ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को हल करने के नियम। नकारात्मक अंक

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "नकारात्मक संख्याओं के जोड़ और घटाव के उदाहरण"

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दोस्तों, कवर की गई सामग्री को दोहराते हैं।

जोड़ना- यह एक गणितीय संक्रिया है, जिसके बाद हमें मूल संख्याओं (पहला पद और दूसरा पद) का योग प्राप्त होगा।

किसी संख्या का निरपेक्ष माननिर्देशांक रेखा पर मूल बिंदु से किसी बिंदु तक की दूरी है।
संख्या मॉड्यूल में कुछ गुण हैं:
1. संख्या शून्य का मॉड्यूल शून्य के बराबर है।
2. एक सकारात्मक संख्या का मॉड्यूल, उदाहरण के लिए, पाँच ही संख्या पाँच है।
3. एक ऋणात्मक संख्या का मापांक, उदाहरण के लिए, माइनस सात, धनात्मक संख्या सात है।

दो ऋणात्मक संख्याओं का योग

दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय, आप मापांक की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं। तब आप संख्याओं के चिह्नों को छोड़ सकते हैं और उनके मॉड्यूल जोड़ सकते हैं, और योग के लिए एक ऋणात्मक चिन्ह निर्दिष्ट कर सकते हैं, क्योंकि प्रारंभ में दोनों संख्याएँ ऋणात्मक थीं।

उदाहरण के लिए, आपको संख्याएँ जोड़ने की आवश्यकता है: - 5 + (-23)=?
हम संकेतों को त्याग देते हैं और संख्याओं के मॉड्यूल जोड़ते हैं। हम पाते हैं: 5 + 23 = 28।
अब चलिए परिणामी योग के लिए एक ऋण चिह्न निर्दिष्ट करते हैं।
उत्तर :- 28.

अधिक अतिरिक्त उदाहरण।

39 + (-45) = - 84
-193 + (-205) = -398

भिन्नात्मक संख्याओं को जोड़ते समय आप उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण: -0.12 + (-3.4) = -3.52

सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं का जोड़

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ना एक ही चिह्न वाली संख्याओं को जोड़ने से थोड़ा भिन्न होता है।

एक उदाहरण पर विचार करें: 14 + (-29) =?
समाधान।
1. हम संकेतों को त्याग देते हैं, हमें 14 और 29 नंबर मिलते हैं।
2. छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाएं: 29 - 14।
3. अंतर से पहले, उस संख्या का चिन्ह लगाएं, जिसका मापांक बड़ा हो। हमारे उदाहरण में, यह संख्या -29 है।

14 + (-29) = -15

उत्तर :-15.

संख्या रेखा का उपयोग करके संख्याओं को जोड़ना

यदि आपको ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने में समस्या हो रही है, तो आप संख्या रेखा विधि का उपयोग कर सकते हैं। यह छोटी संख्या के लिए स्पष्ट और सुविधाजनक है।
उदाहरण के लिए, आइए दो संख्याएँ जोड़ें: -6 और +8। आइए संख्या रेखा पर बिंदु -6 अंकित करें।

फिर हम संख्या -6 आठ स्थितियों का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु को दाईं ओर ले जाते हैं, क्योंकि दूसरा पद +8 के बराबर है और हम संख्या +2 को दर्शाने वाले बिंदु पर पहुंचेंगे।

उत्तर: +2।

उदाहरण 2
आइए दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते हैं: -2 और (-4)।
संख्या रेखा पर बिन्दु -2 अंकित करते हैं।

फिर हम इसे चार स्थान बाईं ओर ले जाते हैं, क्योंकि दूसरा पद -4 के बराबर है और हम बिंदु -6 पर पहुँचते हैं।

उत्‍तर है -6।

यह विधि सुविधाजनक है, लेकिन यह बोझिल है, क्योंकि आपको एक संख्या रेखा खींचनी होगी।

धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ
समन्वय रेखा
सीधे चलते हैं। हम इस पर बिंदु 0 (शून्य) अंकित करते हैं और इस बिंदु को मूल बिंदु के रूप में लेते हैं।

आइए हम एक तीर से गति की दिशा को एक सीधी रेखा के साथ उत्पत्ति के दाईं ओर इंगित करें। इस दिशा में बिंदु 0 से हम सकारात्मक संख्याओं को स्थगित कर देंगे।

अर्थात्, शून्य को छोड़कर, पहले से ही हमें ज्ञात संख्याएँ धनात्मक कहलाती हैं।

कभी-कभी सकारात्मक संख्याएं "+" चिह्न के साथ लिखी जाती हैं। उदाहरण के लिए, "+8"।

संक्षिप्तता के लिए, सकारात्मक संख्या के सामने "+" चिह्न आमतौर पर छोड़ा जाता है और "+8" के बजाय वे केवल 8 लिखते हैं।

इसलिए, "+3" और "3" एक ही संख्या हैं, केवल अलग-अलग नामित हैं।

आइए कुछ खंड चुनें, जिसकी लंबाई हम एकता के रूप में लेंगे और इसे कई बार बिंदु 0 के दाईं ओर रख देंगे। पहले खंड के अंत में नंबर 1 लिखा है, दूसरे के अंत में - नंबर 2, आदि।

मूल बिंदु के बाईं ओर एक खंड रखने पर, हमें ऋणात्मक संख्याएँ मिलती हैं: -1; -2; वगैरह।

नकारात्मक अंकविभिन्न मात्राओं को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है, जैसे: तापमान (शून्य से नीचे), प्रवाह - अर्थात, नकारात्मक आय, गहराई - नकारात्मक ऊँचाई, और अन्य।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, ऋणात्मक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें हम पहले से ही जानते हैं, केवल एक ऋण चिह्न के साथ: -8; -5.25 आदि।

• संख्या 0 न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

संख्यात्मक अक्ष को आमतौर पर क्षैतिज या लंबवत रखा जाता है।

यदि समन्वय रेखा लंबवत है, तो मूल से ऊपर की दिशा को आमतौर पर सकारात्मक माना जाता है, और मूल से नीचे की दिशा को नकारात्मक माना जाता है।

तीर सकारात्मक दिशा को दर्शाता है।

सीधी रेखा चिह्नित:
. संदर्भ बिंदु (बिंदु 0);
. एकल खंड;
. तीर सकारात्मक दिशा को इंगित करता है;
बुलाया समन्वय रेखा या संख्या रेखा।

समन्वय रेखा पर विपरीत संख्याएँ
आइए समन्वय रेखा पर दो बिंदुओं A और B को चिह्नित करें, जो क्रमशः बिंदु 0 से दाएं और बाएं समान दूरी पर स्थित हैं।

इस स्थिति में, OA और OB खंडों की लंबाई समान होती है।

इसका मतलब यह है कि अंक ए और बी के निर्देशांक केवल साइन में भिन्न होते हैं।


बिंदु A और B को मूल बिंदु के बारे में सममित भी कहा जाता है।
बिंदु A का निर्देशांक धनात्मक "+2" है, बिंदु B के निर्देशांक का ऋण चिह्न "-2" है।
ए (+2), बी (-2)।

• वे संख्याएँ जो केवल चिह्न में भिन्न होती हैं, विपरीत संख्याएँ कहलाती हैं। संख्यात्मक (समन्वय) अक्ष के संबंधित बिंदु मूल के सापेक्ष सममित हैं।

हर नंबर एक विपरीत संख्या है. केवल संख्या 0 का कोई विपरीत नहीं है, लेकिन हम कह सकते हैं कि यह स्वयं के विपरीत है।

अंकन "-ए" का अर्थ "ए" के विपरीत है। याद रखें कि एक अक्षर धनात्मक संख्या और ऋणात्मक संख्या दोनों को छुपा सकता है।

उदाहरण:
-3, 3 के विपरीत है।

हम इसे एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखते हैं:
-3 = -(+3)

उदाहरण:
-(-6) - ऋणात्मक संख्या -6 के विपरीत संख्या। अतः -(-6) धनात्मक संख्या 6 है।

हम इसे एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखते हैं:
-(-6) = 6

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ना
धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के योग को संख्या रेखा का उपयोग करके पार्स किया जा सकता है।

छोटे मॉडुलो नंबरों का जोड़ आसानी से समन्वय रेखा पर किया जाता है, मानसिक रूप से एक बिंदु के रूप में कल्पना करता है जो संख्या अक्ष के साथ चलता है।

आइए कुछ संख्या लेते हैं, उदाहरण के लिए, 3. आइए इसे बिंदु A के साथ संख्या अक्ष पर निरूपित करें।

आइए संख्या में एक सकारात्मक संख्या 2 जोड़ें। इसका मतलब यह होगा कि बिंदु A को दो इकाई खंडों को एक सकारात्मक दिशा में, यानी दाईं ओर ले जाना चाहिए। नतीजतन, हम बिंदु बी को समन्वय 5 के साथ प्राप्त करेंगे।
3 + (+ 2) = 5

एक ऋणात्मक संख्या (-5) को एक धनात्मक संख्या में जोड़ने के लिए, उदाहरण के लिए, 3 में, बिंदु A को लंबाई की 5 इकाइयों को ऋणात्मक दिशा में, यानी बाईं ओर ले जाना चाहिए।

इस स्थिति में, बिंदु B का निर्देशांक -2 है।

अतः, संख्या अक्ष का उपयोग करके परिमेय संख्याओं को जोड़ने का क्रम इस प्रकार होगा:
. पहले पद के बराबर निर्देशांक के साथ समन्वय रेखा पर एक बिंदु A को चिह्नित करें;
. इसे दूसरी अवधि के मापांक के बराबर उस दिशा में ले जाएं जो दूसरी संख्या के सामने के चिह्न से मेल खाती है (प्लस - दाईं ओर ले जाएं, माइनस - बाईं ओर);
. अक्ष पर प्राप्त बिंदु B का एक निर्देशांक होगा जो इन संख्याओं के योग के बराबर होगा।

उदाहरण।
- 2 + (- 6) =

बिंदु - 2 से बाईं ओर जाने पर (चूंकि 6 के सामने एक ऋण चिह्न है), हमें - 8 मिलता है।
- 2 + (- 6) = - 8

समान चिह्न वाली संख्याओं का जोड़
यदि आप मापांक की अवधारणा का उपयोग करते हैं तो परिमेय संख्याओं को जोड़ना आसान होता है।

मान लीजिए कि हमें समान चिह्न वाली संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है।
ऐसा करने के लिए, हम संख्याओं के चिह्नों को त्याग देते हैं और इन संख्याओं के मॉड्यूल लेते हैं। हम मॉड्यूल जोड़ते हैं और योग के सामने चिन्ह लगाते हैं, जो इन संख्याओं के लिए सामान्य था।

उदाहरण।

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का एक उदाहरण।
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• एक ही चिन्ह की संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल जोड़ने और उस राशि के सामने चिन्ह लगाने की आवश्यकता है जो शर्तों के सामने थी।

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का जोड़
यदि संख्याओं के अलग-अलग चिन्ह हैं, तो हम समान चिह्नों के साथ संख्याओं को जोड़ते समय कुछ अलग तरीके से कार्य करते हैं।
. हम संख्याओं के सामने के संकेतों को त्याग देते हैं, अर्थात हम उनके मॉड्यूल लेते हैं।
. बड़े में से छोटा घटाओ।
. अंतर से पहले, हम यह चिन्ह लगाते हैं कि एक बड़े मापांक वाली संख्या थी।

एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या को जोड़ने का एक उदाहरण।
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

मिश्रित संख्याओं को जोड़ने का एक उदाहरण।

विभिन्न चिह्नों की संख्या जोड़ने के लिए:
. बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाएं;
. परिणामी अंतर से पहले, उस संख्या का चिन्ह लगाएं जिसमें बड़ा मापांक हो।

ऋणात्मक संख्याओं का घटाव
जैसा कि आप जानते हैं, घटाना जोड़ के विपरीत है।
यदि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, तो संख्या a में से संख्या b घटाने का अर्थ है एक संख्या c ज्ञात करना, जो संख्या b में जोड़ने पर संख्या a देती है।
ए - बी = सी या सी + बी = ए

घटाव की परिभाषा सभी परिमेय संख्याओं के लिए सही है। वह है सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं का घटावजोड़कर प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

• एक संख्या में से दूसरी संख्या घटाने के लिए, आपको विपरीत संख्या को न्यूनतम में जोड़ना होगा।

या, दूसरे तरीके से, हम कह सकते हैं कि संख्या b का घटाव समान जोड़ है, लेकिन संख्या b के विपरीत संख्या के साथ।
ए - बी = ए + (- बी)

उदाहरण।
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

उदाहरण।
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• यह नीचे दिए गए भावों को याद रखने योग्य है।
• 0 - ए = - ए
• ए - 0 = ए
• ए - ए = 0

ऋणात्मक संख्याओं को घटाने के नियम
जैसा कि आप ऊपर के उदाहरणों से देख सकते हैं, संख्या b का घटाव संख्या b के विपरीत संख्या के साथ जोड़ है।
यह नियम न केवल एक बड़ी संख्या से छोटी संख्या को घटाते समय संरक्षित है, बल्कि आपको एक बड़ी संख्या को एक छोटी संख्या से घटाने की भी अनुमति देता है, अर्थात आप हमेशा दो संख्याओं के बीच का अंतर पा सकते हैं।

अंतर धनात्मक संख्या, ऋणात्मक संख्या या शून्य हो सकता है।

ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को घटाने के उदाहरण।
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
साइन नियम को याद रखना सुविधाजनक है, जो आपको ब्रैकेट की संख्या कम करने की अनुमति देता है।
धन चिह्न संख्या के चिह्न को नहीं बदलता है, इसलिए यदि कोष्ठक के सामने धन चिह्न है, तो कोष्ठक में चिह्न नहीं बदलता है।
+ (+ ए) = + ए

+ (- ए) = - ए

कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न कोष्ठक में संख्या के चिह्न को उलट देता है।
- (+ ए) = - ए

- (- ए) = + ए

समताओं से यह देखा जा सकता है कि यदि कोष्ठक के पहले और अंदर समान चिह्न हों तो हमें "+" प्राप्त होता है और यदि चिह्न भिन्न हों तो हमें "-" प्राप्त होता है।
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

यदि कोष्ठक में एक संख्या नहीं है, लेकिन संख्याओं का बीजगणितीय योग है, तो संकेतों का नियम भी संरक्षित है।
ए - (- बी + सी) + (डी - के + एन) = ए + बी - सी + डी - के + एन

कृपया ध्यान दें कि यदि कोष्ठकों में कई संख्याएँ हैं और कोष्ठकों के सामने एक ऋण चिह्न है, तो इन कोष्ठकों में सभी संख्याओं के सामने के चिह्नों को बदलना होगा।

संकेतों के नियम को याद रखने के लिए, आप किसी संख्या के संकेतों को निर्धारित करने के लिए तालिका बना सकते हैं।
संख्याओं के लिए साइन नियम

या एक साधारण नियम सीखें।

• दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं,
• प्लस गुना माइनस माइनस के बराबर होता है।

ऋणात्मक संख्याओं का गुणन
किसी संख्या के मापांक की अवधारणा का उपयोग करते हुए, हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम बनाते हैं।

समान चिह्नों वाली संख्याओं का गुणन
पहला मामला जिसका आप सामना कर सकते हैं वह एक ही चिन्ह के साथ संख्याओं का गुणन है।
समान चिह्न वाली दो संख्याओं का गुणा करने के लिए:
. संख्याओं के गुणा मॉड्यूल;
. परिणामी उत्पाद से पहले एक "+" चिह्न लगाएं (उत्तर लिखते समय, बाईं ओर पहले नंबर से पहले धन चिह्न छोड़ा जा सकता है)।

ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को गुणा करने के उदाहरण।
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का गुणन
दूसरा संभावित मामला विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का गुणन है।
अलग-अलग चिह्नों वाली दो संख्याओं का गुणा करने के लिए:
. संख्याओं के गुणा मॉड्यूल;
. परिणामी कार्य के सामने "-" चिन्ह लगाएं।
ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को गुणा करने के उदाहरण।
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

गुणन के लिए संकेतों के नियम
गुणन के लिए चिह्नों के नियम को याद रखना बहुत आसान है। यह नियम कोष्ठक विस्तार नियम के समान है।

• दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं,
• प्लस गुना माइनस माइनस के बराबर होता है।

"लंबे" उदाहरणों में, जिसमें केवल गुणन क्रिया होती है, उत्पाद का चिह्न नकारात्मक कारकों की संख्या से निर्धारित किया जा सकता है।

पर यहां तक ​​कीनकारात्मक कारकों की संख्या, परिणाम सकारात्मक होगा, और साथ अजीबमात्रा ऋणात्मक है।
उदाहरण।
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

उदाहरण में, पाँच ऋणात्मक गुणक हैं। अतः परिणाम का चिन्ह ऋण होगा।
अब हम चिह्नों को अनदेखा करते हुए मोडुली का गुणनफल परिकलित करते हैं।
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

मूल संख्याओं को गुणा करने का अंतिम परिणाम होगा:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

शून्य और एक से गुणा
यदि कारकों में शून्य या धनात्मक संख्या है, तो गुणन ज्ञात नियमों के अनुसार किया जाता है।
. 0। ए = 0
. एक। 0 = 0
. एक। 1 = ए
उदाहरण:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
परिमेय संख्याओं के गुणन में एक विशेष भूमिका ऋणात्मक इकाई (-1) द्वारा निभाई जाती है।

• जब (-1) से गुणा किया जाता है, तो संख्या उलट जाती है।

शाब्दिक शब्दों में, इस संपत्ति को लिखा जा सकता है:
एक। (- 1) = (- 1) . ए = - ए

परिमेय संख्याओं को एक साथ जोड़ने, घटाने और गुणा करने पर, धनात्मक संख्याओं और शून्य के लिए स्थापित संक्रियाओं का क्रम संरक्षित रहता है।

ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को गुणा करने का एक उदाहरण।

ऋणात्मक संख्याओं का विभाजन
नकारात्मक संख्याओं को कैसे विभाजित किया जाए, यह समझना आसान है, यह याद रखना कि विभाजन गुणन का व्युत्क्रम है।

यदि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, तो संख्या a को संख्या b से विभाजित करने का अर्थ है एक संख्या c ज्ञात करना, जिसे b से गुणा करने पर, संख्या a प्राप्त होती है।

विभाजन की यह परिभाषा किसी भी परिमेय संख्या के लिए मान्य है जब तक कि विभाजक अशून्य हैं।

इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या (- 15) को संख्या 5 से विभाजित करने का अर्थ है एक संख्या ज्ञात करना, जो संख्या 5 से गुणा करने पर, संख्या (- 15) देती है। यह संख्या (- 3) होगी, क्योंकि
(- 3) . 5 = - 15

साधन

(- 15) : 5 = - 3

परिमेय संख्याओं के विभाजन के उदाहरण।
1. 10: 5 = 2 चूंकि 2। 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2 चूंकि 2। (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6 चूंकि (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, चूंकि (- 3) . (-4) = 12

यह उदाहरणों से देखा जा सकता है कि समान चिह्न वाली दो संख्याओं का भागफल एक धनात्मक संख्या है (उदाहरण 1, 2), और विभिन्न चिह्न वाली दो संख्याओं का भागफल एक ऋणात्मक संख्या है (उदाहरण 3,4)।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियम
भागफल का मापांक ज्ञात करने के लिए, आपको भाज्य के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करना होगा।
इसलिए, दो संख्याओं को समान चिह्नों से विभाजित करने के लिए, आपको चाहिए:

. परिणाम के पहले "+" चिह्न लगाएं।
समान चिह्नों वाली संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

अलग-अलग चिह्नों वाली दो संख्याओं को विभाजित करने के लिए:
. भाज्य के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करें;
. परिणाम के पहले "-" चिह्न लगाएं।
अलग-अलग चिह्नों वाली संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
भागफल चिह्न निर्धारित करने के लिए आप निम्न तालिका का भी उपयोग कर सकते हैं।
विभाजित करते समय संकेतों का नियम

"लंबे" भावों की गणना करते समय, जिसमें केवल गुणा और भाग दिखाई देते हैं, साइन नियम का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, एक अंश की गणना करने के लिए

आप ध्यान दे सकते हैं कि अंश में 2 "माइनस" चिन्ह हैं, जो गुणा करने पर "प्लस" देगा। हर में तीन ऋण चिन्ह भी होते हैं, जिन्हें गुणा करने पर ऋण आता है। इसलिए, अंत में, परिणाम ऋण चिह्न के साथ होगा।

अंश में कमी (संख्याओं के मॉड्यूल के साथ आगे की क्रियाएं) पहले की तरह ही की जाती हैं:

• शून्य को शून्येतर संख्या से भाग देने पर भागफल शून्य होता है।
• 0: ए = 0, ए ≠ 0
• शून्य से विभाजित मत करो!

एक से विभाजित करने के लिए पहले से ज्ञात सभी नियम परिमेय संख्याओं के समुच्चय पर भी लागू होते हैं।
. ए: 1 = ए
. ए: (- 1) = - ए
. ए: ए = 1
जहाँ a कोई परिमेय संख्या है।

गुणन और विभाजन के परिणामों के बीच निर्भरता, जो सकारात्मक संख्याओं के लिए जानी जाती हैं, सभी परिमेय संख्याओं के लिए भी संरक्षित हैं (संख्या शून्य को छोड़कर):
. यदि एक । बी = सी; ए = सी: बी; बी = सी: ए;
. अगर ए: बी = सी; ए = एस। बी; बी = ए: सी
इन निर्भरताओं का उपयोग अज्ञात कारक, लाभांश और भाजक (समीकरणों को हल करते समय) के साथ-साथ गुणा और विभाजन के परिणामों की जांच के लिए किया जाता है।

अज्ञात खोजने का एक उदाहरण।
एक्स । (-5) = 10

एक्स=10: (-5)

एक्स = -2

अंशों में ऋण चिह्न
संख्या (- 5) को 6 से और संख्या 5 को (- 6) से विभाजित करें।

हम आपको याद दिलाते हैं कि एक साधारण अंश के अंकन में रेखा एक ही विभाजन चिह्न है, और हम इनमें से प्रत्येक क्रिया के भागफल को एक नकारात्मक अंश के रूप में लिखते हैं।

इस प्रकार, एक अंश में ऋण चिह्न हो सकता है:
. अंश से पहले
. अंश में;
. भाजक में।

• नकारात्मक अंश लिखते समय, आप अंश के सामने एक ऋण चिन्ह लगा सकते हैं, इसे अंश से भाजक या भाजक से अंश में स्थानांतरित कर सकते हैं।

इसका उपयोग अक्सर अंशों पर संचालन करते समय किया जाता है, जिससे गणना करना आसान हो जाता है।

उदाहरण। कृपया ध्यान दें कि कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न लगाने के बाद, हम अलग-अलग चिह्नों के साथ संख्याओं को जोड़ने के नियमों के अनुसार बड़े मॉड्यूल से छोटे को घटाते हैं।


अंशों में वर्णित साइन ट्रांसफर संपत्ति का उपयोग करके, आप यह पता लगाए बिना कार्य कर सकते हैं कि इनमें से किस भिन्नात्मक संख्या का मापांक अधिक है।

नकारात्मक अंकऋण चिह्न (-) वाली संख्याएँ हैं, उदाहरण के लिए -1, -2, -3। पढ़ता है: माइनस एक, माइनस दो, माइनस तीन।

आवेदन उदाहरण नकारात्मक संख्याएक थर्मामीटर है जो शरीर, हवा, मिट्टी या पानी का तापमान दिखाता है। सर्दियों में, जब बाहर बहुत ठंड होती है, तो तापमान ऋणात्मक होता है (या, जैसा कि लोग कहते हैं, "माइनस")।

उदाहरण के लिए, -10 डिग्री ठंडा:

जिन सामान्य संख्याओं पर हमने पहले विचार किया था, जैसे 1, 2, 3, उन्हें धनात्मक कहा जाता है। धनात्मक संख्याएँ धन चिह्न (+) वाली संख्याएँ होती हैं।

सकारात्मक संख्या लिखते समय, + चिह्न नीचे नहीं लिखा जाता है, यही कारण है कि हम संख्या 1, 2, 3 देखते हैं जो हमारे परिचित हैं। लेकिन यह ध्यान रखना चाहिए कि ये सकारात्मक संख्याएं इस तरह दिखती हैं: +1, + 2, +3।

पाठ सामग्री

यह एक सीधी रेखा है जिस पर सभी संख्याएँ स्थित हैं: ऋणात्मक और धनात्मक दोनों। निम्नलिखित नुसार:

यहाँ -5 से 5 तक की संख्याएँ दिखाई गई हैं। वास्तव में, निर्देशांक रेखा अनंत है। चित्र इसका केवल एक छोटा सा अंश दिखाता है।

निर्देशांक रेखा पर संख्याओं को बिंदुओं के रूप में चिह्नित किया जाता है। आकृति में, बोल्ड ब्लैक डॉट शुरुआती बिंदु है। उलटी गिनती शून्य से शुरू होती है। संदर्भ बिंदु के बाईं ओर, ऋणात्मक संख्याएँ चिह्नित हैं, और दाईं ओर, सकारात्मक संख्याएँ हैं।

समन्वय रेखा दोनों ओर अनिश्चित काल तक जारी रहती है। गणित में अनंत को प्रतीक ∞ द्वारा निरूपित किया जाता है। नकारात्मक दिशा को प्रतीक −∞ द्वारा दर्शाया जाएगा, और सकारात्मक दिशा को प्रतीक +∞ द्वारा दर्शाया जाएगा। तब हम कह सकते हैं कि माइनस इनफिनिटी से प्लस इनफिनिटी तक की सभी संख्याएँ निर्देशांक रेखा पर स्थित हैं:

निर्देशांक रेखा पर प्रत्येक बिंदु का अपना नाम और निर्देशांक होता है। नामकोई लैटिन अक्षर है। कोआर्डिनेटएक संख्या है जो इस रेखा पर एक बिंदु की स्थिति को इंगित करती है। सीधे शब्दों में कहें तो निर्देशांक वही संख्या है जिसे हम निर्देशांक रेखा पर अंकित करना चाहते हैं।

उदाहरण के लिए, बिंदु A(2) के रूप में पढ़ता है "बिंदु A समन्वय 2 के साथ" और निम्नानुसार समन्वय रेखा पर निरूपित किया जाएगा:

यहाँ एबिंदु का नाम है, 2 बिंदु का निर्देशांक है एक।

उदाहरण 2प्वाइंट बी (4) के रूप में पढ़ता है "बिंदु बी समन्वय 4 पर"

यहाँ बीबिंदु का नाम है, 4 बिंदु का निर्देशांक है बी।

उदाहरण 3बिंदु M(−3) को इस प्रकार पढ़ा जाता है "बिंदु एम समन्वय शून्य तीन के साथ" और निम्नानुसार समन्वय रेखा पर निरूपित किया जाएगा:

यहाँ एमबिंदु का नाम है, -3 बिंदु M का निर्देशांक है .

बिंदुओं को किसी भी अक्षर से दर्शाया जा सकता है। लेकिन आम तौर पर उन्हें बड़े लैटिन अक्षरों के साथ नामित करने के लिए स्वीकार किया जाता है। इसके अलावा, रिपोर्ट की शुरुआत, जिसे अन्यथा कहा जाता है मूलआमतौर पर एक बड़े अक्षर O द्वारा निरूपित किया जाता है

यह देखना आसान है कि ऋणात्मक संख्याएँ मूल बिंदु के बाईं ओर स्थित हैं, और धनात्मक संख्याएँ दाईं ओर।

जैसे मुहावरे हैं "जितना अधिक बाईं ओर, उतना कम"और "जितना अधिक दाईं ओर, उतना अधिक". आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं। बाईं ओर प्रत्येक चरण के साथ, संख्या नीचे की ओर घटती जाएगी। और दाईं ओर प्रत्येक चरण के साथ संख्या बढ़ती जाएगी। दाईं ओर इंगित करने वाला तीर गिनती की सकारात्मक दिशा को इंगित करता है।

ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं की तुलना करना

नियम 1 कोई भी ऋणात्मक संख्या किसी भी धनात्मक संख्या से छोटी होती है।

उदाहरण के लिए, आइए दो संख्याओं की तुलना करें: -5 और 3. माइनस फाइव कमतीन से अधिक, इस तथ्य के बावजूद कि पांच पहली बार आंख को पकड़ता है, तीन से अधिक संख्या के रूप में।

ऐसा इसलिए है क्योंकि -5 ऋणात्मक है और 3 धनात्मक है। निर्देशांक रेखा पर, आप देख सकते हैं कि संख्याएँ -5 और 3 कहाँ स्थित हैं

यह देखा जा सकता है कि -5 बाईं ओर स्थित है, और 3 दाईं ओर। और हमने कहा "जितना अधिक बाईं ओर, उतना कम" . और नियम कहता है कि कोई भी ऋणात्मक संख्या किसी भी धनात्मक संख्या से छोटी होती है। इसलिए यह इस प्रकार है

−5 < 3

"शून्य से पांच तीन से कम है"

नियम 2 दो ऋणात्मक संख्याओं में से छोटी वह है जो निर्देशांक रेखा पर बाईं ओर स्थित है।

उदाहरण के लिए, आइए संख्याओं -4 और -1 की तुलना करें। घटा चार कममाइनस एक की तुलना में।

यह फिर से इस तथ्य के कारण है कि समन्वय रेखा पर -4 -1 की तुलना में बाईं ओर अधिक स्थित है

यह देखा जा सकता है कि -4 बाईं ओर और -1 दाईं ओर स्थित है। और हमने कहा "जितना अधिक बाईं ओर, उतना कम" . और नियम कहता है कि दो ऋणात्मक संख्याओं में, जो समन्वय रेखा पर बाईं ओर स्थित है वह कम है। इसलिए यह इस प्रकार है

माइनस चार माइनस एक से कम है

नियम 3 शून्य किसी भी ऋणात्मक संख्या से बड़ा है।

उदाहरण के लिए, आइए 0 और -3 की तुलना करें। शून्य अधिकमाइनस तीन की तुलना में। यह इस तथ्य के कारण है कि समन्वय रेखा पर 0 -3 के दाईं ओर स्थित है

यह देखा जा सकता है कि 0 दाईं ओर स्थित है, और -3 बाईं ओर। और हमने कहा "जितना अधिक दाईं ओर, उतना अधिक" . और नियम कहता है कि शून्य किसी भी ऋणात्मक संख्या से बड़ा होता है। इसलिए यह इस प्रकार है

शून्य ऋण तीन से अधिक है

नियम 4 शून्य किसी भी धनात्मक संख्या से छोटा होता है।

उदाहरण के लिए, 0 और 4 की तुलना करें। शून्य कम 4 की तुलना में। सिद्धांत रूप में, यह स्पष्ट और सत्य है। लेकिन हम इसे फिर से समन्वय रेखा पर अपनी आँखों से देखने की कोशिश करेंगे:

यह देखा जा सकता है कि समन्वय रेखा पर 0 बाईं ओर और 4 दाईं ओर स्थित है। और हमने कहा "जितना अधिक बाईं ओर, उतना कम" . और नियम कहता है कि शून्य किसी भी धनात्मक संख्या से छोटा होता है। इसलिए यह इस प्रकार है

शून्य चार से कम है

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व्यावहारिक रूप से गणित का पूरा पाठ्यक्रम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं वाली संक्रियाओं पर आधारित है। आखिरकार, जैसे ही हम समन्वय रेखा का अध्ययन करना शुरू करते हैं, प्लस और माइनस संकेतों वाली संख्याएं हमें हर जगह, हर नए विषय में मिलने लगती हैं। साधारण धनात्मक संख्याओं को एक साथ जोड़ने से आसान कुछ भी नहीं है, एक को दूसरे से घटाना मुश्किल नहीं है। यहां तक ​​कि दो ऋणात्मक संख्याओं के साथ अंकगणित भी विरले ही कोई समस्या होती है।

हालांकि कई लोग अलग-अलग चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने और घटाने में भ्रमित हो जाते हैं। उन नियमों को याद करें जिनके द्वारा ये क्रियाएँ होती हैं।

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का जोड़

यदि समस्या को हल करने के लिए हमें एक निश्चित संख्या "a" में एक ऋणात्मक संख्या "-b" जोड़ने की आवश्यकता है, तो हमें निम्नानुसार कार्य करने की आवश्यकता है।

• आइए दोनों संख्याओं के मॉड्यूल लें - |a| और |बी| - और इन निरपेक्ष मूल्यों की एक दूसरे से तुलना करें।
• ध्यान दें कि कौन सा मॉड्यूल बड़ा है और कौन सा छोटा है, और छोटे मान को बड़े मान से घटाएं।
• हम परिणामी संख्या से पहले उस संख्या का चिन्ह लगाते हैं जिसका मापांक बड़ा होता है।

यही उत्तर होगा। इसे और अधिक सरल रूप से रखा जा सकता है: यदि अभिव्यक्ति में a + (-b) संख्या "b" का मापांक "a" के मापांक से अधिक है, तो हम "a" को "b" से घटाते हैं और "ऋण" लगाते हैं "परिणाम के सामने। यदि मापांक "ए" अधिक है, तो "बी" को "ए" से घटाया जाता है - और समाधान "प्लस" चिह्न के साथ प्राप्त होता है।

ऐसा भी होता है कि मॉड्यूल बराबर होते हैं। यदि ऐसा है, तो आप इस बिंदु पर रुक सकते हैं - हम विपरीत संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, और उनका योग हमेशा शून्य होगा।

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का घटाव

हमने जोड़ का पता लगाया, अब घटाव के नियम पर विचार करें। यह भी काफी सरल है - और इसके अलावा, यह दो नकारात्मक संख्याओं को घटाने के समान नियम को पूरी तरह से दोहराता है।

एक निश्चित संख्या "ए" से घटाना - मनमाना, यानी किसी भी संकेत के साथ - एक नकारात्मक संख्या "सी", आपको हमारी मनमानी संख्या "ए" को "सी" के विपरीत संख्या में जोड़ना होगा। उदाहरण के लिए:

• यदि "ए" एक सकारात्मक संख्या है, और "सी" ऋणात्मक है, और "सी" को "ए" से घटाया जाना चाहिए, तो हम इसे इस तरह लिखते हैं: ए - (-सी) \u003d ए + सी।
• यदि "a" एक ऋणात्मक संख्या है, और "c" धनात्मक है, और "c" को "a" से घटाया जाना चाहिए, तो हम निम्नानुसार लिखते हैं: (- a) - c \u003d - a + (-c)।

इस प्रकार, विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को घटाते समय, हम अंतत: जोड़ के नियमों की ओर लौटते हैं, और भिन्न-भिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ते समय, हम घटाव के नियमों की ओर लौटते हैं। इन नियमों को याद रखने से आप समस्याओं को जल्दी और आसानी से हल कर सकते हैं।