सबसे छोटी अभाज्य संख्या। प्रमुख संख्या

यह लेख अभाज्य और भाज्य संख्याओं की अवधारणाओं से संबंधित है। ऐसी संख्याओं की परिभाषाएँ उदाहरण सहित दी गई हैं। हम एक प्रमाण देते हैं कि प्राइम्स की संख्या असीमित है और एराटोस्थनीज की विधि का उपयोग करके प्राइम्स की तालिका में प्रवेश करते हैं। प्रमाण दिया जाएगा कि कोई संख्या अभाज्य है या संयुक्त।

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अभाज्य और संयुक्त संख्याएँ - परिभाषाएँ और उदाहरण

अभाज्य और मिश्रित संख्याओं को धनात्मक पूर्णांक के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। वे एक से अधिक होने चाहिए। विभाजक भी सरल और संयुक्त में विभाजित हैं। भाज्य संख्याओं की अवधारणा को समझने के लिए पहले भाजक और गुणज की अवधारणाओं का अध्ययन करना आवश्यक है।

परिभाषा 1

अभाज्य संख्याएँ पूर्णांक हैं जो एक से अधिक हैं और जिनके दो धनात्मक भाजक हैं, अर्थात् स्वयं और 1।

परिभाषा 2

समग्र संख्याएँ पूर्णांक हैं जो एक से अधिक हैं और कम से कम तीन सकारात्मक भाजक हैं।

एक न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या। इसका केवल एक धनात्मक भाजक है, इसलिए यह अन्य सभी धनात्मक संख्याओं से भिन्न है। सभी सकारात्मक पूर्णांक प्राकृतिक कहलाते हैं, अर्थात गिनती में उपयोग किए जाते हैं।

परिभाषा 3

प्रमुख संख्यावे प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनमें केवल दो धनात्मक भाजक होते हैं।

परिभाषा 4

समग्र संख्याएक प्राकृतिक संख्या है जिसमें दो से अधिक धनात्मक भाजक होते हैं।

1 से बड़ी कोई भी संख्या या तो अभाज्य या संयुक्त होती है। विभाज्यता की संपत्ति से, हमारे पास वह 1 है और संख्या a हमेशा किसी भी संख्या a के लिए विभाज्य होगी, अर्थात यह स्वयं और 1 से विभाज्य होगी। हम पूर्णांकों की परिभाषा देते हैं।

परिभाषा 5

प्राकृतिक संख्याएँ जो अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 11, 17, 131, 523। वे केवल स्वयं से और 1 से विभाज्य हैं। संयुक्त संख्याएँ: 6, 63, 121, 6697। अर्थात्, संख्या 6 को 2 और 3 में और 63 को 1, 3, 7, 9, 21, 63 और 121 को 11, 11 में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात इसके भाजक 1, 11, 121 होंगे। संख्या 6697 37 और 181 में विघटित हो जाएगी। ध्यान दें कि अभाज्य संख्याओं और अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं की अवधारणाएँ अलग-अलग अवधारणाएँ हैं।

अभाज्य संख्याओं का उपयोग करना आसान बनाने के लिए, आपको एक तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है:

सभी मौजूदा प्राकृतिक संख्याओं के लिए तालिका अवास्तविक है, क्योंकि उनमें से अनंत संख्याएँ हैं। जब संख्या 10000 या 1000000000 के आकार तक पहुंच जाए, तो आपको एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करने के बारे में सोचना चाहिए।

एक प्रमेय पर विचार करें जो अंतिम कथन की व्याख्या करता है।

प्रमेय 1

1 के अलावा 1 से अधिक प्राकृतिक संख्या का सबसे छोटा सकारात्मक भाजक एक अभाज्य संख्या है।

प्रमाण 1

मान लें कि a 1 से अधिक एक प्राकृतिक संख्या है, b, a का सबसे छोटा गैर-एक भाजक है। हमें विरोधाभास विधि का उपयोग करके सिद्ध करना होगा कि b एक अभाज्य संख्या है।

मान लीजिए b एक भाज्य संख्या है। यहाँ से हमें पता चलता है कि b के लिए एक भाजक है, जो 1 और साथ ही b से अलग है। ऐसे भाजक को b 1 के रूप में निरूपित किया जाता है। यह आवश्यक है कि शर्त 1< b 1 < b पूरा हो गया है।

यह स्थिति से देखा जा सकता है कि a, b से विभाज्य है, b, b 1 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि विभाज्यता की अवधारणा इस प्रकार व्यक्त की जाती है: ए = बी क्यूऔर b = b 1 q 1 , जहाँ से a = b 1 (q 1 q), जहाँ q और क्यू 1पूर्णांक हैं। पूर्णांकों के गुणन के नियम के अनुसार, हमारे पास यह है कि पूर्णांकों का गुणनफल a = b 1 · (q 1 · q) रूप की समानता वाला पूर्णांक है। यह देखा जा सकता है कि बी 1 a का भाजक है। असमानता 1< b 1 < b नहींमेल खाता है, क्योंकि हमें मिलता है कि b, a का सबसे छोटा धनात्मक गैर-1 भाजक है।

प्रमेय 2

अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ होती हैं।

प्रमाण 2

मान लीजिए कि हम प्राकृतिक संख्याओं की एक परिमित संख्या लेते हैं और p 1 , p 2 , … , p n के रूप में निरूपित करते हैं। आइए संकेतित लोगों से अलग एक अभाज्य संख्या को खोजने के एक प्रकार पर विचार करें।

संख्या p पर विचार करें, जो p 1 , p 2 , … , p n + 1 के बराबर है। यह p 1 , p 2 , … , p n रूप की अभाज्य संख्याओं से संबंधित प्रत्येक संख्या के बराबर नहीं है। संख्या p अभाज्य है। तब प्रमेय को सिद्ध माना जाता है। यदि यह समग्र है, तो हमें अंकन p n + 1 लेने की आवश्यकता है और p 1 , p 2 , … , p n में से किसी के साथ विभाजक बेमेल दिखाएँ।

यदि ऐसा नहीं होता, तो गुणनफल p 1 , p 2 , … , p n के विभाज्यता गुण के आधार पर , हम पाते हैं कि यह p n + 1 से विभाज्य होगा। ध्यान दें कि व्यंजक p n + 1 संख्या p को विभाजित किया गया योग p 1, p 2, …, p n + 1 के बराबर है। हमें वह व्यंजक p n + 1 प्राप्त होता है इस राशि का दूसरा पद, जो 1 के बराबर है, को विभाजित किया जाना चाहिए, लेकिन यह असंभव है।

यह देखा जा सकता है कि दी गई अभाज्य संख्याओं में से कोई भी अभाज्य संख्या पाई जा सकती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं।

चूँकि बहुत सारी अभाज्य संख्याएँ हैं, तालिकाएँ 100, 1000, 10000 और इसी तरह की संख्याओं तक सीमित हैं।

अभाज्य संख्याओं की तालिका बनाते समय, इस तथ्य को ध्यान में रखा जाना चाहिए कि इस तरह के कार्य के लिए 2 से 100 तक संख्याओं की क्रमिक जाँच की आवश्यकता होती है। यदि कोई भाजक नहीं है, तो इसे तालिका में दर्ज किया जाता है, यदि यह संयुक्त है, तो तालिका में दर्ज नहीं किया जाता है।

आइए चरण दर चरण विचार करें।

यदि आप संख्या 2 से शुरू करते हैं, तो इसमें केवल 2 भाजक हैं: 2 और 1, जिसका अर्थ है कि इसे तालिका में दर्ज किया जा सकता है। साथ ही नंबर 3 के साथ। संख्या 4 समग्र है, इसे 2 और 2 में विघटित किया जाना चाहिए। संख्या 5 अभाज्य है, जिसका अर्थ है कि इसे तालिका में तय किया जा सकता है। ऐसा 100 नंबर तक करें।

यह तरीका असुविधाजनक और समय लेने वाला है। आप एक टेबल बना सकते हैं, लेकिन आपको बहुत समय देना होगा। विभाज्यता मानदंड का उपयोग करना आवश्यक है, जो विभाजक खोजने की प्रक्रिया को गति देगा।

एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करने की विधि सबसे सुविधाजनक मानी जाती है। आइए नीचे दी गई तालिकाओं पर एक नज़र डालें। प्रारंभ में 2, 3, 4, ..., 50 अंक लिखे जाते हैं।

अब आपको उन सभी संख्याओं को काट देना है जो 2 के गुणक हैं। क्रमिक स्ट्राइकथ्रू बनाएं। हमें फॉर्म की एक टेबल मिलती है:

आइए उन संख्याओं को पार करने की ओर बढ़ते हैं जो 5 के गुणक हैं। हम पाते हैं:

हम उन संख्याओं को काट देते हैं जो 7, 11 के गुणक हैं। अंत में तालिका दिखती है

आइए हम प्रमेय के सूत्रीकरण की ओर बढ़ते हैं।

प्रमेय 3

आधार संख्या a का सबसे छोटा धनात्मक और गैर-1 भाजक a से अधिक नहीं होता है, जहाँ a दी गई संख्या का अंकगणितीय मूल है।

प्रमाण 3

बी को समग्र संख्या ए के सबसे छोटे विभाजक के रूप में निरूपित करना आवश्यक है। एक पूर्णांक q है, जहाँ a = b · q है, और हमारे पास वह b ≤ q है। रूप की असमानता बी > क्यूक्योंकि शर्त का उल्लंघन किया गया है। असमानता b ≤ q के दोनों पक्षों को किसी सकारात्मक संख्या b से गुणा किया जाना चाहिए जो 1 के बराबर नहीं है। हमें वह b b ≤ b q मिलता है, जहाँ b 2 ≤ a और b ≤ a है।

यह सिद्ध प्रमेय से देखा जा सकता है कि तालिका में संख्याओं का विलोपन इस तथ्य की ओर ले जाता है कि एक संख्या से शुरू करना आवश्यक है जो b 2 के बराबर है और असमानता b 2 ≤ a को संतुष्ट करती है। अर्थात्, यदि आप उन संख्याओं को काट देते हैं जो 2 के गुणक हैं, तो प्रक्रिया 4 से शुरू होती है, और जो 3 के गुणक हैं वे 9 से शुरू होती हैं, और इसी तरह 100 तक।

एराटोस्थनीज के प्रमेय का उपयोग करते हुए ऐसी तालिका को संकलित करना कहता है कि जब सभी संमिश्र संख्याओं को पार कर लिया जाता है, तो ऐसे प्रधान बने रहेंगे जो n से अधिक नहीं हैं। उदाहरण में जहां n = 50 है, हमारे पास वह n = 50 है। यहाँ से हम पाते हैं कि Eratosthenes की छलनी उन सभी मिश्रित संख्याओं को छान लेती है जो 50 के मूल के मान से अधिक नहीं हैं। संख्याओं की खोज क्रॉस आउट करके की जाती है।

हल करने से पहले, यह पता लगाना आवश्यक है कि संख्या अभाज्य है या संयुक्त। विभाज्यता मानदंड अक्सर उपयोग किए जाते हैं। आइए इसे नीचे दिए गए उदाहरण में देखें।

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि 898989898989898989 एक भाज्य संख्या है।

समाधान

दी गई संख्या के अंकों का योग 9 8 + 9 9 = 9 17 है। तो संख्या 9 17 9 से विभाज्य है, 9 से विभाज्यता के चिन्ह के आधार पर। यह इस प्रकार है कि यह समग्र है।

ऐसे चिन्ह किसी संख्या की प्रधानता सिद्ध करने में सक्षम नहीं होते हैं। यदि सत्यापन की आवश्यकता है, तो अन्य कदम उठाए जाने चाहिए। संख्याओं की गणना करना सबसे उपयुक्त तरीका है। प्रक्रिया के दौरान, अभाज्य और संयुक्त संख्याएँ पाई जा सकती हैं। अर्थात्, मान में संख्या एक से अधिक नहीं होनी चाहिए। यही है, संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित होना चाहिए। यदि यह सत्य है, तो संख्या a को अभाज्य माना जा सकता है।

उदाहरण 2

समग्र या अभाज्य संख्या 11723 निर्धारित करें।

समाधान

अब आपको संख्या 11723 के सभी भाजक खोजने होंगे। 11723 का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है।

यहाँ से हम देखते हैं कि 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , और 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

संख्या 11723 के अधिक सटीक अनुमान के लिए, अभिव्यक्ति 108 2 = 11 664 लिखना आवश्यक है, और 109 2 = 11 881 , वह 108 2 < 11 723 < 109 2 . यह इस से अनुसरण करता है कि 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

विघटित करते समय, हम पाते हैं कि 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83, 89, 97, 101, 103, 107 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं। इस पूरी प्रक्रिया को एक स्तंभ द्वारा विभाजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। यानी 11723 को 19 से भाग दें। संख्या 19 इसके कारकों में से एक है, क्योंकि हमें शेषफल के बिना भाग मिलता है। आइए विभाजन को एक स्तंभ द्वारा चित्रित करें:

इससे पता चलता है कि 11723 एक भाज्य संख्या है, क्योंकि स्वयं और 1 के अतिरिक्त इसमें एक भाजक 19 है।

उत्तर: 11723 एक मिश्रित संख्या है।

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अन्य सभी प्राकृतिक संख्याएँ संयुक्त कहलाती हैं। प्राकृतिक संख्या 1 न तो अभाज्य है और न ही संयुक्त।

उदाहरण

व्यायाम।निम्नलिखित में से कौन सी प्राकृतिक संख्याएँ अभाज्य हैं:

उत्तर।

एक नंबर फैक्टरिंग

प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में प्राकृत संख्या का निरूपण कहलाता है गुणन. यदि किसी प्राकृत संख्या के गुणनखंडन में सभी गुणनखंड अभाज्य संख्याएँ हों, तो ऐसा गुणनखंडन कहलाता है मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया.

प्रमेय

(अंकगणित का मूल प्रमेय)

1 के अलावा प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है, और, इसके अलावा, एक अनूठे तरीके से (यदि हम अपघटन की पहचान करते हैं और , जहाँ और अभाज्य संख्याएँ हैं)।

किसी संख्या के अपघटन में समान प्रमुख कारकों को मिलाकर, हम एक संख्या के तथाकथित विहित अपघटन को प्राप्त करते हैं:

जहाँ , विभिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, और प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

उदाहरण

व्यायाम।संख्याओं का विहित विस्तार ज्ञात कीजिए:

समाधान।संख्याओं के विहित विस्तार को खोजने के लिए, आपको पहले उन्हें प्रमुख कारकों में विघटित करना होगा, और फिर उन्हीं कारकों को जोड़ना होगा और उनके उत्पाद को एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के रूप में लिखना होगा:

उत्तर।

ऐतिहासिक संदर्भ

कैसे निर्धारित करें कि कौन सी संख्या अभाज्य है और कौन सी नहीं? किसी भी संख्यात्मक अंतराल में सभी अभाज्य संख्याओं को खोजने का सबसे आम तरीका तीसरी शताब्दी में प्रस्तावित किया गया था। ईसा पूर्व इ। एराटोस्थनीज (विधि को "एराटोस्थनीज की छलनी" कहा जाता है)। मान लीजिए कि हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन सी संख्याएँ अभाज्य हैं। हम उन्हें एक पंक्ति में लिखते हैं और संख्या 2 के बाद आने वाली प्रत्येक दूसरी संख्या को काट देते हैं - वे सभी मिश्रित हैं, क्योंकि वे संख्या 2 के गुणक हैं। शेष असंबद्ध संख्याओं में से पहला - 3 - अभाज्य है। संख्या 3 का अनुसरण करने वालों में से प्रत्येक तीसरी संख्या को काट दें; बिना कटे नंबरों में से अगला - 5 - भी प्राइम होगा। इसी सिद्धांत के अनुसार, हम संख्या 5 का अनुसरण करने वालों में से प्रत्येक पाँचवीं संख्या को काट देते हैं और, सामान्य तौर पर, संख्या का अनुसरण करने वालों में से प्रत्येक -e को। शेष सभी अकाटित संख्याएँ अभाज्य होंगी।

जैसे-जैसे अभाज्य संख्याएँ बढ़ती हैं, वे कम और कम आम होते जाते हैं। हालाँकि, पहले से ही पूर्वजों को इस तथ्य के बारे में अच्छी तरह से पता था कि उनमें से अनंत संख्याएँ हैं। इसकी उपपत्ति यूक्लिड के तत्वों में दी गई है।

अभाज्य संख्याएक प्राकृतिक (सकारात्मक पूर्णांक) संख्या है जो बिना शेष के केवल दो प्राकृतिक संख्याओं से विभाज्य है: स्वयं द्वारा और स्वयं। दूसरे शब्दों में, एक अभाज्य संख्या में ठीक दो प्राकृतिक विभाजक होते हैं: और स्वयं संख्या।

परिभाषा के अनुसार, एक अभाज्य संख्या के सभी विभाजकों का समुच्चय दो-तत्व है, अर्थात एक सेट है।

सभी अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार, अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की परिभाषा के आधार पर, हम लिख सकते हैं: .

अभाज्य संख्याओं का क्रम इस प्रकार है:

अंकगणित का मौलिक प्रमेय

अंकगणित का मौलिक प्रमेययह दावा करता है कि एक से अधिक प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में, और अद्वितीय तरीके से, कारकों के क्रम तक दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार, अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के प्राथमिक "निर्माण खंड" हैं।

एक प्राकृतिक संख्या शीर्षक का अपघटन=" QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत किया गया" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} कैनन का:

जहां एक अभाज्य संख्या है, और . उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या का विहित विस्तार इस तरह दिखता है: .

प्राइम्स के उत्पाद के रूप में प्राकृतिक संख्या का प्रतिनिधित्व भी कहा जाता है संख्या गुणनखंडन.

अभाज्य संख्याओं के गुण

एराटोस्थनीज की छलनी

अभाज्य संख्याओं को खोजने और पहचानने के लिए सबसे प्रसिद्ध एल्गोरिदम में से एक है एराटोस्थनीज की चलनी. इसलिए इस एल्गोरिथम का नाम साइरेन के ग्रीक गणितज्ञ एराटोस्थनीज के नाम पर रखा गया, जिन्हें एल्गोरिथम का लेखक माना जाता है।

एराटोस्थनीज की विधि का पालन करते हुए, दी गई संख्या से कम सभी अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, आपको इन चरणों का पालन करने की आवश्यकता है:

स्टेप 1।दो से , तक सभी प्राकृत संख्याओं को एक पंक्ति में लिखिए। .
चरण दोएक चर के लिए एक मान निर्दिष्ट करें, जो कि सबसे छोटी अभाज्य संख्या के बराबर मान है।
चरण 3सूची में से गुणज तक की सभी संख्याओं को हटा दें, अर्थात, संख्याएँ:।
चरण 4से बड़ी सूची में पहली बिना तराशी हुई संख्या का पता लगाएं, और उस संख्या का मान चर को निर्दिष्ट करें।
चरण 5संख्या तक पहुँचने तक चरण 3 और 4 को दोहराएं।

एल्गोरिथ्म को लागू करने की प्रक्रिया इस तरह दिखेगी:

एल्गोरिथम को लागू करने की प्रक्रिया के अंत में सूची में शेष सभी असंबद्ध संख्याएँ अभाज्य संख्याओं का एक समूह होंगी।

गोल्डबैक की परिकल्पना

"अंकल पेट्रोस एंड द गोल्डबैक कंजेक्चर" पुस्तक का कवर

इस तथ्य के बावजूद कि गणितज्ञों द्वारा लंबे समय तक अभाज्य संख्याओं का अध्ययन किया गया है, आज भी कई संबंधित समस्याएं अनसुलझी हैं। सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याओं में से एक है गोल्डबैक का अनुमान, जो इस प्रकार तैयार किया गया है:

• क्या यह सच है कि दो से बड़ी प्रत्येक सम संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है (गोल्डबैक का बाइनरी अनुमान)?
• क्या यह सच है कि 5 से बड़ी प्रत्येक विषम संख्या को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है (गोल्डबैक का त्रिअर्थी अनुमान)?

यह कहा जाना चाहिए कि टर्नरी गोल्डबैक अनुमान बाइनरी गोल्डबैक अनुमान का एक विशेष मामला है, या, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, टर्नरी गोल्डबैक अनुमान बाइनरी गोल्डबैक अनुमान से कमजोर है।

ब्लूम्सबरी यूएसए (यूएसए) और फैबर एंड फैबर (यूके) प्रकाशन कंपनियों द्वारा एक विज्ञापन मार्केटिंग स्टंट के लिए गोल्डबैक का अनुमान 2000 में गणितीय समुदाय के बाहर व्यापक रूप से जाना जाने लगा। इन प्रकाशन गृहों ने, "अंकल पेट्रोस एंड गोल्डबैक्स कंजेक्चर" नामक पुस्तक का विमोचन करते हुए, गोल्डबैक के अनुमान को सिद्ध करने वाले को पुस्तक के प्रकाशन की तिथि से 2 वर्ष के भीतर 1 मिलियन अमेरिकी डॉलर का पुरस्कार देने का वादा किया। कभी-कभी प्रकाशकों से उल्लिखित पुरस्कार सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं को हल करने के लिए पुरस्कारों से भ्रमित होता है। कोई गलती न करें, क्ले इंस्टीट्यूट द्वारा गोल्डबैक परिकल्पना को मिलेनियम चैलेंज के रूप में सूचीबद्ध नहीं किया गया है, हालांकि यह निकट से संबंधित है रीमैन परिकल्पनामिलेनियम चुनौतियों में से एक।

पुस्तक "सरल संख्याएँ। अनंत तक लंबी सड़क

"गणित की दुनिया" पुस्तक का कवर। साधारण अंक। अनंत तक लंबी सड़क

इसके अलावा, मैं एक आकर्षक लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक पढ़ने की सलाह देता हूं, जिसका एनोटेशन कहता है: “अभाज्य संख्याओं की खोज गणित की सबसे विरोधाभासी समस्याओं में से एक है। वैज्ञानिक कई सहस्राब्दियों से इसे सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन नए संस्करणों और परिकल्पनाओं को प्राप्त करते हुए, यह रहस्य अभी भी अनसुलझा है। अभाज्य संख्याओं की उपस्थिति किसी भी प्रणाली के अधीन नहीं है: गणितज्ञों द्वारा उनके अनुक्रम में पैटर्न की पहचान करने के सभी प्रयासों की अनदेखी करते हुए, वे सहज रूप से प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला में उत्पन्न होते हैं। यह पुस्तक पाठक को प्राचीन काल से लेकर आज तक के वैज्ञानिक विचारों के विकास का पता लगाने और अभाज्य संख्याओं की खोज के सबसे जिज्ञासु सिद्धांतों को पेश करने की अनुमति देगी।

इसके अलावा, मैं इस पुस्तक के दूसरे अध्याय की शुरुआत को उद्धृत करूंगा: "अभाज्य संख्याएं उन महत्वपूर्ण विषयों में से एक हैं जो हमें गणित की शुरुआत में वापस लाती हैं, और फिर, बढ़ती जटिलता के रास्ते पर, हमें काटने की ओर ले जाती हैं। आधुनिक विज्ञान की धार। इस प्रकार, अभाज्य संख्याओं के सिद्धांत के आकर्षक और जटिल इतिहास का पता लगाना बहुत उपयोगी होगा: यह वास्तव में कैसे विकसित हुआ, वास्तव में उन तथ्यों और सत्यों को कैसे एकत्र किया गया जिन्हें अब आम तौर पर स्वीकार किया जाता है। इस अध्याय में हम देखेंगे कि कैसे गणितज्ञों की पीढ़ियों ने एक ऐसे नियम की खोज में प्राकृतिक संख्याओं का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया है जो अभाज्य संख्याओं की उपस्थिति की भविष्यवाणी करता है, एक ऐसा नियम जो खोज के दौरान अधिक से अधिक मायावी हो गया। हम ऐतिहासिक संदर्भ पर भी करीब से नज़र डालेंगे: गणितज्ञों ने किन परिस्थितियों में काम किया और किस हद तक उनके काम में रहस्यमय और अर्ध-धार्मिक प्रथाएँ शामिल थीं जो हमारे समय में उपयोग की जाने वाली वैज्ञानिक विधियों के समान नहीं हैं। फिर भी, धीरे-धीरे और कठिनाई के साथ, 17वीं और 18वीं शताब्दी में फर्मेट और यूलर को प्रेरित करने वाले नए विचारों के लिए जमीन तैयार की गई।

• अनुवाद

अभाज्य संख्याओं के गुणों का अध्ययन सबसे पहले प्राचीन यूनान के गणितज्ञों ने किया था। पायथागॉरियन स्कूल (500 - 300 ईसा पूर्व) के गणितज्ञ मुख्य रूप से अभाज्य संख्याओं के रहस्यमय और संख्यात्मक गुणों में रुचि रखते थे। वे सबसे पहले परफेक्ट और फ्रेंडली नंबर्स के बारे में आईडिया लेकर आए थे।

एक पूर्ण संख्या के स्वयं के भाजक स्वयं के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 के उचित विभाजक हैं: 1, 2 और 3. 1 + 2 + 3 = 6. संख्या 28 के विभाजक 1, 2, 4, 7 और 14 हैं। इसके अलावा, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28।

संख्याओं को अनुकूल कहा जाता है यदि एक संख्या के उचित विभाजक का योग दूसरे के बराबर है, और इसके विपरीत - उदाहरण के लिए, 220 और 284। हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण संख्या स्वयं के अनुकूल है।

300 ईसा पूर्व में यूक्लिड के "शुरुआत" के काम की उपस्थिति के समय तक। अभाज्य संख्याओं के बारे में कई महत्वपूर्ण तथ्य पहले ही सिद्ध हो चुके हैं। तत्वों की पुस्तक IX में, यूक्लिड ने सिद्ध किया कि अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या होती है। वैसे, यह विरोधाभास द्वारा प्रमाण के उपयोग के पहले उदाहरणों में से एक है। वह अंकगणित के मूल प्रमेय को भी सिद्ध करता है - प्रत्येक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में एक अनोखे तरीके से दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने यह भी दिखाया कि यदि संख्या 2 n -1 अभाज्य है, तो संख्या 2 n-1 * (2 n -1) पूर्ण होगी। एक अन्य गणितज्ञ, यूलर, 1747 में यह दिखाने में सक्षम था कि सभी पूर्ण संख्याओं को भी इस रूप में लिखा जा सकता है। आज तक, यह ज्ञात नहीं है कि विषम पूर्ण संख्याएँ मौजूद हैं या नहीं।

वर्ष 200 ई.पू. ग्रीक एराटोस्थनीज ने अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म के साथ आया, जिसे एराटोस्थनीज की छलनी कहा जाता है।

और फिर मध्य युग से जुड़े अभाज्य संख्याओं के अध्ययन के इतिहास में एक बड़ा ब्रेक आया।

17 वीं शताब्दी की शुरुआत में गणितज्ञ फर्मेट द्वारा निम्नलिखित खोज की गई थी। उन्होंने अल्बर्ट गिरार्ड के अनुमान को सिद्ध किया कि 4n+1 के रूप की किसी भी अभाज्य संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है, और एक प्रमेय भी तैयार किया कि किसी भी संख्या को चार वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने बड़ी संख्या के लिए एक नई गुणनखंड विधि विकसित की, और इसे 2027651281 = 44021 × 46061 संख्या पर प्रदर्शित किया। उन्होंने फ़र्मेट की छोटी प्रमेय को भी सिद्ध किया: यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो a p = a modulo p किसी पूर्णांक a के लिए सत्य होगा।

यह कथन "चीनी परिकल्पना" के रूप में जाना जाने वाला आधा साबित करता है और 2000 साल पहले की तारीखें: एक पूर्णांक n अभाज्य है अगर और केवल अगर 2n-2 n से विभाज्य है। परिकल्पना का दूसरा भाग गलत निकला - उदाहरण के लिए, 2341 - 2 341 से विभाज्य है, हालाँकि संख्या 341 समग्र है: 341 = 31 × 11।

फर्मेट की छोटी प्रमेय संख्या सिद्धांत में कई अन्य परिणामों का आधार था और यह परीक्षण करने के तरीके थे कि संख्याएं प्रमुख हैं या नहीं, जिनमें से कई आज भी उपयोग में हैं।

फ़र्मेट ने अपने समकालीनों के साथ बड़े पैमाने पर पत्राचार किया, विशेष रूप से मारिन मेर्सेन नामक एक भिक्षु के साथ। अपने एक पत्र में, उन्होंने अनुमान लगाया कि 2 n + 1 के रूप की संख्याएँ हमेशा अभाज्य होंगी यदि n दो की शक्ति है। उन्होंने n = 1, 2, 4, 8, और 16 के लिए इसका परीक्षण किया, और यह निश्चित था कि जब n दो की घात नहीं है, तो संख्या आवश्यक रूप से अभाज्य नहीं थी। इन नंबरों को फर्मेट नंबर कहा जाता है, और यह 100 साल बाद तक नहीं था कि यूलर ने दिखाया कि अगली संख्या, 232 + 1 = 4294967297, 641 से विभाज्य है और इसलिए अभाज्य नहीं है।

फॉर्म 2 n - 1 की संख्या भी शोध का विषय रही है, क्योंकि यह दिखाना आसान है कि यदि n समग्र है, तो संख्या स्वयं भी समग्र है। इन नंबरों को मेर्सेन नंबर कहा जाता है क्योंकि उन्होंने सक्रिय रूप से उनका अध्ययन किया था।

लेकिन 2 n - 1 के रूप की सभी संख्याएँ, जहाँ n अभाज्य है, अभाज्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89। इसे पहली बार 1536 में खोजा गया था।

कई वर्षों तक, इस प्रकार की संख्याओं ने गणितज्ञों को सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्याएँ प्रदान कीं। कि संख्या M 19 को 1588 में Cataldi द्वारा सिद्ध किया गया था, और 200 वर्षों तक सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या थी, जब तक कि Euler ने यह साबित नहीं कर दिया कि M 31 भी अभाज्य है। यह रिकॉर्ड एक और सौ साल तक चला, और फिर लुकास ने दिखाया कि एम 127 प्रमुख है (और यह पहले से ही 39 अंकों की संख्या है), और उसके बाद, कंप्यूटर के आगमन के साथ अनुसंधान जारी रहा।

1952 में, संख्या एम 521, एम 607, एम 1279, एम 2203 और एम 2281 की प्रमुखता साबित हुई थी।

2005 तक, 42 Mersenne primes पाए गए थे। उनमें से सबसे बड़ा, एम 25964951, 7816230 अंकों का है।

यूलर के कार्य का अभाज्य संख्याओं सहित संख्या सिद्धांत पर बहुत प्रभाव पड़ा। उन्होंने फर्मेट के लिटिल प्रमेय को बढ़ाया और φ-फ़ंक्शन पेश किया। 5वीं फर्मेट संख्या 2 32 +1 का गुणनखंडन किया, अनुकूल संख्याओं के 60 जोड़े पाए, और पारस्परिकता के द्विघात नियम को तैयार किया (लेकिन सिद्ध करने में विफल रहे)।

वह पहले व्यक्ति थे जिन्होंने गणितीय विश्लेषण के तरीकों को पेश किया और संख्याओं के विश्लेषणात्मक सिद्धांत को विकसित किया। उन्होंने सिद्ध किया कि न केवल हार्मोनिक श्रृंखला ∑ (1/n), बल्कि एक श्रृंखला का रूप भी है

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों के योग से प्राप्त, विचलन भी करता है। हार्मोनिक श्रृंखला के एन पदों का योग लगभग लॉग (एन) की तरह बढ़ता है, जबकि दूसरी श्रृंखला धीरे-धीरे अलग हो जाती है, जैसे लॉग [लॉग (एन)]। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, आज तक पाई गई सभी अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग केवल 4 देगा, हालाँकि श्रृंखला अभी भी अलग है।

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि अभाज्य संख्याएँ यादृच्छिक रूप से पूर्णांकों के बीच वितरित की जाती हैं। उदाहरण के लिए, 10000000 से ठीक पहले की 100 संख्याओं में 9 अभाज्य संख्याएँ हैं, और इस मान के तुरंत बाद की 100 संख्याओं में से केवल 2 हैं। लेकिन बड़े खंडों पर, अभाज्य संख्याएँ समान रूप से वितरित की जाती हैं। लीजेंड्रे और गॉस ने उनके वितरण का काम संभाला। गॉस ने एक बार एक मित्र से कहा था कि किसी भी मुफ्त 15 मिनट में वह हमेशा अगली 1000 संख्याओं में अभाज्य संख्याएँ गिनता है। अपने जीवन के अंत तक उन्होंने 30 लाख तक की सभी अभाज्य संख्याओं को गिन लिया था। लीजेंड्रे और गॉस ने समान रूप से गणना की कि बड़े एन के लिए प्राइम की घनत्व 1/लॉग (एन) है। लीजेंड्रे ने 1 और n के बीच प्राइम्स की संख्या का अनुमान लगाया

π(एन) = एन/(लॉग (एन) - 1.08366)

और गॉस - एक लघुगणकीय अभिन्न के रूप में

π(एन) = / 1/लॉग(टी) डीटी

2 से n तक एकीकरण अंतराल के साथ।

अभाज्य संख्या 1/log(n) के घनत्व के बारे में कथन को अभाज्य संख्या प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उन्नीसवीं सदी के दौरान उन्होंने इसे साबित करने की कोशिश की और चेबिशेव और रीमैन ने प्रगति की। उन्होंने इसे रीमैन हाइपोथीसिस से जोड़ा, जो रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य के वितरण के बारे में एक अब तक अप्रमाणित अनुमान है। 1896 में हैडमार्ड और डे ला वल्ली-पौसिन द्वारा प्राइम्स के घनत्व को एक साथ सिद्ध किया गया था।

अभाज्य संख्याओं के सिद्धांत में अभी भी कई अनसुलझे प्रश्न हैं, जिनमें से कुछ सैकड़ों वर्ष पुराने हैं:

• जुड़वां प्रधान परिकल्पना - अभाज्य संख्याओं के अनंत जोड़े के बारे में जो एक दूसरे से 2 से भिन्न होते हैं
• गोल्डबैक का अनुमान: 4 से शुरू होने वाली किसी भी सम संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है
• क्या n 2 + 1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
• क्या n 2 और (n + 1) 2 के बीच अभाज्य संख्या ज्ञात करना हमेशा संभव है? (तथ्य यह है कि n और 2n के बीच हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है जिसे चेबिशेव ने सिद्ध किया था)
• क्या फर्मेट प्राइम्स की अनंत संख्या है? क्या चौथे के बाद कोई फर्मेट प्राइम्स हैं?
• क्या किसी दी गई लंबाई के लिए लगातार प्राइम्स की अंकगणितीय प्रगति है? उदाहरण के लिए, लंबाई 4: 251, 257, 263, 269 के लिए। अधिकतम लंबाई 26 मिली है।
• क्या एक अंकगणितीय प्रगति में लगातार तीन अभाज्य संख्याओं के अनंत सेट हैं?
• n 2 - n + 41 0 ≤ n ≤ 40 के लिए एक अभाज्य संख्या है। क्या ऐसी अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? सूत्र n 2 - 79 n + 1601 के लिए वही प्रश्न। ये संख्याएँ 0 ≤ n ≤ 79 के लिए अभाज्य हैं।
• क्या n# + 1 के रूप में अनंत अभाज्य संख्याएँ हैं? (एन # एन से कम सभी अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का परिणाम है)
• क्या n# -1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
• क्या n! के रूप की अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? +1?
• क्या n! के रूप की अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? - 1?
• यदि p अभाज्य है, तो क्या 2 p -1 हमेशा चुकता अभाज्यों के गुणनखंडों में शामिल नहीं होता है
• क्या फाइबोनैचि अनुक्रम में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या होती है?

सबसे बड़ी जुड़वां अभाज्य संख्याएँ 2003663613 × 2 195000 ± 1 हैं। इनमें 58711 अंक होते हैं और 2007 में पाए गए थे।

सबसे बड़ी क्रमगुणित अभाज्य संख्या (n! ± 1 के रूप में) 147855 है! - 1. इसमें 142891 अंक होते हैं और इसे 2002 में खोजा गया था।

सबसे बड़ी मूल अभाज्य संख्या (n# ± 1 के रूप की एक संख्या) 1098133# + 1 है।

संख्याएँ भिन्न होती हैं: प्राकृतिक, प्राकृतिक, परिमेय, पूर्णांक और भिन्नात्मक, धनात्मक और ऋणात्मक, जटिल और अभाज्य, विषम और सम, वास्तविक, आदि। इस लेख से आप जान सकते हैं कि अभाज्य संख्याएँ क्या हैं।

किस संख्या को अंग्रेजी शब्द "सरल" कहा जाता है?

बहुत बार, स्कूली बच्चों को यह नहीं पता होता है कि गणित में सबसे सरल प्रतीत होने वाले प्रश्नों में से एक का उत्तर कैसे देना है, एक अभाज्य संख्या क्या है। वे अक्सर अभाज्य संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं के साथ भ्रमित करते हैं (अर्थात, वे संख्याएँ जिनका उपयोग लोग वस्तुओं की गिनती करते समय करते हैं, जबकि कुछ स्रोतों में वे शून्य से शुरू होते हैं, और अन्य में - एक से)। लेकिन ये दो बिल्कुल अलग अवधारणाएं हैं। अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं, अर्थात् पूर्णांक और धनात्मक संख्याएँ जो एक से अधिक होती हैं और जिनमें केवल 2 प्राकृतिक भाजक होते हैं। इस मामले में, इनमें से एक विभाजक दी गई संख्या है, और दूसरा एक इकाई है। उदाहरण के लिए, तीन एक अभाज्य संख्या है क्योंकि यह स्वयं और एक के अलावा किसी अन्य संख्या से समान रूप से विभाज्य नहीं है।

समग्र संख्या

अभाज्य संख्याओं के विपरीत भाज्य संख्याएँ होती हैं। वे प्राकृतिक भी हैं, एक से अधिक भी हैं, लेकिन दो नहीं, बल्कि अधिक विभाजक हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्याएँ 4, 6, 8, 9, आदि प्राकृतिक, संयुक्त हैं, लेकिन अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, ये ज्यादातर सम संख्याएँ हैं, लेकिन सभी नहीं। लेकिन "दो" एक सम संख्या है और अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला में "पहली संख्या" है।

परिणाम को

अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला बनाने के लिए, सभी प्राकृतिक संख्याओं का चयन करना आवश्यक है, उनकी परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, अर्थात, आपको विरोधाभास द्वारा कार्य करने की आवश्यकता है। इस विषय पर प्रत्येक प्राकृतिक धनात्मक संख्या पर विचार करना आवश्यक है कि क्या इसमें दो से अधिक विभाजक हैं। आइए एक श्रृंखला (अनुक्रम) बनाने की कोशिश करें जिसमें अभाज्य संख्याएँ हों। सूची दो से शुरू होती है, फिर तीन आती है, क्योंकि यह केवल स्वयं और एक से विभाज्य है। संख्या चार पर विचार करें। क्या इसमें चार और एक के अलावा अन्य विभाजक हैं? हाँ, वह संख्या 2 है। अतः चार अभाज्य संख्या नहीं है। पांच भी अभाज्य है (1 और 5 के अलावा, यह किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं है), लेकिन छह विभाज्य है। और सामान्य तौर पर, यदि आप सभी सम संख्याओं का अनुसरण करते हैं, तो आप देखेंगे कि "दो" के अलावा उनमें से कोई भी अभाज्य नहीं है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सम संख्याएँ, दो को छोड़कर, अभाज्य नहीं हैं। एक और खोज: सभी संख्याएँ जो तीन से विभाज्य हैं, स्वयं त्रिगुण को छोड़कर, चाहे सम या विषम, भी अभाज्य नहीं हैं (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, आदि)। यही बात उन संख्याओं पर भी लागू होती है जो पाँच और सात से विभाज्य हैं। उनका पूरा सेट भी सरल नहीं है। आइए संक्षेप करते हैं। तो, सभी विषम संख्याएँ, एक और नौ को छोड़कर, सरल एकल-अंकीय संख्याओं से संबंधित हैं, और सम से केवल "दो" हैं। स्वयं दहाई (10, 20,... 40, आदि) प्राइम नहीं हैं। दो अंकों, तीन अंकों आदि अभाज्य संख्याओं को उपरोक्त सिद्धांतों के आधार पर परिभाषित किया जा सकता है: यदि उनके पास स्वयं और एक के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं है।

अभाज्य संख्याओं के गुणों के बारे में सिद्धांत

एक विज्ञान है जो अभाज्य सहित पूर्णांकों के गुणों का अध्ययन करता है। यह गणित की एक शाखा है, जिसे उच्चतर कहा जाता है। पूर्णांकों के गुणों के अलावा, वह बीजगणितीय, पारलौकिक संख्याओं के साथ-साथ इन संख्याओं के अंकगणित से संबंधित विभिन्न उत्पत्ति के कार्यों से भी संबंधित है। इन अध्ययनों में, प्राथमिक और बीजगणितीय विधियों के अलावा, विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय विधियों का भी उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, अभाज्य संख्याओं का अध्ययन "संख्या सिद्धांत" से संबंधित है।

अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के "बिल्डिंग ब्लॉक्स" हैं

अंकगणित में एक प्रमेय होता है जिसे मुख्य प्रमेय कहा जाता है। इसके अनुसार, एकता को छोड़कर किसी भी प्राकृतिक संख्या को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके गुणनखंड अभाज्य संख्याएँ हैं, और गुणनखंडों का क्रम अद्वितीय है, जिसका अर्थ है कि निरूपण पद्धति अद्वितीय है। इसे एक प्राकृतिक संख्या का प्रमुख कारकों में अपघटन कहा जाता है। इस प्रक्रिया का दूसरा नाम है - संख्याओं का गुणनखंडन। इसके आधार पर, प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण के लिए अभाज्य संख्याओं को "भवन सामग्री", "ब्लॉक" कहा जा सकता है।

अभाज्य संख्याओं की खोज करें। सरलता परीक्षण

अलग-अलग समय के कई वैज्ञानिकों ने अभाज्य संख्याओं की सूची खोजने के लिए कुछ सिद्धांत (सिस्टम) खोजने की कोशिश की। विज्ञान एटकिन की छलनी, सुंदरतम की छलनी, एराटोस्थनीज की छलनी नामक प्रणालियों को जानता है। हालांकि, वे कोई महत्वपूर्ण परिणाम नहीं देते हैं, और अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक साधारण परीक्षण का उपयोग किया जाता है। एल्गोरिदम भी गणितज्ञों द्वारा बनाए गए थे। उन्हें प्रारंभिक परीक्षण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, राबिन और मिलर द्वारा विकसित एक परीक्षण है। इसका उपयोग क्रिप्टोग्राफर्स द्वारा किया जाता है। कायला-अग्रवाला-सस्केना परीक्षण भी है। हालांकि, इसकी पर्याप्त सटीकता के बावजूद, इसकी गणना करना बहुत मुश्किल है, जिससे इसका व्यावहारिक महत्व कम हो जाता है।

क्या प्राइम्स के सेट की कोई सीमा होती है?

तथ्य यह है कि अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अनंत है, प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक यूक्लिड की पुस्तक "शुरुआत" में लिखा गया था। उन्होंने यह कहा: “आइए एक पल के लिए कल्पना करें कि अभाज्य संख्याओं की एक सीमा होती है। तो चलिए उन्हें आपस में गुणा करते हैं, और गुणनफल में एक जोड़ते हैं। इन सरल संक्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या अभाज्य संख्याओं की किसी भी श्रृंखला से विभाज्य नहीं हो सकती, क्योंकि शेष हमेशा एक ही रहेगा। और इसका मतलब यह है कि कोई और संख्या है जो अभी तक अभाज्य संख्याओं की सूची में शामिल नहीं है। इसलिए, हमारी धारणा सत्य नहीं है, और इस सेट की कोई सीमा नहीं हो सकती। यूक्लिड के प्रमाण के अलावा, अठारहवीं शताब्दी के स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा दिया गया एक और आधुनिक सूत्र है। उनके अनुसार, योग, पहले n संख्याओं के योग का व्युत्क्रम, संख्या n की वृद्धि के साथ अनिश्चित काल तक बढ़ता है। और यहाँ अभाज्य संख्याओं के वितरण के संबंध में प्रमेय का सूत्र है: (n) n / ln (n) की तरह बढ़ता है।

सबसे बड़ी अभाज्य संख्या कौन सी है?

वही लियोनार्ड यूलर अपने समय के लिए सबसे बड़ी अभाज्य संख्या खोजने में सक्षम थे। यह 2 31 - 1 = 2147483647 है। हालाँकि, 2013 तक, अभाज्य संख्याओं की सूची में एक और सबसे सटीक सबसे बड़ी गणना की गई - 2 57885161 - 1। इसे मेर्सेन नंबर कहा जाता है। इसमें लगभग 17 मिलियन दशमलव अंक होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, अठारहवीं शताब्दी के एक वैज्ञानिक द्वारा पाई गई संख्या इससे कई गुना छोटी है। ऐसा होना चाहिए था, क्योंकि यूलर ने यह गणना मैन्युअल रूप से की थी, लेकिन हमारे समकालीन को शायद कंप्यूटर द्वारा मदद मिली थी। इसके अलावा, यह संख्या अमेरिकी विभागों में से एक में गणित विभाग में प्राप्त की गई थी। इस वैज्ञानिक के नाम पर रखे गए नंबर ल्यूक-लेहमर प्रिमलिटी टेस्ट से गुजरते हैं। हालाँकि, विज्ञान वहाँ रुकना नहीं चाहता है। इलेक्ट्रॉनिक फ्रंटियर फाउंडेशन, जिसे 1990 में संयुक्त राज्य अमेरिका (ईएफएफ) में स्थापित किया गया था, ने बड़े अभाज्यों को खोजने के लिए एक मौद्रिक इनाम की पेशकश की है। और अगर 2013 तक उन वैज्ञानिकों को पुरस्कार दिया जाता था जो उन्हें 1 और 10 मिलियन दशमलव संख्याओं में से खोज लेंगे, तो आज यह आंकड़ा 100 मिलियन से 1 बिलियन तक पहुंच गया है। पुरस्कार 150 से 250 हजार अमेरिकी डॉलर तक हैं।

विशेष अभाज्य संख्याओं के नाम

वे संख्याएँ जो कुछ वैज्ञानिकों द्वारा बनाए गए एल्गोरिदम की बदौलत पाई गईं और सादगी की परीक्षा पास कर ली गईं, उन्हें विशेष कहा जाता है। उनमें से कुछ यहां हैं:

1. मेर्सिन।

4. कुलेन।

6. मिल्स एट अल।

उपरोक्त वैज्ञानिकों के नाम पर इन नंबरों की सादगी निम्नलिखित परीक्षणों का उपयोग करके स्थापित की गई है:

1. लुकास-लेमर।

2. पेपिना।

3. रिज़ल।

4. बिलहार्ट - लेहमर - सेल्फ्रिज और अन्य।

आधुनिक विज्ञान यहीं नहीं रुकता है, और शायद निकट भविष्य में दुनिया उन लोगों के नाम जानेगी जो सबसे बड़ी अभाज्य संख्या खोजकर 250,000 डॉलर का पुरस्कार जीतने में सक्षम थे।