Na vašo željo!
13. Rešite enačbo 3-4cos 2 x=0. Poiščite vsoto njegovih korenin, ki pripadajo intervalu.
Zmanjšajmo stopnjo kosinusa z uporabo formule: 1+cos2α=2cos 2 α. Dobimo ekvivalentno enačbo:
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Obe strani enakosti delimo z (-2) in dobimo najenostavnejšo trigonometrično enačbo:
14. Poiščite b 5 geometrijske progresije, če je b 4 =25 in b 6 =16.
Vsak člen geometrijske progresije, začenši od drugega, je enak aritmetični sredini sosednjih členov:
(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . Imamo (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20.
15. Poiščite odvod funkcije: f(x)=tgx-ctgx.
16. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije y(x)=x 2 -12x+27
na segmentu.
Iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije y=f(x) na segmentu, morate najti vrednosti te funkcije na koncih segmenta in na tistih kritičnih točkah, ki pripadajo temu segmentu, nato pa med vsemi dobljenimi vrednostmi izbrati največjo in najmanjšo.
Poiščimo vrednosti funkcije pri x=3 in pri x=7, tj. na koncih segmenta.
y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
Poiščite odvod te funkcije: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); kritična točka x=6 pripada temu intervalu. Poiščimo vrednost funkcije pri x=6.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. Zdaj izberemo med tremi dobljenimi vrednostmi: 0; -8 in -9 največji in najmanjši: pri največjem. =0; po imenu =-9.
17. Poiščite splošno obliko protiodvodov za funkcijo:
Ta interval je domena definicije te funkcije. Odgovori se morajo začeti s F(x) in ne s f(x) - navsezadnje iščemo antiizpeljavo. Po definiciji je funkcija F(x) protiodpeljava funkcije f(x), če velja enakost: F’(x)=f(x). Tako lahko preprosto najdete izpeljanke predlaganih odgovorov, dokler ne dobite dane funkcije. Stroga rešitev je izračun integrala dane funkcije. Uporabljamo formule:
19. Napišite enačbo za premico, ki vsebuje mediano BD trikotnika ABC, če so njegova oglišča A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).
Če želite sestaviti enačbo premice, morate poznati koordinate 2 točk te premice, mi pa poznamo samo koordinate točke B. Ker mediana BD deli nasprotno stran na pol, je točka D središče segmenta AC. Koordinate sredine segmenta so polovične vsote ustreznih koordinat koncev segmenta. Poiščimo koordinate točke D.
20. Izračunaj:
24. Območje pravilnega trikotnika, ki leži na dnu prave prizme, je enako
Ta problem je nasproten problemu št. 24 iz možnosti 0021.
25. Poišči vzorec in vstavi manjkajoče število: 1; 4; 9; 16; ...
Očitno ta številka 25 , saj nam je dano zaporedje kvadratov naravnih števil:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
Srečno in uspešno vsem!
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, našim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse varovanja zasebnosti.
Za uspešno reševanje trigonometrične enačbe priročen za uporabo metoda redukcije na predhodno rešene probleme. Ugotovimo, kaj je bistvo te metode?
V vsakem predlaganem problemu morate videti predhodno rešen problem in nato z uporabo zaporednih enakovrednih transformacij poskusiti zmanjšati problem, ki vam je bil dan, na preprostejšega.
Tako pri reševanju trigonometričnih enačb običajno ustvarijo določeno končno zaporedje enakovrednih enačb, katerih zadnji člen je enačba z očitno rešitvijo. Pomembno si je le zapomniti, da če spretnosti za reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb niso razvite, bo reševanje bolj zapletenih enačb težko in neučinkovito.
Poleg tega pri reševanju trigonometričnih enačb nikoli ne pozabite, da obstaja več možnih načinov reševanja.
Primer 1. Poiščite število korenov enačbe cos x = -1/2 na intervalu.
rešitev:
Metoda I Narišimo funkciji y = cos x in y = -1/2 ter poiščimo število njunih skupnih točk na intervalu (slika 1).
Ker imata grafa funkcij dve skupni točki na intervalu, vsebuje enačba dva korena na tem intervalu.
Metoda II. S pomočjo trigonometričnega kroga (slika 2) ugotovimo število točk, ki pripadajo intervalu, v katerem je cos x = -1/2. Slika prikazuje, da ima enačba dva korena. 
III metoda. S formulo za korene trigonometrične enačbe rešimo enačbo cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – celo število (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – celo število (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – celo število (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – celo število (k € Z).
Interval vsebuje korena 2π/3 in -2π/3 + 2π, k je celo število. Tako ima enačba dva korena na danem intervalu.
Odgovor: 2.
V prihodnje bomo trigonometrične enačbe reševali po eni od predlaganih metod, kar v mnogih primerih ne izključuje uporabe drugih metod.
Primer 2. Poiščite število rešitev enačbe tg (x + π/4) = 1 na intervalu [-2π; 2π].
rešitev:
Z uporabo formule za korenine trigonometrične enačbe dobimo:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k – celo število (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – celo število (k € Z);
x = πk, k – celo število (k € Z);
Interval [-2π; 2π] pripadajo številom -2π; -π; 0; π; 2π. Torej ima enačba pet korenin na danem intervalu.
Odgovor: 5.
Primer 3. Poiščite število korenov enačbe cos 2 x + sin x · cos x = 1 na intervalu [-π; π].
rešitev:
Ker je 1 = sin 2 x + cos 2 x (osnovna trigonometrična istovetnost), ima izvirna enačba obliko:
cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x – sin x cos x = 0;
sin x(sin x – cos x) = 0. Produkt je enak nič, kar pomeni, da mora biti vsaj eden izmed faktorjev enak nič, torej:
sin x = 0 ali sin x – cos x = 0.
Ker vrednosti spremenljivke, pri kateri je cos x = 0, niso korenine druge enačbe (sinus in kosinus istega števila ne moreta biti enaka nič hkrati), obe strani druge enačbe razdelimo na s cos x:
sin x = 0 ali sin x / cos x - 1 = 0.
V drugi enačbi uporabimo dejstvo, da je tg x = sin x / cos x, potem:
sin x = 0 ali tan x = 1. Z uporabo formul imamo:
x = πk ali x = π/4 + πk, k – celo število (k € Z).
Od prve serije korenov do intervala [-π; π] pripadajo številom -π; 0; π. Iz druge serije: (π/4 – π) in π/4.
Tako pripada pet korenov prvotne enačbe intervalu [-π; π].
Odgovor: 5.
Primer 4. Poiščite vsoto korenov enačbe tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 na intervalu [-π; 1,1π].
rešitev:
Zapišimo enačbo na naslednji način:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 in naredite zamenjavo.
Naj bo tg x + сtgx = a. Kvadrirajmo obe strani enačbe:
(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Razširimo oklepaje:
tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.
Ker je tg x · сtgx = 1, potem je tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, kar pomeni
tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.
Zdaj izvirna enačba izgleda takole:
a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Z uporabo Vietovega izreka ugotovimo, da je a = -1 ali a = -2.
Naredimo obratno zamenjavo, imamo:
tg x + сtgx = -1 ali tg x + сtgx = -2. Rešimo nastale enačbe.
tg x + 1/tgx = -1 ali tg x + 1/tgx = -2.
Z lastnostjo dveh medsebojno inverznih števil ugotovimo, da prva enačba nima korenin, iz druge enačbe pa:
tg x = -1, tj. x = -π/4 + πk, k – celo število (k € Z).
Interval [-π; 1,1π] pripadajo korenoma: -π/4; -π/4 + π. Njihova vsota:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Odgovor: π/2.
Primer 5. Poiščite aritmetično sredino korenov enačbe sin 3x + sin x = sin 2x na intervalu [-π; 0,5π].
rešitev:
Uporabimo formulo sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), potem
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x in enačba postane
2sin 2x cos x = sin 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Vzemimo skupni faktor sin 2x iz oklepaja
sin 2x(2cos x – 1) = 0. Rešite dobljeno enačbo:
sin 2x = 0 ali 2cos x – 1 = 0; 
sin 2x = 0 ali cos x = 1/2;
2x = πk ali x = ±π/3 + 2πk, k – celo število (k € Z).
Tako imamo korenine
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – celo število (k € Z).
Interval [-π; 0,5π] pripadajo korenoma -π; -π/2; 0; π/2 (iz prve serije korenin); π/3 (iz druge serije); -π/3 (iz tretje serije). Njihova aritmetična sredina je:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
Odgovor: -π/6.
Primer 6. Poiščite število korenov enačbe sin x + cos x = 0 na intervalu [-1,25π; 2π].
rešitev:
Ta enačba je homogena enačba prve stopnje. Razdelimo oba njegova dela s cosx (vrednosti spremenljivke, pri kateri je cos x = 0, niso korenine te enačbe, saj sinus in kosinus istega števila ne moreta biti enaka nič hkrati). Prvotna enačba je:
x = -π/4 + πk, k – celo število (k € Z).
Interval [-1,25π; 2π] pripadajo korenoma -π/4; (-π/4 + π); in (-π/4 + 2π).
Tako dani interval vsebuje tri korene enačbe.
Odgovor: 3.
Naučite se narediti najpomembnejše - jasno si zamislite načrt za rešitev problema in potem vam bo vsaka trigonometrična enačba na dosegu roke.
Imate še vprašanja? Ne veste, kako rešiti trigonometrične enačbe?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, našim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse varovanja zasebnosti.
a) Reši enačbo: .
b) Poiščite korenine te enačbe, ki pripadajo intervalu.
Rešitev problema
Ta lekcija prikazuje primer reševanja trigonometrične enačbe, ki jo je mogoče uspešno uporabiti pri pripravi na enotni državni izpit iz matematike. Zlasti pri reševanju problemov tipa C1 bo ta rešitev postala pomembna.
Med reševanjem se trigonometrična funkcija leve strani enačbe preoblikuje z uporabo formule sinusa z dvojnim argumentom. Kosinusna funkcija na desni strani je prav tako zapisana kot sinusna funkcija z argumentom, poenostavljenim na. V tem primeru se znak pred nastalo trigonometrično funkcijo spremeni v nasprotno. Nato se vsi členi enačbe prenesejo na njeno levo stran, kjer je skupni faktor izvzet iz oklepaja. Posledično je nastala enačba predstavljena kot produkt dveh faktorjev. Vsak faktor je po vrsti enak nič, kar nam omogoča, da določimo korenine enačbe. Nato se določijo koreni enačbe, ki pripadajo podanemu intervalu. Z metodo zavojev se na konstruiranem enotnem krogu označi zavoj od leve meje danega segmenta proti desni. Najdene korenine na enotskem krogu so z segmenti povezane z njegovim središčem, nato pa se določijo točke, v katerih ti segmenti sekajo obrat. Te presečišča so odgovor na del "b" problema.