असमानता समाधानमोड में ऑनलाइन समाधानलगभग किसी भी असमानता ऑनलाइन. गणितीय असमानताएं ऑनलाइनगणित हल करने के लिए। जल्दी खोजो असमानता समाधानमोड में ऑनलाइन. साइट www.site आपको खोजने की अनुमति देती है समाधानलगभग कोई भी दिया बीजगणितीय, त्रिकोणमितीयया पारलौकिक असमानता ऑनलाइन. विभिन्न स्तरों पर गणित के लगभग किसी भी भाग का अध्ययन करते समय, निर्णय लेना होता है असमानताएं ऑनलाइन. तुरंत उत्तर पाने के लिए, और सबसे महत्वपूर्ण रूप से सटीक उत्तर पाने के लिए, आपको एक ऐसे संसाधन की आवश्यकता है जो आपको ऐसा करने की अनुमति दे। www.site को धन्यवाद असमानता को ऑनलाइन हल करेंकुछ मिनट लगेंगे। गणित को हल करते समय www.site का मुख्य लाभ असमानताएं ऑनलाइन- जारी की गई प्रतिक्रिया की गति और सटीकता है। साइट किसी को भी हल करने में सक्षम है बीजगणितीय असमानताएँ ऑनलाइन, त्रिकोणमितीय असमानताएँ ऑनलाइन, पारलौकिक असमानताएँ ऑनलाइन, और असमानतामोड में अज्ञात पैरामीटर के साथ ऑनलाइन. असमानताएक शक्तिशाली गणितीय उपकरण के रूप में सेवा करें समाधानव्यावहारिक कार्य। मदद से गणितीय असमानताएँतथ्यों और संबंधों को अभिव्यक्त करना संभव है जो पहली नज़र में भ्रामक और जटिल लग सकते हैं। अज्ञात मात्राएँ असमानतासमस्या का सूत्रीकरण करके पाया जा सकता है गणितीयभाषा के रूप में असमानताऔर तय करनामोड में प्राप्त कार्य ऑनलाइनवेबसाइट www.site पर। कोई बीजगणितीय असमानता, त्रिकोणमितीय असमानताया असमानतायुक्त ट्रान्सेंडैंटलआपको आसानी से पेश करता है तय करनाऑनलाइन और सही उत्तर प्राप्त करें। प्राकृतिक विज्ञानों का अध्ययन, एक अनिवार्य रूप से आवश्यकता का सामना करता है असमानताओं का समाधान. इस मामले में, उत्तर सटीक होना चाहिए और इसे तुरंत मोड में प्राप्त किया जाना चाहिए ऑनलाइन. इसलिए, के लिए गणितीय असमानताओं को ऑनलाइन हल करेंहम साइट www.site की अनुशंसा करते हैं, जो आपके लिए अनिवार्य कैलकुलेटर बन जाएगी बीजगणितीय असमानताओं को ऑनलाइन हल करें, त्रिकोणमितीय असमानताएँ ऑनलाइन, और पारलौकिक असमानताएँ ऑनलाइनया असमानताअज्ञात मापदंडों के साथ। विभिन्न के इंट्रावोल समाधान खोजने की व्यावहारिक समस्याओं के लिए गणितीय असमानताएँसंसाधन www.. सुलझाना असमानताएं ऑनलाइनस्वयं, प्राप्त उत्तर की जांच करना उपयोगी है असमानताओं का ऑनलाइन समाधानवेबसाइट www.site पर। असमानता को सही ढंग से लिखना और तुरंत प्राप्त करना आवश्यक है ऑनलाइन समाधान, जिसके बाद यह केवल आपके उत्तर की असमानता के समाधान के साथ तुलना करने के लिए बनी हुई है। उत्तर की जाँच करने में एक मिनट से अधिक नहीं लगेगा, पर्याप्त असमानता को ऑनलाइन हल करेंऔर उत्तरों की तुलना करें। इससे आपको गलतियों से बचने में मदद मिलेगी फ़ैसलाऔर समय रहते उत्तर को सही कर लें ऑनलाइन असमानताओं को हल करनादोनों में से एक बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय, उत्कृष्टया असमानताअज्ञात मापदंडों के साथ।
त्रिकोणमितीय कार्यों वाली असमानताओं को जब हल किया जाता है, तो उन्हें cos(t)>a, sint(t)=a और इसी तरह की सबसे सरल असमानताओं में बदल दिया जाता है। और पहले से ही सबसे सरल असमानताएं हल हो गई हैं। विभिन्न उदाहरणों का उपयोग करते हुए सरलतम त्रिकोणमितीय असमिकाओं को हल करने की विधियों पर विचार करें।
उदाहरण 1. असमिका sin(t) > = -1/2 को हल करें।
एक वृत्त खींचिए। चूँकि sin (t) परिभाषा के अनुसार y निर्देशांक है, हम Oy अक्ष पर बिंदु y \u003d -1/2 को चिह्नित करते हैं। हम इसके माध्यम से एक्स-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं। यूनिट सर्कल ग्राफ के साथ सीधी रेखा के चौराहों पर बिंदु Pt1 और Pt2 को चिह्नित करें। हम निर्देशांक की उत्पत्ति को दो खंडों के साथ Pt1 और Pt2 बिंदुओं से जोड़ते हैं।
इस असमानता का समाधान इन बिंदुओं के ऊपर स्थित इकाई वृत्त के सभी बिंदु होंगे। दूसरे शब्दों में, समाधान चाप एल होगा। अब आपको उन शर्तों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है जिनके तहत एक मनमाना बिंदु चाप एल से संबंधित होगा।
Pt1 दाएं अर्धवृत्त में स्थित है, इसकी कोटि -1/2 है, फिर t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. बिंदु Pt1 का वर्णन करने के लिए निम्न सूत्र लिखा जा सकता है:
टी 2 = पीआई - आर्क्सिन (-1/2) = 7 * पीआई/6। नतीजतन, हम टी के लिए निम्नलिखित असमानता प्राप्त करते हैं:
हम असमानता के संकेत रखते हैं। और चूंकि साइन फ़ंक्शन एक आवधिक कार्य है, समाधान हर 2 * पाई पर दोहराया जाएगा। हम इस स्थिति को टी के लिए परिणामी असमानता में जोड़ते हैं और उत्तर लिखते हैं।
उत्तर: -पीआई/6+2*पीआई*एन< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
उदाहरण 2असमानता को हल करें cos(t)<1/2.
आइए एक यूनिट सर्कल बनाएं। चूँकि, cos(t) की परिभाषा के अनुसार, यह x-निर्देशांक है, हम x-अक्ष पर ग्राफ़ पर बिंदु x = 1/2 अंकित करते हैं।
हम इस बिंदु से y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं। यूनिट सर्कल ग्राफ के साथ सीधी रेखा के चौराहों पर बिंदु Pt1 और Pt2 को चिह्नित करें। हम निर्देशांक की उत्पत्ति को दो खंडों के साथ Pt1 और Pt2 बिंदुओं से जोड़ते हैं।
समाधान इकाई वृत्त के वे सभी बिंदु हैं जो चाप l से संबंधित हैं। आइए बिंदु t1 और t2 खोजें।
टी 1 = आर्ककोस (1/2) = पीआई/3।
टी 2 = 2 * पीआई - आर्ककोस (1/2) = 2 * पीआई-पीआई/3 = 5 * पीआई/6।
हमें t: pi/3 के लिए असमानता मिली चूंकि कोसाइन एक आवधिक कार्य है, समाधान हर 2 * पाई पर दोहराया जाएगा। हम इस स्थिति को टी के लिए परिणामी असमानता में जोड़ते हैं और उत्तर लिखते हैं। उत्तर: पीआई/3+2*पीआई*एन उदाहरण 3असमानता को हल करें tg(t)< = 1. स्पर्शरेखा की अवधि पाई है। आइए समाधान खोजें जो अंतराल से संबंधित हैं (-pi/2;pi/2) सही अर्धवृत्त। अगला, स्पर्शरेखा की आवधिकता का उपयोग करते हुए, हम इस असमानता के सभी समाधान लिखते हैं। आइए एक इकाई वृत्त बनाएं और उस पर स्पर्शरेखा की रेखा को चिह्नित करें। यदि टी असमानता का समाधान है, तो बिंदु टी = टीजी (टी) का समन्वय 1 से कम या उसके बराबर होना चाहिए। ऐसे बिंदुओं का सेट किरण एटी बना देगा। बिंदुओं का समुच्चय जो इस किरण के बिंदुओं के संगत होगा वह चाप l है। इसके अलावा, बिंदु P(-pi/2) इस चाप से संबंधित नहीं है। Math24.biz वेबसाइट पर असमानताओं को ऑनलाइन हल करने से गणना में अधिकतम सटीकता मिलेगी। गणित में एक असमानता दो वस्तुओं के सापेक्ष परिमाण या क्रम के बारे में एक बयान है (वस्तुओं में से एक दूसरे से कम या अधिक नहीं है), या यह कि दो वस्तुएं समान नहीं हैं (समानता की अस्वीकृति)। प्रारंभिक गणित में, संख्यात्मक असमानताओं का अध्ययन किया जाता है; सामान्य बीजगणित, विश्लेषण और ज्यामिति में, गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के बीच असमानताओं पर भी विचार किया जाता है। एक असमानता को हल करने के लिए, इसके दोनों हिस्सों को उनके बीच असमानता के संकेतों में से एक के साथ परिभाषित किया जाना चाहिए। सख्त असमानताओं का अर्थ दो वस्तुओं की असमानता है। सख्त असमानताओं के विपरीत, गैर-सख्त असमानताएँ इसमें शामिल वस्तुओं की समानता की अनुमति देती हैं। रेखीय असमानताएँ आरंभ करने के लिए सबसे सरल अभिव्यक्तियाँ हैं, और ऐसी असमानताओं को हल करने के लिए सबसे सरल तकनीकों का उपयोग किया जाता है। असमानताओं को ऑनलाइन हल करने में छात्रों की मुख्य गलती यह है कि वे सख्त और गैर-सख्त असमानताओं की विशेषताओं के बीच अंतर नहीं करते हैं, जो यह निर्धारित करता है कि अंतिम उत्तर में सीमा मान शामिल होंगे या नहीं। कई अज्ञात से जुड़ी कई असमानताओं को असमानताओं की प्रणाली कहा जाता है। सिस्टम से असमानताओं का समाधान विमान पर एक निश्चित क्षेत्र है, या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में त्रि-आयामी आकृति है। इसके साथ ही, वे एन-डायमेंशनल स्पेस द्वारा अमूर्त हैं, हालांकि, ऐसी असमानताओं को हल करते समय, विशेष कंप्यूटर के बिना अक्सर ऐसा नहीं किया जा सकता है। प्रत्येक असमानता के लिए अलग से, समाधान क्षेत्र की सीमाओं पर अज्ञात के मूल्यों को खोजना आवश्यक है। असमानता के सभी समाधानों का समुच्चय इसका उत्तर है। एक असमानता को उसके समतुल्य दूसरी असमानता से प्रतिस्थापित करने को एक असमानता से दूसरी असमानता में समतुल्य संक्रमण कहा जाता है। इसी तरह का दृष्टिकोण अन्य विषयों में पाया जाता है, क्योंकि यह भावों को एक मानक रूप में लाने में मदद करता है। आप हमारी वेबसाइट पर असमानताओं को ऑनलाइन हल करने के सभी लाभों की सराहना करेंगे। एक असमिका एक व्यंजक है जिसमें एक चिह्न = > होता है। मूल रूप से, यह एक बूलियन अभिव्यक्ति है। यह या तो सच हो सकता है या नहीं - इस असमानता में दाईं और बाईं ओर क्या है, इस पर निर्भर करता है। असमानता के अर्थ की व्याख्या और असमानताओं को हल करने की बुनियादी तकनीकों का अध्ययन विभिन्न पाठ्यक्रमों के साथ-साथ स्कूल में भी किया जाता है। ऑनलाइन किसी भी असमानता का समाधान - मापांक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय, पारलौकिक असमानताओं के साथ असमानताएँ ऑनलाइन। पहचान असमानता, सख्त और गैर-सख्त असमानताओं की तरह, अंतिम परिणाम प्राप्त करने की प्रक्रिया को सरल करती है, समस्या को हल करने के लिए एक सहायक उपकरण है। किसी भी असमानताओं और असमानताओं की प्रणालियों का समाधान, चाहे लघुगणकीय, घातीय, त्रिकोणमितीय या द्विघात असमानताएं हों, इस महत्वपूर्ण प्रक्रिया के लिए एक प्रारंभिक सही दृष्टिकोण की सहायता से प्रदान किया जाता है। साइट पर असमानताओं को ऑनलाइन हल करना हमेशा सभी उपयोगकर्ताओं के लिए उपलब्ध है और बिल्कुल मुफ्त है। एक चर के साथ एक असमानता का समाधान चर के मान हैं जो इसे एक वास्तविक संख्यात्मक अभिव्यक्ति में बदल देते हैं। मापांक के साथ समीकरण और असमानताएँ: किसी वास्तविक संख्या का मापांक उस संख्या का निरपेक्ष मान होता है। इन असमानताओं को हल करने का मानक तरीका असमानता के दोनों पक्षों को वांछित शक्ति तक उठाना है। असमानताएँ वे अभिव्यक्तियाँ हैं जो संख्याओं की तुलना दर्शाती हैं, इसलिए असमानताओं का सही समाधान ऐसी तुलनाओं की सटीकता सुनिश्चित करता है। वे सख्त (इससे अधिक, से कम) और गैर-सख्त (इससे अधिक या इसके बराबर, से कम या इसके बराबर) हैं। एक असमानता को हल करने का मतलब है कि चर के उन सभी मूल्यों को खोजना, जो मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित होने पर, इसे सही संख्यात्मक प्रतिनिधित्व में बदल देते हैं। असमानता की अवधारणा, इसका सार और विशेषताएं, वर्गीकरण और किस्में - यही वह है जो निर्धारित करता है इस गणितीय खंड की विशिष्टता। इस वर्ग की सभी वस्तुओं पर लागू होने वाली संख्यात्मक असमानताओं के मुख्य गुणों का छात्रों को इस विषय से परिचित होने के प्रारंभिक चरण में अध्ययन करना चाहिए। जब असमानताओं को ऑनलाइन हल करने की बात आती है तो संख्या रेखा असमानताएं और अंतराल बहुत निकट से संबंधित होते हैं। असमानता के समाधान का ग्राफिक पदनाम स्पष्ट रूप से इस तरह की अभिव्यक्ति का सार दिखाता है, यह स्पष्ट हो जाता है कि किसी कार्य को हल करते समय क्या प्रयास किया जाना चाहिए। असमानता की अवधारणा दो या दो से अधिक वस्तुओं की तुलना पर आधारित है। एक चर वाली असमानताओं को समान रूप से रचित समीकरणों के रूप में हल किया जाता है, जिसके बाद उत्तर के रूप में अंतराल का चयन किया जाता है। किसी भी बीजगणितीय असमानता, त्रिकोणमितीय असमानता या पारलौकिक कार्यों वाली असमानताओं को आप हमारी मुफ्त सेवा का उपयोग करके आसानी से और तुरंत हल कर सकते हैं। एक संख्या एक असमानता का एक समाधान है, अगर एक चर के बजाय इस संख्या को प्रतिस्थापित करते हुए, हम सही अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं, अर्थात, असमानता का चिन्ह सही अवधारणा को दर्शाता है। बीजगणित परियोजना "त्रिकोणमितीय असमानताओं का समाधान" कक्षा 10 "बी" जूलिया कज़चकोवा पर्यवेक्षक के एक छात्र द्वारा पूरा किया गया: गणित शिक्षक कोचकोवा एन.एन. उद्देश्य "त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना" विषय पर सामग्री को समेकित करना और आगामी परीक्षा की तैयारी के लिए छात्रों के लिए एक मेमो बनाना। उद्देश्य विषय पर सामग्री को सारांशित करें। प्राप्त जानकारी को व्यवस्थित करें। परीक्षा में इस विषय पर विचार करें। प्रासंगिकता मेरे द्वारा चुने गए विषय की प्रासंगिकता इस तथ्य में निहित है कि "त्रिकोणमितीय असमानताओं का समाधान" विषय पर कार्य परीक्षा के कार्यों में शामिल हैं। त्रिकोणमितीय असमानताएँ एक असमानता एक ऐसा संबंध है जो दो संख्याओं या व्यंजकों को एक चिन्ह के माध्यम से जोड़ता है: (से बड़ा); ≥ (इससे बड़ा या इसके बराबर)। एक त्रिकोणमितीय असमानता एक असमानता है जिसमें त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं। त्रिकोणमितीय असमानताएं त्रिकोणमितीय कार्यों वाली असमानताओं का समाधान, एक नियम के रूप में, सरलतम असमानताओं के समाधान के रूप में कम हो जाता है: sin x>a, sin x ए, कॉस एक्स ए, टीजीएक्स ए, सीटीजी एक्स त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिथम किसी दिए गए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के अनुरूप अक्ष पर, इस फ़ंक्शन के दिए गए संख्यात्मक मान को चिह्नित करें। यूनिट सर्कल को छेड़छाड़ करने वाले चिह्नित बिंदु के माध्यम से एक रेखा खींचें। सख्त या गैर-सख्त असमानता चिह्न को ध्यान में रखते हुए, रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का चयन करें। उस वृत्त के चाप का चयन करें जिस पर असमानता के समाधान स्थित हैं। वृत्ताकार चाप के प्रारंभ और अंत बिंदुओं पर कोणों के मान निर्धारित करें। दिए गए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए असमानता का समाधान लिखें। त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के सूत्र sinx>a; x (आर्क्सिन ए + 2πn; π- आर्क्सिन ए + 2πn)। sinx ए; एक्स (- आर्ककोस ए + 2πएन; आर्ककोस ए + 2πएन)। cosxए; एक्स (आर्कटग ए + πn ; + πn)। tgx ए; एक्स (πn; आर्कटग + πn)। ctgx मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं sinx>a का आलेखीय समाधान मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं sinx का आलेखीय समाधान मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं cosx >a का आलेखीय समाधान मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं cosx का आलेखीय समाधान मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं का आलेखीय समाधान tgx >a मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं tgx का आलेखीय समाधान मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं ctgx >a का आलेखीय समाधान त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के तरीके
प्रासंगिकता।
ऐतिहासिक रूप से, त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को स्कूली पाठ्यक्रम में विशेष स्थान दिया गया है। हम कह सकते हैं कि त्रिकोणमिति स्कूल पाठ्यक्रम के सबसे महत्वपूर्ण वर्गों में से एक है और सामान्य रूप से सभी गणितीय विज्ञानों में से एक है। त्रिकोणमितीय समीकरण और असमानताएं उच्च विद्यालय के गणित पाठ्यक्रम में शैक्षिक सामग्री की सामग्री और शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधि के तरीकों के संदर्भ में केंद्रीय स्थानों में से एक पर कब्जा कर लेती हैं, जो उनके अध्ययन के दौरान बनाई जा सकती हैं और एक बड़ी समस्या को हल करने के लिए लागू की जानी चाहिए। एक सैद्धांतिक और व्यावहारिक प्रकृति की समस्याओं की संख्या। . त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं का समाधान त्रिकोणमिति में सभी शैक्षिक सामग्री से संबंधित छात्रों के ज्ञान को व्यवस्थित करने के लिए आवश्यक शर्तें बनाता है (उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के गुण, त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को बदलने के तरीके, आदि) और इसके साथ प्रभावी संबंध स्थापित करना संभव बनाता है। बीजगणित में अध्ययन की गई सामग्री (समीकरण, समीकरणों की समानता, असमानताएं, बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तन, आदि)। दूसरे शब्दों में, त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के तरीकों के विचार में इन कौशलों को एक नई सामग्री में स्थानांतरित करना शामिल है। सिद्धांत का महत्व और इसके कई अनुप्रयोग चुने गए विषय की प्रासंगिकता का प्रमाण हैं। यह, बदले में, आपको पाठ्यक्रम कार्य के लक्ष्यों, उद्देश्यों और अनुसंधान के विषय को निर्धारित करने की अनुमति देता है। इस अध्ययन का उद्देश्य:
उपलब्ध प्रकार की त्रिकोणमितीय असमानताओं को सामान्य करें, उनके समाधान के लिए बुनियादी और विशेष तरीके, स्कूली बच्चों द्वारा त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए कार्यों का एक सेट चुनें। अनुसंधान के उद्देश्य:
1. शोध विषय पर उपलब्ध साहित्य के विश्लेषण के आधार पर सामग्री को व्यवस्थित करें। 2. "त्रिकोणमितीय असमानताएँ" विषय को समेकित करने के लिए आवश्यक कार्यों का एक सेट दें। अध्ययन की वस्तु
स्कूल गणित पाठ्यक्रम में त्रिकोणमितीय असमानताएँ हैं। अध्ययन का विषय:
त्रिकोणमितीय असमानताओं के प्रकार और उनके समाधान के तरीके। सैद्धांतिक महत्व
सामग्री को व्यवस्थित करना है। व्यवहारिक महत्व:
समस्याओं को हल करने में सैद्धांतिक ज्ञान का अनुप्रयोग; त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए अक्सर सामना की जाने वाली मुख्य विधियों का विश्लेषण। तलाश पद्दतियाँ
: वैज्ञानिक साहित्य का विश्लेषण, अर्जित ज्ञान का संश्लेषण और सामान्यीकरण, समस्या समाधान का विश्लेषण, असमानताओं को हल करने के लिए इष्टतम तरीकों की खोज। §1।
त्रिकोणमितीय असमानताओं के प्रकार और उनके समाधान के लिए बुनियादी तरीके
1.1। सबसे सरल त्रिकोणमितीय असमानताएँ
दो त्रिकोणमितीय व्यंजक एक चिह्न या > से जुड़े होते हैं, त्रिकोणमितीय असमिकाएँ कहलाती हैं। एक त्रिकोणमितीय असमानता को हल करने का अर्थ है असमानता में शामिल अज्ञात के मूल्यों का एक सेट खोजना, जिसके तहत असमानता संतुष्ट होती है। त्रिकोणमितीय असमानताओं का मुख्य भाग उन्हें सरलतम असमानताओं को हल करके हल किया जाता है: यह गुणनखंडन की एक विधि हो सकती है, चर का परिवर्तन ( सरलतम असमानताओं को दो तरीकों से हल किया जाता है: इकाई वृत्त का उपयोग करके या रेखांकन द्वारा। होने देनाएफ (एक्स
बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक है। असमानता को हल करने के लिए आइए असमानताओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम का उदाहरण दें असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम 1. किसी संख्या की साइन की परिभाषा तैयार करेंएक्स
यूनिट सर्कल पर। 3. y-अक्ष पर, निर्देशांक के साथ एक बिंदु चिह्नित करेंए
.
4. इस बिंदु के माध्यम से, OX अक्ष के समानांतर एक रेखा खींचें, और वृत्त के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें। 5. एक वृत्त के ऐसे चाप का चयन करें, जिसके सभी बिंदुओं की कोटि इससे कम होए
.
6. बाईपास (वामावर्त) की दिशा निर्दिष्ट करें और फ़ंक्शन की अवधि को अंतराल के अंत में जोड़कर उत्तर लिखें2πएन
,
असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम 1. किसी संख्या की स्पर्श रेखा की परिभाषा निरूपित कीजिएएक्स
यूनिट सर्कल पर। 2. एक इकाई वृत्त खींचिए। 3. स्पर्श रेखाओं की एक रेखा खींचिए और उस पर कोटि से एक बिंदु अंकित कीजिएए
.
4. इस बिंदु को मूल से कनेक्ट करें और यूनिट सर्कल के साथ परिणामी खंड के चौराहे के बिंदु को चिह्नित करें। 5. एक वृत्त के एक चाप का चयन करें, जिसके सभी बिंदुओं की स्पर्श रेखा पर एक कोटि हो जो इससे कम होए
.
6. ट्रैवर्सल की दिशा को इंगित करें और एक अवधि जोड़कर, फ़ंक्शन के दायरे को ध्यान में रखते हुए उत्तर लिखेंपीएन
,
सामान्य रूप में असमानताओं को हल करने के लिए सबसे सरल समीकरणों और सूत्रों के समाधानों की चित्रमय व्याख्या परिशिष्ट (परिशिष्ट 1 और 2) में दी गई है। उदाहरण 1
असमानता को हल करें यूनिट सर्कल पर एक रेखा खींचें सभी मानवाई
अंतराल एनएम अधिक पर
, चाप AMB के सभी बिंदु इस असमानता को संतुष्ट करते हैं। रोटेशन के सभी कोणों पर, बड़ा चित्र .1 इस प्रकार, असमानता का समाधान अंतराल में सभी मान होंगे वे। उत्तर: 1.2। ग्राफिक विधि
व्यवहार में, त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए आलेखीय विधि अक्सर उपयोगी होती है। असमानता के उदाहरण पर विधि के सार पर विचार करें 1. यदि तर्क जटिल है (से भिन्नएक्स
), तो हम इसे से बदल देते हैंटी
.
2. हम एक समन्वय विमान में निर्माण करते हैंtoOy
समारोह रेखांकन 3. हम ऐसा पाते हैंरेखांकन के चौराहे के दो आसन्न बिंदु, जिसके बीचsinusoidस्थितउच्च
सीधा 4. तर्क के लिए दोहरी असमानता लिखेंटी
, कोसाइन अवधि पर विचार (टी
पाए गए फोड़े के बीच होगा)। 5. एक उल्टा प्रतिस्थापन करें (मूल तर्क पर लौटें) और मूल्य व्यक्त करेंएक्स
एक दोहरी असमानता से, हम उत्तर को एक संख्यात्मक अंतराल के रूप में लिखते हैं। उदाहरण 2
असमानता को हल करें:। ग्राफ़िकल विधि द्वारा असमानताओं को हल करते समय, कार्यों के ग्राफ़ को यथासंभव सटीक रूप से बनाना आवश्यक है। आइए असमानता को रूप में बदलें: आइए हम एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के ग्राफ का निर्माण करें अंक 2 फ़ंक्शन ग्राफ़ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैंए
निर्देशांक के साथ उत्तर: 1.3। बीजगणितीय विधि
अक्सर, मूल त्रिकोणमितीय असमानता, एक अच्छी तरह से चुने हुए प्रतिस्थापन द्वारा, एक बीजगणितीय (तर्कसंगत या अपरिमेय) असमानता को कम किया जा सकता है। इस पद्धति में असमानता को बदलना, एक प्रतिस्थापन का परिचय देना या एक चर को बदलना शामिल है। आइए विशिष्ट उदाहरणों पर इस पद्धति के अनुप्रयोग पर विचार करें। उदाहरण 3
सरलतम रूप में कमी चित्र 3 उत्तर: उदाहरण 4
असमानता को हल करें: ओडीजेड: सूत्रों का उपयोग करना: हम असमानता को रूप में लिखते हैं: या, मानते हुए अंतराल विधि द्वारा अंतिम असमानता को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: चित्र 4 चित्र 5 उत्तर: 1.4। अंतराल विधि
अंतराल विधि द्वारा त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की सामान्य योजना: त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके गुणनखंड करें। फ़ंक्शन के ब्रेकप्वाइंट और शून्य खोजें, उन्हें सर्कल पर रखें। कोई भी बिंदु लोको
(लेकिन पहले नहीं मिला) और उत्पाद के संकेत का पता लगाएं। यदि गुणनफल धनात्मक है, तो कोण के अनुरूप किरण पर इकाई वृत्त के बाहर एक बिंदु रखें। अन्यथा, बिंदु को गोले के अंदर रखें। यदि कोई बिंदु सम संख्या में आता है, तो हम उसे सम बहुलता का बिंदु कहते हैं; यदि विषम बार आता है, तो हम उसे विषम बहुलता का बिंदु कहते हैं। चाप इस प्रकार बनाएं: एक बिंदु से प्रारंभ करेंको
, यदि अगला बिंदु विषम बहुलता का है, तो चाप इस बिंदु पर वृत्त को काटता है, लेकिन यदि बिंदु सम बहुलता का है, तो यह प्रतिच्छेद नहीं करता है। एक वृत्त के पीछे चाप धनात्मक अंतराल होते हैं; वृत्त के अंदर ऋणात्मक अंतराल होते हैं। उदाहरण 5
असमानता को हल करें पहली सीरीज के अंक: दूसरी श्रृंखला के अंक: प्रत्येक बिंदु एक विषम संख्या में आता है, अर्थात विषम बहुलता के सभी बिंदु। पर उत्पाद के चिह्न का पता लगाएं चावल। 6 उत्तर: उदाहरण 6
. असमानता को हल करें.
समाधान:
आइए अभिव्यक्ति के शून्य खोजें .
पानाऐएम :
यूनिट सर्कल पर, श्रृंखला मानएक्स
1
डॉट्स द्वारा दर्शाया गया अब संख्या दीजिए तो बिंदुए
कोण बनाने वाले बीम पर चुना जाना चाहिए अब बिंदु सेए
हम सभी चिह्नित बिंदुओं पर क्रमिक रूप से एक लहरदार निरंतर रेखा खींचते हैं। और बिंदुओं पर चित्र 7 अंतिम उत्तर: टिप्पणी।
यदि लहराती रेखा, यूनिट सर्कल पर चिह्नित सभी बिंदुओं को पार करने के बाद, बिंदु पर वापस नहीं आ सकती हैए
,
एक "अवैध" जगह में सर्कल को पार किए बिना, इसका मतलब है कि समाधान में एक त्रुटि की गई थी, अर्थात्, विषम संख्या में जड़ें छोड़ दी गईं। उत्तर:
.
§2। त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए कार्यों का एक सेट
स्कूली बच्चों की त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की क्षमता विकसित करने की प्रक्रिया में, 3 चरणों को भी प्रतिष्ठित किया जा सकता है। 1. प्रारंभिक, 2. सबसे सरल त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए कौशल का गठन; 3. अन्य प्रकार की त्रिकोणमितीय असमानताओं का परिचय। प्रारंभिक चरण का उद्देश्य स्कूली बच्चों में असमानताओं को हल करने के लिए एक त्रिकोणमितीय वृत्त या ग्राफ का उपयोग करने की क्षमता बनाना आवश्यक है, अर्थात्: फॉर्म की सरल असमानताओं को हल करने की क्षमता एक संख्यात्मक वृत्त के चापों के लिए या कार्यों के आलेखों के चापों के लिए दोहरी असमानताएँ बनाने की क्षमता; त्रिकोणमितीय भावों के विभिन्न परिवर्तन करने की क्षमता। त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों के बारे में स्कूली बच्चों के ज्ञान को व्यवस्थित करने की प्रक्रिया में इस चरण को लागू करने की अनुशंसा की जाती है। मुख्य साधन छात्रों को दिए जाने वाले कार्य हो सकते हैं और शिक्षक के मार्गदर्शन में या स्वतंत्र रूप से किए जा सकते हैं, साथ ही साथ त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में प्राप्त कौशल भी हो सकते हैं। यहाँ ऐसे कार्यों के उदाहरण दिए गए हैं: 1
. यूनिट सर्कल पर एक बिंदु चिह्नित करें .
2.
समन्वय तल के किस चौथाई भाग में बिंदु है 3.
त्रिकोणमितीय वृत्त पर अंक अंकित करें 4.
त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए अभिव्यक्ति लाओमैंतिमाहियों। ए) 5.
चाप MR दिया है।एम
- मध्यमैंवीं तिमाही,आर
- मध्यद्वितीयवीं तिमाही। एक चर के मान को प्रतिबंधित करेंटी
के लिए: (एक दोहरी असमानता की रचना) ए) आर्क एमपी; बी) आरएम चाप। 6.
ग्राफ के चयनित वर्गों के लिए दोहरी असमानता लिखें: चावल। 1 7.
असमानताओं को हल करें 8.
अभिव्यक्ति कनवर्ट करें
.
त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए सीखने के दूसरे चरण में, हम छात्रों की गतिविधियों के आयोजन के लिए कार्यप्रणाली से संबंधित निम्नलिखित अनुशंसाएँ प्रस्तुत कर सकते हैं। उसी समय, त्रिकोणमितीय वृत्त या ग्राफ़ के साथ काम करने के लिए छात्रों के कौशल पर ध्यान देना आवश्यक है, जो सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के दौरान बनते हैं। सबसे पहले, सरलतम त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए एक सामान्य विधि प्राप्त करने की समीचीनता को प्रेरित करना संभव है, उदाहरण के लिए, असमानता के रूप में दूसरे, शिक्षक को कार्य को पूरा करने के विभिन्न तरीकों की ओर छात्रों का ध्यान आकर्षित करना चाहिए, असमानता को ग्राफिक रूप से और त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके हल करने का एक उपयुक्त उदाहरण देना चाहिए। असमानता को हल करने के लिए ऐसे विकल्पों पर विचार करें 1. इकाई वृत्त का उपयोग करके असमानता को हल करना। त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के पहले पाठ में, हम छात्रों को एक विस्तृत समाधान एल्गोरिथ्म प्रदान करेंगे, जो चरण-दर-चरण प्रस्तुति में असमानता को हल करने के लिए आवश्यक सभी बुनियादी कौशल को दर्शाता है। स्टेप 1।एक इकाई वृत्त बनाएं, y-अक्ष पर एक बिंदु चिह्नित करें चरण दोइस सीधी रेखा ने वृत्त को दो चापों में विभाजित कर दिया। आइए हम उनमें से एक को चिन्हित करें जिस पर संख्याएं प्रदर्शित की जाती हैं जिनके पास साइन से अधिक है चावल। 2 चरण 3चिह्नित चाप के सिरों में से एक को चुनें। आइए यूनिट सर्कल के इस बिंदु द्वारा दर्शाई गई संख्याओं में से एक को लिखें चरण 4चयनित चाप के दूसरे छोर के अनुरूप संख्या चुनने के लिए, हम इस चाप के साथ नामित छोर से दूसरे तक "पास" करते हैं। उसी समय, हम याद करते हैं कि जब हम वामावर्त चलते हैं, तो हम जो संख्याएँ बढ़ाएँगे (विपरीत दिशा में जाने पर, संख्याएँ घट जाएँगी)। आइए चिह्नित चाप के दूसरे छोर द्वारा यूनिट सर्कल पर दर्शाई गई संख्या को लिखें इस प्रकार, हम देखते हैं कि असमानता विद्यार्थियों से कहा जाना चाहिए कि वे इस आकृति पर सावधानीपूर्वक विचार करें और यह पता करें कि असमानता के सभी समाधान क्यों हैं चावल। 3 छात्रों का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करना आवश्यक है कि कोसाइन फ़ंक्शन के लिए असमानताओं को हल करते समय, हम y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं। असमानता को हल करने के लिए ग्राफिकल तरीका। बिल्डिंग चार्ट चावल। 4 फिर हम समीकरण लिखते हैं (दे रहा हैएन
मान 0, 1, 2, हम रचित समीकरण की तीन जड़ें पाते हैं)। मान चावल। 5 संक्षेप। असमानता को हल करने के लिए तीसरा, संबंधित त्रिकोणमितीय असमानता की जड़ों के सेट के बारे में तथ्य बहुत स्पष्ट रूप से पुष्टि की जाती है जब इसे ग्राफिक रूप से हल किया जाता है। चावल। 6 छात्रों को यह प्रदर्शित करना आवश्यक है कि कुंडली, जो असमानता का समाधान है, उसी अंतराल के माध्यम से दोहराती है, जो त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की अवधि के बराबर है। आप साइन फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए इसी तरह के उदाहरण पर भी विचार कर सकते हैं। चौथा, त्रिकोणमितीय कार्यों के योग (अंतर) को एक उत्पाद में परिवर्तित करने के लिए छात्रों के तरीकों को अद्यतन करने पर काम करने की सलाह दी जाती है, ताकि स्कूली बच्चों का ध्यान त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने में इन तकनीकों की भूमिका की ओर आकर्षित किया जा सके। इस तरह के काम को छात्रों द्वारा शिक्षक द्वारा प्रस्तावित कार्यों की स्वतंत्र पूर्ति के माध्यम से आयोजित किया जा सकता है, जिनमें से हम निम्नलिखित पर प्रकाश डालते हैं: पांचवां, छात्रों को एक ग्राफ या एक त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके प्रत्येक सरल त्रिकोणमितीय असमानता के समाधान का वर्णन करना चाहिए। इसकी समीचीनता पर ध्यान देना सुनिश्चित करें, विशेष रूप से एक वृत्त के उपयोग के लिए, क्योंकि त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करते समय, संबंधित चित्रण किसी असमानता के समाधान के सेट को ठीक करने के एक बहुत ही सुविधाजनक साधन के रूप में कार्य करता है। त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के तरीकों के साथ छात्रों का परिचय, जो सबसे सरल नहीं हैं, निम्नलिखित योजना के अनुसार बाहर ले जाने की सलाह दी जाती है: एक विशिष्ट त्रिकोणमितीय असमानता का जिक्र करते हुए संबंधित त्रिकोणमितीय समीकरण का जिक्र करते हुए स्वतंत्र समाधान के लिए संयुक्त खोज (शिक्षक - छात्र) पाई गई तकनीक को उसी प्रकार की अन्य असमानताओं में स्थानांतरित करना। छात्रों के त्रिकोणमिति के ज्ञान को व्यवस्थित करने के लिए, हम विशेष रूप से ऐसी असमानताओं का चयन करने की सलाह देते हैं, जिनके समाधान के लिए विभिन्न परिवर्तनों की आवश्यकता होती है, जिन्हें हल करने की प्रक्रिया में लागू किया जा सकता है, छात्रों का ध्यान उनकी विशेषताओं पर केंद्रित होता है। ऐसी उत्पादक असमानताओं के रूप में, हम निम्नलिखित का प्रस्ताव कर सकते हैं, उदाहरण के लिए: अंत में, हम त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए समस्याओं के एक समूह का उदाहरण देते हैं। 1. असमानताओं को हल करें: ए) बी) 5. असमिकाओं के सभी हल ज्ञात कीजिए: ए) ;
बी) ;
वी) जी) इ) 6. असमानताओं को हल करें: ए) ;
बी) ;
वी); जी) इ) ; इ) ; और) 7. असमानताओं को हल करें: ए) बी) ;
वी); जी) । 8. असमानताओं को हल करें: ए) ;
बी) ;
वी); जी) इ) इ) ; और) एच) । उन्नत स्तर पर गणित का अध्ययन करने वाले छात्रों को कार्य 6 और 7 की पेशकश करने की सलाह दी जाती है, कार्य 8 - गणित के गहन अध्ययन के साथ कक्षाओं में छात्रों को। §3। त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए विशेष तरीके
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विशेष विधियाँ - अर्थात वे विधियाँ जिनका उपयोग केवल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है। ये विधियाँ त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों के उपयोग के साथ-साथ विभिन्न त्रिकोणमितीय सूत्रों और सर्वसमिकाओं के उपयोग पर आधारित हैं। 3.1। सेक्टर विधि
त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए सेक्टर विधि पर विचार करें। प्रपत्र की असमानताओं का समाधान अन्तराल विधि में, रूप के अंश और हर का प्रत्येक रैखिक गुणनखंड निम्नलिखित को याद रखना चाहिए: ए) फॉर्म के गुणक बी) फॉर्म के गुणक उदाहरण 1
असमानताओं को हल करें: ए) 3.2। कंसेंट्रिक सर्कल विधि
यह विधि तर्कसंगत असमानताओं की प्रणालियों को हल करने में समांतर संख्यात्मक अक्षों की विधि के अनुरूप है। असमानताओं की एक प्रणाली के उदाहरण पर विचार करें। उदाहरण 5
सरल त्रिकोणमितीय असमानताओं की एक प्रणाली को हल करें सबसे पहले, हम प्रत्येक असमानता को अलग-अलग हल करते हैं (चित्र 5)। आकृति के ऊपरी दाएं कोने में, हम इंगित करेंगे कि त्रिकोणमितीय वृत्त को किस तर्क के लिए माना जाता है। चित्र 5 अगला, हम तर्क के लिए संकेंद्रित वृत्तों की एक प्रणाली बनाते हैंएक्स
. हम एक वृत्त बनाते हैं और पहली असमानता के समाधान के अनुसार इसे छायांकित करते हैं, फिर हम एक बड़े त्रिज्या का एक वृत्त बनाते हैं और इसे दूसरे के समाधान के अनुसार छायांकित करते हैं, फिर हम तीसरी असमानता के लिए एक वृत्त और एक आधार वृत्त बनाते हैं . हम चाप के सिरों के माध्यम से सिस्टम के केंद्र से किरणें खींचते हैं ताकि वे सभी वृत्तों को काट सकें। हम बेस सर्कल (चित्र 6) पर एक समाधान बनाते हैं। चित्र 6 उत्तर:
निष्कर्ष
पाठ्यक्रम के सभी उद्देश्य पूरे कर लिए गए। सैद्धांतिक सामग्री को व्यवस्थित किया गया है: त्रिकोणमितीय असमानताओं के मुख्य प्रकार और उनके समाधान के लिए मुख्य विधियाँ (चित्रमय, बीजगणितीय, अंतराल की विधि, क्षेत्र और संकेंद्रित वृत्तों की विधि) दी गई हैं। प्रत्येक विधि के लिए, असमानता को हल करने का एक उदाहरण दिया गया था। सैद्धांतिक भाग के बाद व्यावहारिक भाग था। इसमें त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए कार्यों का एक सेट होता है। इस शोध कार्य का उपयोग छात्र स्वतंत्र कार्य के लिए कर सकते हैं। छात्र इस विषय को आत्मसात करने के स्तर की जांच कर सकते हैं, अलग-अलग जटिलता के कार्यों को करने का अभ्यास कर सकते हैं। इस मुद्दे पर प्रासंगिक साहित्य के माध्यम से काम करने के बाद, जाहिर है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बीजगणित के स्कूली पाठ्यक्रम में त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की क्षमता और कौशल और विश्लेषण की शुरुआत बहुत महत्वपूर्ण है, जिसके विकास के लिए काफी प्रयास की आवश्यकता है। गणित शिक्षक। इसलिए, यह कार्य गणित के शिक्षकों के लिए उपयोगी होगा, क्योंकि यह "त्रिकोणमितीय असमानताओं" विषय पर छात्रों के प्रशिक्षण को प्रभावी ढंग से व्यवस्थित करना संभव बनाता है। अध्ययन को अंतिम योग्यता वाले कार्य तक विस्तारित करके जारी रखा जा सकता है.
प्रयुक्त साहित्य की सूची
बोगोमोलोव, एन.वी. गणित में समस्याओं का संग्रह [पाठ] / एन.वी. बोगोमोलोव। - एम .: बस्टर्ड, 2009. - 206 पी। वायगोडस्की, एम.वाई.ए. प्रारंभिक गणित की पुस्तिका [पाठ] / एम.वाई.ए. वायगोडस्की। - एम .: बस्टर्ड, 2006. - 509 पी। ज़ुरबेंको, एल.एन. उदाहरणों और कार्यों में गणित [पाठ] / एल.एन. ज़ुरबेंको। - एम .: इंफ्रा-एम, 2009. - 373 पी। इवानोव, ओ.ए. स्कूली बच्चों, छात्रों और शिक्षकों के लिए प्रारंभिक गणित [पाठ] / O.A. इवानोव। - एम .: एमटीएसएनएमओ, 2009. - 384 पी। कार्प, ए.पी. बीजगणित में कार्य और 11 वीं कक्षा [पाठ] / ए.पी. में अंतिम पुनरावृत्ति और प्रमाणन के संगठन के लिए विश्लेषण की शुरुआत। कार्प। - एम .: ज्ञानोदय, 2005. - 79 पी। कुलानिन, ई.डी. गणित में 3000 प्रतिस्पर्धी समस्याएं [पाठ] / ई.डी. कुलानिन। - एम .: आइरिस-प्रेस, 2007. - 624 पी। लिबसन, के.एल. गणित में व्यावहारिक कार्यों का संग्रह [पाठ] / के.एल. लिबसन। - एम .: बस्टर्ड, 2010. - 182 पी। एल्बो, वी.वी. मापदंडों और उनके समाधान के साथ समस्याएं। त्रिकोणमिति: समीकरण, असमानताएं, सिस्टम। ग्रेड 10 [पाठ] / वी.वी. कोहनी। - एम .: आर्कटी, 2008. - 64 पी। मनोवा, ए.एन. अंक शास्त्र। परीक्षा की तैयारी के लिए एक्सप्रेस ट्यूटर: खाता। भत्ता [पाठ] / ए.एन. मनोवा। - रोस्तोव-ऑन-डॉन: फीनिक्स, 2012. - 541 पी। मोर्डकोविच, ए.जी. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। 10-11 ग्रेड। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक [पाठ] / ए.जी. मोर्डकोविच। - एम .: आइरिस-प्रेस, 2009. - 201 पी। नोविकोव, ए.आई. त्रिकोणमितीय कार्य, समीकरण और असमानताएं [पाठ] / ए.आई. नोविकोव। - एम .: फ़िज़मैटलिट, 2010. - 260 पी। ओगनेस्यान, वी.ए. माध्यमिक विद्यालय में गणित पढ़ाने के तरीके: सामान्य पद्धति। प्रक्रिया। भौतिकी के छात्रों के लिए भत्ता। - चटाई। नकली। पेड। इन-कॉमरेड। [पाठ] / वी.ए. Oganesyan। - एम .: ज्ञानोदय, 2006. - 368 पी। ओलेक्निक, एस.एन. समीकरण और असमानताएँ। गैर-मानक समाधान विधियां [पाठ] / एस.एन. ओलेखनिक। - एम।: पब्लिशिंग हाउस फैक्टोरियल, 1997. - 219 पी। सेवरीकोव, पी.एफ. त्रिकोणमितीय, चरघातांकी और लघुगणकीय समीकरण और असमानताएं [पाठ] / पी.एफ. सेवरीयुकोव। - एम .: राष्ट्रीय शिक्षा, 2008. - 352 पी। सर्गेव, आई. एन. उपयोग: गणित में उत्तर और समाधान के साथ 1000 कार्य। समूह सी के सभी कार्य [पाठ] / आई.एन. सर्गेव। - एम।: परीक्षा, 2012। - 301 पी। सोबोलेव, ए.बी. प्राथमिक गणित [पाठ] / ए.बी. सोबोलेव। - येकातेरिनबर्ग: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 पी। फेंको, एल.एम. असमानताओं को हल करने और कार्यों का अध्ययन करने में अंतराल की विधि [पाठ] / एल.एम. फेंको। - एम .: बस्टर्ड, 2005. - 124 पी। फ्रीडमैन, एल.एम. गणित शिक्षण की पद्धति की सैद्धांतिक नींव [पाठ] / एल.एम. फ्रीडमैन। - एम।: बुक हाउस "लिबरोकॉम", 2009. - 248 पी। परिशिष्ट 1 सबसे सरल असमानताओं के समाधान की चित्रमय व्याख्या चावल। 1 चावल। 2 चित्र 3 चित्र 4 चित्र 5 चित्र 6 चित्र 7 चित्र 8 अनुलग्नक 2 सबसे सरल असमानताओं का समाधान
, 
आदि), जहां सामान्य असमानता को पहले हल किया जाता है, और फिर फॉर्म की असमानता 
आदि, या अन्य तरीके।
यह एक अवधि में इसका समाधान खोजने के लिए पर्याप्त है, अर्थात किसी भी खंड पर जिसकी लंबाई फलन की अवधि के बराबर हैएफ
एक्स
. तब मूल असमिका का हल सब मिल जाएगाएक्स
, साथ ही वे मान जो फ़ंक्शन की अवधि के किसी भी पूर्णांक संख्या द्वारा पाए गए से भिन्न होते हैं। इस मामले में, ग्राफिकल विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है।
(
) और 
.
(
).
.
.
(रिकॉर्ड के बाईं ओर की संख्या हमेशा दाईं ओर की संख्या से कम होती है)।
.
, जो वृत्त को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करता है।
, लेकिन छोटा 
,
से अधिक मान ग्रहण करेगा
(लेकिन एक से अधिक नहीं)।
, अर्थात। 
. इस असमानता के सभी समाधान प्राप्त करने के लिए, इस अंतराल के सिरों को जोड़ने के लिए पर्याप्त है 
, कहाँ 
, अर्थात। 
,
.
ध्यान दें कि मान 
और 
समीकरण के मूल हैं 
,
;
.
, .
:
और 
.
. इन बिन्दुओं के भुज ज्ञात कीजिए।
और 
(अंक 2)।
; 
. बीच में 
ग्राफ अंक 
चार्ट बिंदुओं के नीचे 
. और जब फ़ंक्शन मान समान हैं। इसीलिए पर 
.
.
.
(चित्र 3)
, 
.
, 
, 
.
, 
.
सरल परिवर्तनों के बाद हम प्राप्त करते हैं
,
,
.
, क्रमश 
. फिर चित्र से। 4 अनुसरण करता है 
, कहाँ 
.
, 
.
, 
.
.
.
: . हम यूनिट सर्कल पर सभी बिंदुओं को चिह्नित करते हैं (चित्र 6):
, 
; 
, 
; 
, 
.
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
. शृंखलाएक्स
2
अंक देता है 
. एक श्रृंखलाएक्स
3
हमें दो अंक मिलते हैं 
. अंत में, एक श्रृंखलाएक्स
4
बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करेगा 
. हम इन सभी बिंदुओं को यूनिट सर्कल पर रखते हैं, जो इसकी प्रत्येक बहुलता के आगे कोष्ठक में दर्शाते हैं।
बराबर होगा। हम संकेत द्वारा अनुमान लगाते हैं:
बीम के साथओह,
यूनिट सर्कल के बाहर। (ध्यान दें कि सहायक बीमके बारे में
ए
इसे तस्वीर में दिखाने की जरूरत नहीं है। डॉटए
लगभग चयनित।)हमारी लाइन एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में जाती है: यदि यह यूनिट सर्कल के बाहर थी, तो यह इसमें गुजरती है। बिंदु के पास 
, रेखा आंतरिक क्षेत्र में लौटती है, क्योंकि इस बिंदु की बहुलता सम है। इसी तरह बिंदु पर 
(एक समान बहुलता के साथ) रेखा को बाहरी क्षेत्र में घुमाना पड़ता है। तो, हमने अंजीर में चित्रित एक निश्चित चित्र बनाया। 7. यह यूनिट सर्कल पर वांछित क्षेत्रों को हाइलाइट करने में मदद करता है। उन्हें "+" के साथ चिह्नित किया गया है।
,
, ,
,
साइन और कोसाइन कार्यों के गुणों का उपयोग करना;
, अगर, अगर 
बराबर: 
, अगर:
,
बी) 
,
वी) 
, 
, 
, 
.
.
प्रारंभिक स्तर पर प्राप्त ज्ञान और कौशल का उपयोग करते हुए, छात्र प्रस्तावित असमानता को फॉर्म में लाएंगे 
, लेकिन परिणामी असमानता के समाधान का एक सेट खोजना मुश्किल हो सकता है, क्योंकि साइन फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके इसे हल करना असंभव है। उपयुक्त उदाहरण (समीकरण का रेखांकन द्वारा हल या एक इकाई वृत्त का उपयोग करके) का हवाला देकर इस कठिनाई से बचा जा सकता है।.
और इसके माध्यम से एक्स-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें। यह रेखा इकाई वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटेगी। इनमें से प्रत्येक बिंदु उन संख्याओं को दर्शाता है जिनकी ज्या बराबर है .
. स्वाभाविक रूप से, यह चाप खींची हुई सीधी रेखा के ऊपर स्थित है।
.
.
उन संख्याओं को संतुष्ट करें जिनके लिए असमानता है 
. हमने साइन फ़ंक्शन की समान अवधि पर स्थित संख्याओं के लिए असमानता को हल किया। इसलिए, असमानता के सभी समाधानों को इस रूप में लिखा जा सकता है 
रूप में लिखा जा सकता है 
, 
.
और 
, मान लें कि 
.
और उसका समाधान 
, 
, 
, सूत्रों का उपयोग करके पाया गया 
, 
, 
.
रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के लगातार तीन भुज हैं और . जाहिर है, हमेशा अंतराल पर 
असमानता 
, और अंतराल पर 
- असमानता 
. हम पहले मामले में रुचि रखते हैं, और फिर इस अंतराल के अंत में एक संख्या जोड़ते हैं जो साइन अवधि का एक गुणक है, हम असमानता का समाधान प्राप्त करते हैं जैसा: 
, .
, आपको संबंधित समीकरण लिखने और इसे हल करने की आवश्यकता है। परिणामी सूत्र से जड़ें खोजें 
और 
, और असमानता का उत्तर फॉर्म में लिखें: , .
, स्थिति को संतुष्ट करना 
;
, स्थिति को संतुष्ट करना 
.
;
;
.
;
.
;
;
;
;
, कहाँपी
(
एक्स
)
औरक्यू
(
एक्स
)
- तर्कसंगत त्रिकोणमितीय कार्य (ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श उन्हें तर्कसंगत रूप से दर्ज करते हैं), इसी तरह तर्कसंगत असमानताओं के समाधान के लिए। वास्तविक अक्ष पर अन्तरालों की विधि द्वारा परिमेय असमिकाओं को हल करना सुविधाजनक होता है। तर्कसंगत त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने में इसका एनालॉग त्रिकोणमितीय सर्कल में सेक्टरों की विधि हैsinx
औरcosx
(
) या त्रिकोणमितीय अर्धवृत्त के लिएtgx
औरctgx
(
).
संख्या अक्ष पर बिंदु 
, और इस बिंदु से गुजरते समय परिवर्तन का चिह्न। सेक्टर पद्धति में, फॉर्म का प्रत्येक गुणक 
, कहाँ 
- कार्यों में से एकsinx
याcosx
और 
, त्रिकोणमितीय वृत्त में दो कोण संगत होते हैं 
और 
, जो वृत्त को दो सेक्टरों में विभाजित करते हैं। से गुजरते समय और समारोह परिवर्तन का चिह्न।
और 
, कहाँ 
, सभी मानों के लिए चिह्न बनाए रखें 
. अंश और भाजक के ऐसे गुणकों को त्याग दिया जाता है, बदलते हुए (यदि 
) ऐसी प्रत्येक अस्वीकृति के लिए, असमानता का चिह्न उलट दिया जाता है।
और 
भी खारिज कर दिए जाते हैं। इसके अलावा, यदि ये भाजक के गुणनखंड हैं, तो प्रपत्र की असमानताओं को असमानताओं की समतुल्य प्रणाली में जोड़ दिया जाता है 
और 
. यदि ये अंश के कारक हैं, तो बाधाओं की समतुल्य प्रणाली में वे असमानताओं के अनुरूप हैं और सख्त प्रारंभिक असमानता और समानता के मामले में 
और 
गैर-सख्त प्रारंभिक असमानता के मामले में। गुणक गिराते समय 
या 
असमानता का चिह्न उल्टा है।
, बी) 
.
हमारे पास एक फ़ंक्शन है, बी)। हमारे पास मौजूद असमानता को हल करें
, 
.
