Gminny konkurs prac badawczych i twórczych uczniów
„Wkrocz w naukę”
Sekcja MATEMATYKA
Temat: Niestandardowe metody rozwiązywania problemów irracjonalnych
równania.
Nuzhdina Maria, Szkoła Średnia MAOU nr 2
Klasa 10, wieś Karymskoje
Opiekun naukowy: Wasiljewa Elena Waleriewna,
nauczyciel matematyki
Szkoła średnia MAOU nr 2, wieś Karymskoje
Wieś Karymskoje, 2013
Streszczenie…………………………………………………………………………….3
Plan badań………………………………………………………4-5
Opis pracy:
§1. Podstawowe techniki rozwiązywania równań niewymiernych……………6-9
§2. Rozwiązywanie irracjonalnych równań poprzez zastąpienie nieznanego… 10-14
§3. Równania niewymierne sprowadzalne do modułu……….15-17
§4. Faktoryzacja…………………………………...…..18-19
§5. Równania postaci………………………………………………………20-22
§6. Twierdzenie o średniej geometrycznej w równaniach niewymiernych
; ……………………………23-24
4) Wykaz referencji………………………………………………………..25
Adnotacja.
Temat naszej pracy badawczej: „Niestandardowe techniki rozwiązywania równań niewymiernych”.
Podczas wykonywania pracy konieczne było: porównanie różnych metod rozwiązania; przejść od metod ogólnych do szczegółowych i odwrotnie; argumentować i udowadniać postawione twierdzenia; analizować i syntetyzować informacje zebrane z różnych źródeł. Pod tym względem można wyróżnić następujące metody badawcze: empiryczne; logiczne i teoretyczne (badania); krok po kroku; reprodukcyjny i heurystyczny;
W wyniku przeprowadzonych prac uzyskano co następuje wyniki i wnioski:
Istnieje wiele technik rozwiązywania równań irracjonalnych;
Nie wszystkie irracjonalne równania można rozwiązać przy użyciu standardowych technik;
Badaliśmy często występujące podstawienia, za pomocą których złożone równania niewymierne sprowadzamy do najprostszych;
Przyjrzeliśmy się niestandardowym technikom rozwiązywania równań niewymiernych
Temat: „Niestandardowe techniki rozwiązywania równań niewymiernych”
Nuzhdina M.P., Terytorium Transbajkał, wieś Karymskoje, Liceum MAOU nr 2, 10. klasa.
Plan badań.
Obszar obiektu Dziedziną, w której prowadziliśmy nasze badania, jest algebra. Obiekt badania- rozwiązywanie równań. Wśród wielu równań rozważaliśmy równania irracjonalne - przedmiot nasze badania.
Na szkolnym kursie algebry uwzględniane są wyłącznie standardowe metody i techniki rozwiązywania (podniesione do potęgi i proste techniki podstawienia). Jednak w trakcie badań stało się jasne, że istnieją irracjonalne równania, dla których standardowe techniki i metody nie wystarczą do rozwiązania. Równania takie rozwiązuje się innymi, bardziej racjonalnymi metodami.
Dlatego wierzymy, że studiowanie takich technik rozwiązań jest potrzebną i interesującą pracą.
W trakcie badań okazało się, że równań irracjonalnych jest bardzo wiele i grupowanie ich według typów i metod jest problematyczne.
Zamiar badania to badanie i systematyzacja metod rozwiązywania równań niewymiernych.
Hipoteza: Jeśli znasz niestandardowe metody rozwiązywania równań irracjonalnych, poprawi to jakość wykonywania niektórych zadań testowych Olimpiady i Unified State Exam.
Aby osiągnąć cele i przetestować hipotezę, konieczne jest rozwiązanie następujących kwestii zadania:
Scharakteryzuj rodzaje równań niewymiernych.
Ustal powiązania pomiędzy typami i metodami rozwiązań.
Oceń znaczenie sprawdzania i znajdowania DL.
Rozważ niestandardowe przypadki przy rozwiązywaniu równań niewymiernych (twierdzenie o średniej geometrycznej, właściwości monotoniczności funkcji).
Podczas badań przestudiowano wiele podręczników takich autorów, jak M.I. Skanavi, I.F. Sharygina, O.Yu. Cherkasov, A.N. Rurukin, I.T. Borodulya, a także artykuły z czasopisma naukowo-teoretycznego i metodologicznego „Matematyka w szkole”.
Temat: „Niestandardowe techniki rozwiązywania równań niewymiernych”
Nuzhdina M.P., Terytorium Transbajkał, wieś Karymskoje, Liceum MAOU nr 2, 10. klasa.
Opis pracy.
§1 Podstawowe techniki rozwiązywania równań niewymiernych
Równanie y(x)=0 jest niewymierne, jeśli funkcja y(x) zawiera pierwiastki nieznanej wielkości x lub wyrażenia zależne od x.
Wiele równań irracjonalnych można rozwiązać wyłącznie w oparciu o pojęcia pierwiastka i zakresu dopuszczalnych wartości równania (ADV), ale istnieją inne metody, z których część zostanie omówiona w pracy.
Główną techniką rozwiązywania równań irracjonalnych jest wyodrębnienie pierwiastka w jednej części równania, a następnie podniesienie obu części równania do odpowiedniej potęgi. Jeśli takich pierwiastków jest kilka, to równanie trzeba nawiasem mówiąc wielokrotnie podnieść do pierwotnej potęgi, nie ma potrzeby przejmować się tym, że wyrażenie pod znakiem pojedynczego rodnika jest nieujemne;
Jednak po podniesieniu do równej potęgi mogą pojawić się obce pierwiastki, to znaczy pierwiastki, które nie są rozwiązaniem pierwotnego równania.
Dlatego przy stosowaniu takiej metody decyzyjnej należy sprawdzić pierwiastki i odrzucić zbędne, w tym przypadku weryfikacja jest elementem decyzji i jest konieczna nawet w przypadkach, gdy nie pojawiły się niepotrzebne korzenie, ale przebieg decyzji był taki; tak, żeby mogły się pojawić. Z drugiej strony czasami łatwiej jest dokonać sprawdzenia, niż udowodnić, że jest to konieczne.
Spójrzmy na kilka przykładów:
Odpowiedź: brak korzeni
– korzeń obcy
W tych przykładach przyjrzeliśmy się standardowym metodom rozwiązywania równań niewymiernych (podnoszenie obu stron do potęgi i sprawdzanie pierwiastków).
Jednak wiele irracjonalnych równań można rozwiązać za pomocą
opiera się wyłącznie na pojęciach pierwiastka i ODZ równania.
Ponieważ w równaniu występują tylko pierwiastki stopnia parzystego, wystarczy rozwiązać układ nierówności.
3x -2x 2 +5 ≥0 (warunki równania ODZ)
4х 2 -26х +40 ≥0
Rozwiązując ten układ nierówności otrzymujemy:
x € Gdzie x = 2,5.
x € (-∞; 2,5] ᴗ )