संभाव्यता की शास्त्रीय और सांख्यिकीय परिभाषा। खेल संतुलन के मूल सिद्धांत: यादृच्छिकता और विभिन्न घटनाओं की संभावना

मात्रात्मक रूप से घटनाओं की उनकी संभावना के अनुसार एक दूसरे के साथ तुलना करने के लिए, प्रत्येक घटना के साथ एक निश्चित संख्या को जोड़ना स्पष्ट रूप से आवश्यक है, जो अधिक से अधिक है, घटना जितनी अधिक संभव है। इस संख्या को हम घटना की प्रायिकता कहते हैं। इस प्रकार, घटना की संभावनाइस घटना की वस्तुनिष्ठ संभावना की डिग्री का एक संख्यात्मक माप है।

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा, जो जुए के विश्लेषण से उत्पन्न हुई थी और शुरू में सहज रूप से लागू की गई थी, को संभाव्यता की पहली परिभाषा माना जाना चाहिए।

संभाव्यता निर्धारित करने का शास्त्रीय तरीका समान रूप से संभावित और असंगत घटनाओं की अवधारणा पर आधारित है, जो किसी दिए गए अनुभव के परिणाम हैं और असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं।

एक पूर्ण समूह बनाने वाली समान रूप से संभव और असंगत घटनाओं का सबसे सरल उदाहरण कलश से एक या दूसरी गेंद का दिखना है जिसमें एक ही आकार, वजन और अन्य मूर्त विशेषताओं की कई गेंदें होती हैं, जो केवल रंग में भिन्न होती हैं, बाहर निकालने से पहले पूरी तरह से मिश्रित होती हैं। .

इसलिए, एक परीक्षण, जिसके परिणाम असंगत और समान रूप से संभावित घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं, को कलशों की एक योजना, या मामलों की एक योजना, या शास्त्रीय योजना में फिट होने के लिए कहा जाता है।

एक पूर्ण समूह बनाने वाली समान रूप से संभव और असंगत घटनाओं को केवल मामले या मौके कहा जाएगा। इसके अलावा, प्रत्येक प्रयोग में, मामलों के साथ, अधिक जटिल घटनाएँ घटित हो सकती हैं।

उदाहरण: जब एक पासा उछाला जाता है, मामलों के साथ-साथ ए - आई-पॉइंट्स ऊपरी चेहरे पर गिरते हैं, बी जैसी घटनाएं - अंकों की एक समान संख्या गिरती है, सी - तीन बिंदुओं में से एक से बाहर गिरती है ...

प्रयोग के कार्यान्वयन के दौरान होने वाली प्रत्येक घटना के संबंध में, मामलों को विभाजित किया गया है अनुकूल, जिस पर यह घटना होती है, और प्रतिकूल, जिस पर घटना घटित नहीं होती है। पिछले उदाहरण में, घटना B को स्थिति A 2 , A 4 , A 6 ; घटना सी - मामले ए 3, ए 6।

शास्त्रीय संभावनाकिसी घटना का घटित होना उन मामलों की संख्या का अनुपात है जो इस घटना के प्रकट होने का पक्ष लेते हैं, समान रूप से संभव, असंगत, किसी दिए गए अनुभव में एक पूर्ण समूह बनाने वाले मामलों की कुल संख्या के लिए:

कहाँ पी (ए)- घटना ए की घटना की संभावना; एम- घटना ए के लिए अनुकूल मामलों की संख्या; एनमामलों की कुल संख्या है।

उदाहरण:

1) (ऊपर उदाहरण देखें) पी (बी)= , पी (सी) =.

2) एक कलश में 9 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से निकाली गई एक या दो गेंदों के लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

ए- यादृच्छिक रूप से निकाली गई एक लाल गेंद:

एम= 9, एन= 9 + 6 = 15, पी (ए)=

बी- यादृच्छिक रूप से निकाली गई दो लाल गेंदें:

निम्नलिखित गुण संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा से अनुसरण करते हैं (स्वयं को दिखाएं):

1) एक असंभव घटना की प्रायिकता 0 है;

2) किसी निश्चित घटना की प्रायिकता 1 है;

3) किसी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है;

4) घटना A के विपरीत घटना की प्रायिकता,

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा मानती है कि परीक्षण के परिणामों की संख्या परिमित है। व्यवहार में, हालांकि, बहुत बार परीक्षण होते हैं, जिनमें संभावित मामलों की संख्या अनंत होती है। इसके अलावा, शास्त्रीय परिभाषा की कमजोरी यह है कि प्राथमिक घटनाओं के एक सेट के रूप में परीक्षण के परिणाम का प्रतिनिधित्व करना अक्सर असंभव होता है। परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों को समान रूप से संभावित मानने के आधारों को इंगित करना और भी कठिन है। आमतौर पर, समरूपता के विचार से परीक्षण के प्राथमिक परिणामों की समानता का निष्कर्ष निकाला जाता है। हालांकि, व्यवहार में ऐसे कार्य बहुत दुर्लभ हैं। इन कारणों से, संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के साथ-साथ प्रायिकता की अन्य परिभाषाओं का भी उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकीय संभावनाघटना ए प्रदर्शन किए गए परीक्षणों में इस घटना की घटना की सापेक्ष आवृत्ति है:

घटना ए के घटित होने की संभावना कहां है;

घटना ए की घटना की सापेक्ष आवृत्ति;

परीक्षणों की संख्या जिसमें घटना A दिखाई दी;

परीक्षणों की कुल संख्या।

शास्त्रीय संभाव्यता के विपरीत, सांख्यिकीय संभाव्यता एक प्रयोगात्मक की एक विशेषता है।

उदाहरण: एक बैच से उत्पादों की गुणवत्ता को नियंत्रित करने के लिए, 100 उत्पादों को यादृच्छिक रूप से चुना गया, जिनमें से 3 उत्पाद खराब निकले। विवाह की संभावना का निर्धारण करें।

.

संभाव्यता निर्धारित करने की सांख्यिकीय विधि केवल उन घटनाओं पर लागू होती है जिनमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

जिन घटनाओं पर विचार किया जा रहा है, वे केवल उन्हीं परीक्षणों के परिणाम होने चाहिए जिन्हें समान शर्तों के तहत असीमित संख्या में बार-बार पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है।

घटनाओं में सांख्यिकीय स्थिरता (या सापेक्ष आवृत्तियों की स्थिरता) होनी चाहिए। इसका मतलब है कि परीक्षणों की विभिन्न श्रृंखलाओं में, घटना की सापेक्ष आवृत्ति महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलती है।

घटना A में परिणत होने वाले परीक्षणों की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी होनी चाहिए।

यह सत्यापित करना आसान है कि प्रायिकता के गुण, जो शास्त्रीय परिभाषा से अनुसरण करते हैं, प्रायिकता की सांख्यिकीय परिभाषा में भी संरक्षित हैं।

संभावनाघटना उन प्रारंभिक परिणामों की संख्या का अनुपात है जो किसी दिए गए घटना का पक्ष लेते हैं, अनुभव के सभी समान रूप से संभव परिणामों की संख्या जिसमें यह घटना घटित हो सकती है। किसी घटना A की प्रायिकता को P(A) द्वारा निरूपित किया जाता है (यहाँ P फ्रेंच शब्द प्रायिकता - संभाव्यता का पहला अक्षर है)। परिभाषा के अनुसार
(1.2.1)
जहां घटना ए के पक्ष में प्रारंभिक परिणामों की संख्या है; - घटनाओं का एक पूरा समूह बनाने, अनुभव के सभी समान रूप से संभव प्राथमिक परिणामों की संख्या।
संभाव्यता की इस परिभाषा को शास्त्रीय कहा जाता है। यह संभाव्यता सिद्धांत के विकास के प्रारंभिक चरण में उत्पन्न हुआ।

किसी घटना की प्रायिकता के निम्नलिखित गुण होते हैं:
1. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है। आइए एक निश्चित घटना को पत्र द्वारा नामित करें। एक निश्चित घटना के लिए, इसलिए
(1.2.2)
2. असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है। हम पत्र द्वारा असंभव घटना को निरूपित करते हैं। एक असंभव घटना के लिए, इसलिए
(1.2.3)
3. एक यादृच्छिक घटना की संभावना एक से कम सकारात्मक संख्या के रूप में व्यक्त की जाती है। चूंकि असमानताएं, या एक यादृच्छिक घटना के लिए संतुष्ट हैं, तब
(1.2.4)
4. किसी घटना की प्रायिकता असमिकाओं को संतुष्ट करती है
(1.2.5)
यह संबंध (1.2.2) -(1.2.4) से आता है।

उदाहरण 1एक कलश में समान आकार और वजन की 10 गेंदें हैं, जिनमें से 4 लाल और 6 नीली हैं। कलश से एक गेंद निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद नीली है?

समाधान. घटना "निकाली गई गेंद नीली हो गई" को अक्षर A द्वारा निरूपित किया जाएगा। इस परीक्षण में 10 समान रूप से संभव प्राथमिक परिणाम हैं, जिनमें से 6 अनुकूल घटना A हैं। सूत्र (1.2.1) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2 1 से 30 तक की सभी प्राकृत संख्याएँ एक जैसे कार्डों पर लिखी जाती हैं और कलश में रखी जाती हैं। कार्डों को अच्छी तरह मिलाने के बाद कलश से एक कार्ड निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाले गए कार्ड पर संख्या 5 का गुणक है?

समाधान।घटना को ए से निरूपित करें "लेए गए कार्ड पर संख्या 5 का एक गुणक है"। इस परीक्षण में, 30 समान रूप से संभावित प्राथमिक परिणाम हैं, जिनमें से 6 परिणाम घटना A (संख्या 5, 10, 15, 20, 25, 30) के पक्ष में हैं। इस तरह,

उदाहरण 3दो पासे फेंके जाते हैं, ऊपरी फलकों पर अंकों के योग की गणना की जाती है। घटना B की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि घनों के शीर्ष फलकों में कुल 9 अंक होंगे।

समाधान।इस परीक्षण में 6 2 = 36 समान रूप से संभव प्राथमिक परिणाम हैं। घटना B को 4 परिणाम पसंद हैं: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), इसलिए

उदाहरण 4. 10 से अनधिक एक प्राकृतिक संख्या को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह संख्या अभाज्य है?

समाधान।घटना "चयनित संख्या अभाज्य है" को अक्षर C से निरूपित करें। इस स्थिति में, n = 10, m = 4 (अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7)। इसलिए, वांछित संभावना

उदाहरण 5दो सममित सिक्कों को उछाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों सिक्कों के ऊपर की ओर अंक होंगे?

समाधान।चलो पत्र डी द्वारा घटना को निरूपित करते हैं "प्रत्येक सिक्के के शीर्ष पर एक संख्या थी"। इस परीक्षण में 4 समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणाम हैं: (जी, जी), (जी, सी), (सी, जी), (सी, सी)। (संकेतन (जी, सी) का अर्थ है कि पहले सिक्के पर हथियारों का एक कोट है, दूसरे पर - एक संख्या)। घटना डी एक प्राथमिक परिणाम (सी, सी) के पक्ष में है। चूँकि m = 1, n = 4, तब

उदाहरण 6क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो अंकों की संख्या में अंक समान हैं?

समाधान।दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 तक की संख्याएँ हैं; कुल मिलाकर ऐसी 90 संख्याएँ हैं। 9 संख्याओं में समान अंक हैं (ये संख्याएँ 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 हैं)। चूँकि इस स्थिति में m = 9, n = 90, तब
,
जहाँ A "समान अंकों वाली संख्या" घटना है।

उदाहरण 7शब्द के अक्षरों से अंतरएक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। क्या संभावना है कि यह अक्षर होगा: ए) एक स्वर बी) एक व्यंजन सी) एक अक्षर एच?

समाधान. अवकल शब्द में 12 वर्ण हैं, जिनमें से 5 स्वर हैं और 7 व्यंजन हैं। पत्र एचयह शब्द नहीं है। आइए घटनाओं को निरूपित करें: ए - "स्वर", बी - "व्यंजन", सी - "अक्षर एच"। अनुकूल प्राथमिक परिणामों की संख्या: - घटना ए के लिए, - घटना बी के लिए, - घटना सी के लिए। चूंकि n \u003d 12, फिर
, और ।

उदाहरण 8दो पासों को उछाला जाता है, प्रत्येक पासे के शीर्ष फलक पर अंकों की संख्या नोट की जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों पासों पर समान अंक हैं।

समाधान।आइए हम इस घटना को अक्षर A से निरूपित करते हैं। घटना A को 6 प्रारंभिक परिणामों द्वारा समर्थित किया गया है: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). कुल मिलाकर समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणाम हैं जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं, इस मामले में n=6 2 =36। तो वांछित संभावना

उदाहरण 9किताब में 300 पेज हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि बेतरतीब ढंग से खोले गए पृष्ठ में अनुक्रम संख्या होगी जो 5 का गुणक है?

समाधान।यह समस्या की स्थितियों से अनुसरण करता है कि सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणामों के n = 300 होंगे जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं। इनमें से, m = 60 निर्दिष्ट घटना के घटित होने का पक्ष लेते हैं। वास्तव में, एक संख्या जो 5 का गुणज है, का रूप 5k है, जहाँ k एक प्राकृत संख्या है, और , जहाँ से . इस तरह,
, जहां ए - "पृष्ठ" घटना में अनुक्रम संख्या है जो 5 का गुणक है"।

उदाहरण 10. दो पासे फेंके जाते हैं, ऊपरी फलकों पर अंकों के योग की गणना की जाती है। कुल 7 या 8 प्राप्त करने की अधिक संभावना क्या है?

समाधान. आइए घटनाओं को नामित करें: ए - "7 अंक गिर गए", बी - "8 अंक गिर गए"। घटना A को 6 प्राथमिक परिणामों द्वारा पसंद किया जाता है: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), और घटना B - द्वारा 5 परिणाम: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)। सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणामों के n = 6 2 = 36 हैं। इसलिए, और ।

इसलिए, P(A)>P(B), यानी, कुल 8 अंक प्राप्त करने की तुलना में कुल 7 अंक प्राप्त करना अधिक संभावित घटना है।

कार्य

1. एक प्राकृतिक संख्या जो 30 से अधिक नहीं है, यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह संख्या 3 की गुणज है?
2. कलश में एलाल और बीसमान आकार और वजन की नीली गेंदें। क्या प्रायिकता है कि इस कलश से यादृच्छया निकाली गई गेंद नीली है?
3. 30 से अनधिक संख्या यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह संख्या zo का भाजक है?
4. कलश में एनीला और बीसमान आकार और भार की लाल गेंदें। इस कलश से एक गेंद निकालकर अलग रख दें। यह गेंद लाल है। फिर कलश से एक और गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दूसरी गेंद भी लाल है।
5. एक प्राकृतिक संख्या जो 50 से अधिक नहीं है, यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह संख्या अभाज्य है?
6. तीन पासे फेंके जाते हैं, ऊपरी फलकों पर अंकों के योग की गणना की जाती है। क्या अधिक संभावना है - कुल 9 या 10 अंक प्राप्त करने के लिए?
7. तीन पासों को उछाला जाता है, गिराए गए अंकों के योग की गणना की जाती है। कुल 11 (घटना ए) या 12 अंक (घटना बी) प्राप्त करने की अधिक संभावना क्या है?

जवाब

1. 1/3. 2 . बी/(ए+बी). 3 . 0,2. 4 . (बी-1)/(ए+बी-1). 5 .0,3.6 . पी 1 \u003d 25/216 - कुल 9 अंक प्राप्त करने की संभावना; पी 2 \u003d 27/216 - कुल 10 अंक प्राप्त करने की संभावना; पी2 > पी1 7 . पी(ए) = 27/216, पी(बी) = 25/216, पी(ए) > पी(बी)।

प्रशन

1. किसी घटना की प्रायिकता किसे कहते हैं?
2. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता क्या है?
3. एक असंभव घटना की प्रायिकता क्या है?
4. यादृच्छिक घटना की प्रायिकता की सीमाएँ क्या हैं?
5. किसी घटना की प्रायिकता की सीमाएँ क्या हैं?
6. प्रायिकता की किस परिभाषा को शास्त्रीय कहा जाता है?

• संभाव्यता - किसी घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री (सापेक्ष माप, मात्रात्मक मूल्यांकन)। जब किसी संभावित घटना के वास्तव में घटित होने के कारण विपरीत कारणों से अधिक हो जाते हैं, तो इस घटना को संभावित कहा जाता है, अन्यथा - असंभाव्य या असंभव। नकारात्मक आधारों पर सकारात्मक आधारों की प्रधानता, और इसके विपरीत, अलग-अलग डिग्री हो सकती है, जिसके परिणामस्वरूप संभावना (और असंभवता) अधिक या कम होती है। इसलिए, संभाव्यता का अक्सर गुणात्मक स्तर पर अनुमान लगाया जाता है, विशेषकर ऐसे मामलों में जहां अधिक या कम सटीक मात्रात्मक मूल्यांकन असंभव या अत्यंत कठिन होता है। संभाव्यता के "स्तरों" के विभिन्न उन्नयन संभव हैं।

  गणितीय दृष्टिकोण से संभाव्यता का अध्ययन एक विशेष अनुशासन है - संभाव्यता का सिद्धांत। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों में, संभाव्यता की अवधारणा को एक घटना की संख्यात्मक विशेषता के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है - एक संभाव्यता माप (या इसका मान) - घटनाओं के एक सेट पर एक माप (प्राथमिक घटनाओं के एक सेट के सबसेट), मान लेना से

  (\प्रदर्शनशैली 0)

  (\डिस्प्लेस्टाइल 1)

  अर्थ

  (\डिस्प्लेस्टाइल 1)

  एक मान्य घटना के अनुरूप। एक असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है (विपरीत आम तौर पर हमेशा सत्य नहीं होता है)। यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है

  (\डिस्प्लेस्टाइल पी)

  तब इसके न होने की प्रायिकता बराबर होती है

  (\डिस्प्लेस्टाइल 1-पी)

  विशेष रूप से संभावना

  (\डिस्प्लेस्टाइल 1/2)

  यानी घटना के घटित होने और न होने की समान संभावना।

  संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा परिणामों की समसंभाव्यता की अवधारणा पर आधारित है। संभाव्यता उन परिणामों की संख्या का अनुपात है जो किसी दिए गए ईवेंट को समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या का पक्ष लेते हैं। उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक सिक्का टॉस पर हेड या टेल आने की संभावना 1/2 है यदि केवल इन दो संभावनाओं को माना जाता है और वे समान रूप से होने की संभावना है। संभाव्यता की इस शास्त्रीय "परिभाषा" को संभावित मूल्यों की अनंत संख्या के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि कोई घटना किसी सीमित क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर समान संभावना के साथ हो सकती है (अंकों की संख्या अनंत है) ​​अंतरिक्ष (विमान), तो संभावना है कि यह इस स्वीकार्य क्षेत्र के कुछ हिस्से में होगा, इस हिस्से के आयतन (क्षेत्र) के अनुपात के बराबर है जो सभी संभावित बिंदुओं के क्षेत्रफल के आयतन (क्षेत्र) के अनुपात के बराबर है। .

  संभाव्यता की अनुभवजन्य "परिभाषा" एक घटना की घटना की आवृत्ति से संबंधित है, इस तथ्य के आधार पर कि पर्याप्त संख्या में परीक्षणों के साथ, आवृत्ति को इस घटना की संभावना की वस्तुनिष्ठ डिग्री तक जाना चाहिए। संभाव्यता के सिद्धांत की आधुनिक प्रस्तुति में, संभाव्यता को स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया जाता है, एक सेट के माप के सार सिद्धांत के एक विशेष मामले के रूप में। फिर भी, अमूर्त माप और संभाव्यता के बीच की कड़ी, जो किसी घटना की संभावना की डिग्री को व्यक्त करती है, ठीक इसके अवलोकन की आवृत्ति है।

  कुछ परिघटनाओं का संभाव्य विवरण आधुनिक विज्ञान में व्यापक हो गया है, विशेष रूप से अर्थमिति में, मैक्रोस्कोपिक (थर्मोडायनामिक) प्रणालियों के सांख्यिकीय भौतिकी में, जहां कणों की गति के एक शास्त्रीय नियतात्मक विवरण के मामले में भी, संपूर्ण प्रणाली का एक नियतात्मक विवरण कणों का व्यावहारिक रूप से संभव और उचित नहीं है। क्वांटम भौतिकी में, वर्णित प्रक्रियाएं स्वयं संभाव्य प्रकृति की हैं।

गणित (mathege.ru) में यूएसई समस्याओं के खुले बैंक में आज तक प्रस्तुत किया गया है, जिसका समाधान केवल एक सूत्र पर आधारित है, जो संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा है।

सूत्र को समझने का सबसे आसान तरीका उदाहरणों के साथ है।
उदाहरण 1टोकरी में 9 लाल गेंदें और 3 नीली गेंदें हैं। गेंदें केवल रंग में भिन्न होती हैं। बेतरतीब ढंग से (बिना देखे) हमें उनमें से एक मिलता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इस प्रकार चुनी गई गेंद नीली होगी?

एक टिप्पणी।संभाव्यता सिद्धांत की समस्याओं में, कुछ होता है (इस मामले में, गेंद को खींचने की हमारी क्रिया) जिसका एक अलग परिणाम हो सकता है - एक परिणाम। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि परिणाम को विभिन्न तरीकों से देखा जा सकता है। "हमने एक गेंद निकाली" भी एक परिणाम है। "हमने नीली गेंद को बाहर निकाला" परिणाम है। "हमने इस विशेष गेंद को सभी संभावित गेंदों से बाहर निकाला" - परिणाम के इस कम से कम सामान्यीकृत दृश्य को प्राथमिक परिणाम कहा जाता है। प्रायिकता की गणना के सूत्र में प्राथमिक परिणाम हैं।

समाधान।अब हम एक नीली गेंद चुनने की प्रायिकता की गणना करते हैं।
घटना A: "चुनी हुई गेंद नीली निकली"
सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या: 9+3=12 (सभी गेंदों की संख्या जिन्हें हम निकाल सकते हैं)
घटना A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या: 3 (ऐसे परिणामों की संख्या जिसमें घटना A हुई - यानी नीली गेंदों की संख्या)
पी(ए)=3/12=1/4=0.25
उत्तर: 0.25

आइए हम इसी समस्या के लिए लाल गेंद चुनने की प्रायिकता की गणना करें।
संभावित परिणामों की कुल संख्या समान रहेगी, 12. अनुकूल परिणामों की संख्या: 9. वांछित संभावना: 9/12=3/4=0.75

किसी भी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है।
कभी-कभी रोजमर्रा के भाषण में (लेकिन संभाव्यता सिद्धांत में नहीं!) घटनाओं की संभावना का प्रतिशत के रूप में अनुमान लगाया जाता है। गणितीय और संवादात्मक मूल्यांकन के बीच संक्रमण 100% गुणा (या विभाजित) करके किया जाता है।
इसलिए,
इस मामले में, उन घटनाओं के लिए संभावना शून्य है जो घटित नहीं हो सकती हैं - असंभव। उदाहरण के लिए, हमारे उदाहरण में, यह टोकरी से हरी गेंद निकालने की प्रायिकता होगी। (अनुकूल परिणामों की संख्या 0 है, सूत्र के अनुसार गिनने पर P(A)=0/12=0)
प्रायिकता 1 में ऐसी घटनाएँ हैं जो बिल्कुल निश्चित रूप से घटित होंगी, बिना विकल्पों के। उदाहरण के लिए, संभावना है कि "चुनी गई गेंद या तो लाल या नीली होगी" हमारी समस्या के लिए है। (अनुकूल परिणामों की संख्या: 12, P(A)=12/12=1)

हमने एक उत्कृष्ट उदाहरण देखा है जो प्रायिकता की परिभाषा को दर्शाता है। संभाव्यता सिद्धांत में सभी समान यूएसई समस्याओं को इस सूत्र का उपयोग करके हल किया जाता है।
लाल और नीली गेंदों के बजाय, सेब और नाशपाती, लड़के और लड़कियां, सीखा और अनजान टिकट हो सकते हैं, टिकट जिसमें किसी विषय पर कोई प्रश्न नहीं है (प्रोटोटाइप), दोषपूर्ण और उच्च गुणवत्ता वाले बैग या बगीचे पंप (प्रोटोटाइप, ) - सिद्धांत वही रहता है।

वे यूएसई संभाव्यता सिद्धांत की समस्या के निर्माण में थोड़ा भिन्न होते हैं, जहां आपको किसी निश्चित दिन होने वाली घटना की संभावना की गणना करने की आवश्यकता होती है। ( , ) पिछले कार्यों की तरह, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि प्राथमिक परिणाम क्या है, और फिर वही सूत्र लागू करें।

उदाहरण 2सम्मेलन तीन दिनों तक चलता है। पहले और दूसरे दिन 15-15 वक्ता, तीसरे दिन 20. प्रोफेसर एम. की रिपोर्ट के तीसरे दिन गिरने की क्या प्रायिकता है, यदि रिपोर्ट का क्रम लॉटरी द्वारा निर्धारित किया जाता है?

यहाँ प्राथमिक परिणाम क्या है? - एक भाषण के लिए सभी संभावित क्रम संख्याओं में से एक को प्रोफेसर की रिपोर्ट सौंपना। ड्रॉ में 15+15+20=50 लोग भाग लेते हैं। इस प्रकार, प्रोफेसर एम की रिपोर्ट 50 में से एक संख्या प्राप्त कर सकती है। इसका मतलब है कि केवल 50 प्राथमिक परिणाम हैं।
अनुकूल परिणाम क्या हैं? - वे जिनमें यह पता चला कि प्रोफेसर तीसरे दिन बोलेंगे। यानी आखिरी के 20 नंबर।
सूत्र के अनुसार, प्रायिकता P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
उत्तर: 0.4

यहां बहुत से चित्र लोगों और आदेशित स्थानों के बीच एक यादृच्छिक पत्राचार की स्थापना है। उदाहरण 2 में, मिलान पर विचार किया गया था कि कोई विशेष व्यक्ति किन स्थानों पर जा सकता है। आप दूसरी तरफ से एक ही स्थिति से संपर्क कर सकते हैं: किस संभावना वाले लोग किसी विशेष स्थान पर पहुंच सकते हैं (प्रोटोटाइप , , , ):

उदाहरण 3ड्रॉ में 5 जर्मन, 8 फ्रेंच और 3 एस्टोनियाई ने भाग लिया। क्या संभावना है कि पहला (/दूसरा/सातवां/आखिरी - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता) एक फ्रांसीसी होगा।

प्रारंभिक परिणामों की संख्या उन सभी संभावित लोगों की संख्या है जो किसी दिए गए स्थान पर बहुत से प्राप्त कर सकते हैं। 5+8+3=16 लोग।
अनुकूल परिणाम - फ्रेंच। 8 लोग।
वांछित संभावना: 8/16=1/2=0.5
उत्तर: 0.5

प्रोटोटाइप थोड़ा अलग है। सिक्कों () और पासा () के बारे में ऐसे कार्य हैं जो कुछ अधिक रचनात्मक हैं। इन समस्याओं का समाधान प्रोटोटाइप पेजों पर पाया जा सकता है।

यहाँ सिक्के उछालने या पासे उछालने के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

उदाहरण 4जब हम एक सिक्के को उछालते हैं, तो पट आने की प्रायिकता क्या होती है?
परिणाम 2 - चित या पट। (ऐसा माना जाता है कि सिक्का किनारे पर कभी नहीं गिरता) अनुकूल परिणाम - पूंछ, 1.
प्रायिकता 1/2=0.5
उत्तर: 0.5।

उदाहरण 5क्या होगा अगर हम एक सिक्के को दो बार उछालें? इसकी क्या प्रायिकता है कि यह दोनों बार शीर्ष पर आएगा?
मुख्य बात यह निर्धारित करना है कि दो सिक्कों को उछालते समय हम किन प्राथमिक परिणामों पर विचार करेंगे। दो सिक्कों को उछालने के बाद, निम्न में से कोई एक परिणाम हो सकता है:
1) पीपी - दोनों बार यह पूंछ ऊपर आया
2) पीओ - ​​पहली बार टेल, दूसरी बार हेड
3) ओपी - पहली बार हेड, दूसरी बार टेल
4) OO - दोनों बार हेड्स अप करें
यहां कोई दूसरे विकल्प नहीं। इसका मतलब है कि 4 प्रारंभिक परिणाम हैं। केवल पहला अनुकूल है, 1.
संभावना: 1/4=0.25
उत्तर: 0.25

इसकी क्या प्रायिकता है कि एक सिक्के के दो उछाल पट पर आएंगे?
प्रारंभिक परिणामों की संख्या समान है, 4. अनुकूल परिणाम दूसरे और तीसरे हैं, 2.
एक पट प्राप्त करने की प्रायिकता: 2/4=0.5

ऐसी दिक्कतों में एक और फॉर्मूला काम आ सकता है।
यदि एक सिक्के की एक उछाल पर हमारे पास 2 संभावित परिणाम हैं, तो परिणामों के दो उछालों के लिए 2 2=2 2 =4 (उदाहरण 5 में) होगा, तीन उछालों के लिए 2 2 2=2 3 =8, चार के लिए : 2·2·2·2=2 4 =16, ... संभावित परिणामों के N थ्रो के लिए 2·2·...·2=2 N होगा।

तो, आप 5 सिक्कों में से 5 पट आने की प्रायिकता ज्ञात कर सकते हैं।
प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या: 2 5 =32।
अनुकूल परिणाम: 1. (आरआरआरआरआरआर - सभी 5 बार टेल)
प्रायिकता: 1/32=0.03125

पासा के लिए भी यही सच है। एक थ्रो के साथ, 6 संभावित परिणाम हैं। इसलिए, दो थ्रो के लिए: 6 6=36, तीन के लिए 6 6 6=216, आदि।

उदाहरण 6हम एक पासा फेंकते हैं। एक सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

कुल परिणाम: 6, चेहरों की संख्या के अनुसार।
अनुकूल: 3 परिणाम। (2, 4, 6)
संभावना: 3/6=0.5

उदाहरण 7दो पासे फेंके। क्या प्रायिकता है कि कुल योग 10 आता है? (गोल से सौवां)

एक पासे के लिए 6 संभावित परिणाम हैं। इसलिए, दो के लिए, उपरोक्त नियम के अनुसार, 6·6=36।
कुल 10 गिरने के लिए कौन से परिणाम अनुकूल होंगे?
10 को 1 से 6 तक दो संख्याओं के योग में विघटित किया जाना चाहिए। यह दो तरीकों से किया जा सकता है: 10=6+4 और 10=5+5। तो, क्यूब्स के लिए, विकल्प संभव हैं:
(पहले पर 6 और दूसरे पर 4)
(पहले पर 4 और दूसरे पर 6)
(पहले पर 5 और दूसरे पर 5)
कुल मिलाकर, 3 विकल्प। वांछित संभावना: 3/36=1/12=0.08
उत्तर: 0.08

अन्य प्रकार की B6 समस्याओं पर निम्नलिखित "कैसे हल करें" लेखों में से एक में चर्चा की जाएगी।

प्रारंभ में, पासा के खेल की जानकारी और अनुभवजन्य टिप्पणियों का एक संग्रह होने के नाते, संभाव्यता का सिद्धांत एक ठोस विज्ञान बन गया है। फ़र्मेट और पास्कल पहले थे जिन्होंने इसे एक गणितीय ढाँचा दिया।

सनातन पर चिंतन से लेकर संभाव्यता के सिद्धांत तक

दो व्यक्ति जिनके लिए संभाव्यता के सिद्धांत में कई मूलभूत सूत्र हैं, ब्लेज़ पास्कल और थॉमस बेयस, गहरे धार्मिक लोगों के रूप में जाने जाते हैं, बाद वाले एक प्रेस्बिटेरियन मंत्री थे। जाहिर है, इन दो वैज्ञानिकों की एक निश्चित फॉर्च्यून के बारे में राय की गिरावट को साबित करने की इच्छा, अपने पसंदीदा पर शुभकामनाएं देते हुए, इस क्षेत्र में अनुसंधान को प्रोत्साहन दिया। आखिरकार, मौका का कोई भी खेल, अपनी जीत और हार के साथ, गणितीय सिद्धांतों का एक सिम्फनी है।

शेवेलियर डी मेरे के उत्साह के लिए धन्यवाद, जो समान रूप से एक जुआरी और एक व्यक्ति था जो विज्ञान के प्रति उदासीन नहीं था, पास्कल को संभाव्यता की गणना करने का एक तरीका खोजने के लिए मजबूर होना पड़ा। डी मेरे को इस सवाल में दिलचस्पी थी: "आपको कितनी बार जोड़े में दो पासा फेंकने की ज़रूरत है ताकि 12 अंक प्राप्त करने की संभावना 50% से अधिक हो?"। दूसरा सवाल जो सज्जन को बेहद रुचिकर लगा: "अधूरे खेल में प्रतिभागियों के बीच दांव को कैसे विभाजित किया जाए?" बेशक, पास्कल ने डे मेरे के दोनों सवालों का सफलतापूर्वक जवाब दिया, जो संभाव्यता के सिद्धांत के विकास के अनजाने सर्जक बन गए। यह दिलचस्प है कि डी मेरे का व्यक्ति इस क्षेत्र में जाना जाता है, न कि साहित्य में।

इससे पहले, किसी भी गणितज्ञ ने अभी तक घटनाओं की संभावनाओं की गणना करने का प्रयास नहीं किया है, क्योंकि यह माना जाता था कि यह केवल एक अनुमान समाधान था। ब्लेज़ पास्कल ने किसी घटना की प्रायिकता की पहली परिभाषा दी और दिखाया कि यह एक विशिष्ट आंकड़ा है जिसे गणितीय रूप से सही ठहराया जा सकता है। संभाव्यता सिद्धांत आँकड़ों का आधार बन गया है और आधुनिक विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यादृच्छिकता क्या है

यदि हम एक परीक्षण पर विचार करते हैं जिसे अनंत बार दोहराया जा सकता है, तो हम एक यादृच्छिक घटना को परिभाषित कर सकते हैं। यह अनुभव के संभावित परिणामों में से एक है।

अनुभव निरंतर परिस्थितियों में विशिष्ट क्रियाओं का कार्यान्वयन है।

अनुभव के परिणामों के साथ काम करने में सक्षम होने के लिए, घटनाओं को आमतौर पर ए, बी, सी, डी, ई ... अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है।

एक यादृच्छिक घटना की संभावना

संभाव्यता के गणितीय भाग में आगे बढ़ने में सक्षम होने के लिए, इसके सभी घटकों को परिभाषित करना आवश्यक है।

किसी घटना की प्रायिकता किसी अनुभव के परिणामस्वरूप किसी घटना (ए या बी) के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक माप है। प्रायिकता को P(A) या P(B) के रूप में निरूपित किया जाता है।

संभाव्यता सिद्धांत है:

• भरोसेमंदघटना के प्रयोग के परिणामस्वरूप घटित होने की गारंटी है Р(Ω) = 1;
• असंभवघटना कभी नहीं हो सकती Р(Ø) = 0;
• अनियमितघटना निश्चित और असंभव के बीच होती है, अर्थात, इसके होने की संभावना संभव है, लेकिन इसकी गारंटी नहीं है (यादृच्छिक घटना की संभावना हमेशा 0≤P(A)≤1 के भीतर होती है)।

घटनाओं के बीच संबंध

एक और घटनाओं का योग ए + बी दोनों पर विचार किया जाता है जब घटना को कम से कम एक घटक, ए या बी, या दोनों - ए और बी के कार्यान्वयन में गिना जाता है।

एक दूसरे के संबंध में, घटनाएँ हो सकती हैं:

• समान रूप से संभव है।
• अनुकूल।
• असंगत।
• विपरीत (पारस्परिक रूप से अनन्य)।
• आश्रित।

यदि दो घटनाएँ समान प्रायिकता के साथ हो सकती हैं, तो वे समान रूप से संभव.

यदि घटना A का घटित होना घटना B के घटित होने की संभावना को कम नहीं करता है, तो वे अनुकूल।

यदि एक ही प्रयोग में घटनाएँ A और B एक ही समय में कभी भी घटित नहीं होती हैं, तो उन्हें कहा जाता है असंगत. एक सिक्का उछालना एक अच्छा उदाहरण है: पट ऊपर आना स्वचालित रूप से चित नहीं आना है।

ऐसी असंगत घटनाओं के योग की संभावना में प्रत्येक घटना की संभावनाओं का योग होता है:

पी(ए+बी)=पी(ए)+पी(बी)

यदि एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना का घटित होना असम्भव हो जाता है, तो उन्हें विपरीत कहा जाता है। फिर उनमें से एक को ए के रूप में नामित किया गया है, और दूसरा - ए ("ए नहीं" के रूप में पढ़ें)। घटना A के घटित होने का अर्थ है कि Ā घटित नहीं हुआ। ये दो घटनाएँ 1 के बराबर संभावनाओं के योग के साथ एक पूर्ण समूह बनाती हैं।

आश्रित घटनाओं का पारस्परिक प्रभाव होता है, एक दूसरे की सम्भावना घटती या बढ़ती है।

घटनाओं के बीच संबंध। उदाहरण

संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांतों और उदाहरणों का प्रयोग करके घटनाओं के संयोजन को समझना बहुत आसान है।

जो प्रयोग किया जाएगा वह गेंदों को बॉक्स से बाहर निकालना है, और प्रत्येक प्रयोग का परिणाम एक प्राथमिक परिणाम है।

एक घटना एक अनुभव के संभावित परिणामों में से एक है - एक लाल गेंद, एक नीली गेंद, छह नंबर वाली गेंद, आदि।

टेस्ट नंबर 1। 6 गेंदें हैं, जिनमें से तीन विषम संख्या वाली नीली हैं, और अन्य तीन सम संख्याओं वाली लाल हैं।

टेस्ट नंबर 2। एक से छह तक की संख्या वाली 6 नीली गेंदें हैं।

इस उदाहरण के आधार पर, हम संयोजनों को नाम दे सकते हैं:

• विश्वसनीय घटना।स्पेनिश में नंबर 2, घटना "नीली गेंद प्राप्त करें" विश्वसनीय है, क्योंकि इसके होने की संभावना 1 है, क्योंकि सभी गेंदें नीली हैं और कोई चूक नहीं हो सकती है। जबकि घटना "नंबर 1 के साथ गेंद प्राप्त करें" यादृच्छिक है।
• असंभव घटना।स्पेनिश में नंबर 1 नीली और लाल गेंदों के साथ, घटना "बैंगनी गेंद प्राप्त करें" असंभव है, क्योंकि इसकी घटना की संभावना 0 है।
• समतुल्य घटनाएँ।स्पेनिश में नंबर 1, घटनाएँ "नंबर 2 के साथ गेंद प्राप्त करें" और "नंबर 3 के साथ गेंद प्राप्त करें" समान रूप से संभावित हैं, और घटनाएँ "एक सम संख्या के साथ गेंद प्राप्त करें" और "संख्या 2 के साथ गेंद प्राप्त करें" ” की अलग-अलग संभावनाएँ हैं।
• संगत घटनाएँ।एक पासे को लगातार दो बार फेंकने की प्रक्रिया में एक छक्का प्राप्त करना संगत घटनाएँ हैं।
• असंगत घटनाएँ।उसी स्पेनिश में नंबर 1 ईवेंट "लाल गेंद प्राप्त करें" और "विषम संख्या वाली गेंद प्राप्त करें" को एक ही अनुभव में जोड़ा नहीं जा सकता है।
• विपरीत घटनाएँ।इसका सबसे उल्लेखनीय उदाहरण सिक्का उछालना है, जहां सिर खींचना वही है जो पूंछ नहीं खींचना है, और उनकी संभावनाओं का योग हमेशा 1 (पूर्ण समूह) होता है।
• आश्रित घटनाएँ. तो, स्पेनिश में नंबर 1, आप अपने आप को लगातार दो बार लाल गेंद निकालने का लक्ष्य निर्धारित कर सकते हैं। पहली बार निकालने या न निकालने से दूसरी बार निकालने की संभावना प्रभावित होती है।

यह देखा जा सकता है कि पहली घटना दूसरी (40% और 60%) की संभावना को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है।

घटना संभावना सूत्र

विषय को गणितीय विमान में स्थानांतरित करने से भाग्य-बताने से सटीक डेटा तक संक्रमण होता है। अर्थात्, "उच्च संभावना" या "न्यूनतम संभावना" जैसी यादृच्छिक घटना के बारे में निर्णय विशिष्ट संख्यात्मक डेटा में अनुवादित किए जा सकते हैं। इस तरह की सामग्री का अधिक जटिल गणनाओं में मूल्यांकन, तुलना और परिचय करना पहले से ही अनुमत है।

गणना के दृष्टिकोण से, किसी घटना की संभावना की परिभाषा किसी विशेष घटना के संबंध में अनुभव के सभी संभावित परिणामों की संख्या के प्राथमिक सकारात्मक परिणामों की संख्या का अनुपात है। प्रायिकता को P (A) द्वारा निरूपित किया जाता है, जहाँ P का अर्थ "संभाव्यता" शब्द है, जिसे फ्रेंच से "संभावना" के रूप में अनुवादित किया गया है।

इसलिए, किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है:

जहाँ m घटना A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या है, n इस अनुभव के सभी संभावित परिणामों का योग है। किसी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है:

0 ≤ पी (ए) ≤ 1।

किसी घटना की संभावना की गणना। उदाहरण

चलो स्पेनिश लेते हैं। गेंदों के साथ नंबर 1, जो पहले वर्णित है: 1/3/5 नंबर वाली 3 नीली गेंदें और 2/4/6 नंबर वाली 3 लाल गेंदें।

इस परीक्षण के आधार पर, कई अलग-अलग कार्यों पर विचार किया जा सकता है:

• ए - लाल गेंद ड्रॉप। 3 लाल गेंदें हैं, और कुल 6 प्रकार हैं। यह सबसे सरल उदाहरण है, जिसमें एक घटना की संभावना P(A)=3/6=0.5 है।
• बी - एक सम संख्या को गिराना। कुल 3 (2,4,6) सम संख्याएँ हैं, और संभावित संख्यात्मक विकल्पों की कुल संख्या 6 है। इस घटना की संभावना P(B)=3/6=0.5 है।
• सी - 2 से बड़ी संख्या की हानि। संभावित परिणामों की कुल संख्या में से 4 ऐसे विकल्प (3,4,5,6) हैं। घटना सी की संभावना है P(C)=4/6= 0.67।

जैसा कि गणनाओं से देखा जा सकता है, घटना C की संभावना अधिक है, क्योंकि संभावित सकारात्मक परिणामों की संख्या A और B की तुलना में अधिक है।

असंगत घटनाएँ

ऐसी घटनाएँ एक ही अनुभव में एक साथ प्रकट नहीं हो सकतीं। जैसा कि स्पेनिश में है नंबर 1, एक ही समय में एक नीली और एक लाल गेंद प्राप्त करना असंभव है। यानी आप या तो नीली या लाल गेंद प्राप्त कर सकते हैं। उसी तरह, एक ही समय में एक सम और एक विषम संख्या एक पासे में नहीं आ सकती है।

दो घटनाओं की संभावना को उनके योग या उत्पाद की संभावना माना जाता है। ऐसी घटनाओं का योग ए + बी को एक ऐसी घटना माना जाता है जिसमें घटना ए या बी की उपस्थिति होती है, और उनके एबी के उत्पाद - दोनों की उपस्थिति में। उदाहरण के लिए, एक फेंक में दो पासों के चेहरों पर एक बार में दो छक्कों का दिखना।

कई घटनाओं का योग एक घटना है जो उनमें से कम से कम एक की घटना को दर्शाता है। कई घटनाओं का उत्पाद उन सभी की संयुक्त घटना है।

संभाव्यता सिद्धांत में, एक नियम के रूप में, संघ का उपयोग "और" योग, संघ "या" - गुणन को दर्शाता है। उदाहरणों के साथ सूत्र आपको प्रायिकता सिद्धांत में जोड़ और गुणा के तर्क को समझने में मदद करेंगे।

असंगत घटनाओं के योग की संभावना

यदि असंगत घटनाओं की संभावना पर विचार किया जाता है, तो घटनाओं के योग की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर होती है:

पी(ए+बी)=पी(ए)+पी(बी)

उदाहरण के लिए: हम संभावना की गणना करते हैं कि स्पेनिश में। नंबर 1 नीली और लाल गेंदों के साथ 1 और 4 के बीच एक संख्या छोड़ देगा। हम एक क्रिया में नहीं, बल्कि प्राथमिक घटकों की संभावनाओं के योग से गणना करेंगे। इसलिए, इस तरह के एक प्रयोग में सभी संभावित परिणामों में से केवल 6 गेंदें या 6 गेंदें हैं। शर्त को पूरा करने वाली संख्याएँ 2 और 3 हैं। संख्या 2 प्राप्त करने की संभावना 1/6 है, संख्या 3 की संभावना भी 1/6 है। 1 और 4 के बीच कोई संख्या आने की प्रायिकता है:

एक पूर्ण समूह की असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता 1 है।

इसलिए, यदि एक घन के प्रयोग में हम सभी संख्याओं को प्राप्त करने की संभावनाओं को जोड़ते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें एक मिलता है।

यह विपरीत घटनाओं के लिए भी सत्य है, उदाहरण के लिए, एक सिक्के के प्रयोग में, जहां इसका एक पक्ष घटना A है, और दूसरा विपरीत घटना A है, जैसा कि जाना जाता है,

आर (ए) + आर (ए) = 1

असंगत घटनाओं के उत्पादन की संभावना

संभावनाओं के गुणन का उपयोग तब किया जाता है जब एक अवलोकन में दो या दो से अधिक असंगत घटनाओं की घटना पर विचार किया जाता है। संभावना है कि घटनाओं ए और बी एक ही समय में दिखाई देंगे, उनकी संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है, या:

पी(ए*बी)=पी(ए)*पी(बी)

उदाहरण के लिए, संभावना है कि में नंबर 1 दो प्रयासों के परिणामस्वरूप, एक नीली गेंद दो बार दिखाई देगी, के बराबर

अर्थात्, एक घटना होने की संभावना, जब गेंदों को निकालने के दो प्रयासों के परिणामस्वरूप, केवल नीली गेंदों को निकाला जाएगा, 25% है। इस समस्या पर व्यावहारिक प्रयोग करना और यह देखना बहुत आसान है कि वास्तव में ऐसा है या नहीं।

संयुक्त आयोजन

घटनाओं को संयुक्त माना जाता है जब उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति के साथ मेल खा सकती है। इस तथ्य के बावजूद कि वे संयुक्त हैं, स्वतंत्र घटनाओं की संभावना पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए, दो पासों को फेंकने से परिणाम मिल सकता है जब संख्या 6 उन दोनों पर पड़ती है। यद्यपि घटनाएँ एक साथ हुईं और एक ही समय में प्रकट हुईं, वे एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं - केवल एक छक्का गिर सकता है, दूसरा पासा नहीं है उस पर प्रभाव।

संयुक्त घटनाओं की संभावना को उनके योग की संभावना माना जाता है।

संयुक्त घटनाओं के योग की संभावना। उदाहरण

घटनाओं ए और बी के योग की संभावना, जो एक दूसरे के संबंध में संयुक्त हैं, घटना की संभावनाओं के योग के बराबर है, उनके उत्पाद की संभावना घटाएं (अर्थात, उनका संयुक्त कार्यान्वयन):

आर जोड़। (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी) - पी (एबी)

मान लें कि एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.4 है। फिर घटना ए - पहले प्रयास में लक्ष्य को मारना, बी - दूसरे में। ये घटनाएँ संयुक्त हैं, क्योंकि यह संभव है कि पहले और दूसरे शॉट से लक्ष्य को हिट करना संभव हो। लेकिन घटनाएं निर्भर नहीं हैं। लक्ष्य को दो शॉट (कम से कम एक) से मारने की घटना की प्रायिकता क्या है? सूत्र के अनुसार:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

प्रश्न का उत्तर है: "लक्ष्य को दो शॉट मारने की संभावना 64% है।"

किसी घटना की संभावना के लिए यह सूत्र असंगत घटनाओं पर भी लागू किया जा सकता है, जहां घटना P(AB) = 0 की संयुक्त घटना की संभावना का मतलब है कि असंगत घटनाओं के योग की संभावना को एक विशेष मामला माना जा सकता है। प्रस्तावित फॉर्मूले के

स्पष्टता के लिए संभाव्यता ज्यामिति

दिलचस्प बात यह है कि संयुक्त घटनाओं के योग की संभावना को दो क्षेत्रों ए और बी के रूप में दर्शाया जा सकता है जो एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। जैसा कि आप चित्र से देख सकते हैं, उनके संघ का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल घटा उनके चौराहे के क्षेत्रफल के बराबर है। यह ज्यामितीय व्याख्या प्रतीत होने वाले अतार्किक सूत्र को अधिक समझने योग्य बनाती है। ध्यान दें कि संभाव्यता सिद्धांत में ज्यामितीय समाधान असामान्य नहीं हैं।

संयुक्त घटनाओं के एक सेट (दो से अधिक) के योग की संभावना की परिभाषा बल्कि बोझिल है। इसकी गणना करने के लिए, आपको इन मामलों के लिए प्रदान किए गए सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है।

आश्रित घटनाएँ

आश्रित घटनाओं को कहा जाता है यदि उनमें से एक (ए) की घटना दूसरे (बी) की घटना की संभावना को प्रभावित करती है। इसके अलावा, घटना ए की घटना और इसकी गैर-घटना दोनों के प्रभाव को ध्यान में रखा जाता है। हालाँकि घटनाओं को परिभाषा के अनुसार आश्रित कहा जाता है, उनमें से केवल एक आश्रित (बी) है। सामान्य संभाव्यता को P(B) या स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकता के रूप में निरूपित किया गया था। आश्रितों के मामले में, एक नई अवधारणा पेश की जाती है - सशर्त संभाव्यता पी ए (बी), जो इस शर्त के तहत निर्भर घटना बी की संभावना है कि घटना ए (परिकल्पना) हुई है, जिस पर यह निर्भर करता है।

लेकिन घटना ए भी यादृच्छिक है, इसलिए इसकी भी संभावना है कि गणना में इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए और इसे ध्यान में रखा जा सकता है। निम्न उदाहरण दिखाएगा कि निर्भर घटनाओं और एक परिकल्पना के साथ कैसे काम किया जाए।

आश्रित घटनाओं की संभावना की गणना का उदाहरण

आश्रित घटनाओं की गणना के लिए एक अच्छा उदाहरण कार्डों का एक मानक डेक है।

36 पत्तों की गड्डी के उदाहरण पर, निर्भर घटनाओं पर विचार करें। यह संभावना निर्धारित करना आवश्यक है कि डेक से निकाला गया दूसरा कार्ड डायमंड सूट होगा, यदि पहला कार्ड निकाला गया है:

1. टैम्बोरिन।
2. एक और सूट।

जाहिर है, दूसरी घटना B की संभावना पहले A पर निर्भर करती है। इसलिए, यदि पहला विकल्प सही है, जो डेक में 1 कार्ड (35) और 1 हीरा (8) कम है, तो घटना B की संभावना:

पी ए (बी) \u003d 8/35 \u003d 0.23

यदि दूसरा विकल्प सत्य है, तो गड्डी में 35 पत्ते हैं, और तम्बुओं की कुल संख्या (9) अभी भी संरक्षित है, तो निम्नलिखित घटना की प्रायिकता B है:

पी ए (बी) \u003d 9/35 \u003d 0.26।

यह देखा जा सकता है कि यदि घटना A इस तथ्य पर सशर्त है कि पहला पत्ता हीरा है, तो घटना B की संभावना कम हो जाती है, और इसके विपरीत।

आश्रित घटनाओं का गुणन

पिछले अध्याय के आधार पर, हम पहली घटना (ए) को एक तथ्य के रूप में स्वीकार करते हैं, लेकिन संक्षेप में, यह एक यादृच्छिक चरित्र है। इस घटना की संभावना, अर्थात् कार्ड के डेक से टैम्बोरिन निकालने के बराबर है:

पी(ए) = 9/36=1/4

चूंकि सिद्धांत अपने आप में मौजूद नहीं है, लेकिन व्यावहारिक उद्देश्यों को पूरा करने के लिए कहा जाता है, यह ध्यान रखना उचित है कि अक्सर निर्भर घटनाओं के उत्पादन की संभावना की आवश्यकता होती है।

आश्रित घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद पर प्रमेय के अनुसार, संयुक्त रूप से निर्भर घटनाओं ए और बी की घटना की संभावना एक घटना ए की संभावना के बराबर होती है, जो घटना बी की सशर्त संभावना से गुणा होती है (ए के आधार पर):

पी (एबी) \u003d पी (ए) * पीए (बी)

फिर एक डेक वाले उदाहरण में, हीरे के एक सूट के साथ दो कार्ड निकालने की प्रायिकता है:

9/36*8/35=0.0571 या 5.7%

और पहले हीरा नहीं, और फिर हीरा निकालने की प्रायिकता बराबर है:

27/36*9/35=0.19 या 19%

यह देखा जा सकता है कि घटना बी के होने की संभावना अधिक है, बशर्ते कि हीरे के अलावा किसी अन्य सूट का कार्ड पहले निकाला जाए। यह परिणाम काफी तार्किक और समझने योग्य है।

किसी घटना की कुल संभावना

जब सशर्त संभावनाओं वाली समस्या बहुआयामी हो जाती है, तो इसकी गणना पारंपरिक तरीकों से नहीं की जा सकती है। जब दो से अधिक परिकल्पनाएँ हों, अर्थात् A1, A2, ..., A n, .. स्थिति के तहत घटनाओं का एक पूरा समूह बनता है:

• पी (ए मैं)> 0, मैं = 1,2,…
• ए आई ∩ ए जे =Ø, आई≠जे।
• Σ के ए के =Ω।

तो, यादृच्छिक घटनाओं A1, A2, ..., A n के एक पूर्ण समूह के साथ घटना B की कुल संभावना का सूत्र है:

भविष्य पर एक नज़र

विज्ञान के कई क्षेत्रों में एक यादृच्छिक घटना की संभावना आवश्यक है: अर्थमिति, सांख्यिकी, भौतिकी, आदि। चूंकि कुछ प्रक्रियाओं को निश्चित रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वे स्वयं संभाव्य हैं, कार्य के विशेष तरीकों की आवश्यकता है। किसी त्रुटि या खराबी की संभावना को निर्धारित करने के तरीके के रूप में किसी भी तकनीकी क्षेत्र में एक घटना सिद्धांत की संभावना का उपयोग किया जा सकता है।

यह कहा जा सकता है कि, संभाव्यता को पहचानकर, हम किसी तरह भविष्य में एक सैद्धांतिक कदम उठाते हैं, इसे सूत्रों के चश्मे से देखते हैं।