jest kwadratowym przekrojem cylindra. Przekrój walca z płaszczyzną równoległą do jego osi jest prostokątem. Jego dwa boki są tworzącymi walca, a dwa pozostałe są równoległymi cięciwami podstaw. Przekrój cylindra przechodzący przez oś cylindra nazywany jest przekrojem osiowym i jest również prostokątem. Płaszczyzna równoległa do płaszczyzny podstawy walca przecina jego powierzchnię boczną po okręgu równym obwodowi podstawy. Płaszczyzna styczna Jeżeli płaszczyzna ma wspólną linię prostą z powierzchnią boczną, wówczas płaszczyznę tę nazywamy płaszczyzną styczną. Linią styczności jest tworząca cylinder. Pełna i boczna powierzchnia cylindra. Powierzchnia boczna cylindra jest prostokątem, którego jeden bok to wysokość cylindra, a drugi to obwód. Całkowita powierzchnia cylindra składa się z dwóch okręgów i powierzchni bocznej. L H 2 RH S powierzchnia boczna walca i S okręgu R 2 R 2 RH 2 R (R H) 2 S koła S boczna S pełna powierzchnia walca 2 i powierzchnia walca 2 oraz Objętość walca Objętość cylinder jest równy iloczynowi powierzchni podstawy i wysokości cylindra. V S podstawa V R 2 H H Wyjaśnij, co to jest prostokątny walec kołowy? Jaki jest promień, wysokość, tworząca i oś cylindra? Jaki jest przekrój osiowy cylindra? Który cylinder nazywa się równobocznym? Jaki jest przekrój walca przez płaszczyznę prostopadłą do osi walca? Co rozumiemy przez powierzchnię boczną i całkowitą cylindra? Jak znaleźć powierzchnię boczną i całkowitą cylindra? ELEMENTY CYLINDRA Zadanie 1. Przekrój osiowy walca jest kwadratem, którego pole wynosi Q. Znajdź pole podstawy walca. Dane: walec, przekrój osiowy - kwadrat Przekrój = Q Znajdź: Sbas = Okrąg Rozwiązanie: Zadanie 2. Powierzchnia boczna cylindra zamienia się w kwadrat o powierzchni 4 cm2. Znajdź całkowitą powierzchnię i objętość walca. Załóżmy, że 3 N lokrąg Dane: cylinder Sq. = 4 cm2 Znajdź: Sp.p., Vcyl. Rozwiązanie: Prace laboratoryjne i praktyczne Temat: Cylinder 1. Definicja, właściwości. 2. Rysunek, wymiary w mm. 3. Oblicz: a) pole podstawy b) powierzchnię boczną walca. c) całą powierzchnię cylindra. d) objętość cylindra. Zadania Przekątna przekroju osiowego wynosi 48 cm. Kąt pomiędzy przekątną a tworzącą walca wynosi 60°. Znajdź 1) wysokość cylindra; 2) promień cylindra; 3) Sbas Wysokość cylindra wynosi 8 cm, promień 5 cm. Znajdź pole przekroju poprzecznego płaszczyzny równoległej do jej osi, jeśli odległość między tą płaszczyzną a osią cylindra wynosi 3 cm Pole powierzchni bocznej cylindra wynosi S. Znajdź przekrój osiowy. powierzchnia przekroju cylindra. Cylinder uzyskuje się obracając kwadrat o boku α wokół jednego z jego boków. Znajdź pole: 1) przekroju osiowego cylindra; 2) cała powierzchnia cylindra Cylinder Oryginalność w konstrukcji i architekturze Problem: O ile wzrośnie objętość komory spalania silnika samochodowego GAZ-53, jeśli średnica tłoka wynosi 10 cm, a skok tłoka wynosi 9 cm? Rozwiązanie V=пR2H: V=3,14 52 9=706,5 (cm3) Zadanie Określ pojemność zbiornika oleju pompy wspomagania samochodu ZIL130, jeśli jego średnica wynosi 126 mm, a wysokość 140 mm Rozwiązanie V=пR2H =3,14. 3969,140=174477,24