Pravzaprav je zgodba o deljenju z nič preganjala svoje izumitelje (a). Toda Indijci so filozofi, vajeni abstraktnih problemov. Kaj pomeni deliti z nič? Za takratne Evropejce tako vprašanje sploh ni obstajalo, saj niso poznali ničle oziroma negativnih števil (ki so na lestvici levo od ničle).
V Indiji odšteti večje od manjšega in dobiti negativno število ni bil problem. Konec koncev, kaj pomeni 3-5 \u003d -2 v običajnem življenju? To pomeni, da je bil nekdo nekomu dolžan 2. Negativnim številom so rekli dolgovi.
Zdaj pa se tako preprosto lotimo vprašanja deljenja z ničlo. Davnega leta 598 našega štetja (samo pomislite, koliko časa nazaj, pred več kot 1400 leti!) se je v Indiji rodil matematik Brahmagupta, ki se je prav tako spraševal o deljenju z ničlo.
Predlagal je, da če vzamemo limono in jo začnemo rezati na koščke, bomo prej ali slej prišli do dejstva, da bodo rezine zelo majhne. V domišljiji lahko dosežemo točko, ko segmenti postanejo enaki nič. Torej, vprašanje je, če limone ne razdelite na 2, 4 ali 10 delov, ampak na neskončno število delov, kakšne velikosti so rezine?
Dobili boste neskončno število "nič rezin". Vse je čisto preprosto, limono zelo drobno narežemo, dobimo mlako z neskončnim številom delov.
A če se lotiš matematike, izpade nekako nelogično
a*0=0? Kaj če b*0=0? Torej: a*0=b*0. In od tukaj: a=b. To pomeni, da je katero koli število enako kateremu koli številu. Prva nepravilnost deljenja z ničlo, gremo naprej. V matematiki se deljenje šteje za obratno množenje.
To pomeni, da če 4 delimo z 2, poiskati moramo število, ki bo pomnoženo z 2 dalo 4. Razdelite 4 z nič - morate najti številko, ki bo, ko jo pomnožite z nič, dala 4. To je x * 0 \u003d 4? Ampak x*0=0! Spet smola. Torej sprašujemo: "Koliko ničel moraš vzeti, da dobiš 4?"
Neskončnost? Neskončno število ničel bo še vedno dalo nič.
In deljenje 0 z 0 na splošno daje negotovost, ker je 0 * x \u003d 0, kjer je x karkoli. To pomeni, da obstaja neskončno število rešitev.
Nelogično in abstraktno ničelne operacije v ozkih okvirih algebre niso dovoljene, natančneje gre za nedoločeno operacijo. Potrebuje napravo. resnejši - višja matematika. Torej na nek način ne morete deliti z nič, če pa res želite, potem lahko delite z nič, vendar morate biti pripravljeni razumeti stvari, kot je Diracova delta funkcija in druge stvari, ki jih je težko razumeti. Delite za zdravje.
Zelo pogosto se mnogi sprašujejo, zakaj ni mogoče uporabiti deljenja z nič? V tem članku bomo zelo podrobno razložili, od kod prihaja to pravilo, pa tudi, katera dejanja je mogoče izvesti z ničlo.
V stiku z
Ničlo lahko imenujemo ena najbolj zanimivih številk. Ta številka nima pomena, pomeni praznino v pravem pomenu besede. Če pa poleg katere koli števke postavite ničlo, bo vrednost te števke nekajkrat večja.
Številka je sama po sebi zelo skrivnostna. Uporabljali so ga stari Maji. Pri Majih je ničla pomenila »začetek«, od nič se je začelo tudi odštevanje koledarskih dni.
Zelo zanimiv podatek je, da sta si bila predznak nič in predznak negotovosti pri njih podobna. S tem so Maji želeli pokazati, da je nič enak znak kot negotovost. V Evropi se je oznaka nič pojavila relativno nedavno.
Veliko ljudi pozna tudi prepoved, povezano z ničlo. Vsaka oseba bo to rekla ni mogoče deliti z nič. To govorijo učitelji v šoli, otroci pa jim običajno verjamejo na besedo. Običajno otrok to preprosto ne zanima ali pa vedo, kaj se bo zgodilo, če bodo, ko bodo slišali pomembno prepoved, takoj vprašali: "Zakaj ne moreš deliti z nič?". Toda, ko postanete starejši, se zanimanje prebudi in želite izvedeti več o razlogih za takšno prepoved. Vendar pa obstajajo razumni dokazi.
Dejanja z ničlo
Najprej morate ugotoviti, katera dejanja je mogoče izvesti z ničlo. obstaja več vrst dejavnosti:
- Dodatek;
- Množenje;
- odštevanje;
- Deljenje (ničla s številom);
- Potencevanje.
Pomembno!Če kateremu koli številu med seštevanjem dodamo ničlo, bo to število ostalo enako in ne bo spremenilo svoje številske vrednosti. Enako se zgodi, če poljubnemu številu odštejete nič.
Pri množenju in deljenju je stvar nekoliko drugačna. če pomnoži poljubno število z nič, potem bo tudi produkt postal nič.
Razmislite o primeru:
Zapišimo to kot dodatek:
Skupaj je dodanih pet ničel, tako se izkaže, da
Poskusimo pomnožiti ena z nič. Tudi rezultat bo nič.
Ničlo lahko delimo tudi s katerim koli drugim številom, ki ji ni enako. V tem primeru se bo izkazalo, da bo vrednost tudi enaka nič. Enako pravilo velja za negativna števila. Če ničlo delite z negativnim številom, dobite nič.
Lahko tudi dvignete poljubno število na nič moči. V tem primeru dobite 1. Pomembno si je zapomniti, da je izraz "ničla na ničelno moč" popolnoma brez pomena. Če poskusite nič povišati na katero koli potenco, dobite nič. primer:
Uporabimo pravilo množenja, dobimo 0.
Ali je mogoče deliti z nič
Tako smo prišli do glavnega vprašanja. Ali je mogoče deliti z nič nasploh? In zakaj je nemogoče deliti število z ničlo, glede na to, da vse druge operacije z ničlo v celoti obstajajo in veljajo? Če želite odgovoriti na to vprašanje, se morate obrniti na višjo matematiko.
Začnimo z definicijo pojma, kaj je nič? Šolski učitelji trdijo, da nič ni nič. Praznina. To pomeni, da ko rečete, da imate 0 pisal, to pomeni, da sploh nimate pisal.
V višji matematiki je koncept "ničle" širši. To sploh ne pomeni prazno. Tukaj ničlo imenujemo negotovost, ker če malo raziščeš, se izkaže, da lahko z delitvijo ničle z ničlo kot rezultat dobimo katerokoli drugo število, ki morda ni nujno ničlo.
Ali veste, da tiste preproste aritmetične operacije, ki ste se jih učili v šoli, med seboj niso tako enake? Najosnovnejši koraki so seštevanje in množenje.
Za matematike pojma "" in "odštevanje" ne obstajata. Denimo: če od pet odštejemo tri, ostaneta dva. Takole izgleda odštevanje. Vendar bi matematiki to zapisali takole:
Tako se izkaže, da je neznana razlika določeno število, ki ga je treba dodati 3, da dobimo 5. To pomeni, da vam ni treba ničesar odšteti, samo najti morate ustrezno število. To pravilo velja za dodajanje.
Stvari so nekoliko drugačne z pravila množenja in deljenja. Znano je, da množenje z nič vodi do ničelnega rezultata. Na primer, če je 3:0=x, potem če obrnete zapis, dobite 3*x=0. In število, ki je pomnoženo z 0, bo dalo nič v produktu. Izkazalo se je, da število, ki bi v zmnožku z ničlo dalo kakršno koli drugo vrednost razen nič, ne obstaja. To pomeni, da je deljenje z nič nesmiselno, to pomeni, da ustreza našemu pravilu.
Toda kaj se zgodi, če poskusite ničlo deliti samo s seboj? Vzemimo x kot neko nedoločeno število. Izkazalo se je, da je enačba 0 * x \u003d 0. Lahko se reši.
Če poskusimo namesto x vzeti ničlo, dobimo 0:0=0. Bi se zdelo logično? Če pa poskušamo namesto x vzeti katero koli drugo številko, na primer 1, potem dobimo 0:0=1. Enaka situacija bo, če vzamete katero koli drugo številko in vključite v enačbo.
V tem primeru se izkaže, da lahko kot faktor vzamemo katerokoli drugo število. Rezultat bo neskončno število različnih števil. Včasih je kljub temu deljenje z 0 v višji matematiki smiselno, a takrat običajno obstaja določen pogoj, zaradi katerega še vedno lahko izberemo eno primerno število. To dejanje se imenuje "razkritje negotovosti". V običajni aritmetiki bo deljenje z ničlo spet izgubilo pomen, saj iz množice ne bomo mogli izbrati nobenega števila.
Pomembno! Ničle ni mogoče deliti z ničlo.
Nič in neskončnost
Neskončnost je zelo pogosta v višji matematiki. Ker za šolarje preprosto ni pomembno, da vedo, da še vedno obstajajo matematične operacije z neskončnostjo, učitelji otrokom ne morejo pravilno razložiti, zakaj je nemogoče deliti z nič.
Študenti se začnejo učiti osnovnih matematičnih skrivnosti šele v prvem letniku inštituta. Višja matematika ponuja velik nabor problemov, ki nimajo rešitve. Najbolj znani problemi so problemi z neskončnostjo. Rešiti jih je mogoče z matematična analiza.
Uporabite se lahko tudi v neskončnost elementarne matematične operacije: seštevanje, množenje s številom. Pogosto se uporabljata tudi odštevanje in deljenje, vendar se na koncu vseeno zmanjšata na dve preprosti operaciji.
Učbenik:"Matematika" M.I.Moro
Cilji lekcije: ustvariti pogoje za oblikovanje sposobnosti deljenja 0 s številom.
Cilji lekcije:
- razkrivajo pomen deljenja 0 s številom skozi razmerje množenja in deljenja;
- razvijati neodvisnost, pozornost, razmišljanje;
- oblikovati spretnosti reševanja primerov tabelarnega množenja in deljenja.
Za dosego cilja je bila lekcija zasnovana ob upoštevanju dejavnostni pristop.
Struktura lekcije je vključevala:
- Org. trenutek, katerega namen je bil pozitivno pripraviti otroke za učne dejavnosti.
- Motivacija omogoča posodobitev znanja, oblikovanje ciljev in ciljev lekcije. V ta namen so bile naloge iskanje dodatnega števila, razvrščanje primerov v skupine, dodajanje manjkajočih števil. Pri reševanju teh nalog so otroci naleteli na problem: bil je primer, za rešitev katerega ni dovolj obstoječega znanja. Iz tega razloga otroci postavljajo svoje cilje in določiti učne cilje za lekcijo.
- Iskanje in odkrivanje novega znanja otrokom dala priložnost ponujajo različne možnosti rešitve nalog. Na podlagi predhodno naučene snovi, znali najti pravo rešitev priti do sklep v katerem je bilo oblikovano novo pravilo.
- Med primarna fiksacijaštudenti komentiral njihova dejanja, delati po pravilu, so bili dodatno izbrani njihovi primeri temu pravilu.
- Za avtomatizacija dejanj in sposobnost uporabe pravil v nestandardnih naloge, otroci so reševali enačbe, izraze v več dejanjih.
- Samostojno delo in voden medsebojno preverjanje pokazalo, da se je večina otrok temo naučila.
- Med razmišljanja otroci so ugotovili, da je bil cilj učne ure dosežen in se ocenili s pomočjo kart.
Lekcija je temeljila na samostojnih dejanjih študentov na vsaki stopnji, popolni potopitvi v učno nalogo. To so olajšale tehnike, kot so delo v skupinah, samo- in medsebojno preverjanje, ustvarjanje situacije uspeha, diferencirane naloge, samorefleksija.
Med poukom
| Namen odra | Odrska vsebina | Študentske dejavnosti | ||||||||||||
| 1. Org. trenutek | ||||||||||||||
| Priprava učencev na delo, pozitiven odnos do učnih dejavnosti. | Spodbuda za učne aktivnosti. Preverite svojo pripravljenost na lekcijo, sedite naravnost, naslonite se na naslonjalo stola. Drgnite si ušesa, da povečate pretok krvi v možgane. Danes boste imeli veliko zanimivega dela, za katerega sem prepričan, da ga boste zelo dobro opravili. |
Organizacija delovnega mesta, preverjanje primernosti. | ||||||||||||
| 2. Motivacija. | ||||||||||||||
| Spodbujanje kognitivnih dejavnost, aktivacija miselnega procesa |
Aktualizacija znanja, ki zadostuje za pridobivanje novega znanja. Verbalno štetje. Preverjanje znanja tabelarnega množenja: |
Reševanje nalog na podlagi znanja tabelarnega množenja. | ||||||||||||
| a) poiščite dodatno število 2 4 6 7 10 12 14 6 18 24 29 36 42 Pojasnite, zakaj je odveč in s katero številko bi jo bilo treba nadomestiti. |
Iskanje dodatne številke. | |||||||||||||
| B) vpišite manjkajoča števila: … 16 24 32 … 48 … |
Dodajanje manjkajoče številke. | |||||||||||||
| Ustvarjanje problemske situacije Naloge v parih: C) Primere razporedi v 2 skupini: Zakaj je tako porazdeljen? (z odgovoroma 4 in 5). |
Razvrščanje primerov v skupine. | |||||||||||||
| kartice: 8 7-6+30:6= 28:(16:4) 6= 30-(20-10:2):5= 30-(20-10 2):5= |
Močnejši učenci delajo na posameznih kartah. | |||||||||||||
| Kaj ste opazili? Je tukaj še kakšen dodaten primer? Ali vam je uspelo rešiti vse primere? Kdo ima težave? Kako se ta primer razlikuje od ostalih? Če se kdo odloči, potem bravo. Toda zakaj se s tem primerom ne bi mogli spoprijeti vsi? |
Iskanje težav. Identifikacija manjkajočega znanja, vzroki težav. |
|||||||||||||
| Izjava izobraževalne naloge. Tukaj je primer z 0. In od 0 lahko pričakujete različne trike. To je nenavadna številka. Se spomnite, kaj veste o 0? (a 0=0, 0 a=0, 0+a=a) Navedite primere. Poglejte, kako zahrbtna je: ko jo dodamo, ne spremeni števila, ko jo pomnožimo, pa jo spremeni v 0. Ali ta pravila veljajo za naš primer? Kako se bo obnašal, ko bo jedel? |
Opazovanje znanih metod dejanj od 0 in korelacija z izvirnim primerom. | |||||||||||||
| Kaj je torej naš cilj? Pravilno reši ta primer. Tabela na tabli. Kaj je potrebno za to? Naučite se pravila za deljenje 0 s številom. |
postavljanje hipoteze, | |||||||||||||
| Kako najti pravo rešitev? Kaj je operacija množenja? (z delitvijo) Navedite primer 2 3 = 6 6: 2 = 3 Lahko zdaj 0:5? To pomeni, da morate najti število, ki bo pomnoženo s 5 0. x 5=0 To število je 0. Torej, 0:5=0. Navedite svoje primere. |
iskanje rešitve na podlagi predhodno naučenega, | |||||||||||||
| Oblikovanje pravila. Kakšno pravilo je mogoče oblikovati zdaj? Ko 0 delite s številom, dobite 0. 0: a = 0. |
Reševanje tipičnih nalog s komentiranjem. Delajte po shemi (0: a = 0) |
|||||||||||||
| 5. Fizikalne minute. | ||||||||||||||
| Preprečevanje motenj drže, odstranitev utrujenosti iz oči, splošna utrujenost. | ||||||||||||||
| 6. Avtomatizacija znanja. | ||||||||||||||
| Razkrivanje meja uporabnosti novih spoznanj. | Katere druge naloge bi lahko zahtevale poznavanje tega pravila? (pri reševanju primerov, enačb) |
Uporaba pridobljenega znanja pri različnih nalogah. Skupinsko delo. |
||||||||||||
| Kaj je neznanega v teh enačbah? Spomnite se, kako najti neznani množitelj. Reši enačbe. Kaj je rešitev v 1 enačbi? (0) Pri 2? (ni rešitve, ne moreš deliti z 0) |
Ponovni pregled prej naučenih veščin. | |||||||||||||
| ** Sestavite enačbo z rešitvijo x=0 (x 5=0) | Za močne učence, ustvarjalna naloga | |||||||||||||
| 7. Samostojno delo. | ||||||||||||||
| Razvoj samostojnosti, kognitivnih sposobnosti | Samostojno delo z naknadnim medsebojnim preverjanjem. №6 |
Aktivna miselna dejanja študentov, povezana z iskanjem rešitev, ki temeljijo na njihovem znanju. Samokontrola in medsebojna kontrola. Močnejši učenci preizkušajo in pomagajo šibkejšim. |
||||||||||||
| 8. Delo na predhodno obravnavanem gradivu. Razvoj sposobnosti reševanja problemov. | ||||||||||||||
| Oblikovanje veščin reševanja problemov. | Kaj mislite, kako pogosto se v nalogah uporablja številka 0? (Ne, ne pogosto, ker 0 ni nič, naloge pa bi morale imeti nekaj nečesa.) Nato bomo reševali naloge, kjer so druga števila. Preberi nalogo. Kaj bo pomagalo rešiti težavo? (miza) Katere stolpce v tabeli je treba napisati? Izpolni tabelo. Naredite načrt za rešitev: kaj se morate naučiti v 1, v 2 akciji? |
Delo na nalogi z uporabo preglednice. Načrtovanje reševanja problemov. Rešitev za samosnemanje. Model samokontrole. |
||||||||||||
| 9. Razmislek. Rezultati lekcije. | ||||||||||||||
| Organizacija samoocenjevanja dejavnosti. Povečanje motivacije otroka. |
Katero temo obravnavate danes? Česa niste vedeli na začetku lekcije? Kakšen cilj ste si zadali? Ste ga dosegli? Katero pravilo si izmislil? Ocenite svoje delo z nastavitvijo ustrezne značke:
| Zavedanje lastne dejavnosti, introspekcija svojega dela. Ugotavljanje skladnosti rezultatov dejavnosti in cilja. | ||||||||||||
| 10. Domača naloga. | ||||||||||||||
Pravijo, da lahko delite z nič, če določite rezultat deljenja z nič. Treba je le razširiti algebro. Po nenavadnem naključju ni mogoče najti vsaj kakšnega, a bolj razumljivega in preprostega primera takšne razširitve. Če želite popraviti internet, potrebujete predstavitev ene od metod za takšno razširitev ali opis, zakaj to ni mogoče.
Članek je napisan v nadaljevanju trenda:
Zavrnitev odgovornosti
Namen tega članka je v "človeškem jeziku" razložiti, kako delujejo temeljni temelji matematike, strukturirati znanje in obnoviti zgrešena vzročno-posledična razmerja med deli matematike. Vsi argumenti so filozofski, v smislu sodb se razlikujejo od splošno sprejetih (torej ne trdi, da je matematično strog). Članek je zasnovan za raven bralca, ki je "pred mnogimi leti opravil stolp."Razumevanje principov aritmetike, elementarne, splošne in linearne algebre, matematične in nestandardne analize, teorije množic, splošne topologije, projektivne in afine geometrije je zaželeno, ni pa obvezno.
Med poskusi ni bila prizadeta niti ena neskončnost.
Prolog
Iti »onstran« je naraven proces iskanja novega znanja. A vsako iskanje ne prinese novega znanja in s tem koristi.1. Na splošno nam je že vse razdeljeno!
1.1 Afina razširitev številske premice
Začnimo s tem, kje začnejo verjetno vsi pustolovci pri deljenju z nič. Spomnimo se grafa funkcije
.
Levo in desno od ničle gre funkcija v različnih smereh »neobstoja«. Na sami ničli je na splošno "vrtinec" in nič ni vidno.
Namesto da se brezglavo vržemo v »bazen«, poglejmo, kaj priteče vanj in kaj od tam odteka. Za to uporabljamo mejo - glavno orodje matematične analize. Glavni »trik« je v tem, da ti limit omogoča, da greš do dane točke čim bližje, ne pa da jo »stopiš«. Takšna "ograja" pred "whirlpoolom".
Original
V redu, "ograja" je bila postavljena. Ni več tako strašno. Do »vrtinca« imamo dve poti. Gremo levo - strm spust, desno - strm vzpon. Ne glede na to, koliko greš do "ograje", se ne približa. Nikakor se ne da preseči spodnjega in zgornjega »neobstoja«. Porajajo se sumi, se morda vrtimo v krogu? Čeprav ne, številke se spreminjajo, torej ne v krogu. Pobrskajmo še po skrinji z orodji matematične analize. Poleg limitov z "ograjo" sta v kompletu priložena pozitivna in negativna neskončnost. Vrednosti so popolnoma abstraktne (ne številke), dobro formalizirane in pripravljene za uporabo! To nam ustreza. Dopolnimo našo »bit« (množico realnih števil) z dvema predznačenima neskončnostma.
Matematični jezik:
Prav ta razširitev vam omogoča, da vzamete mejo, ko se argument nagiba k neskončnosti, in dobite neskončnost kot rezultat prevzema meje.Obstajata dve veji matematike, ki isto stvar opisujeta z različno terminologijo.
Povzeti:
v suhem ostanku. Stari pristopi ne delujejo več. Povečala se je kompleksnost sistema v obliki kopice »če«, »za vse razen« itd. Imeli smo samo dve negotovosti 1/0 in 0/0 (močnostnih operacij nismo upoštevali), tako da jih je bilo pet. Razkritje ene negotovosti je povzročilo še več negotovosti.
1.2 Kolo
Vse pa se ni ustavilo pri uvedbi neskončnosti brez predznaka. Da se rešiš iz negotovosti, potrebuješ drugi veter.Torej imamo nabor realnih števil in dve negotovosti 1/0 in 0/0. Da bi odpravili prvo, smo izvedli projektivno razširitev realne premice (torej uvedli neskončnost brez predznaka). Poskusimo obravnavati drugo negotovost oblike 0/0. Naredimo enako. Dopolnimo niz števil z novim elementom, ki predstavlja drugo negotovost.
Definicija deljenja temelji na množenju. Ne ustreza nam. Odvežimo operacije eno od druge, vendar ohranimo običajno vedenje za realna števila. Definirajmo unarno operacijo deljenja, označeno z "/".
Opredelimo operacije.
Ta struktura se imenuje "kolo". Izraz smo prevzeli zaradi podobnosti s topološko sliko projektivnega podaljška realne premice in točke 0/0.
Vse je videti dobro, a hudič je v podrobnostih:
Za poravnavo vseh funkcij je poleg razširitve nabora elementov dodan bonus v obliki ne ene, ampak dveh identitet, ki opisujeta distribucijski zakon.
Matematični jezik:Z vidika splošne algebre smo delovali na polju . In v polju, kot veste, sta definirani le dve operaciji (seštevanje in množenje). Koncept delitve je izpeljan skozi obratne, in če je še globlje, potem posamezne elemente. Izvedene spremembe spremenijo naš algebraični sistem v monoid tako z operacijo seštevanja (z ničlo kot nevtralnim elementom) kot z operacijo množenja (z enoto kot nevtralnim elementom).V delih odkriteljev se simbola ∞ in ⊥ ne uporabljata vedno. Namesto tega lahko vidite vnos v obliki /0 in 0/0.
Svet ni več tako lep, kajne? Kljub temu ne hitite. Preverimo, ali bodo nove identitete distribucijskega zakona kos našemu razširjenemu naboru.
Tokrat je rezultat veliko boljši.Povzeti:
v suhem ostanku. Algebra deluje odlično. Vendar pa je bil za osnovo vzet koncept "nedefinirano", ki se je začel obravnavati kot nekaj obstoječega in z njim delovati. Nekega dne bo nekdo rekel, da je vse slabo in morate to "nedefinirano" razdeliti na več "nedefiniranih", vendar manjših. Splošna algebra bo rekla: "Ni problema, brat!".
Tako so postulirane dodatne (j in k) imaginarne enote v kvaternionih Dodaj oznake
Pravijo, da lahko delite z nič, če določite rezultat deljenja z nič. Treba je le razširiti algebro. Po nenavadnem naključju ni mogoče najti vsaj kakšnega, a bolj razumljivega in preprostega primera takšne razširitve. Če želite popraviti internet, potrebujete predstavitev ene od metod za takšno razširitev ali opis, zakaj to ni mogoče.
Članek je napisan v nadaljevanju trenda:
Zavrnitev odgovornosti
Namen tega članka je v "človeškem jeziku" razložiti, kako delujejo temeljni temelji matematike, strukturirati znanje in obnoviti zgrešena vzročno-posledična razmerja med deli matematike. Vsi argumenti so filozofski, v smislu sodb se razlikujejo od splošno sprejetih (torej ne trdi, da je matematično strog). Članek je zasnovan za raven bralca, ki je "pred mnogimi leti opravil stolp."Razumevanje principov aritmetike, elementarne, splošne in linearne algebre, matematične in nestandardne analize, teorije množic, splošne topologije, projektivne in afine geometrije je zaželeno, ni pa obvezno.
Med poskusi ni bila prizadeta niti ena neskončnost.
Prolog
Iti »onstran« je naraven proces iskanja novega znanja. A vsako iskanje ne prinese novega znanja in s tem koristi.1. Na splošno nam je že vse razdeljeno!
1.1 Afina razširitev številske premice
Začnimo s tem, kje začnejo verjetno vsi pustolovci pri deljenju z nič. Spomnimo se grafa funkcije.
Levo in desno od ničle gre funkcija v različnih smereh »neobstoja«. Na sami ničli je na splošno "vrtinec" in nič ni vidno.
Namesto da se brezglavo vržemo v »bazen«, poglejmo, kaj priteče vanj in kaj od tam odteka. Za to uporabljamo mejo - glavno orodje matematične analize. Glavni »trik« je v tem, da ti limit omogoča, da greš do dane točke čim bližje, ne pa da jo »stopiš«. Takšna "ograja" pred "whirlpoolom".
Original
V redu, "ograja" je bila postavljena. Ni več tako strašno. Do »vrtinca« imamo dve poti. Gremo levo - strm spust, desno - strm vzpon. Ne glede na to, koliko greš do "ograje", se ne približa. Nikakor se ne da preseči spodnjega in zgornjega »neobstoja«. Porajajo se sumi, se morda vrtimo v krogu? Čeprav ne, številke se spreminjajo, torej ne v krogu. Pobrskajmo še po skrinji z orodji matematične analize. Poleg limitov z "ograjo" sta v kompletu priložena pozitivna in negativna neskončnost. Vrednosti so popolnoma abstraktne (ne številke), dobro formalizirane in pripravljene za uporabo! To nam ustreza. Dopolnimo našo »bit« (množico realnih števil) z dvema predznačenima neskončnostma.
Matematični jezik:
Prav ta razširitev vam omogoča, da vzamete mejo, ko se argument nagiba k neskončnosti, in dobite neskončnost kot rezultat prevzema meje.Obstajata dve veji matematike, ki isto stvar opisujeta z različno terminologijo.
Povzeti:
v suhem ostanku. Stari pristopi ne delujejo več. Povečala se je kompleksnost sistema v obliki kopice »če«, »za vse razen« itd. Imeli smo samo dve negotovosti 1/0 in 0/0 (močnostnih operacij nismo upoštevali), tako da jih je bilo pet. Razkritje ene negotovosti je povzročilo še več negotovosti.
1.2 Kolo
Vse pa se ni ustavilo pri uvedbi neskončnosti brez predznaka. Da se rešiš iz negotovosti, potrebuješ drugi veter.Torej imamo nabor realnih števil in dve negotovosti 1/0 in 0/0. Da bi odpravili prvo, smo izvedli projektivno razširitev realne premice (torej uvedli neskončnost brez predznaka). Poskusimo obravnavati drugo negotovost oblike 0/0. Naredimo enako. Dopolnimo niz števil z novim elementom, ki predstavlja drugo negotovost.
Definicija deljenja temelji na množenju. Ne ustreza nam. Odvežimo operacije eno od druge, vendar ohranimo običajno vedenje za realna števila. Definirajmo unarno operacijo deljenja, označeno z "/".
Opredelimo operacije.
Ta struktura se imenuje "kolo". Izraz smo prevzeli zaradi podobnosti s topološko sliko projektivnega podaljška realne premice in točke 0/0.
Vse je videti dobro, a hudič je v podrobnostih:
Za poravnavo vseh funkcij je poleg razširitve nabora elementov dodan bonus v obliki ne ene, ampak dveh identitet, ki opisujeta distribucijski zakon.
Matematični jezik:Z vidika splošne algebre smo delovali na polju . In v polju, kot veste, sta definirani le dve operaciji (seštevanje in množenje). Koncept delitve je izpeljan skozi obratne, in če je še globlje, potem posamezne elemente. Izvedene spremembe spremenijo naš algebraični sistem v monoid tako z operacijo seštevanja (z ničlo kot nevtralnim elementom) kot z operacijo množenja (z enoto kot nevtralnim elementom).V delih odkriteljev se simbola ∞ in ⊥ ne uporabljata vedno. Namesto tega lahko vidite vnos v obliki /0 in 0/0.
Svet ni več tako lep, kajne? Kljub temu ne hitite. Preverimo, ali bodo nove identitete distribucijskega zakona kos našemu razširjenemu naboru
Tokrat je rezultat veliko boljši.Povzeti:
v suhem ostanku. Algebra deluje odlično. Vendar pa je bil za osnovo vzet koncept "nedefinirano", ki se je začel obravnavati kot nekaj obstoječega in z njim delovati. Nekega dne bo nekdo rekel, da je vse slabo in morate to "nedefinirano" razdeliti na več "nedefiniranih", vendar manjših. Splošna algebra bo rekla: "Ni problema, brat!".
Tako so postulirane dodatne (j in k) imaginarne enote v kvaternionih Dodaj oznake