एकपदी को बहुपद से गुणा करना। विशिष्ट कार्य

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एक बहुपद को एकपदी से गुणा करना

आपने शायद देखा होगा कि अब तक अध्याय 4 ने अध्याय 3 की तरह ही योजना का पालन किया है। दोनों अध्यायों में, बुनियादी अवधारणाओं को पहली बार पेश किया गया था: अध्याय 3 में ये एकपदी थे, एकपदी का एक मानक रूप, एकपदी का एक गुणांक; अध्याय 4 में - बहुपद, बहुपद का मानक रूप। फिर अध्याय 3 में हमने एकपदी को जोड़ने और घटाने पर ध्यान दिया; इसी प्रकार, अध्याय 4 में - बहुपदों का जोड़ और घटाव।

अध्याय 3 में आगे क्या हुआ? आगे हमने एकपदी को गुणा करने के बारे में बात की। तो, सादृश्य से, अब हमें किस बारे में बात करनी चाहिए? बहुपदों को गुणा करने पर. लेकिन यहां हमें धीरे-धीरे कार्य करना होगा: पहले (इस खंड में) हम एक बहुपद को इससे गुणा करने पर विचार करेंगे एकपद(या एक बहुपद द्वारा एकपदी, यह सब समान है), और फिर (अगले पैराग्राफ में) - किसी भी बहुपद का गुणन। जब आपने प्राथमिक विद्यालय में संख्याओं को गुणा करना सीखा, तो आपने भी धीरे-धीरे कार्य किया: पहले आपने एक बहु-अंकीय संख्या को एक-अंकीय संख्या से गुणा करना सीखा, और उसके बाद ही एक बहु-अंकीय संख्या को एक बहु-अंकीय संख्या से गुणा करना सीखा।

(ए + बी)एस =एс + बीसी.

उदाहरण 1।गुणन करें 2a 2 - Зab) (-5а)।

समाधान। आइए नए वेरिएबल का परिचय दें:

x = 2a 2, y = Zab, z = - 5a.

फिर इस उत्पाद को (x + y)z के रूप में फिर से लिखा जाएगा, जो वितरण कानून के अनुसार, xr + yz के बराबर है। अब आइए पुराने वेरिएबल्स पर वापस जाएं:

xz + yz - 2a 2 (- 5a) + (- Зab) (- 5a)।
हमें बस एकपदी के उत्पाद ढूँढ़ने हैं। हम पाते हैं:

- 10ए 3 + 15ए 2 बी

यहां समाधान का एक संक्षिप्त सारांश दिया गया है (इस तरह हम इसे भविष्य में लिखेंगे, नए चर पेश किए बिना):

(2ए 2 - ज़ैब) (- 5ए) = 2ए 2 (- 5ए) + (- ज़ैब) (- 5ए) = -10ए 3 +15ए 2 बी।

अब हम एक बहुपद को एकपदी से गुणा करने के लिए संगत नियम बना सकते हैं।

एकपदी को बहुपद से गुणा करते समय भी यही नियम लागू होता है:

- 5ए(2ए 2 - ज़ैब) = (- 5ए) 2ए 2 + (- 5ए) (- ज़ैब) = 10ए 3 + 15ए 2 बी

(हमने उदाहरण 1 लिया, लेकिन कारकों की अदला-बदली कर दी)।

उदाहरण 2.एक बहुपद को एक बहुपद और एकपदी के गुणनफल के रूप में निरूपित करें यदि:

a) p1(x, y) - 2x 2 y + 4a:;

बी) पी 2 (एक्स, वाई) = एक्स 2 + 3 2।

समाधान।

ए) ध्यान दें कि 2x 2 y = 2x xy, और 4a: = 2x 2. इसका मतलब है

2x 2 y + 4x = xy 2x + 2 2x = (xy + 2) 2x

बी) उदाहरण में ए) हम प्रत्येक पद में कई पद पी 1 (एक्स, वाई) = 2x 2 y + 4a शामिल करने में कामयाब रहे: समान भाग (समान कारक) 2x का चयन करें। यहां ऐसा कोई सामान्य हिस्सा नहीं है. इसका अर्थ यह है कि बहुपद p 2 (x, y) = x 2 + 3 2 को एक बहुपद और एकपदी के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

वास्तव में, बहुपद p 2 (x, y) को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तरह:

x 2 + 3y 2 = (2x 2 + 6y 2) 0.5
या इस तरह:

एक्स 2 + 3वाई 2 = (एक्स 2 + 3वाई 2) 1
- एक बहुपद द्वारा किसी संख्या का गुणनफल, लेकिन यह एक कृत्रिम परिवर्तन है और इसका उपयोग तब तक नहीं किया जाता जब तक कि बिल्कुल आवश्यक न हो।

वैसे, किसी दिए गए बहुपद को एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता गणित में अक्सर होती है, इसलिए इस प्रक्रिया को एक विशेष नाम दिया गया है: सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना।

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने का कार्य सही हो सकता है (उदाहरण 2ए में), या यह पूरी तरह से सही नहीं हो सकता है (उदाहरण 26 में)। हम अगले अध्याय में इस मुद्दे पर विशेष रूप से विचार करेंगे।

इस अनुभाग के अंत में, हम उन समस्याओं का समाधान करेंगे जिनसे पता चलेगा कि कैसे काम करना है गणितीय मॉडलवास्तविक स्थितियों में, आपको बहुपदों का बीजगणितीय योग बनाना होगा और एक बहुपद को एकपदी से गुणा करना होगा। इसलिए यह व्यर्थ नहीं है कि हम इन परिचालनों का अध्ययन करें।

उदाहरण 3.बिंदु A, B और C राजमार्ग पर स्थित हैं जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है। A और B के बीच की दूरी 16 किमी है। एक पैदल यात्री B से C की ओर चला गया। इसके 2 घंटे बाद, एक साइकिल चालक A से C की दिशा में चला गया, जिसकी गति पैदल यात्री की गति से 6 किमी/घंटा अधिक है। निकलने के 4 घंटे बाद, साइकिल चालक ने बिंदु C पर पैदल यात्री को पकड़ लिया। B से C की दूरी क्या है?

समाधान।
प्रथम चरण।एक गणितीय मॉडल तैयार करना। माना x किमी/घंटा एक पैदल यात्री की गति है, तो (x + 6) किमी/घंटा एक साइकिल चालक की गति है।

साइकिल चालक ने A से C तक की दूरी 4 घंटे में तय की, जिसका अर्थ है कि यह दूरी सूत्र 4 (x + 6) किमी द्वारा व्यक्त की गई है; दूसरे शब्दों में, AC = 4 (x + 6)।

पैदल यात्री ने B से C तक की दूरी 6 घंटे में तय की (आखिरकार, साइकिल चालक के जाने से पहले, वह पहले से ही 2 घंटे तक सड़क पर रहा था), इसलिए, यह दूरी सूत्र 6x किमी द्वारा व्यक्त की जाती है; दूसरे शब्दों में, BC = 6x

अब चित्र 3 पर ध्यान दें: एसी - बीसी = एबी, यानी एसी - बीसी = 16. यह समस्या का गणितीय मॉडल तैयार करने का आधार है। याद रखें कि AC = 4 (x + 6), BC = 6x:; इस तरह,

4 (x + 6) -6x = 16.

ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

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§ 1 एक बहुपद को एकपदी से गुणा करना

जब बहुपदों को गुणा करने की बात आती है, तो हम दो प्रकार की संक्रियाओं से निपट सकते हैं: एक बहुपद को एकपदी से गुणा करना और एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करना। इस पाठ में हम सीखेंगे कि एक बहुपद को एकपदी से कैसे गुणा किया जाता है।

किसी बहुपद को एकपदी से गुणा करते समय जिस मूल नियम का उपयोग किया जाता है वह गुणन का वितरण गुण है। चलो याद करते हैं:

किसी योग को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को उस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणामी उत्पादों को जोड़ सकते हैं।

गुणन का यह गुण घटाने की क्रिया पर भी लागू होता है। शाब्दिक संकेतन में, गुणन का वितरण गुण इस प्रकार दिखता है:

(ए + बी) ∙ सी = एसी + बीसी

(ए - बी) ∙ सी = एसी - बीसी

एक उदाहरण पर विचार करें: बहुपद (5ab - 3a2) को एकपदी 2b से गुणा करें।

आइए नए वेरिएबल्स का परिचय दें और 5ab को अक्षर x से, 3a2 को अक्षर y से, 2b को अक्षर c से निरूपित करें। तब हमारा उदाहरण इस प्रकार दिखेगा:

(5एबी - 3ए2) ∙ 2बी = (एक्स - वाई) ∙с

वितरण नियम के अनुसार, यह xc - yc के बराबर है। आइए अब नए वेरिएबल्स के मूल अर्थ पर वापस आते हैं। हम पाते हैं:

5аb∙2b - 3а2∙2b

आइए अब परिणामी बहुपद को मानक रूप में लाएं। हमें अभिव्यक्ति मिलती है:

इस प्रकार, नियम तैयार किया जा सकता है:

एक बहुपद को एकपदी से गुणा करने के लिए, आपको बहुपद के प्रत्येक पद को इस एकपदी से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।

एकपदी को बहुपद से गुणा करते समय भी यही नियम लागू होता है।

§ पाठ के विषय पर 2 उदाहरण

अभ्यास में बहुपदों को गुणा करते समय, परिणामी संकेतों को निर्धारित करने में भ्रम से बचने के लिए, पहले गुणनफल के चिह्न को निर्धारित करने और तुरंत लिखने की सिफारिश की जाती है, और उसके बाद ही संख्याओं और चरों का गुणनफल ढूंढें और लिखें। यहां बताया गया है कि विशिष्ट उदाहरणों के साथ यह कैसा दिखता है।

उदाहरण 1. (4а2बी - 2ए) ∙ (-5एबी)।

यहां एकपदी - 5ab को दो एकपदी से गुणा किया जाना चाहिए जो बहुपद, 4a2b और - 2a बनाते हैं। पहले टुकड़े पर "-" चिन्ह होगा, और दूसरे टुकड़े पर "+" चिन्ह होगा। तो समाधान इस तरह दिखेगा:

(4a2b - 2a) ∙ (-5ab) = - 4a2b ∙ 5ab + 2a ∙ 5ab = -20a3b2 + 10a2b

उदाहरण 2. -xy(2x - 3y +5).

यहां हमें तीन गुणन संक्रियाएं करनी होंगी, जिसमें पहले उत्पाद का चिह्न "-", दूसरे का चिह्न "+" और तीसरे का चिह्न "-" होगा। समाधान इस प्रकार दिखता है:

Xy(2x - 3y + 5) = -xy∙2x + xy∙3y - xy∙5 = -2x2y + 3xy2 - 5xy.

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. मोर्दकोविच ए.जी., बीजगणित 7वीं कक्षा 2 भागों में, भाग 1, सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच. - 10वां संस्करण, संशोधित - मॉस्को, "मेनेमोसिन", 2007
2. मोर्दकोविच ए.जी., बीजगणित 7वीं कक्षा 2 भागों में, भाग 2, शैक्षणिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक / [ए.जी. मोर्दकोविच और अन्य]; ए.जी. द्वारा संपादित मोर्दकोविच - 10वां संस्करण, संशोधित - मॉस्को, "मेनेमोसिन", 2007
3. उसकी। तुलचिंस्काया, बीजगणित 7वीं कक्षा। ब्लिट्ज़ सर्वेक्षण: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए एक मैनुअल, चौथा संस्करण, संशोधित और विस्तारित, मॉस्को, "मेनेमोसिन", 2008
4. अलेक्जेंड्रोवा एल.ए., बीजगणित 7वीं कक्षा। सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए एक नए रूप में विषयगत परीक्षण पत्र, ए.जी. द्वारा संपादित। मोर्दकोविच, मॉस्को, "मेनमोसिन", 2011
5. अलेक्जेंड्रोवा एल.ए. बीजगणित 7वीं कक्षा. सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए स्वतंत्र कार्य, ए.जी. द्वारा संपादित। मोर्दकोविच - छठा संस्करण, स्टीरियोटाइपिकल, मॉस्को, "मेनमोसिन", 2010

किसी बहुपद को एकपदी से गुणा करते समय, हम गुणन के नियमों में से एक का उपयोग करेंगे। गणित में इसे गुणन का वितरणात्मक नियम कहा जाता है। गुणन का वितरणात्मक नियम:

1. (ए + बी)*सी = ए*सी + बी*सी

2. (ए - बी)*सी = ए*सी - बी*सी

एकपदी को बहुपद से गुणा करने के लिए, बहुपद के प्रत्येक पद को एकपदी से गुणा करना पर्याप्त है। इसके बाद, परिणामी उत्पादों को जोड़ें। निम्नलिखित चित्र एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने का आरेख दिखाता है।

गुणन का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है; यदि, उदाहरण के लिए, आपको एक बहुपद को एकपदी से गुणा करने की आवश्यकता है, तो आपको इसे बिल्कुल उसी तरह से करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, प्रविष्टियों 4*x * (5*x^2*y - 4*x*y) और (5*x^2*y - 4*x*y)* 4*x के बीच कोई अंतर नहीं है।

आइए ऊपर लिखे बहुपद और एकपदी को गुणा करें। और हम आपको एक विशिष्ट उदाहरण के साथ दिखाएंगे कि इसे सही तरीके से कैसे करें:

4*x * (5*x^2*y - 4*x*y)

गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके, हम उत्पाद बनाते हैं:

4*x*5*x^2*y - 4*x*4*x*y.

परिणामी योग में, हम प्रत्येक एकपदी को मानक रूप में घटाते हैं और प्राप्त करते हैं:

20*x^3*y - 16*x^2*y.

यह एकपदी और बहुपद का गुणनफल होगा: (4*x) * (5*x^2*y - 4*x*y) = 20*x^3*y - 16*x^2*y।

उदाहरण:

1. एकपदी 4*x^2 को बहुपद (5*x^2+4*x+3) से गुणा करें। गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके, हम उत्पाद बनाते हैं। हमारे पास है
(4*x^2*5*x^2) +(4*x^2* 4*x) +(4*x^2*3).

20*x^4 +16*x^3 +12*x^2.

यह एकपदी और बहुपद का गुणनफल होगा: (4*x^2)*(5*x^2+4*x+3)= 20*x^4 +16*x^3 +12*x^ 2.

2. एकपदी (-3*x^2) को बहुपद (2*x^3-5*x+7) से गुणा करें।

मैं गुणन के वितरण नियम का उपयोग करता हूं और एक उत्पाद बनाता हूं। हमारे पास है:

(-3*x^2 * 2*x^3) +(-3*x^2 * -5*x) +(-3*x^2 *7).

परिणामी योग में, हम प्रत्येक एकपदी को उसके मानक रूप में घटाते हैं। हम पाते हैं:

6*x^5 +15*x^3 -21*x^2.

यह एकपदी और बहुपद का गुणनफल होगा: (-3*x^2) * (2*x^3-5*x+7)= -6*x^5 +15*x^3 -21* एक्स^2.

इस पाठ में हम एक बहुपद को एकपदी से गुणा करने की संक्रिया का अध्ययन करेंगे, जो बहुपद के गुणन का अध्ययन करने का आधार है। आइए गुणन के वितरण नियम को याद करें और किसी भी बहुपद को एकपदी से गुणा करने का नियम बनाएं। आइए डिग्री के कुछ गुणों को भी याद करें। इसके अलावा, विभिन्न उदाहरण निष्पादित करते समय विशिष्ट त्रुटियां तैयार की जाएंगी।

विषय:बहुपद. एकपदी पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

पाठ:एक बहुपद को एकपदी से गुणा करना। विशिष्ट कार्य

एक बहुपद को एकपदी से गुणा करने की संक्रिया एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने की संक्रिया पर विचार करने का आधार है, और बहुपद के गुणन को समझने के लिए आपको पहले सीखना होगा कि एक बहुपद को एकपदी से कैसे गुणा किया जाए।

इस संक्रिया का आधार गुणन का वितरणात्मक नियम है। आइए उसे याद दिलाएं:

अनिवार्य रूप से, हम एक बहुपद, इस मामले में एक द्विपद, को एकपदी से गुणा करने का नियम देखते हैं, और इस नियम को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: एक बहुपद को एकपदी से गुणा करने के लिए, आपको बहुपद के प्रत्येक पद को गुणा करना होगा यह एकपदी. बीजगणितीय रूप से प्राप्त उत्पादों को जोड़ें, और फिर बहुपद पर आवश्यक क्रियाएं करें - अर्थात्, इसे मानक रूप में लाएं।

आइए एक उदाहरण देखें:

टिप्पणी: इस उदाहरण को नियम का सटीक पालन करके हल किया गया है: एक बहुपद के प्रत्येक पद को एकपदी से गुणा किया जाता है। वितरण नियम को अच्छी तरह से समझने और आत्मसात करने के लिए, इस उदाहरण में, बहुपद के पदों को क्रमशः x और y द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, और एकपदी को c से, जिसके बाद वितरण नियम और के अनुसार एक प्रारंभिक क्रिया की गई थी। प्रारंभिक मान प्रतिस्थापित किए गए. आपको संकेतों से सावधान रहना चाहिए और शून्य से एक गुणा सही ढंग से करना चाहिए।

आइए एक त्रिपद को एकपदी से गुणा करने का एक उदाहरण देखें और सुनिश्चित करें कि यह द्विपद के साथ समान संक्रिया से भिन्न नहीं है:

आइए उदाहरणों को हल करने की ओर आगे बढ़ें:

टिप्पणी: यह उदाहरण वितरण नियम के अनुसार हल किया गया है और पिछले उदाहरण के समान है - बहुपद के प्रत्येक पद को एकपदी से गुणा किया जाता है, परिणामी बहुपद पहले से ही मानक रूप में लिखा जाता है, इसलिए इसे सरल नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण 2 - क्रियाएँ करें और बहुपद को मानक रूप में प्राप्त करें:

टिप्पणी: इस उदाहरण को हल करने के लिए, हम पहले वितरण नियम के अनुसार पहले और दूसरे द्विपद को गुणा करेंगे, फिर हम परिणामी बहुपद को एक मानक रूप में लाएंगे - हम समान पद प्रस्तुत करेंगे।

आइए अब हम एक बहुपद को एकपदी से गुणा करने की संक्रिया से जुड़ी मुख्य समस्याएं तैयार करें और उनके समाधान के उदाहरण दें।

कार्य 1 - अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

टिप्पणी: इस उदाहरण को पिछले उदाहरण की तरह ही हल किया गया है, अर्थात्, पहले बहुपदों को संबंधित एकपदों से गुणा किया जाता है, और फिर समान एकपदों को घटाया जाता है।

कार्य 2 - सरल बनाएं और गणना करें:

उदाहरण 1:;

टिप्पणी: इस उदाहरण को पिछले उदाहरण की तरह ही हल किया गया है, एकमात्र जोड़ यह है कि समान पदों को लाने के बाद, आपको चर के बजाय इसके विशिष्ट मान को प्रतिस्थापित करना होगा और बहुपद के मान की गणना करनी होगी। एक अनुस्मारक के रूप में, दशमलव को आसानी से दस से गुणा करने के लिए, आपको दशमलव स्थान को एक स्थान दाईं ओर ले जाना होगा।

यदि संख्याओं को अलग-अलग अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, तो कोई केवल उत्पाद को निर्दिष्ट कर सकता है; उदाहरण के लिए, हमें संख्या a को संख्या b से गुणा करने की आवश्यकता है - हम इसे a ∙ b या ab से निरूपित कर सकते हैं, लेकिन इस गुणन को किसी तरह करने का कोई सवाल ही नहीं उठता। हालाँकि, जब हम एकपदी के साथ काम कर रहे हैं, तो, 1) गुणांकों की उपस्थिति और 2) इस तथ्य के लिए धन्यवाद कि इन एकपदी में समान अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट कारक शामिल हो सकते हैं, एकपदी को गुणा करने के बारे में बात करना संभव है; बहुपदों के लिए यह संभावना और भी व्यापक है। आइए ऐसे कई मामलों को देखें जहां सबसे सरल से शुरू करके गुणा करना संभव है।

1. समान आधारों से घातों को गुणा करना. मान लीजिए, उदाहरण के लिए, a 3 ∙ a 5 आवश्यक है। आइये घातांक का अर्थ जानकर इसी बात को और अधिक विस्तार से लिखते हैं:

ए ∙ ए ∙ ए ∙ ए ∙ ए ∙ ए ∙ ए ∙ ए

इस विस्तृत नोटेशन को देखने पर, हम देखते हैं कि हमारे पास 8 गुना के गुणनखंड के रूप में लिखा गया है, या, संक्षेप में, 8 है। तो, a 3 ∙ a 5 = a 8.

माना b 42 ∙ b 28 आवश्यक है। हमें पहले कारक b को 42 बार लिखना होगा, और फिर कारक b को 28 बार लिखना होगा - सामान्य तौर पर, हम पाएंगे कि b को कारक के रूप में 70 बार लिया गया है। यानी बी 70. तो, बी 42 ∙ बी 28 = बी 70. यहां से यह पहले से ही स्पष्ट है कि जब समान आधार वाली शक्तियों को गुणा किया जाता है, तो डिग्री का आधार अपरिवर्तित रहता है, और शक्तियों के घातांक जोड़ दिए जाते हैं। यदि हमारे पास 8 ∙ a है, तो हमें यह ध्यान में रखना होगा कि कारक a का तात्पर्य 1 के घातांक ("a से पहली घात") तक है, - इसलिए, a 8 ∙ a = a 9।

उदाहरण: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; ए 11 ∙ ए 22 ∙ ए 33 = ए 66 ; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (ए + बी) 3 ∙ (ए + बी) 4 = (ए + बी) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5, आदि।

कभी-कभी आपको उन घातों से निपटना पड़ता है जिनके घातांक अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं, उदाहरण के लिए, xn (x की घात n)। आपको ऐसे भावों से निपटने की आदत डालनी होगी। यहाँ उदाहरण हैं:

आइए इनमें से कुछ उदाहरणों को समझाएं: b n – 3 ∙ b 5 आपको आधार b को अपरिवर्तित छोड़ना होगा और घातांक जोड़ना होगा, यानी (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. निःसंदेह, आपको अपने दिमाग में ऐसे परिवर्धन को शीघ्रता से करना सीखना चाहिए।

एक अन्य उदाहरण: x n + 2 ∙ x n - 2, - आधार x को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए, और घातांक जोड़ा जाना चाहिए, यानी (n + 2) + (n - 2) = n + 2 + n - 2 = 2n।

अब आप ऊपर दिए गए क्रम को व्यक्त कर सकते हैं कि समान आधारों के साथ शक्तियों का गुणन समानता द्वारा कैसे किया जाए:

ए एम ∙ ए एन = ए एम + एन

2. एकपदी को एकपदी से गुणा करना।मान लीजिए, उदाहरण के लिए, 3a²b³c ∙ 4ab²d² की आवश्यकता है। हम देखते हैं कि यहां एक गुणन को एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है, लेकिन हम जानते हैं कि समान गुणन चिह्न 3 और a² के बीच, a² और b³ के बीच, b³ और c के बीच, 4 और a के बीच, a और b² के बीच, b² और के बीच निहित है। d². इसलिए, हम यहां 8 कारकों का उत्पाद देख सकते हैं और हम उन्हें किसी भी क्रम में किसी भी समूह से गुणा कर सकते हैं। आइए हम उन्हें पुनर्व्यवस्थित करें ताकि समान आधार वाले गुणांक और शक्तियां पास-पास हों, यानी।

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d²।

फिर हम 1) गुणांक और 2) शक्तियों को समान आधारों से गुणा कर सकते हैं और 12a³b5cd² प्राप्त कर सकते हैं।

इसलिए, एकपदी को एकपदी से गुणा करते समय, हम गुणांकों और शक्तियों को समान आधारों से गुणा कर सकते हैं, लेकिन शेष कारकों को बिना किसी बदलाव के फिर से लिखा जाना चाहिए।

और ज्यादा उदाहरण:

3. एक बहुपद को एकपदी से गुणा करना।मान लीजिए कि आपको पहले किसी बहुपद, उदाहरण के लिए, a - b - c + d, को एक धनात्मक पूर्णांक, उदाहरण के लिए, +3 से गुणा करना होगा। चूँकि धनात्मक संख्याओं को अंकगणितीय संख्याओं के समान माना जाता है, यह (a - b - c + d) ∙ 3 के समान है, अर्थात a - b - c + d को एक पद के रूप में 3 बार लें, या

(ए - बी - सी + डी) ∙ (+3) = ए - बी - सी + डी + ए - बी - सी + डी + ए - बी - सी + डी = 3ए - 3बी - 3सी + 3डी,

यानी, परिणामस्वरूप, बहुपद के प्रत्येक पद को 3 (या +3) से गुणा करना पड़ा।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है:

(ए - बी - सी + डी) ÷ (+3) = ए - बी - सी + डी,

अर्थात्, बहुपद के प्रत्येक पद को (+3) से विभाजित किया जाना था। इसके अलावा, सामान्यीकरण करने पर, हमें यह मिलता है:

और इसी तरह।

मान लीजिए अब हमें (a – b – c + d) को एक धनात्मक भिन्न से गुणा करना है, उदाहरण के लिए, + से। यह अंकगणितीय भिन्न से गुणा करने के समान है, जिसका अर्थ है (ए - बी - सी + डी) के भाग लेना। इस बहुपद का पांचवां हिस्सा लेना आसान है: आपको (ए - बी - सी + डी) को 5 से विभाजित करना होगा, और हम पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है, और हमें मिलता है . यह परिणाम को 3 बार दोहराना या 3 से गुणा करना बाकी है, अर्थात।

परिणामस्वरूप, हम देखते हैं कि हमें बहुपद के प्रत्येक पद को + या से गुणा करना पड़ा।

मान लीजिए अब हमें (a – b – c + d) को एक ऋणात्मक संख्या, पूर्णांक या भिन्न से गुणा करना है,

यानी, इस मामले में, बहुपद के प्रत्येक पद को - से गुणा करना होगा।

इस प्रकार, संख्या m जो भी हो, हमेशा (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm होता है।

चूँकि प्रत्येक एकपदी एक संख्या है, यहाँ हम एक बहुपद को एकपदी से गुणा करने का संकेत देखते हैं - हमें बहुपद के प्रत्येक पद को इस एकपदी से गुणा करना होगा।

4. एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करना. इसे (a + b + c) ∙ (d + e) ​​होने दें। चूँकि d और e का अर्थ संख्याएँ हैं, तो (d + e) ​​किसी एक संख्या को व्यक्त करता है।

(ए + बी + सी) ∙ (डी + ई) ​​= ए (डी + ई) + बी (डी + ई) + सी (डी + ई)

(हम इसे इस प्रकार समझा सकते हैं: हमें अस्थायी रूप से d + e को एकपदी के रूप में लेने का अधिकार है)।

विज्ञापन + एई + बीडी + बीई + सीडी + सीई

इस परिणाम में, आप सदस्यों का क्रम बदल सकते हैं.

(ए + बी + सी) ∙ (डी + ई) ​​= विज्ञापन + बीडी + एड + एई + बीई + सीई,

अर्थात्, एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा। पहले बहुपद के प्रत्येक पद को पहले दूसरे के पहले पद से (+d से), फिर दूसरे के दूसरे पद से (+ से) गुणा करना सुविधाजनक है (इस उद्देश्य के लिए प्राप्त पदों का क्रम ऊपर बदल दिया गया था) ई), फिर, अगर वहाँ एक था, तीसरे द्वारा, आदि। डी।; इसके बाद समान शर्तों में कटौती की जानी चाहिए।

इन उदाहरणों में, द्विपद को द्विपद से गुणा किया जाता है; प्रत्येक द्विपद में, पदों को दोनों द्विपदों के लिए सामान्य अक्षर की अवरोही घातों में व्यवस्थित किया जाता है। अपने दिमाग में ऐसे गुणन करना और तुरंत अंतिम परिणाम लिखना आसान है।

पहले द्विपद के अग्रणी पद को दूसरे द्विपद के अग्रणी पद से गुणा करने पर, यानी 4x² को 3x से गुणा करने पर, हमें उत्पाद का अग्रणी पद 12x³ प्राप्त होता है - जाहिर है कि कोई समान नहीं होगा। इसके बाद, हम यह देखते हैं कि किन पदों का गुणनफल अक्षर x की घात के संदर्भ में आएगा जो कि 1 कम है, अर्थात x² के साथ। हम आसानी से देख सकते हैं कि ऐसे पद पहले गुणनखंड के दूसरे पद को दूसरे गुणनखंड के पहले पद से गुणा करके और पहले गुणनखंड के पहले पद को दूसरे गुणनखंड के दूसरे पद से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं (नीचे दिए गए कोष्ठक) उदाहरण यह इंगित करें)। अपने दिमाग में इन गुणाओं को निष्पादित करना और साथ ही इन दो समान पदों (जिसके बाद हमें पद -19x² मिलता है) को घटाना भी मुश्किल नहीं है। तब हम देखते हैं कि अगला पद, जिसमें अक्षर x एक डिग्री से भी कम है, यानी x से पहली डिग्री तक, केवल दूसरे पद को दूसरे से गुणा करने पर प्राप्त होगा, और कोई समान नहीं होगा।

दूसरा उदाहरण: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

निम्नलिखित उदाहरणों को अपने दिमाग में चलाना भी आसान है:

अग्रणी पद को अग्रणी पद से गुणा करके प्राप्त किया जाता है; इसके समान कोई पद नहीं होगा, और यह = 2a³ है। फिर हम देखते हैं कि कौन से गुणन से a² वाले पद प्राप्त होंगे - पहले पद (a²) को दूसरे (-5) से गुणा करने से और दूसरे पद (–3a) को पहले (2a) से गुणा करने से - यह नीचे कोष्ठक में दर्शाया गया है ; इन गुणाओं को करने और परिणामी पदों को एक में संयोजित करने पर, हमें -11a² प्राप्त होता है। फिर हम देखते हैं कि कौन से गुणन से पहली डिग्री तक के पद प्राप्त होंगे - इन गुणन को शीर्ष पर कोष्ठक के साथ चिह्नित किया गया है। उन्हें पूरा करने और परिणामी पदों को एक में संयोजित करने पर, हमें +11a प्राप्त होता है। अंत में, हम देखते हैं कि उत्पाद का सबसे निचला पद (+10), जिसमें बिल्कुल भी शामिल नहीं है, एक बहुपद के निम्न पद (-2) को दूसरे के निम्न पद (-5) से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

दूसरा उदाहरण: (4ए 3 + 3ए 2 – 2ए) ∙ (3ए 2 – 5ए) = 12ए 5 – 11ए 4 – 21ए 3 + 10ए 2।

पिछले सभी उदाहरणों से हमें एक सामान्य परिणाम भी मिलता है: उत्पाद का अग्रणी पद हमेशा कारकों के अग्रणी पदों को गुणा करने से प्राप्त होता है, और इसके समान कोई पद नहीं हो सकते हैं; साथ ही, उत्पाद का निम्नतम पद गुणनखंडों के निम्न-क्रम पदों को गुणा करने से प्राप्त होता है, और इसके समान पद भी नहीं हो सकते हैं।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने पर प्राप्त शेष पद समान हो सकते हैं, और ऐसा भी हो सकता है कि ये सभी पद परस्पर नष्ट हो जाएँ, और केवल बड़ा और सबसे छोटा ही बचे रहें।

यहाँ उदाहरण हैं:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a - b) = a 4 - b 4 (हम केवल परिणाम लिखते हैं)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1, आदि।

ये परिणाम उल्लेखनीय और याद रखने योग्य उपयोगी हैं।

गुणन का निम्नलिखित मामला विशेष रूप से महत्वपूर्ण है:

(ए + बी) (ए - बी) = ए² + एबी - एबी - बी² = ए² - बी²
या (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
या (x + 3) (x - 3) = x² + 3x - 3x - 9 = x² - 9, आदि।

इन सभी उदाहरणों में, जब अंकगणित पर लागू किया जाता है, तो हमें दो संख्याओं के योग और उनके अंतर का गुणनफल मिलता है, और परिणाम इन संख्याओं के वर्गों का अंतर होता है।

यदि हम ऐसा ही कोई मामला देखते हैं, तो गुणा को विस्तार से करने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि ऊपर किया गया था, लेकिन हम तुरंत परिणाम लिख सकते हैं।

उदाहरण के लिए, (3ए + 1) ∙ (3ए - 1)। यहाँ पहला गुणनखंड, अंकगणित की दृष्टि से, दो संख्याओं का योग है: पहली संख्या 3a और दूसरी 1 है, और दूसरा गुणनखंड समान संख्याओं का अंतर है; इसलिए, परिणाम होना चाहिए: पहली संख्या का वर्ग (यानी 3a ∙ 3a = 9a²) घटा दूसरी संख्या का वर्ग (1 ∙ 1 = 1), यानी।

(3ए + 1) ∙ (3ए - 1) = 9ए² - 1.

भी

(एबी - 5) ∙ (एबी + 5) = ए²बी² - 25, आदि।

तो चलिए याद करते हैं

(ए + बी) (ए - बी) = ए² - बी²

अर्थात् दो संख्याओं के योग और उनके अंतर का गुणनफल इन संख्याओं के वर्गों के अंतर के बराबर होता है।