Umożliwia zdefiniowanie obwodu średnicy cięciwy o promieniu okręgu. Czym jest okrąg jako figura geometryczna: podstawowe właściwości i cechy

Koło jest figurą składającą się ze wszystkich punktów na płaszczyźnie jednakowo odległych od danego punktu. Punkt ten nazywany jest środkiem okręgu.

Okrąg o promieniu zerowym (okrąg zdegenerowany) jest punktem; czasami ten przypadek jest wyłączony z definicji.

Encyklopedyczny YouTube

    1 / 5

    Koło i jego właściwości (bezbotvy)

    Wpisany i opisany okrąg - od bezbotvy

    Matematyka: przygotowanie do egzaminu OGE i Unified State Exam. Planimetria. Koła i ich właściwości

    Matematyka 26. Kompasy. Koło i koło - szkoła Shishkina

    RÓWNANIE OKRĘGU. ZADANIE 18 (C5). ARTHUR SZARIFOW

    Napisy na filmie obcojęzycznym

Przeznaczenie

Jeżeli okrąg przechodzi np. przez punkty A, B, C, to oznacza się to poprzez wskazanie tych punktów w nawiasach: (A, B, C). Następnie łuk okręgu przechodzący przez punkty A, B, C oznaczamy jako łuk ABC (lub łuk AC) oraz υ ABC (lub υ AC).

Inne definicje

  • Średnica koła AB A, B AB widoczne pod kątem prostym (Definicja przez kąt na podstawie średnicy okręgu).
  • Okrąg z akordem AB to figura złożona z kropek A, B i wszystkie punkty płaszczyzny, z której pochodzi odcinek AB widoczne pod stałym kątem z jednej strony, równym kąt wpisany łuku AB i pod innym stałym kątem po drugiej stronie, równym 180 stopni minus kąt wpisany łuku AB, wskazano powyżej (Definicja poprzez kąt wpisany).
  • Figura składająca się z takich punktów X , (\ displaystyle X,) czyli stosunek długości odcinków TOPÓR I BX stale: ZA X b X = do ≠ 1 , (\ Displaystyle (\ Frac (AX) (BX)) = c \ neq 1,) jest kołem (Definicja poprzez okrąg Apoloniusza).
  • Figura złożona ze wszystkich takich punktów, dla każdego z których suma kwadratów odległości do dwóch danych punktów jest równa danej wartości większej niż połowa kwadratu odległości między danymi punktami, jest także kołem (Definicja poprzez twierdzenie Pitagorasa dla dowolnego trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o przeciwprostokątnej, która jest średnicą okręgu).
  • M narysuj w nim dowolne akordy AB, płyta CD, E.F. itd., wówczas obowiązują równości: ZA M ⋅ M b = do M ⋅ M re = mi M ⋅ M fa = … (\ Displaystyle AM ​​\ cdot (MB) = CM \ cdot (MD) = EM \ cdot (MF) = \ kropki ). Równość będzie zawsze spełniona niezależnie od wyboru punktu M oraz kierunki przeciągniętych przez nią akordów (Definicja poprzez przecinające się akordy).
  • Okrąg jest zamkniętą, samoprzecinającą się figurą o następującej właściwości. Jeśli przez dowolny punkt M na zewnątrz niego narysuj dwie styczne do punktów ich styku z okręgiem, np. A I B, to ich długości będą zawsze równe: M ZA = M B (\ displaystyle MA = MB). Równość będzie zawsze obowiązywać niezależnie od wyboru punktu M(Definicja poprzez równe styczne).
  • Okrąg jest zamkniętą, samoprzecinającą się figurą o następującej właściwości. Stosunek długości któregokolwiek z jego akordów do sinusa dowolnego z nich kąt wpisany, na podstawie tej cięciwy, jest stałą wartością równą średnicy tego okręgu (Definicja poprzez twierdzenie o sinusach).
  • Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy, w której odległość między ogniskami wynosi zero (Definicja w kategoriach zdegenerowanej elipsy).

Powiązane definicje jednego okręgu

  • Miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, od którego odległość do danego punktu jest nie większa niż dana niezerowa odległość, nazywa się dookoła .
  • Promień- nie tylko odległość, ale także odcinek łączący środek okręgu z jednym z jego punktów. Promień zawsze wynosi połowę średnica koła.
  • Promień jest zawsze prostopadły do ​​stycznej poprowadzonej do okręgu w jego wspólnym punkcie z okręgiem. Oznacza to, że promień jest również normalną do okręgu.
  • Koło się nazywa pojedynczy , jeśli jego promień jest równy jeden. Okrąg jednostkowy jest jednym z głównych obiektów trygonometrii.
  • Odcinek łączący dwa punkty na okręgu nazywa się jego akord. Nazywa się cięciwa przechodząca przez środek okręgu średnica.
  • Dowolne dwa nie pokrywające się punkty na okręgu dzielą go na dwie części. Każda z tych części nazywa się łuk koła. Łuk nazywa się półkole, jeżeli odcinek łączący jego końce jest średnicą.
  • Długość półkola jednostkowego jest oznaczona przez .
  • Nazywa się prostą, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem tangens do okręgu, a ich wspólny punkt nazywany jest punktem styczności prostej i okręgu.
  • Tangens do okręgu jest zawsze prostopadła do jego promienia (i średnicy) narysowanego w punkcie styku, tj normalna, przeprowadzone w tym momencie.
  • Nazywa się prostą przechodzącą przez dwa różne punkty na okręgu sieczna.

Definiowanie trójkątów dla jednego okręgu

  • Trójkąt ABC nazywa się wpisany w okrąg(A, B, C), jeśli wszystkie trzy wierzchołki A, B i C leżą na tym okręgu. W tym przypadku koło nazywa się opisany okrąg trójkąt ABC (patrz Okrąg).
  • Tangens do okręgu poprowadzonego przez dowolny wierzchołek trójkąta w niego wpisanego jest antyrównoległa do boku trójkąta przeciwnego danemu wierzchołkowi.
  • Trójkąt ABC nazywa się opisany na okręgu(A”, B”, C”), jeśli wszystkie trzy jego boki AB, BC i CA stykają się z tym okręgiem w niektórych punktach, odpowiednio C”, A” i B”. W tym przypadku koło nazywa się wpisane koło trójkąt ABC (patrz Okrąg wpisany).

Definicje kątów jednego okręgu

  • Kąt utworzony przez łuk koła o długości równej promieniowi przyjmuje się jako 1 radian.
  • Centralny kąt - kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu. Kąt środkowy jest równy mierze radianów/stopni łuku, na którym się opiera (patrz rysunek).
  • Wpisany kąt - kąt, którego wierzchołek leży na okręgu i którego boki przecinają ten okrąg. Kąt wpisany równy połowie stopnia łuku, na którym się opiera (patrz rysunek).
  • Narożnik zewnętrzny Dla Wpisany kąt - kąt utworzony przez jedną stronę i kontynuację drugiej strony wpisany kąt (patrz rys. kąt θ Brązowy kolor). Narożnik zewnętrzny gdyż kąt wpisany po drugiej stronie koła ma tę samą wartość θ .
  • Kąt między okręgiem a linią prostą- kąt między prostą a styczną do okręgu w punkcie przecięcia prostej i okręgu. Oba kąty między przecinającym się okręgiem a prostą są równe.
  • Kąt wyznaczony przez średnicę okręgu- kąt wpisany w ten okrąg, którego boki zawierają końce średnicy. Zawsze jest bezpośredni.

Powiązane definicje dwóch okręgów

  • Nazywa się dwa okręgi mające wspólny środek koncentryczny.
  • Nazywa się dwa okręgi mające tylko jeden punkt wspólny dotyczący zewnętrznie, jeśli ich okręgi nie mają innych wspólnych punktów, i wewnętrznie, jeśli ich okręgi leżą jedno w drugim.
  • Nazywa się dwa okręgi mające dwa punkty wspólne krzyżujący. Ich okręgi (ograniczone przez nie) przecinają się w obszarze zwanym segmentem podwójnego koła.
  • Kąt pomiędzy dwoma przecinającymi się (lub stycznymi) okręgami to kąt pomiędzy ich stycznymi narysowanymi we wspólnym punkcie przecięcia (lub styczności).
  • Również kąt między dwoma przecinającymi się (lub stycznymi) okręgami, możemy rozważyć kąt między ich promieniami (średnicami) narysowanymi we wspólnym punkcie przecięcia (lub styczności).
  • Ponieważ dla dowolnego okręgu jego promień (lub średnica) i styczna przechodząca przez dowolny punkt okręgu są wzajemnie prostopadłe, można rozważyć promień (lub średnicę) normalna do okręgu zbudowanego w danym punkcie. W konsekwencji dwa rodzaje kątów zdefiniowane w dwóch poprzednich akapitach będą zawsze sobie równe, podobnie jak kąty o wzajemnie prostopadłych bokach.
  • nazywa się kąt prosty prostokątny. Okręgi można policzyć prostokątny, jeśli tworzą ze sobą kąt prosty.
  • Radykalna oś dwóch okręgów- miejsce geometryczne punktów, których stopnie względem dwóch danych okręgów są równe. Innymi słowy, długości czterech stycznych poprowadzonych do dwóch danych okręgów z dowolnego punktu są równe M dane geometryczne położenie punktów.

Definicje kątów dla dwóch okręgów

  • Kąt między dwoma przecinającymi się okręgami- kąt między stycznymi do okręgów w punkcie przecięcia tych okręgów. Oba kąty między dwoma przecinającymi się okręgami są równe.
  • Kąt między dwoma rozłącznymi okręgami- kąt między dwiema wspólnymi stycznymi do dwóch okręgów, utworzony w punkcie przecięcia tych dwóch stycznych. Punkt przecięcia tych dwóch stycznych musi leżeć pomiędzy dwoma okręgami, a nie po stronie jednego z nich (kąt ten nie jest brany pod uwagę). Oba kąty pionowe między dwoma rozłącznymi okręgami są równe.

Ortogonalność

  • Nazywa się dwa okręgi przecinające się pod kątem prostym prostokątny. Okręgi można policzyć prostokątny, jeśli tworzą ze sobą kąt prosty.
  • Nazywa się dwa okręgi przecinające się w punktach A i B o środkach O i O”. prostokątny, jeśli kąty OAO” i OBO” są kątami prostymi. To właśnie ten warunek gwarantuje prosty kąt pomiędzy kręgami. W tym przypadku promienie (normalne) dwóch okręgów narysowanych do punktu ich przecięcia są prostopadłe. W związku z tym styczne dwóch okręgów poprowadzonych do punktu ich przecięcia są również prostopadłe. Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia (normalnego) poprowadzonego do punktu styczności. Zazwyczaj kąt pomiędzy krzywymi jest kątem pomiędzy ich stycznymi narysowanymi w punkcie ich przecięcia.
  • Możliwy jest jeszcze jeden dodatkowy warunek. Niech dwa okręgi przecinające się w punktach A i B mają środki przecinających się łuków w punktach C i D, czyli łuk AC jest równy łukowi CB, łuk AD jest równy łukowi DB. Następnie nazywa się te kręgi prostokątny, jeśli kąty CAD i CBD są kątami prostymi.

Powiązane definicje trzech okręgów

  • Trzy okręgi nazywane są wzajemnie stycznymi (przecinającymi się), jeśli dowolne dwa z nich stykają się (przecinają).
  • W geometrii radykalne centrum trzy okręgi to punkt przecięcia trzech radykalnych osi par okręgów. Jeśli środek radykalny leży poza wszystkimi trzema okręgami, to jest środkiem pojedynczego okręgu ( radykalne koło), który przecina trzy dane okręgi prostokątny.

Lemat Archimedesa

Dowód

Pozwalać G (\ displaystyle G)- jednorodność, która przekształca małe koło w duże. Wtedy jest to jasne ZA 1 (\ displaystyle A_ (1)) jest centrum tej jednolitości. Potem prosto B do (\ displaystyle BC) wejdzie w jakąś linię prostą za (\ displaystyle a) styczna do koła wielkiego i ZA 2 (\ displaystyle A_ (2)) przejdzie do punktu na tej prostej należącego do wielkiego okręgu. Przypominając sobie, że jednorodność sprowadza linie do linii równoległych do nich, rozumiemy to za ∥ b do (\ displaystyle a \ równolegle BC). Pozwalać sol (A 2) = ZA 3 (\ displaystyle G (A_ (2)) = A_ (3)) I re (\ displaystyle D)- punkt na linii za (\ displaystyle a), tak aby był ostry i mi (\ displaystyle E)- taki punkt na linii za (\ displaystyle a), Co ∠ b ZA 3 mi (\ displaystyle \ kąt BA_ (3) E)- pikantny. Potem, od za (\ displaystyle a)- styczna do koła wielkiego ∠ do ZA 3 re (\ displaystyle \ kąt CA_ (3) D)= (\ displaystyle =)∠ do b ZA 3 (\ displaystyle \ kąt CBA_ (3))= ∠ b ZA 3 mi = ∠ b do ZA 3 (\ Displaystyle = \ kąt BA_ (3) E = \ kąt BCA_ (3)). Stąd △ b do za 3 (\ displaystyle \ bigtriangleup BCA_ (3))- równoramienny, co oznacza ∠ b ZA 1 ZA 3 = ∠ do ZA 1 ZA 3 (\ Displaystyle \ kąt BA_ (1) A_ (3) = \ kąt CA_ (1) A_ (3)), to jest ZA 1 ZA 2 (\ Displaystyle A_ (1) A_ (2))- dwusieczna kąta ∠ b ZA 1 do (\ displaystyle \ kąt BA_ (1) C).

Twierdzenie Kartezjusza o promieniach czterech okręgów stycznych parami

Twierdzenie Kartezjusza” stwierdza, że ​​promienie dowolnych czterech wzajemnie stycznych okręgów spełniają pewne równanie kwadratowe. Czasami nazywane są kręgami Soddy'ego.

Nieruchomości

x 2 + y 2 = R 2 . (\ Displaystyle x ^ (2) + y ^ (2) = R ^ (2).)

Równanie okręgu przechodzącego przez punkty (x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\ Displaystyle \ lewo (x_ (1), y_ (1) \ prawo), \ lewo (x_ (2) ,y_(2)\prawo),\lewo(x_(3),y_(3)\prawo),) nie leży na tej samej prostej (za pomocą wyznacznika):

| x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 | = 0. (\ Displaystyle (\ początek (vmatrix) x ^ (2) + y ^ (2) i x i y i 1 \\ x_ (1) ^ (2) + y_ (1) ^ (2) i x_ (1) i y_ (1 )&1\\x_(2)^(2)+y_(2)^(2)&x_(2)&y_(2)&1\\x_(3)^(2)+y_(3)^(2)&x_ (3)&y_(3)&1\end(vmatrix))=0.) ( x = x 0 + R sałata ⁡ φ y = y 0 + R grzech ⁡ φ , 0 ⩽ φ< 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

W kartezjańskim układzie współrzędnych okrąg nie jest wykresem funkcji, ale można go opisać jako sumę wykresów dwóch następujących funkcji:

y = y 0 ± R 2 - (x - x 0) 2 . (\ Displaystyle y = y_ (0) \ pm (\ sqrt (R ^ (2) - (xx_ (0)) ^ (2))).)

Jeżeli środek okręgu pokrywa się z początkiem, funkcje przyjmują postać:

y = ± R 2 - x 2 . (\ Displaystyle y = \ pm (\ sqrt (R ^ (2) -x ^ (2))).)

Współrzędne biegunowe

Promień okręgu R (\ displaystyle R) wyśrodkowany w jednym punkcie (ρ 0, ϕ 0) (\ Displaystyle \ lewo (\ rho _ (0), \ phi _ (0) \ prawo)).

Okrąg to zakrzywiona, zamknięta linia na płaszczyźnie, której wszystkie punkty znajdują się w tej samej odległości od jednego punktu; punkt ten nazywany jest środkiem okręgu.

Część płaszczyzny ograniczona okręgiem nazywa się okręgiem.

Odcinek prosty łączący punkt okręgu z jego środkiem nazywa się promieniem(ryc. 84).

Ponieważ wszystkie punkty okręgu znajdują się w tej samej odległości od środka, wówczas wszystkie promienie tego samego okręgu są sobie równe. Promień jest zwykle oznaczony literą R Lub R.

Punkt wzięty wewnątrz okręgu znajduje się od jego środka w odległości mniejszej niż promień. Łatwo to sprawdzić, rysując promień przez ten punkt (ryc. 85).

Punkt wzięty poza okręgiem znajduje się od jego środka w odległości większej niż promień. Można to łatwo sprawdzić, łącząc ten punkt ze środkiem okręgu (ryc. 85).

Odcinek linii prostej łączący dwa punkty na okręgu nazywa się cięciwą.

Cięciwa przechodząca przez środek nazywa się średnicą(ryc. 84). Średnicę zwykle oznacza się literą D. Średnica jest równa dwóm promieniom:

Ponieważ wszystkie promienie tego samego okręgu są sobie równe, to wszystkie średnice danego okręgu są sobie równe.

Twierdzenie. Cięciwa, która nie przechodzi przez środek okręgu, jest mniejsza niż średnica narysowana w tym samym okręgu.

Tak naprawdę, jeśli narysujemy jakiś cięciw, np. AB i połączymy jego końce ze środkiem O (ryc. 86), to zobaczymy, że cięciwa AB jest mniejsza od linii łamanej AO + OB, czyli AB r, i od 2 R= D, następnie AB

Jeśli okrąg zostanie wygięty wzdłuż średnicy (ryc. 87), wówczas obie części koła i okrąg zrównają się. Średnica dzieli okrąg i obwód na dwie równe części.

Dwa koła (dwa koła) nazywane są równymi, jeśli można je nałożyć na siebie, tak aby się pokrywały.

Dlatego dwa koła (dwa koła) o równych promieniach są równe.

2. Łuk koła.

Część koła nazywa się łukiem.

Słowo „arc” jest czasami zastępowane znakiem \(\breve( )\). Łuk jest oznaczony dwiema lub trzema literami, z których dwie są umieszczone na końcach łuku, a trzecia w pewnym miejscu łuku. Na rysunku 88 wskazano dwa łuki: \(\breve(ACB)\) i \(\breve(ADB)\).

Jeśli łuk jest mniejszy od półkola, zwykle oznacza się go dwiema literami. Zatem łuk ADB można oznaczyć \(\breve(AB)\) (ryc. 88). Mówi się, że cięciwa łącząca końce łuku opiera się na łuku.

Jeżeli przesuniemy łuk AC (ryc. 89, a) tak, aby ślizgał się po danym okręgu i jednocześnie pokrywał się z łukiem MN, to \(\breve(AC)\) = \(\breve (NM)\).

Na rysunku 89, b, łuki AC i AB nie są sobie równe. Obydwa łuki zaczynają się w punkcie A, ale jeden łuk \(\breve(AB)\) jest tylko częścią drugiego łuku \(\breve(AC)\).

Zatem \(\breve(AC)\) > \(\breve(AB)\); \(\breve(AB)\)

Konstruowanie okręgu z trzech punktów

Zadanie. Narysuj okrąg przechodzący przez trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej.

Dano nam trzy punkty A, B i C, które nie leżą na tej samej prostej (ryc. 311).

Połączmy te punkty odcinkami AB i BC. Aby znaleźć punkty w równej odległości od punktów A i B, podziel odcinek AB na pół i narysuj linię prostopadłą do AB przez środek (punkt M). Każdy punkt tej prostopadłej jest jednakowo oddalony od punktów A i B.

Aby znaleźć punkty w równej odległości od punktów B i C, dzielimy odcinek BC na pół i rysujemy linię prostopadłą do BC przez jej środek (punkt N). Każdy punkt tej prostopadłej jest jednakowo oddalony od punktów B i C.

Punkt O przecięcia tych prostopadłych będzie w tej samej odległości od tych punktów A, B i C (AO = BO = CO). Jeżeli przyjmując punkt O za środek okręgu o promieniu AO, narysujemy okrąg, to przejdzie on przez wszystkie dane punkty A, B i C.

Punkt O jest jedynym punktem, który może służyć za środek okręgu przechodzącego przez trzy punkty A, B i C, które nie leżą na tej samej prostej, ponieważ dwie prostopadłe do odcinków AB i BC mogą przecinać się tylko w jednym punkcie. Oznacza to, że problem ma unikalne rozwiązanie.

Notatka. Jeżeli trzy punkty A, B i C leżą na tej samej prostej, to problem nie będzie miał rozwiązania, gdyż prostopadłe do odcinków AB i BC będą równoległe i nie będzie punktu równie odległego od punktów A, B, C, czyli… punkt, który mógłby służyć za środek pożądanego okręgu.

Jeśli połączymy punkty A i C odcinkiem i środek tego odcinka (punkt K) połączymy ze środkiem okręgu O, to OK będzie prostopadłe do AC (ryc. 311), ponieważ w trójkącie równoramiennym AOC OK jest mediana, zatem OK⊥AC.

Konsekwencja. Trzy prostopadłe do boków trójkąta poprowadzone przez ich środki przecinają się w jednym punkcie.

Koło- figura geometryczna składająca się ze wszystkich punktów płaszczyzny znajdujących się w danej odległości od danego punktu.

Ten punkt (O) nazywa się środek okręgu.
Promień okręgu- jest to odcinek łączący środek z dowolnym punktem na okręgu. Wszystkie promienie mają tę samą długość (z definicji).
Akord- odcinek łączący dwa punkty na okręgu. Nazywa się cięciwa przechodząca przez środek okręgu średnica. Środek okręgu jest środkiem dowolnej średnicy.
Dowolne dwa punkty na okręgu dzielą go na dwie części. Każda z tych części nazywa się łuk koła. Łuk nazywa się półkole, jeżeli odcinek łączący jego końce jest średnicą.
Długość półkola jednostkowego jest oznaczona przez π .
Suma miar stopnia dwóch łuków koła o wspólnych końcach jest równa 360°.
Część płaszczyzny ograniczona okręgiem nazywa się dookoła.
Sektor okrężny- część okręgu ograniczona łukiem i dwoma promieniami łączącymi końce łuku ze środkiem okręgu. Łuk ograniczający sektor nazywa się łuk sektora.
Nazywa się dwa okręgi mające wspólny środek koncentryczny.
Nazywa się dwa okręgi przecinające się pod kątem prostym prostokątny.

Względne położenie prostej i okręgu

  1. Jeżeli odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza niż promień okręgu ( d), to prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne. W tym przypadku linia jest wywoływana sieczna w stosunku do okręgu.
  2. Jeżeli odległość środka okręgu od prostej jest równa promieniowi okręgu, to prosta i okrąg mają tylko jeden punkt wspólny. Ta linia nazywa się styczna do okręgu, a ich wspólny punkt nazywa się punkt styczności prostej z okręgiem.
  3. Jeżeli odległość środka okręgu od prostej jest większa od promienia okręgu, to prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych
    4. .

Kąty środkowe i wpisane

Kąt środkowy jest kątem, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu.
Kąt wpisany- kąt, którego wierzchołek leży na okręgu i którego boki przecinają okrąg.

Twierdzenie o kącie wpisanym

Kąt wpisany mierzy się przez połowę łuku, na którym opiera się.

  • Wniosek 1.
    Kąty wpisane oparte oparte na tym samym łuku są równe.

  • Konsekwencja 2.
    Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.

Twierdzenie o iloczynie odcinków przecinających się cięciw.

Jeżeli dwie cięciwy okręgu przecinają się, to iloczyn odcinków jednego cięciwy jest równy iloczynowi odcinków drugiego cięciwy.

Podstawowe formuły

  • Obwód:
C = 2∙π∙R
  • Długość łuku kołowego:
R = С/(2∙π) = D/2
  • Średnica:
D = C/π = 2∙R
  • Długość łuku kołowego:
l = (π∙R) / 180∙α,
Gdzie α - stopniowa miara długości łuku kołowego)
  • Pole koła:
S = π∙R 2
  • Powierzchnia sektora o obiegu zamkniętym:
S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Równanie okręgu

  • W prostokątnym układzie współrzędnych równanie okręgu o promieniu wynosi R wyśrodkowany w jednym punkcie C(x o;y o) ma postać:
(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2
  • Równanie okręgu o promieniu r ze środkiem w początku ma postać:
x 2 + y 2 = r 2

Najpierw zrozummy różnicę między kołem a kołem. Aby zobaczyć tę różnicę, wystarczy rozważyć, jakie są obie liczby. Są to nieskończona liczba punktów na płaszczyźnie, znajdujących się w równej odległości od pojedynczego punktu centralnego. Ale jeśli okrąg składa się również z przestrzeni wewnętrznej, to nie należy do koła. Okazuje się, że okrąg to zarówno okrąg, który go ogranicza (circle(r)), jak i niezliczona liczba punktów znajdujących się wewnątrz okręgu.

Dla dowolnego punktu L leżącego na okręgu obowiązuje równość OL=R. (Długość odcinka OL jest równa promieniowi okręgu).

Odcinek łączący dwa punkty na okręgu to jego akord.

Cięciwa przechodząca bezpośrednio przez środek okręgu to: średnica ten okrąg (D). Średnicę można obliczyć ze wzoru: D=2R

Obwód obliczane według wzoru: C=2\pi R

Pole koła: S=\pi R^(2)

Łuk koła nazywana jest tą częścią, która znajduje się pomiędzy jego dwoma punktami. Te dwa punkty definiują dwa łuki okręgu. Akord CD opiera się na dwóch łukach: CMD i CLD. Identyczne cięciwy leżą na równych łukach.

Kąt środkowy Nazywa się kąt zawarty pomiędzy dwoma promieniami.

Długość łuku można znaleźć za pomocą wzoru:

  1. Używanie miary stopnia: CD = \frac(\pi R \alfa ^(\circ))(180^(\circ))
  2. Używając miary radianów: CD = \alpha R

Średnica prostopadła do cięciwy dzieli cięciwę i zaciągnięte przez nią łuki na pół.

Jeżeli cięciwy AB i CD okręgu przecinają się w punkcie N, to iloczyny odcinków cięciw oddzielonych punktem N są sobie równe.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu Zwyczajowo nazywa się linię prostą, która ma jeden punkt wspólny z okręgiem.

Jeżeli linia ma dwa punkty wspólne, nazywa się ją sieczna.

Jeśli narysujesz promień do punktu stycznego, będzie on prostopadły do ​​stycznej do okręgu.

Narysujmy dwie styczne z tego punktu do naszego okręgu. Okazuje się, że odcinki styczne będą sobie równe, a środek okręgu będzie leżał na dwusiecznej kąta z wierzchołkiem w tym punkcie.

AC = CB

Teraz narysujmy styczną i sieczną do okręgu z naszego punktu. Otrzymujemy, że kwadrat długości odcinka stycznego będzie równy iloczynowi całego siecznego odcinka i jego zewnętrznej części.

AC^(2) = CD \cdot BC

Możemy stwierdzić: iloczyn całego odcinka pierwszej siecznej i jej części zewnętrznej jest równy iloczynowi całego odcinka drugiej siecznej i jej części zewnętrznej.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Kąty w okręgu

Miary stopniowe kąta środkowego i łuku, na którym jest on oparty, są równe.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Kąt wpisany to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a boki zawierają cięciwy.

Można to obliczyć, znając rozmiar łuku, ponieważ jest on równy połowie tego łuku.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Na podstawie średnicy, kąta wpisanego, kąta prostego.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są jednakowe.

Kąty wpisane oparte na jednej cięciwie są jednakowe lub ich suma wynosi 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Na tym samym okręgu znajdują się wierzchołki trójkątów o jednakowych kątach i danej podstawie.

Kąt z wierzchołkiem wewnątrz okręgu i znajdujący się pomiędzy dwoma cięciwami jest równy połowie sumy wartości kątowych łuków okręgu zawartych w danym i kątach pionowych.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Kąt z wierzchołkiem poza okręgiem i znajdujący się pomiędzy dwiema siecznymi jest równy połowie różnicy wartości kątowych łuków koła zawartych wewnątrz kąta.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Wpisane koło

Wpisane koło jest okręgiem stycznym do boków wielokąta.

W miejscu przecięcia dwusiecznych narożników wielokąta znajduje się jego środek.

Nie w każdy wielokąt można wpisać okrąg.

Pole wielokąta z wpisanym okręgiem oblicza się ze wzoru:

S = pr,

p jest półobwodem wielokąta,

r jest promieniem okręgu wpisanego.

Wynika z tego, że promień okręgu wpisanego jest równy:

r = \frac(S)(p)

Sumy długości przeciwległych boków będą identyczne, jeśli okrąg zostanie wpisany w czworobok wypukły. I odwrotnie: w czworokąt wypukły wpasowuje się okrąg, jeśli sumy długości przeciwległych boków są jednakowe.

AB + DC = AD + BC

W każdy z trójkątów można wpisać okrąg. Tylko jeden jedyny. W miejscu przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych figury będzie znajdował się środek tego okręgu wpisanego.

Promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru:

r = \frac(S)(p) ,

gdzie p = \frac(a + b + c)(2)

Okrąg

Jeśli okrąg przechodzi przez każdy wierzchołek wielokąta, wówczas zwykle nazywa się taki okrąg opisano o wielokącie.

W punkcie przecięcia prostopadłych dwusiecznych boków tej figury będzie środek okręgu opisanego.

Promień można obliczyć, obliczając go jako promień okręgu opisanego na trójkącie określonym przez dowolne 3 wierzchołki wielokąta.

Warunek jest następujący: okrąg można opisać wokół czworoboku tylko wtedy, gdy suma jego przeciwległych kątów jest równa 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Wokół dowolnego trójkąta można opisać okrąg i tylko jeden. Środek takiego okręgu będzie znajdował się w punkcie przecięcia dwusiecznych prostopadłych boków trójkąta.

Promień okręgu opisanego można obliczyć korzystając ze wzorów:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c to długości boków trójkąta,

S jest obszarem trójkąta.

Twierdzenie Ptolemeusza

Na koniec rozważmy twierdzenie Ptolemeusza.

Twierdzenie Ptolemeusza stwierdza, że ​​iloczyn przekątnych jest identyczny z sumą iloczynów przeciwnych boków cyklicznego czworoboku.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Aby uzyskać ogólne pojęcie o tym, czym jest okrąg, spójrz na pierścionek lub obręcz. Możesz także wziąć okrągłą szklankę i kubek, położyć je do góry nogami na kartce papieru i narysować je ołówkiem. Przy wielokrotnym powiększeniu uzyskana linia stanie się gruba i nie do końca gładka, a jej krawędzie będą rozmyte. Okrąg jako figura geometryczna nie ma takiej cechy jak grubość.

Koło: definicja i podstawowe środki opisu

Okrąg jest zamkniętą krzywą składającą się z wielu punktów znajdujących się w tej samej płaszczyźnie i w równej odległości od środka okręgu. W tym przypadku środek znajduje się w tej samej płaszczyźnie. Z reguły jest to oznaczone literą O.

Odległość dowolnego punktu na okręgu od środka nazywa się promieniem i jest oznaczona literą R.

Jeśli połączysz dowolne dwa punkty na okręgu, powstały odcinek zostanie nazwany cięciwą. Cięciwa przechodząca przez środek okręgu to średnica oznaczona literą D. Średnica dzieli okrąg na dwa równe łuki i jest dwukrotnie większa od promienia. Zatem D = 2R lub R = D/2.

Właściwości akordów

  1. Jeśli przez dowolne dwa punkty okręgu przeciągnie się cięciwę, a następnie zostanie narysowany promień lub średnica prostopadle do tego ostatniego, wówczas odcinek ten podzieli zarówno cięciwę, jak i wycięty przez nią łuk na dwie równe części. Prawdziwe jest również stwierdzenie odwrotne: jeśli promień (średnica) dzieli cięciwę na pół, to jest do niej prostopadła.
  2. Jeżeli w obrębie tego samego okręgu poprowadzono dwie równoległe cięciwy, wówczas łuki przez nie przecięte, jak i te zawarte pomiędzy nimi, będą równe.
  3. Narysujmy dwa cięciwy PR i QS przecinające się w okręgu w punkcie T. Iloczyn odcinków jednego cięciwy będzie zawsze równy iloczynowi odcinków drugiego cięciwy, czyli PT x TR = QT x TS.

Obwód: ogólna koncepcja i podstawowe wzory

Jedną z podstawowych cech tej figury geometrycznej jest obwód. Wzór wyprowadza się na podstawie wielkości takich jak promień, średnica i stała „π”, odzwierciedlająca stałość stosunku obwodu do jego średnicy.

Zatem L = πD lub L = 2πR, gdzie L to obwód, D to średnica, R to promień.

Wzór na obwód można uznać za wyjściowy przy wyznaczaniu promienia lub średnicy dla danego obwodu: D = L/π, R = L/2π.

Czym jest okrąg: podstawowe postulaty

  • nie mają punktów wspólnych;
  • mają jeden punkt wspólny, a linia prosta nazywa się styczną: jeśli narysujesz promień przez środek i punkt styczności, to będzie on prostopadły do ​​stycznej;
  • mają dwa punkty wspólne, a prostą nazywamy sieczną.

2. Przez trzy dowolne punkty leżące na tej samej płaszczyźnie można narysować nie więcej niż jedno koło.

3. Dwa okręgi mogą stykać się tylko w jednym punkcie, który znajduje się na odcinku łączącym środki tych okręgów.

4. Przy każdym obrocie względem środka okrąg zamienia się w siebie.

5. Czym jest okrąg pod względem symetrii?

  • ta sama krzywizna linii w dowolnym punkcie;
  • względem punktu O;
  • symetria lustrzana względem średnicy.

6. Jeśli skonstruujesz dwa dowolne kąty wpisane oparte na tym samym łuku koła, będą one równe. Kąt oparty na łuku równym połowie, to znaczy odciętym o średnicę cięciwy, jest zawsze równy 90°.

7. Jeśli porównasz zamknięte zakrzywione linie o tej samej długości, okaże się, że okrąg wyznacza przekrój płaszczyzny o największej powierzchni.

Okrąg wpisany i opisany przez trójkąt

Pojęcie tego, czym jest okrąg, będzie niekompletne bez opisu cech jego związku z trójkątami.

  1. Konstruując okrąg wpisany w trójkąt, jego środek zawsze będzie pokrywał się z punktem przecięcia trójkąta.
  2. Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się w miejscu przecięcia środkowych prostopadłych do każdego z boków trójkąta.
  3. Jeśli opiszemy okrąg, to jego środek znajdzie się pośrodku przeciwprostokątnej, czyli ta ostatnia będzie średnicą.
  4. Środki okręgów wpisanych i opisanych będą w tym samym punkcie, jeśli podstawą konstrukcji jest

Podstawowe twierdzenia o okręgach i czworokątach

  1. Okrąg można opisać wokół czworoboku wypukłego tylko wtedy, gdy suma jego przeciwnych kątów wewnętrznych wynosi 180°.
  2. Można skonstruować okrąg wpisany w czworokąt wypukły, jeśli suma długości jego przeciwległych boków jest taka sama.
  3. Można opisać okrąg wokół równoległoboku, jeśli jego kąty są proste.
  4. W równoległobok można wpisać okrąg, jeśli wszystkie jego boki są równe, czyli jest to romb.
  5. Okrąg przechodzący przez narożniki trapezu można zbudować tylko wtedy, gdy jest on równoramienny. W tym przypadku środek opisanego okręgu będzie znajdował się na przecięciu czworoboku i środkowej prostopadłej narysowanej z boku.