Znalezienie pochodnej funkcji matematycznej nazywa się różniczkowaniem. Znalezienie pochodnej funkcji matematycznej jest częstym problemem spotykanym w matematyce wyższej. Można rozmawiać na różne sposoby: znaleźć pochodną, obliczyć pochodną, różniczkować funkcję, obliczyć pochodną, ale to wszystko są te same pojęcia. Istnieją oczywiście zadania złożone, w których znalezienie pochodnej jest tylko jednym ze składników problemu. W naszym serwisie internetowym masz możliwość obliczenia pochodnej online zarówno z funkcji elementarnych, jak i złożonych, które nie mają rozwiązania analitycznego. Pochodną online w naszym serwisie można znaleźć z niemal każdej funkcji matematycznej, nawet najbardziej złożonej, której inne usługi nie byłyby w stanie rozwiązać. A otrzymana odpowiedź jest zawsze w 100% poprawna i eliminuje błędy. Jak przebiega proces wyszukiwania instrumentu pochodnego, możesz zobaczyć na naszej stronie internetowej na konkretnych przykładach. Przykłady znajdują się po prawej stronie przycisku Rozwiązanie. Wybierz dowolną funkcję z listy przykładów, zostanie ona automatycznie wstawiona do pola funkcji, a następnie kliknij przycisk „Rozwiązanie”. Zobaczysz rozwiązanie krok po kroku, w ten sam sposób znajdziesz swoją pochodną. Zalety rozwiązywania instrumentów pochodnych online. Nawet jeśli wiesz, jak znaleźć instrumenty pochodne, proces ten może zająć dużo czasu i wysiłku. Strona serwisu ma na celu oszczędzić Ci żmudnych i długotrwałych obliczeń, w których również możesz popełnić błąd. Pochodną obliczamy online jednym kliknięciem przycisku „Rozwiązanie” po wejściu do określonej funkcji. Strona jest również idealna dla tych, którzy chcą sprawdzić swoje umiejętności w znajdowaniu pochodnej funkcji matematycznej i upewnić się, że ich niezależne rozwiązanie jest poprawne lub znaleźć w nim popełniony błąd. Aby to zrobić, wystarczy porównać swoją odpowiedź z wynikiem obliczeń usługi online. Jeśli nie chcesz korzystać z tabel pochodnych, których znalezienie zajmuje dużo czasu, to skorzystaj z naszej usługi zamiast tabel pochodnych, aby znaleźć pochodną. Główną zaletą naszej witryny w porównaniu z innymi podobnymi usługami jest to, że obliczenia odbywają się bardzo szybko (średnio 5 sekund) i nie trzeba za nie nic płacić - usługa jest całkowicie bezpłatna. Nie będziesz musiał się rejestrować, podawać adresu e-mail ani podawać swoich danych osobowych. Wystarczy wejść w daną funkcję i kliknąć przycisk „Rozwiązanie”. Co to jest pochodna? Pochodna funkcji to podstawowe pojęcie w matematyce i analizie matematycznej. Odwrotnością tego procesu jest całkowanie, czyli znalezienie funkcji ze znanej pochodnej. W uproszczeniu różniczkowanie to działanie na funkcję, a pochodna to wynik takiego działania. Aby obliczyć pochodną funkcji w określonym punkcie, argument x zostaje zastąpiony wartością liczbową i następuje obliczenie wyrażenia. Pochodna jest oznaczona liczbą pierwszą w prawym górnym rogu nad funkcją. Skok może być również oznaczeniem określonej funkcji. Aby znaleźć pochodną funkcji elementarnej trzeba znać tablicę pochodnych lub mieć ją zawsze pod ręką, co może nie być zbyt wygodne, a także znać zasady różniczkowania, dlatego polecamy skorzystać z naszego serwisu, gdzie pochodna jest obliczane online, wystarczy wpisać funkcję w przeznaczonym do tego polu. Argumentem musi być zmienna x, ponieważ przeprowadzane jest różnicowanie względem niej. Jeśli chcesz obliczyć drugą pochodną, możesz rozróżnić wynikową odpowiedź. Jak obliczyć pochodną online. Tablice pochodnych funkcji elementarnych powstały już dawno temu i można je łatwo znaleźć, więc obliczenie pochodnej elementarnej (prostej) funkcji matematycznej jest sprawą dość prostą. Jednak gdy trzeba znaleźć pochodną złożonej funkcji matematycznej, nie jest to już trywialne zadanie i będzie wymagało dużo wysiłku i czasu. Korzystając z naszej usługi online możesz pozbyć się bezsensownych i długotrwałych obliczeń. Dzięki niemu pochodna zostanie obliczona w ciągu kilku sekund.
Na którym zbadaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznaliśmy się z zasadami różniczkowania i niektórymi technicznymi technikami znajdowania pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry w pochodnych funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę o poważny nastrój – materiał nie jest prosty, ale mimo to postaram się go przedstawić prosto i przejrzyście.
W praktyce z pochodną funkcji złożonej mamy do czynienia bardzo często, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostaje się zadanie znalezienia pochodnych.
Patrzymy na tabelę z zasadą (nr 5) różniczkowania funkcji zespolonej:
Rozwiążmy to. Przede wszystkim zwróćmy uwagę na wpis. Tutaj mamy dwie funkcje - i , a funkcja, mówiąc w przenośni, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego typu (kiedy jedna funkcja jest zagnieżdżona w drugiej) nazywana jest funkcją złożoną.
Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona)..
! Definicje te nie mają charakteru teoretycznego i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. Używam nieformalnych wyrażeń „funkcja zewnętrzna”, „funkcja wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Państwu zrozumienie materiału.
Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:
Przykład 1
Znajdź pochodną funkcji
Pod sinusem mamy nie samą literę „X”, ale całe wyrażenie, dlatego znalezienie pochodnej od razu z tabeli nie będzie działać. Zauważamy też, że tutaj nie da się zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że sinusa nie da się „rozerwać na kawałki”:
W tym przykładzie z moich wyjaśnień wynika już intuicyjnie, że funkcja jest funkcją zespoloną, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (osadzeniem) i funkcją zewnętrzną.
Pierwszy krok co musisz zrobić, gdy znajdujesz pochodną funkcji zespolonej zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.
W przypadku prostych przykładów wydaje się jasne, że pod sinusem osadzony jest wielomian. A co jeśli nie wszystko jest oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, sugeruję zastosowanie następującej techniki, którą można wykonać mentalnie lub w przeciągu.
Wyobraźmy sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia w na kalkulatorze (zamiast jedynki może być dowolna liczba).
Co obliczymy najpierw? Przede wszystkim będziesz musiał wykonać następującą czynność: , dlatego wielomian będzie funkcją wewnętrzną: 
Po drugie trzeba będzie znaleźć, więc sinus – będzie funkcją zewnętrzną: 
Po tym, jak my WYPRZEDANE przy funkcjach wewnętrznych i zewnętrznych czas zastosować zasadę różniczkowania funkcji złożonych 
.
Zacznijmy decydować. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się w ten sposób - wyrażenie zamykamy w nawiasach i stawiamy kreskę w prawym górnym rogu:
Najpierw znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), spójrzmy na tabelę pochodnych funkcji elementarnych i zauważmy, że . Wszystkie formuły tabelaryczne mają również zastosowanie, jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, w tym przypadku:
Należy pamiętać, że funkcja wewnętrzna nie uległo zmianie, nie dotykamy tego.
Cóż, to całkiem oczywiste
Wynik zastosowania formuły 
w ostatecznej formie wygląda to tak:
Stały czynnik zwykle umieszcza się na początku wyrażenia:
W razie nieporozumień zapisz rozwiązanie na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.
Przykład 2
Znajdź pochodną funkcji
Przykład 3
Znajdź pochodną funkcji
Jak zwykle zapisujemy: 
Zastanówmy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (w pamięci lub w wersji roboczej) obliczyć wartość wyrażenia w . Co powinieneś zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, ile wynosi podstawa: dlatego wielomian jest funkcją wewnętrzną: 
I dopiero wtedy przeprowadzane jest potęgowanie, zatem funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną: 
Według formuły 
, najpierw musisz znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Wymaganego wzoru szukamy w tabeli: . Powtarzamy ponownie: dowolna formuła tabelaryczna obowiązuje nie tylko dla „X”, ale także dla wyrażenia złożonego. Zatem wynik zastosowania reguły różniczkowania funkcji zespolonej 
Następny:
Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, nasza funkcja wewnętrzna nie ulegnie zmianie: 
Teraz pozostaje tylko znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i nieco zmodyfikować wynik:
Przykład 4
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).
Aby utrwalić zrozumienie pochodnej funkcji złożonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuj sam to rozgryźć, uzasadnij, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?
Przykład 5
a) Znajdź pochodną funkcji
b) Znajdź pochodną funkcji
Przykład 6
Znajdź pochodną funkcji 
Tutaj mamy pierwiastek i aby go rozróżnić, należy go przedstawić jako potęgę. Zatem najpierw doprowadzamy funkcję do postaci odpowiedniej do różniczkowania:
Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a podniesienie do potęgi funkcją zewnętrzną. Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych 
:
Ponownie przedstawiamy stopień jako pierwiastek, a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą zasadę różniczkowania sumy:
Gotowy. Możesz także sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika w nawiasach i zapisać wszystko jako jeden ułamek. To oczywiście piękne, ale gdy otrzymasz kłopotliwe długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a sprawdzanie będzie niewygodne dla nauczyciela).
Przykład 7
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).
Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji złożonej można zastosować regułę różniczkowania ilorazu 
, ale takie rozwiązanie będzie wyglądało na niecodzienną perwersję. Oto typowy przykład:
Przykład 8
Znajdź pochodną funkcji
Tutaj możesz skorzystać z reguły różniczkowania ilorazu 
, ale znacznie bardziej opłacalne jest znalezienie pochodnej poprzez regułę różniczkowania funkcji zespolonej:
Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - usuwamy minus ze znaku pochodnej, a cosinus podnosimy do licznika:
Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej reguły 
:
Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej i cofamy cosinus w dół:
Gotowy. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Nawiasem mówiąc, spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły 
, odpowiedzi muszą się zgadzać.
Przykład 9
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).
Do tej pory przyglądaliśmy się przypadkom, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w funkcji zespolonej. W zadaniach praktycznych często można spotkać pochodne, gdzie niczym zagnieżdżanie lalek jedna w drugiej, zagnieżdżonych jest jednocześnie 3, a nawet 4-5 funkcji.
Przykład 10
Znajdź pochodną funkcji
Rozumiemy załączniki tej funkcji. Spróbujmy obliczyć wyrażenie, korzystając z wartości eksperymentalnej. Jak liczylibyśmy na kalkulatorze?
Najpierw musisz znaleźć , co oznacza, że arcsinus jest najgłębszym osadzeniem:
Ten arcsinus jedności należy następnie podnieść do kwadratu:
I na koniec podnosimy siedem do potęgi: 
Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa osadzania, podczas gdy najbardziej wewnętrzną funkcją jest arcsinus, a najbardziej zewnętrzną funkcją jest funkcja wykładnicza.
Zacznijmy decydować
Zgodnie z zasadą 
Najpierw musisz wziąć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tabelę pochodnych i znajdujemy pochodną funkcji wykładniczej: Jedyną różnicą jest to, że zamiast „x” mamy wyrażenie złożone, co nie neguje ważności tego wzoru. A więc wynik zastosowania reguły różniczkowania funkcji zespolonej 
Następny.
Podano przykłady obliczania pochodnych za pomocą wzoru na pochodną funkcji zespolonej.
Tutaj podajemy przykłady obliczania pochodnych następujących funkcji:
;
;
;
;
.
Jeśli funkcję można przedstawić jako funkcję złożoną w następującej postaci:
,
wówczas jego pochodną wyznacza się ze wzoru:
.
W poniższych przykładach zapiszemy tę formułę w następujący sposób:
.
Gdzie .
Tutaj indeksy dolne lub , znajdujące się pod znakiem pochodnej, oznaczają zmienne, według których przeprowadzane jest różnicowanie.
Zwykle w tablicach pochodnych podaje się pochodne funkcji od zmiennej x. Jednak x jest parametrem formalnym. Zmienną x można zastąpić dowolną inną zmienną. Dlatego różniczkując funkcję od zmiennej, po prostu zamieniamy w tabeli pochodnych zmienną x na zmienną u.
Proste przykłady
Przykład 1
Znajdź pochodną funkcji zespolonej
.
Rozwiązanie
Zapiszmy daną funkcję w równoważnej formie:
.
W tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
;
.
Zgodnie ze wzorem na pochodną funkcji zespolonej mamy:
.
Tutaj .
Odpowiedź
Przykład 2
Znajdź pochodną
.
Rozwiązanie
Wyciągamy stałą 5 ze znaku pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
.
.
Tutaj .
Odpowiedź
Przykład 3
Znajdź pochodną
.
Rozwiązanie
Wyciągamy stałą -1
dla znaku pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
;
Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
.
Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej:
.
Tutaj .
Odpowiedź
Bardziej złożone przykłady
W bardziej złożonych przykładach stosujemy zasadę kilkukrotnego różniczkowania funkcji zespolonej. W tym przypadku pochodną obliczamy od końca. Oznacza to, że dzielimy funkcję na części składowe i za pomocą znajdujemy pochodne najprostszych części tabela instrumentów pochodnych. Używamy również zasady różnicowania kwot, produkty i frakcje. Następnie dokonujemy podstawień i stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.
Przykład 4
Znajdź pochodną
.
Rozwiązanie
Wybierzmy najprostszą część wzoru i znajdźmy jej pochodną. .
.
Tutaj zastosowaliśmy oznaczenie
.
Korzystając z otrzymanych wyników, znajdujemy pochodną kolejnej części pierwotnej funkcji. Stosujemy zasadę różniczkowania sumy:
.
Po raz kolejny stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.
.
Tutaj .
Odpowiedź
Przykład 5
Znajdź pochodną funkcji
.
Rozwiązanie
Wybierzmy najprostszą część wzoru i znajdźmy jej pochodną z tabeli pochodnych. .
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.
.
Tutaj
.
Definicja. Niech funkcja \(y = f(x)\) będzie zdefiniowana w pewnym przedziale zawierającym punkt \(x_0\). Nadajmy argumentowi przyrost \(\Delta x \) tak, aby nie opuścił tego przedziału. Znajdźmy odpowiedni przyrost funkcji \(\Delta y \) (podczas przechodzenia od punktu \(x_0 \) do punktu \(x_0 + \Delta x \)) i utwórz relację \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jeżeli istnieje granica tego stosunku w \(\Delta x \rightarrow 0\), to określona granica nazywana jest pochodna funkcji\(y=f(x) \) w punkcie \(x_0 \) i oznacz \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Symbol y jest często używany do oznaczenia pochodnej. Należy zauważyć, że y" = f(x) jest funkcją nową, ale w naturalny sposób powiązaną z funkcją y = f(x), określoną we wszystkich punktach x, w których istnieje powyższa granica. Ta funkcja nazywa się następująco: pochodna funkcji y = f(x).
Geometryczne znaczenie pochodnej następująco. Jeżeli można poprowadzić styczną do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x=a, który nie jest równoległy do osi y, to f(a) wyraża nachylenie stycznej :
\(k = f"(a)\)
Ponieważ \(k = tg(a) \), to równość \(f"(a) = tan(a) \) jest prawdziwa.
Zinterpretujmy teraz definicję pochodnej z punktu widzenia przybliżonych równości. Niech funkcja \(y = f(x)\) ma pochodną w określonym punkcie \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Oznacza to, że w pobliżu punktu x przybliżona równość \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \około f"(x)\), tj. \(\Delta y \około f"(x) \cdot\ Delta x\). Znaczenie otrzymanej przybliżonej równości jest następujące: przyrost funkcji jest „prawie proporcjonalny” do przyrostu argumentu, a współczynnikiem proporcjonalności jest wartość pochodnej w danym punkcie x. Na przykład dla funkcji \(y = x^2\) obowiązuje przybliżona równość \(\Delta y \około 2x \cdot \Delta x \). Jeśli dokładnie przeanalizujemy definicję pochodnej, odkryjemy, że zawiera ona algorytm jej znajdowania.
Sformułujmy to.
Jak znaleźć pochodną funkcji y = f(x)?
1. Popraw wartość \(x\), znajdź \(f(x)\)
2. Nadaj argumentowi \(x\) przyrost \(\Delta x\), przejdź do nowego punktu \(x+ \Delta x \), znajdź \(f(x+ \Delta x) \)
3. Znajdź przyrost funkcji: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Utwórz relację \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Oblicz $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Granica ta jest pochodną funkcji w punkcie x.
Jeżeli funkcja y = f(x) ma pochodną w punkcie x, to nazywa się ją różniczkowalną w punkcie x. Wywołuje się procedurę znajdowania pochodnej funkcji y = f(x). różnicowanie funkcje y = f(x).
Omówmy następujące pytanie: w jaki sposób ciągłość i różniczkowalność funkcji w punkcie są ze sobą powiązane?
Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna w punkcie x. Następnie można narysować styczną do wykresu funkcji w punkcie M(x; f(x)) i, przypomnijmy, współczynnik kątowy stycznej jest równy f "(x). Takiego wykresu nie można „złamać” w punkcie M, czyli funkcja musi być ciągła w punkcie x.
To były argumenty „praktyczne”. Podajmy bardziej rygorystyczne uzasadnienie. Jeśli funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w punkcie x, to zachodzi przybliżona równość \(\Delta y \około f"(x) \cdot \Delta x \). Jeśli w tej równości \(\Delta x \) dąży do zera, wówczas \(\Delta y \) będzie dążyć do zera i jest to warunek ciągłości funkcji w punkcie.
Więc, jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x, to jest ciągła w tym punkcie.
Odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe. Na przykład: funkcja y = |x| jest ciągła wszędzie, w szczególności w punkcie x = 0, ale styczna do wykresu funkcji w „punkcie przecięcia” (0; 0) nie istnieje. Jeśli w pewnym momencie nie można poprowadzić stycznej do wykresu funkcji, to pochodna w tym punkcie nie istnieje.
Jeszcze jeden przykład. Funkcja \(y=\sqrt(x)\) jest ciągła na całej osi liczbowej, także w punkcie x = 0. Natomiast styczna do wykresu funkcji istnieje w dowolnym punkcie, także w punkcie x = 0 Ale w tym momencie styczna pokrywa się z osią y, tj. jest prostopadła do osi odciętych, jej równanie ma postać x = 0. Taka prosta nie ma współczynnika kąta, co oznacza, że \(f „(0)\) nie istnieje.
Zapoznaliśmy się więc z nową właściwością funkcji - różniczkowalnością. Jak z wykresu funkcji można wywnioskować, że jest ona różniczkowalna?
Właściwie odpowiedź została podana powyżej. Jeśli w pewnym momencie można poprowadzić styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi odciętych, to w tym miejscu funkcja jest różniczkowalna. Jeśli w pewnym momencie styczna do wykresu funkcji nie istnieje lub jest prostopadła do osi odciętych, to w tym momencie funkcja nie jest różniczkowalna.
Zasady różnicowania
Nazywa się operację znajdowania pochodnej różnicowanie. Wykonując tę operację, często musisz pracować z ilorazami, sumami, iloczynami funkcji, a także „funkcjami funkcji”, czyli funkcjami złożonymi. Na podstawie definicji pochodnej możemy wyprowadzić reguły różniczkowania, które ułatwiają tę pracę. Jeśli C jest liczbą stałą, a f=f(x), g=g(x) są funkcjami różniczkowalnymi, to spełnione są następujące warunki zasady różnicowania:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$