मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि। पैरामीटर के साथ रैखिक समीकरण

पैरामीटर वाले समीकरणों को स्कूली गणित में सबसे कठिन समस्याओं में से एक माना जाता है। यह वास्तव में ये कार्य हैं जो एकीकृत राज्य परीक्षा की एकीकृत राज्य परीक्षा में प्रकार बी और सी के कार्यों की सूची में साल-दर-साल समाप्त होते हैं। हालाँकि, बड़ी संख्या में मापदंडों वाले समीकरणों में से कुछ ऐसे भी हैं जिन्हें ग्राफ़िक रूप से आसानी से हल किया जा सकता है। आइए कई समस्याओं को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके इस पद्धति पर विचार करें।

संख्या a के पूर्णांक मानों का योग ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण |x 2 – 2x – 3| = a की चार जड़ें हैं.

समाधान।

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक समन्वय तल पर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाएं

y = |x 2 – 2x – 3| और y = ए.

पहले फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = |x 2 – 2x – 3| परवलय y = x 2 - 2x - 3 के ग्राफ से ग्राफ के उस भाग को x-अक्ष के संबंध में सममित रूप से प्रदर्शित करके प्राप्त किया जाएगा जो ऑक्स-अक्ष के नीचे है। x-अक्ष के ऊपर स्थित ग्राफ़ का भाग अपरिवर्तित रहेगा।

आइए इसे चरण दर चरण करें। फलन y = x 2 – 2x – 3 का ग्राफ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित हैं। इसका ग्राफ़ बनाने के लिए, हम शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करते हैं। यह सूत्र x 0 = -b/2a का उपयोग करके किया जा सकता है। इस प्रकार, x 0 = 2/2 = 1. कोटि अक्ष के अनुदिश परवलय के शीर्ष का निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम प्रश्न में फ़ंक्शन के समीकरण में x 0 के परिणामी मान को प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं कि y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. इसका मतलब यह है कि परवलय के शीर्ष पर निर्देशांक (1; -4) हैं।

इसके बाद, आपको समन्वय अक्षों के साथ परवलय शाखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने की आवश्यकता है। भुज अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन का मान शून्य है। इसलिए, हम द्विघात समीकरण x 2 – 2x – 3 = 0 को हल करते हैं। इसके मूल आवश्यक बिंदु होंगे। विएटा के प्रमेय के अनुसार हमारे पास x 1 = -1, x 2 = 3 है।

कोटि अक्ष के साथ परवलय शाखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर, तर्क का मान शून्य है। इस प्रकार, बिंदु y = -3, y-अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। परिणामी ग्राफ चित्र 1 में दिखाया गया है।

फ़ंक्शन y = | परिणामी ग्राफ चित्र 2 में दिखाया गया है।

फ़ंक्शन y = a का ग्राफ़ भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है। इसे चित्र 3 में दर्शाया गया है। चित्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि ग्राफ़ में चार सामान्य बिंदु हैं (और समीकरण के चार मूल हैं) यदि a अंतराल (0; 4) से संबंधित है।

परिणामी अंतराल से संख्या ए का पूर्णांक मान: 1; 2; 3. समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए इन संख्याओं का योग ज्ञात करें: 1 + 2 + 3 = 6.

उत्तर: 6.

संख्या a के पूर्णांक मानों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण |x 2 – 4|x| – 1| = a की छह जड़ें हैं.

आइए फ़ंक्शन y = |x 2 – 4|x| को प्लॉट करके प्रारंभ करें – 1|. ऐसा करने के लिए, हम समानता a 2 = |a| का उपयोग करते हैं 2 और फ़ंक्शन के दाईं ओर लिखे सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति में पूर्ण वर्ग का चयन करें:

एक्स 2 – 4|एक्स| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

तब मूल फलन का रूप y = |(|x| – 2) 2 – 5| होगा।

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, हम फ़ंक्शंस के अनुक्रमिक ग्राफ़ बनाते हैं:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – निर्देशांक (2; -5) वाले बिंदु पर शीर्ष के साथ परवलय; (चित्र .1)।

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – चरण 1 में निर्मित परवलय का भाग, जो कोटि अक्ष के दाईं ओर स्थित है, ओए अक्ष के बाईं ओर सममित रूप से प्रदर्शित होता है; (अंक 2)।

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - बिंदु 2 में निर्मित ग्राफ़ का भाग, जो x-अक्ष के नीचे स्थित है, x-अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से ऊपर की ओर प्रदर्शित होता है। (चित्र 3)।

आइए परिणामी चित्रों को देखें:

फ़ंक्शन y = a का ग्राफ़ भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है।

चित्र का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ में छह सामान्य बिंदु होते हैं (समीकरण की छह जड़ें होती हैं) यदि a अंतराल (1; 5) से संबंधित है।

इसे निम्नलिखित चित्र में देखा जा सकता है:

आइए पैरामीटर a के पूर्णांक मानों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

उत्तर: 3.

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ओल्गा ओटडेलकिना, 9वीं कक्षा की छात्रा

यह विषय स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम का एक अभिन्न अंग है। इस कार्य का उद्देश्य इस विषय का अधिक गहराई से अध्ययन करना, सबसे तर्कसंगत समाधान की पहचान करना है जो तुरंत उत्तर की ओर ले जाता है। यह निबंध अन्य छात्रों को मापदंडों के साथ समीकरणों को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि के उपयोग को समझने, इस विधि की उत्पत्ति और विकास के बारे में जानने में मदद करेगा।

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पूर्व दर्शन:

परिचय2

अध्याय 1. एक पैरामीटर के साथ समीकरण

पैरामीटर3 के साथ समीकरणों के उद्भव का इतिहास

विएटा का प्रमेय4

बुनियादी अवधारणाएँ5

अध्याय 2. मापदंडों के साथ समीकरणों के प्रकार।

रैखिक समीकरण6

द्विघात समीकरण………………………………………………………………7

अध्याय 3. एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को हल करने की विधियाँ

विश्लेषणात्मक विधि………………………………………………8

ग्राफ़िक विधि. उत्पत्ति का इतिहास…………………………9

ग्राफ़िकल विधि द्वारा समाधान एल्गोरिदम..................................10

मापांक के साथ समीकरण का समाधान……………………………………………….11

व्यावहारिक भाग………………………………………………12

निष्कर्ष………………………………………………………………………….19

सन्दर्भ……………………………………………………20

परिचय।

मैंने यह विषय इसलिए चुना क्योंकि यह स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम का एक अभिन्न अंग है। इस कार्य को तैयार करने में, मैंने इस विषय के गहन अध्ययन का लक्ष्य निर्धारित किया है, सबसे तर्कसंगत समाधान की पहचान की है जो तुरंत उत्तर की ओर ले जाता है। मेरा निबंध अन्य छात्रों को मापदंडों के साथ समीकरणों को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि के उपयोग को समझने, इस विधि की उत्पत्ति और विकास के बारे में जानने में मदद करेगा।

आधुनिक जीवन में, कई भौतिक प्रक्रियाओं और ज्यामितीय पैटर्न के अध्ययन से अक्सर मापदंडों के साथ समस्याओं का समाधान होता है।

ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए, ग्राफिकल विधि बहुत प्रभावी होती है जब आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता होती है कि पैरामीटर α के आधार पर समीकरण की कितनी जड़ें हैं।

मापदंडों से जुड़ी समस्याएं विशुद्ध रूप से गणितीय रुचि की होती हैं, छात्रों के बौद्धिक विकास में योगदान करती हैं, और कौशल का अभ्यास करने के लिए अच्छी सामग्री के रूप में काम करती हैं। उनके पास नैदानिक मूल्य है, क्योंकि उनका उपयोग गणित की मुख्य शाखाओं के ज्ञान, गणितीय और तार्किक सोच के स्तर, प्रारंभिक अनुसंधान कौशल और उच्च शिक्षण संस्थानों में गणित पाठ्यक्रम में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के आशाजनक अवसरों का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है।

मेरा निबंध अक्सर सामने आने वाले प्रकार के समीकरणों पर चर्चा करता है, और मुझे उम्मीद है कि काम की प्रक्रिया में मैंने जो ज्ञान प्राप्त किया है, वह स्कूल परीक्षा उत्तीर्ण करने में मेरी मदद करेगा, क्योंकिमापदंडों के साथ समीकरणइन्हें स्कूली गणित की सबसे कठिन समस्याओं में से एक माना जाता है। यह वास्तव में ये कार्य हैं जो एकीकृत राज्य परीक्षा में कार्यों की सूची में शामिल हैं।

एक पैरामीटर के साथ समीकरणों के उद्भव का इतिहास

भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय ग्रंथ "आर्यभट्टियम" में एक पैरामीटर के साथ समीकरणों पर समस्याएं पहले से ही सामने आई थीं। एक अन्य भारतीय वैज्ञानिक, ब्रह्मगुप्त (7वीं शताब्दी) ने द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने के लिए एक सामान्य नियम की रूपरेखा प्रस्तुत की:

αx 2 + bx = c, α>0

पैरामीटर को छोड़कर, समीकरण में गुणांक, नकारात्मक भी हो सकता है।

अल-ख्वारिज्मी द्वारा द्विघात समीकरण।

अल-खोरज़मी का बीजगणितीय ग्रंथ पैरामीटर ए के साथ रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण देता है। लेखक ने 6 प्रकार के समीकरण गिनाए हैं और उन्हें इस प्रकार व्यक्त किया है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं," यानी αx 2 = बीएक्स.

2) "वर्ग संख्याओं के बराबर होते हैं", यानी αx 2 = सी.

3) "मूल संख्या के बराबर हैं," यानी αx = c।

4) "वर्ग और संख्याएँ जड़ों के बराबर हैं," यानी αx 2 + सी = बीएक्स।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", यानी αx 2 + बीएक्स = सी.

6) “मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं,” अर्थात bx + c = αx 2 .

यूरोप में अल-ख्वारिज्मी के अनुसार द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र पहली बार इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा 1202 में लिखी गई "अबेकस की पुस्तक" में दिए गए थे।

सामान्य रूप में एक पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति Vieta से उपलब्ध है, लेकिन Vieta ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी है। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 12वीं शताब्दी के पहले गणितज्ञों में से थे। सकारात्मक जड़ों के अलावा, नकारात्मक जड़ों को भी ध्यान में रखा जाता है। केवल 17वीं शताब्दी में। गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के कार्यों के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि ने अपना आधुनिक रूप ले लिया।

विएटा का प्रमेय

एक द्विघात समीकरण के मापदंडों, गुणांकों और उसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाला प्रमेय, जिसे विएटा के नाम पर रखा गया है, पहली बार उनके द्वारा 1591 में इस प्रकार तैयार किया गया था: "यदि b + d को α माइनस α से गुणा किया जाता है 2 , bc के बराबर है, तो α, b के बराबर और d के बराबर है।"

विएटा को समझने के लिए, हमें याद रखना चाहिए कि α, किसी भी स्वर अक्षर की तरह, अज्ञात (हमारा x) का मतलब है, जबकि स्वर b, d अज्ञात के लिए गुणांक हैं। आधुनिक बीजगणित की भाषा में उपरोक्त विएटा सूत्रीकरण का अर्थ है:

अगर वहाँ होता

(α + b)x - x 2 = αb,

अर्थात्, x 2 - (α -b)x + αb =0,

तब x 1 = α, x 2 = b.

प्रतीकों का उपयोग करके लिखे गए सामान्य सूत्रों द्वारा समीकरणों की जड़ों और गुणांकों के बीच संबंध व्यक्त करके, विएटा ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, वियत का प्रतीकवाद अभी भी अपने आधुनिक स्वरूप से बहुत दूर है। वह ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जहां सभी मूल सकारात्मक थे।

बुनियादी अवधारणाओं

पैरामीटर - एक स्वतंत्र चर, जिसका मान एक निश्चित या मनमाना संख्या माना जाता है, या समस्या की स्थिति द्वारा निर्दिष्ट अंतराल से संबंधित संख्या।

पैरामीटर के साथ समीकरण- गणितीयसमीकरण, जिसका स्वरूप और समाधान एक या अधिक मापदंडों के मूल्यों पर निर्भर करता है।

तय करना प्रत्येक मान के लिए पैरामीटर माध्य के साथ समीकरणx के वे मान ज्ञात करें जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं, और यह भी:

1. जांच करें कि पैरामीटर के किन मानों पर समीकरण की जड़ें हैं और पैरामीटर के विभिन्न मानों के लिए कितने हैं।
2. जड़ों के लिए सभी अभिव्यक्तियां ढूंढें और उनमें से प्रत्येक के लिए उन पैरामीटर मानों को इंगित करें जिन पर यह अभिव्यक्ति वास्तव में समीकरण की जड़ निर्धारित करती है।

समीकरण α(x+k)= α +c पर विचार करें, जहां α, c, k, x परिवर्तनशील मात्राएं हैं।

चर α, c, k, x के अनुमेय मानों की प्रणालीपरिवर्तनीय मानों की कोई प्रणाली है जिसमें इस समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों पक्ष वास्तविक मान लेते हैं।

मान लीजिए A, α के सभी स्वीकार्य मानों का समुच्चय है, K, k के सभी स्वीकार्य मानों का समुच्चय है, X, x के सभी स्वीकार्य मानों का समुच्चय है, C, c के सभी स्वीकार्य मानों का समुच्चय है। यदि प्रत्येक समुच्चय A, K, C, एक अज्ञात के साथ समीकरण.

चर α, k, c, जिन्हें किसी समीकरण को हल करते समय स्थिर माना जाता है, पैरामीटर कहलाते हैं, और समीकरण को पैरामीटर युक्त समीकरण कहा जाता है।

पैरामीटर को लैटिन वर्णमाला के पहले अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, और अज्ञात को अक्षर x, y, z द्वारा दर्शाया जाता है।

समान पैरामीटर वाले दो समीकरण कहलाते हैंसमतुल्य यदि:

ए) वे समान पैरामीटर मानों के लिए समझ में आते हैं;

बी) पहले समीकरण का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है और इसके विपरीत।

मापदंडों के साथ समीकरणों के प्रकार

पैरामीटर वाले समीकरण हैं: रैखिकऔर चौकोर.

1)रेखीय समीकरण. सामान्य फ़ॉर्म:

α x = b, जहाँ x अज्ञात है;α, बी - पैरामीटर।

इस समीकरण के लिए, पैरामीटर का विशेष या नियंत्रण मान वह है जिस पर अज्ञात का गुणांक शून्य हो जाता है।

किसी पैरामीटर के साथ रैखिक समीकरण को हल करते समय, उन मामलों पर विचार किया जाता है जब पैरामीटर उसके विशेष मान के बराबर होता है और उससे भिन्न होता है।

पैरामीटर α का एक विशेष मान मान हैα = 0.

1.यदि, और ≠0, फिर पैरामीटर के किसी भी जोड़े के लिएα और बी इसका एक अनोखा समाधान हैएक्स = .

2.यदि, और =0, तो समीकरण रूप लेता है:0एक्स = बी . इस मामले में मूल्यबी = 0 एक विशेष पैरामीटर मान हैबी।

2.1. बी पर ≠ 0 समीकरण का कोई हल नहीं है।

2.2. बी पर =0 समीकरण रूप लेगा:0एक्स =0.

इस समीकरण का हल कोई भी वास्तविक संख्या है।

पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण.

सामान्य फ़ॉर्म:

α x 2 + bx + c = 0

जहां पैरामीटर α ≠0, बी और सी - मनमानी संख्या

यदि α =1, तो समीकरण को लघु द्विघात समीकरण कहा जाता है।

द्विघात समीकरण के मूल सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं

अभिव्यक्ति डी = बी 2 - 4 α सी विवेचक कहा जाता है.

1. यदि D> 0, तो समीकरण के दो भिन्न मूल हैं।

2. यदि डी< 0 — уравнение не имеет корней.

3. यदि D = 0 है, तो समीकरण के दो समान मूल हैं।

एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

विश्लेषणात्मक - प्रत्यक्ष समाधान की एक विधि, बिना मापदंडों के समीकरण में उत्तर खोजने के लिए मानक प्रक्रियाओं को दोहराना।
ग्राफ़िक - समस्या की स्थितियों के आधार पर, समन्वय प्रणाली में संबंधित द्विघात फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्थिति पर विचार किया जाता है।

विश्लेषणात्मक विधि

समाधान एल्गोरिथ्म:

इससे पहले कि आप विश्लेषणात्मक पद्धति का उपयोग करके पैरामीटर के साथ किसी समस्या को हल करना शुरू करें, आपको पैरामीटर के विशिष्ट संख्यात्मक मान के लिए स्थिति को समझने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, पैरामीटर α =1 का मान लें और प्रश्न का उत्तर दें: क्या इस कार्य के लिए पैरामीटर α =1 का मान आवश्यक है।

उदाहरण 1. अपेक्षाकृत हल करेंएक्स पैरामीटर एम के साथ रैखिक समीकरण:

समस्या के अर्थ के अनुसार (m-1)(x+3) = 0, अर्थात m= 1, एक्स = -3.

समीकरण के दोनों पक्षों को (m-1)(x+3) से गुणा करने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है

हम पाते हैं

अत:, m= 2.25 पर।

अब हमें यह जांचना होगा कि क्या m का कोई मान है जिसके लिए

x का मान -3 पाया गया।

इस समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं कि x, -3 के बराबर है और m = -0.4 है।

उत्तर: m=1, m =2.25 के साथ।

ग्राफ़िक विधि. उत्पत्ति का इतिहास

सामान्य निर्भरता का अध्ययन 14वीं शताब्दी में शुरू हुआ। मध्यकालीन विज्ञान शैक्षिक था। इस प्रकृति के साथ, मात्रात्मक निर्भरता के अध्ययन के लिए कोई जगह नहीं बची थी; यह केवल वस्तुओं के गुणों और एक दूसरे के साथ उनके कनेक्शन के बारे में था। लेकिन विद्वानों के बीच एक विचारधारा उभरी जिसने तर्क दिया कि गुण कम या ज्यादा तीव्र हो सकते हैं (नदी में गिरे व्यक्ति की पोशाक उस व्यक्ति की पोशाक से अधिक गीली होती है जो अभी-अभी बारिश में फंसा है)

फ्रांसीसी वैज्ञानिक निकोलाई ओरेस्मे ने खंडों की लंबाई के साथ तीव्रता को चित्रित करना शुरू किया। जब उन्होंने इन खंडों को एक निश्चित सीधी रेखा पर लंबवत रखा, तो उनके सिरों ने एक रेखा बनाई, जिसे उन्होंने "तीव्रता की रेखा" या "ऊपरी किनारे की रेखा" (संबंधित कार्यात्मक निर्भरता का ग्राफ) कहा। ओरेस्मे ने "प्लानर" का भी अध्ययन किया ” और “भौतिक” गुण, यानी कार्य, दो या तीन चर पर निर्भर करते हैं।

ओरेस्मे की महत्वपूर्ण उपलब्धि परिणामी ग्राफ़ को वर्गीकृत करने का उनका प्रयास था। उन्होंने तीन प्रकार के गुणों की पहचान की: समान (निरंतर तीव्रता के साथ), समान-असमान (तीव्रता में परिवर्तन की निरंतर दर के साथ) और असमान-असमान (अन्य सभी), साथ ही ऐसे गुणों के ग्राफ के विशिष्ट गुण।

कार्यों के ग्राफ़ का अध्ययन करने के लिए एक गणितीय उपकरण बनाने के लिए, एक चर की अवधारणा की आवश्यकता थी। इस अवधारणा को फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस (1596-1650) द्वारा विज्ञान में पेश किया गया था। यह डेसकार्टेस ही थे जिन्होंने बीजगणित और ज्यामिति की एकता और चरों की भूमिका के बारे में विचार रखे; डेसकार्टेस ने एक निश्चित इकाई खंड की शुरुआत की और इसके साथ अन्य खंडों के संबंधों पर विचार करना शुरू किया।

इस प्रकार, उनके अस्तित्व की पूरी अवधि में कार्यों के ग्राफ़ कई मूलभूत परिवर्तनों से गुज़रे हैं, जो उन्हें उस रूप में ले आए जिसके हम आदी हैं। फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के विकास में प्रत्येक चरण या चरण आधुनिक बीजगणित और ज्यामिति के इतिहास का एक अभिन्न अंग है।

किसी समीकरण में शामिल पैरामीटर के आधार पर उसके मूलों की संख्या निर्धारित करने की ग्राफिकल विधि विश्लेषणात्मक विधि की तुलना में अधिक सुविधाजनक है।

ग्राफ़िकल विधि द्वारा एल्गोरिथम को हल करना

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ - बिंदुओं का एक सेट जिस परसूच्याकार आकृति का भुजवैध तर्क मान हैं, ए तालमेल- संगत मानकार्य.

एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को ग्राफिक रूप से हल करने के लिए एल्गोरिदम:

समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र ज्ञात कीजिए।
हम α व्यक्त करते हैं x के एक फलन के रूप में।
समन्वय प्रणाली में हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाते हैंα (x) x के उन मानों के लिए जो इस समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र में शामिल हैं।
एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ढूँढनाα =с, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ

α(x). यदि रेखा α =с ग्राफ़ को पार करता हैα (x), तो हम प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुजाओं का निर्धारण करते हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरण को हल करना पर्याप्त हैसी = α (एक्स) एक्स के सापेक्ष।

उत्तर लिखिए

मापांक के साथ समीकरणों को हल करना

ग्राफ़िक रूप से एक पैरामीटर वाले मापांक के साथ समीकरणों को हल करते समय, फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाना और पैरामीटर के विभिन्न मानों के लिए सभी संभावित मामलों पर विचार करना आवश्यक है।

उदाहरण के लिए, │х│= ए,

उत्तर: यदि ए < 0, то нет корней, a > 0, तो x = a, x = - a, यदि a = 0, तो x = 0.

समस्या को सुलझाना।

समस्या 1. समीकरण के कितने मूल हैं?| | एक्स | - 2 | = ए पैरामीटर के आधार परए?

समाधान। समन्वय प्रणाली (x; y) में हम फलन y = | के ग्राफ़ बनाएंगे | एक्स | - 2 | और y =ए . फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = | | एक्स | - 2 | चित्र में दिखाया गया है।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =α ए = 0).

ग्राफ़ से यह देखा जा सकता है कि:

यदि a = 0, तो सीधी रेखा y = a ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाता है और फ़ंक्शन y = | का ग्राफ़ है | एक्स | - 2 | दो सामान्य बिंदु; इसका मतलब यह है कि मूल समीकरण की दो जड़ें हैं (इस मामले में, जड़ें पाई जा सकती हैं: x 1,2 = + 2).
यदि 0< a < 2, то прямая y = α फ़ंक्शन y = | के ग्राफ़ के साथ है | एक्स | - 2 | चार सामान्य बिंदु और, इसलिए, मूल समीकरण के चार मूल हैं।
अगरए = 2, तो रेखा y = 2 में फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ तीन उभयनिष्ठ बिंदु हैं। फिर मूल समीकरण के तीन मूल हैं।
अगर a > 2, तो सीधी रेखा y = a मूल फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ दो बिंदु होंगे, यानी इस समीकरण की दो जड़ें होंगी।

उत्तर: यदि ए < 0, то корней нет;
यदि a = 0, a > 2, तो दो जड़ें हैं;
यदि a = 2, तो तीन मूल हैं;
यदि 0< a < 2, то четыре корня.

समस्या 2. समीकरण के कितने मूल हैं?| एक्स 2 - 2| एक्स | - 3 | = ए पैरामीटर के आधार परए?

समाधान। समन्वय प्रणाली (x; y) में हम फलन y = | के ग्राफ़ बनाएंगे एक्स 2 - 2| एक्स | - 3 | और y = ए.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = | एक्स 2 - 2| एक्स | - 3 | चित्र में दिखाया गया है। फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =α ऑक्स के समानांतर या उसके साथ संपाती एक सीधी रेखा है (जबए = 0).

ग्राफ़ से आप देख सकते हैं:

यदि a = 0, तो सीधी रेखा y = a ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाता है और फ़ंक्शन y = | का ग्राफ़ है x2 - 2| एक्स | - 3 | दो सामान्य बिंदु, साथ ही सीधी रेखा y =ए फ़ंक्शन y = | के ग्राफ़ के साथ होगा एक्स 2 - 2| एक्स | - 3 | पर दो सामान्य बिंदु a > 4. तो, a = 0 और a के लिए > 4 मूल समीकरण के दो मूल हैं।
यदि 0< ए< 3, то прямая y = a फ़ंक्शन y = | के ग्राफ़ के साथ है एक्स 2 - 2| एक्स | - 3 | चार सामान्य बिंदु, साथ ही सीधी रेखा y=ए निर्मित फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ चार सामान्य बिंदु होंगेए = 4. तो, 0 पर< a < 3, a = 4 मूल समीकरण के चार मूल हैं।
अगर a = 3, फिर सीधी रेखा y = a किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ को पाँच बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है; इसलिए, समीकरण के पाँच मूल हैं।
यदि 3< ए< 4, прямая y = α निर्मित फ़ंक्शन के ग्राफ़ को छह बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है; इसका मतलब यह है कि इन पैरामीटर मानों के लिए मूल समीकरण की छह जड़ें हैं।
अगरए < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α फ़ंक्शन y = | के ग्राफ़ को प्रतिच्छेद नहीं करता है एक्स 2 - 2| एक्स | - 3 |.

उत्तर: यदि ए < 0, то корней нет;
यदि a = 0, a > 4, तो दो जड़ें हैं;
यदि 0< a < 3, a = 4, फिर चार मूल;

यदि एक = 3, फिर पाँच मूल;
यदि 3< a < 4, то шесть корней.

समस्या 3. समीकरण के कितने मूल हैं?

पैरामीटर के आधार परए?

समाधान। आइए समन्वय प्रणाली (x; y) में फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं

लेकिन पहले इसे इस रूप में प्रस्तुत करते हैं:

रेखाएँ x = 1, y = 1 फ़ंक्शन के ग्राफ़ की अनंतस्पर्शी रेखाएँ हैं। फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = | एक्स | +ए फ़ंक्शन y = | के ग्राफ़ से प्राप्त किया गया एक्स | ओए अक्ष के अनुदिश एक इकाई द्वारा विस्थापन।

फ़ंक्शन ग्राफ़ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंए > - 1; इसका मतलब यह है कि इन पैरामीटर मानों के लिए समीकरण (1) का एक ही समाधान है।

जब ए = - 1, ए = - 2 ग्राफ़ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं; इसका मतलब यह है कि इन पैरामीटर मानों के लिए, समीकरण (1) की दो जड़ें हैं।
दो पर< ए< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

उत्तर: यदि ए > - 1, फिर एक समाधान;
यदि ए = - 1, ए = - 2, तो दो समाधान हैं;
यदि - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

टिप्पणी। समस्या समीकरण को हल करते समय उस स्थिति पर विशेष ध्यान देना चाहिए जबए = - 2, चूँकि बिंदु (- 1; - 1) फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित नहीं हैलेकिन फ़ंक्शन y = | के ग्राफ़ से संबंधित है एक्स | +एक।

समस्या 4. समीकरण के कितने मूल हैं?

एक्स + 2 = ए | एक्स - 1 |

पैरामीटर के आधार परए?

समाधान। ध्यान दें कि x = 1 इस समीकरण का मूल नहीं है, क्योंकि समानता 3 = हैए 0 किसी भी पैरामीटर मान के लिए सत्य नहीं हो सकताए . आइए समीकरण के दोनों पक्षों को | से विभाजित करें एक्स - 1 |(| एक्स - 1 |0), तब समीकरण रूप लेता हैसमन्वय प्रणाली xOy में हम फ़ंक्शन को प्लॉट करेंगे

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ चित्र में दिखाया गया है। फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =ए ऑक्स अक्ष के समानांतर या उसके साथ संपाती एक सीधी रेखा है (यदिए = 0).

समाधान।

y = |x 2 – 2x – 3| और y = ए.

फ़ंक्शन y = | परिणामी ग्राफ चित्र 2 में दिखाया गया है।

उत्तर: 6.

एक्स 2 – 4|एक्स| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

तब मूल फलन का रूप y = |(|x| – 2) 2 – 5| होगा।

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, हम फ़ंक्शंस के अनुक्रमिक ग्राफ़ बनाते हैं:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – निर्देशांक (2; -5) वाले बिंदु पर शीर्ष के साथ परवलय; (चित्र .1)।

आइए परिणामी चित्रों को देखें:

फ़ंक्शन y = a का ग्राफ़ भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है।

इसे निम्नलिखित चित्र में देखा जा सकता है:

आइए पैरामीटर a के पूर्णांक मानों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

उत्तर: 3.

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इस पद्धति की क्षमताओं को पूरी तरह से प्रकट करने के लिए, हम मुख्य प्रकार की समस्याओं पर विचार करेंगे।

ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करके मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करते समय ज्ञान और कौशल का परीक्षण करने के लिए नमूना कार्य (विमान का समन्वय)

अभ्यास 1।

किन मूल्यों परएक्या समीकरण = के दो मूल हैं?

समाधान।

आइए समतुल्य प्रणाली पर चलते हैं:

निर्देशांक तल (;) पर यह प्रणाली एक वक्र को परिभाषित करती है। यह स्पष्ट है कि इस परवलयिक चाप के सभी बिंदुओं (और केवल उनमें) के निर्देशांक हैं जो मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं। इसलिए, पैरामीटर के प्रत्येक निश्चित मान के लिए समीकरण के समाधानों की संख्या, इस पैरामीटर मान के अनुरूप क्षैतिज रेखा के साथ वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या के बराबर।

जाहिर है, जब संकेतित रेखाएं ग्राफ़ को दो बिंदुओं पर काटती हैं, जो दो जड़ों वाले मूल समीकरण के बराबर है।

उत्तर:पर।

कार्य 2.

जिसके लिए सिस्टम के सभी मान ज्ञात करें एक अनोखा समाधान है.

समाधान।

आइए मूल प्रणाली को इस रूप में फिर से लिखें:

इस प्रणाली के सभी समाधान (रूप के जोड़े) हैचिंग द्वारा चित्र में दिखाए गए क्षेत्र का निर्माण करते हैं। किसी दिए गए सिस्टम के लिए एक अद्वितीय समाधान की आवश्यकता को ग्राफिकल भाषा में निम्नानुसार अनुवादित किया गया है: क्षैतिज रेखाओं में परिणामी क्षेत्र के साथ केवल एक सामान्य बिंदु होना चाहिए। उसे सीधा ही देखना आसान हैऔर बताई गई आवश्यकता को पूरा करें।

उत्तर:या।

अभी चर्चा किए गए दो कार्य हमें पहले दिए गए कार्यों की तुलना में अधिक विशिष्ट अनुशंसाएँ देने की अनुमति देते हैं:

एक चर के माध्यम से पैरामीटर को व्यक्त करने का प्रयास करें, यानी फॉर्म की समानताएं प्राप्त करें

एक समतल पर किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं।

कार्य 3.

किन मूल्यों परए क्या समीकरण के बिल्कुल तीन मूल हैं?

समाधान।

हमारे पास है

इस सेट का ग्राफ़ एक "कोने" और एक परवलय का मिलन है। जाहिर है, केवल एक सीधी रेखा परिणामी मिलन को तीन बिंदुओं पर काटती है।

उत्तर: .

टिप्पणी: आमतौर पर पैरामीटर पर विचार किया जाता है एक निश्चित लेकिन अज्ञात संख्या के रूप में। इस बीच, औपचारिक दृष्टिकोण से, एक पैरामीटर एक चर है, और समस्या में मौजूद अन्य लोगों के लिए "बराबर" है। प्रपत्र पैरामीटर के इस दृश्य के साथ, फ़ंक्शंस को एक के साथ नहीं, बल्कि दो चर के साथ परिभाषित किया जाता है।

कार्य 4.

सभी पैरामीटर मान खोजें, जिसके लिए समीकरण का एक ही हल है।

समाधान।

एक भिन्न शून्य के बराबर होती है यदि और केवल यदि भिन्न का अंश शून्य हो और हर गैर-शून्य हो।

द्विघात त्रिपद के मूल ज्ञात करना:

परिणामी प्रणाली का उपयोग करके, मूल समीकरण का ग्राफ बनाना आसान है। यह इस ग्राफ़ में "पंचर" की उपस्थिति है जो समीकरण को एक अद्वितीय समाधान देने की अनुमति देती है जब और =। यह निर्णय में निर्णायक कारक है.

उत्तर: और।

कार्य 5.

किस पैरामीटर मान पर,ए समीकरण का एक अद्वितीय समाधान है.

समाधान।

आइए हम मूल समीकरण के समतुल्य एक प्रणाली लिखें

यहीं से हमें मिलता है

आइए एक ग्राफ बनाएं और अक्षों पर लंबवत सीधी रेखाएं खींचेंए .

सिस्टम की पहली दो असमानताएँ बिंदुओं के एक सेट को परिभाषित करती हैं, जो छायांकन द्वारा दिखाई जाती हैं, और इस सेट में हाइपरबोलस और शामिल नहीं हैं।

फिर खंड और किरण, खंड और किरण क्रमशः रेखाओं पर स्थित हैं और , मूल समीकरण का ग्राफ़ हैं। एक समाधान होगा यदि 2< < или < или = .

उत्तर : 2 < < или < или = .

कार्य 6.

सभी पैरामीटर मान खोजेंए , जिसके लिए समीकरण

बिल्कुल दो अलग-अलग समाधान हैं

समाधान।

दो प्रणालियों के एक सेट पर विचार करें

अगर , वह।

अगर < , वह।

यहाँ से

या

परवलय और एक सीधी रेखा में दो सामान्य बिंदु होते हैं:ए (-2; - 2), में(-1; -1), और, में – प्रथम परवलय का शीर्ष,डी - दूसरे का शीर्ष। तो, मूल समीकरण का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

बिल्कुल दो अलग-अलग समाधान होने चाहिए। यह या के साथ किया जाता है।

उत्तर:या।

कार्य 7.

प्रत्येक समीकरण के लिए सभी संख्याओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए

केवल दो अलग-अलग जड़ें हैं।

समाधान।

आइए इस समीकरण को इस रूप में फिर से लिखें

समीकरण की जड़ें, बशर्ते कि।

आइए इस समीकरण का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, चर को कोटि अक्ष निर्दिष्ट करके एक ग्राफ़ बनाना सुविधाजनक है। यहां हम ऊर्ध्वाधर सीधी रेखाओं के साथ उत्तर को "पढ़ते हैं", हम पाते हैं कि इस समीकरण के केवल दो अलग-अलग मूल हैं = -1 या या।

बिंदीदार रेखाएँ इसका संकेत देती हैं।

उत्तर:पर = -1 या या.

कार्य 8.

जिसके लिए असमानता के समाधान के सेट में एक अंतराल होता है।

समाधान।

आइए हम मूल समीकरण के समतुल्य दो प्रणालियों का एक सेट लिखें:

या

चूँकि पहली प्रणाली के समाधान में न तोए खंड में शामिल नहीं किया जा सकता है, तो हम दूसरी प्रणाली के लिए आवश्यक शोध करेंगे।

हमारे पास है

चलो निरूपित करें . तब व्यवस्था की दूसरी असमानता का रूप ले लेती है< - और निर्देशांक तल पर चित्र में दिखाए गए सेट को परिभाषित करता है।

चित्र का उपयोग करते हुए, हम यह स्थापित करते हैं कि जब परिणामी सेट में वे सभी बिंदु होते हैं जिनके एब्सिस्सा अंतराल के सभी मूल्यों से गुजरते हैं

फिर, यहाँ से.

उत्तर : .

कार्य 9.

सभी गैर-नकारात्मक संख्याएँ खोजें जिनके लिए एक अद्वितीय संख्या है जो सिस्टम को संतुष्ट करती है

समाधान।

हमारे पास है

निर्देशांक तल पर पहला समीकरण ऊर्ध्वाधर रेखाओं के एक परिवार को निर्दिष्ट करता है। सीधी रेखाएं बनाएं और समतलों को चार क्षेत्रों में विभाजित करें। उनमें से कुछ असमानता प्रणाली के समाधान हैं। प्रत्येक क्षेत्र से एक परीक्षण बिंदु लेकर सटीक रूप से कौन सा निर्धारित किया जा सकता है। वह क्षेत्र जिसका बिंदु असमानता को संतुष्ट करता है वह इसका समाधान है (यह तकनीक एक चर के साथ असमानताओं को हल करते समय अंतराल की विधि से जुड़ी है)। सीधी रेखाएँ बनाना

उदाहरण के लिए, हम एक बिंदु लेते हैं और इसे उन बिंदुओं के निर्देशांक में प्रतिस्थापित करते हैं जो असमानता को संतुष्ट करते हैं।

हमें दो क्षेत्र मिलते हैं (मैं) और ( द्वितीय), लेकिन यह देखते हुए कि शर्त के अनुसार, हम केवल क्षेत्र लेते हैं (मैं). सीधी रेखाएँ बनाना , क .

तो, मूल प्रणाली किरणों पर स्थित सभी बिंदुओं (और केवल वे) से संतुष्ट होती है और ड्राइंग में बोल्ड रेखाओं के साथ हाइलाइट की जाती है (यानी, हम किसी दिए गए क्षेत्र में बिंदु बनाते हैं)।

अब हमें तय होने पर अद्वितीय को खोजने की आवश्यकता है। हम अक्ष को प्रतिच्छेद करने वाली समानांतर रेखाएँ बनाते हैं। और पता लगाएं कि रेखा के साथ प्रतिच्छेदन का एक बिंदु कहां होगा.

चित्र से हमें पता चलता है कि समाधान की विशिष्टता की आवश्यकता तब प्राप्त होती है यदि (पहले से ही 2 बिंदुओं के लिए),

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि कहाँ है और,

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि कहाँ है और।

तो हम पाते हैं< .

उत्तर: < .

कार्य 10.

पैरामीटर के किस मान पर सिस्टम के पास समाधान हैं?

समाधान।

आइए हम सिस्टम असमानता के बाईं ओर का गुणनखंड करें, जो हमारे पास है

हम सीधी रेखाएँ बनाते हैं और... हम चित्र में समतल के उन बिंदुओं के समूह को छायांकित करके दिखाते हैं जो सिस्टम की असमानता को संतुष्ट करते हैं।

हम एक अतिपरवलय = बनाते हैं।

फिर हाइपरबोला के चयनित चापों के भुज मूल प्रणाली के समाधान हैं।एम , पी , एन , क्यू - नोडल बिंदु. आइए उनके भुजाओं का पता लगाएं।

अंक के लिए पी , क्यू हमारे पास है

उत्तर लिखना बाकी है: या।

उत्तर:या।

कार्य 11.

वे सभी मान ज्ञात करें जिनके लिए मापांक में असमानता का कोई भी समाधान दो () से अधिक नहीं है।

समाधान .

आइए इस असमानता को इस रूप में फिर से लिखें। आइए समीकरणों और = के ग्राफ़ बनाएं।

"अंतराल की विधि" का उपयोग करके हम स्थापित करते हैं कि मूल असमानता का समाधान छायांकित क्षेत्र होंगे।

अब आइए क्षेत्र का निर्माण करें और देखें कि इसका कौन सा भाग छायांकित क्षेत्र में आता है।

वे। अब, यदि किसी निश्चित मान के लिए परिणामी क्षेत्र के साथ प्रतिच्छेदन पर सीधी रेखा केवल ऐसे बिंदु देती है जिनके भुज शर्त को पूरा करते हैं < 2, फिर वांछित पैरामीटर मानों में से एक है।

तो हम उसे देखते हैं.

उत्तर: .

कार्य 12.

पैरामीटर के किस मान के लिए असमानता के समाधान के सेट में चार से अधिक पूर्णांक मान नहीं होते हैं?

समाधान।

आइये इस असमानता को स्वरूप में परिवर्तित करें। यह असमानता दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है

या

इस सेट का उपयोग करके, हम मूल असमानता का समाधान दर्शाते हैं।

चलो कहाँ सीधी रेखाएँ खींचते हैं। फिर वह मान जिसके लिए रेखा रेखाओं को चिह्नित सेट से चार से अधिक बिंदुओं पर नहीं काटती है, वांछित होगा। तो हम देखते हैं कि यह या तो है या।

उत्तर:या या।

कार्य 13.

किस पैरामीटर मान परए एक समाधान प्रणाली है

समाधान।

एक द्विघात त्रिपद की जड़ें और।

तब

हम सीधी रेखाएँ बनाते हैं और...

"अंतराल" विधि का उपयोग करके हम सिस्टम असमानता (छायांकित क्षेत्र) का समाधान ढूंढते हैं।

मूल बिंदु पर केंद्र और त्रिज्या 2 वाला वृत्त का वह भाग जो छायांकित क्षेत्र में आता है, इस प्रणाली का समाधान होगा। .

हम सिस्टम से मान ढूंढते हैं

और का अर्थ व्यवस्था से है.

उत्तर:

कार्य 14.

पैरामीटर मानों पर निर्भर करता हैए असमानता को हल करें > .

समाधान।

आइए इस असमानता को फॉर्म में फिर से लिखें और फ़ंक्शन पर विचार करें, जिसे, मॉड्यूल का विस्तार करते हुए, हम इस प्रकार लिखते हैं:

हम एक शेड्यूल बना रहे हैं. ग्राफ़ निर्देशांक तल को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है। टी. (0;0) लेने और मूल असमानता में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वह 0 > 1 प्राप्त होता है, और इसलिए मूल असमानता ऊपर दिए गए ग्राफ़ के क्षेत्र में संतुष्ट होती है।

सीधे चित्र से हमें प्राप्त होता है:

कोई समाधान नहीं हैं;

पर ;

पर।

उत्तर: कोई समाधान नहीं हैं;

पर ;

पर।

कार्य 15.

उस पैरामीटर के सभी मान ज्ञात करें जिसके लिए असमानताओं की प्रणाली है

एक से ही संतुष्ट है.

समाधान।

आइए इस प्रणाली को इस रूप में फिर से लिखें:

आइए हम इस प्रणाली द्वारा परिभाषित क्षेत्र का निर्माण करें।

1) , परवलय का शीर्ष है।

2) - बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा।

समाधान की विशिष्टता की आवश्यकता को ग्राफिक भाषा में निम्नानुसार अनुवादित किया गया है: परिणामी क्षेत्र के साथ क्षैतिज रेखाओं में केवल एक सामान्य बिंदु होना चाहिए। बताई गई आवश्यकता सीधी रेखाओं से पूरी होती है और, परवलय और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि कहां है।

आइए मूल्य ज्ञात करें:

= (समस्या के उद्देश्य के लिए उपयुक्त नहीं),

कोटि ढूँढना:

उत्तर: ,

कार्य 16.

सभी पैरामीटर मान खोजेंए, जिसके अंतर्गत असमानताओं की व्यवस्था है

केवल एक x के लिए संतुष्ट करता है।

समाधान .

आइए परवलय का निर्माण करें और अंतिम प्रणाली के समाधान को छायांकित करके दिखाएं।

1) , .

2) , .

चित्र से पता चलता है कि समस्या की स्थिति तब संतुष्ट होती है जब या।

उत्तर:या।

कार्य 17.

किन मानों के लिए समीकरण के बिल्कुल तीन मूल हैं?

समाधान।

यह समीकरण समुच्चय के समतुल्य है

जनसंख्या ग्राफ परवलय और कोण ग्राफ का एक संयोजन है।

रेखाएँ परिणामी मिलन को तीन बिंदुओं पर काटती हैं।

उत्तर:पर।

कार्य 18.

किन मानों के लिए समीकरण के बिल्कुल तीन समाधान हैं?

समाधान।

आइए इस समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें। हमें सापेक्ष एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है।

हमें समीकरण मिलता है

जो समग्रता के समतुल्य है

परवलयों के ग्राफों का मिलन ही जनसंख्या का समाधान है।

परवलयों के प्रतिच्छेदन के कोटि बिंदु ज्ञात कीजिए:

हम चित्र से आवश्यक जानकारी पढ़ते हैं: इस समीकरण के तीन समाधान हैं

उत्तर:पर या

कार्य 19.

पैरामीटर के आधार पर, समीकरण की जड़ों की संख्या निर्धारित करें

समाधान .

इस समीकरण को a के संबंध में द्विघात मानें।

हमें समग्रता प्राप्त होती है

हम जनसंख्या समीकरणों के ग्राफ़ बनाते हैं और समस्या में पूछे गए प्रश्न का उत्तर देते हैं।

उत्तर:: कोई समाधान नहीं;

: एक हल;

: दो समाधान;

या: तीन समाधान;

या: चार समाधान.

कार्य 20.

सिस्टम के पास कितने समाधान हैं?

समाधान।

यह स्पष्ट है कि सिस्टम के दूसरे समीकरण की जड़ों की संख्या सिस्टम के समाधानों की संख्या के बराबर है।

हमारे पास है, ।

इस समीकरण को द्विघात समीकरण मानने पर हमें समुच्चय प्राप्त होता है।

अब निर्देशांक तल तक पहुँचने से कार्य सरल हो जाता है। हम समीकरण को हल करके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करते हैं

यहाँ से

परवलय के शीर्ष और.

उत्तर:: चार समाधान;

: दो समाधान;

: एक हल;

: कोई समाधान नहीं.

कार्य 21.

पैरामीटर के सभी वास्तविक मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण के केवल दो अलग-अलग मूल हैं। इन जड़ों को लिखिए।

समाधान .

आइए कोष्ठक में द्विघात त्रिपद के मूल खोजें:

आइए हम इस शर्त के तहत ग्राफ़ बनाकर निर्देशांक तल में इस समीकरण के समाधानों के सेट को चित्रित करें

हमने चित्र से आवश्यक जानकारी पढ़ी। तो, इस समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं (और) और (और) पर

उत्तर: पर (और) और

पर (और)।

कार्य 2 2 .

असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

समाधान।

हम समतल में परवलयों और सीधी रेखाओं के ग्राफ़ बनाते हैं।

छायांकित क्षेत्र के सभी बिंदु सिस्टम का समाधान हैं। आइए निर्मित क्षेत्र को दो भागों में विभाजित करें।

यदि हां, तो कोई समाधान नहीं है.

यदि, तो छायांकित क्षेत्र के बिंदुओं का भुज सीधी रेखा के बिंदुओं के भुज से अधिक होगा, लेकिन परवलय के भुज (समीकरण का बड़ा मूल) से कम होगा।

आइए इसे सीधी रेखा समीकरण के माध्यम से व्यक्त करें:

आइए समीकरण की जड़ें खोजें:

तब।

यदि हां, तो.

उत्तर: के लिए और 1 का कोई समाधान नहीं है;

पर;

पर।

कार्य 23.

असमानताओं की व्यवस्था को हल करें

समाधान।

– परवलय का शीर्ष.

परवलय का शीर्ष.

परवलयों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का भुज खोजें:

छायांकित क्षेत्र प्रणाली का समाधान है। आइए इसे दो भागों में तोड़ें।

परवलय के समीकरणों में हम उन्हें इसके माध्यम से व्यक्त करते हैं:

चलो इसे लिख लें उत्तर:

यदि और, तो कोई समाधान नहीं हैं;

तो अगर< ;

तो अगर।

कार्य 24.

किस मान पर, और समीकरण कोई समाधान नहीं है?

समाधान।

समीकरण प्रणाली के समतुल्य है

आइए सिस्टम के कई समाधान बनाएं।

परवलय के तीन टुकड़े इस समीकरण का हल हैं।

आइए किस पर खोजें और इसे बाहर करें।

तो, क्योंकि कोई समाधान नहीं हैं;

जब कोई समाधान न हो;

(नोट: बाकी के लिएएएक या दो समाधान हैं)।

उत्तर: ; .

कार्य 25.

पैरामीटर के वास्तविक मानों के लिए कम से कम एक ऐसा है जो शर्तों को पूरा करता है:

समाधान।

आइए हम "अंतराल विधि" का उपयोग करके ग्राफिक रूप से असमानता को हल करें और एक ग्राफ बनाएं। आइए देखें कि ग्राफ का कौन सा भाग असमानता को हल करने के लिए निर्मित क्षेत्र में आता है, और संबंधित मान ज्ञात करेंए.

हम सीधी रेखाओं के ग्राफ़ बनाते हैं और

वे निर्देशांक तल को 4 क्षेत्रों में विभाजित करते हैं।

हम अंतराल विधि का उपयोग करके अंतिम असमानता को ग्राफ़िक रूप से हल करेंगे।

छायादार क्षेत्र ही इसका समाधान है। परवलय ग्राफ का कुछ भाग इसी क्षेत्र में आता है। अंतराल पर; (स्थिति के अनुसार, सिस्टम की असमानता सख्त है) मौजूद हैं जो दिए गए सिस्टम की शर्तों को पूरा करते हैं।

उत्तर:

कार्य 26.

प्रत्येक पैरामीटर के सभी मान ज्ञात करें जिनमें असमानता के समाधान के सेट में असमानता का एक भी समाधान नहीं है।

समाधान।

आइए हम असमानता के समाधानों का एक सेट बनाएं ("अंतराल विधि का उपयोग करके")। फिर हम आवश्यक पैरामीटर मानों की एक "स्ट्रिप" बनाएंगेक्यू वे जिनमें निर्दिष्ट क्षेत्रों का कोई भी बिंदु "पट्टी" से संबंधित नहीं है

उत्तर:या।

कार्य 27.

पैरामीटर के किन मानों के लिए समीकरण का एक अद्वितीय समाधान है?

समाधान।

आइए भिन्न के अंश का गुणनखंड करें।

यह समीकरण प्रणाली के समतुल्य है:

आइए समन्वय तल में जनसंख्या का एक ग्राफ बनाएं।

या

– रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु और. जनसंख्या ग्राफ़ सीधी रेखाओं का एक संघ है।

एब्सिस्सा के साथ ग्राफ बिंदुओं को "पंच आउट" करें।

हम सीधी रेखाएँ खींचते हैं और देखते हैं कि ग्राफ़ के साथ प्रतिच्छेदन का एक बिंदु कहाँ है।

यह स्पष्ट है कि इस समीकरण का केवल या के लिए ही कोई अद्वितीय समाधान है।

उत्तर:या।

कार्य 28.

पैरामीटर के किन वास्तविक मानों के लिए असमानताओं की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है?

समाधान।

छायांकित क्षेत्र के समतल बिंदुओं का समुच्चय असमानताओं की इस प्रणाली को संतुष्ट करता है।

हम सीधी रेखाएँ बनाते हैं। चित्र से हम यह निर्धारित करते हैं कि जब (हाइपरबोला और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है), तो सीधी रेखाएं छायांकित क्षेत्र को नहीं काटती हैं।

उत्तर:पर।

कार्य 29.

किस पैरामीटर मान परए सिस्टम के पास एक अनोखा समाधान है.

समाधान।

आइए इसके समतुल्य प्रणाली की ओर आगे बढ़ें।

निर्देशांक तल में, हम क्रमशः परवलयों और परवलयों के शीर्षों, बिंदुओं और के ग्राफ़ का निर्माण करेंगे।

आइए समीकरण को हल करके परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुजाओं की गणना करें

छायांकित क्षेत्र असमानताओं की प्रणाली का समाधान है। प्रत्यक्ष और

छायांकित क्षेत्र के साथ एक सामान्य बिंदु है।

उत्तर:मैं पर

कार्य 30.

असमानता का समाधान करें:

समाधान।

पैरामीटर के आधार पर, हम मान पाएंगे।

हम "अंतराल विधि" का उपयोग करके असमानता को हल करेंगे।

आइए परवलय का निर्माण करें

: .

आइए परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक की गणना करें:

छायांकित क्षेत्र के बिंदु इस असमानता को संतुष्ट करते हैं। एक सीधी रेखा खींचकर हम इस क्षेत्र को तीन भागों में बाँट देते हैं।

1) यदि, तो कोई समाधान नहीं हैं।

2) यदि, तो समीकरण में हम इसे व्यक्त करते हैं:

इस प्रकार, क्षेत्र मेंमैं हमारे पास है।

यदि हां, तो देखें:

एक क्षेत्र द्वितीय .

आइए इसे समीकरण में व्यक्त करें.

छोटी जड़

बड़ी जड़.

तो, क्षेत्र में द्वितीय हमारे पास है।

बी) क्षेत्र तृतीय : .

उत्तर: जब कोई समाधान न हो;

पर

पर, ।

साहित्य:

गैलिट्स्की एम.एल., गोल्डमैन ए.एम., ज़वाविच एल.आई. ग्रेड 8-9 के लिए बीजगणित में समस्याओं का संग्रह: गणित के उन्नत अध्ययन वाले स्कूलों और कक्षाओं के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक - दूसरा संस्करण। - एम.: शिक्षा, 1994.

पी. आई. गोर्नशेटिन, वी. बी. पोलोनस्की, एम. एस. याकिर। मापदंडों के साथ समस्याएँ. तीसरा संस्करण, विस्तारित और संशोधित। - एम.: इलेक्सा, खार्कोव: जिमनैजियम, 2003।

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मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि। पैरामीटर के साथ रैखिक समीकरण

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