रैखिक निर्भरता और वैक्टर की स्वतंत्रता। रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता, गुण, रैखिक निर्भरता के लिए वैक्टर की एक प्रणाली का अध्ययन, उदाहरण और समाधान

यह जांचने के लिए कि क्या वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, इन वैक्टरों के एक रैखिक संयोजन की रचना करना और यह जांचना आवश्यक है कि क्या यह शून्य हो सकता है यदि कम से कम एक गुणांक शून्य है।

स्थिति 1. सदिशों की प्रणाली सदिशों द्वारा दी गई है

हम एक रैखिक संयोजन बनाते हैं

हमने समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली प्राप्त की है। यदि इसका एक गैर-शून्य समाधान है, तो निर्धारक शून्य के बराबर होना चाहिए। आइए एक निर्धारक बनाते हैं और इसका मूल्य पाते हैं।

निर्धारक शून्य है, इसलिए, वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं।

केस 2। वैक्टर की प्रणाली विश्लेषणात्मक कार्यों द्वारा दी गई है:

ए) , अगर पहचान सही है, तो सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है।

आइए एक रैखिक संयोजन बनाते हैं।

यह जाँचना आवश्यक है कि क्या ऐसे a, b, c (जिनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है) हैं जिनके लिए दी गई अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है।

हम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य लिखते हैं

तब सदिशों का रैखिक संयोजन रूप लेगा:

जहां से, उदाहरण के लिए, रैखिक संयोजन शून्य के बराबर है, इसलिए, प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

उत्तर: प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

बी) , हम एक रैखिक संयोजन बनाते हैं

x के किसी भी मान के लिए सदिशों का एक रैखिक संयोजन शून्य होना चाहिए।

आइए विशेष मामलों की जांच करें।

सदिशों का एक रैखिक संयोजन केवल तभी शून्य होता है जब सभी गुणांक शून्य हों।

इसलिए, सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

उत्तर: प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

5.3। कुछ आधार खोजें और समाधानों के रैखिक स्थान का आयाम निर्धारित करें।

चलो एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे गॉस विधि का उपयोग करके ट्रेपेज़ॉइड के रूप में लाते हैं।

कुछ आधार प्राप्त करने के लिए, हम मनमाने मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं:

शेष निर्देशांक प्राप्त करें

5.4। आधार में सदिश X के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, यदि यह आधार में दिया गया हो।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए नए आधार में वेक्टर के निर्देशांक ढूँढना कम हो गया है

विधि 1। संक्रमण मैट्रिक्स का उपयोग करके ढूँढना

संक्रमण मैट्रिक्स की रचना करें

सूत्र द्वारा नए आधार में सदिश ज्ञात करते हैं

उलटा मैट्रिक्स खोजें और गुणा करें

विधि 2। समीकरणों की एक प्रणाली को संकलित करके ढूँढना।

आधार के गुणांकों से आधार सदिशों की रचना कीजिए

एक नए आधार में एक सदिश ढूँढना प्रपत्र है

कहाँ डीदिया गया वेक्टर है एक्स.

परिणामी समीकरण को किसी भी तरह से हल किया जा सकता है, उत्तर वही होगा।

उत्तर: एक नए आधार में एक सदिश।

5.5। माना x = (एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 ) . निम्नलिखित परिवर्तन रैखिक हैं।

आइए हम दिए गए सदिशों के गुणांकों से रैखिक संकारकों के आव्यूहों की रचना करें।

आइए एक रैखिक संकारक के प्रत्येक आव्यूह के लिए रैखिक संक्रियाओं के गुण की जाँच करें।

बाईं ओर मैट्रिक्स गुणन द्वारा पाया जाता है एप्रति वेक्टर

दिए गए सदिश को एक अदिश से गुणा करके हम दाहिनी ओर पाते हैं।

हम देखते हैं कि इसका क्या मतलब है कि परिवर्तन रैखिक नहीं है।

आइए अन्य वैक्टरों की जांच करें।

परिवर्तन रैखिक नहीं है।

परिवर्तन रैखिक है।

उत्तर: ओहएक रैखिक परिवर्तन नहीं है, वीएक्स- रैखिक नहीं सीएक्स- रैखिक।

टिप्पणी।दिए गए सदिशों को ध्यान से देखकर आप इस कार्य को बहुत आसानी से पूरा कर सकते हैं। में ओहहम देखते हैं कि ऐसे शब्द हैं जिनमें तत्व नहीं हैं एक्स, जो एक रैखिक ऑपरेशन के परिणामस्वरूप प्राप्त नहीं किया जा सका। में वीएक्सएक तत्व है एक्सतीसरी शक्ति के लिए, जो एक सदिश द्वारा गुणा करके भी प्राप्त नहीं किया जा सकता एक्स.

5.6। दिया गया एक्स = { एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 } , कुल्हाड़ी = { एक्स 2 – एक्स 3 , एक्स 1 , एक्स 1 + एक्स 3 } , bx = { एक्स 2 , 2 एक्स 3 , एक्स 1 } . दिए गए ऑपरेशन को करें: ( ए ( बी – ए )) एक्स .

आइए हम रैखिक संकारकों के आव्यूह लिखते हैं।

मैट्रिसेस पर एक ऑपरेशन करते हैं

परिणामी मैट्रिक्स को X से गुणा करने पर, हमें मिलता है

परिभाषा 1. सदिशों का एक रैखिक संयोजन इन सदिशों और अदिशों के गुणनफल का योग होता है:

परिभाषा 2. सदिशों की एक प्रणाली को रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली कहा जाता है यदि उनका रैखिक संयोजन (2.8) गायब हो जाता है:

और संख्याओं में शून्य के अलावा कम से कम एक अन्य है।

परिभाषा 3. वैक्टर को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनका रैखिक संयोजन (2.8) केवल तभी गायब हो जाता है जब सभी संख्याएँ हों।

इन परिभाषाओं से, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं।

उपप्रमेय 1. एक रैखिक रूप से निर्भर वेक्टर सिस्टम में, कम से कम एक वेक्टर को दूसरों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

सबूत. मान लीजिए (2.9) संतुष्ट हैं और निश्चितता के लिए गुणांक होने दें। हमारे पास तब है: ध्यान दें कि इसका विलोम भी सत्य है।

परिणाम 2.यदि वैक्टरों की एक प्रणाली में शून्य वेक्टर होता है, तो यह प्रणाली (आवश्यक रूप से) रैखिक रूप से निर्भर है - सबूत स्पष्ट है।

उपप्रमेय 3. यदि बीच में एनवेक्टर कोई क() वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं, फिर सभी एनवैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं (हम प्रमाण को छोड़ देते हैं)।

2 0 . दो, तीन और चार सदिशों का रैखिक संयोजन. आइए एक सीधी रेखा, एक समतल और अंतरिक्ष में सदिशों की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता के प्रश्नों पर विचार करें। आइए हम संबंधित प्रमेयों को प्रस्तुत करें।

प्रमेय 1. दो सदिशों के रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे समरेख हों।

ज़रूरत. वैक्टर को रैखिक रूप से निर्भर होने दें। इसका मतलब है कि उनका रैखिक संयोजन = 0 और (निश्चितता के लिए)। इसका तात्पर्य समानता से है, और (एक संख्या द्वारा एक सदिश को गुणा करने की परिभाषा के द्वारा) सदिश और समरेख हैं।

पर्याप्तता. सदिशों को समरेख होने दें (║) (हम मानते हैं कि वे शून्य सदिश से भिन्न हैं; अन्यथा, उनकी रैखिक निर्भरता स्पष्ट है)।

प्रमेय के अनुसार (2.7) (देखें §2.1, मद 2, 0) तो ऐसा है कि, या - रैखिक संयोजन शून्य के बराबर है, और गुणांक 1 के बराबर है - वैक्टर और रैखिक रूप से निर्भर हैं।

निम्नलिखित प्रमेय इस प्रमेय से अनुसरण करता है।

परिणाम. यदि सदिश समरेख नहीं हैं, तो वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

प्रमेय 2. तीन सदिशों के रैखिक रूप से आश्रित होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे समतलीय हों।

ज़रूरत. वैक्टर और रैखिक रूप से निर्भर होने दें। आइए हम दिखाते हैं कि वे समतलीय हैं।

वैक्टर की एक रैखिक निर्भरता की परिभाषा से तात्पर्य संख्याओं के अस्तित्व से है जैसे कि एक रैखिक संयोजन, और एक ही समय में (निश्चितता के लिए)। फिर इस समानता से हम वेक्टर को व्यक्त कर सकते हैं: =, अर्थात, वेक्टर इस समानता के दाईं ओर वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के बराबर है (चित्र। 2.6)। इसका अर्थ है कि सदिश एक ही तल में हैं।

पर्याप्तता. सदिशों को समतलीय होने दें। आइए हम दिखाते हैं कि वे रैखिक रूप से निर्भर हैं।

आइए सदिशों के किसी भी युग्म की संरेखता के मामले को छोड़ दें (क्योंकि तब यह युग्म रैखिक रूप से निर्भर है और उपप्रमेय 3 के अनुसार (आइटम 1 0 देखें) सभी तीन सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं)। ध्यान दें कि इस तरह की धारणा संकेतित तीनों के बीच शून्य वेक्टर के अस्तित्व को भी बाहर करती है।

हम तीन कोप्लानर वैक्टर को एक विमान में स्थानांतरित करते हैं और उन्हें एक सामान्य मूल में लाते हैं। वेक्टर के अंत के माध्यम से हम वैक्टर के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचते हैं; इस मामले में, हम वैक्टर प्राप्त करते हैं और (चित्र। 2.7) - उनका अस्तित्व इस तथ्य से सुनिश्चित होता है कि वैक्टर धारणा वैक्टर द्वारा संरेख नहीं हैं। यह इस प्रकार है कि वेक्टर = +। इस समानता को (-1)++=0 के रूप में फिर से लिखने पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सदिश और रैखिक रूप से निर्भर हैं।

सिद्ध प्रमेय से दो परिणाम निकलते हैं।

उपप्रमेय 1. कोलीनियर वैक्टर नहीं होने दें, वेक्टर को वैक्टर द्वारा परिभाषित विमान में एक मनमाना वेक्टर होने दें और। फिर ऐसे नंबर हैं

परिणाम 2. यदि सदिश समतलीय नहीं हैं, तो वे रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं।

प्रमेय 3. कोई भी चार सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।

हम प्रमाण छोड़ देते हैं; कुछ संशोधनों के साथ, यह प्रमेय 2 की उपपत्ति की नकल करता है। आइए हम इस प्रमेय का एक उपप्रमेय प्रस्तुत करते हैं।

परिणाम. किसी भी गैर समतलीय सदिशों के लिए, और किसी भी सदिश के लिए

टिप्पणी. एक (त्रि-आयामी) स्थान में सदिशों के लिए, रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता की अवधारणाओं का, ऊपर दिए गए प्रमेयों 1-3 के अनुसार, एक सरल ज्यामितीय अर्थ है।

बता दें कि दो रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर हैं और। इस मामले में, उनमें से एक दूसरे का एक रैखिक संयोजन है, अर्थात, यह केवल एक संख्यात्मक कारक (उदाहरण के लिए) से भिन्न होता है। ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ है कि दोनों सदिश एक सामान्य रेखा पर हैं; उनकी दिशाएँ समान या विपरीत हो सकती हैं (चित्र 2.8 xx)।

यदि दो सदिश एक दूसरे के कोण पर स्थित हैं (चित्र 2.9 xx), तो इस मामले में उनमें से एक को दूसरे को एक संख्या से गुणा करके प्राप्त नहीं किया जा सकता है - ऐसे सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं। इसलिए, दो सदिशों की रैखिक स्वतंत्रता का अर्थ है कि इन सदिशों को एक सीधी रेखा पर नहीं रखा जा सकता है।

आइए हम तीन सदिशों की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता के ज्यामितीय अर्थ का पता लगाएं।

चलो वैक्टर , और रैखिक रूप से निर्भर हो और चलो (निश्चितता के लिए) वेक्टर वैक्टर यू का एक रैखिक संयोजन हो, यानी, वेक्टर यू युक्त विमान में स्थित है। इसका अर्थ है कि सदिश एक ही तल में हैं। विलोम कथन भी सत्य है: यदि सदिश एक ही तल में स्थित हैं, तो वे रैखिक रूप से निर्भर हैं।

इस प्रकार, सदिश तथा रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि वे एक ही तल में स्थित नहीं हैं।

3 0 . आधार की अवधारणा. रैखिक और सदिश बीजगणित की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक आधार की अवधारणा है। हम परिभाषाओं का परिचय देते हैं।

परिभाषा 1. सदिशों की एक जोड़ी को क्रमित कहा जाता है यदि यह निर्दिष्ट किया जाता है कि इस जोड़ी का कौन सा सदिश पहला माना जाता है और कौन सा दूसरा।

परिभाषा 2।असंरेखीय सदिशों के क्रमित युग्म को दिए गए सदिशों द्वारा परिभाषित समतल पर आधार कहा जाता है।

प्रमेय 1. विमान पर किसी भी वेक्टर को वैक्टर की मूल प्रणाली के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

और यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय है।

सबूत. चलो वैक्टर और एक आधार बनाते हैं। फिर किसी भी वेक्टर को इस रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है

विशिष्टता साबित करने के लिए, मान लीजिए कि एक और अपघटन है। हमारे पास तब = 0 है, और कम से कम एक अंतर अशून्य है। उत्तरार्द्ध का अर्थ है कि वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं, अर्थात, संरेख; यह इस दावे का खंडन करता है कि वे एक आधार बनाते हैं।

लेकिन तब अपघटन अद्वितीय है।

परिभाषा 3. सदिशों के एक ट्रिपल को क्रमित कहा जाता है यदि यह इंगित किया जाता है कि कौन सा सदिश पहला माना जाता है, कौन सा दूसरा है, और कौन सा तीसरा है।

परिभाषा 4. गैर समतलीय सदिशों के क्रमित त्रिक को अंतरिक्ष में आधार कहा जाता है।

अपघटन और विशिष्टता प्रमेय भी यहाँ लागू होता है।

प्रमेय 2. किसी भी सदिश को सदिशों की मूल प्रणाली के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

और यह निरूपण अद्वितीय है (हम प्रमेय के प्रमाण को छोड़ देते हैं)।

विस्तार (2.12) और (2.13) में, मात्राओं को दिए गए आधार पर सदिश के निर्देशांक कहा जाता है (अधिक सटीक रूप से, निर्देशांकों को परिसीमित करें)।

एक निश्चित आधार के साथ, आपको लिखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि एक आधार दिया गया है और वह दिया गया है, तो इसका मतलब है कि एक प्रतिनिधित्व (अपघटन) होता है।

4 0 . निर्देशांक रूप में सदिशों पर रैखिक संक्रियाएं. एक आधार की शुरूआत से सदिशों पर रैखिक संक्रियाओं को संख्याओं पर साधारण रैखिक संक्रियाओं द्वारा प्रतिस्थापित करने की अनुमति मिलती है - इन सदिशों के निर्देशांक।

कुछ आधार दिया जाए। जाहिर है, इस आधार पर वेक्टर के निर्देशांक सेट करना पूरी तरह से वेक्टर को ही निर्धारित करता है। निम्नलिखित प्रस्ताव हैं:

ए) दो वैक्टर और बराबर हैं अगर और केवल अगर उनके संबंधित निर्देशांक बराबर हैं:

बी) जब किसी वेक्टर को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके निर्देशांक इस संख्या से गुणा किए जाते हैं:

ग) वैक्टर जोड़ते समय, उनके संबंधित निर्देशांक जोड़े जाते हैं:

हम इन गुणों के प्रमाणों को छोड़ देते हैं; आइए हम गुण b) को केवल एक उदाहरण के रूप में सिद्ध करें। अपने पास

टिप्पणी. अन्तरिक्ष में (तल पर) अपरिमित रूप से अनेक क्षार चुन सकते हैं।

हम एक आधार से दूसरे में संक्रमण का उदाहरण देते हैं, विभिन्न आधारों में वेक्टर के निर्देशांक के बीच संबंध स्थापित करते हैं।

उदाहरण 1. मूल प्रणाली में तीन वैक्टर दिए गए हैं :, और। आधार में, वेक्टर का अपघटन होता है। आधार में सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान. हमारे पास विस्तार हैं:,,; इसलिए, =+2+= =, यानी आधार में।

उदाहरण 2. चलो किसी आधार पर चार वैक्टर उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं :,, और।

पता लगाएं कि क्या वैक्टर एक आधार बनाते हैं; सकारात्मक उत्तर की स्थिति में, इस आधार पर सदिश का अपघटन ज्ञात कीजिए।

समाधान. 1) सदिश एक आधार बनाते हैं यदि वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हों। आइए वैक्टरों के एक रैखिक संयोजन की रचना करें () और पता करें कि आयन किसके लिए गायब हो जाता है: = 0। अपने पास:

निर्देशांक रूप में सदिशों की समानता की परिभाषा से, हम (रैखिक सजातीय बीजगणितीय) समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं: ;;, जिसका निर्धारक = 1, अर्थात्, प्रणाली में (केवल) एक तुच्छ समाधान है। इसका अर्थ है कि सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और इसलिए वे एक आधार बनाते हैं।

2) इस आधार पर वेक्टर का विस्तार करें। हमारे पास:=या निर्देशांक रूप में है।

निर्देशांक रूप में सदिशों की समानता को पास करते हुए, हम रैखिक असमघात बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं: ;;। इसे हल करना (उदाहरण के लिए, क्रैमर के नियम के अनुसार), हम प्राप्त करते हैं :, और ()। हमारे पास आधार में वेक्टर का अपघटन है: =।

5 0 . एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण। प्रक्षेपण गुण।कुछ धुरी हो एल, यानी, उस पर चुनी गई दिशा के साथ एक सीधी रेखा, और कुछ वेक्टर दिए जाने दें। आइए एक अक्ष पर वेक्टर के प्रक्षेपण की अवधारणा को परिभाषित करें एल.

परिभाषा. अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण एलइस सदिश के मापांक और अक्ष के बीच के कोण के कोसाइन का उत्पाद कहा जाता है एलऔर सदिश (चित्र 2.10):

इस परिभाषा का एक परिणाम यह कथन है कि समान सदिशों के समान प्रक्षेपण (समान अक्ष पर) होते हैं।

अनुमानों के गुणों पर ध्यान दें।

1) किसी अक्ष पर सदिशों के योग का प्रक्षेपण एलसमान अक्ष पर सदिशों के पदों के अनुमानों के योग के बराबर है:

2) एक अदिश और एक सदिश के उत्पाद का प्रक्षेपण इस अदिश के उत्पाद के बराबर है और एक ही अक्ष पर सदिश का प्रक्षेपण:

परिणाम. अक्ष पर सदिशों के एक रेखीय संयोजन का प्रक्षेपण उनके प्रक्षेपणों के रेखीय संयोजन के बराबर है:

हम गुणों के प्रमाण छोड़ देते हैं।

6 0 . अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली.कुल्हाड़ियों के इकाई वैक्टर में एक वेक्टर का अपघटन।तीन परस्पर लंबवत इकाई वैक्टर को आधार के रूप में चुना जाना चाहिए; हम उनके लिए विशेष अंकन पेश करते हैं। उन्हें रखकर बिंदु पर प्रारंभ करें हे, उनके साथ सीधे (यूनिट वैक्टर के अनुसार) समन्वय अक्ष बैल,ओएऔर ओ जेड(उस पर चयनित सकारात्मक दिशा वाला एक अक्ष, एक संदर्भ बिंदु और लंबाई की एक इकाई को एक समन्वय अक्ष कहा जाता है)।

परिभाषा. एक सामान्य उत्पत्ति और लंबाई की एक सामान्य इकाई के साथ तीन परस्पर लंबवत निर्देशांक अक्षों की एक आदेशित प्रणाली को अंतरिक्ष में एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली कहा जाता है।

एक्सिस बैल एक्स-अक्ष कहा जाता है, ओए- वाई-अक्ष और ओ जेड – पिपली अक्ष।

आइए आधार के संदर्भ में एक मनमाना वेक्टर के विस्तार से निपटें। यह प्रमेय से अनुसरण करता है (देखें §2.2, आइटम 3 0 , (2.13)) कि इसे आधार के संदर्भ में विशिष्ट रूप से विस्तारित किया जा सकता है (यहां, अंकन के बजाय, समन्वय का उपयोग किया जाता है):

(2.21) में सदिश के (कार्तीय आयताकार) निर्देशांक हैं। कार्टेशियन निर्देशांक का अर्थ निम्नलिखित प्रमेय द्वारा स्थापित किया गया है।

प्रमेय. वेक्टर के कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक क्रमशः अक्षों पर इस वेक्टर के अनुमान हैं बैल,ओएऔर ओ जेड.

सबूत।हम वेक्टर को समन्वय प्रणाली - बिंदु के मूल में रखते हैं हे. फिर इसका अंत किसी बिंदु से मेल खाएगा।

निर्देशांक तलों के समानांतर एक बिंदु से तीन तल खींचिए ओयज़,ऑक्स्ज़और ऑक्सी(चित्र 2.11 xx)। हम तब प्राप्त करते हैं:

(2.22) में सदिशों को अक्षों के साथ सदिश के घटक कहा जाता है बैल,ओएऔर ओ जेड.

यूनिट वैक्टर के साथ वेक्टर द्वारा गठित कोणों को क्रमशः चलो और निरूपित करें। फिर घटकों के लिए हम निम्नलिखित सूत्र प्राप्त करते हैं:

= =, = =, = =(2.23)

(2.21), (2.22) (2.23) से हम पाते हैं:

- वेक्टर निर्देशांक समन्वय अक्षों पर इस वेक्टर के अनुमान हैं बैल,ओएऔर ओ जेडक्रमश।

टिप्पणी. संख्याओं को सदिश की दिक् कोसाइन कहा जाता है।

वेक्टर का मॉड्यूल (एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण) सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

सूत्रों (2.23) और (2.24) से यह पता चलता है कि सूत्रों का उपयोग करके दिशा कोसाइन की गणना की जा सकती है:

(2.25) में प्रत्येक समानता के दोनों भागों को उठाते हुए और परिणामी समानता के बाएँ और दाएँ भागों को जोड़कर, हम सूत्र पर पहुँचते हैं:

- अंतरिक्ष में कोई भी तीन कोण एक निश्चित दिशा नहीं बनाते हैं, लेकिन केवल वे जिनके कोसाइन संबंध (2.26) से संबंधित हैं।

7 0 . त्रिज्या वेक्टर और बिंदु निर्देशांक.एक वेक्टर को उसके आरंभ और अंत से निर्धारित करना. आइए एक परिभाषा पेश करते हैं।

परिभाषा. त्रिज्या-वेक्टर (निरूपित) निर्देशांक की उत्पत्ति को जोड़ने वाला वेक्टर है हेइस बिंदु के साथ (चित्र 2.12 xx):

अंतरिक्ष में कोई भी बिंदु एक निश्चित त्रिज्या वेक्टर (और इसके विपरीत) से मेल खाता है। इस प्रकार, अंतरिक्ष में बिंदुओं को उनके त्रिज्या वैक्टर द्वारा वेक्टर बीजगणित में दर्शाया गया है।

जाहिर है, बिंदु के निर्देशांक एमसमन्वय अक्षों पर इसके त्रिज्या वेक्टर के अनुमान हैं:

और इस तरह,

- एक बिंदु का त्रिज्या वेक्टर एक वेक्टर है जिसका निर्देशांक अक्षों पर अनुमान इस बिंदु के निर्देशांक के बराबर हैं। इससे दो प्रविष्टियाँ निकलती हैं: i.

हम एक वेक्टर के अनुमानों की गणना के लिए उसके आरंभ - बिंदु और अंत - बिंदु के निर्देशांक द्वारा सूत्र प्राप्त करेंगे।

आइए त्रिज्या वैक्टर और वेक्टर (चित्र। 2.13) बनाएं। हमें वह मिल गया

- समन्वय वैक्टर पर वेक्टर के अनुमान अंत के संबंधित निर्देशांक और वेक्टर की शुरुआत के अंतर के बराबर हैं।

8 0 . कार्तीय निर्देशांक पर कुछ समस्याएं.

1) वेक्टर संरेखता की स्थिति . प्रमेय से (देखें §2.1, मद 2 0 , सूत्र (2.7)) यह इस प्रकार है कि सदिशों के संरेख होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि संबंध: = धारण करता है। इस सदिश समानता से हमें निर्देशांक रूप में तीन समानताएँ प्राप्त होती हैं: जिससे निर्देशांक रूप में सदिशों की संरेखता की स्थिति का अनुसरण होता है:

- सदिशों के समरेख होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके संबंधित निर्देशांक आनुपातिक हों।

2) बिंदुओं के बीच की दूरी . प्रतिनिधित्व (2.29) से यह निम्नानुसार है कि बिंदुओं के बीच की दूरी तथा सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3) इस संबंध में खंड विभाजन . अंक और अनुपात दिए जाने दें। बिंदु के निर्देशांक खोजने की जरूरत है एम (अंजीर। 2.14)।

हमारे पास संरेख सदिशों की स्थिति से है: , कहा से और

(2.32) से हम निर्देशांक रूप में प्राप्त करते हैं:

सूत्रों से (2.32 ') खंड के मध्य के निर्देशांक की गणना के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, यह मानते हुए:

टिप्पणी. हम खंडों और सकारात्मक या नकारात्मक पर विचार करेंगे, यह इस बात पर निर्भर करता है कि उनकी दिशा खंड की शुरुआत से अंत तक दिशा के साथ मेल खाती है, या मेल नहीं खाता। फिर, सूत्रों (2.32) - (2.32 ”) का उपयोग करके, आप खंड को बाहरी रूप से विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक पा सकते हैं, अर्थात, विभाजन बिंदु एमखंड की निरंतरता पर है, और इसके अंदर नहीं। साथ ही, बिल्कुल।

4) गोलाकार सतह समीकरण . आइए हम एक गोलाकार सतह के समीकरण की रचना करें - कुछ निश्चित केंद्र से दूरी पर समतुल्य बिंदुओं का स्थान - एक बिंदु। जाहिर है, इस मामले में, और सूत्र (2.31) को ध्यान में रखते हुए

समीकरण (2.33) वांछित गोलाकार सतह का समीकरण है।

रैखिक निर्भरता

C1u1+C2u2+... +Cnun?0 के रूप का एक संबंध, जहाँ C1, C2,..., Cn संख्याएँ हैं, जिनमें से कम से कम एक है? उदाहरण के लिए 0, और u1, u2,..., un कुछ गणितीय वस्तुएँ हैं। वैक्टर या कार्य।

रैखिक निर्भरता

(गणित।), रूप का संबंध

C11u1 + C2u2 + ... + Cnun = 0, (*)

जहाँ С1, C2, ..., Cn ≈ संख्याएँ, जिनमें से कम से कम एक शून्य से भिन्न है, और u1, u2, ..., un ≈ एक या अन्य गणित। ऐसी वस्तुएँ जिनके लिए किसी संख्या के योग और गुणन की संक्रियाएँ परिभाषित होती हैं। सम्बन्ध (*) में, वस्तुएँ u1, u2, ..., un प्रथम घात में शामिल हैं, अर्थात् रैखिक रूप से; इसलिए, इस संबंध द्वारा वर्णित उनके बीच की निर्भरता को रैखिक कहा जाता है। सूत्र में समान चिह्न (*) के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं और प्रत्येक विशिष्ट मामले में समझाया जाना चाहिए। एल एच की अवधारणा। गणित की कई शाखाओं में प्रयोग किया जाता है। तो, हम L. z के बारे में बात कर सकते हैं। सदिशों के बीच, एक या अधिक चरों के कार्यों के बीच, एक रेखीय स्थान के तत्वों के बीच, और इसी तरह। अन्यथा उन्हें रैखिकतः स्वतंत्र कहा जाता है। यदि वस्तुएं u1, u2, ..., un रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो उनमें से कम से कम एक अन्य का एक रैखिक संयोजन है, अर्थात

u1 = a 1u1 + ... + a i-1ui-1 + a i+1ui+1 + ... + a नन।

एक चर के सतत कार्य

u1 = j 1(x), u2 = j 2(x), ..., un = j n(x) को रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है यदि उनके बीच (*) रूप का संबंध है, जिसमें बराबर चिह्न है x के संबंध में एक सर्वसमिका के रूप में समझा जाता है। फ़ंक्शन j 1(x), j 2(x), ..., j n(x) के लिए, कुछ खंड a £ x £ b पर परिभाषित, रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनका ग्राम निर्धारक गायब हो जाती

मैं, कश्मीर = 1,2, ..., एन।

यदि फलन j1 (x), j2(x), ..., jn(x) एक रेखीय अवकल समीकरण के हल हैं, तो एक रेखीय अवकल समीकरण के अस्तित्व के लिए उनके बीच यह आवश्यक और पर्याप्त है कि Wronskian कम से कम एक बिंदु पर गायब हो जाता है।

══ एम चर में रैखिक रूप

u1=ai1x1+ai2x2+...+aixm

(मैं = 1, 2, ..., एन)

रैखिक रूप से आश्रित कहलाते हैं यदि फॉर्म (*) का कोई संबंध है, जिसमें समान चिह्न को सभी चर x1, x2, ..., xm के संबंध में एक पहचान के रूप में समझा जाता है। n रैखिक रूपों के लिए n चरों पर रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि निर्धारक गायब हो जाता है

कार्य 1।पता करें कि क्या वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वैक्टर की प्रणाली को सिस्टम के मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया जाएगा, जिसके कॉलम में वैक्टर के निर्देशांक होते हैं।

समाधान।बता दें कि रैखिक संयोजन शून्य के बराबर है। इस समानता को निर्देशांक में लिखने के बाद, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

समीकरणों की ऐसी प्रणाली को त्रिकोणीय कहा जाता है। इसका एक ही उपाय है। इसलिए, वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

कार्य 2।पता करें कि क्या वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

समाधान।वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (समस्या 1 देखें)। आइए साबित करें कि वेक्टर वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन है। सदिशों में विस्तार गुणांक समीकरणों की प्रणाली से निर्धारित होते हैं

त्रिकोणीय प्रणाली की तरह इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है।

इसलिए, वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

टिप्पणी. मैट्रिसेस जैसे समस्या 1 में कहलाते हैं त्रिकोणीय , और समस्या 2 में - त्रिकोणीय कदम रखा . वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता का प्रश्न आसानी से हल हो जाता है यदि इन वैक्टरों के निर्देशांक से बना मैट्रिक्स चरणबद्ध त्रिकोणीय है। यदि मैट्रिक्स का कोई विशेष रूप नहीं है, तो उपयोग करना प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तन , स्तंभों के बीच रैखिक संबंधों को संरक्षित करते हुए, इसे चरणबद्ध त्रिकोणीय रूप में घटाया जा सकता है।

प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तनमैट्रिसेस (ईपीएस) को मैट्रिक्स पर निम्नलिखित ऑपरेशन कहा जाता है:

1) रेखाओं का क्रमपरिवर्तन;

2) एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;

3) स्ट्रिंग में एक और स्ट्रिंग जोड़ना, एक मनमाना संख्या से गुणा करना।

कार्य 3।अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टम खोजें और वैक्टर की प्रणाली के रैंक की गणना करें

समाधान।आइए हम EPS की मदद से सिस्टम के मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध-त्रिकोणीय रूप में कम करें। प्रक्रिया की व्याख्या करने के लिए, रूपांतरित होने वाली मैट्रिक्स की संख्या वाली रेखा को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाएगा। तीर के बाद का कॉलम नए मैट्रिक्स की पंक्तियों को प्राप्त करने के लिए परिवर्तित मैट्रिक्स की पंक्तियों पर की जाने वाली क्रियाओं को दिखाता है।

जाहिर है, परिणामी मैट्रिक्स के पहले दो कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तीसरा कॉलम उनका रैखिक संयोजन है, और चौथा पहले दो पर निर्भर नहीं करता है। वैक्टर को मूल कहा जाता है। वे सिस्टम का अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टम बनाते हैं, और सिस्टम की रैंक तीन है।

आधार, निर्देशांक

कार्य 4।इस आधार पर ज्यामितीय सदिशों के समुच्चय के आधार पर सदिशों के आधार और निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिनके निर्देशांक शर्त को पूरा करते हैं।

समाधान. समुच्चय मूल बिंदु से गुजरने वाला समतल है। समतल पर एक मनमाने आधार में दो असंरेखीय सदिश होते हैं। चयनित आधार में वैक्टर के निर्देशांक रैखिक समीकरणों की संगत प्रणाली को हल करके निर्धारित किए जाते हैं।

इस समस्या को हल करने का एक और तरीका है, जब आप निर्देशांक द्वारा आधार ढूंढ सकते हैं।

अंतरिक्ष निर्देशांक विमान पर निर्देशांक नहीं हैं, क्योंकि वे संबंध से संबंधित हैं, अर्थात वे स्वतंत्र नहीं हैं। स्वतंत्र चर और (उन्हें मुक्त कहा जाता है) विशिष्ट रूप से विमान पर वेक्टर निर्धारित करते हैं और इसलिए, उन्हें निर्देशांक के रूप में चुना जा सकता है। फिर आधार में नि: शुल्क चर के सेट और इसी तरह के वैक्टर शामिल होते हैं, अर्थात।

कार्य 5।इस आधार पर अंतरिक्ष में उन सभी सदिशों के समुच्चय के आधार पर सदिशों के आधार और निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिनके विषम निर्देशांक एक दूसरे के बराबर हैं।

समाधान. पिछली समस्या की तरह हम अंतरिक्ष में निर्देशांक चुनते हैं।

चूंकि, मुक्त चर विशिष्ट रूप से सदिश को निर्धारित करते हैं और इसलिए, निर्देशांक हैं। इसी आधार में वैक्टर होते हैं।

टास्क 6।फॉर्म के सभी मेट्रिसेस के सेट पर इस आधार पर वैक्टर के आधार और निर्देशांक खोजें, जहां मनमानी संख्याएं हैं।

समाधान. प्रत्येक मैट्रिक्स को विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है:

यह संबंध निर्देशांक के साथ आधार के संदर्भ में सदिश का विस्तार है।

टास्क 7।सदिशों के निकाय के रैखिक फैलाव का आयाम और आधार ज्ञात कीजिए

समाधान।ईपीएस का उपयोग करते हुए, हम मैट्रिक्स को सिस्टम वैक्टर के निर्देशांक से एक चरणबद्ध-त्रिकोणीय रूप में बदलते हैं।

अंतिम मैट्रिक्स के कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और कॉलम उनके माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं। इसलिए, वैक्टर एक आधार बनाते हैं, और।

टिप्पणी. में आधार अस्पष्ट रूप से चुना गया है। उदाहरण के लिए, सदिश भी एक आधार बनाते हैं।

काम। अग्रणी टुकड़ी शहर से एक अभियान पर रवाना हुई। अब वह अंदर है

शहर से 5 किमी और 3 किमी प्रति घंटे की रफ्तार से जाती है। वह x घंटे में शहर से कितनी दूर होगा?

समाधान। X घंटे में, टुकड़ी किलोमीटर की दूरी तय करेगी, और पहले भी 5 किमी की यात्रा की थी। तो x घंटे बाद शहर से दूरी किलोमीटर के बराबर हो जाएगी। इस दूरी को y से अस्वीकृत करने पर, हमें प्राप्त होगा;

यह समानता समय पर पथ की निर्भरता को व्यक्त करती है, लेकिन यह अब सीधे आनुपातिक निर्भरता नहीं होगी, जैसा कि निम्न तालिका से देखना आसान है

यहां पथ से समय का अनुपात समान संख्या के बराबर नहीं है।

परिभाषा। दो राशियों x और y के बीच का संबंध, सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है जहाँ k और संख्याएँ हैं, एक रैखिक संबंध कहलाता है।

विशेष रूप से, यदि तब

इसलिए, सीधे आनुपातिक निर्भरता एक रैखिक निर्भरता का एक विशेष मामला है।

2. रैखिक निर्भरता का ग्राफ।

आइए किसी दिए गए रैखिक संबंध का ग्राफ बनाएं; चलो डालते हैं, उदाहरण के लिए,

आइए निम्नानुसार आगे बढ़ें। आइए पहले एक निर्भरता ग्राफ बनाएं।

यह मूल बिंदु (चित्र 26) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी।

आइए देखें कि वे रैखिक निर्भरता ग्राफ के इस सीधे बिंदु के सापेक्ष कैसे स्थित होंगे:

उदाहरण के लिए, आइए x और y मानों की तालिका बनाएँ:

हम देखते हैं कि किसी भी भुज के लिए, दूसरे ग्राफ के बिंदु की कोटि पहले ग्राफ के बिंदु की कोटि से 3 इकाई अधिक है। इसका अर्थ है कि दूसरे ग्राफ का संगत बिंदु पहले ग्राफ के बिंदु से 3 इकाई अधिक होगा।

इन बिंदुओं का निर्माण करने के बाद, हम पहली सीधी रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा प्राप्त करते हैं (चित्र 26)।

रेखीय ग्राफ एक सीधी रेखा है।

यह इस प्रकार है कि एक रैखिक निर्भरता ग्राफ बनाने के लिए, इसके दो बिंदुओं को खोजने के लिए पर्याप्त है।

आइए इसे एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं।

लगाने पर हमें प्राप्त होता है। तो, हमें एक बिंदु मिला। अधिक डालने पर हमें दूसरा बिंदु मिलता है (2; 7)। इन बिंदुओं का निर्माण करके और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचकर, हम वांछित ग्राफ प्राप्त करते हैं, अर्थात सूत्र द्वारा व्यक्त रैखिक निर्भरता का ग्राफ

आमतौर पर, एक रैखिक निर्भरता ग्राफ बनाने के लिए, दो बिंदुओं को लिया जाता है, जिस पर सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों को काटती है। इसलिए, मान लें कि हम प्राप्त करते हैं मान लें कि हम बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचकर हमें वांछित ग्राफ (चित्र 27) प्राप्त करते हैं।