मापांक के साथ जटिल असमानताएँ। मॉड्यूल के साथ असमानताओं को हल करना

मॉड्यूल के साथ असमानताओं को प्रकट करने के तरीके (नियम) सबमॉड्यूल कार्यों के निरंतर संकेत के अंतराल का उपयोग करते हुए मॉड्यूल के क्रमिक प्रकटीकरण में शामिल हैं। अंतिम संस्करण में, कई असमानताएँ प्राप्त की जाती हैं जिनसे वे अंतराल या अंतराल पाते हैं जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।

आइए उन उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ें जो व्यवहार में सामान्य हैं।

मॉड्यूल के साथ रैखिक असमानताएं

रैखिक से हमारा अभिप्राय उन समीकरणों से है जिनमें चर रैखिक रूप से समीकरण में प्रवेश करता है।

उदाहरण 1. असमिका का हल ज्ञात कीजिए

समाधान:
यह समस्या की स्थिति से अनुसरण करता है कि मॉड्यूल x=-1 और x=-2 पर शून्य हो जाते हैं। ये बिंदु संख्यात्मक अक्ष को अंतरालों में विभाजित करते हैं

इनमें से प्रत्येक अंतराल में, हम दी गई असमानता को हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के निरंतर संकेत के क्षेत्रों के ग्राफिक चित्र बनाते हैं। उन्हें प्रत्येक कार्य के संकेत वाले क्षेत्रों के रूप में दर्शाया गया है।

या अंतराल सभी कार्यों के संकेत के साथ।

पहले अंतराल पर, मॉड्यूल खोलें

हम दोनों भागों को माइनस एक से गुणा करते हैं, जबकि असमानता में चिन्ह विपरीत में बदल जाएगा। यदि आपके लिए इस नियम का अभ्यस्त होना मुश्किल है, तो आप माइनस से छुटकारा पाने के लिए प्रत्येक भाग को साइन से आगे ले जा सकते हैं। अंत में, आप प्राप्त करेंगे

उस क्षेत्र के साथ सेट x>-3 का प्रतिच्छेदन जिस पर समीकरण हल किए गए थे, अंतराल (-3;-2) होगा। उन लोगों के लिए जो ग्राफिक रूप से समाधानों की खोज करना आसान पाते हैं, आप इन क्षेत्रों के प्रतिच्छेदन को आरेखित कर सकते हैं

क्षेत्रों का सामान्य चौराहा समाधान होगा। सख्त असमानता के साथ, किनारों को शामिल नहीं किया गया है। यदि प्रतिस्थापन द्वारा नॉनस्ट्रिक्ट की जाँच की जाती है।

दूसरे अंतराल पर, हम प्राप्त करते हैं

अनुभाग अंतराल (-2; -5/3) होगा। रेखांकन के रूप में, समाधान दिखेगा

तीसरे अंतराल पर, हम प्राप्त करते हैं

यह स्थिति आवश्यक क्षेत्र पर समाधान नहीं देती है।

चूंकि दो समाधान (-3;-2) और (-2;-5/3) बिंदु x=-2 को सीमाबद्ध करते हैं, हम इसे भी जांचते हैं।

इस प्रकार बिंदु x=-2 समाधान है। इसे ध्यान में रखते हुए सामान्य समाधान (-3;5/3) जैसा दिखाई देगा।

उदाहरण 2. असमिका का हल ज्ञात कीजिए
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

समाधान:
सबमॉड्यूल फ़ंक्शंस के शून्य अंक होंगे x=2, x=3, x=4 । जब तर्कों का मान इन बिंदुओं से कम होता है, तो सबमॉड्यूल फ़ंक्शन ऋणात्मक होते हैं, और जब मान बड़े होते हैं, तो वे सकारात्मक होते हैं।

बिंदु वास्तविक अक्ष को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं। हम संकेत की स्थिरता के अंतराल के अनुसार मॉड्यूल खोलते हैं और असमानताओं को हल करते हैं।

1) पहले अंतराल पर, सभी सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन नकारात्मक होते हैं, इसलिए, मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम साइन को विपरीत में बदलते हैं।

माने गए अंतराल के साथ पाए गए x मानों का प्रतिच्छेदन बिंदुओं का समूह होगा

2) बिंदु x=2 और x=3 के बीच के अंतराल में, पहला सबमॉड्यूल फ़ंक्शन सकारात्मक है, दूसरा और तीसरा नकारात्मक है। मॉड्यूल का विस्तार, हम प्राप्त करते हैं

एक असमानता, जिस अंतराल पर हम हल कर रहे हैं, उसके प्रतिच्छेदन में, एक समाधान देता है - x=3।

3) बिंदु x=3 और x=4 के बीच के अंतराल में, पहला और दूसरा सबमॉड्यूल फ़ंक्शन सकारात्मक हैं, और तीसरा नकारात्मक है। इसके आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

यह स्थिति दर्शाती है कि पूरा अंतराल मॉड्यूल के साथ असमानता को पूरा करेगा।

4) मान x>4 के लिए, सभी फ़ंक्शन साइन-पॉज़िटिव हैं। मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम उनका चिन्ह नहीं बदलते हैं।

अंतराल के साथ चौराहे पर मिली स्थिति समाधान के निम्नलिखित सेट देती है

चूँकि असमानता को सभी अंतरालों पर हल किया जाता है, इसलिए सभी पाए गए x मानों का सामान्य मान ज्ञात करना बाकी है। समाधान दो अंतराल है

यह उदाहरण हल हो गया है।

उदाहरण 3. असमिका का हल ज्ञात कीजिए
||x-1|-5|>3-2x

समाधान:
हमारे पास मॉड्यूल से मॉड्यूल के साथ असमानता है। इस तरह की असमानताओं को मॉड्यूल नेस्टेड के रूप में प्रकट किया जाता है, जो उन लोगों से शुरू होता है जिन्हें गहराई से रखा जाता है।

सबमॉड्यूल फ़ंक्शन x-1 बिंदु x=1 पर शून्य में परिवर्तित हो जाता है। 1 से अधिक छोटे मानों के लिए यह x>1 के लिए ऋणात्मक और धनात्मक है। इसके आधार पर, हम आंतरिक मॉड्यूल खोलते हैं और प्रत्येक अंतराल पर असमानता पर विचार करते हैं।

पहले माइनस इनफिनिटी से एक तक के अंतराल पर विचार करें

सबमॉड्यूल फ़ंक्शन बिंदु x=-4 पर शून्य है। छोटे मूल्यों के लिए यह सकारात्मक है, बड़े मूल्यों के लिए यह नकारात्मक है। एक्स के लिए मॉड्यूल का विस्तार करें<-4:

जिस क्षेत्र पर हम विचार करते हैं, उसके साथ चौराहे पर, हम समाधान का एक सेट प्राप्त करते हैं

अगला कदम अंतराल पर मॉड्यूल का विस्तार करना है (-4; 1)

मॉड्यूल के विस्तार क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हम समाधान का अंतराल प्राप्त करते हैं

याद रखें: यदि आपको मॉड्यूल के साथ ऐसी अनियमितताओं में दो अंतराल मिलते हैं जो एक सामान्य बिंदु पर सीमाबद्ध होते हैं, तो, एक नियम के रूप में, यह भी एक समाधान है।

ऐसा करने के लिए, आपको बस जांच करने की आवश्यकता है।

इस स्थिति में, हम बिंदु x=-4 को प्रतिस्थापित करते हैं।

तो x=-4 समाधान है।
x>1 के लिए आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करें

सबमॉड्यूल फ़ंक्शन x के लिए ऋणात्मक है<6.
मॉड्यूल का विस्तार, हम प्राप्त करते हैं

अंतराल (1;6) वाले खंड में यह स्थिति समाधान का एक खाली सेट देती है।

x>6 के लिए हमें असमानता मिलती है

साथ ही हल करने पर हमें एक खाली सेट मिला।
उपरोक्त सभी को देखते हुए, मॉड्यूल के साथ असमानता का एकमात्र समाधान निम्न अंतराल होगा।

द्विघात समीकरण वाले मॉड्यूल के साथ असमानताएँ

उदाहरण 4. असमिका का हल ज्ञात कीजिए
|x^2+3x|>=2-x^2

समाधान:
सबमॉड्यूल फ़ंक्शन बिंदु x = 0, x = -3 पर गायब हो जाता है। साधारण प्रतिस्थापन माइनस एक द्वारा

हम सेट करते हैं कि यह अंतराल (-3; 0) पर शून्य से कम है और इसके आगे सकारात्मक है।
उन क्षेत्रों में मॉड्यूल का विस्तार करें जहां सबमॉड्यूल फ़ंक्शन सकारात्मक है

यह उन क्षेत्रों को निर्धारित करने के लिए बनी हुई है जहां वर्ग फलन धनात्मक है। ऐसा करने के लिए, हम द्विघात समीकरण की जड़ें निर्धारित करते हैं

सुविधा के लिए, हम बिंदु x=0 को प्रतिस्थापित करते हैं, जो अंतराल (-2;1/2) से संबंधित है। इस अंतराल में फलन ऋणात्मक है, इसलिए समाधान निम्नलिखित समुच्चय x होगा

यहां, कोष्ठक क्षेत्रों के किनारों को समाधान के साथ इंगित करते हैं; यह निम्नलिखित नियम को ध्यान में रखते हुए जानबूझकर किया गया था।

याद रखें: यदि मॉड्यूल के साथ असमानता, या एक साधारण असमानता सख्त है, तो पाए गए क्षेत्रों के किनारे समाधान नहीं हैं, लेकिन यदि असमानताएं सख्त नहीं हैं (), तो किनारे समाधान हैं (वर्ग कोष्ठक द्वारा इंगित)।

इस नियम का उपयोग कई शिक्षकों द्वारा किया जाता है: यदि एक सख्त असमानता दी गई है, और आप गणना के दौरान समाधान में एक वर्ग कोष्ठक ([,]) लिखते हैं, तो वे स्वचालित रूप से इसे एक गलत उत्तर मानेंगे। इसके अलावा, परीक्षण करते समय, यदि मॉड्यूल के साथ एक गैर-सख्त असमानता निर्दिष्ट की जाती है, तो समाधान के बीच वर्ग कोष्ठक वाले क्षेत्रों की तलाश करें।

अंतराल (-3; 0) पर, मॉड्यूल का विस्तार करते हुए, हम फ़ंक्शन के चिह्न को विपरीत में बदलते हैं

असमानता प्रकटीकरण के दायरे को ध्यान में रखते हुए, समाधान का रूप होगा

पिछले क्षेत्र के साथ मिलकर, यह दो आधे-अंतराल देगा

उदाहरण 5. असमिका का हल ज्ञात कीजिए
9x^2-|x-3|>=9x-2

समाधान:
एक गैर-सख्त असमानता दी गई है, जिसका सबमॉड्यूल फ़ंक्शन बिंदु x = 3 पर शून्य के बराबर है। छोटे मूल्यों पर यह ऋणात्मक होता है, बड़े मूल्यों पर यह सकारात्मक होता है। हम अंतराल x पर मॉड्यूल का विस्तार करते हैं<3.

समीकरण का विविक्तकर ज्ञात करना

और जड़ें

शून्य बिंदु को प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं कि अंतराल [-1/9; 1] पर द्विघात फलन ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल एक समाधान है। अगला, x>3 के लिए मॉड्यूल खोलें

दोस्तों आज कोई नोकझोंक और भावुकता नहीं रहेगी। इसके बजाय, मैं आपको आगे के प्रश्नों के बिना 8वीं-9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में सबसे दुर्जेय विरोधियों में से एक के साथ लड़ाई में भेजूंगा।

हां, आपने सब कुछ सही समझा: हम एक मापांक के साथ असमानताओं के बारे में बात कर रहे हैं। हम चार बुनियादी तकनीकों पर गौर करेंगे जिनसे आप इनमें से लगभग 90% समस्याओं को हल करना सीखेंगे। बाकी 10% का क्या? खैर, हम उनके बारे में एक अलग पाठ में बात करेंगे। :)

हालाँकि, वहाँ किसी भी तरकीब का विश्लेषण करने से पहले, मैं दो तथ्यों को याद करना चाहूँगा जिन्हें आपको पहले से ही जानना आवश्यक है। अन्यथा, आप आज के पाठ की सामग्री को बिल्कुल भी नहीं समझने का जोखिम उठाते हैं।

जो आपको पहले से ही जानने की जरूरत है

कैप्टन एविडेंस, जैसा कि यह था, संकेत देता है कि एक मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए, आपको दो बातें जानने की जरूरत है:

1. असमानताओं का समाधान कैसे किया जाता है?
2. एक मॉड्यूल क्या है।

दूसरे बिंदु से शुरू करते हैं।

मॉड्यूल परिभाषा

यहाँ सब कुछ सरल है। दो परिभाषाएँ हैं: बीजगणितीय और ग्राफिक। आइए बीजगणित से शुरू करें:

परिभाषा। संख्या $x$ का मॉड्यूल या तो स्वयं संख्या है, यदि यह गैर-ऋणात्मक है, या इसके विपरीत संख्या है, यदि मूल $x$ अभी भी ऋणात्मक है।

यह इस प्रकार लिखा गया है:

\[\बाएं| x \दाएं|=\बायां\( \शुरू(संरेखित करें) और x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\अंत(संरेखित करें) \दाएं.\]

सरल शब्दों में, मॉड्यूलस "शून्य के बिना एक संख्या" है। और यह इस द्वैत में है (कहीं आपको मूल संख्या के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन कहीं आपको वहां से कुछ ऋण निकालना होगा) और नौसिखिए छात्रों के लिए सारी कठिनाई निहित है।

एक ज्यामितीय परिभाषा भी है। इसे जानना भी उपयोगी है, लेकिन हम इसे केवल जटिल और कुछ विशेष मामलों में संदर्भित करेंगे, जहां ज्यामितीय दृष्टिकोण बीजगणितीय की तुलना में अधिक सुविधाजनक है (बिगाड़ने वाला: आज नहीं)।

परिभाषा। बता दें कि बिंदु $a$ को वास्तविक रेखा पर चिह्नित किया गया है। फिर मॉड्यूल $\बाएं| x-a \right|$ इस रेखा पर बिंदु $x$ से बिंदु $a$ की दूरी है।

यदि आप चित्र बनाते हैं, तो आपको कुछ ऐसा मिलता है:

ग्राफिकल मॉड्यूल परिभाषा

एक तरह से या किसी अन्य, इसकी प्रमुख संपत्ति तुरंत मॉड्यूल की परिभाषा से अनुसरण करती है: किसी संख्या का मापांक हमेशा एक गैर-ऋणात्मक मान होता है. यह तथ्य आज हमारी पूरी कहानी में एक लाल धागा होगा।

असमानताओं का समाधान। अंतराल विधि

अब असमानताओं से निपटते हैं। उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन अब हमारा काम उनमें से कम से कम सबसे सरल को हल करने में सक्षम होना है। वे जो रैखिक असमानताओं के साथ-साथ अंतराल की विधि के लिए कम हो जाते हैं।

मेरे पास इस विषय पर दो बड़े ट्यूटोरियल हैं (वैसे, बहुत, बहुत उपयोगी - मैं अध्ययन करने की सलाह देता हूं):

1. असमानताओं के लिए अंतराल विधि (विशेष रूप से वीडियो देखें);
2. आंशिक-तर्कसंगत असमानताएं एक बहुत बड़ा पाठ है, लेकिन इसके बाद आपके पास कोई प्रश्न नहीं बचेगा।

यदि आप यह सब जानते हैं, यदि वाक्यांश "चलो असमानता से समीकरण की ओर बढ़ते हैं" आपको अस्पष्ट रूप से दीवार के खिलाफ खुद को मारना नहीं चाहते हैं, तो आप तैयार हैं: पाठ के मुख्य विषय में नरक में आपका स्वागत है। :)

1. फॉर्म की असमानताएं "फ़ंक्शन से कम मॉड्यूल"

यह मॉड्यूल के साथ सबसे अधिक सामना किए जाने वाले कार्यों में से एक है। फॉर्म की असमानता को हल करना आवश्यक है:

\[\बाएं| च\सही| \ltg\]

कुछ भी कार्य $f$ और $g$ के रूप में कार्य कर सकता है, लेकिन आमतौर पर वे बहुपद हैं। ऐसी असमानताओं के उदाहरण:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| 2x+3\दाएं| \ltx+7; \\ & \बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं|+3\बाएं(x+1 \दाएं) \lt 0; \\ & \बाएं| ((x)^(2))-2\बाएं| एक्स \राइट|-3 \राइट| \lt 2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

उन सभी को योजना के अनुसार शाब्दिक रूप से एक पंक्ति में हल किया गया है:

\[\बाएं| च\सही| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(Align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(Align) \सही सही)\]

यह देखना आसान है कि हम मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं, लेकिन इसके बजाय हमें एक दोहरी असमानता मिलती है (या, जो एक ही चीज़ है, दो असमानताओं की एक प्रणाली)। लेकिन यह संक्रमण पूरी तरह से सभी संभावित समस्याओं को ध्यान में रखता है: यदि मॉड्यूल के तहत संख्या धनात्मक है, तो विधि काम करती है; अगर नकारात्मक है, यह अभी भी काम करता है; और $f$ या $g$ के स्थान पर सबसे अपर्याप्त कार्य के साथ भी, विधि अभी भी काम करेगी।

स्वाभाविक रूप से, सवाल उठता है: क्या यह आसान नहीं है? दुर्भाग्य से, आप नहीं कर सकते। यह मॉड्यूल का पूरा बिंदु है।

लेकिन पर्याप्त दार्शनिकता। आइए कुछ समस्याओं का समाधान करें:

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| 2x+3\दाएं| \ltx+7\]

समाधान। तो, हमारे पास "मॉड्यूल से कम है" के रूप की शास्त्रीय असमानता है - यहां तक ​​​​कि बदलने के लिए कुछ भी नहीं है। हम एल्गोरिथम के अनुसार काम करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| च\सही| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \बाएं| 2x+3\दाएं| \lt x+7\Rightarrow -\बाएं (x+7 \दाएं) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(संरेखित करें)\]

"माइनस" से पहले वाले कोष्ठक खोलने में जल्दबाजी न करें: यह बहुत संभव है कि जल्दबाजी के कारण आप एक आक्रामक गलती करेंगे।

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं.\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं.\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \अंत(संरेखित करें) \दाएं.\]

समस्या को दो प्राथमिक असमानताओं तक कम कर दिया गया है। हम समानांतर वास्तविक रेखाओं पर उनके समाधान नोट करते हैं:

बहुतों का चौराहा

इन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \बाएं(-\frac(10)(3);4 \दाएं)$

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं|+3\बाएं(x+1 \दाएं) \lt 0\]

समाधान। यह कार्य थोड़ा अधिक कठिन है। आरंभ करने के लिए, हम दूसरे पद को दाईं ओर ले जाकर मॉड्यूल को अलग करते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\बाएं (x+1 \दाएं)\]

जाहिर है, हमारे पास फिर से "मॉड्यूल कम है" फॉर्म की असमानता है, इसलिए हम पहले से ज्ञात एल्गोरिथम के अनुसार मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं:

\[-\बाएं(-3\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\बाएं(x+1 \दाएं)\]

अब ध्यान दें: कोई कहेगा कि मैं इन सभी कोष्ठकों के साथ थोड़ा विकृत हूँ। लेकिन एक बार फिर मैं आपको याद दिलाता हूं कि हमारा प्रमुख लक्ष्य है असमानता को सही ढंग से हल करें और उत्तर प्राप्त करें. बाद में, जब आपने इस पाठ में वर्णित हर चीज में पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप अपने आप को जैसे चाहें विकृत कर सकते हैं: कोष्ठक खोलें, घटाव जोड़ें, आदि।

और शुरुआत करने वालों के लिए, हम बाईं ओर डबल माइनस से छुटकारा पा लेते हैं:

\[-\बाएं(-3\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं)=\बाएं(-1 \दाएं)\cdot \बाएं(-3 \दाएं)\cdot \बाएं (x+1 \दाएं) =3\बाएं(x+1\दाएं)\]

अब हम सभी कोष्ठकों को दोहरी असमानता में खोलते हैं:

चलिए दोहरी असमानता की ओर बढ़ते हैं। इस बार गणना अधिक गंभीर होगी:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( सही संरेखित।\]

दोनों असमानताएँ वर्ग हैं और अंतराल विधि द्वारा हल की जाती हैं (इसीलिए मैं कहता हूँ: यदि आप नहीं जानते कि यह क्या है, तो बेहतर है कि अभी तक मॉड्यूल न लें)। हम पहली असमानता में समीकरण पास करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\बाएं(x+5 \दाएं)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\अंत (संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, आउटपुट अधूरा द्विघात समीकरण निकला, जो प्राथमिक रूप से हल हो गया है। अब सिस्टम की दूसरी असमानता से निपटते हैं। वहां आपको वीटा के प्रमेय को लागू करना होगा:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \बाएं(x-3 \दाएं)\बाएं(x+2 \दाएं)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

हम प्राप्त संख्याओं को दो समानांतर रेखाओं पर चिह्नित करते हैं (पहली असमानता के लिए अलग और दूसरी के लिए अलग):

दोबारा, चूंकि हम असमानताओं की एक प्रणाली को हल कर रहे हैं, हम छायांकित सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं: $x\in \left(-5;-2 \right)$। यह उत्तर है।

उत्तर: $x\in \बाएं(-5;-2 \दाएं)$

मुझे लगता है कि इन उदाहरणों के बाद समाधान योजना बहुत स्पष्ट है:

1. अन्य सभी शब्दों को असमानता के विपरीत दिशा में ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें। इस प्रकार हमें $\left| के रूप की असमानता मिलती है च\सही| \ltg$।
2. ऊपर वर्णित मॉड्यूल से छुटकारा पाकर इस असमानता को हल करें। किसी बिंदु पर, दोहरी असमानता से दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों की प्रणाली में जाना आवश्यक होगा, जिनमें से प्रत्येक को पहले से ही अलग से हल किया जा सकता है।
3. अंत में, यह केवल इन दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों के समाधान को पार करने के लिए बनी हुई है - और यही वह है, हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

निम्न प्रकार की असमानताओं के लिए एक समान एल्गोरिथ्म मौजूद है, जब मापांक फ़ंक्शन से अधिक होता है। हालाँकि, कुछ गंभीर "लेकिन" हैं। अब हम इन "लेकिन" के बारे में बात करेंगे।

2. फॉर्म की असमानताएं "मॉड्यूल फ़ंक्शन से अधिक है"

वे इस तरह दिखते हैं:

\[\बाएं| च\सही| \जीटी जी\]

पिछले वाले के समान? जान पड़ता है। हालाँकि, ऐसे कार्यों को पूरी तरह से अलग तरीके से हल किया जाता है। औपचारिक रूप से, योजना इस प्रकार है:

\[\बाएं| च\सही| \gt g\Rightarrow \बायाँ[ \शुरू(संरेखित करें) और f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(संरेखित करें) \दाएँ।\]

दूसरे शब्दों में, हम दो मामलों पर विचार करते हैं:

1. सबसे पहले, हम केवल मॉड्यूल को अनदेखा करते हैं - हम सामान्य असमानता को हल करते हैं;
2. फिर, वास्तव में, हम मॉड्यूल को माइनस साइन के साथ खोलते हैं, और फिर हम असमानता के दोनों हिस्सों को एक चिन्ह के साथ -1 से गुणा करते हैं।

इस मामले में, विकल्पों को एक वर्ग कोष्ठक के साथ जोड़ा जाता है, अर्थात। हमारे पास दो आवश्यकताओं का संयोजन है।

फिर से ध्यान दें: हमारे सामने एक प्रणाली नहीं है, लेकिन एक समुच्चय है, इसलिए उत्तर में, समुच्चय संयुक्त होते हैं, प्रतिच्छेदित नहीं. यह पिछले पैराग्राफ से मूलभूत अंतर है!

सामान्य तौर पर, कई छात्रों को यूनियनों और चौराहों के साथ बहुत भ्रम होता है, इसलिए आइए इस मुद्दे पर हमेशा के लिए गौर करें:

• "∪" एक संयोजन चिह्न है। वास्तव में, यह एक शैलीबद्ध अक्षर "U" है, जो अंग्रेजी भाषा से हमारे पास आया है और "संघ" का संक्षिप्त नाम है, अर्थात। "एसोसिएशन"।
• "∩" चौराहा चिह्न है। यह बकवास कहीं से नहीं आया था, बल्कि केवल "∪" के विरोध के रूप में प्रकट हुआ था।

इसे याद रखना और भी आसान बनाने के लिए, चश्मा बनाने के लिए बस इन संकेतों में पैर जोड़ें (अभी मुझ पर मादक पदार्थों की लत और शराब को बढ़ावा देने का आरोप न लगाएं: यदि आप गंभीरता से इस पाठ का अध्ययन कर रहे हैं, तो आप पहले से ही एक ड्रग एडिक्ट हैं):

चौराहों और समुच्चयों के मिलन के बीच अंतर

रूसी में अनुवादित, इसका अर्थ निम्न है: संघ (संग्रह) में दोनों सेटों के तत्व शामिल हैं, इसलिए, उनमें से प्रत्येक से कम नहीं; लेकिन चौराहे (सिस्टम) में केवल वे तत्व शामिल हैं जो पहले सेट में और दूसरे में दोनों हैं। इसलिए, सेट का प्रतिच्छेदन कभी भी स्रोत सेट से अधिक नहीं होता है।

तो यह स्पष्ट हो गया? यह बहुत बढ़िया बात है। चलिए अभ्यास के लिए आगे बढ़ते हैं।

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| 3x+1 \दाहिना| \gt 5-4x\]

समाधान। हम योजना के अनुसार कार्य करते हैं:

\[\बाएं| 3x+1 \दाहिना| \gt 5-4x\Rightarrow \बाएं[ \शुरू (संरेखित) और 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\बाएं (5-4x \दाएं) \\\अंत (संरेखित करें) \ सही।\]

हम प्रत्येक जनसंख्या असमानता को हल करते हैं:

\[\बाएं[ \शुरू(संरेखित करें) और 3x+4x \gt 5-1 \\ और 3x-4x \lt -5-1 \\ \अंत(संरेखित करें) \दाएं.\]

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं.\]

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \अंत(संरेखित करें) \दाएं.\]

हम प्रत्येक परिणामी सेट को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और फिर उन्हें जोड़ते हैं:

सेट का संघ

स्पष्ट रूप से उत्तर है $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

उत्तर: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

समाधान। कुंआ? नहीं, यह सब वही है। हम एक असमानता से मापांक के साथ दो असमानताओं के एक सेट से गुजरते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \बाएं[ \शुरू(संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\]

हम प्रत्येक असमानता को हल करते हैं। दुर्भाग्य से, वहाँ जड़ें बहुत अच्छी नहीं होंगी:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\अंत (संरेखित करें)\]

दूसरी असमानता में भी थोड़ा सा खेल है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\अंत (संरेखित करें)\]

अब हमें इन संख्याओं को दो अक्षों पर अंकित करने की आवश्यकता है - प्रत्येक असमानता के लिए एक अक्ष। हालाँकि, आपको बिंदुओं को सही क्रम में चिह्नित करने की आवश्यकता है: संख्या जितनी बड़ी होगी, बिंदु उतना ही दाईं ओर शिफ्ट होगा।

और यहां हम एक सेटअप की प्रतीक्षा कर रहे हैं। यदि संख्याओं के साथ सब कुछ स्पष्ट है $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (पहले के अंश में पद अंश दूसरे के अंश में शब्दों से कम है, इसलिए योग भी छोटा है), संख्याओं के साथ $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ भी कोई कठिनाई नहीं होगी (एक सकारात्मक संख्या स्पष्ट रूप से अधिक नकारात्मक), लेकिन अंतिम जोड़े के साथ, सब कुछ इतना सरल नहीं है। कौन सा बड़ा है: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ या $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? संख्या रेखाओं पर बिंदुओं की व्यवस्था और वास्तव में उत्तर इस प्रश्न के उत्तर पर निर्भर करेगा।

तो चलिए तुलना करते हैं:

\[\begin(मैट्रिक्स) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ वी -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(मैट्रिक्स)\]

हमने जड़ को अलग कर दिया, असमानता के दोनों पक्षों पर गैर-ऋणात्मक संख्याएँ प्राप्त कीं, इसलिए हमें दोनों पक्षों को वर्ग करने का अधिकार है:

\[\begin(मैट्रिक्स) ((\बाएं(2+\sqrt(13) \दाएं))^(2))\vee ((\बाएं(\sqrt(21) \दाएं))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(मैट्रिक्स)\]

मुझे लगता है कि यह कोई दिमाग नहीं है कि $4\sqrt(13) \gt 3$, इसलिए $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2) $, अंत में कुल्हाड़ियों पर बिंदुओं को इस तरह व्यवस्थित किया जाएगा:

बदसूरत जड़ों का मामला

मैं आपको याद दिला दूं कि हम एक समुच्चय को हल कर रहे हैं, इसलिए उत्तर संघ होगा, न कि छायांकित समुच्चयों का प्रतिच्छेदन।

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी योजना सरल कार्यों और बहुत कठिन कार्यों दोनों के लिए बढ़िया काम करती है। इस दृष्टिकोण में एकमात्र "कमजोर स्थान" यह है कि आपको अपरिमेय संख्याओं की सही तुलना करने की आवश्यकता है (और मेरा विश्वास करें: ये केवल जड़ें नहीं हैं)। लेकिन एक अलग (और बहुत गंभीर सबक) तुलना के सवालों के लिए समर्पित होगा। और हम आगे बढ़ते हैं।

3. गैर-नकारात्मक "पूंछ" वाली असमानताएं

तो हम सबसे दिलचस्प हो गए। ये प्रपत्र की असमानताएं हैं:

\[\बाएं| च\सही| \जीटी\बाएं| जी\दाएं|\]

सामान्यतया, अब हम जिस एल्गोरिथम के बारे में बात करने जा रहे हैं, वह केवल मॉड्यूल के लिए सही है। यह उन सभी असमानताओं में काम करता है जहाँ बाएँ और दाएँ गैर-नकारात्मक अभिव्यक्ति की गारंटी है:

इन कामों का क्या करें? बस याद रखना:

गैर-नकारात्मक पूंछ वाली असमानताओं में, दोनों पक्षों को किसी भी प्राकृतिक शक्ति तक उठाया जा सकता है। कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं होगा।

सबसे पहले, हमें स्क्वायरिंग में दिलचस्पी होगी - यह मॉड्यूल और जड़ों को जलाता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं(\बाएं| च \दाएं| \दाएं))^(2))=((च)^(2)); \\ & ((\बाएं(\sqrt(च) \दाएं))^(2))=च। \\\अंत (संरेखित करें)\]

वर्ग का मूल निकालने के साथ इसे भ्रमित न करें:

\[\sqrt(((च)^(2)))=\बाएं| f \right|\ne f\]

अनगिनत गलतियाँ की गईं जब एक छात्र एक मॉड्यूल स्थापित करना भूल गया! लेकिन यह एक पूरी तरह से अलग कहानी है (ये तर्कहीन समीकरण हैं), इसलिए अब हम इसमें नहीं जाएंगे। आइए बेहतर तरीके से कुछ समस्याओं का समाधान करें:

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| x+2 \दाएं|\ge \बाएं| 1-2x \सही|\]

समाधान। हम तुरंत दो बातों पर ध्यान देते हैं:

1. यह एक गैर-सख्त असमानता है। संख्या रेखा पर बिंदुओं को पंच किया जाएगा।
2. असमानता के दोनों पक्ष स्पष्ट रूप से गैर-नकारात्मक हैं (यह मॉड्यूल की एक संपत्ति है: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)।

इसलिए, हम मॉड्यूलस से छुटकारा पाने और सामान्य अंतराल विधि का उपयोग करके समस्या को हल करने के लिए असमानता के दोनों पक्षों को स्क्वायर कर सकते हैं:

\[\शुरू करें(संरेखित करें) & ((\बाएं(\बाएं| x+2 \दाएं| \दाएं))^(2))\ge ((\बाएं(\बाएं| 1-2x \दाएं| \दाएं) )^(2)); \\ & ((\बाएं(x+2 \दाएं))^(2))\ge ((\बाएं(2x-1 \दाएं))^(2)). \\\अंत (संरेखित करें)\]

अंतिम चरण में, मैंने थोड़ा धोखा दिया: मैंने मापांक की समानता का उपयोग करते हुए शब्दों के अनुक्रम को बदल दिया (वास्तव में, मैंने $1-2x$ अभिव्यक्ति को -1 से गुणा किया)।

\[\शुरू करें(संरेखित करें) & ((\बाएं(2x-1 \दाएं))^(2))-((\बाएं(x+2 \दाएं))^(2))\le 0; \\ & \बाएं(\बाएं(2x-1 \दाएं)-\बाएं(x+2 \दाएं) \दाएं)\cdot \बाएं(\बाएं(2x-1 \दाएं)+\बाएं(x+2 \\ दाएँ)\दाएँ)\ले 0; \\ & \बाएं(2x-1-x-2 \दाएं)\cdot \बाएं(2x-1+x+2 \दाएं)\le 0; \\ & \बाएं(x-3 \दाएं)\cdot \बाएं(3x+1 \दाएं)\le 0. \\\अंत(संरेखित करें)\]

हम अंतराल विधि से हल करते हैं। आइए असमानता से समीकरण की ओर बढ़ते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(x-3 \दाएं)\बाएं (3x+1 \दाएं)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\अंत (संरेखित करें)\]

हम संख्या रेखा पर पाई गई जड़ों को चिह्नित करते हैं। एक बार फिर: सभी बिंदु छायांकित हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त नहीं है!

मॉड्यूल साइन से छुटकारा

मुझे आपको विशेष रूप से जिद्दी के लिए याद दिलाना चाहिए: हम पिछली असमानता से संकेत लेते हैं, जो समीकरण पर आगे बढ़ने से पहले लिखा गया था। और हम समान असमानता में आवश्यक क्षेत्रों पर पेंट करते हैं। हमारे मामले में, यह $\बाएं(x-3 \दाएं)\बाएं(3x+1 \दाएं)\le 0$ है।

ठीक है अब सब खत्म हो गया। समस्या हल हो गई।

उत्तर: $x\in \बाएं[ -\frac(1)(3);3 \right]$।

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \बाएं| ((x)^(2))+3x+4 \दाएं|\]

समाधान। हम सब कुछ वैसा ही करते हैं। मैं कोई टिप्पणी नहीं करूंगा - बस क्रियाओं के क्रम को देखें।

आइए इसे स्क्वायर करें:

\[\शुरू करें(संरेखित करें) और ((\बाएं(\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \दाएं| \दाएं))^(2))\ले ((\बाएं(\बाएं | ((x)^(2))+3x+4 \दाएं| \दाएं))^(2)); \\ & ((\बाएं(((x)^(2))+x+1 \दाएं))^(2))\le ((\बाएं((x)^(2))+3x+4 \दाएं))^(2)); \\ & ((\बाएं(((x)^(2))+x+1 \दाएं))^(2))-((\बाएं(((x)^(2))+3x+4 \\ दाएं))^(2))\le 0; \\ & \बाएं(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \दाएं)\times \\ & \times \बाएं (((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \बाएं(-2x-3 \दाएं)\बाएं(2((x)^(2))+4x+5 \दाएं)\le 0. \\\end(संरेखित करें)\]

अंतराल विधि:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(-2x-3 \दाएं)\बाएं(2((x)^(2))+4x+5 \दाएं)=0 \\ और -2x-3=0\ राइटएरो x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\अंत (संरेखित करें)\]

संख्या रेखा पर केवल एक मूल होता है:

उत्तर एक पूरी श्रृंखला है

उत्तर: $x\in \बाएं[ -1.5;+\infty \right)$।

अंतिम कार्य के बारे में एक छोटा नोट। जैसा कि मेरे छात्रों में से एक ने सटीक रूप से उल्लेख किया है, इस असमानता में दोनों सबमॉड्यूल अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से सकारात्मक हैं, इसलिए स्वास्थ्य को नुकसान पहुंचाए बिना मापांक चिह्न को छोड़ा जा सकता है।

लेकिन यह पहले से ही पूरी तरह से अलग स्तर की सोच और एक अलग दृष्टिकोण है - इसे सशर्त रूप से परिणामों का तरीका कहा जा सकता है। उसके बारे में - एक अलग पाठ में। और अब चलिए आज के पाठ के अंतिम भाग की ओर बढ़ते हैं और एक सार्वभौमिक एल्गोरिथम पर विचार करते हैं जो हमेशा काम करता है। तब भी जब पिछले सभी दृष्टिकोण शक्तिहीन थे। :)

4. विकल्पों की गणना की विधि

क्या होगा अगर ये सभी तरकीबें काम न करें? यदि असमानता गैर-नकारात्मक पूंछों तक कम नहीं होती है, यदि मॉड्यूल को अलग करना असंभव है, यदि सभी दर्द-उदासी-लालसा?

तब सभी गणित का "भारी तोपखाना" दृश्य में प्रवेश करता है - गणना पद्धति। मापांक के साथ असमानताओं के संबंध में, ऐसा दिखता है:

1. सभी सबमॉड्यूल भावों को लिखें और उन्हें शून्य के बराबर करें;
2. परिणामी समीकरणों को हल करें और प्राप्त जड़ों को एक संख्या रेखा पर चिह्नित करें;
3. सीधी रेखा को कई खंडों में विभाजित किया जाएगा, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल का एक निश्चित चिन्ह होता है और इसलिए स्पष्ट रूप से फैलता है;
4. ऐसे प्रत्येक खंड पर असमानता को हल करें (आप अलग से पैरा 2 में प्राप्त सीमा जड़ों पर विचार कर सकते हैं - विश्वसनीयता के लिए)। परिणामों को मिलाएं - यह उत्तर होगा। :)

कितनी अच्छी तरह से? कमज़ोर? आसानी से! केवल लंबे समय के लिए। आइए व्यवहार में देखें:

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| x+2 \दाहिना| \lt\बाएं| x-1 \दाएं|+x-\frac(3)(2)\]

समाधान। यह बकवास $\बाएं| जैसी असमानताओं तक सीमित नहीं है च\सही| \lt g$, $\बाएं| च\सही| \gt g$ या $\बाएं| च\सही| \lt\बाएं| g \right|$, तो चलिए आगे बढ़ते हैं।

हम सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन लिखते हैं, उन्हें शून्य के बराबर करते हैं और जड़ें ढूंढते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+2=0\दायां तीर x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

कुल मिलाकर, हमारे पास दो जड़ें हैं जो संख्या रेखा को तीन खंडों में विभाजित करती हैं, जिसके अंदर प्रत्येक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से प्रकट होता है:

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के शून्य द्वारा संख्या रेखा को विभाजित करना

आइए प्रत्येक अनुभाग पर अलग से विचार करें।

1. माना $x \lt -2$। फिर दोनों सबमॉड्यूल एक्सप्रेशंस नेगेटिव हैं, और मूल असमानता को फिर से लिखा गया है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और -\बाएं (x+2 \दाएं) \lt -\बाएं (x-1 \दाएं)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(संरेखित करें)\]

हमें काफी सरल बाधा मिली। आइए इसे मूल धारणा के साथ प्रतिच्छेद करें कि $x \lt -2$:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(संरेखित करें) \दाएं.\दायां तीर x\in \varnothing \]

जाहिर है, चर $x$ एक साथ -2 से कम लेकिन 1.5 से अधिक नहीं हो सकता। इस क्षेत्र में कोई समाधान नहीं हैं।

1.1। आइए सीमा मामले पर अलग से विचार करें: $x=-2$। आइए इस संख्या को मूल असमानता में बदलें और जांचें: क्या यह सही है?

\[\शुरू करें(संरेखित करें) & ((\बाएं. \बाएं| x+2 \दाएं| \lt \बाएं| x-1 \दाएं|+x-1,5 \दाएं|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \बाएं| -3 \सही|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing । \\\अंत (संरेखित करें)\]

जाहिर है, गणनाओं की श्रृंखला ने हमें गलत असमानता की ओर अग्रसर किया है। इसलिए, मूल असमानता भी झूठी है, और $x=-2$ उत्तर में शामिल नहीं है।

2. अब $-2 \lt x \lt 1$। बायाँ मॉड्यूल पहले से ही "प्लस" के साथ खुलेगा, लेकिन दाहिना मॉड्यूल अभी भी "माइनस" के साथ है। अपने पास:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+2 \lt -\बाएं(x-1 \दाएं)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\अंत (संरेखित करें)\]

हम फिर से मूल आवश्यकता के साथ प्रतिच्छेद करते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित करें) और x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(संरेखित करें) \दाएं। \दायां तीर x\in \varnothing \]

और फिर, समाधानों का खाली सेट, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो -2.5 से कम और -2 से अधिक हो।

2.1। और फिर से एक विशेष मामला: $x=1$। हम मूल असमानता में स्थानापन्न करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित) और ((\बाएं। \बाएं| x+2 \दाएं| \lt \बाएं| x-1 \दाएं|+x-1,5 \दाएं|)_(x=1)) \\ & \बाएं| 3\सही| \lt\बाएं| 0 \दाएं|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing । \\\अंत (संरेखित करें)\]

पिछले "विशेष मामले" के समान, संख्या $x=1$ स्पष्ट रूप से उत्तर में शामिल नहीं है।

3. पंक्ति का अंतिम भाग: $x \gt 1$। यहां सभी मॉड्यूल एक प्लस चिह्न के साथ विस्तारित किए गए हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \अंत (संरेखित)\ ]

और फिर से हम मूल बाधा के साथ पाए गए सेट को काटते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\अंत(संरेखित करें) \दाएं।\दाएं तीर x\in \बाएं(4,5;+\infty) \सही)\]

आखिरकार! हमने अंतराल ढूंढ लिया है, जो उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \बाएं(4,5;+\infty \right)$

अंत में, एक नोट जो आपको वास्तविक समस्याओं को हल करते समय मूर्खतापूर्ण गलतियों से बचा सकता है:

मॉड्यूल के साथ असमानताओं के समाधान आमतौर पर संख्या रेखा - अंतराल और खंडों पर निरंतर सेट होते हैं। पृथक बिंदु बहुत दुर्लभ हैं। और इससे भी कम, ऐसा होता है कि समाधान की सीमाएं (खंड का अंत) विचाराधीन सीमा की सीमा के साथ मेल खाती हैं।

इसलिए, यदि सीमाएं (वे बहुत ही "विशेष मामले") उत्तर में शामिल नहीं हैं, तो इन सीमाओं के बाएं-दाएं क्षेत्रों को लगभग निश्चित रूप से उत्तर में शामिल नहीं किया जाएगा। और इसके विपरीत: सीमा ने प्रतिक्रिया में प्रवेश किया, जिसका अर्थ है कि इसके आसपास के कुछ क्षेत्र भी प्रतिक्रियात्मक होंगे।

अपने समाधान की जाँच करते समय इसे ध्यान में रखें।

मॉड्यूलो संख्यायह संख्या स्वयं कहलाती है यदि यह गैर-ऋणात्मक है, या विपरीत चिन्ह वाली समान संख्या यदि यह ऋणात्मक है।

उदाहरण के लिए, 6 का मापांक 6 है, और -6 का मापांक भी 6 है।

अर्थात्, किसी संख्या के मापांक को एक निरपेक्ष मान के रूप में समझा जाता है, इस संख्या का निरपेक्ष मान उसके चिह्न को ध्यान में रखे बिना।

निरूपित इस प्रकार है: |6|, | एक्स|, |ए| वगैरह।

(अधिक विवरण के लिए, "संख्या का मॉड्यूल" अनुभाग देखें)।

मोडुलो समीकरण।

उदाहरण 1 . प्रश्न हल करें|10 एक्स - 5| = 15.

समाधान.

नियम के अनुसार, समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है:

10एक्स - 5 = 15
10एक्स - 5 = -15

हमने निर्णय किया:

10एक्स = 15 + 5 = 20
10एक्स = -15 + 5 = -10

एक्स = 20: 10
एक्स = -10: 10

एक्स = 2
एक्स = -1

उत्तर: एक्स 1 = 2, एक्स 2 = -1.

उदाहरण 2 . प्रश्न हल करें|2 एक्स + 1| = एक्स + 2.

समाधान.

चूँकि मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, तब एक्स+ 2 ≥ 0. तदनुसार:

एक्स ≥ -2.

हम दो समीकरण बनाते हैं:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -(एक्स + 2)

हमने निर्णय किया:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -एक्स - 2

2एक्स - एक्स = 2 - 1
2एक्स + एक्स = -2 - 1

एक्स = 1
एक्स = -1

दोनों संख्याएँ -2 से बड़ी हैं। अतः दोनों समीकरण के मूल हैं।

उत्तर: एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 1.

उदाहरण 3 . प्रश्न हल करें

|एक्स + 3| - 1
————— = 4
एक्स - 1

समाधान.

यदि भाजक शून्य के बराबर नहीं है तो समीकरण समझ में आता है - इसलिए यदि एक्स≠ 1. आइए इस शर्त को ध्यान में रखें। हमारी पहली क्रिया सरल है - हम न केवल अंश से छुटकारा पाते हैं, बल्कि हम इसे इस तरह से रूपांतरित करते हैं जैसे कि मॉड्यूल को उसके शुद्धतम रूप में प्राप्त करना:

|एक्स+ 3 | - 1 = 4 ( एक्स - 1),

|एक्स + 3| - 1 = 4एक्स - 4,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 4 + 1,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 3.

अब हमारे पास समीकरण के बाईं ओर मापांक के अंतर्गत केवल व्यंजक है। आगे बढ़ो।
किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है - अर्थात, यह शून्य से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। तदनुसार, हम असमानता को हल करते हैं:

4एक्स - 3 ≥ 0

4एक्स ≥ 3

एक्स ≥ 3/4

इस प्रकार, हमारे पास दूसरी शर्त है: समीकरण का मूल कम से कम 3/4 होना चाहिए।

नियम के अनुसार, हम दो समीकरणों का एक सेट बनाते हैं और उन्हें हल करते हैं:

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -(4एक्स - 3)

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -4एक्स + 3

एक्स - 4एक्स = -3 - 3
एक्स + 4एक्स = 3 - 3

एक्स = 2
एक्स = 0

हमें दो प्रतिक्रियाएँ मिलीं। आइए देखें कि क्या वे मूल समीकरण के मूल हैं।

हमारी दो शर्तें थीं: समीकरण का मूल 1 के बराबर नहीं हो सकता, और यह कम से कम 3/4 होना चाहिए। वह है एक्स ≠ 1, एक्स≥ 3/4। ये दोनों स्थितियाँ प्राप्त दो उत्तरों में से केवल एक - संख्या 2 के अनुरूप हैं। इसलिए, केवल यही मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर: एक्स = 2.

मापांक के साथ असमानताएँ।

उदाहरण 1 . असमानता को हल करें| एक्स - 3| < 4

समाधान.

मॉड्यूल नियम कहता है:

|ए| = ए, अगर ए ≥ 0.

|ए| = -ए, अगर ए < 0.

मापांक में गैर-ऋणात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ हो सकती हैं। इसलिए हमें दोनों मामलों पर विचार करना होगा: एक्स- 3 ≥ 0 और एक्स - 3 < 0.

1) कब एक्स- 3 ≥ 0 हमारी मूल असमानता ज्यों की त्यों बनी रहती है, केवल मॉडुलो चिह्न के बिना:
एक्स - 3 < 4.

2) कब एक्स - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(एक्स - 3) < 4.

कोष्ठक खोलने पर, हम प्राप्त करते हैं:

-एक्स + 3 < 4.

इस प्रकार, इन दो स्थितियों से, हम असमानताओं की दो प्रणालियों के संघ में आ गए हैं:

एक्स - 3 ≥ 0
एक्स - 3 < 4

एक्स - 3 < 0
-एक्स + 3 < 4

आइए उन्हें हल करें:

एक्स ≥ 3
एक्स < 7

एक्स < 3
एक्स > -1

तो, हमारे उत्तर में हमारे पास दो सेटों का मिलन है:

3 ≤ एक्स < 7 U -1 < एक्स < 3.

सबसे छोटा और सबसे बड़ा मूल्य निर्धारित करें। ये -1 और 7 हैं। वहीं एक्स-1 से अधिक लेकिन 7 से कम।
अलावा, एक्स≥ 3. इसलिए, इन चरम संख्याओं को छोड़कर, असमानता का समाधान -1 से 7 तक संख्याओं का पूरा सेट है।

उत्तर: -1 < एक्स < 7.

या: एक्स ∈ (-1; 7).

ऐड-ऑन.

1) हमारी असमानता को हल करने का एक आसान और छोटा तरीका है - ग्राफिकल। ऐसा करने के लिए, एक क्षैतिज अक्ष (चित्र 1) खींचें।

अभिव्यक्ति | एक्स - 3| < 4 означает, что расстояние от точки एक्सबिंदु 3 चार इकाइयों से कम करने के लिए। हम अक्ष पर संख्या 3 अंकित करते हैं और इसके बाएँ और दाएँ 4 भाग गिनते हैं। बाईं ओर हम बिंदु -1 पर, दाईं ओर - बिंदु 7 पर आएंगे। इस प्रकार, अंक एक्सहमने उनकी गणना किए बिना ही देखा।

इसके अलावा, असमानता की स्थिति के अनुसार, -1 और 7 खुद समाधान के सेट में शामिल नहीं हैं। इस प्रकार, हमें उत्तर मिलता है:

1 < एक्स < 7.

2) लेकिन एक और समाधान है जो ग्राफिकल तरीके से भी आसान है। ऐसा करने के लिए, हमारी असमानता को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए:

4 < एक्स - 3 < 4.

आखिरकार, मॉड्यूल के नियम के अनुसार यह ऐसा है। गैर-ऋणात्मक संख्या 4 और समान ऋणात्मक संख्या -4 असमानता के समाधान की सीमाएँ हैं।

4 + 3 < एक्स < 4 + 3

1 < एक्स < 7.

उदाहरण 2 . असमानता को हल करें| एक्स - 2| ≥ 5

समाधान.

यह उदाहरण पिछले वाले से काफी अलग है। बाईं ओर 5 से अधिक या 5 के बराबर है। ज्यामितीय दृष्टिकोण से, असमानता का समाधान वे सभी संख्याएँ हैं जो बिंदु 2 (चित्र 2) से 5 इकाइयों या उससे अधिक की दूरी पर हैं। ग्राफ़ दिखाता है कि ये सभी संख्याएँ हैं जो -3 से कम या उसके बराबर हैं और 7 से अधिक या उसके बराबर हैं। इसलिए, हमें पहले ही उत्तर मिल चुका है।

उत्तर: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

साथ ही, हम समान असमानता को विपरीत चिह्न के साथ बाएं और दाएं मुक्त शब्द को पुनर्व्यवस्थित करके हल करते हैं:

5 ≥ एक्स - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ एक्स ≥ 5 + 2

उत्तर वही है: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

या: एक्स ∈ [-3; 7]

उदाहरण हल किया।

उदाहरण 3 . असमानता को हल करें 6 एक्स 2 - | एक्स| - 2 ≤ 0

समाधान.

संख्या एक्ससकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकता है। इसलिए, हमें तीनों परिस्थितियों को ध्यान में रखना होगा। जैसा कि आप जानते हैं, उन्हें दो असमानताओं में ध्यान में रखा जाता है: एक्स≥ 0 और एक्स < 0. При एक्स≥ 0, हम बस अपनी मूल असमानता को फिर से लिखते हैं, जैसा कि केवल मॉडुलो चिह्न के बिना:

6x 2 - एक्स - 2 ≤ 0.

अब दूसरे मामले के लिए: अगर एक्स < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6एक्स 2 - (-एक्स) - 2 ≤ 0.

कोष्ठक का विस्तार करना:

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0.

इस प्रकार, हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ प्राप्त हुई हैं:

6एक्स 2 - एक्स - 2 ≤ 0
एक्स ≥ 0

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0
एक्स < 0

हमें सिस्टम में असमानताओं को हल करने की आवश्यकता है - जिसका अर्थ है कि हमें दो द्विघात समीकरणों की जड़ें खोजने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम असमानताओं के बाएँ हाथ के पक्षों को शून्य के बराबर करते हैं।

आइए पहले वाले से शुरू करें:

6एक्स 2 - एक्स - 2 = 0.

द्विघात समीकरण को कैसे हल करें - "द्विघात समीकरण" अनुभाग देखें। हम तुरंत उत्तर का नाम देंगे:

एक्स 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3।

असमानताओं की पहली प्रणाली से, हम पाते हैं कि मूल असमानता का समाधान -1/2 से 2/3 तक की संख्याओं का पूरा सेट है। हम के लिए समाधान का संघ लिखते हैं एक्स ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

अब दूसरे द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

6एक्स 2 + एक्स - 2 = 0.

इसकी जड़ें:

एक्स 1 = -2/3, एक्स 2 = 1/2.

निष्कर्ष: कब एक्स < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

आइए दो उत्तरों को जोड़ते हैं और अंतिम उत्तर प्राप्त करते हैं: समाधान इन चरम संख्याओं सहित -2/3 से 2/3 तक संख्याओं का पूरा सेट है।

उत्तर: -2/3 ≤ एक्स ≤ 2/3.

या: एक्स ∈ [-2/3; 2/3].

मापांक वाली असमानताओं को हल करने के कई तरीके हैं। आइए उनमें से कुछ पर विचार करें।

1) मॉड्यूल की ज्यामितीय संपत्ति का उपयोग करके असमानता को हल करना।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि मॉड्यूल की ज्यामितीय संपत्ति क्या है: संख्या x का मॉड्यूल मूल से बिंदु तक समन्वय x के साथ दूरी है।

इस तरह से असमानताओं को हल करने के क्रम में 2 मामले सामने आ सकते हैं:

1. |x| ≤ बी,

और मापांक के साथ असमानता स्पष्ट रूप से दो असमानताओं की प्रणाली में कम हो जाती है। यहां संकेत सख्त हो सकता है, जिस स्थिति में तस्वीर में बिंदु "छिद्रित" होंगे।

2. |x| ≥ बी,तो समाधान की तस्वीर इस तरह दिखती है:

और मॉड्यूलस के साथ असमानता स्पष्ट रूप से दो असमानताओं के सेट में कम हो जाती है। यहां संकेत सख्त हो सकता है, जिस स्थिति में तस्वीर में बिंदु "छिद्रित" होंगे।

उदाहरण 1

असमानता को हल करें |4 – |x|| ≥ 3.

समाधान।

यह असमानता निम्नलिखित सेट के बराबर है:

यू [-1; 1] यू

उदाहरण 2

असमानता को हल करें ||x+2| - 3 | ≤ 2.

समाधान।

यह असमानता निम्नलिखित प्रणाली के बराबर है।

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5।

हम सिस्टम की पहली असमानता को अलग से हल करते हैं। यह निम्नलिखित सेट के बराबर है:

यू [-1; 3]।

2) मॉड्यूल की परिभाषा का उपयोग करके असमानताओं को हल करना।

मैं आपको शुरू करने के लिए याद दिलाता हूं मॉड्यूल परिभाषा।

|ए| = एक अगर ए ≥ 0 और |ए| = -एक अगर ए< 0.

उदाहरण के लिए, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21।

उदाहरण 1

असमिका 3|x – 1| को हल कीजिए ≤ एक्स + 3।

समाधान।

मॉड्यूल परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमें दो प्रणालियाँ मिलती हैं:

(एक्स - 1 ≥ 0
(3 (एक्स - 1) ≤ एक्स + 3

(एक्स - 1< 0
(-3(x - 1) ≤ x + 3।

पहली और दूसरी प्रणाली को अलग-अलग हल करने पर, हम पाते हैं:

(एक्स ≥ 1
(एक्स ≤ 3,

(एक्स< 1
(एक्स ≥ 0।

मूल असमानता का समाधान पहली प्रणाली के सभी समाधान और दूसरी प्रणाली के सभी समाधान होंगे।

उत्तर: एक्स €।

3) वर्ग करके असमिकाओं को हल करना।

उदाहरण 1

असमानता को हल करें |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

समाधान।

आइए असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग करें। मैंने ध्यान दिया कि असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग करना तभी संभव है जब वे दोनों धनात्मक हों। इस मामले में, हमारे पास बाएँ और दाएँ दोनों तरफ मॉड्यूल हैं, इसलिए हम ऐसा कर सकते हैं।

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

अब निम्नलिखित मॉड्यूल संपत्ति का उपयोग करते हैं: (|x|) 2 = x 2।

(एक्स 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(एक्स 2 - 1) 2 - (एक्स 2 - एक्स + 1) 2< 0.

(एक्स 2 - 1 - एक्स 2 + एक्स - 1) (एक्स 2 - 1 + एक्स 2 - एक्स + 1)< 0,

(एक्स - 2) (2x 2 - एक्स)< 0,

एक्स (एक्स - 2) (2x - 1)< 0.

हम अंतराल विधि से हल करते हैं।

उत्तर: x € (-∞; 0) यू (1/2; 2)

4) चर विधि के परिवर्तन द्वारा असमानताओं को हल करना।

उदाहरण।

असमिका (2x + 3) 2 – |2x + 3| को हल कीजिए ≤ 30.

समाधान।

ध्यान दें कि (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2। तब हमें असमानता मिलती है

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30।

आइए बदलाव करते हैं y = |2x + 3|।

प्रतिस्थापन को ध्यान में रखते हुए आइए हम अपनी असमानता को फिर से लिखें।

वाई 2 - वाई ≤ 30,

वाई 2 - वाई - 30 ≤ 0।

हम बाईं ओर वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन करते हैं।

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 - 11) / 2,

(वाई - 6) (वाई + 5) ≤ 0।

हम अंतराल विधि से हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

प्रतिस्थापन पर वापस जाएं:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6।

यह दोहरी असमानता असमानताओं की प्रणाली के बराबर है:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

हम प्रत्येक असमानता को अलग-अलग हल करते हैं।

पहला सिस्टम के बराबर है

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6।

आइए इसे हल करें।

(एक्स ≤ 1.5
(एक्स ≥ -4.5।

दूसरी असमानता स्पष्ट रूप से सभी x पर लागू होती है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार मापांक एक धनात्मक संख्या है। चूंकि सिस्टम का समाधान सभी x है जो एक साथ सिस्टम की पहली और दूसरी असमानता को संतुष्ट करता है, तो मूल प्रणाली का समाधान इसकी पहली दोहरी असमानता का समाधान होगा (आखिरकार, दूसरा सभी x के लिए सही है)।

उत्तर: x € [-4.5; 1.5]।

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