फ़ंक्शन रेंज (फ़ंक्शन मानों का सेट)। आवश्यक अवधारणाएं और खोजने के उदाहरण

समारोह मॉडल है। आइए एक्स को एक स्वतंत्र चर के मूल्यों के एक सेट के रूप में परिभाषित करें // स्वतंत्र का अर्थ कोई भी है।

एक फ़ंक्शन एक नियम है जिसके द्वारा, सेट एक्स से स्वतंत्र चर के प्रत्येक मान के लिए, आश्रित चर का एकमात्र मान ज्ञात किया जा सकता है। // अर्थात। प्रत्येक एक्स के लिए एक वाई है।

परिभाषा से यह पता चलता है कि दो अवधारणाएँ हैं - एक स्वतंत्र चर (जिसे हम x द्वारा निरूपित करते हैं और यह कोई भी मान ले सकता है) और एक आश्रित चर (जिसे हम y या f (x) द्वारा निरूपित करते हैं और इसकी गणना फ़ंक्शन से की जाती है जब हम एक्स को प्रतिस्थापित करते हैं)।

उदाहरण के लिए y=5+x

1. स्वतंत्र x है, इसलिए हम कोई मान लेते हैं, मान लीजिए x = 3 है

2. और अब हम y की गणना करते हैं, इसलिए y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8। (y x पर निर्भर है, क्योंकि हम किस x को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें ऐसा y मिलता है)

हम कहते हैं कि चर y कार्यात्मक रूप से चर x पर निर्भर है और इसे इस प्रकार दर्शाया गया है: y = f (x)।

उदाहरण के लिए।

1.y=1/x. (हाइपरबोले कहा जाता है)

2. वाई = एक्स ^ 2। (परबोला कहा जाता है)

3.y=3x+7. (सीधी रेखा कहलाती है)

4. वाई \u003d √ एक्स। (परबोला की शाखा कहा जाता है)

स्वतंत्र चर (जिसे हम x द्वारा निरूपित करते हैं) को फ़ंक्शन का तर्क कहा जाता है।

समारोह का दायरा

फ़ंक्शन तर्क द्वारा लिए गए सभी मानों के सेट को फ़ंक्शन का डोमेन कहा जाता है और इसे D(f) या D(y) द्वारा निरूपित किया जाता है।

1.,2.,3.,4 के लिए D(y) पर विचार करें।

1. डी (वाई) = (∞; 0) और (0;+∞) // शून्य को छोड़कर वास्तविक संख्याओं का पूरा सेट।

2. डी (वाई) \u003d (∞; +∞) // सभी कई वास्तविक संख्याएं

3. डी (वाई) \u003d (∞; +∞) // सभी कई वास्तविक संख्याएं

4. डी (वाई) \u003d। यह मानों x के सेट के चौराहे को खोजने के लिए बनी हुई है जैसे कि x∈D(f 2) और f 2 (x)∈D(f 1) :

आर्क्सिनx>0 के लिए, आइए आर्क्साइन फ़ंक्शन के गुणों को याद करें। परिभाषा [−1, 1] के पूरे क्षेत्र में चापज्या बढ़ता है और x=0 पर गायब हो जाता है, इसलिए, अंतराल (0, 1] से किसी भी x के लिए arcsinx>0।

आइए सिस्टम पर वापस जाएं:

इस प्रकार, फ़ंक्शन की परिभाषा का वांछित डोमेन आधा अंतराल (0, 1] है।

उत्तर:

(0, 1] .

अब आइए जटिल सामान्य कार्यों y=f 1 (f 2 (…f n (x))) पर चलते हैं। इस स्थिति में फलन f का प्रांत इस प्रकार पाया जाता है .

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का दायरा खोजें .

समाधान।

दिए गए जटिल फ़ंक्शन को y \u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ f 1 - पाप, f 2 - चौथी डिग्री की जड़ का कार्य, f 3 - lg।

हम जानते हैं कि D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)= ∪ ∪

फ़ंक्शन सेट करने के मौखिक तरीके में, आपको स्थिति को सावधानीपूर्वक पढ़ने और वहां x पर प्रतिबंध खोजने की आवश्यकता है। कभी-कभी आँखें सूत्रों की तलाश में होती हैं, और शब्द अतीत की चेतना को सीटी देते हैं, हाँ ...) पिछले पाठ से उदाहरण:

फ़ंक्शन शर्त द्वारा दिया गया है: प्राकृतिक तर्क x का प्रत्येक मान उन अंकों के योग से जुड़ा है जो x का मान बनाते हैं।

यहाँ यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह है केवलएक्स के प्राकृतिक मूल्यों के बारे में। फिर और डी (च)तुरंत रिकॉर्ड किया गया:

डी (एफ): एक्स ∈ एन

जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी फ़ंक्शन का दायरा इतनी जटिल अवधारणा नहीं है। इस क्षेत्र का पता लगाना कार्य की जांच करने, असमानताओं की एक प्रणाली लिखने और इस प्रणाली को हल करने के लिए कम हो गया है। बेशक, सभी प्रकार की प्रणालियाँ हैं, सरल और जटिल। लेकिन...

मैं आपको थोड़ा रहस्य बताता हूँ। कभी-कभी एक कार्य जिसके लिए आपको गुंजाइश खोजने की आवश्यकता होती है, वह सिर्फ डराने वाला लगता है। मैं पीला पड़ना और रोना चाहता हूं।) लेकिन यह असमानताओं की एक प्रणाली को लिखने के लायक है ... और, अचानक, प्रणाली प्राथमिक हो जाती है! और, अक्सर, फ़ंक्शन जितना खराब होता है, सिस्टम उतना ही सरल होता है...

नैतिक: आँखें डरती हैं, सिर तय करता है!)

अनुदेश

याद रखें कि एक फ़ंक्शन चर X पर चर Y की ऐसी निर्भरता है, जिसमें चर X का प्रत्येक मान चर Y के एकल मान से मेल खाता है।

चर X स्वतंत्र चर या तर्क है। चर Y आश्रित चर है। यह भी माना जाता है कि चर Y, चर X का एक फलन है। फलन के मान आश्रित चर के मानों के बराबर होते हैं।

स्पष्टता के लिए, भाव लिखें। यदि चर X पर चर Y की निर्भरता एक फलन है, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है: y=f(x). (पढ़ें: y x ​​के बराबर है।) प्रतीक f(x) x के बराबर, तर्क के मान के अनुरूप फ़ंक्शन के मान को दर्शाता है।

फंक्शन स्टडी चालू समानताया अजीब- किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए सामान्य एल्गोरिदम के चरणों में से एक, जो किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्लॉट करने और उसके गुणों का अध्ययन करने के लिए आवश्यक है। इस चरण में, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या फ़ंक्शन सम या विषम है। यदि किसी फलन को सम या विषम नहीं कहा जा सकता है, तो उसे सामान्य फलन कहा जाता है।

अनुदेश

x तर्क को तर्क (-x) से प्रतिस्थापित करें और देखें कि अंत में क्या होता है। मूल फलन y(x) से तुलना करें। यदि y(-x)=y(x), तो हमारे पास एक सम फलन है। अगर y(-x)=-y(x), हमारे पास एक विषम कार्य है। यदि y(-x) y(x) के बराबर नहीं है और -y(x) के बराबर नहीं है, तो हमारे पास एक सामान्य कार्य है।

फ़ंक्शन के साथ सभी ऑपरेशन केवल उस सेट में किए जा सकते हैं जहां इसे परिभाषित किया गया है। इसलिए, किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करते समय और उसके ग्राफ़ का निर्माण करते समय, परिभाषा के डोमेन को खोजने के द्वारा पहली भूमिका निभाई जाती है।

अनुदेश

यदि फलन y=g(x)/f(x) है, तो f(x)≠0 को हल करें क्योंकि भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0। अर्थात्, परिभाषा का क्षेत्र समुच्चय (-∞; 4)∪(4; +∞) होगा।

जब फ़ंक्शन की परिभाषा में एक सम रूट मौजूद हो, तो एक असमानता को हल करें जहां मान शून्य से अधिक या उसके बराबर हो। एक सम मूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से लिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, y=√(x−2), x−2≥0। फिर डोमेन समुच्चय है, अर्थात, यदि y=arcsin(f(x)) या y=arccos(f(x)) है, तो आपको दोहरी असमानता -1≤f(x)≤1 को हल करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1। परिभाषा का क्षेत्र खंड होगा [-3; -1]।

अंत में, यदि विभिन्न कार्यों का संयोजन दिया गया है, तो परिभाषा का क्षेत्र इन सभी कार्यों की परिभाषा के डोमेन का प्रतिच्छेदन है। उदाहरण के लिए, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6)। सबसे पहले, सभी शब्दों का डोमेन खोजें। Sin(2*x) को पूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है। फ़ंक्शन x/√(x+2) के लिए असमानता को हल करें x+2>0 और डोमेन (-2; +∞) होगा। फ़ंक्शन आर्क्सिन (x−6) का डोमेन दोहरी असमानता -1≤x-6≤1 द्वारा दिया गया है, अर्थात, खंड प्राप्त किया गया है। लघुगणक के लिए, असमानता x−6>0 मान्य है, और यह अंतराल (6; +∞) है। इस प्रकार, फ़ंक्शन का डोमेन सेट होगा (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), यानी (6; 7]।

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स्रोत:

• एक लघुगणक के साथ एक फ़ंक्शन का डोमेन

फलन एक अवधारणा है जो समुच्चय के तत्वों के बीच संबंध को दर्शाता है, या दूसरे शब्दों में, यह एक "नियम" है जिसके अनुसार एक समुच्चय का प्रत्येक तत्व (जिसे परिभाषा का क्षेत्र कहा जाता है) दूसरे समुच्चय के कुछ तत्व से जुड़ा होता है (जिसे परिभाषा का क्षेत्र कहा जाता है) मूल्यों का क्षेत्र)।

कई कार्य हमें एक निश्चित खंड या संपूर्ण परिभाषा डोमेन पर फ़ंक्शन मानों के एक सेट की खोज करने के लिए प्रेरित करते हैं। इस तरह के कार्यों में भावों का विभिन्न मूल्यांकन, असमानताओं का समाधान शामिल है।

इस लेख में, हम एक फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करेंगे, इसे खोजने के तरीकों पर विचार करेंगे और सरल से अधिक जटिल उदाहरणों के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करेंगे। स्पष्टता के लिए सभी सामग्री ग्राफिक चित्रों के साथ प्रदान की जाएगी। तो यह लेख इस सवाल का एक विस्तृत उत्तर है कि फ़ंक्शन की सीमा कैसे प्राप्त करें।

परिभाषा।

फंक्शन y = f(x) के अंतराल X पर मानों का समुच्चयफ़ंक्शन के सभी मानों का सेट कहा जाता है जो सभी पर पुनरावृति करते समय लगता है।

परिभाषा।

फलन y = f(x) का परिसरपरिभाषा के डोमेन से सभी एक्स पर पुनरावृति करते समय लगने वाले फ़ंक्शन के सभी मानों का सेट कहा जाता है।

फ़ंक्शन की सीमा को E(f) के रूप में दर्शाया गया है।

किसी फ़ंक्शन की श्रेणी और किसी फ़ंक्शन के मानों का सेट एक ही चीज़ नहीं है। इन अवधारणाओं को समतुल्य माना जाएगा यदि फ़ंक्शन y = f(x) के मानों का सेट खोजने पर अंतराल X फ़ंक्शन के डोमेन के साथ मेल खाता है।

साथ ही, समीकरण y=f(x) के दाईं ओर अभिव्यक्ति के लिए चर x के साथ फ़ंक्शन की श्रेणी को भ्रमित न करें। अभिव्यक्ति f(x) के लिए चर x के अनुमत मानों का क्षेत्र फ़ंक्शन y=f(x) की परिभाषा का क्षेत्र है।

चित्र कुछ उदाहरण दिखाता है।

फ़ंक्शन ग्राफ़ को बोल्ड नीली रेखाओं के साथ दिखाया गया है, पतली लाल रेखाएँ स्पर्शोन्मुख हैं, लाल बिंदु और ओए अक्ष पर रेखाएँ संबंधित फ़ंक्शन की सीमा दिखाती हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, फ़ंक्शन के ग्राफ़ को y-अक्ष पर प्रक्षेपित करके फ़ंक्शन की श्रेणी प्राप्त की जाती है। यह एक एकल संख्या (पहला मामला), संख्याओं का एक समूह (दूसरा मामला), एक खंड (तीसरा मामला), एक अंतराल (चौथा मामला), एक खुली किरण (पांचवां मामला), एक संघ (छठा मामला), आदि हो सकता है। .

तो फ़ंक्शन की सीमा खोजने के लिए आपको क्या करने की ज़रूरत है।

आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें: हम दिखाएंगे कि अंतराल पर निरंतर फ़ंक्शन y = f(x) के मानों का सेट कैसे निर्धारित किया जाए।

यह ज्ञात है कि किसी खंड पर निरंतर कार्य उस पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुँचता है। इस प्रकार, खंड पर मूल कार्य के मूल्यों का समूह खंड होगा . इसलिए, अंतराल पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए हमारा कार्य कम हो गया है।

उदाहरण के लिए, आइए आर्क्साइन फ़ंक्शन की श्रेणी ज्ञात करें।

उदाहरण।

फलन y = arcsinx की सीमा निर्दिष्ट करें।

समाधान।

चापसाइन की परिभाषा का क्षेत्र खंड [-1; 1] . इस खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

अवकलज अंतराल (-1; 1) से सभी x के लिए धनात्मक है, अर्थात, परिभाषा के संपूर्ण डोमेन पर चापसाइन फलन बढ़ता है। इसलिए, यह x = -1 पर सबसे छोटा मान लेता है, और x = 1 पर सबसे बड़ा।

हमें आर्क्साइन फंक्शन की रेंज मिली .

उदाहरण।

फ़ंक्शन मानों का सेट खोजें खंड पर।

समाधान।

दिए गए खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

आइए खंड से संबंधित चरम बिंदुओं को परिभाषित करें:

हम खंड के सिरों और बिंदुओं पर मूल फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं :

इसलिए, सेगमेंट पर फ़ंक्शन के मानों का सेट सेगमेंट है .

अब हम दिखाएंगे कि अंतराल (ए; बी) में निरंतर फ़ंक्शन y = f(x) के मानों का सेट कैसे ढूंढें।

सबसे पहले, हम चरम बिंदु निर्धारित करते हैं, फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा, दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल। अगला, हम अंतराल के अंत में और (या) अनंत पर सीमा की गणना करते हैं (अर्थात, हम अंतराल की सीमा पर या अनंत पर फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करते हैं)। यह जानकारी ऐसे अंतरालों पर फ़ंक्शन मानों के सेट को खोजने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण।

अंतराल पर फ़ंक्शन मानों का सेट निर्धारित करें (-2; 2) ।

समाधान।

आइए अंतराल (-2; 2) पर पड़ने वाले फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें:

डॉट x = 0 अधिकतम बिंदु है, क्योंकि डेरिवेटिव इसके माध्यम से गुजरने पर प्लस से माइनस में बदल जाता है, और फ़ंक्शन का ग्राफ बढ़ते से घटते चला जाता है।

फलन का संगत अधिकतम है।

आइए फ़ंक्शन के व्यवहार का पता लगाएं जब x दाईं ओर -2 की ओर झुकता है और जब x बाईं ओर 2 की ओर झुकता है, यानी हम एक तरफा सीमाएं पाते हैं:

हमें क्या मिला: जब तर्क -2 से शून्य में बदल जाता है, तो फ़ंक्शन मान माइनस इनफिनिटी से माइनस एक चौथाई तक बढ़ जाता है (x = 0 पर फ़ंक्शन का अधिकतम), जब तर्क शून्य से 2 में बदल जाता है, तो फ़ंक्शन मान शून्य से अनंत तक घट जाते हैं। इस प्रकार, अंतराल (-2; 2) पर फ़ंक्शन मानों का सेट है।

उदाहरण।

अंतराल पर स्पर्शरेखा फ़ंक्शन y = tgx के मानों का सेट निर्दिष्ट करें।

समाधान।

अंतराल पर स्पर्शरेखा समारोह का व्युत्पन्न सकारात्मक है , जो कार्य में वृद्धि का संकेत देता है। हम अंतराल की सीमाओं पर फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करते हैं:

इस प्रकार, जब तर्क से बदल जाता है, तो फ़ंक्शन के मान माइनस इनफिनिटी से प्लस इनफिनिटी तक बढ़ जाते हैं, अर्थात इस अंतराल में स्पर्शरेखा मानों का सेट सभी वास्तविक संख्याओं का सेट होता है।

उदाहरण।

प्राकृतिक लघुगणक फलन y = lnx का परिसर ज्ञात कीजिए।

समाधान।

तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए प्राकृतिक लघुगणक समारोह परिभाषित किया गया है . इस अंतराल पर व्युत्पन्न सकारात्मक है , यह उस पर फ़ंक्शन में वृद्धि का संकेत देता है। आइए फ़ंक्शन की एक तरफा सीमा का पता लगाएं क्योंकि तर्क दाईं ओर से शून्य की ओर जाता है, और x की सीमा अनंत तक जाती है:

हम देखते हैं कि जब x शून्य से प्लस इन्फिनिटी में बदलता है, तो फ़ंक्शन के मान माइनस इनफिनिटी से प्लस इनफिनिटी तक बढ़ जाते हैं। इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन की सीमा वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है।

उदाहरण।

समाधान।

यह फ़ंक्शन सभी वास्तविक x मानों के लिए परिभाषित किया गया है। आइए चरम बिंदु निर्धारित करें, साथ ही फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल भी।

इसलिए, फलन पर घटता है, पर बढ़ता है, x = 0 अधिकतम बिंदु है, समारोह के संगत अधिकतम।

आइए अनंत पर फ़ंक्शन के व्यवहार को देखें:

इस प्रकार, अनंत पर, फ़ंक्शन के मान स्पर्शोन्मुख रूप से शून्य तक पहुंचते हैं।

हमें पता चला कि जब तर्क माइनस इन्फिनिटी से शून्य (अधिकतम बिंदु) में बदलता है, तो फ़ंक्शन के मान शून्य से नौ (फ़ंक्शन के अधिकतम तक) बढ़ जाते हैं, और जब x शून्य से प्लस अनंत तक बदलता है, फ़ंक्शन के मान नौ से घटकर शून्य हो जाते हैं।

योजनाबद्ध ड्राइंग को देखें।

अब यह स्पष्ट रूप से देखा जाता है कि फ़ंक्शन की सीमा है।

फलन y = f(x) के मानों के समुच्चय को अंतरालों पर ज्ञात करने के लिए समान अध्ययन की आवश्यकता होती है। अब हम इन मामलों पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे। हम उन्हें नीचे दिए गए उदाहरणों में देखेंगे।

मान लीजिए फलन y = f(x) का प्रांत कई अंतरालों का संघ है। इस तरह के एक फ़ंक्शन की सीमा का पता लगाने पर, प्रत्येक अंतराल पर मूल्यों के सेट निर्धारित किए जाते हैं और उनका संघ लिया जाता है।

उदाहरण।

समारोह की सीमा खोजें।

समाधान।

हमारे कार्य का भाजक शून्य पर नहीं जाना चाहिए, अर्थात।

सबसे पहले, खुली किरण पर फ़ंक्शन के मानों का सेट ढूंढें।

समारोह व्युत्पन्न इस अंतराल पर ऋणात्मक होता है, अर्थात इस पर फलन घटता है।

हमने पाया कि जैसे-जैसे तर्क माइनस इनफिनिटी की ओर जाता है, फ़ंक्शन के मान असमान रूप से एकता के करीब पहुंच जाते हैं। जब एक्स माइनस इनफिनिटी से दो में बदलता है, तो फ़ंक्शन के मान एक से माइनस इनफिनिटी तक घट जाते हैं, अर्थात, माना अंतराल पर, फ़ंक्शन मानों का एक सेट लेता है। हम एकता को शामिल नहीं करते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन के मान उस तक नहीं पहुंचते हैं, लेकिन केवल स्पर्शोन्मुख रूप से इसे शून्य से अनंत तक ले जाते हैं।

हम खुले बीम के लिए समान रूप से कार्य करते हैं।

इस अंतराल पर कार्य भी घटता है।

इस अंतराल पर फ़ंक्शन मानों का सेट सेट है।

इस प्रकार, फ़ंक्शन मानों की वांछित श्रेणी सेट का संघ है और।

ग्राफिक चित्रण।

अलग-अलग, हमें आवधिक कार्यों पर ध्यान देना चाहिए। इस फ़ंक्शन की अवधि के अनुरूप अंतराल पर मूल्यों के सेट के साथ आवधिक कार्यों की सीमा मेल खाती है।

उदाहरण।

ज्या फलन y = sinx की सीमा ज्ञात कीजिये।

समाधान।

यह कार्य दो पाई की अवधि के साथ आवधिक है। आइए एक खंड लें और उस पर मूल्यों के सेट को परिभाषित करें।

खंड में दो चरम बिंदु और होते हैं।

हम इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं और खंड की सीमाओं पर सबसे छोटे और सबसे बड़े मान चुनते हैं:

इस तरह, .

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें .

समाधान।

हम जानते हैं कि चापकोसाइन की सीमा शून्य से पाई तक का खंड है, अर्थात, या किसी अन्य पोस्ट में। समारोह एक्स-एक्सिस के साथ शिफ्टिंग और स्ट्रेचिंग करके आर्ककोसएक्स से प्राप्त किया जा सकता है। इस तरह के परिवर्तन सीमा को प्रभावित नहीं करते हैं, इसलिए, . समारोह से आता है ओए अक्ष के साथ तीन बार खींच रहा है, यानी . और परिवर्तनों का अंतिम चरण y-अक्ष के साथ चार इकाइयों की ओर एक बदलाव है। यह हमें दोहरी असमानता की ओर ले जाता है

इस प्रकार, मूल्यों की वांछित सीमा है .

आइए एक और उदाहरण का समाधान दें, लेकिन स्पष्टीकरण के बिना (वे आवश्यक नहीं हैं, क्योंकि वे पूरी तरह से समान हैं)।

उदाहरण।

फंक्शन रेंज को परिभाषित करें .

समाधान।

हम मूल कार्य को रूप में लिखते हैं . चरघातांकी फलन की सीमा अंतराल है। वह है, । तब

इस तरह, .

चित्र को पूरा करने के लिए, हमें ऐसे फलन की श्रेणी ज्ञात करने के बारे में बात करनी चाहिए जो परिभाषा के क्षेत्र में सतत नहीं है। इस मामले में, परिभाषा के क्षेत्र को विराम बिंदुओं द्वारा अंतराल में विभाजित किया जाता है, और हम उनमें से प्रत्येक पर मूल्यों के सेट पाते हैं। मूल्यों के प्राप्त सेटों को मिलाकर, हम मूल फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी प्राप्त करते हैं। हम याद रखने की सलाह देते हैं