Spletni kalkulator za iskanje površine figure, omejene s črtami. Določen integral

rešitev.

Prva in najpomembnejša točka odločitve je konstrukcija risbe.

Naredimo risbo:

Enačba y=0 nastavi os "x";

- x=-2 in x=1 - ravna, vzporedna z osjo OU;

- y=x 2 +2 - parabolo, katere veje so usmerjene navzgor, z vrhom v točki (0;2).

Komentiraj. Za konstrukcijo parabole je dovolj, da poiščemo točke njenega presečišča s koordinatnimi osemi, tj. dajanje x=0 poiščite presečišče z osjo OU in z reševanjem ustrezne kvadratne enačbe poiščite presečišče z osjo Oh .

Oglišče parabole je mogoče najti s formulami:

Črte lahko gradite tudi točko za točko.

Na intervalu [-2;1] graf funkcije y=x 2 +2 nahaja nad osjo Ox , Zato:

odgovor: S =9 kvadratnih enot

Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "na oko" preštejemo število celic na risbi - no, približno 9 jih bo, zdi se, da je res. Popolnoma jasno je, da če smo dobili recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno, da je bila nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če je odgovor negativen, je bila tudi naloga nepravilno rešena.

Kaj storiti, če se nahaja ukrivljeni trapez pod osjo Oh?

b) Izračunajte površino figure, omejene s črtami y=-e x , x=1 in koordinatne osi.

rešitev.

Naredimo risbo.

Če je ukrivljeni trapez popolnoma nameščen pod osjo Oh , potem je njegovo območje mogoče najti s formulo:

odgovor: S=(e-1) kvadratnih enot" 1,72 kvadratnih enot

Pozor! Obe vrsti nalog ne smemo zamenjevati:

1) Če vas prosimo, da preprosto rešite določen integral brez kakršnega koli geometrijskega pomena, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje lik nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini.

z) Poiščite območje ravninske figure, omejene s črtami y=2x-x 2, y=-x.

rešitev.

Najprej morate dokončati risbo. Na splošno nas pri sestavljanju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo presečišča črt. Poiščimo presečišča parabole in ravno To lahko naredimo na dva načina. Prva metoda je analitična.

Rešimo enačbo:

To pomeni, da je spodnja meja integracije a=0 , zgornja meja integracije b=3 .

Zgradimo podane premice: 1. Parabola - oglišče v točki (1;1); presečišče osi Oh - točke (0;0) in (0;2). 2. Premica - simetrala 2. in 4. koordinatnega kota. In zdaj Pozor! Če na segmentu [ a;b] neka zvezna funkcija f(x) večja ali enaka neki zvezni funkciji g(x), potem je območje ustrezne figure mogoče najti s formulo: .

In ni pomembno, kje se figura nahaja - nad osjo ali pod osjo, ampak pomembno je, kateri graf je VIŠJE (glede na drug graf) in kateri SPODAJ. V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od

Črte lahko gradite točko za točko in meje integracije postanejo jasne »sama od sebe«. Kljub temu je treba včasih še vedno uporabiti analitično metodo iskanja meja, če je na primer graf dovolj velik ali podrobna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne).

Želena slika je omejena s parabolo zgoraj in ravno črto spodaj.

Na segmentu , po ustrezni formuli:

odgovor: S =4,5 kvadratnih enot

V tem članku se boste naučili, kako z integralnimi izračuni najti območje figure, omejene s črtami. S postavitvijo takšnega problema se prvič srečamo v srednji šoli, ko smo ravno zaključili s študijem določenih integralov in je čas, da začnemo geometrijsko interpretacijo pridobljenega znanja v praksi.

Torej, kaj je potrebno za uspešno rešitev problema iskanja območja figure z uporabo integralov:

Sposobnost izdelave kompetentnih risb;
Sposobnost reševanja določenega integrala z uporabo znane Newton-Leibnizove formule;
Sposobnost "videti" bolj donosno možnost rešitve - tj. razumete, kako bo v enem ali drugem primeru bolj priročno izvesti integracijo? Vzdolž osi x (OX) ali osi y (OY)?
No, kje bi bili brez pravilnih izračunov?) To vključuje razumevanje, kako rešiti drugo vrsto integralov in pravilne numerične izračune.

Algoritem za rešitev problema izračuna površine figure, omejene s črtami:

1. Gradimo risbo. Priporočljivo je, da to naredite na karirastem listu papirja v velikem merilu. Ime te funkcije podpišemo s svinčnikom nad vsakim grafom. Podpisovanje grafov se izvaja izključno zaradi udobja nadaljnjih izračunov. Ko prejmete graf želene številke, bo v večini primerov takoj jasno, katere meje integracije bodo uporabljene. Tako rešujemo problem grafično. Vendar se zgodi, da so vrednosti omejitev delne ali iracionalne. Zato lahko naredite dodatne izračune, pojdite na drugi korak.

2. Če meje integracije niso eksplicitno določene, potem poiščemo presečišča grafov med seboj in preverimo, ali naša grafična rešitev sovpada z analitično.

3. Nato morate analizirati risbo. Glede na to, kako so razporejeni funkcijski grafi, obstajajo različni pristopi k iskanju območja figure. Oglejmo si različne primere iskanja območja figure z uporabo integralov.

3.1. Najbolj klasična in najpreprostejša različica problema je, ko morate najti območje ukrivljenega trapeza. Kaj je ukrivljeni trapez? To je ravna figura, omejena z osjo x (y = 0), naravnost x = a, x = b in katera koli krivulja, zvezna na intervalu od a prej b. Poleg tega je ta številka nenegativna in ni pod osjo x. V tem primeru je površina krivuljnega trapeza številčno enaka določenemu integralu, izračunanemu po Newton-Leibnizovi formuli:

Primer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

S katerimi črtami je lik omejen? Imamo parabolo y = x2 – 3x + 3, ki se nahaja nad osjo OH, je nenegativno, ker vse točke te parabole imajo pozitivne vrednosti. Naprej, glede na ravne črte x = 1 in x = 3, ki potekajo vzporedno z osjo OU, sta mejni črti slike na levi in desni strani. No y = 0, je tudi os x, ki omejuje sliko od spodaj. Nastala slika je zasenčena, kot je razvidno iz slike na levi. V tem primeru lahko takoj začnete reševati težavo. Pred nami je preprost primer ukrivljenega trapeza, ki ga nato rešimo z uporabo Newton-Leibnizove formule.

3.2. V prejšnjem odstavku 3.1 smo preučili primer, ko se ukrivljeni trapez nahaja nad osjo x. Zdaj razmislite o primeru, ko so pogoji problema enaki, le da funkcija leži pod osjo x. Standardni Newton-Leibnizovi formuli je dodan minus. Spodaj bomo razmislili, kako rešiti takšno težavo.

Primer 2 . Izračunajte površino figure, omejene s črtami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

V tem primeru imamo parabolo y = x2 + 6x + 2, ki izvira iz os OH, naravnost x = -4, x = -1, y = 0. Tukaj y = 0 omejuje želeno sliko od zgoraj. Neposredno x = -4 in x = -1 to so meje, znotraj katerih bo izračunan določeni integral. Načelo reševanja problema iskanja območja figure skoraj popolnoma sovpada s primerom številka 1. Edina razlika je v tem, da dana funkcija ni pozitivna in je tudi zvezna na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš, da ni pozitivno? Kot je razvidno iz slike, ima lik, ki leži znotraj danih x-ov, izključno “negativne” koordinate, kar moramo videti in si zapomniti pri reševanju problema. Območje slike iščemo po formuli Newton-Leibniz, le z znakom minus na začetku.

Članek ni dokončan.

Nadaljujmo z uporabo integralnega računa. V tej lekciji bomo analizirali tipično in najpogostejšo nalogo izračun površine ravninske figure z uporabo določenega integrala. Naj končno najdejo vsi tisti, ki iščejo smisel v višji matematiki. Nikoli ne veš. V resničnem življenju boste morali približati parcelo dače z uporabo elementarnih funkcij in poiskati njeno območje z določenim integralom.

Za uspešno obvladovanje gradiva morate:

1) Razumevanje nedoločenega integrala vsaj na srednji ravni. Tako naj lutke najprej preberejo lekcijo ne.

2) Znati uporabiti Newton-Leibnizovo formulo in izračunati določen integral. Z nekaterimi integrali na strani lahko vzpostavite tople prijateljske odnose Določen integral. Primeri rešitev. Naloga "izračunaj površino z določenim integralom" vedno vključuje izdelavo risbe, zato bo pomembno tudi vaše znanje in risarske sposobnosti. Najmanj morate biti sposobni sestaviti ravno črto, parabolo in hiperbolo.

Začnimo z ukrivljenim trapezom. Ukrivljeni trapez je ploščat lik, ki ga omejuje graf neke funkcije l = f(x), os OX in vrstice x = a; x = b.

Ploščina krivočrtnega trapeza je številčno enaka določenemu integralu

Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen. Pri pouku Določen integral. Primeri rešitev rekli smo, da je določen integral število. In zdaj je čas, da navedemo še eno koristno dejstvo. Z vidika geometrije je določen integral PLOŠČINA. to je določeni integral (če obstaja) geometrično ustreza območju določene figure. Razmislite o določenem integralu

Integrand

določa krivuljo na ravnini (po želji jo lahko narišemo), sam določeni integral pa je številčno enak površini ustreznega krivuljnega trapeza.

Primer 1

, , , .

To je tipična izjava o dodelitvi. Najpomembnejša točka pri odločitvi je konstrukcija risbe. Poleg tega je treba sestaviti risbo PRAV.

Pri izdelavi risbe priporočam naslednji vrstni red: najprej bolje je zgraditi vse ravne črte (če obstajajo) in samo Potem– parabole, hiperbole, grafe drugih funkcij. Tehniko gradnje po točkah najdete v referenčnem gradivu Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Tam lahko najdete tudi zelo uporaben material za našo lekcijo - kako hitro zgraditi parabolo.

V tej težavi bi lahko rešitev izgledala takole.

Naredimo risanje (upoštevajte, da enačba l= 0 določa os OX):

Ukrivljenega trapeza ne bomo senčili; tukaj je očitno, o katerem območju govorimo. Rešitev se nadaljuje takole:

Na segmentu [-2; 1] funkcijski graf l = x 2 + 2 nahaja nad osjoOX, Zato:

odgovor: .

Kdo ima težave z izračunom določenega integrala in uporabo Newton-Leibnizove formule

sklicevati se na predavanje Določen integral. Primeri rešitev. Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru štejemo število celic na risbi "na oko" - no, približno 9 jih bo, zdi se res. Popolnoma jasno je, da če smo dobili recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno, da je bila nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če je odgovor negativen, je bila tudi naloga nepravilno rešena.

Primer 2

Izračunajte površino figure, omejene s črtami xy = 4, x = 2, x= 4 in os OX.

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Kaj storiti, če se nahaja ukrivljeni trapez pod osjoOX?

Primer 3

Izračunajte površino figure, omejene s črtami l = e-x, x= 1 in koordinatne osi.

Rešitev: Narišimo:

Če je ukrivljeni trapez popolnoma nameščen pod osjo OX , potem je njegovo območje mogoče najti s formulo:

V tem primeru:

Pozor! Ne smemo zamenjevati obeh vrst nalog:

1) Če vas prosimo, da preprosto rešite določen integral brez kakršnega koli geometrijskega pomena, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se figura najpogosteje nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih nalog preidemo na bolj smiselne primere.

Primer 4

Poiščite območje ravninske figure, omejene s črtami l = 2x – x 2 , l = -x.

Rešitev: Najprej morate narediti risbo. Pri konstruiranju risbe v problemih s ploščinami nas najbolj zanimajo presečišča črt. Poiščimo presečišča parabole l = 2x – x 2 in ravno l = -x. To lahko naredimo na dva načina. Prva metoda je analitična. Rešimo enačbo:

To pomeni, da je spodnja meja integracije a= 0, zgornja meja integracije b= 3. Pogosto je bolj donosno in hitreje graditi črte točko za točko, meje integracije pa postanejo jasne "same od sebe". Kljub temu je treba včasih še vedno uporabiti analitično metodo iskanja meja, če je na primer graf dovolj velik ali podrobna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne). Vrnimo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo:

Naj ponovimo, da se pri točkovni konstrukciji meje integracije najpogosteje določajo »samodejno«.

In zdaj delovna formula:

Če na segmentu [ a; b] neka zvezna funkcija f(x) večji ali enak neka neprekinjena funkcija g(x), potem je območje ustrezne figure mogoče najti s formulo:

Tukaj vam ni več treba razmišljati o tem, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, ampak pomembno je kateri graf je VIŠJE(glede na drug graf), in kateri je SPODAJ.

V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto in zato od 2 x – x 2 je treba odšteti – x.

Končana rešitev bi lahko izgledala takole:

Želeni lik je omejen s parabolo l = 2x – x 2 na vrhu in naravnost l = -x spodaj.

Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Po ustrezni formuli:

odgovor: .

Pravzaprav je šolska formula za območje krivuljnega trapeza v spodnji polravnini (glej primer št. 3) poseben primer formule

Ker os OX podana z enačbo l= 0 in graf funkcije g(x), ki se nahaja pod osjo OX, To

In zdaj nekaj primerov za vašo rešitev

Primer 5

Primer 6

Poiščite območje figure, omejene s črtami

Pri reševanju nalog, ki vključujejo izračun ploščine z določenim integralom, se včasih zgodi kakšen smešen dogodek. Risba je bila narejena pravilno, izračuni so bili pravilni, a zaradi neprevidnosti ... Najdeno je bilo območje napačne figure.

Primer 7

Najprej naredimo risbo:

Figura, katere območje moramo najti, je osenčena modro(pozorno poglejte stanje - kako omejena je številka!). Toda v praksi se ljudje zaradi nepazljivosti pogosto odločijo, da morajo najti območje figure, ki je osenčeno z zeleno!

Ta primer je uporaben tudi zato, ker izračuna površino figure z uporabo dveh določenih integralov. res:

1) Na segmentu [-1; 1] nad osjo OX graf je raven l = x+1;

2) Na segmentu nad osjo OX se nahaja graf hiperbole l = (2/x).

Povsem očitno je, da se območja lahko (in morajo) dodati, zato:

odgovor:

Primer 8

Izračunajte površino figure, omejene s črtami

Predstavimo enačbe v "šolski" obliki

in naredite risbo od točke do točke:

Iz risbe je razvidno, da je naša zgornja meja »dobra«: b = 1.

Toda kaj je spodnja meja?! Jasno je, da to ni celo število, ampak kaj je?

morda, a=(-1/3)? Toda kje je zagotovilo, da je risba narejena s popolno natančnostjo, se lahko izkaže a=(-1/4). Kaj pa, če smo graf sestavili narobe?

V takih primerih morate porabiti dodaten čas in analitično razjasniti meje integracije.

Poiščimo presečišča grafov

Da bi to naredili, rešimo enačbo:

torej a=(-1/3).

Nadaljnja rešitev je trivialna. Glavna stvar je, da se ne zmedete v zamenjavah in znakih. Izračuni tukaj niso najpreprostejši. Na segmentu

, ,

po ustrezni formuli:

odgovor:

Za zaključek lekcije si oglejmo še dve težji nalogi.

Primer 9

Izračunajte površino figure, omejene s črtami

Rešitev: Upodobimo to figuro na risbi.

Če želite sestaviti risbo od točke do točke, morate poznati videz sinusoide. Na splošno je koristno poznati grafe vseh elementarnih funkcij, pa tudi nekaj sinusnih vrednosti. Najdete jih v tabeli vrednosti trigonometrične funkcije. V nekaterih primerih (na primer v tem primeru) je mogoče sestaviti shematsko risbo, na kateri bi morali biti grafi in meje integracije načeloma pravilno prikazani.

Tukaj ni težav z mejami integracije, te izhajajo neposredno iz pogoja:

– "x" se spremeni iz nič v "pi". Odločimo se še naprej:

Na segmentu graf funkcije l= greh 3 x ki se nahaja nad osjo OX, Zato:

(1) V lekciji lahko vidite, kako so sinusi in kosinusi integrirani v lihe potence Integrali trigonometričnih funkcij. Odščipnemo en sinus.

(2) V obrazcu uporabimo glavno trigonometrično identiteto

(3) Spremenimo spremenljivko t=cos x, potem: se nahaja nad osjo, torej:

Opomba: upoštevajte, kako je tukaj uporabljena posledica osnovne trigonometrične identitete

Problem 1(o izračunu površine ukrivljenega trapeza).

V kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu xOy je podana figura (glej sliko), omejena z osjo x, ravne črte x = a, x = b (a s krivočrtnim trapezom. Potrebno je izračunati površino krivulje trapez.
rešitev. Geometrija nam daje recepte za izračun ploščin mnogokotnikov in nekaterih delov kroga (sektor, segment). Z uporabo geometrijskih premislekov lahko najdemo le približno vrednost zahtevane površine, pri čemer sklepamo na naslednji način.

Razdelimo segment [a; b] (osnova ukrivljenega trapeza) na n enakih delov; ta razdelitev se izvede z uporabo točk x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Skozi te točke narišimo ravne črte, vzporedne z osjo y. Nato bo dani krivuljasti trapez razdeljen na n delov, na n ozkih stolpcev. Površina celotnega trapeza je enaka vsoti površin stebrov.

Oglejmo si k-ti stolpec ločeno, tj. ukrivljen trapez, katerega osnova je segment. Zamenjajmo ga s pravokotnikom z enako osnovo in višino, enako f(x k) (glej sliko). Ploščina pravokotnika je enaka $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, kjer je $\Delta x_k $ dolžina segmenta; Naravno je, da dobljeni produkt štejemo za približno vrednost površine k-tega stolpca.

Če sedaj naredimo enako z vsemi ostalimi stolpci, pridemo do naslednjega rezultata: ploščina S danega krivočrtnega trapeza je približno enaka ploščini S n stopničaste figure, sestavljene iz n pravokotnikov (glej sliko):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Tu zaradi enotnosti zapisa predpostavimo, da je a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - dolžina segmenta, $\Delta x_1 $ - dolžina segmenta itd.; v tem primeru, kot smo se dogovorili zgoraj, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Torej, $S \približno S_n $, in ta približna enakost je natančnejša, čim večje je n.
Po definiciji se domneva, da je zahtevana površina krivolinijskega trapeza enaka meji zaporedja (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(o premikanju točke)
Materialna točka se giblje premočrtno. Odvisnost hitrosti od časa izrazimo s formulo v = v(t). Poiščite gibanje točke v časovnem obdobju [a; b].
rešitev.Če bi bilo gibanje enakomerno, bi se problem rešil zelo preprosto: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neenakomerno gibanje morate uporabiti iste ideje, na katerih je temeljila rešitev prejšnjega problema.
1) Časovni interval [a; b] na n enakih delov.
2) Upoštevajte časovno obdobje in predpostavite, da je bila v tem časovnem obdobju hitrost konstantna, enaka kot v času t k. Torej predpostavimo, da je v = v(t k).
3) Poiščimo približno vrednost gibanja točke v določenem časovnem obdobju, to približno vrednost bomo označili s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Poiščite približno vrednost pomika s:
$s \približno S_n $ kjer
$S_n = s_0 + \pike + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pike + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Zahtevani premik je enak meji zaporedja (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Naj povzamemo. Rešitve različnih problemov so bile reducirane na isti matematični model. Številni problemi z različnih področij znanosti in tehnologije vodijo v procesu reševanja do istega modela. To pomeni, da je treba ta matematični model posebej preučiti.

Pojem določenega integrala

Podajmo matematični opis modela, ki je bil zgrajen v treh obravnavanih problemih za funkcijo y = f(x), zvezno (vendar ne nujno nenegativno, kot je bilo predpostavljeno v obravnavanih problemih) na intervalu [a; b]:
1) razdelite segment [a; b] na n enakih delov;
2) sestavite vsoto $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Med matematično analizo je bilo dokazano, da ta meja obstaja v primeru zvezne (ali delno zvezne) funkcije. Imenuje se določen integral funkcije y = f(x) po segmentu [a; b] in označeno kot sledi:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Števili a in b imenujemo meji integracije (spodnja oziroma zgornja).

Vrnimo se k zgoraj obravnavanim nalogam. Definicijo območja, podano v nalogi 1, lahko zdaj prepišemo na naslednji način:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
tukaj je S območje krivuljnega trapeza, prikazanega na zgornji sliki. To je geometrijski pomen določenega integrala.

Definicija premika s točke, ki se giblje premočrtno s hitrostjo v = v(t) v časovnem obdobju od t = a do t = b, podana v problemu 2, se lahko prepiše na naslednji način:

Newton - Leibnizova formula

Najprej si odgovorimo na vprašanje: kakšna je povezava med določenim integralom in protiodvodom?

Odgovor lahko najdete v nalogi 2. Po eni strani se premik s točke, ki se giblje premočrtno s hitrostjo v = v(t) v časovnem obdobju od t = a do t = b, izračuna z formula
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Po drugi strani pa je koordinata gibljive točke antiderivacija za hitrost - označimo jo s(t); To pomeni, da je premik s izražen s formulo s = s(b) - s(a). Kot rezultat dobimo:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
kjer je s(t) protiodvod v(t).

Med matematično analizo je bil dokazan naslednji izrek.
Izrek. Če je funkcija y = f(x) zvezna na intervalu [a; b], potem je formula veljavna
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
kjer je F(x) protiodvod od f(x).

Dana formula se običajno imenuje Newton-Leibnizova formula v čast angleškemu fiziku Isaacu Newtonu (1643-1727) in nemškemu filozofu Gottfriedu Leibnizu (1646-1716), ki sta ga prejela neodvisno drug od drugega in skoraj sočasno.

V praksi namesto zapisa F(b) - F(a) uporabljajo zapis $\levo. F(x)\desno|_a^b $ (včasih se imenuje dvojna zamenjava) in v skladu s tem prepišite Newton-Leibnizovo formulo v tej obliki:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \levo. F(x)\desno|_a^b $

Pri izračunu določenega integrala najprej poiščite protiodvod, nato pa izvedite dvojno zamenjavo.

Na podlagi Newton-Leibnizove formule lahko dobimo dve lastnosti določenega integrala.

Lastnost 1. Integral vsote funkcij je enak vsoti integralov:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Lastnost 2. Konstantni faktor lahko vzamemo iz integralnega predznaka:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Računanje ploščin ravninskih likov z uporabo določenega integrala

Z uporabo integrala lahko izračunate površine ne samo ukrivljenih trapezov, temveč tudi ravnih figur bolj zapletenega tipa, na primer tistega, ki je prikazan na sliki. Lik P je omejen z ravnimi črtami x = a, x = b in grafi zveznih funkcij y = f(x), y = g(x), ter na odseku [a; b] velja neenakost $g(x) \leq f(x) $. Za izračun površine S takšne figure bomo postopali na naslednji način:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\meje_a^b f(x) dx - \int\meje_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Torej, območje S figure, omejene z ravnimi črtami x = a, x = b in grafi funkcij y = f(x), y = g(x), zveznimi na segmentu in tako, da za vsak x iz segmenta [a; b] je izpolnjena neenakost $g(x) \leq f(x) $, izračunana po formuli
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabela nedoločenih integralov (antiodvodov) nekaterih funkcij

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$