फ़ंक्शन की एकरसता की प्रकृति के साथ व्युत्पन्न के चिह्न के संबंध को दिखा रहा है।
कृपया निम्नलिखित में अत्यधिक सावधानी बरतें। देखिए, WHAT का शेड्यूल आपको दिया गया है! कार्य या उसका व्युत्पन्न
व्युत्पन्न के एक ग्राफ को देखते हुए, तब हम केवल फलन चिह्नों और शून्यों में रुचि रखते हैं। सिद्धांत रूप में हमारे लिए कोई "नोल" और "खोखले" रुचि नहीं रखते हैं!
कार्य 1।
यह आंकड़ा एक अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ऋणात्मक है।
समाधान:
आकृति में, घटते कार्य के क्षेत्रों को रंग में हाइलाइट किया गया है:
घटते कार्य के इन क्षेत्रों में 4 पूर्णांक मान आते हैं।
कार्य 2।
यह आंकड़ा एक अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा के समानांतर या संपाती है।
समाधान:
चूँकि फलन ग्राफ की स्पर्श रेखा एक सीधी रेखा (या, जो समान है) के साथ समानांतर (या संपाती) है। ढलान, शून्य के बराबर है, तो स्पर्शरेखा का ढलान है।
इसका बदले में मतलब है कि स्पर्शरेखा अक्ष के समानांतर है, चूंकि ढलान अक्ष पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण का स्पर्शरेखा है।
इसलिए, हम ग्राफ पर चरम बिंदु (अधिकतम और न्यूनतम अंक) पाते हैं - यह उनमें है कि ग्राफ के स्पर्शरेखा कार्य अक्ष के समानांतर होंगे।
ऐसे 4 बिंदु हैं।
कार्य 3।
आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा के समानांतर या संपाती है।
समाधान:
चूँकि फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा के समानांतर (या संपाती) है, जिसमें ढलान है, तो स्पर्शरेखा में ढलान है।
इसका बदले में मतलब है कि संपर्क के बिंदुओं पर।
इसलिए, हम देखते हैं कि ग्राफ़ पर कितने बिंदुओं की कोटि बराबर है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसे चार बिंदु हैं।
कार्य 4।
यह आंकड़ा एक अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन का अवकलज 0 है।
समाधान:
चरम बिंदुओं पर व्युत्पन्न शून्य है। हमारे पास उनमें से 4 हैं:
कार्य 5।
यह आंकड़ा फ़ंक्शन ग्राफ़ और एक्स-अक्ष पर ग्यारह अंक दिखाता है: इनमें से कितने बिंदुओं पर फलन का अवकलज ऋणात्मक है?
समाधान:
घटते कार्य के अंतराल पर, इसका व्युत्पन्न नकारात्मक मान लेता है। और फ़ंक्शन बिंदुओं पर घटता है। ऐसे 4 बिंदु हैं।
टास्क 6।
यह आंकड़ा एक अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं का योग ज्ञात करें।
समाधान:
चरम बिंदुअधिकतम अंक (-3, -1, 1) और न्यूनतम अंक (-2, 0, 3) हैं।
चरम बिंदुओं का योग: -3-1+1-2+0+3=-2.
टास्क 7।
आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। वर्धमान फलन के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, इन अंतरालों में शामिल पूर्णांक बिंदुओं का योग इंगित करें।
समाधान:
यह आंकड़ा उन अंतरालों को हाइलाइट करता है जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गैर-नकारात्मक है।
वृद्धि के छोटे अंतराल पर कोई पूर्णांक बिंदु नहीं होते हैं, वृद्धि के अंतराल पर चार पूर्णांक मान होते हैं: , , और ।
उनका योग:
टास्क 8।
आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। वर्धमान फलन के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में उनमें से सबसे बड़ी की लम्बाई लिखो।
समाधान:
चित्र में, वे सभी अंतराल जिन पर व्युत्पन्न सकारात्मक है, हाइलाइट किए गए हैं, जिसका अर्थ है कि इन अंतरालों पर फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता है।
उनमें से सबसे बड़े की लंबाई 6 है।
टास्क 9।
आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। खंड के किस बिंदु पर यह सबसे बड़ा मूल्य लेता है।
समाधान:
हम देखते हैं कि ग्राफ खंड पर कैसे व्यवहार करता है, अर्थात्, हम इसमें रुचि रखते हैं केवल व्युत्पन्न चिह्न .
व्युत्पन्न का चिह्न ऋणात्मक है, क्योंकि इस खंड पर ग्राफ अक्ष के नीचे है।
निर्देशांक पद्धति का उपयोग करते हुए कुछ ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। सबसे अधिक बार, किसी को विमान पर दो रेखाओं के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक की तलाश करनी होती है, लेकिन कभी-कभी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक हो जाता है। इस लेख में, हम उस बिंदु के निर्देशांक खोजने से निपटेंगे जिस पर दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
पेज नेविगेशन।
दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एक परिभाषा है।
आइए पहले दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को परिभाषित करें।
इस प्रकार, सामान्य समीकरणों द्वारा समतल पर परिभाषित दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, दी गई रेखाओं के समीकरणों से बनी प्रणाली को हल करना आवश्यक है।
आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें।
उदाहरण।
समीकरण x-9y+14=0 और 5x-2y-16=0 द्वारा समतल में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं।
समाधान।
हमें रेखाओं के दो सामान्य समीकरण दिए गए हैं, हम उनसे एक प्रणाली बनाएंगे: 
. समीकरणों की परिणामी प्रणाली के समाधान आसानी से मिल जाते हैं यदि इसके पहले समीकरण को चर x के संबंध में हल किया जाता है और इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है: 
समीकरणों की प्रणाली का पाया गया समाधान हमें दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक देता है।
उत्तर:
एम 0 (4, 2) x-9y+14=0 तथा 5x-2y-16=0 ।
इसलिए, समतल पर सामान्य समीकरणों द्वारा परिभाषित दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांकों का पता लगाना, दो अज्ञात चरों वाले दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने तक कम हो जाता है। लेकिन क्या होगा यदि विमान पर सीधी रेखाएं सामान्य समीकरणों द्वारा नहीं, बल्कि एक अलग प्रकार के समीकरणों द्वारा दी गई हों (विमान पर सीधी रेखा के समीकरणों के प्रकार देखें)? इन मामलों में, आप पहले रेखाओं के समीकरणों को एक सामान्य रूप में ला सकते हैं, और उसके बाद ही प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।
उदाहरण।
और ।
समाधान।
दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने से पहले, हम उनके समीकरणों को एक सामान्य रूप में लाते हैं। पैरामीट्रिक समीकरणों से सीधी रेखा में संक्रमण इस सीधी रेखा का सामान्य समीकरण इस प्रकार है: 
अब हम रेखा के विहित समीकरण के साथ आवश्यक क्रियाएं करेंगे:
इस प्रकार, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक प्रपत्र के समीकरणों की प्रणाली का समाधान हैं 
. हम इसे हल करने के लिए उपयोग करते हैं: 
उत्तर:
एम 0 (-5, 1)
समतल में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का एक और तरीका है। इसका उपयोग तब करना सुविधाजनक होता है जब किसी एक रेखा को फॉर्म के पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया जाता है 
, और दूसरा - एक अलग रूप की सीधी रेखा का समीकरण। इस स्थिति में, एक अन्य समीकरण में, चर x और y के स्थान पर, आप व्यंजकों को स्थानापन्न कर सकते हैं 
और 
, जिससे दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के संगत मान प्राप्त करना संभव होगा। इस स्थिति में, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक होते हैं।
आइए पिछले उदाहरण से इस तरह से रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।
उदाहरण।
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और ।
समाधान।
प्रत्यक्ष अभिव्यक्ति के समीकरण में स्थानापन्न: 
परिणामी समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं। यह मान रेखाओं के सामान्य बिंदु से मेल खाता है और । हम पैरामीट्रिक समीकरणों में सीधी रेखा को प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक की गणना करते हैं: 
.
उत्तर:
म0 (-5, 1) .
तस्वीर को पूरा करने के लिए एक और बिंदु पर चर्चा की जानी चाहिए।
समतल में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने से पहले, यह सुनिश्चित करना उपयोगी होता है कि दी गई रेखाएँ वास्तव में प्रतिच्छेद करती हैं। यदि यह पता चलता है कि मूल रेखाएँ संपाती हैं या समानांतर हैं, तो ऐसी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने का कोई सवाल ही नहीं है।
आप निश्चित रूप से, इस तरह के चेक के बिना कर सकते हैं, और तुरंत फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली बना सकते हैं 
और इसे हल करें। यदि समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल है, तो यह उस बिंदु के निर्देशांक देता है जिस पर मूल रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। यदि समीकरणों के निकाय का कोई हल नहीं है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल रेखाएँ समानांतर हैं (क्योंकि वास्तविक संख्याओं x और y का ऐसा कोई युग्म नहीं है जो एक साथ दी गई रेखाओं के दोनों समीकरणों को संतुष्ट कर सके)। समीकरणों की प्रणाली के समाधानों के एक अनंत सेट की उपस्थिति से, यह इस प्रकार है कि मूल रेखाओं में असीम रूप से कई बिंदु समान हैं, अर्थात वे मेल खाते हैं।
आइए उन उदाहरणों को देखें जो इन स्थितियों में फिट होते हैं।
उदाहरण।
पता करें कि क्या रेखाएँ और प्रतिच्छेद करती हैं, और यदि वे प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।
समाधान।
रेखाओं के दिए गए समीकरण समीकरणों के अनुरूप हैं 
और 
. आइए इन समीकरणों से बनी प्रणाली को हल करें 
.
यह स्पष्ट है कि सिस्टम के समीकरण एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं (सिस्टम का दूसरा समीकरण इसके दोनों भागों को 4 से गुणा करके पहले से प्राप्त किया जाता है), इसलिए, समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं। इस प्रकार, समीकरण और एक ही रेखा को परिभाषित करते हैं, और हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने की बात नहीं कर सकते।
उत्तर:
समीकरण और आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में एक ही सीधी रेखा निर्धारित करते हैं, इसलिए हम प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते।
उदाहरण।
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए 
और 
, अगर संभव हो तो।
समाधान।
समस्या की स्थिति स्वीकार करती है कि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं। आइए इन समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं। इसके समाधान के लिए लागू, क्योंकि यह आपको समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता या असंगति स्थापित करने की अनुमति देता है, और यदि यह संगत है, तो समाधान खोजें: 
गॉस पद्धति के सीधे पाठ्यक्रम के बाद प्रणाली का अंतिम समीकरण गलत समानता में बदल गया, इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल रेखाएँ समानांतर हैं, और हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने की बात नहीं कर सकते।
दूसरा उपाय।
आइए पता करें कि क्या दी गई रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
- सामान्य रेखा वेक्टर , और वेक्टर 
रेखा का एक सामान्य वेक्टर है . आइए निष्पादन की जांच करें और : समानता 
सत्य है, इसलिए, दी गई रेखाओं के सामान्य सदिश समरेख हैं। फिर, ये रेखाएँ समानांतर या संपाती होती हैं। इस प्रकार, हम मूल रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक नहीं ढूँढ सकते।
उत्तर:
दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना असंभव है, क्योंकि ये रेखाएँ समानांतर हैं।
उदाहरण।
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए 2x-1=0 और यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं।
समाधान।
हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं जो दी गई रेखाओं के सामान्य समीकरण हैं: 
. समीकरणों की इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से अलग है 
, इसलिए समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है, जो दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन को इंगित करता है।
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हमें सिस्टम को हल करने की आवश्यकता है: 
परिणामी समाधान हमें रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक देता है, अर्थात, 
2x-1=0 और .
उत्तर:
अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक समान रूप से पाए जाते हैं।
आइए उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण।
समीकरणों द्वारा अंतरिक्ष में दी गई दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए 
और 
.
समाधान।
हम दी गई रेखाओं के समीकरणों से समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं: 
. इस प्रणाली का समाधान हमें अंतरिक्ष में रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक देगा। आइए हम समीकरणों की लिखित प्रणाली का हल खोजें।
सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है 
, और विस्तारित 
.
आइए परिभाषित करें ए और मैट्रिक्स टी की रैंक। हम उपयोग करते हैं
निम्नलिखित आकृति पर विचार करें।
यह फंक्शन y = x^3 - 3*x^2 का ग्राफ दिखाता है। बिंदु x = 0 वाले कुछ अंतराल पर विचार करें, उदाहरण के लिए, -1 से 1 तक। इस तरह के अंतराल को बिंदु x = 0 का पड़ोस भी कहा जाता है। जैसा कि आप ग्राफ पर देख सकते हैं, इस पड़ोस में फ़ंक्शन y = x ^3 - 3*x^2 बिंदु x = 0 पर सबसे बड़ा मान लेता है।
किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम
इस मामले में, बिंदु x = 0 को फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु कहा जाता है। इसके अनुरूप, बिंदु x = 2 को फ़ंक्शन y = x^3 - 3*x^2 का न्यूनतम बिंदु कहा जाता है। क्योंकि इस बिंदु का एक ऐसा पड़ोस है जिसमें इस बिंदु का मूल्य इस पड़ोस से अन्य सभी मूल्यों के बीच न्यूनतम होगा।
डॉट अधिकतमफ़ंक्शन f(x) को एक बिंदु x0 कहा जाता है, बशर्ते कि बिंदु x0 का एक पड़ोस ऐसा हो कि सभी x के लिए इस पड़ोस से x0 के बराबर न हो, असमानता f(x)< f(x0).
डॉट न्यूनतमफ़ंक्शन f(x) को एक बिंदु x0 कहा जाता है, बशर्ते कि बिंदु x0 का एक पड़ोस ऐसा हो कि सभी x के लिए इस पड़ोस से x0 के बराबर नहीं है, असमानता f(x) > f(x0) संतुष्ट है।
फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान शून्य के बराबर होता है। लेकिन अधिकतम या न्यूनतम बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के अस्तित्व के लिए यह पर्याप्त शर्त नहीं है।
उदाहरण के लिए, बिंदु x = 0 पर फ़ंक्शन y = x^3 का डेरिवेटिव शून्य के बराबर है। परंतु बिंदु x = 0 फलन का न्यूनतम या अधिकतम बिंदु नहीं है। जैसा कि आप जानते हैं, फलन y = x^3 संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर बढ़ता है।
इस प्रकार, न्यूनतम और अधिकतम बिंदु हमेशा समीकरण f'(x) = 0 के मूल में होंगे। लेकिन इस समीकरण के सभी मूल अधिकतम या न्यूनतम बिंदु नहीं होंगे।
स्थिर और महत्वपूर्ण बिंदु
जिन बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान शून्य के बराबर होता है, उन्हें स्थिर बिंदु कहा जाता है। ऐसे बिंदुओं पर अधिकतम या न्यूनतम अंक भी हो सकते हैं जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। उदाहरण के लिए, y = |x| बिंदु x = 0 पर न्यूनतम है, लेकिन इस बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। यह बिंदु समारोह का महत्वपूर्ण बिंदु होगा।
किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु वे बिंदु होते हैं जिन पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, या व्युत्पन्न इस बिंदु पर मौजूद नहीं होता है, अर्थात, इस बिंदु पर फ़ंक्शन गैर-भिन्न होता है। किसी फलन का अधिकतम या न्यूनतम ज्ञात करने के लिए, एक पर्याप्त शर्त का पूरा होना आवश्यक है।
चलो f(x) अंतराल (a;b) पर अलग-अलग कार्य करें। बिंदु x0 इस अंतराल से संबंधित है और f'(x0) = 0. फिर:
1. यदि, स्थिर बिंदु x0 से गुजरते समय, फ़ंक्शन f (x) और इसके व्युत्पन्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाते हैं, तो बिंदु x0 फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु है।
2. यदि, स्थिर बिंदु x0 से गुजरते समय, फ़ंक्शन f (x) और इसके व्युत्पन्न "माइनस" से "प्लस" में परिवर्तन करते हैं, तो बिंदु x0 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।
महत्वपूर्ण बिंदुवे बिंदु हैं जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है। यदि व्युत्पन्न 0 है तो उस बिंदु पर कार्य लेता है स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम. ऐसे बिंदुओं पर ग्राफ़ पर, फ़ंक्शन में एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख होता है, अर्थात स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है।
ऐसे बिन्दु कहलाते हैं अचल. यदि आप निरंतर फ़ंक्शन चार्ट पर "कूबड़" या "छेद" देखते हैं, तो याद रखें कि महत्वपूर्ण बिंदु पर अधिकतम या न्यूनतम पहुंच गया है। एक उदाहरण के रूप में निम्न कार्य पर विचार करें।
उदाहरण 1 फलन y=2x^3-3x^2+5 के महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं।
समाधान। महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए एल्गोरिथम इस प्रकार है:
तो फ़ंक्शन के दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं।
इसके अलावा, यदि आपको फ़ंक्शन का अध्ययन करने की आवश्यकता है, तो हम व्युत्पन्न के चिह्न को महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं और दाईं ओर निर्धारित करते हैं। यदि एक महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" पर हस्ताक्षर करता है, तो फ़ंक्शन लेता है स्थानीय न्यूनतम. यदि "+" से "-" होना चाहिए स्थानीय अधिकतम.
दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदुये भिन्नात्मक और अपरिमेय कार्यों के हर के शून्य हैं
लघुगणक और त्रिकोणमिति वाले कार्य जो इन बिंदुओं पर परिभाषित नहीं हैं 
तीसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदुटुकड़े-टुकड़े निरंतर कार्य और मॉड्यूल हैं।
उदाहरण के लिए, किसी मॉड्यूल-फ़ंक्शन में ब्रेक पॉइंट पर न्यूनतम या अधिकतम होता है।
उदाहरण के लिए मॉड्यूल y = | एक्स -5 | बिंदु x = 5 पर एक न्यूनतम (महत्वपूर्ण बिंदु) है।
इसमें व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, लेकिन दाईं ओर और बाईं ओर यह क्रमशः 1 और -1 मान लेता है।
कार्यों के महत्वपूर्ण बिंदुओं की पहचान करने का प्रयास करें
1)
2)
3)
4)
5)
अगर जवाब में आपको मूल्य मिलता है
1) एक्स = 4;
2) x=-1;x=1;
3) एक्स = 9;
4) x=Pi*k;
5) एक्स = 1।
तो आप पहले से ही जानते हैं महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता कैसे लगाएंऔर एक साधारण नियंत्रण या परीक्षण से निपटने में सक्षम हो।
मुझे डर है कि मैं आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे पुस्तकालयों से परिचित नहीं हूं, लेकिन मुझे लगता है कि मेरे पास एल्गोरिदम के लिए एक उचित विचार है जिसका आप उपयोग कर सकते हैं और मैं अभी इस पर जाऊंगा कि मैं इसे वेनिला पायथन के साथ कैसे कार्यान्वित करूँगा और फिर मैं मुझे यकीन है कि आप इसे सुधार सकते हैं और इन पुस्तकालयों के साथ इसे लागू कर सकते हैं। साथ ही, मैं यह दावा नहीं कर रहा हूं कि इसे प्राप्त करने का यह सबसे अच्छा तरीका है, लेकिन मैं एक उचित सीमा तक उत्तर चाहता था, इसलिए यह यहां है।
अब विचार एल्गोरिदम में दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके बिंदुओं के एक सेट के उत्तल सेट को खोजने के लिए आता है, उदा। ग्राहम स्कैन। मान लें कि हमारे पास दो बिंदु p1 और p2 हैं जो बिंदु वैक्टर को परिभाषित करते हैं पी 1और p2मूल बिंदु (0,0) से शुरू होकर (x1, y1) और (x2, y2) क्रमशः। पार उत्पाद पी 1एक्स p2तीसरा वेक्टर देता है पी 3, जो लंबवत है पी 1, और p2और वैक्टर से घिरे समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र द्वारा दिया गया मान है।
एक बहुत उपयोगी परिणाम यह है कि मैट्रिक्स निर्धारक
/x1,x2\\y1,y2/
जो कि x1 * y2 - x2 * y1 सदिश का परिमाण देता है पी 3, और संकेत इंगित करता है कि क्या पी 3विमान को "छोड़ना" या उसमें "प्रवेश करना"। यहाँ मुख्य बिंदु यह है कि यदि यह मान धनात्मक है, तब p2के बायीं ओर स्थित है पी 1, और अगर यह नकारात्मक है, तो p2सही" पी 1.
आशा है कि यह एएससीआई कला उदाहरण मदद करता है:
पी2(4, 5) // / /_ _ _ _। पी 1 (5, 0)
x1 * y2 - x2 * y1 = 5 * 4 - 0 * 5 = 20 और इसी तरह p2के बायीं ओर स्थित है पी 1
अंत में, यह हमारे लिए उपयोगी क्यों है! यदि हमारे पास बहुभुज के कोने और कई अन्य ग्राफ़ बिंदुओं की एक सूची है, तो बहुभुज के प्रत्येक किनारे के लिए हम उस किनारे का वेक्टर प्राप्त कर सकते हैं। हम शुरुआती शीर्ष को ग्राफ़ में अन्य सभी बिंदुओं से जोड़ने वाले वैक्टर भी प्राप्त कर सकते हैं, और यह जाँच कर कि वे किनारे के बाएँ या दाएँ स्थित हैं, हम प्रत्येक किनारे के लिए कुछ बिंदुओं को बाहर कर सकते हैं। वे सभी जो प्रक्रिया के अंत में नहीं हटाए जाते हैं, वे बहुभुज के अंदर के बिंदु हैं। वैसे भी, कुछ कोड इसे और स्पष्ट करने के लिए!
अपने बहुभुज के शीर्षों की सूची उस क्रम में प्राप्त करें जिस क्रम में आपने उन्हें देखा था, यदि आप उन्हें वामावर्त बनाना चाहते हैं, उदाहरण के लिए, कुछ पेंटागन हो सकते हैं:
पाली = [(1, 1), (4, 2), (5, 5), (3, 8), (0, 4)]
ग्राफ़ पर अन्य सभी बिंदुओं वाला एक सेट प्राप्त करें, हम धीरे-धीरे इस सेट से अमान्य बिंदुओं को हटा देंगे, जब तक कि प्रक्रिया के अंत में छोड़े गए बिंदु ठीक वही बिंदु न हों जो बहुभुज के अंदर हैं।
अंक = सेट (["(3, 0), (10, -2), (3,3), ...])
कोड का मुख्य बिट वास्तव में काफी कॉम्पैक्ट है कि मुझे यह लिखने में कितना समय लगा कि यह कैसे काम करता है। to_right वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने वाले दो टुपल्स लेता है और अगर v2 v1 के दाईं ओर है तो True लौटाता है। लूप तब बहुभुज के सभी किनारों से गुजरते हैं और कार्य सेट से बिंदुओं को हटाते हैं यदि वे किसी भी किनारे के दाईं ओर हैं।
डीईएफ़ to_right(v1, v2): वापसी (v1*v2 - v1*v2)< 0 for i in range(len(poly)): v1 = poly v2 = poly[i] for p in points: if(to_right(v2-v1, p-v1)): points.remove(p)
संपादित करें: स्पष्ट होने के लिए, तथ्य यह है कि यदि वे दाईं ओर हैं और बाईं ओर नहीं हैं, तो उन्हें उस क्रम से करना होगा जिसमें बहुभुज के कोने निर्दिष्ट हैं। यदि वे दक्षिणावर्त क्रम में थे, तो आपको इसके बजाय बाएँ बिंदुओं को बाहर करना होगा। फिलहाल मेरे पास इस समस्या का कोई विशेष समाधान नहीं है।
वैसे भी, मुझे उम्मीद है कि मैं इसके बारे में सही हूं और यह ओपी नहीं होने पर भी किसी की मदद कर सकता है। इस एल्गोरिथ्म की स्पर्शोन्मुख जटिलता O (mn) है जहाँ n ग्राफ में बिंदुओं की संख्या है और m बहुभुज के शीर्षों की संख्या है, क्योंकि सबसे खराब स्थिति में सभी बिंदु बहुभुज के अंदर स्थित होते हैं और हमें हर बिंदु की जाँच करनी होती है बिना किसी के हर किनारे को हटा दिया जाता है।