गहरे समुद्र में पवन तरंगों की ऊर्जा के लिए संतुलन समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम मानते हैं कि लहर द्वि-आयामी है, और तरंग प्रसार की दिशा में लंबवत स्थित खंड ABCD के साथ एक आयतन का चयन करें। हम एक्स अक्ष को तरंग प्रसार (डाउनविंड -) की दिशा में और जेड अक्ष को लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित करते हैं। हम वाई अक्ष को ड्राइंग के विमान (चित्र 13) के लंबवत सेट करते हैं, और अक्ष के साथ की दूरी एक के बराबर है। फिर आवंटित मात्रा संख्यात्मक रूप से क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र एबीसीडी के बराबर होगी , जो त्रि-आयामी समस्या से द्वि-आयामी समस्या तक जाना संभव बनाता है।
आइए हम मान लें कि चयनित आयतन की निचली सीमा ऐसी गहराई पर स्थित है जिस पर कोई लहर नहीं है। सूर्य की दूरी , डीएक्स के बराबर, हम तरंग तत्वों के औसत मूल्यों को बदलने के लिए इसे काफी छोटा मानेंगे। जाहिर है, प्रति यूनिट समय में चयनित आयतन में औसत तरंग ऊर्जा में परिवर्तन होगा , जहां डीएक्स = बीसी और इएक इकाई आधार क्षेत्र और चयनित स्तंभ की ऊंचाई के बराबर ऊंचाई के साथ एक तरल स्तंभ में निहित औसत तरंग ऊर्जा की विशेषता है। ऊर्जा में समान परिवर्तन की गणना दूसरे तरीके से की जा सकती है। बायीं ओर फलक AB से होकर प्रति एकांक समय में ऊर्जा राशि में प्रवेश करती है ई वि साथ, कहाँ वि साथ -- तरंगों के समूह वेग के बराबर ऊर्जा अंतरण दर।
डीसी के मुख से ऊर्जा राशि में जाती है
ई वि साथ +.
फलक AD से प्रति एकांक समय में वायु से ऊर्जा की मात्रा में प्रवाहित होती है एम पी डीएक्स + एमडीएक्स,कहाँ एम पी - सामान्य हवा के दबाव, प्रति इकाई क्षेत्र के कारण हवा द्वारा प्रेषित ऊर्जा की मात्रा; एम - कतरनी तनाव के कारण ही।
अंत में, ऊर्जा और मात्रा का हिस्सा इ डीएक्सअशांत चिपचिपाहट से छितराया हुआ और गर्मी में परिवर्तित, इप्रति इकाई क्षेत्र में छितरी हुई ऊर्जा की मात्रा है।
इस प्रकार, प्रति यूनिट समय आवंटित मात्रा में औसत ऊर्जा में कुल परिवर्तन
इ वि साथ -+एम पी डीएक्स + एमडीएक्स-ई डीएक्स = [- + एम पी + एम - इ ] डीएक्स।
प्रति इकाई समय में ऊर्जा में परिवर्तन के लिए दोनों भावों की बराबरी करना और द्वारा घटाना डीएक्स, हम पवन तरंग ऊर्जा संतुलन समीकरण प्राप्त करते हैं
-+एम पी + एम - इ .
एक स्थिर तरंग 0 के लिए और इसलिए,
= एम पी + एम - इ (19)
ऊर्जा की मात्रा इएक इकाई आधार के साथ एक तरल स्तंभ में पहले व्युत्पन्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
जहाँ a तरंग का आयाम है।
ऊर्जा अंतरण दर, जो समूह वेग के बराबर है, उपरोक्त सूत्र द्वारा छोटी तरंगों के लिए निर्धारित की जाती है, जहाँ साथ -तरंग प्रसार का चरण वेग। समीकरण (19) तरंग के अज्ञात तत्वों - ऊँचाई से संबंधित है एचऔर लंबाई किसी भी समय हवा की गति के साथ टी, इसकी कार्रवाई की अवधि और एक्स अक्ष के साथ तरंग द्वारा तय की गई दूरी और त्वरण लंबाई कहा जाता है।
दरअसल, तरंग ऊर्जा इ,संबंधों के रूप में और E z = दिखाता है, तरंग ऊंचाई से संबंधित है। यह शब्द समय के साथ ऊर्जा में परिवर्तन की विशेषता है, और इसके परिणामस्वरूप, लहर की ऊंचाई में परिवर्तन। समीकरण की अवधि तरंग प्रसार की दिशा में ऊर्जा के हस्तांतरण को निर्धारित करती है और तरंग सीजीआर के समूह वेग के लिए एक्स अक्ष (त्वरण लंबाई) के साथ तरंग द्वारा तय की गई दूरी से संबंधित है, जो स्थानांतरण की गति निर्धारित करती है। तरंग ऊर्जा का, और तरंग की ऊँचाई तक, जिसके साथ तरंग ऊर्जा जुड़ी हुई है इ।समीकरण की शर्तें एम आरऔर एमन केवल अभिनय हवा की गति से निर्धारित होते हैं, बल्कि तरंगों के तत्वों पर भी निर्भर करते हैं। ऊर्जा की मात्रा बर्बाद हो गई इ,तरंग तत्वों से भी जुड़ा हुआ है।
चूँकि समीकरण (19) में दो अज्ञात राशियाँ शामिल हैं एचऔर, इन अज्ञातों को जोड़ने वाले अतिरिक्त संबंध के बिना इसका समाधान नहीं किया जा सकता है। शास्त्रीय सिद्धांत केवल तरंग दैर्ध्य, इसकी अवधि और प्रसार गति c के बीच एक संबंध देते हैं, और इसलिए इसका उपयोग संबंध स्थापित करने के लिए नहीं किया जा सकता है एचऔर। इस तरह के अनुपात प्रायोगिक डेटा को ध्यान में रखते हुए कुछ परिकल्पनाओं के आधार पर बनाए जाते हैं।
स्थिर तरंगों के लिए ऊर्जा संतुलन समीकरण का समाधान सरल हो जाता है, अर्थात जब 0.
हालाँकि, इस मामले में भी महत्वपूर्ण कठिनाइयाँ हैं। इनमें हवा से लहर में ऊर्जा हस्तांतरण के तंत्र की भौतिक व्याख्या के मुद्दे शामिल हैं (और, परिणामस्वरूप, संचरित शक्ति की गणना के लिए तरीकों का औचित्य), अशांत घर्षण नुकसान की परिभाषा, और अंत में, स्थापित करने के लिए दूसरा संबंध खोजना ऊंचाई और तरंग दैर्ध्य के बीच संबंध।
कुछ शोधकर्ता हवा से लहर से स्पर्शरेखा हवा के तनाव में ऊर्जा के हस्तांतरण में मुख्य भूमिका निभाते हैं .
अन्य शोधकर्ताओं का मानना है कि हवा और लहर से ऊर्जा का हस्तांतरण लहर के घुमावदार और हवा के ढलान पर दबाव में अंतर के कारण होता है। शिक्षाविद वीवी शुलेइकिन इस दृष्टिकोण का पालन करते हैं।
तरंगों के दौरान होने वाली विक्षोभ के कारण खोई हुई शक्ति का निर्धारण करना एक आवश्यक प्रश्न है।
पवन तरंग ऊर्जा संतुलन समीकरण को हल करते समय कोई कम कठिन नहीं है, तरंग लंबाई और ऊंचाई के बीच संबंध स्थापित करने का प्रश्न है, जो कि दूसरा समीकरण प्राप्त करने के लिए आवश्यक है।
अधिकांश लेखक पवन तरंगों के प्रेक्षणों के परिणामों के प्रसंस्करण के आधार पर इस समस्या का समाधान करते हैं। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में विभिन्न निष्कर्ष प्राप्त होते हैं, क्योंकि वास्तविक तरंगें बहुत विविध हैं और द्वि-आयामी नहीं हैं। पहला सैद्धांतिक समाधान वी.वी. शुलेइकिन द्वारा प्राप्त किया गया था, जिन्होंने लहरों के दौरान एक चक्र के रूप में कक्षाओं के साथ चलने वाले पानी के कणों के संवेग के क्षण पर प्रमेय का उपयोग करते हुए, हवा के प्रभाव में तरंग दैर्ध्य में वृद्धि का एक सिद्धांत विकसित किया। इसने उन्हें तरंग दैर्ध्य और ऊंचाई के बीच संबंध के लिए दूसरा समीकरण खोजने की अनुमति दी।
स्थिर तरंगों के साथ, हवा से तरंग में संचारित शक्ति और विक्षुब्ध घर्षण में खो जाने के बीच समानता होनी चाहिए। इस तरह की समानता, वी. वी. शूलिकिन के निष्कर्ष के अनुसार, तब होती है जब लहर की गति होती है साथ 0.82 हवा की गति तक पहुँचता है, यानी कब
तरंग की गति से पवन की गति (=) के अनुपात को आयाम रहित गति या कहा जाता है आयुलहर की,चूंकि यह अनुपात तरंग विकास के चरण की विशेषता है। तरंग विकास की शुरुआत से = 1 तक, वे हवा की क्रिया के अधीन हैं। स्थिति> 1 पर पहुंचने के बाद, हवा व्यावहारिक रूप से उन पर कार्य करना बंद कर देती है।
तरंगों के विकास के साथ, तरंग दैर्ध्य में वृद्धि, उनकी ऊंचाई में वृद्धि के विपरीत, असमान रूप से होती है: सबसे पहले, विकास काफी तेज होता है, और फिर धीमा हो जाता है। सबसे बड़ी लहर की स्थिरता 0.27 पर पहुंच गई है। हालांकि, लहर विकास के पूरे चरण में, उनकी लंबाई उनकी ऊंचाई से तेज़ी से बढ़ती है, जिससे लहर की स्थिरता में कमी आती है।
सैद्धांतिक निष्कर्ष और टिप्पणियों से पता चलता है कि स्थिर तरंगों को लहर की स्थिरता के अच्छी तरह से परिभाषित मूल्यों तक ही देखा जा सकता है। तब लहर अस्थिर हो जाती है और उसका शिखर टूट जाता है। सैद्धांतिक रूप से, इसकी लंबाई के लिए तरंग ऊंचाई का सीमित अनुपात 1/7 है। अवलोकन निकट मान देते हैं (लगभग 1/10)। तरंग विकास की ऊपर चर्चा की गई समस्याएं इस घटना की केवल मुख्य विशेषताओं का वर्णन करना संभव बनाती हैं। वास्तविक तस्वीर कहीं अधिक जटिल है। सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि समुद्र की सतह पर अभिनय करने वाला वायु प्रवाह इसकी संरचना में विषम है। समुद्र की सतह पर विभिन्न बिंदुओं पर हवा की गति और दिशा समान नहीं होती है और समय के साथ अपरिवर्तित नहीं रहती है। इसलिए, हवा के प्रभाव में विभिन्न ऊंचाइयों और लंबाई की तरंगों की एक जटिल प्रणाली बनाई जाती है। इस वजह से, वे समानांतर लकीरों के रूप में प्रचार नहीं कर सकते हैं, अर्थात, द्वि-आयामी तरंगों का चरित्र है, और पहाड़ियों और गड्ढों में टूट जाते हैं, लगभग एक बिसात पैटर्न में स्थित होते हैं, अर्थात, त्रि-आयामी तरंगों के चरित्र को लेते हैं।
विभिन्न प्रकार की तरंग प्रसार गति इस तथ्य की ओर ले जाती है कि कुछ तरंगें दूसरों से आगे निकल जाती हैं, उनके साथ विलीन हो जाती हैं, अर्थात। व्यवधान होता है। नतीजतन, लहर समूह .
कणों (वेव फ्लो) की ट्रांसलेशनल गति की उपस्थिति लहर की स्थिरता में वृद्धि और इसके शीर्ष (सफेद टोपी के गठन) को काटने की ओर ले जाती है। नतीजतन, तरंगें उन सीमित मूल्यों तक नहीं पहुंचती हैं जो तब होती हैं जब कण बंद कक्षाओं के साथ आगे बढ़ते हैं।
चोटी काटने से लहरें जहाज से टकराती हैं। यह प्रभाव इस तथ्य से और बढ़ जाता है कि मुख्य गुरुत्वाकर्षण तरंगों की सतह पर उच्च-क्रम तरंगें उत्पन्न होती हैं, जो शिखरों के टूटने को बढ़ाती हैं।
हवा से प्रेरित तरंगें जो हवा के कमजोर होने के बाद तरंग निर्माण क्षेत्र में फैलती हैं और (या) अपनी दिशा बदलती हैं, या हवा से प्रेरित तरंगें जो तरंग निर्माण क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में आती हैं जहां हवा एक अलग गति से चलती है और (या) दूसरी दिशा में कहलाते हैं सूजना।
वायु की अनुपस्थिति में संचरित पवन-प्रेरित तरंगें कहलाती हैं मृत प्रफुल्लित . हवा की लहरों और प्रफुल्लित की बातचीत में, ए मिला हुआ उत्तेजना।
बड़ी लंबाई की कोमल प्रफुल्लित लहरें तूफान क्षेत्र से आगे जाती हैं और लहरों के रूप में इसके आगे फैलती हैं - तूफान के दृष्टिकोण की अग्रदूत।
तरीकों से ऊर्जा का निर्धारण करने के लिए CM" संतुलन की स्थिति में, संबंधों (4.2.13?16) का उपयोग सिस्टम की कुल ऊर्जा और पूरे सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा के लिए किया गया था।
OS संतुलन समीकरण का रूप है
कहा पे: संतुलन की स्थानीय या विस्तृत स्थिति के लिए प्रणाली की कुल ऊर्जा है;
एक अतिरिक्त शब्द जो समय के साथ राज्य में परिवर्तन की प्रकृति को ध्यान में रखता है (आंतरिक ऊर्जा का एक कार्य और उपयोगी बाहरी कार्य में उतार-चढ़ाव)।
कहा पे: पूरे सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा है
वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा (वस्तु (पिंड) की गतिज और संभावित ऊर्जा का योग);
बाहरी ताकतों (हीट एक्सचेंज, तापमान, घर्षण, इलेक्ट्रिक पावर सिस्टम) के खिलाफ आदेशित (उपयोगी) काम;
अव्यवस्थित (अपरिवर्तनीय) कार्य (ऊर्जा) गर्मी हस्तांतरण, वॉल्यूमेट्रिक और रैखिक विरूपण, घर्षण, विद्युत क्षमता के कारण होता है;
प्राथमिक उपयोगी (आदेशित) कार्य;
प्रत्येक प्रकार के प्रभाव के लिए परिणामी बल;
कार्रवाई के कारण आंदोलन;
सामान्यीकृत क्षमता (तापमान, दबाव, विरूपण, विद्युत क्षमता);
व्यापक राज्य समन्वय।
एक गैर-संतुलन अवस्था में सिस्टम की कुल ऊर्जा OS संबंध द्वारा निर्धारित की जाती है
कहा पे: अनुपात में कार्य समय के कार्य हैं;
पूरे सिस्टम की आदेशित ऊर्जा;
समग्र रूप से प्रणाली की अव्यवस्थित ऊर्जा;
पूरे सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा;
सूचना की गतिज ऊर्जा (जानकारी की ऊर्जा का हिस्सा जो प्रभावित करती है);
सिस्टम की आंतरिक ऊर्जा;
सिस्टम के कुछ हिस्सों की आंतरिक बातचीत से जुड़ी सूचना की ऊर्जा का हिस्सा।
कहाँ पे: - सिस्टम के शरीर (वस्तु) की कुल ऊर्जा;
समग्र रूप से प्रणाली की गतिज ऊर्जा;
पूरे सिस्टम की संभावित ऊर्जा;
सिस्टम की आंतरिक ऊर्जा
गैर-संतुलन अवस्था की ऊर्जा;
सिस्टम की मात्रा में दबाव;
रासायनिक क्षमता;
कणों की संख्या;
सिस्टम की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन
काइनेटिक ऊर्जा, एक यांत्रिक प्रणाली की ऊर्जा का हिस्सा है, जो बिंदुओं के वेग पर निर्भर करती है
कहा पे: - प्रणाली के एक कण का द्रव्यमान;
कण गति
प्रणाली का द्रव्यमान;
द्रव्यमान गति का केंद्र;
द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर सिस्टम गति की गतिज ऊर्जा:
शरीर की जड़ता का क्षण;
शरीर का कोणीय वेग।
गैस की स्थिति के समीकरण और गतिज सिद्धांत के मूल समीकरण की तुलना से, यह इस प्रकार है
इसलिए, औसत ऊर्जा मूल्य का रूप है:
यह संबंध से अनुसरण करता है
सिस्टम की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन, विपरीत संकेत के साथ लिया गया, आंतरिक रूढ़िवादी बलों के काम से मेल खाता है: .
कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन:
सामान्य स्थिति में, गतिज ऊर्जा द्रव्यमान और वेग का कार्य नहीं है और सिस्टम में होने वाली आंतरिक प्रक्रियाओं पर निर्भर करती है (उदाहरण के लिए, घुसपैठ, मध्यम कणों का आरोपण)।
भार की क्रिया के तहत परिमित विस्थापन के मामले में, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन को योग के रूप में माना जा सकता है
जहाँ: - उपयोगी कार्य के कारण गतिज ऊर्जा में परिवर्तन;
आंतरिक प्रक्रियाओं के कारण गतिज ऊर्जा में एकतरफा सहज परिवर्तन। ऊर्जा परिवर्तन का यह हिस्सा सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है।
आंतरिक ऊर्जा - प्रणाली की ऊर्जा, जो केवल इसकी आंतरिक स्थिति पर निर्भर करती है और इसमें समग्र रूप से प्रणाली की ऊर्जा के प्रकार शामिल नहीं होते हैं। आंतरिक ऊर्जा में सिस्टम के सभी प्रकार के संचलन की ऊर्जा के रूप और ऊर्जा के प्रत्येक रूप की सभी प्रकार की ऊर्जा, अलग-अलग ली जाती है।
कहाँ पे: और - आंतरिक ऊर्जा, एक गैर-संतुलन राज्य की एन्ट्रापी (स्थानीय या विस्तृत संतुलन की स्थिति के लिए, सूचकांक "ओ" का उपयोग किया जाता है);
मुक्त ऊर्जा।
सिस्टम की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन
कहाँ पे: - आंतरिक ऊर्जा, आयतन, एन्ट्रापी;
तापमान, दबाव;
रासायनिक क्षमता, एक प्रणाली में किसी पदार्थ के मोल्स की संख्या।
सिस्टम को एक यांत्रिक प्रकृति का कार्य करने दें, और एक गैर-यांत्रिक प्रकृति का प्रारंभिक कार्य, समीकरण (4.3.13) रूप लेगा
गिब्स ऊर्जा को आइसोबैरिक-इज़ोटेर्मल क्षमता के रूप में परिभाषित किया गया है
गिब्स-डुहेम संबंध को इस प्रकार लिखा गया है
संबंध (4.3.12)-(4.3.16) का अर्थ है
इसलिए, यदि हम ओएस के लिए शास्त्रीय (संतुलन) यांत्रिकी के संबंधों का विस्तार करते हैं, तो उनकी मुक्त ऊर्जा शून्य के बराबर हो सकती है। इस विसंगति को समाप्त किया जा सकता है यदि मुक्त ऊर्जा OS "रिवर्स बैलेंस" (ऊर्जा के संतुलन भाग को घटाकर) द्वारा निर्धारित नहीं किया जाता है, लेकिन उनके गैर-संतुलन मापदंडों के संदर्भ में मुक्त ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करके।
अध्ययन के तहत प्रणाली में एक सबसिस्टम होता है जिसकी ऊर्जा रासायनिक रूप से प्रतिक्रिया करने वाले मीडिया की ऊर्जा पर निर्भर करती है। लंबी अवधि की प्रक्रियाओं के लिए, ऊर्जा का यह हिस्सा उस कार्य की मात्रा में कमी की ओर जाता है जो सिस्टम ले सकता है, जो सिस्टम की ऊर्जा में कमी के बराबर है। आइए हम रासायनिक प्रतिक्रिया करने वाले मीडिया की मुक्त ऊर्जा पर विचार करें।
एक बंद गैर-संतुलन प्रणाली में सजातीय रासायनिक प्रतिक्रियाएं होने दें। प्रतिक्रिया मिश्रण में पदार्थों की वर्तमान सांद्रता संबंध द्वारा प्रारंभिक सांद्रता से जुड़ी होती है
कहाँ पे: - प्रतिक्रिया में पदार्थों के स्टोइकोमेट्रिक गुणांक;
प्रतिक्रिया में पूर्णता की डिग्री।
एक पैरामीटर के बजाय, कोई रासायनिक असंतुलित स्थिति के व्यापक समन्वय का उपयोग कर सकता है
कहा पे: प्रतिक्रिया के पूरा होने से पहले पदार्थ की एकाग्रता है।
ओएस परिवर्तन के कारण हैं:
रासायनिक प्रतिक्रिया में भाग नहीं लेने वाले पदार्थों का प्रसार (संतुलन की स्थिति में बड़े पैमाने पर स्थानांतरण);
प्रतिक्रिया में शामिल पदार्थों का रासायनिक परिवर्तन;
वस्तु की सतह पर माध्यम के ठोस और तरल चरणों का आरोपण।
बड़े पैमाने पर स्थानांतरण समान रूप से सांद्रता और पत्तियों को बदलता है;
रासायनिक प्रतिक्रियाएं बदलती हैं और अपरिवर्तित रहती हैं।
यह देखते हुए कि संबंध में पद (4.3.15) को इस रूप में दर्शाया जा सकता है
कहाँ पे: - रासायनिक प्रतिक्रिया की विशिष्ट रासायनिक आत्मीयता।
रासायनिक रूप से प्रतिक्रिया करने वाले मीडिया में, आंतरिक ऊर्जा को घटकों में विघटित किया जा सकता है:
संतुलन राज्य की आंतरिक ऊर्जा
असंतुलित अवस्था की आंतरिक ऊर्जा
मूल्य (रासायनिक रूप से प्रतिक्रियाशील प्रणालियों या रासायनिक ऊर्जा की मुक्त ऊर्जा) रासायनिक परिवर्तन और उपयोगी बाहरी कार्य करने में सक्षम आंतरिक ऊर्जा के हिस्से की विशेषता है। इसके विपरीत (गिब्स ऊर्जा) केवल मापदंडों के संदर्भ में व्यक्त की जाती है, इसलिए इसका मूल्य उन पदार्थों की प्रसार प्रक्रियाओं में नहीं बदलता है जो रासायनिक प्रतिक्रिया में भाग नहीं लेते हैं।
OS ऊष्मप्रवैगिकी के पहले और दूसरे नियमों का संयुक्त समीकरण रूप लेता है
कहा पे: आंतरिक रासायनिक ऊर्जा के नुकसान के कारण सिस्टम जो प्राथमिक कार्य कर सकता है, उसकी विशेषता है।
मूल्य (रासायनिक प्रतिक्रियाओं की ऊर्जा) संतुलन की स्थिति में सिस्टम में गर्मी हस्तांतरण और बड़े पैमाने पर स्थानांतरण की प्रक्रियाओं पर निर्भर नहीं करता है और वॉल्यूमेट्रिक विरूपण पर निर्भर नहीं करता है।
रासायनिक ऊर्जा का परिवर्तन (हानि) किसी भी प्रक्रिया की स्थिति के तहत संभावित कार्य की मात्रा निर्धारित करता है (न केवल या)।
मापदंडों की मदद से आंतरिक ऊर्जा के संतुलन और गैर-संतुलन घटकों को अलग करना, संतुलन की स्थिति में और गैर-संतुलन की स्थिति में बड़े पैमाने पर स्थानांतरण की प्रक्रियाओं के बीच अंतर को निर्धारित करता है।
यदि बड़े पैमाने पर स्थानांतरण की प्रक्रिया में केवल अभिकारकों की संतुलन सांद्रता में परिवर्तन होता है, अर्थात प्रतिक्रिया उत्पादों को सिस्टम में आपूर्ति की जाती है, फिर एक अन्य प्रक्रिया समन्वय में वृद्धि होती है, जब अभिकर्मकों को सिस्टम में आपूर्ति की जाती है जो सिस्टम को रासायनिक संतुलन की स्थिति से हटाते हैं। संतुलन द्रव्यमान स्थानांतरण (गर्मी हस्तांतरण के समान) प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा के संतुलन (अपरिवर्तनीय या निष्क्रिय) भाग को बदलता है।
गैर-संतुलन द्रव्यमान हस्तांतरण में एक बढ़ती हुई रासायनिक ऊर्जा होती है, जिसे सिस्टम द्वारा सिस्टम पर किए गए कार्य के हिस्से के रूप में माना जाता है।
आंतरिक स्थिति द्वारा निर्धारित प्रणाली ऊर्जा के प्रकार:
गैर-संतुलन अवस्था की आंतरिक ऊर्जा
संबद्ध ऊर्जा: - एन्ट्रापी; तापमान;
मुक्त ऊर्जा: ।
सैद्धांतिक यांत्रिकी से, कार्रवाई संबंध द्वारा निर्धारित की जाती है:
कहाँ: - क्रिया;
जीवित शक्ति;
कण आंदोलन की गति;
बाह्य बलों के प्रभाव में कण की गति;
माध्यम पर कण की क्रिया की गति;
समय पथ तत्व
कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत:
जहाँ: - सामान्यीकृत निर्देशांक;
सामान्यीकृत (संयुग्मित) आवेग;
हैमिल्टन समारोह।
सातत्य यांत्रिकी में, एक कण का माध्यम पर कोई प्रभाव नहीं माना जाता है।
न्यूटन का पहला नियम - जड़त्वीय संदर्भ प्रणालियाँ (ISR) हैं, जिसके सापेक्ष एक भौतिक बिंदु, बाहरी बलों की अनुपस्थिति में, वेग के परिमाण और दिशा को अनिश्चित काल तक बनाए रखता है;
न्यूटन का दूसरा नियम - ISO में त्वरण परिणामी बलों के सीधे आनुपातिक और द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है: ;
न्यूटन का तीसरा नियम - भौतिक बिंदु एक दूसरे पर बलों द्वारा कार्य करते हैं।
बलों को चाहिए:
एक ही प्रकृति का हो;
बिंदुओं (कणों) को जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ एक दिशा है;
निरपेक्ष मान में बराबर और दिशा में विपरीत हो:
यदि एक भौतिक प्रणाली को अलग किया जाता है, तो मैक्रोस्कोपिक चर द्वारा निर्धारित इसकी स्थिति अपरिवर्तनीय रूप से एक समय-अपरिवर्तनीय स्थिति में विकसित होती है, और इस स्थिति में सिस्टम में कोई भौतिक या रासायनिक परिवर्तन नहीं देखा जाता है। इस अवस्था में तंत्र के सभी भागों का तापमान समान होता है। ऐसा माना जाता है कि ऐसी अवस्था को संतुलन माना जा सकता है।
एक यांत्रिक प्रणाली का संतुलन - सभी बल पूरी तरह से संतुलित होते हैं (एक दूसरे को बुझाते हैं)।
संतुलन थर्मोडायनामिक सिस्टम (टीडीएस) की स्थिति है, जो समय के साथ मापदंडों की अपरिवर्तनीयता और सिस्टम में प्रवाह की अनुपस्थिति (थर्मोडायनामिक्स की सामान्य शुरुआत) द्वारा निरंतर बाहरी परिस्थितियों की विशेषता है।
सिस्टम की स्थिर स्थिति वह स्थिति है जब सिस्टम की विशेषताएं समय के साथ नहीं बदलती हैं। ओपन सिस्टम के लिए, एक राज्य को स्थिर माना जाता है जब सिस्टम की ऊर्जा समय के साथ नहीं बदलती है। सिस्टम के विकार की डिग्री एंट्रॉपी द्वारा विशेषता है।
अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं के कारण एक संतुलन राज्य के लिए एक मनमाना राज्य का विकास होता है। साम्य अवस्था में, बाह्य बलों का कार्य व्यंजक द्वारा निर्धारित होता है
विघटनकारी संरचना पर विचार करते समय, बाहरी शक्तियों का कार्य संबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है
कहा पे: प्रक्षेपवक्र का विघटनकारी क्रम है।
इस प्रकार, संतुलन प्रणालियों की विशेषता है:
समान तापमान वितरण;
राज्य कार्य ऊर्जा और एन्ट्रॉपी हैं।
तापमान वितरण में निरंतरता की आवश्यकता उन आवश्यकताओं में से नहीं है जिसके तहत सिस्टम की एन्ट्रापी या ऊर्जा निश्चित हो जाती है।
गैर-संतुलन प्रणालियों में, तापमान असमान रूप से वितरित किया जाता है, लेकिन एक निश्चित तरीके से, और एंट्रॉपी, ऊर्जा या पदार्थ का वितरण थर्मोडायनामिक क्षमता के वितरण घनत्व से संबंधित होता है
जहाँ: - प्रति इकाई आयतन एन्ट्रापी घनत्व;
प्रति इकाई आयतन में आंतरिक ऊर्जा का घनत्व;
प्रति इकाई आयतन में मोल्स की संख्या।
गैर-संतुलन एक ऐसी अवस्था है, जब एक संतुलन अवस्था से दूसरी सन्निकट, असीम रूप से निकट संतुलन अवस्था से गुजरते हुए, प्रदर्शन किया गया कार्य एक मध्यवर्ती संतुलन अवस्था के माध्यम से समान संतुलन अवस्थाओं के बीच संक्रमण के दौरान किए गए अधिकतम कार्य से कम होता है। किसी भी संतुलन राज्य के आसपास के क्षेत्र में, आसन्न, असीम रूप से गैर-संतुलन वाले राज्य हैं जो एक अर्ध-स्थैतिक संतुलन संक्रमण द्वारा नहीं पहुंचा जा सकता है।
थर्मोडायनामिक क्षमता का नुकसान
जहाँ: - एक संतुलन अवस्था में अधिकतम कार्य;
एक गैर-संतुलन प्रणाली का वास्तविक संचालन।
यह माना जाता है कि यह प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है, और पथ पर निर्भर नहीं करता है (धारणा बंद प्रणालियों पर लागू होती है)।
स्थानीय संतुलन का सिद्धांत
कहाँ पे: - गैर-संतुलन राज्य की थर्मोडायनामिक क्षमता;
सिस्टम लॉस।
सिस्टम के प्रकार के आधार पर, आप लिख सकते हैं:
पृथक प्रणाली (आईएस)
बंद प्रणाली (सीएस)
ओपन सिस्टम (ओएस)
अभिन्न रूप में ऊर्जा संतुलन समीकरण ऊष्मप्रवैगिकी के पहले नियम से प्राप्त किया जा सकता है
जहाँ कोष्ठक में पहला शब्द तरल के संचलन की गतिज ऊर्जा है, दूसरा स्थिति की संभावित ऊर्जा है, तीसरा तरल की तापीय धारिता है, J / kg; एन - नियंत्रण मात्रा में कुल ऊर्जा, जे; क्यू - नियंत्रण सतह के माध्यम से गर्मी का प्रवाह, डब्ल्यू; एल एस - बाहरी ताकतों पर काबू पाने की शक्ति, मुख्य रूप से घर्षण बल, डब्ल्यू; यू - प्रवाह वेग, एम/एस; ρ माध्यम का घनत्व है, किग्रा/मी 3 ;
एक्स सामान्य और नियंत्रण सतह के बीच का कोण है; जी - गुरुत्वाकर्षण का त्वरण, एम / एस 2; जेड - ज्यामितीय सिर, मी; एच - विशिष्ट एन्थैल्पी, जे/किग्रा;
एस - नियंत्रण सतह; τ - समय, एस।
रासायनिक प्रक्रियाओं के लिए, गतिज और संभावित ऊर्जा, साथ ही बाहरी शक्तियों पर काबू पाने की शक्ति, एन्थैल्पी की तुलना में नगण्य होती है, इसलिए हम लिख सकते हैं
यह समीकरण अनिवार्य रूप से ऊष्मा संतुलन समीकरण है।
तरल प्रवाह वेक्टर के लंबवत नियंत्रण सतहों से बंधे एक साधारण नियंत्रण मात्रा के लिए, अंतिम समीकरण को एकीकृत करता है
इस समीकरण के पहले दो पद इस प्रकार प्राप्त होते हैं। यदि हम घनत्व स्थिरांक लेते हैं, और cos(x) = ±1, तब
चूंकि हमें मिलता है
यदि वेग दोनों वर्गों में थोड़ा भिन्न होता है, और द्रव का प्रवाह हाइड्रोडायनामिक रूप से स्थिर होता है, तो ताप संतुलन समीकरण को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
अगर सिस्टम थर्मल रूप से स्थिर भी है, तो:
यदि सिस्टम में चरण परिवर्तन और रासायनिक प्रतिक्रियाएं नहीं होती हैं, तो एन्थैल्पी से ताप क्षमता तक जाना संभव है और फिर
आइए गैर-स्थिर स्थितियों में ऊष्मा संतुलन समीकरणों को लागू करने के एक उदाहरण पर विचार करें।
उदाहरण 9.1। 3 मीटर 3 की मात्रा वाले दो टैंक 25 डिग्री सेल्सियस के तापमान पर पानी से भरे हुए हैं। दोनों में आंदोलक हैं जो लगभग पूर्ण मिश्रण प्रदान करते हैं। एक निश्चित समय पर, 90°C के तापमान पर 9000 किग्रा/घंटा पानी की आपूर्ति पहले टैंक में शुरू की जाती है। पहली टंकी से पानी निकलकर दूसरी टंकी में जाता है। गर्म पानी की आपूर्ति शुरू होने के 0.5 घंटे बाद दूसरे टैंक में पानी का तापमान निर्धारित करें। जलाशय ऊष्मा की गणना करते हैं-
अलग।
समाधान: पहले जलाशय के लिए ऊष्मा प्रवाह आरेख (चित्र 9.1) और ऊष्मा संतुलन बनाते हैं।
चित्र 9.1 ताप प्रवाह की योजना उदाहरण के लिए 9.1
गर्मी हस्तांतरण की अनुपस्थिति में, q = 0 और शर्तों के तहत W = W 1 = W 2; बुध \u003d बुध 1 \u003d बुध 2; dЕп = VρС P dТ 1 गर्मी संतुलन समीकरण रूप लेगा
WC P (T 0 – T 1)dτ = VρC P dT 1
0 से τ और 25°C से T 1 तक समाकलित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं
टी 1 \u003d 90 - 65exp (-3τ)
इसी तरह दूसरे टैंक के ताप संतुलन को संकलित करें
WC P (T 1 – T 2)dτ=VρC P dT 2
जहां से 9000(टी 1 - टी 2) डीτ = 3∙1000 डीटी 2 या
प्रथम कोटि का एक रेखीय अवकल समीकरण प्राप्त होता है। इसे ज्ञात तरीके से विश्लेषणात्मक रूप से एकीकृत किया जा सकता है। तो हमारे पास हैं
टी 2 \u003d ऍक्स्प (-3τ) (90 ऍक्स्प (3τ) - 195τ + सी)
प्रारंभिक शर्तें: τ=0 Т 2 = 25 °С पर। मनमाना स्थिरांक C = - 65।
अंतिम निर्णय रूप लेगा
टी 2 = 90 - 65 (3τ +1) ऍक्स्प (-3τ);
टी 2 \u003d 90 - 65 (3 ∙ 0.5 + 1) ऍक्स्प (-3 ∙ 0.5) \u003d 53.74 0 सी।
अभिन्न रूप में ऊर्जा संतुलन समीकरण ऊष्मप्रवैगिकी के पहले नियम से प्राप्त किया जा सकता है और इसका रूप है
जहां कोष्ठक में पहला पद द्रव गति की गतिज ऊर्जा है, दूसरा स्थिति की संभावित ऊर्जा है, तीसरा तरल पदार्थ की तापीय धारिता है, J/kg;
इपी नियंत्रण मात्रा में कुल ऊर्जा है, जे;
क्यूनियंत्रण सतह के माध्यम से गर्मी का प्रवाह है, डब्ल्यू;
रास- बाहरी ताकतों पर काबू पाने की शक्ति, मुख्य रूप से घर्षण, डब्ल्यू;
यू- प्रवाह वेग, एम/एस;
r माध्यम का घनत्व है, kg/m3;
एक्ससामान्य और संदर्भ सतह के बीच का कोण है;
जी- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण, एम / एस 2;
जेड- ज्यामितीय सिर, मी;
एच- विशिष्ट एन्थैल्पी, जे / किग्रा;
एस- नियंत्रण सतह;
टी समय है, एस।
रासायनिक प्रक्रियाओं के लिए, गतिज और संभावित ऊर्जा, साथ ही बाहरी शक्तियों पर काबू पाने की शक्ति, एन्थैल्पी की तुलना में नगण्य होती है, इसलिए हम लिख सकते हैं
यह समीकरण अनिवार्य रूप से ऊष्मा संतुलन समीकरण है।
तरल प्रवाह वेक्टर के लंबवत नियंत्रण सतहों से बंधे एक साधारण नियंत्रण मात्रा के लिए, अंतिम समीकरण को एकीकृत करता है
इस समीकरण के पहले दो पद इस प्रकार प्राप्त होते हैं। अगर हम घनत्व स्थिर लेते हैं, और cos( एक्स)=±1, तब
क्योंकि डब्ल्यू= आर हम, तो हमें मिलता है
यदि वेग दोनों वर्गों में थोड़ा भिन्न होता है, और द्रव का प्रवाह हाइड्रोडायनामिक रूप से स्थिर होता है, तो ताप संतुलन समीकरण को निम्नानुसार लिखा जा सकता है
अगर सिस्टम थर्मल रूप से स्थिर भी है, तो:
यदि सिस्टम में चरण परिवर्तन और रासायनिक प्रतिक्रियाएं नहीं होती हैं, तो एन्थैल्पी से ताप क्षमता तक जाना संभव है और फिर
आइए गैर-स्थिर स्थितियों में ऊष्मा संतुलन समीकरणों को लागू करने के एक उदाहरण पर विचार करें।
उदाहरण 9.1। 3 मीटर 3 की मात्रा वाले दो टैंक 25 डिग्री सेल्सियस के तापमान पर पानी से भरे हुए हैं। दोनों में आंदोलक हैं जो लगभग पूर्ण मिश्रण प्रदान करते हैं। एक निश्चित समय पर, 90 डिग्री सेल्सियस के तापमान पर 9000 किग्रा / घंटा पानी पहले टैंक में डाला जाना शुरू हो जाता है। पहली टंकी से पानी निकलकर दूसरी टंकी में जाता है। गर्म पानी की आपूर्ति शुरू होने के 0.5 घंटे बाद दूसरे टैंक में पानी का तापमान निर्धारित करें। टैंकों को थर्मली इंसुलेटेड माना जाता है।
समाधान:आइए पहले जलाशय के लिए ऊष्मा प्रवाह आरेख (चित्र 9.1) और ऊष्मा संतुलन बनाएं। गर्मी हस्तांतरण के अभाव में क्यू= 0 और शर्तों के तहत
ऊष्मा संतुलन समीकरण रूप ले लेगा
जहां से 9000(90- टी 1)डीटी = 3 1000 डीटी 1, या
0 से t तक और 25 ° C से एकीकरण के बाद टी 1 हमें मिलता है
टी 1=90-65एक्सपी(-3t).
इसी तरह दूसरे टैंक के ताप संतुलन को संकलित करें
जहां से 9000 ( टी 1 -टी 2)डीटी = 3 1000 dT2, या
प्रथम कोटि का एक रेखीय अवकल समीकरण प्राप्त होता है। इसे ज्ञात तरीके से विश्लेषणात्मक रूप से एकीकृत किया जा सकता है। तो हमारे पास हैं
प्रारंभिक शर्तें: टी = 0 पर टी 2=25 डिग्री सेल्सियस। मनमाना स्थिरांक साथ = -65.
अंतिम निर्णय रूप लेगा
जैसा कि 1.1 में उल्लेख किया गया है, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र पदार्थ के रूपों में से एक है। पदार्थ के किसी अन्य रूप की तरह इसमें भी ऊर्जा होती है। यह ऊर्जा अंतरिक्ष में फैल सकती है और ऊर्जा के अन्य रूपों में परिवर्तित हो सकती है।
आइए हम एक निश्चित आयतन के संबंध में तात्कालिक शक्ति मूल्यों के लिए संतुलन समीकरण तैयार करें वी, सतह S (चित्र 1.23) से घिरा हुआ है। मात्रा में चलो वी, एक सजातीय आइसोट्रोपिक माध्यम से भरे हुए, तीसरे पक्ष के स्रोत हैं। सामान्य भौतिक अवधारणाओं से, यह स्पष्ट है कि तीसरे पक्ष के स्रोतों द्वारा जारी की गई शक्ति जूल हानियों पर और अंदर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा को बदलने पर खर्च की जा सकती है। वी, और आंशिक रूप से बिखरा हुआ भी हो सकता है, सतह एस के माध्यम से आसपास के स्थान में भाग जाता है। इस मामले में, समानता
जहाँ Pst तृतीय-पक्ष स्रोतों की शक्ति है;
आरपी – वॉल्यूम के अंदर जूल लॉस की शक्ति वी;
– सतह एस से गुजरने वाली शक्ति;
डब्ल्यू– एक मात्रा में केंद्रित एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा वी, ए डीडब्ल्यू/ डीटी– मात्रा में ऊर्जा को बदलने के लिए खर्च की गई शक्ति वी.
चावल। 1.23। आयतन वी, सतह एस से घिरा हुआ
इस खंड में, राज्य के समीकरण (1.53) का उपयोग किया जाएगा। ये समीकरण माध्यम के ध्रुवीकरण और चुंबकीयकरण के दौरान ऊर्जा के नुकसान को ध्यान में रखने की अनुमति नहीं देते हैं। इसलिए, समीकरण (1.120) में Pp शब्द वास्तव में आयतन में जूल हानियों की शक्ति को निर्धारित करता है वी, चालन धारा के कारण।
समीकरण (1.120) ऊर्जा संबंधों का केवल एक गुणात्मक विचार देता है। मात्रात्मक संबंध प्राप्त करने के लिए, आपको मैक्सवेल के समीकरणों का उपयोग करने की आवश्यकता है। बाहरी धाराओं (1.111) को ध्यान में रखते हुए पहले मैक्सवेल समीकरण पर विचार करें। इस समीकरण के सभी सदस्य सदिश राशियाँ हैं जिनकी विमा A/m2 है।
(1.120) के समान एक समीकरण प्राप्त करने के लिए, आपको मैक्सवेल के पहले समीकरण (1.111) को संशोधित करने की आवश्यकता है ताकि इसकी शर्तें वाट में मापी गई अदिश राशि बन जाएँ। ऐसा करने के लिए, यह वेक्टर ई द्वारा संकेतित समानता की सभी शर्तों को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और फिर वॉल्यूम पर परिणामी अभिव्यक्ति को एकीकृत करें वी. सदिश E द्वारा अदिश गुणन के बाद, हम प्राप्त करते हैं
(1.121)
सदिश विश्लेषण से ज्ञात सूत्र div = H रोट E - E रोट H का उपयोग करते हुए, हम संबंध के बाईं ओर (1.121) को रूपांतरित करते हैं और दूसरे मैक्सवेल समीकरण (1.39) से रोट E को इसके मान से प्रतिस्थापित करते हैं:
इस व्यंजक को (1.121) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
(1.122) के दाईं ओर अंतिम पद में, सदिशों और H के अदिश गुणनफल में कारकों के क्रम को बदल दिया गया है। यह अनुमेय है, क्योंकि . यह परिवर्तन मूलभूत नहीं है और तात्क्षणिक शक्ति मूल्यों के लिए यहाँ विचार किए गए संतुलन समीकरण को प्राप्त करने में कोई लाभ प्रदान नहीं करता है। हालांकि, समीकरण (1.122) के सभी संदर्भों में इस तरह के अंकन के साथ, दूसरा कारक (वैक्टर jst, j, और H) एक वेक्टर है जिसे पहले मैक्सवेल समीकरण में शामिल किया गया था। यह परिस्थिति भविष्य में (1.8.4 देखें) मोनोक्रोमैटिक क्षेत्र (जटिल शक्ति का संतुलन समीकरण) के मामले में संतुलन समीकरण की व्युत्पत्ति को कुछ हद तक सरल बनाने के लिए संभव बनाएगी। मात्रा से अधिक शब्द-दर-अवधि समीकरण (1.122) को एकीकृत करना वी, हम पाते हैं
तत्व की दिशा कहां है डी एससतह S के बाहरी सामान्य की दिशा के साथ मेल खाता है। (1.122) से (1.123) तक जाने में, ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय का उपयोग div [E, H] के वॉल्यूम इंटीग्रल को वेक्टर के सतह इंटीग्रल में बदलने के लिए किया जाता है। उत्पाद [ई, एच]। हम नोटेशन पेश करते हैं
पी \u003d [ई, एच] (1.124)
और (1.123) के दाईं ओर अंतिम पद में समाकलन को रूपांतरित करें:
(1.124) और (1.125) को (1.123) में प्रतिस्थापित करना और एकीकरण और विभेदीकरण के क्रम को बदलना, हम प्राप्त करते हैं
आइए हम समीकरण (1.126) में शामिल भावों का भौतिक अर्थ जानें।
(1.126) के दाईं ओर पहले पद पर विचार करें। आइए वॉल्यूम की कल्पना करें वीलंबाई के अतिसूक्ष्म बेलनों के योग के रूप में डेली, जिसके सिरे (डी एस) वर्तमान की दिशा के लंबवत (वेक्टर जे). तब एजडीवी = EjdV= (एडल)(जेडी) = dUdl= डी पीपी , कहाँ डेली= जेडी– माने जाने वाले इनफिनिटिमल सिलिंडर से प्रवाहित होने वाली धारा; ड्यू= एडल– लंबाई में संभावित परिवर्तन डेली, ए डी पीपी – वॉल्यूम जूल पावर डीवी. इसलिए, विचाराधीन शब्द वॉल्यूम में जूल लॉस पीपीपी की शक्ति है वी. अनुपात का प्रयोग करना जे = σ इ, आरपी के लिए अन्य अभ्यावेदन प्राप्त किए जा सकते हैं:
(1.127)
सूत्रों (1.127) को एक सामान्यीकृत जूल-लेनज़ नियम (पृष्ठ 33) के रूप में माना जा सकता है, जो एक संवाहक आयतन के लिए मान्य है वीमनमाना आकार।
(1.126) के बाईं ओर का समाकल दाईं ओर के पहले पद से केवल उसमें भिन्न होता है बजाय इसके कि समाकलन में जेशामिल जेअनुसूचित जनजाति . इसलिए, इसे तीसरे पक्ष के स्रोतों की शक्ति का निर्धारण करना चाहिए। हम बाहरी धाराओं द्वारा विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को दी गई सकारात्मक शक्ति पर विचार करेंगे। विद्युत धारा आवेशित कणों की एक क्रमबद्ध गति है। धारा की धनात्मक दिशा को धनात्मक आवेशों की गति की दिशा माना जाता है। करंट विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को ऊर्जा देता है जब आवेशित कण जो इसे बनाते हैं, कम हो जाते हैं। इसके लिए, यह आवश्यक है कि विद्युत क्षेत्र शक्ति सदिश E में धारा की दिशा के विपरीत उन्मुख घटक हो, अर्थात वैक्टर के डॉट उत्पाद के लिए इऔर जेसेंट नकारात्मक था ( एजअनुसूचित जनजाति<0). При этом левая часть равенства (1.126) будет положительной величиной. Таким образом, мгновенное значение мощности, отдаваемой сторонними токами электромагнитному полю в объеме वी, अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है
(1.128)
समीकरण (1.126) के दायीं ओर अंतिम पद के भौतिक अर्थ को समझने के लिए, हम एक विशेष मामले पर विचार करते हैं। आइए मान लें कि वॉल्यूम वीसतह एस के साथ मेल खाने वाले एक पूरी तरह से संचालन खोल से घिरा हुआ है। फिर वेक्टर के स्पर्शक घटक इसतह पर S शून्य के बराबर होगा। भूतल तत्व डी एसबाहरी सामान्य के साथ दिशा में मेल खाता है एन0 . नतीजतन, समीकरण (1.126) में सतह अभिन्न शून्य के बराबर होगा, क्योंकि सदिश उत्पाद के सामान्य घटक [ इ, एच] इसमें शामिल वैक्टर के स्पर्शरेखा घटकों द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसके अलावा, हम मानते हैं कि वॉल्यूम वी के माध्यम में चालकता नहीं है (σ = 0)। इस मामले में, विचाराधीन क्षेत्र में कोई जूल नुकसान नहीं होगा, और समीकरण के दाईं ओर पहला अभिन्न (1.126) भी शून्य के बराबर होगा। नतीजतन, हमें मिलता है
(1.129)
जाहिर है, विचाराधीन मामले में, बाहरी स्रोतों की शक्ति केवल विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा को बदलने पर खर्च की जा सकती है। इस प्रकार, समानता का दाहिना पक्ष (1.129) मात्रा में संग्रहीत विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा के परिवर्तन की दर है वी, वे। पद से मेल खाता है डीडब्ल्यू/ डीटीवीसमीकरण (1.126)। यह मान लेना स्वाभाविक है कि (1.129) के दाईं ओर का समाकल आयतन में केंद्रित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा के बराबर है वी:
(1.130)
कड़ाई से बोलना, यह अभिन्न भिन्न हो सकता है डब्ल्यूकिसी कार्य के लिए जी = जी (एक्स, वाई, z) समय से स्वतंत्र। यह सत्यापित करना आसान है कि फ़ंक्शन g शून्य के बराबर है। चलिए (1.130) को W=We + Wm के रूप में फिर से लिखते हैं , कहाँ
(1.131)
(1.132)
मान लें कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र स्थिर हैं (समय पर निर्भर नहीं हैं)। इस मामले में, जैसा कि भौतिकी के पाठ्यक्रम से जाना जाता है, भाव (1.131) और (1.132) मात्रा में क्रमशः विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा निर्धारित करते हैं वी. लेकिन इसका मतलब यह है कि जी ≡ 0 और ये भाव मात्रा में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा के तात्कालिक मूल्यों को निर्धारित करते हैं वीसमय पर किसी भी निर्भरता के लिए, और उनकी राशि, सूत्र (1.130) द्वारा निर्धारित, वास्तव में मात्रा में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा के तात्कालिक मूल्य के बराबर है वी.
यह समीकरण (1.126) में सतह अभिन्न के भौतिक सार को स्पष्ट करने के लिए बनी हुई है। हम मानते हैं कि मात्रा में वीकोई नुकसान नहीं होता है और इसके अलावा, विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा का परिमाण स्थिर रहता है (W = स्थिरांक)। इस मामले में, समीकरण (1.126) रूप लेता है
(1.133)
इसी समय, भौतिक अभ्यावेदन से यह स्पष्ट है कि इस विशेष मामले में, बाहरी स्रोतों की सारी शक्ति आसपास के स्थान (Рst = PΣ) में चली जानी चाहिए। इसलिए, समीकरण का दाहिना भाग (1.133) सतह S के माध्यम से ऊर्जा प्रवाह के बराबर है (समय के दौरान S से गुजरने वाली ऊर्जा की मात्रा के अनुपात की सीमा Δt के रूप में Δt → 0), अर्थात।
यह मानना स्वाभाविक है कि वेक्टर पीऊर्जा प्रवाह घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है (क्षेत्र ΔS के माध्यम से ऊर्जा प्रवाह के अनुपात की सीमा, ऊर्जा प्रसार की दिशा में लंबवत स्थित है, ΔS पर ΔS→0)। औपचारिक रूप से, गणितीय रूप से, यह धारणा वेक्टर के प्रतिस्थापन के बाद से स्पष्ट नहीं है पीपर पी 1 = पी+ सड़ांध ए, कहाँ एएक मनमाना सदिश है, PΣ का मान नहीं बदलता है। हालांकि, यह सच है और विशेष रूप से, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के सापेक्षवादी सिद्धांत से सीधे अनुसरण करता है।
इस प्रकार, समानता (1.126) (1.120) के समान है और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की शक्ति के तात्कालिक मूल्यों के संतुलन के लिए समीकरण का प्रतिनिधित्व करती है। यह 1884 में पोयंटिंग द्वारा प्राप्त किया गया था और इसे कहा जाता है पॉइंटिंग प्रमेय।तदनुसार, वेक्टर पीबुलाया पॉयंटिंग वेक्टर. नाम भी अक्सर उपयोग किए जाते हैं "उमोव-पोयंटिंग प्रमेय"और " उमोव-पोयंटिंग वेक्टर" इस तथ्य पर जोर देने के लिए कि एक ऊर्जा प्रवाह की अवधारणा की शुरूआत के साथ एक सामान्य रूप में ऊर्जा के संरक्षण के नियम का सूत्रीकरण और इसके घनत्व को दर्शाने वाला एक वेक्टर सबसे पहले एन.ए. द्वारा दिया गया था। 1874 में उमोव।
ध्यान दें कि ऊर्जा मात्रा में प्रवेश कर सकती है वीन केवल बाहरी स्रोतों से। उदाहरण के लिए, सतह S के माध्यम से ऊर्जा प्रवाह को आसपास के स्थान से आयतन में निर्देशित किया जा सकता है वी. इस स्थिति में, शक्ति PΣ ऋणात्मक होगी, क्योंकि आयतन छोड़ने वाले ऊर्जा प्रवाह को धनात्मक माना जाता है वीआसपास के अंतरिक्ष में (तत्व दिशा डी एससतह S के बाहरी सामान्य की दिशा के साथ मेल खाता है)।
तृतीय-पक्ष स्रोत न केवल ऊर्जा दे सकते हैं, बल्कि इसे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र से भी प्राप्त कर सकते हैं। इस स्थिति में, तृतीय-पक्ष स्रोतों की शक्ति नकारात्मक होगी। वास्तव में, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र चालन धारा को ऊर्जा देता है यदि यह आवेशित कणों की गति को तेज करता है जो विद्युत धारा बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, विद्युत क्षेत्र की ताकत वेक्टर ई में वर्तमान लाइनों के साथ एक घटक उन्मुख होना चाहिए, अर्थात। वैक्टर के डॉट उत्पाद के लिए इऔर जेसेंट शून्य से अधिक था।
आइए अधिक विस्तार से उन सूत्रों पर विचार करें जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा को निर्धारित करते हैं। (1.131) और (1.132) हम = (1/2)εE2 और wm = (1/2)μH2 में समाकलन क्रमशः विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के आयतन ऊर्जा घनत्व के तात्कालिक मूल्यों के रूप में व्याख्या किए जा सकते हैं, और उनकी राशि
(1.135)
विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की कुल ऊर्जा के आयतन घनत्व के रूप में।
हम इस बात पर जोर देते हैं कि सुपरपोज़िशन का सिद्धांत, जो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की शक्तियों के वैक्टर से संतुष्ट है, ऊर्जा पर लागू नहीं होता है। वास्तव में, क्षेत्र को ऊर्जा दें ई 1, एच 1और ई 2, एच 2, क्षेत्र में अलग से मौजूद है वी, क्रमशः बराबर डब्ल्यू1 और डब्ल्यू2 . फिर कुल क्षेत्र की ऊर्जा इ = ई 1 + ई2, एच = एच1 + एच 2अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित होता है
क्षेत्रों की पारस्परिक ऊर्जा। म्युचुअल एनर्जी W12 या तो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकती है। यदि वैक्टर ई 1,और ई2, और एच 1और एच 2परस्पर लंबवत, तो W12 = 0।
परिवर्तनशील प्रक्रियाओं के मामले में, विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा का वितरण लगातार बदलता रहता है। किसी दिए गए बिंदु पर यह परिवर्तन समीकरण (1.122) के आधार पर निर्धारित किया जा सकता है, जिसे आसानी से इस प्रकार दर्शाया जाता है:
(1.136)
जहां ρst = - एजसेंट और ρp = एजक्रमशः तृतीय-पक्ष स्रोतों की शक्ति घनत्व और जूल हानियों की शक्ति के तात्कालिक मूल्य हैं। संबंध (1.122) से समीकरण (1.136) तक जाते समय, सूत्र (1.125) और (1.135) को ध्यान में रखा जाता है। समीकरण (1.136) है पॉयंटिंग प्रमेय का विभेदक रूप।