Funkcija je model. Definirajmo X kot niz vrednosti neodvisne spremenljivke // neodvisno pomeni katero koli.
Funkcija je pravilo, s pomočjo katerega lahko za vsako vrednost neodvisne spremenljivke iz množice X najdemo enolično vrednost odvisne spremenljivke. // tj. za vsak x obstaja en y.
Iz definicije sledi, da obstajata dva pojma - neodvisna spremenljivka (ki jo označimo z x in ima lahko poljubno vrednost) in odvisna spremenljivka (ki jo označimo z y ali f (x) in se izračuna iz funkcije, ko zamenjamo x).
NA PRIMER y=5+x
1. Neodvisen je x, kar pomeni, da vzamemo poljubno vrednost, naj bo x=3
2. Sedaj pa izračunajmo y, kar pomeni y=5+x=5+3=8. (y je odvisen od x, ker ne glede na x, ki ga nadomestimo, dobimo enak y)
Za spremenljivko y pravimo, da je funkcionalno odvisna od spremenljivke x in jo označimo na naslednji način: y = f (x).
NA PRIMER.
1.y=1/x. (imenovano hiperbola)
2. y=x^2. (imenovana parabola)
3.y=3x+7. (imenovana ravna črta)
4. y= √ x. (imenovana veja parabole)
Neodvisna spremenljivka (ki jo označimo z x) se imenuje argument funkcije.
Domena funkcije
Nabor vseh vrednosti, ki jih ima argument funkcije, se imenuje domena funkcije in je označen z D(f) ali D(y).
Upoštevajte D(y) za 1.,2.,3.,4.
1. D (y)= (∞; 0) in (0;+∞) //celoten niz realnih števil razen ničle.
2. D (y)= (∞; +∞)//vse število realnih števil
3. D (y)= (∞; +∞)//vse število realnih števil
4. D (y) = . Ostaja najti presečišče nizov vrednosti x, tako da x∈D(f 2) in f 2 (x)∈D(f 1) : 
Če želite arcsinx>0, si zapomnite lastnosti funkcije arcsinx. Arkusin narašča skozi celotno domeno definicije [−1, 1] in gre na nič pri x=0, zato je arcsinx>0 za vsak x iz intervala (0, 1] .
Vrnimo se k sistemu: 
Tako je zahtevana domena definicije funkcije polovični interval (0, 1].
odgovor:
(0, 1] .
Zdaj pa preidimo na kompleksne funkcije splošne oblike y=f 1 (f 2 (...f n (x)))). Domen definicije funkcije f v tem primeru najdemo kot 
.
Primer.
Poiščite domeno funkcije 
.
rešitev.
Dano kompleksno funkcijo lahko zapišemo kot y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), kjer je f 1 – sin, f 2 – korenska funkcija četrte stopnje, f 3 – log.
Vemo, da je D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)= ∪ ∪
Pri verbalni metodi določanja funkcije morate natančno prebrati pogoj in tam poiskati omejitve za X-je. Včasih oči iščejo formule, besede pa žvižgajo mimo zavesti ja ...) Primer iz prejšnje lekcije:
Funkcijo določa pogoj: vsaka vrednost naravnega argumenta x je povezana z vsoto števk, ki sestavljajo vrednost x.
Tukaj je treba opozoriti, da govorimo samo o naravnih vrednostih X. Potem D(f) takoj posneto:
D(f): x ∈ n
Kot lahko vidite, domena funkcije ni tako zapleten koncept. Iskanje tega območja se zmanjša na pregled funkcije, pisanje sistema neenačb in rešitev tega sistema. Seveda obstajajo vse vrste sistemov, preprosti in kompleksni. ampak...
Povedal vam bom majhno skrivnost. Včasih je funkcija, za katero morate najti domeno definicije, videti preprosto zastrašujoča. Rad bi bledel in jokal.) Toda takoj, ko zapišem sistem neenakosti ... In nenadoma se izkaže, da je sistem elementaren! Še več, pogosto, bolj grozna kot je funkcija, preprostejši je sistem ...
Morala: oči se bojijo, glava odloča!)
Navodila
Ne pozabite, da je funkcija odvisnost spremenljivke Y od spremenljivke X, tako da vsaka vrednost spremenljivke X ustreza eni sami vrednosti spremenljivke Y.
Spremenljivka X je neodvisna spremenljivka ali argument. Spremenljivka Y je odvisna spremenljivka. Prav tako se verjame, da je spremenljivka Y funkcija spremenljivke X. Vrednosti funkcije so enake vrednostim odvisne spremenljivke.
Za jasnost zapišite izraze. Če je odvisnost spremenljivke Y od spremenljivke X funkcija, potem jo zapišemo takole: y=f(x). (Preberite: y je enako f od x.) Uporabite simbol f(x), da označite vrednost funkcije, ki ustreza vrednosti argumenta, ki je enak x.
Študija funkcije na pariteta oz Čuden- eden od korakov splošnega algoritma za preučevanje funkcije, ki je potreben za izdelavo grafa funkcije in preučevanje njenih lastnosti. V tem koraku morate ugotoviti, ali je funkcija soda ali liha. Če funkcije ne moremo reči, da je soda ali liha, potem rečemo, da je funkcija splošne oblike.
Navodila
Zamenjajte argument x (-x) in poglejte, kaj dobite. Primerjaj z izvirno funkcijo y(x). Če je y(-x)=y(x), imamo sodo funkcijo. Če je y(-x)=-y(x), imamo liho funkcijo. Če y(-x) ni enak y(x) in ni enak -y(x), imamo funkcijo splošne oblike.
Vse operacije s funkcijo se lahko izvajajo le v naboru, kjer je definirana. Zato pri preučevanju funkcije in gradnji njenega grafa prvo vlogo igra iskanje domene definicije.
Navodila
Če je funkcija y=g(x)/f(x), rešite f(x)≠0, ker imenovalec ulomka ne more biti nič. Na primer, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. To pomeni, da bo domena definicije množica (-∞; 4)∪(4; +∞).
Če je v definiciji funkcije prisoten sodi koren, rešite neenačbo, kjer je vrednost večja ali enaka nič. Sodi koren je mogoče vzeti le iz nenegativnega števila. Na primer, y=√(x−2), x−2≥0. Potem je domena definicije množica, to je, če je y=arcsin(f(x)) ali y=arccos(f(x)), morate rešiti dvojno neenakost -1≤f(x)≤1. Na primer, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. Domena definicije bo segment [-3; -1].
Končno, če je podana kombinacija različnih funkcij, potem je domena definicije presečišče domen definicije vseh teh funkcij. Na primer, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+log(x−6). Najprej poiščite domeno definicije vseh izrazov. Sin(2*x) je definiran na celotni številski premici. Za funkcijo x/√(x+2) rešite neenačbo x+2>0 in definicijsko področje bo (-2; +∞). Definicijsko področje funkcije arcsin(x−6) je podano z dvojno neenakostjo -1≤x-6≤1, to pomeni, da dobimo segment. Za logaritem velja neenakost x−6>0 in to je interval (6; +∞). Tako bo domena definicije funkcije množica (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), to je (6; 7].
Video na temo
Viri:
- domena funkcije z logaritmom
Funkcija je koncept, ki odraža odnos med elementi množic, ali z drugimi besedami, je "zakon", po katerem je vsak element ene množice (imenovan domena definicije) povezan z nekim elementom druge množice (imenovan domena vrednot).
Številne težave nas vodijo k iskanju nabora funkcijskih vrednosti na določenem segmentu ali v celotni domeni definicije. Takšne naloge vključujejo različna vrednotenja izrazov in reševanje neenačb.
V tem članku bomo določili obseg vrednosti funkcije, razmislili o metodah za iskanje in podrobno analizirali rešitev primerov od preprostih do bolj zapletenih. Vse gradivo bo zaradi jasnosti opremljeno z grafičnimi ilustracijami. Ta članek je torej podroben odgovor na vprašanje, kako najti obseg funkcije.
Opredelitev.
Množica vrednosti funkcije y = f(x) na intervalu X je nabor vseh vrednosti funkcije, ki jih sprejme pri ponavljanju čez vse.
Opredelitev.
Območje funkcije y = f(x) je množica vseh vrednosti funkcije, ki jih sprejme pri ponavljanju vseh x iz domene definicije.
Območje funkcije je označeno z E(f).
Območje funkcije in niz vrednosti funkcije nista ista stvar. Te koncepte bomo obravnavali kot enakovredne, če interval X pri iskanju niza vrednosti funkcije y = f(x) sovpada z domeno definicije funkcije.
Prav tako ne zamenjujte obsega funkcije s spremenljivko x za izraz na desni strani enakosti y=f(x) . Območje dovoljenih vrednosti spremenljivke x za izraz f(x) je domena definicije funkcije y=f(x).
Slika prikazuje več primerov.
Grafi funkcij so prikazani z debelimi modrimi črtami, tanke rdeče črte so asimptote, rdeče pike in črte na osi Oy prikazujejo obseg vrednosti ustrezne funkcije.
Kot lahko vidite, obseg vrednosti funkcije dobimo s projiciranjem grafa funkcije na os y. Lahko je eno samo število (prvi primer), niz števil (drugi primer), segment (tretji primer), interval (četrti primer), odprt žarek (peti primer), unija (šesti primer) itd. .
Torej, kaj morate storiti, da najdete obseg vrednosti funkcije?
Začnimo z najpreprostejšim primerom: pokazali bomo, kako določiti množico vrednosti zvezne funkcije y = f(x) na segmentu.
Znano je, da funkcija, zvezna na intervalu, na njem doseže največjo in najmanjšo vrednost. Tako bo niz vrednosti izvirne funkcije na segmentu segment 
. Posledično se naša naloga zmanjša na iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.
Na primer, poiščimo obseg vrednosti funkcije arkusina.
Primer.
Določite obseg funkcije y = arcsinx .
rešitev.
Območje definicije arkusina je segment [-1; 1] . Poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na tem segmentu. 
Odvod je pozitiven za vse x iz intervala (-1; 1), kar pomeni, da funkcija arksinusa narašča na celotnem področju definicije. Posledično zavzame najmanjšo vrednost pri x = -1 in največjo pri x = 1. 
Dobili smo obseg funkcije arkusina 
.
Primer.
Poiščite množico funkcijskih vrednosti 
na segmentu.
rešitev.
Poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu.
Določimo ekstremne točke, ki pripadajo segmentu: 
Izračunamo vrednosti prvotne funkcije na koncih segmenta in v točkah 
:
Zato je niz vrednosti funkcije na intervalu interval 
.
Zdaj bomo pokazali, kako najti množico vrednosti zvezne funkcije y = f(x) v intervalih (a; b) , .
Najprej določimo točke ekstremov, ekstreme funkcije, intervale naraščanja in padanja funkcije na danem intervalu. Nato izračunamo na koncih intervala in (ali) limite v neskončnosti (to je, preučujemo obnašanje funkcije na mejah intervala ali v neskončnosti). Te informacije so dovolj za iskanje nabora funkcijskih vrednosti v takih intervalih.
Primer.
Določite niz funkcijskih vrednosti na intervalu (-2; 2) .
rešitev.
Poiščimo ekstremne točke funkcije, ki spadajo na interval (-2; 2): 
Pika x = 0 je največja točka, saj odvod spremeni predznak iz plusa v minus, ko gre skozi njo, graf funkcije pa gre od naraščajočega k padajočemu. 
obstaja ustrezen maksimum funkcije.
Ugotovimo obnašanje funkcije, ko x teži k -2 na desni in ko x teži k 2 na levi, to pomeni, da najdemo enostranske meje: 
Kaj imamo: ko se argument spremeni od -2 do nič, se vrednosti funkcije povečajo od minus neskončnosti do minus ene četrtine (največ funkcije pri x = 0), ko se argument spremeni od nič do 2, vrednosti funkcije se zmanjšajo do minus neskončnosti. Tako je niz funkcijskih vrednosti na intervalu (-2; 2) .
Primer.
Določite niz vrednosti tangentne funkcije y = tgx na intervalu.
rešitev.
Odvod tangentne funkcije na intervalu je pozitiven 
, kar kaže na povečanje funkcije. Preučimo obnašanje funkcije na mejah intervala: 
Torej, ko se argument spremeni od do, se vrednosti funkcije povečajo od minus neskončnosti do plus neskončnosti, to je niz tangentnih vrednosti na tem intervalu niz vseh realnih števil.
Primer.
Poiščite obseg funkcije naravnega logaritma y = lnx.
rešitev.
Funkcija naravnega logaritma je definirana za pozitivne vrednosti argumenta 
. V tem intervalu je odvod pozitiven 
, to kaže na povečanje funkcije na njem. Poiščimo enostransko mejo funkcije, ko argument teži k ničli na desni, in mejo, ko x teži k plus neskončnosti: 
Vidimo, da ko se x spremeni od nič do plus neskončnosti, se vrednosti funkcije povečajo od minus neskončnosti do plus neskončnosti. Zato je obseg funkcije naravnega logaritma celoten niz realnih števil.
Primer.
rešitev.
Ta funkcija je definirana za vse realne vrednosti x. Določimo ekstremne točke, pa tudi intervale naraščanja in padanja funkcije. 
Posledično funkcija pada pri , narašča pri , x = 0 je največja točka, 
ustrezni maksimum funkcije.
Poglejmo obnašanje funkcije v neskončnosti: 
Tako se v neskončnosti vrednosti funkcije asimptotično približajo ničli.
Ugotovili smo, da ko se argument spremeni od minus neskončnosti do nič (najvišja točka), vrednosti funkcije narastejo od nič do devet (do maksimuma funkcije), in ko se x spremeni od nič do plus neskončnosti, funkcija vrednosti se zmanjšajo od devet do nič.
Oglejte si shematsko risbo.
Zdaj je jasno razvidno, da je obseg vrednosti funkcije .
Iskanje niza vrednosti funkcije y = f(x) na intervalih zahteva podobne raziskave. O teh primerih se zdaj ne bomo podrobneje ukvarjali. Ponovno jih bomo srečali v spodnjih primerih.
Naj bo definirana domena funkcije y = f(x) unija več intervalov. Pri iskanju obsega vrednosti takšne funkcije se določijo nizi vrednosti na vsakem intervalu in vzame njihova unija.
Primer.
Poiščite obseg funkcije.
rešitev.
Imenovalec naše funkcije ne sme iti na nič, to je .
Najprej poiščimo niz funkcijskih vrednosti na odprtem žarku.
Odvod funkcije 
je na tem intervalu negativna, kar pomeni, da funkcija na njem pada. 
Ugotovili smo, da ko se argument nagiba k minus neskončnosti, se vrednosti funkcije asimptotično približajo enotnosti. Ko se x spremeni z minus neskončnosti na dve, se vrednosti funkcije zmanjšajo z ene na minus neskončnost, to pomeni, da v obravnavanem intervalu funkcija prevzame niz vrednosti. Enotnosti ne vključujemo, saj je vrednosti funkcije ne dosežejo, ampak le asimptotično težijo k njej pri minus neskončnosti.
Podobno postopamo za odprto gredo.
V tem intervalu se zmanjša tudi funkcija. 
Množica funkcijskih vrednosti na tem intervalu je množica.
Tako je želeno območje vrednosti funkcije unija množic in .
Grafična ilustracija.
Posebno pozornost je treba nameniti periodičnim funkcijam. Razpon vrednosti periodičnih funkcij sovpada z nizom vrednosti na intervalu, ki ustreza obdobju te funkcije.
Primer.
Poiščite obseg funkcije sinus y = sinx.
rešitev.
Ta funkcija je periodična s periodo dveh pi. Vzemimo segment in na njem določimo niz vrednosti. 
Segment vsebuje dve ekstremni točki in .
Izračunamo vrednosti funkcije na teh točkah in na mejah segmenta izberemo najmanjšo in največjo vrednost: 
torej 
.
Primer.
Poiščite obseg funkcije 
.
rešitev.
Vemo, da je območje ark kosinusa segment od nič do pi, to je 
ali v drugi objavi. funkcija 
lahko dobimo iz arccosx s premikanjem in raztezanjem vzdolž osi abscise. Takšne transformacije ne vplivajo na obseg vrednosti, zato 
. funkcija 
pridobljeno iz trikrat raztegnjena vzdolž osi Oy, tj. 
. In zadnja stopnja transformacije je premik štirih enot navzdol po ordinati. To nas vodi do dvojne neenakosti 
Tako je zahtevani obseg vrednosti 
.
Rešimo še en primer, vendar brez pojasnil (niso potrebni, saj so si popolnoma podobni).
Primer.
Določite obseg funkcije 
.
rešitev.
Zapišimo izvirno funkcijo v obliki 
. Razpon vrednosti funkcije moči je interval. To je . Potem 
torej 
.
Za popolno sliko bi morali govoriti o iskanju obsega vrednosti funkcije, ki ni zvezna na domeni definicije. V tem primeru domeno definicije razdelimo na intervale po prelomnih točkah in na vsakem od njih poiščemo nize vrednosti. S kombiniranjem nastalih nizov vrednosti dobimo obseg vrednosti prvotne funkcije. Priporočamo, da si zapomnite