विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं का विभाजन, एक नियम के रूप में, उदाहरण। ऋणात्मक संख्याओं के विभाजन का शेषफल

इस लेख का फोकस है नकारात्मक संख्याओं का विभाजन. सबसे पहले, एक ऋणात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने का नियम दिया जाता है, इसका औचित्य दिया जाता है, और फिर ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण समाधान के विस्तृत विवरण के साथ दिए जाते हैं।

पेज नेविगेशन।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियम

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियम देने से पहले, आइए हम विभाजन क्रिया का अर्थ याद करें। डिवीजन अपने सार में एक ज्ञात उत्पाद और एक ज्ञात अन्य कारक द्वारा एक अज्ञात कारक खोजने का प्रतिनिधित्व करता है। अर्थात्, संख्या c, a का भागफल है, जब c b=a , और इसके विपरीत, यदि c b=a , तो a:b=c से विभाजित किया जाता है।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियमनिम्नलिखित: एक ऋणात्मक संख्या को दूसरी से विभाजित करने का भागफल हर के मापांक द्वारा अंश को विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है।

आइए अक्षरों का उपयोग करते हुए आवाज वाले नियम को लिखें। यदि a और b ऋणात्मक संख्याएँ हैं, तो समानता ए:बी=|ए|:|बी| .

समानता a:b=a b −1 से शुरू करके सिद्ध करना आसान है वास्तविक संख्याओं के गुणन के गुणऔर पारस्परिक संख्या की परिभाषाएँ। दरअसल, इस आधार पर, समानता की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, जो, लेख की शुरुआत में उल्लिखित विभाजन की भावना के आधार पर, यह साबित करता है कि a · b − 1, a को b से विभाजित करने का भागफल है।

और यह नियम आपको ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने से गुणा करने की अनुमति देता है।

उदाहरणों को हल करते समय नकारात्मक संख्याओं को विभाजित करने के लिए विचार किए गए नियमों के आवेदन पर विचार करना बाकी है।

नकारात्मक संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण

आइए विश्लेषण करते हैं नकारात्मक संख्याओं के विभाजन के उदाहरण. आइए सरल मामलों से शुरू करें, जिन पर हम विभाजन नियम के आवेदन पर काम करेंगे।

उदाहरण।

ऋणात्मक संख्या −18 को ऋणात्मक संख्या −3 से विभाजित करें, फिर भागफल (−5):(−2) की गणना करें।

समाधान।

ऋणात्मक संख्याओं के विभाजन के नियम से, -18 को -3 से विभाजित करने का भागफल इन संख्याओं के मापांकों को विभाजित करने के भागफल के बराबर है। चूँकि |−18|=18 और |−3|=3 , तब (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , यह केवल प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन करने के लिए रहता है, हमारे पास 18:3=6 है।

हम समस्या के दूसरे भाग को उसी तरह हल करते हैं। चूँकि |−5|=5 और |−2|=2 , तब (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . यह भागफल एक साधारण अंश 5/2 से मेल खाता है, जिसे मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जा सकता है।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के लिए भिन्न नियम का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त किए जाते हैं। वास्तव में, संख्या −3 तब संख्या का व्युत्क्रमानुपाती है , अब हम ऋणात्मक संख्याओं का गुणन करते हैं: . वैसे ही, ।

उत्तर:

(−18):(−3)=6 और .

भिन्नात्मक परिमेय संख्याओं को विभाजित करते समय, साधारण भिन्नों के साथ काम करना सबसे सुविधाजनक होता है। लेकिन, यदि सुविधाजनक हो, तो आप दशमलव अंशों को विभाजित और अंतिम कर सकते हैं।

उदाहरण।

संख्या -0.004 को -0.25 से विभाजित करें।

समाधान।

लाभांश और भाजक के मॉड्यूल क्रमशः 0.004 और 0.25 हैं, फिर, ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियम के अनुसार, हमारे पास है (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

• या एक कॉलम द्वारा दशमलव अंशों का विभाजन करें,
• या दशमलव से साधारण भिन्न में जाएँ, और फिर संगत साधारण भिन्न को विभाजित करें।

आइए दोनों दृष्टिकोणों पर एक नज़र डालते हैं।

किसी कॉलम में 0.004 को 0.25 से विभाजित करने के लिए, पहले 0.4 को 25 से विभाजित करते हुए अल्पविराम 2 अंकों को दाईं ओर ले जाएं। अब हम एक कॉलम द्वारा विभाजन करते हैं:

अतः 0.004:0.25=0.016।

और अब दिखाते हैं कि यदि हम दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलने का निर्णय लेते हैं तो समाधान कैसा दिखेगा। क्योंकि और तब , और निष्पादित करें

यह लेख एक विस्तृत सिंहावलोकन प्रदान करता है संख्याओं को अलग-अलग चिह्नों से विभाजित करना. सर्वप्रथम भिन्न-भिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को विभाजित करने का नियम दिया गया है। नीचे धनात्मक संख्याओं को ऋणात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को धनात्मक से विभाजित करने के उदाहरण दिए गए हैं।

पेज नेविगेशन।

भिन्न-भिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को विभाजित करने का नियम

पूर्णांकों के आलेख विभाजन में भिन्न-भिन्न चिह्नों वाले पूर्णांकों को विभाजित करने का नियम प्राप्त किया गया। निर्दिष्ट लेख से सभी तर्कों को दोहराकर इसे परिमेय संख्या और वास्तविक संख्या दोनों तक बढ़ाया जा सकता है।

इसलिए, भिन्न-भिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को विभाजित करने का नियमनिम्नलिखित सूत्रीकरण है: एक सकारात्मक संख्या को एक ऋणात्मक या एक ऋणात्मक संख्या को एक सकारात्मक संख्या से विभाजित करने के लिए, भाजक के मापांक द्वारा लाभांश को विभाजित करना आवश्यक है, और परिणामी संख्या के सामने एक ऋण चिह्न लगाएं।

इस विभाजन नियम को हम अक्षरों का प्रयोग करके लिखते हैं। यदि संख्या a और b के अलग-अलग चिन्ह हैं, तो सूत्र मान्य है a:b=−|a|:|b| .

व्यंजक नियम से यह स्पष्ट है कि भिन्न-भिन्न चिन्हों से संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम ऋणात्मक संख्या होती है। दरअसल, चूँकि भाज्य का मापांक और भाजक का मापांक संख्या से अधिक धनात्मक होता है, तो उनका भागफल एक धनात्मक संख्या होती है, और ऋण चिह्न इस संख्या को ऋणात्मक बनाता है।

ध्यान दें कि विचार किया गया नियम सकारात्मक संख्याओं के विभाजन के लिए अलग-अलग चिह्नों के साथ संख्याओं के विभाजन को कम करता है।

आप अलग-अलग संकेतों के साथ संख्याओं को विभाजित करने के लिए नियम का एक और सूत्रीकरण दे सकते हैं: संख्या a को संख्या b से विभाजित करने के लिए, आपको संख्या a को संख्या b -1, संख्या b के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा। वह है, ए:बी=ए बी −1 .

इस नियम का उपयोग तब किया जा सकता है जब पूर्णांकों के समुच्चय से आगे जाना संभव हो (क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक का व्युत्क्रम नहीं होता है)। दूसरे शब्दों में, यह परिमेय संख्याओं के समुच्चय के साथ-साथ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर भी लागू होता है।

यह स्पष्ट है कि विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को विभाजित करने का यह नियम आपको विभाजन से गुणन तक जाने की अनुमति देता है।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करते समय भी इसी नियम का उपयोग किया जाता है।

यह विचार करना बाकी है कि उदाहरणों को हल करने में विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को विभाजित करने का यह नियम कैसे लागू होता है।

विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण

आइए हम कई विशेषताओं के समाधानों पर विचार करें विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरणपिछले पैराग्राफ से नियमों को लागू करने के सिद्धांत को समझने के लिए।

उदाहरण।

ऋणात्मक संख्या −35 को धनात्मक संख्या 7 से विभाजित करें।

समाधान।

अलग-अलग संकेतों के साथ संख्याओं को विभाजित करने का नियम पहले लाभांश और भाजक के मॉड्यूल खोजने के लिए निर्धारित करता है। -35 का मापांक 35 है और 7 का मापांक 7 है। अब हमें भाज्य के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करने की आवश्यकता है, अर्थात हमें 35 को 7 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह याद रखते हुए कि प्राकृत संख्याओं का विभाजन कैसे किया जाता है, हमें 35:7=5 प्राप्त होता है। विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को विभाजित करने के नियम का अंतिम चरण रहता है - परिणामी संख्या के सामने एक माइनस लगाएं, हमारे पास -5 है।

यहाँ पूरा समाधान है: .

अलग-अलग संकेतों के साथ संख्याओं को विभाजित करने के लिए नियम के एक अलग सूत्रीकरण से आगे बढ़ सकता है। इस स्थिति में, हम पहले वह संख्या ज्ञात करते हैं जो भाजक 7 का व्युत्क्रम है। यह संख्या सामान्य अंश 1/7 है। इस प्रकार, । यह विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं का गुणन करने के लिए बनी हुई है: . जाहिर है, हम उसी नतीजे पर पहुंचे।

उत्तर:

(−35):7=−5 .

उदाहरण।

भागफल 8:(−60) की गणना करें।

समाधान।

संख्याओं को अलग-अलग चिह्नों से विभाजित करने के नियम से, हमारे पास है 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . परिणामी अभिव्यक्ति एक नकारात्मक साधारण अंश से मेल खाती है (विभाजन चिन्ह को एक अंश बार के रूप में देखें), आप अंश को 4 से कम कर सकते हैं, हमें मिलता है .

हम पूरे समाधान को संक्षेप में लिखते हैं: .

उत्तर:

.

विभिन्न संकेतों के साथ भिन्नात्मक परिमेय संख्याओं को विभाजित करते समय, उनके भाज्य और भाजक को आमतौर पर साधारण अंशों के रूप में दर्शाया जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि एक अलग संकेतन (उदाहरण के लिए, दशमलव में) में संख्याओं के साथ विभाजन करना हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है।

उदाहरण।

समाधान।

भाज्य का मापांक है, और भाजक का मापांक 0,(23) है। भाजक के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करने के लिए, आइए साधारण भिन्नों पर चलते हैं।

आइए एक मिश्रित संख्या को साधारण अंश में अनुवादित करें: , और

इस लेख में मैं बात करूंगा कि कैसे खोजा जाए ऋणात्मक संख्याओं के विभाजन का शेषफल. दुर्भाग्य से, स्कूल में इस विषय पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है, हालांकि एक छात्र के लिए गणित की बुनियादी नींव को समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है। इसीलिए, गणित में एक शिक्षक के रूप में, मैं अपनी कक्षाओं में छात्रों के साथ इस सामग्री का सभी विवरणों में विश्लेषण करता हूँ। यह गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा, OGE, प्रवेश परीक्षा और ओलंपियाड के लिए आगे की तैयारी को बहुत सरल करता है।

तो चलो शुरू हो जाओ। दो पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के लिए, आपको निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है:

किसी भी पूर्णांक और के लिए, इसके अलावा, पूर्णांकों की एक अनूठी जोड़ी है और, जैसे कि , कहाँ ।

यहाँ भाज्य है, भाजक है, अपूर्ण भागफल है, शेषफल है। कृपया ध्यान दें कि शेष एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। यह स्पष्ट है कि स्थिति उत्पन्न होती है क्योंकि शून्य से विभाजन असंभव है।

यह जटिल लगता है, लेकिन वास्तव में इस प्रमेय में कुछ भी जटिल नहीं है। सब कुछ समझने के लिए, आइए उदाहरणों पर चलते हैं।

ऋणात्मक संख्याओं के विभाजन का शेष ज्ञात करने के उदाहरण

उदाहरण 1धनात्मक पूर्णांक के शेषफल को धनात्मक पूर्णांक से भाग देना।

मान लीजिए कि हम 4 से विभाजित करना चाहते हैं, शेष 27 छोड़ते हैं। प्रश्न यह है कि 27 में 4 कितनी बार आता है? लेकिन हम जानते हैं कि ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसे 27 प्राप्त करने के लिए 4 से गुणा किया जा सके। इसलिए प्रश्न को सुधारने की आवश्यकता है। किस संख्या को 4 से गुणा किया जाना चाहिए ताकि संख्या 27 के जितना करीब हो सके, लेकिन उससे अधिक न हो? जाहिर है, यह संख्या 6 है। यदि 4 को 6 से गुणा किया जाता है, तो आपको 24 मिलता है। मूल भाज्य 27 में 3 की कमी है। इसलिए, 27 को 4 से विभाजित करने का शेषफल 3 है:

उदाहरण 2ऋणात्मक पूर्णांक के शेषफल को धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करें।

क्या होगा यदि आप एक नकारात्मक पूर्णांक -15 के शेष को सकारात्मक पूर्णांक 4 से विभाजित करना चाहते हैं? आइए इस तथ्य से शुरू करें कि अधूरा अंश नकारात्मक होना चाहिए, क्योंकि जब नकारात्मक संख्या को सकारात्मक से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम नकारात्मक होता है। कोई यह मान सकता है कि इस मामले में आंशिक भागफल -3 के बराबर होना चाहिए। लेकिन इस स्थिति में, -3 को 4 से गुणा करने पर, हमें -12 प्राप्त होता है। और मूल लाभांश -15 प्राप्त करने के लिए, आपको परिणाम -12 में संख्या -3 जोड़ने की आवश्यकता है, जो कि शेषफल नहीं हो सकता, क्योंकि शेष ऋणात्मक नहीं हो सकता!

इसलिए, इस स्थिति में, अपूर्ण भागफल -4 है। इस स्थिति में, -4 को 4 के भाजक से गुणा करने पर हमें -16 प्राप्त होता है। और अब, मूल लाभांश -15 प्राप्त करने के लिए, आपको इस परिणाम में संख्या 1 जोड़ने की आवश्यकता है। यह गैर-ऋणात्मक है और भाजक मापांक (अर्थात, 4) से कम है। यानी यह शेष है:

उदाहरण 3. एक ऋणात्मक पूर्णांक द्वारा धनात्मक पूर्णांक का विभाजन।

अब धनात्मक पूर्णांक 113 के शेषफल को ऋणात्मक पूर्णांक -3 से भाग देने के उदाहरण पर विचार करें। आंशिक भागफल, जैसा कि पिछले उदाहरण में है, ऋणात्मक होना चाहिए, क्योंकि जब एक धनात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम ऋणात्मक होता है। आइए विचार करें कि अपूर्ण भागफल वास्तव में किसके बराबर है। जाहिर है, यह -37 के बराबर है। वास्तव में, -37 को -3 से गुणा करने पर परिणाम 111 आता है। अब, मूल लाभांश प्राप्त करने के लिए, आपको इस परिणाम में संख्या 2 जोड़ने की आवश्यकता है, जो कि गैर-ऋणात्मक है और भाजक के मापांक (अर्थात, मापांक) से कम है। -3 का, जो 3 के बराबर है)। तो हमारा उत्तर है:

उदाहरण 4. ऋणात्मक पूर्णांक के शेषफल को ऋणात्मक पूर्णांक से भाग देना।

खैर, आखिरी उदाहरण। एक ऋणात्मक पूर्णांक -15 को एक ऋणात्मक पूर्णांक -7 द्वारा शेषफल से विभाजित किया जाना चाहिए। आंशिक भागफल साइन में सकारात्मक होना चाहिए, क्योंकि नकारात्मक संख्याओं को विभाजित करते समय परिणाम सकारात्मक होता है। और यह 3 के बराबर है। दरअसल, 3 को -7 से गुणा करने पर हमें -21 मिलता है। अब हमें अपना मूल लाभांश -15 प्राप्त करने के लिए इस संख्या में एक सकारात्मक और कम मॉड्यूल -7 (अर्थात, 7) संख्या 6 जोड़ने की आवश्यकता है। इसलिए, ऋणात्मक संख्याओं -15 को -7 से विभाजित करने पर शेषफल है:

जांचें कि आपने इस पाठ को कितनी अच्छी तरह समझा। ऋणात्मक संख्याओं के भाग का शेषफल ज्ञात कीजिए:

c) -114 से -4।

टिप्पणियों में अपने उत्तर लिखें, मैं उनकी जांच करूंगा।

सर्गेई वेलेरिविच द्वारा तैयार किया गया

लक्ष्य:

• सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को विभाजित करना सीखें
• सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के जोड़, घटाव और गुणा को समेकित करें
• साक्षर गणितीय भाषण विकसित करें
• विषय में रुचि विकसित करें

उपकरण:पीसी, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर।

कक्षाओं के दौरान

अध्यापक:नमस्कार, बैठ जाइए। आज हम आपके साथ नई सामग्री का अध्ययन करेंगे, लेकिन शुरुआत से ही हम पहले अध्ययन की गई सामग्री को दोहराएंगे। ऐसा करने के लिए, हमें उदाहरणों को हल करने की आवश्यकता होगी।

1. मौखिक व्यायाम

ए)
बी)
वी)
जी)
इ)
इ)
और)

2. पाठ के विषय पर कार्य करें

(स्लाइड 8-14)

1. ऋणात्मक संख्याओं के विभाजन का वही अर्थ है जो धनात्मक संख्याओं के विभाजन का है, अर्थात। उत्पाद और कारकों में से एक को देखते हुए, दूसरा कारक खोजें।

विभाजन के घटकों का नाम कौन बता सकता है?

उदाहरण के लिए: -10: (-5) = ?

-10: (-5) का क्या मतलब है? (तो, एक संख्या x ज्ञात कीजिए कि -5 x = -10 पर)

अब संख्या का चिह्न ज्ञात कीजिए एक्स.

आपको क्या लगता है कि यह कैसे किया जा सकता है?

कब से -5 को गुणा करके एक्सयह एक ऋणात्मक संख्या -10 निकलता है, इसलिए कारकों के अलग-अलग संकेत होने चाहिए। इस तरह, एक्सएक धनात्मक संख्या है।

अब आइए संख्या का मापांक ज्ञात करें एक्स.

चूंकि गुणनफल का मापांक कारकों के मापांक के गुणनफल के बराबर होता है, इसलिए . इस तरह , क्योंकि एक्सएक धनात्मक संख्या है, तो x = अन्वेषक एक्स = 2

इसे इस प्रकार लिखा गया है:

या छोटा

(-10) : (-5) = 10: 5 = 2

नियम: एक ऋणात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको भाज्य के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करना होगा।

2.2। अब ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से भाग देते हैं।

उदाहरण के लिए: -24:4=?

-24:4 का क्या मतलब है? (तो, ऐसी संख्या ज्ञात करने के लिए एक्स, कि 4 बजे एक्स = -24)

अब x का चिह्न ज्ञात करते हैं।

मेरे द्वारा ऐसा कैसे किया जा सकता है?

चूँकि 4 को x से गुणा करने पर, परिणाम एक ऋणात्मक संख्या -24 है, इसलिए एक्स- एक नकारात्मक संख्या।

अब आइए संख्या का मापांक ज्ञात करें एक्स.

आपको क्या लगता है कि यह किसके बराबर होगा?

इस तरह

क्योंकि एक्सएक ऋणात्मक संख्या मॉड्यूल 6 है, तो एक्स-6 के बराबर होगा

हम पाते हैं: -24:4 = -6

इसी तरह, यह 24: (-4) \u003d -6 को विभाजित करते समय निकलता है

और अब बात करते हैं अलग-अलग संकेतों के साथ संख्याओं को विभाजित करने के एल्गोरिथम की। इसलिए:

1. भाज्य के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करें;
2. परिणामी संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाएं।

3. जब शून्य को किसी ऐसी संख्या से विभाजित किया जाता है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो शून्य प्राप्त होता है।

और सबसे महत्वपूर्ण नियम: शून्य से भाग दें!

3. नई सामग्री का समेकन

(स्लाइड 15-16).

1)
2)
3)
4)
5)
6)

2. स्वतंत्र कार्य। इस गतिविधि के लिए आपके पास 8-10 मिनट हैं।

(स्लाइड 17-24)

ए)	-4 (-5) – (-30) : 6 = 25
बी)	15: (-15) – (-24) : 8 = 2
वी)	-8 (-3 + 12) : 36 + 2 = 0
जी)	2,3 (-6 – 4) : 5 = - 4,6
इ)	(-8 + 32) : (-6) – 7 = -11
इ)	-21 + (-3 - 4 + 5) : (-2) = - 20
और)	-6 4 – 64: (-3,3 + 1,7) = - 64
एच)	(-6 + 6,4 – 10) : (-8) (-3) = - 3

इस लेख में, हम एक ऋणात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने की परिभाषा देंगे, नियम तैयार करेंगे और उसे सही ठहराएंगे, ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण देंगे और उनके समाधान के पाठ्यक्रम का विश्लेषण करेंगे।

ऋणात्मक संख्याओं का विभाजन। नियम

याद करें कि डिवीजन ऑपरेशन का सार क्या है। यह क्रिया ज्ञात उत्पाद और ज्ञात अन्य गुणक द्वारा अज्ञात गुणक की खोज है। एक संख्या c को संख्या a और b के विभाजन से एक भागफल कहा जाता है यदि गुणनफल c · b = a सत्य है। इस मामले में, ए ÷ बी = सी।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियम

एक ऋणात्मक संख्या को दूसरी ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने का भागफल इन संख्याओं के मॉड्यूल को विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है।

मान लीजिए a और b ऋणात्मक संख्याएँ हैं। तब

ए ÷ बी = ए ÷ बी।

यह नियम दो ऋणात्मक संख्याओं के विभाजन को धनात्मक संख्याओं के विभाजन तक कम कर देता है। यह न केवल पूर्णांकों के लिए मान्य है, बल्कि परिमेय और वास्तविक संख्याओं के लिए भी मान्य है। एक ऋणात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने का परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होती है।

यहाँ इस नियम का एक और सूत्रीकरण है, जो परिमेय और वास्तविक संख्याओं के लिए उपयुक्त है। यह व्युत्क्रम संख्याओं का उपयोग करके दिया गया है और कहता है: एक ऋणात्मक संख्या a को अपरिभाषित संख्या से विभाजित करने के लिए, संख्या b - 1 से गुणा करें, जो b का व्युत्क्रम है।

ए ÷ बी = ए · बी - 1।

वही नियम जो विभाजन को घटाकर गुणा कर देता है, भिन्न चिह्नों वाली संख्याओं के विभाजन पर भी लागू किया जा सकता है।

समानता a ÷ b = a b - 1 को वास्तविक संख्याओं के गुणन गुण और व्युत्क्रम संख्याओं की परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। आइए समानताएं लिखें:

ए बी - 1 बी = ए बी - 1 बी = ए 1 = ए।

विभाजन संक्रिया की परिभाषा के आधार पर, यह समानता सिद्ध करती है कि किसी संख्या को संख्या b से विभाजित करने का भागफल होता है।
आइए उदाहरणों पर चलते हैं।

आइए सरल मामलों से शुरू करते हैं, और अधिक जटिल मामलों पर चलते हैं।

उदाहरण 1. ऋणात्मक संख्याओं को कैसे विभाजित करें

- 18 को - 3 से विभाजित करें।
भाजक और लाभांश मॉड्यूल क्रमशः 3 और 18 हैं। चलो लिखते है:

18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6।

उदाहरण 2. ऋणात्मक संख्याओं को कैसे विभाजित करें

- 5 को - 2 से विभाजित करें।
इसी प्रकार, हम नियम के अनुसार लिखते हैं:

5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 ।

यदि हम नियम के दूसरे सूत्रीकरण का उपयोग विपरीत संख्या के साथ करते हैं तो वही परिणाम प्राप्त होगा।

5 ÷ - 2 = - 5 - 1 2 = 5 1 2 = 5 2 = 2 1 2 ।

भिन्नात्मक परिमेय संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें साधारण भिन्नों के रूप में दर्शाना सबसे सुविधाजनक होता है। हालाँकि, आप अनुगामी दशमलव को भी विभाजित कर सकते हैं।

उदाहरण 3. ऋणात्मक संख्याओं को कैसे विभाजित करें

- 0.004 को - 0.25 से विभाजित करें।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं के मॉड्यूल लिखते हैं: 0 , 004 और 0 , 25 ।

अब आप दो तरीकों में से एक चुन सकते हैं:

1. एक कॉलम के साथ दशमलव अंशों को अलग करें।
2. साधारण अंशों पर जाएँ और विभाजन करें।

आइए दोनों तरीकों पर एक नजर डालते हैं।

1. एक स्तंभ द्वारा दशमलव अंशों का विभाजन करते हुए, अल्पविराम को दो अंकों को दाईं ओर ले जाएँ।

उत्तर:- 0, 004 ÷ 0, 25 = 0, 016

2. अब हम दशमलव अंशों को साधारण में अनुवाद के साथ एक समाधान देते हैं।

0 , 004 = 4 1000 ; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 100 25 = 4 250 = 0 , 016

प्राप्त परिणाम समान हैं।

अंत में, हम ध्यान दें कि यदि लाभांश और भाजक अपरिमेय संख्याएँ हैं और जड़ों, शक्तियों, लघुगणक आदि के संदर्भ में दिए गए हैं, तो विभाजन का परिणाम एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है, जिसके अनुमानित मूल्य की गणना आवश्यक होने पर की जाती है। .

उदाहरण 4. ऋणात्मक संख्याओं को कैसे विभाजित करें

संख्याओं के भागफल की गणना करें - 0, 5 और - 5।

0 , 5 ÷ - 5 = - 0 , 5 ÷ - 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10 ।

यदि आप टेक्स्ट में कोई गलती देखते हैं, तो कृपया इसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएं