Na vašo željo!
13. Rešite enačbo 3-4cos 2 x=0. Poiščite vsoto njegovih korenin, ki pripadajo intervalu.
Stopnjo kosinusa znižamo po formuli: 1+cos2α=2cos 2 α. Dobimo ekvivalentno enačbo:
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Obe strani enačbe delimo z (-2) in dobimo najpreprostejšo trigonometrično enačbo:
14. Poiščite b 5 geometrijsko progresijo, če je b 4 =25 in b 6 =16.
Vsak člen geometrijske progresije, začenši od drugega, je enak aritmetični sredini članov, ki so mu sosednji:
(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . Imamo (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25 16 ⇒ b 5 =±5 4 ⇒ b 5 =±20.
15. Poiščite odvod funkcije: f(x)=tgx-ctgx.
16. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije y(x)=x 2 -12x+27
na segmentu.
Iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije y=f(x) na segmentu, morate najti vrednosti te funkcije na koncih segmenta in na tistih kritičnih točkah, ki pripadajo temu segmentu, nato pa med vsemi dobljenimi vrednostmi izbrati največjo in najmanjšo.
Poiščimo vrednosti funkcije pri x=3 in pri x=7, tj. na koncih segmenta.
y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
Poiščite odvod te funkcije: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); kritična točka x=6 pripada podanemu intervalu. Poiščite vrednost funkcije pri x=6.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. In zdaj izberemo med tremi dobljenimi vrednostmi: 0; -8 in -9 sta največji in najmanjši: največ. =0; pri zaposlovanju =-9.
17. Poiščite splošno obliko protiodvodov za funkcijo:
Ta interval je domena definicije te funkcije. Odgovori se morajo začeti s F(x), ne s f(x), ker iščemo antiizpeljavo. Po definiciji je funkcija F(x) antiizpeljana za funkcijo f(x), če velja enakost: F’(x)=f(x). Tako lahko le najdete izpeljanke predlaganih odgovorov, dokler ne dobite te funkcije. Stroga rešitev je izračun integrala dane funkcije. Uporabljamo formule:
19. Sestavite enačbo premice, ki vsebuje mediano BD trikotnika ABC, če so njegova oglišča A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).
Če želite sestaviti enačbo premice, morate poznati koordinate 2 točk te premice, mi pa poznamo samo koordinate točke B. Ker mediana BD deli nasprotno stran na pol, je točka D razpolovišče odseka AC. Razpolovišča odseka so polovične vsote ustreznih koordinat koncev odseka. Poiščimo koordinate točke D.
20. Izračunajte:
24. Območje pravilnega trikotnika na dnu prave prizme je
Ta težava je obratna težava 24 iz možnosti 0021.
25. Poišči vzorec in vstavi manjkajoče število: 1; 4; 9; 16; …
Očitno ta številka 25 , saj nam je dano zaporedje kvadratov naravnih števil:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
Srečno in uspešno vsem!
Vaša zasebnost nam je pomembna. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite naš pravilnik o zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Sledi nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke, da vam pošljemo pomembna obvestila in sporočila.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradnem žrebanju, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje tretjim osebam
Podatkov, ki jih prejmemo od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- V primeru, da je to potrebno - v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnem postopku in / ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - razkriti vaše osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je tako razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih namenov javnega interesa.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega tretjega naslednika.
Varstvo osebnih podatkov
Sprejemamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse glede zasebnosti in varnosti ter jih strogo uveljavljamo.
Za uspešno reševanje trigonometrične enačbe priročen za uporabo metoda redukcije na predhodno rešene probleme. Poglejmo, kaj je bistvo te metode?
V vsakem predlaganem problemu morate videti predhodno rešen problem in nato s pomočjo zaporednih enakovrednih transformacij poskusiti zmanjšati problem, ki vam je bil dan, na enostavnejšega.
Torej pri reševanju trigonometričnih enačb običajno sestavijo neko končno zaporedje enakovrednih enačb, katerih zadnja povezava je enačba z očitno rešitvijo. Pomembno si je le zapomniti, da če se spretnosti za reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb ne oblikujejo, bo rešitev bolj zapletenih enačb težavna in neučinkovita.
Poleg tega pri reševanju trigonometričnih enačb nikoli ne smete pozabiti na možnost obstoja več rešitev.
Primer 1. Poiščite število korenov enačbe cos x = -1/2 na intervalu.
rešitev:
Jaz pot. Narišimo grafa funkcij y = cos x in y = -1/2 ter poiščimo število njunih skupnih točk na intervalu (slika 1).
Ker imata grafa funkcij dve skupni točki na intervalu, vsebuje enačba dva korena na tem intervalu.
II način. S pomočjo trigonometričnega kroga (slika 2) ugotovimo število točk, ki pripadajo intervalu, v katerem je cos x = -1/2. Slika prikazuje, da ima enačba dva korena. 
III način. S formulo korenov trigonometrične enačbe rešimo enačbo cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k je celo število (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k je celo število (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k je celo število (k ∈ Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k je celo število (k ∈ Z).
Korena 2π/3 in -2π/3 + 2π pripadata intervalu, k je celo število. Tako ima enačba dva korena na danem intervalu.
Odgovor: 2.
V prihodnje se bodo trigonometrične enačbe reševale po eni od predlaganih metod, kar v mnogih primerih ne izključuje uporabe drugih metod.
Primer 2. Poiščite število rešitev enačbe tg (x + π/4) = 1 na intervalu [-2π; 2π].
rešitev:
Z uporabo formule korenin trigonometrične enačbe dobimo:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k je celo število (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k je celo število (k € Z);
x = πk, k je celo število (k € Z);
Interval [-2π; 2π] pripadajo številom -2π; -π; 0; π; 2π. Torej ima enačba pet korenin na danem intervalu.
Odgovor: 5.
Primer 3. Poiščite število korenov enačbe cos 2 x + sin x cos x = 1 na intervalu [-π; π].
rešitev:
Ker je 1 = sin 2 x + cos 2 x (osnovna trigonometrična istovetnost), izvirna enačba postane:
cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;
sin x(sin x - cos x) = 0. Produkt je enak nič, kar pomeni, da mora biti vsaj eden izmed faktorjev enak nič, torej:
sin x \u003d 0 ali sin x - cos x \u003d 0.
Ker vrednost spremenljivke, pri kateri je cos x = 0, nista korena druge enačbe (sinus in kosinus istega števila ne moreta biti enaka nič hkrati), potem oba dela druge enačbe delimo s cos x:
sin x = 0 ali sin x / cos x - 1 = 0.
V drugi enačbi uporabimo dejstvo, da je tg x = sin x / cos x, potem:
sin x = 0 ali tg x = 1. Z uporabo formul imamo:
x = πk ali x = π/4 + πk, k je celo število (k € Z).
Od prve serije korenov do intervala [-π; π] pripadajo številom -π; 0; π. Iz druge serije: (π/4 – π) in π/4.
Tako pripada pet korenov prvotne enačbe intervalu [-π; π].
Odgovor: 5.
Primer 4. Poiščite vsoto korenov enačbe tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 na intervalu [-π; 1,1π].
rešitev:
Prepišimo enačbo v naslednji obliki:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 in naredite spremembo.
Naj bo tg x + сtgx = a. Kvadrirajmo obe strani enačbe:
(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Razširimo oklepaje:
tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .
Ker je tg x сtgx \u003d 1, potem je tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, kar pomeni
tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.
Zdaj izvirna enačba izgleda takole:
a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Z uporabo Vietovega izreka dobimo, da je a = -1 ali a = -2.
Če naredimo obratno zamenjavo, imamo:
tg x + сtgx = -1 ali tg x + сtgx = -2. Rešimo dobljene enačbe.
tgx + 1/tgx = -1 ali tgx + 1/tgx = -2.
Z lastnostjo dveh medsebojno recipročnih števil ugotovimo, da prva enačba nima korenin, iz druge enačbe pa:
tg x = -1, tj. x = -π/4 + πk, k je celo število (k ∈ Z).
Interval [-π; 1,1π] pripadajo koreni: -π/4; -π/4 + π. Njihova vsota:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Odgovor: π/2.
Primer 5. Poiščite aritmetično sredino korenov enačbe sin 3x + sin x = sin 2x na intervalu [-π; 0,5π].
rešitev:
Uporabimo formulo sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), potem
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x in enačba postane
2sin 2x cos x = sin 2x;
2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Skupni faktor sin 2x vzamemo iz oklepaja
sin 2x(2cos x - 1) = 0. Rešimo nastalo enačbo:
sin 2x \u003d 0 ali 2cos x - 1 \u003d 0; 
sin 2x = 0 ali cos x = 1/2;
2x = πk ali x = ±π/3 + 2πk, k je celo število (k ∈ Z).
Tako imamo korenine
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k je celo število (k ∈ Z).
Interval [-π; 0,5π] pripadajo korenoma -π; -π/2; 0; π/2 (iz prve serije korenin); π/3 (iz druge serije); -π/3 (iz tretje serije). Njihova aritmetična sredina je:
(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.
Odgovor: -π/6.
Primer 6. Poiščite število korenov enačbe sin x + cos x = 0 na intervalu [-1,25π; 2π].
rešitev:
Ta enačba je homogena enačba prve stopnje. Oba dela delimo s cosx (vrednost spremenljivke, pri kateri je cos x = 0, nista korena te enačbe, saj sinus in kosinus istega števila ne moreta biti enaka nič hkrati). Prvotna enačba izgleda takole:
x = -π/4 + πk, k je celo število (k ∈ Z).
Vrzel [-1,25π; 2π] imajo korenine -π/4; (-π/4 + π); in (-π/4 + 2π).
Tako danemu intervalu pripadajo trije koreni enačbe.
Odgovor: 3.
Naučite se narediti najpomembnejše - jasno predstaviti načrt za rešitev problema in potem bo katera koli trigonometrična enačba na vaši rami.
Imaš kakšno vprašanje? Ne veste, kako rešiti trigonometrične enačbe?
Za pomoč mentorja - registrirajte se.
spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.
Vaša zasebnost nam je pomembna. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite naš pravilnik o zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Sledi nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke, da vam pošljemo pomembna obvestila in sporočila.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradnem žrebanju, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje tretjim osebam
Podatkov, ki jih prejmemo od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- V primeru, da je to potrebno - v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnem postopku in / ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - razkriti vaše osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je tako razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih namenov javnega interesa.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega tretjega naslednika.
Varstvo osebnih podatkov
Sprejemamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse glede zasebnosti in varnosti ter jih strogo uveljavljamo.
a) Reši enačbo: .
b) Poiščite korenine te enačbe, ki pripadajo intervalu .
Rešitev problema
Ta lekcija prikazuje primer reševanja trigonometrične enačbe, ki jo je mogoče uspešno uporabiti pri pripravi na izpit iz matematike. Zlasti pri reševanju problemov tipa C1 bo ta rešitev postala pomembna.
Med reševanjem se trigonometrična funkcija leve strani enačbe transformira z uporabo formule dvojnega argumenta sinusa. Kosinusna funkcija na desni strani je prav tako zapisana kot sinusna funkcija z argumentom, poenostavljenim na. V tem primeru se predznak pred dobljeno trigonometrično funkcijo obrne. Nadalje se vsi členi enačbe prenesejo na njeno levo stran, kjer je skupni faktor izvzet iz oklepaja. Posledično je nastala enačba predstavljena kot produkt dveh faktorjev. Vsak faktor je po vrsti enak nič, kar nam omogoča, da določimo korenine enačbe. Nato se določijo koreni enačbe, ki pripadajo podanemu intervalu. Z metodo zavojev se na konstruiranem enotnem krogu označi zavoj od leve meje danega segmenta proti desni. Najdene korenine na enotskem krogu povežemo s segmenti z njegovim središčem, nato pa določimo točke, v katerih ti segmenti sekajo tuljavo. Te presečišča so odgovor na del "b" problema.